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IV. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
4.1 DESTILACIÓN
4.1.1 Principios Básicos
La destilación es un método de separación para mezclas multicomponentes, y
genera dos o más productos con un alto grado de pureza. La mezcla llega a la torre en la
corriente de alimentación y los productos se obtienen generalmente en una corriente de
destilado y una corriente de fondos. La destilación depende principalmente de la
distribución de las sustancias entre las fases vapor y líquida y de las diferencias de
volatilidad entre los componentes de la mezcla.
La separación de los componentes se logra creando una nueva fase que puede o
no, ser distinta de la fase de alimentación, mediante la transferencia de calor, hasta
alcanzar un determinado grado de vaporización y/o condensación de la mezcla a lo largo
de la columna. Debido a que la destilación involucra cambios de fase continuos, la
operación de una columna requiere grandes cantidades de energía.
Entre las fases presentes en el sistema existe un contacto que permite la
transferencia de masa entre ellas. Aunque ambas tengan los mismos componentes, existe
un gradiente de composiciones que provoca dicha transferencia. El equilibrio entre fases
existe debido a que mientras el líquido se encuentra en su temperatura de burbuja, el
vapor está en su temperatura de rocío. Así, la masa se transfiere por el vapor que se
evapora del líquido y el líquido que se condensa del vapor (Figura 1).
5
Figura 1. Condición de equilibrio entre fases en una columna de destilación.
Tomada de Holland, 1981.
El contacto entre fases se puede lograr de diferentes formas, una de ellas es
empleando módulos localizados dentro de una columna o cubierta en forma de cilindro
(Figura 2). Los más comunes utilizan platos o capuchones distribuidos a lo largo de la
columna, o empaque colocado dentro de la misma. Para este último, existen dos formas
de colocación dentro de la torre, al azar o en un arreglo ordenado. Lo que se busca es
maximizar la transferencia de masa entre las fases, y la elección depende de las
propiedades físicas y químicas de las sustancias, la transferencia de calor y la velocidad
de intercambio de masa.
Teniendo las condiciones de Temperatura (T) y Presión (P) a las que se da el
cambio de fase de líquido a vapor y viceversa, se puede establecer el Equilibrio Líquido
Vapor (ELV) de una mezcla multicomponente.
Del mismo modo en que una sustancia pura empieza a evaporarse cuando
alcanza su temperatura de ebullición, una mezcla multicomponente comienza el cambio
de fase, al momento en que el sistema alcanza la temperatura de ebullición de la
sustancia más volátil.
6
Figura 2. Distintos tipos de módulos empleados en columnas de destilación.
Tomada de Holland, 1981.
Aunque dadas las interacciones moleculares que se presentan entre las sustancias
de la mezcla, no todas las partículas del componente volátil se evaporan en su punto de
ebullición, sino que resisten en la fase líquida incluso cuando ya se han alcanzado
temperaturas muy elevadas. Así mismo, una sustancia que es menos volátil, se evapora
junto con los componentes más ligeros en función de la estructura del sistema.
4.1.2 Descripción del Proceso
La mezcla que se desea separar se introduce a la columna (Figura 3), y por
acción de la gravedad, el líquido se mueve hacia la parte inferior de la columna,
derramándose plato por plato en una caída tipo cascada. El líquido que alcanza el fondo
de la columna se vaporiza de manera parcial en un rehervidor, lo que proporciona el
vapor que viaja a la parte superior de la columna. Mientras que el vapor sube a través de
la columna, para entrar en contacto con la corriente que desciende por los platos, el
líquido restante en el rehervidor se retira como producto de fondo.
7
El vapor que llega al domo de la columna se enfría en un condensador y pasa a la
fase líquida. Una fracción del líquido es conducida nuevamente a la torre, lo que
constituye la corriente de reflujo, para proporcionar el líquido que entra en contacto con
el vapor, la otra parte del líquido condensado se remueve como el producto destilado.
Figura 3.Torre de destilación multicomponente.
El esquema de reflujo en el domo de la columna de destilación proporciona un
contacto, a contracorriente, de las corrientes de líquido y vapor, en cada plato de la torre.
Las fases de líquido y vapor en un plato dado, alcanzan el equilibrio de fases para las
condiciones de T y P. Los componentes más ligeros se concentran en la fase vapor,
mientras que los más pesados hacen lo propio en la fase líquida.
Después de lograr el equilibrio en cada uno de los platos, la fase vapor se hace
cada vez más rica en los componentes ligeros hasta que alcanza el condensador,
mientras la fase líquida hace lo propio con los componentes pesados mientras completa
la cascada hasta el rehervidor. El grado de separación obtenida entre el destilado y los
8
productos de fondo, depende primordialmente de las volatilidades relativas de los
componentes, del número de platos y de la relación de reflujo usada en la columna.
La alimentación generalmente se encuentra en fase líquida o con una
vaporización (ν) determinada, mientras que el destilado puede ser en fase vapor, fase
líquida o ambas, y los fondos usualmente se obtienen en fase líquida.
En resumen, la separación por destilación requiere tres condiciones para que
pueda llevarse a cabo:
La nueva fase que se forma debe estar con contacto directo con la original y
pueda establecerse la condición de ELV en cada una de las etapas de la columna.
Los componentes deben tener volatilidades distintas para que se distribuyan en
las fases a diferentes concentraciones en cada etapa de equilibrio.
La separación de la fase líquida y la fase vapor, pueda llevarse a cabo por
gravedad o medios mecánicos simples.
4.1.3 Ventajas de la Destilación
La destilación tiene ventajas y desventajas comparada contra otros procesos de
separación. Analizando la absorción o la desorción, se puede ver que para obtener los
productos deseados, es necesaria la adición de una nueva sustancia al sistema, la cual
forma una mezcla que posteriormente debe ser separada a menos que esta nueva
solución sea útil directamente. En el caso de la destilación esto no sucede porque no se
añade ninguna sustancia adicional al sistema original. Otra ventaja es que el ELV es
ampliamente estudiado y existen muchas fuentes donde consultar los datos necesarios
para poder trabajar con la destilación.
9
Por el otro lado, la nueva fase que se crea difiere de la original en su composición
y contenido de calor, el cual tiene que se añadido o removido del sistema, lo cual
implica costos que deben considerarse. Tampoco es recomendable trabajar con
sustancias que sean sensibles al calor, ni que sean fácilmente reactivos o corrosivos.
Incluso puede presentarse el caso en que la destilación no logra modificar en gran
medida las composiciones de la mezcla original. Puesto que el vapor es similar al líquido
en términos de concentración a determinadas condiciones de T y P, por lo que la
destilación puede ser por completo inútil para separar una mezcla determinada.
La facilidad de poder hacer una separación directa de una mezcla mediante la
destilación, y obtener los productos en una forma altamente pura, sin incluir otros
procesos más complejos, hacen de la destilación el más importante de los procesos de
transferencia de masa.
4.2 EQUILIBRIO LÍQUIDO – VAPOR
El Equilibrio Líquido – Vapor, es un fenómeno termodinámico que se presenta
en todas las sustancias conocidas, y está basado en las condiciones de T y P a las cuales
se presenta el cambio de fase líquida a fase vapor. Es uno de los fenómenos más
estudiados a nivel mundial, por ello es ampliamente conocido y empleado en infinidad
de aplicaciones.
4.2.1 ELV de una Sustancia Pura
Una sustancia determinada existe a una fase dada, según las condiciones de T y P
a las que se encuentra sometida. Existen tres fases principales: sólido, líquido y gas.
10
Tomando como ejemplo el agua a condiciones ambientales normales (T=25ºC y
P=1atm), su estado físico se encuentra en fase líquida, sin embargo si se mantiene la
presión y se baja la temperatura hasta los 0ºC, cambia de fase líquida a fase sólida y se
convierte en hielo, en el otro extremo, si se lleva la temperatura hasta los 100ºC sin
modificar la presión, el cambio de fase ocurre hacia el vapor.
Toca el caso en que se mantiene fija la temperatura del sistema, el agua, al
disminuir la presión, se evapora como resultado de una menor resistencia del ambiente a
contener las moléculas unidas; si se aumenta la presión, el agua pasa a la fase sólida al
existir una mayor compresión del ambiente al sistema.
Se hace énfasis en mantener la presión constante al variar la temperatura, o en
mantener la temperatura constante con el cambio en presión, porque aunque una
sustancia puede existir en una fase a diversas condiciones de T y P, para realizar el
cambio de fase se necesita una condición combinatoria única de T y P.
Esto se explica mediante los grados de libertad para las fases de un sistema en
equilibrio, dado por la Regla de Fases de Gibbs:
GL = 2 − π + N
(1)
Donde:
GL: Grados de libertad.
π: Número de fases presentes en el sistema.
N: Número de componentes del sistema.
Así para una sustancia pura, es decir, N=1, que existe en una sola fase, los grados
de libertad son 2, esto es se puede especificar una T y una P para establecer la fase en la
11
que se encuentra dicha sustancia. Si se modifica el número de componentes o el número
de fases, los grados de libertad cambian para poder cuantificar las especificaciones
requeridas para establecer un sistema.
De este modo:
1 Fase
2 Fases
3 Fases
1 Componente
2
1
0
2 Componentes
3
2
1
3 Componentes
4
3
2
Tabla 1. Grados de libertad según Gibbs en función del número de componentes y fases presentes.
Como se puede ver los grados de libertad disminuyen cuando las fases presentes
aumentan, y se hacen mayores conforme los componentes también lo hacen.
Para el caso específico de mantener la presión constante, si se tiene una sustancia
pura que alcanza su temperatura de ebullición a una presión determinada, las moléculas
empiezan a ganar energía proveniente del calor suministrado al sistema, hasta que
pueden liberarse de la fase líquida y pasan a un estado más cómodo para las moléculas,
en la fase vapor.
Aunque, al momento en que unas moléculas se desplazan hacia el vapor, otras
más lo hacen de regreso al líquido, es decir se tiene un efecto de condensación
instantáneo, que sucede simultáneamente con la evaporación debido a las interacciones
moleculares y la tensión superficial, esto es, se alcanza el ELV.
Lo que hace que más y más moléculas pasen a la fase vapor, es que se mantiene
el suministro de calor al sistema, también llamado calor latente, lo que ayuda a que sean
más las partículas que escapan del líquido que las que regresan a él.
12
4.2.2 ELV de Mezclas Multicomponentes
Hablando de sistemas multicomponentes, si se ponen en contacto dos fases del
mismo sistema, que tienen diferente composición, sobreviene una transferencia de masa
de uno o varios componentes de una de las fases hacia la otra y viceversa, debido al
gradiente de concentración de los mismos entre fases. Esto representa el principio físico
de las operaciones de transferencia de masa.
Cuanto más tiempo permanezcan en contacto estas fases, mayor es la
probabilidad de que alcancen la condición de equilibrio, matemáticamente el balance de
materia indicaría que no hay una transferencia neta de componentes entre las fases.
Cabe mencionar que las dos fases poseen una miscibilidad limitada, de tal forma
que en el estado de equilibrio, las fases presentes del sistema pueden separarse una de la
otra. En la mayoría de los casos, las fases que han sido separadas del sistema en
equilibrio, presentan composiciones distintas entre sí y diferentes también de la
composición que tenían las fases originales antes de ponerse en contacto con la otra.
Como resultado de esto, las cantidades relativas de cada uno de los componentes
que han sido acarreadas entre las fases, son distintas, lográndose de esta forma un grado
de separación. Bajo condiciones controladas, la acción repetida de poner las fases en
contacto y a continuación separarlas, puede conducir a la disociación casi completa de
los componentes.
Las diferencias en composición que presentan las fases después del equilibrio,
constituyen la base para los procesos de separación que utilizan equipos con etapas
múltiples, como es el caso de la destilación multicomponente.
13
4.3 MÉTODOS DE PREDICCIÓN DE PROPIEDADES
4.3.1 Ecuaciones de Estado
Para poder describir el estado en el cual existe una sustancia, es decir, un estado
termodinámico, es necesario definir las condiciones de Presión (P), Temperatura (T) y
Volumen (V) a las cuales se encuentra. Estas tres variables están íntimamente
relacionadas por los grados de libertad, y en conjunto definen lo que en termodinámica
se conoce como una Ecuación de Estado (EDE), tal que:
f ( P, V , T ) = 0
(2)
Existen otras propiedades termodinámicas, tales como la energía interna (U), la
entalpía (H) y la entropía (S), que son consideradas para poder definir distintas EDE,
además de los valores de P, V y T. También la capacidad calorífica de los gases ideales
como una función de temperatura, puede constituir una ecuación fundamental.
Una ecuación de estado PVT puede usarse para evaluar diferentes propiedades de
las sustancias puras o de mezclas multicomponentes, entre estas propiedades se tienen:
Densidades de fase líquida o vapor.
Presión de vapor.
Propiedades críticas de mezclas.
Relaciones de ELV.
Desviaciones de la idealidad para H y S.
En la actualidad no existe una ecuación como tal, que sea absoluta para todos los
sistemas y todas las propiedades de las sustancias, es necesario considerar que una
14
ecuación puede ser útil para describir a un cierto tipo de sustancias, incluyendo sus
limitaciones, ventajas y desventajas.
El desarrollo de las EDE comenzó con el trabajo de Boyle y sus experimentos
con el aire, de los cuales llegó a la conclusión de que a una temperatura dada, el
volumen de un gas es inversamente proporcional a su presión, lo que se traduce como:
PV = Constante
(3)
El efecto de la temperatura fue estudiado por Charles y Gay – Lussac, quienes
encontraron que esta relación es de tipo lineal:
V = V0 (1 + kT )
(4)
Clapeyron juntó estos dos resultados y obtuvo la Ley de los Gases Ideales, la cual
después de algunas revisiones quedó establecida como:
PV = RT
(5)
Donde:
R: Constante universal de los gases.
De la cual se puede definir el factor de compresibilidad como:
z=
PV
RT
(6)
Sin embargo, la ley de los gases ideales no considera la existencia de una fase
líquida cuando se tienen las condiciones apropiadas de presión y temperatura.
15
Las investigaciones de Dalton y su ley de presiones parciales contribuyeron al
desarrollo de esta ecuación, al considerar que el volumen de una mezcla de gases es la
suma del volumen de sus componentes, cada uno de los cuales se encuentra a la
temperatura y presión de la mezcla.
Otro de los avances significativos se presentó con la definición del estado crítico
por Cagniard de la Tour, en esta condición, las propiedades de los gases y los líquidos se
vuelven indistinguibles.
Desde el comienzo se propuso que la Ley de los Gases Ideales es sólo una
aproximación del comportamiento real. Las desviaciones de la idealidad, fueron
atribuidas a los volúmenes finitos ocupados por las moléculas y a las fuerzas de
atracción y repulsión entre ellas. Estas desviaciones fueron tomadas en cuenta por Van
der Waals y fueron descritas cuantitativamente en la ecuación que lleva su nombre, y
que es la base de muchas ecuaciones PVT aceptadas en la actualidad.
La ecuación de Van der Waals predice la coexistencia de las fases líquida y
vapor y el estado crítico. Uno de los más grandes avances de este trabajo es el Principio
de Estados Correspondientes.
4.3.1.1 Van der Waals
Debido a que la ley de los gases ideales no es adecuada para lograr una
representación del comportamiento real de los sistemas, se ha propuesto multitud de
EDE distintas. Las diferencias principales son que, para una ecuación dada, sólo se
puede trabajar en un rango de P o de T, funciona para un particular tipo de sustancia o
propiedad termodinámica, o que exista una ventaja en el tratamiento de los datos del
sistema.
16
Una de las ecuaciones más importantes es la de Van der Waals (1873), que se
definía “en la continuidad del estado gas y líquido”, la expresión es la siguiente:
a ⎞
⎛
⎜ P + 2 ⎟(V − b ) = RT
V ⎠
⎝
(7)
Donde a es el parámetro de atracción entre las moléculas y b el de repulsión.
Dado que esta es una ecuación de tercer grado para el volumen, la representación gráfica
de una isoterma subcrítica tiene tres raíces reales positivas, mientras que las isotermas
supercríticas tienen sólo una.
Para las isotermas subcríticas, la raíz más pequeña corresponde al volumen
específico de la fase líquida; la raíz mayor se refiere a la fase vapor, y la raíz intermedia
no tiene un significado físico.
El principio de estados correspondientes surge de la sustitución de los parámetros
a y b por sus equivalentes críticos, lo que resulta en la ecuación:
⎞
⎛
⎜ Pr + 32 ⎟(3Vr − 1) = 8Tr
⎜
Vr ⎟⎠
⎝
(8)
A la cual se le da el nombre de ecuación reducida de estado, dado que las
propiedades PVT se encuentran en su forma reducida, es decir, son divididas por su
correspondiente valor crítico:
Presión reducida:
Pr =
P
Pc
(9)
17
Volumen reducido:
Vr =
V
Vc
(10)
Tr =
V
Tc
(11)
Temperatura reducida:
Así, el principio de estados correspondientes dicta en su primera declaración que:
sustancias con presiones y temperaturas reducidas iguales, tienen volúmenes reducidos
iguales.
La ecuación en su forma reducida es, generalmente aplicable a toda sustancia,
aunque las propiedades reales pueden ser obtenidas de la ecuación sólo si se conocen las
propiedades críticas individuales.
Aunque los estados correspondientes no se pueden aplicarse a las mezclas de la
misma forma que a las sustancias puras, si se toman en cuenta ciertas restricciones no
debe existir un mayor problema. Si se está manejando una mezcla multicomponente, es
necesario considerar que las propiedades críticas son el resultado de las interacciones
entre las moléculas de las sustancias presentes.
Las propiedades pseudocríticas son el resultado de estas interacciones, y están
definidas en términos de la composición y las propiedades críticas de los constituyentes
puros. Esto lleva a la definición de los parámetros a y b en función de reglas de
mezclado que ajustan de mejor manera la predicción de la ecuación.
18
La aplicación de los estados correspondientes a las presiones de vapor, no se
puede expresar como una única relación para todas las sustancias, debido al
comportamiento distinto de cada sustancia en función de sus temperaturas críticas
individuales. Esto lleva a la definición de un parámetro ω llamado factor acéntrico, que
describe las desviaciones de la presión de vapor reducida para una sustancia en
particular.
El comportamiento de las mezclas multicomponentes es naturalmente afectado
por las interacciones entre moléculas, principalmente si éstas son polares, siendo las más
importantes aquellas que se llevan a cabo entre pares de componentes.
La incorporación de estas interacciones, sumada a la de los componentes puros,
lleva a una mayor precisión en la predicción de las EDE. Para una mezcla de n
componentes, se tienen n(n-1)/2 posibles parámetros de interacción binaria kij. Estos
parámetros pueden aplicarse en las EDE en dos formas:
Como un ajuste de las propiedades pseudocríticas de un par de componentes.
Como un ajuste directo de algunos de los parámetros de las EDE.
4.3.1.2 Redlich – Kwong
Redlich y Kwong introdujeron su ecuación de estado en 1949, y en ese momento
fue considerada como uno de los avances más importantes en comparación con otras
ecuaciones existentes mucho más simples. La ecuación es la siguiente:
⎛
⎞
a
⎜⎜ P + 0.5
⎟(V − b ) = RT
T V (V + b ) ⎟⎠
⎝
(12)
Está basada en la ecuación de Van der Waals, aunque fue calificada por sus
autores como una modificación empírica de sus predecesoras. El término T0.5 refleja
19
claramente la dependencia de la temperatura del parámetro a, y los valores
correspondientes para a y b se calculan con lo siguiente:
Ω a R 2Tc2.5
a=
Pc
(13)
Ω b RTc
Pc
(14)
b=
(
)
Ω a = 1 9 21 3 − 1 = 0.427480
(
)
Ω b = 21 3 − 1 3 = 0.086640
(15)
(16)
Los valores para los coeficientes Ωa y Ωb varían de sustancia a sustancia. En
investigaciones recientes, estos coeficientes han sido correlacionados en términos de
temperatura reducida y del factor acéntrico.
Para el caso de las mezclas multicomponente, los parámetros de interacción
binaria deben ser considerados para lograr una buena predicción.
En algunas aplicaciones, los investigadores han optado por otras ecuaciones, que
aunque son del mismo tipo, requieren de más información sobe los componentes de las
mezclas.
La ecuación de Redlich – Kwong no se ajusta muy bien a la fase líquida, por lo
que no puede ser usada para calcular el ELV, sin embargo, cuando se utiliza en
combinación con otros métodos de predicción, tales como correlaciones para fase
líquida o con métodos de coeficiente de actividad, se logran excelentes resultados.
20
4.3.2 Coeficientes de Actividad
Todo proceso químico se caracteriza por tener cambios en las propiedades
termodinámicas de las sustancias que intervienen. Aunque es posible calcular y evaluar
estos valores bajo condiciones definidas, resulta conveniente establecer un estado
estándar o estado de referencia, que pueda ser aplicado a diversas sustancias puras y a
mezclas multicomponentes.
Uno de los estados de referencia que mayor aceptación tiene, es el que se refiere
a la fugacidad, e incluye a la energía libre de Gibbs (G) y la fugacidad (f). El cambio en
la G durante un proceso, puede definirse como:
⎛f ⎞
ΔG = G2 − G1 = RT (ln f 2 − ln f 1 ) = RTΔ ln f = RT ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ f1 ⎠
(17)
Si se trata de una sustancia pura en el estado estándar, la expresión es:
⎛ f ⎞
G = G 0 + RT ln⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝f ⎠
(18)
Para una mezcla multicomponente, se tiene:
⎛ fˆ ⎞
Gi = Gi0 + RT ln⎜⎜ i0 ⎟⎟ = Gi0 + RT ln aˆ i
⎝ fi ⎠
(19)
Donde ai es conocida como actividad o fugacidad relativa:
21
aˆ i =
fˆi
f i0
(20)
Desarrollando la ecuación de ai se llega al coeficiente de actividad γi:
γi =
fˆi
xi f i 0
(21)
Que a su vez es un valor análogo del coeficiente de fugacidad φ:
φˆ =
fˆi
xi P
(22)
Si se reordenan las ecuaciones se llega a:
fˆi = γ i xi f i 0
(23)
Que, cuando se tienen condiciones ideales o lo que es un valor de γi = 1, se
obtiene:
fˆi = xi f i 0
(24)
Lo que tiene una forma igual a la Ley de Raoult:
Pi = xi Pi 0
(25)
Y si se alcanzan los valores de dilución infinita, la ecuación se convierte en:
fˆi = γ i∞ xi f i 0 = k H xi
(26)
22
Que hace referencia analógicamente a la Ley de Henry. Todo esto revela que la
fugacidad es prácticamente una presión efectiva dentro del sistema.
4.3.2.1 Estados Estándar
Cuando se hace la definición de los estados estándar, es necesario considerar la
fase en la que se encuentra el sistema.
Para gases, el estado estándar toma a la fugacidad como la unidad, lo que hace
que la actividad sea numéricamente igual a la fugacidad:
aˆ i =
fˆi
= fˆi
fi0
(27)
Es necesario considerar que para las fases en equilibrio, debe existir una igualdad
de las fugacidades de los componentes individuales, por lo que los estados estándar de
las fases vapor y líquida deben ser consistentes. Existe una propiedad común entre fases
en la cual, las fugacidades son iguales, y es la presión de vapor, por ello:
f i sat = φ isat Pi sat
(28)
4.3.2.2 Modelos de Correlación
A través del tiempo, se han propuesto diversas ecuaciones para correlacionar los
coeficientes de actividad con la composición de una mezcla o con la temperatura del
sistema. Los coeficientes de actividad, derivan de la energía de exceso de Gibbs (Gex),
aunque tradicionalmente, es la Gex la que se evalúa a partir de los coeficientes de
actividad, las ecuaciones son:
G ex
= ∑ xi ln γ i
RT
(29)
23
ln γ i =
(
⎛ ∂ G ex RT
G ex
− ∑ x k ⎜⎜
∂x k
RT k ≠i ⎝
) ⎞⎟
⎟
⎠ TPx j ≠ ik
(30)
Para mezclas binarias:
G ex
= x1 ln γ 1 + x 2 ln γ 2
RT
(31)
⎛ ∂G ex
RT ln γ 1 = G ex + (1 − x1 )⎜⎜
⎝ ∂x1
⎛ ∂G ex
RT ln γ 2 = G − x1 ⎜⎜
⎝ ∂x1
ex
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
(32)
(33)
Y la Gex puede obtenerse, para mezclas binarias, en términos de las fracciones
molares o de fracciones volumen:
G ex = x1 x 2 f ( x1 )
(34)
G ex = φ1φ 2 f (φ1 )
(35)
4.3.2.3 Wilson
Para desarrollar su ecuación, Wilson, desarrolló un modelo en el cual las
interacciones moleculares dependen de concentraciones locales de ellas, que son
expresadas como fracciones volumen. Estas concentraciones pueden ser descritas con las
funciones de Boltzmann.
24
La Figura 4 y Figura 5 representan una mezcla binaria con moléculas tipo 1 y
tipo 2. Para el tipo 1, la probabilidad de tener una molécula del mismo tipo es p11 y de
una molécula de diferente tipo es p12; en el caso del tipo 2, las probabilidades son p12 y
p22, respectivamente.
Figura 4. Distribución para la molécula de tipo 1.
Tomado de Walas, 1985.
Figura 5. Distribución para la molécula de tipo 2.
Tomado de Walas, 1985.
Los resultados son:
25
p11 x1 exp(− a11 RT )
=
p 21 x 2 exp(− a 21 RT )
(36)
p12
x exp(− a12 RT )
= 1
p 22 x 2 exp(− a 22 RT )
(37)
Las fracciones volumen, a su vez, como funciones de probabilidad son:
z1 =
p11V1
=
p11V1 + p 21V2
z1 =
z2 =
1
xV
1 + 2 2 exp[− (a 21 − a11 ) RT ]
x1V1
x1
x1 + Λ 12 x 2
1
xV
1 + 1 1 exp[− (a12 − a 22 ) RT ]
x 2V2
(38)
(39)
=
x2
Λ 21 x1 + x 2
(40)
Donde Vi es el volumen molal y:
Λ 12 =
V2
V
exp[− (a 21 − a11 ) RT ] = 2 exp(− λ12 RT )
V1
V1
(41)
Λ 21 =
V1
V
exp[− (a12 − a 22 ) RT ] = 1 exp(− λ 21 RT )
V2
V2
(42)
λ12 = a 21 − a11
(43)
26
λ21 = a12 − a 22
(44)
a12 = a 21
(45)
Ahora, la energía de Gibbs depende de ln zi de la misma forma en que el valor
ideal Gid depende de ln xi, así la energía de exceso de Gibbs queda representada como:
(
)
⎛z
G ex
G − G id
=
= ∑ xi ln⎜⎜ i
RT
RT
⎝ xi
⎞
⎟⎟
⎠
(46)
Sustituyendo para zi:
G ex
= − x1 ln (x1 + Λ 12 x 2 ) − x 2 ln (Λ 21 x1 + x 2 )
RT
(47)
Los coeficientes de actividad se obtienen mediante:
ln γ 1 = − ln( x1 + Λ12 x 2 ) + βx 2
(48)
ln γ 2 = − ln(Λ 21 x1 + x2 ) − βx´1
(49)
Λ 12
Λ 21
−
x1 + Λ 12 x 2 Λ 21 x1 + x 2
(50)
β=
Las características de la ecuación de Wilson, hacen que tenga un mejor manejo
del coeficiente de actividad para las sustancias polares y no polares, y la capacidad de
predecir el comportamiento de mezclas multicomponentes con sólo los valores de los
parámetros de interacción binaria. Otra de las ventajas de esta ecuación es la
consideración sobre el efecto de la temperatura. Sin embargo, las desventajas son:
27
Si se tienen valores de γi por debajo de la unidad, se presentan múltiples raíces
que deben discriminarse para obtener un resultado confiable, lo que requiere del
manejo de los datos mediante un programa de simulación.
No es posible manejar valores negativos para los parámetros, si los datos se
representan en un rango completo de composiciones.
Cuando existe inmiscibilidad líquido – líquido las ecuaciones no pueden
representar el sistema.
4.3.2.4 NRTL (Non Random Two Liquids)
El modelo de NRTL está basado en el sistema binario representado en la Figura 4
y la Figura 5, sólo que las moléculas de tipo 1 y 2 están rodeadas por moléculas del tipo
contrario, intercalando un sistema entre otro.
La energía de Gibbs se identifica con gij en donde el subíndice j hace referencia a
la molécula central. Las fracciones mol en las regiones cercanas, xij, se identifican del
mismo modo. Para cada sistema, las energías de Gibbs resultantes son:
g (1) = x11 g11 + x 21 g 21
(51)
g (2 ) = x12 g12 + x 22 g 22
(52)
Y se tiene que g11 y g22 son las energías de Gibbs para las sustancias puras y que
g12 = g21. Si se reúnen los dos sistemas para calcular la energía de Gibbs de exceso,
entonces:
g ex = x1 x 21 ( g 21 − g11 ) + x 2 x12 ( g12 − g 22 )
(53)
28
Las fracciones molares xij se calculan de manera similar que las probabilidades pij
de Wilson:
x 21 x 2 exp(− α 12 g 21 RT )
=
x11 x1 exp(− α 12 g11 RT )
(54)
x12
x exp(− α 12 g12 RT )
= 1
x 22 x 2 exp(− α 12 g 22 RT )
(55)
El parámetro α es una constante característica de la distribución de las moléculas
de la mezcla, por lo que:
x21 + x11 = 1
(56)
x12 + x22 = 1
(57)
Ahora, las fracciones mol pueden ser resueltas para:
x 21 =
x 2 exp(− α 12 ( g 21 − g11 ) RT )
x1 + x 2 exp(− α 12 (g 21 − g11 ) RT )
(58)
x12 =
x1 exp(− α 12 ( g12 − g 22 ) RT )
x 2 + x1 exp(− α 12 ( g12 − g 22 ) RT )
(59)
Sustituyendo estas ecuaciones en la Ec. 48, se obtiene la ecuación final para la
energía de Gibbs de exceso:
⎡ τ G
τ 12 G12 ⎤
G ex
= x1 x 2 ⎢ 21 21 +
⎥
RT
⎣ x1 + x 2 G21 G12 x1 + x 2 ⎦
(60)
29
τ 12 =
τ 21 =
(g12 − g 22 )
(61)
RT
(g12 − g11 )
(62)
RT
G12 = exp(− α 12τ 12 )
(63)
G21 = exp(− α 12τ 21 )
(64)
Los coeficientes de actividad se obtienen con las expresiones:
2
⎡ ⎛
⎞ ⎛ τ 12 G12
G21
⎟⎟ + ⎜
ln γ 1 = x ⎢τ 21 ⎜⎜
⎜ ( x + x G )2
x
x
G
+
⎢⎣ ⎝ 1
2 21 ⎠
1 12
⎝ 2
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(65)
2
⎡ ⎛
⎞ ⎛ τ 21G21
G12
⎟⎟ + ⎜
ln γ 2 = x ⎢τ 12 ⎜⎜
⎜ ( x + x G )2
x
x
G
+
⎢⎣ ⎝ 2
1 12 ⎠
2 21
⎝ 1
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(66)
2
2
2
1
La ecuación NRTL representa, por lo general, correctamente los datos de ELV
con únicamente sus tres parámetros independientes: α12, τ12 y τ21, los cuales pueden ser
usados para mezclas multicomponentes en general.
Tiene la ventaja que puede trabajar con mezclas multicomponentes si se cuenta
únicamente con los parámetros de interacción binaria. Supera a la ecuación de Wilson en
el hecho de que maneja el equilibrio líquido – líquido.
Una de sus desventajas es que necesita de tres valores de parámetros de
interacción binaria, en comparación con Wilson y UNIQUAC, aunque si se tienen más
30
de dos grupos de datos de ELV y un programa computacional adecuado, no debe haber
mayor problema en la predicción.
Existe una dependencia para α12, Δg12 y Δg21, como funciones lineales de la
temperatura, aunque en algunos casos, Δgij puede tomarse como independiente de ella.
4.3.2.5 UNIQUAC (Universal Quasi – Chemical)
Para desarrollar esta ecuación, Abrams y Prausnitz, se basaron en un modelo de
dos líquidos con composiciones locales, y para la energía de Gibbs de exceso consideran
que:
Existe una contribución de las diferencias en tamaños y formas de las moléculas.
Las interacciones energéticas entre las moléculas también tienen una
participación.
El desarrollo del modelo se da por las ecuaciones:
ln γ 1 = ln γ 1C + ln γ 1R
ln γ 1C = ln
ϕ1
x1
+
⎛
ϑ
r ⎞
z
q1 ln 1 + ϕ 2 ⎜⎜ l1 − 1 l 2 ⎟⎟
2
ϕ1
r2 ⎠
⎝
(67)
(68)
⎛ τ 21
⎞
τ 12
⎟⎟
ln γ 1R = −q1 ln(ϑ1 + θ1τ 21 ) + ϑ2 q1 ⎜⎜
−
⎝ ϑ1 + ϑ2τ 21 ϑ1τ 12 + ϑ2 ⎠
(69)
ln γ 2 = ln γ 2C + ln γ 2R
(70)
ln γ 2C = ln
ϕ2
⎛
ϑ
r ⎞
z
+ q 2 ln 2 + ϕ1 ⎜⎜ l 2 − 2 l1 ⎟⎟
x2 2
ϕ2
r1 ⎠
⎝
(71)
31
⎛ τ 12
⎞
τ 21
⎟⎟
ln γ 2R = −q 2 ln(ϑ1τ 12 + ϑ2 ) + ϑ1 q 2 ⎜⎜
−
ϑ
τ
ϑ
ϑ
ϑ
τ
+
+
2
1
2 21 ⎠
⎝ 1 12
li =
z
(ri − qi ) − (ri − 1)
2
ϑi =
(72)
(73)
qi xi
∑qjxj
(74)
ri xi
∑ rj x j
(75)
j
ϕi =
j
⎛ u ji − u ii
RT
⎝
τ ji = exp⎜⎜ −
⎞
⎟⎟
⎠
(76)
Y se tiene que:
qi: Parámetro de área del componente i.
ri: Parámetro de volumen del componente i.
uij: Parámetro de interacción binaria entre los componentes i y j (uij = uji).
z: Número de coordinación.
γiC: Parte configuracional del coeficiente de actividad del componente i.
γiR: Parte residual del coeficiente de actividad del componente i.
ϑi : Fracción área del componente i.
ϕ i : Fracción volumen del componente i.
32
Todos los factores de la ecuación se consideran, en principio, independientes de
la temperatura.
Sin embargo, se han hecho mejoras en la predicción mediante la modificación del
número de coordinación z, como una función de la temperatura:
z = 35.2 − 0.1272T + 0.00014T 2
(77)
Este valor de z se refiere al número de vecinos circundantes para una molécula
en particular, para líquidos se considera un valor aproximado de 10.
La Ec. 75 varía el valor en función de la temperatura del sistema y la mejor
predicción puede lograrse a veces con valores de z menores al establecido.
Entre las ventajas de la ecuación UNIQUAC se tienen:
Se puede aplicar a mezclas multicomponentes en función de los parámetros de
interacción binaria.
Maneja el equilibrio líquido – líquido.
Incorpora una dependencia de la temperatura en un rango moderado.
Mejora la predicción de mezclas con moléculas de diferente tamaño.
Es la base del método UNIFAC, que predice los coeficientes de actividad
mediante la contribución por grupos.
Sus desventajas principales son que es una ecuación compleja algebraicamente y
puede no tener la misma capacidad para representar los datos que otras ecuaciones más
sencillas.
33
4.4 ALGORITMOS DE DISEÑO PARA UNA TORRE DE DESTILACIÓN
4.4.1 Método Gráfico de McCabe – Thiele
Para realizar el diseño de una torre de destilación, se puede recurrir a diversos
métodos o algoritmos de diseño, entre ellos tenemos el método gráfico de McCabeThiele, que está pensado para manejar mezclas binarias.
En base a los diversos elementos del diagrama elaborado, se pueden conjuntar
condiciones o características establecidas para la construcción de la torre, como son el
número de platos reales y el plato de alimentación; las variables deseadas tales como
composiciones de alimentación, destilado y fondos.
Se puede trabajar en el cálculo de los platos mínimos (Nmin), el reflujo mínimo
(Rmin), el reflujo óptimo (Ropt), el número de platos óptimo (Nopt) y el plato de
alimentación óptimo.
Es un método muy útil que hace una serie de simplificaciones para tratar al
sistema de una manera sencilla y práctica; para el diseño en la columna, no necesita
datos detallados de entalpía, necesarios para los balances de energía.
Supone que no existen pérdidas de calor excesivas; supone también que los flujos
de líquido y vapor que circulan entre las etapas son constantes a lo largo de las zonas de
rectificación, alimentación y agotamiento.
34
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 6. Diagrama Pxy para una mezcla binaria.
Está basado en la representación lineal de las ecuaciones de balance de materia
en un diagrama Pxy (Figura 6), mediante líneas de operación y equilibrio sobre la curva
de ELV, que forman las etapas que tienen corrientes de líquido y vapor en contacto.
El diagrama utilizado es generalmente el que corresponde al componente más
volátil de la mezcla.
El método de McCabe – Thiele divide al diagrama Pxy en dos zonas: la zona de
rectificación, situada en los platos superiores al plato de alimentación, y, la zona de
agotamiento, que se localiza en los platos inferiores.
Para construir el diagrama Pxy es necesario hacer los balances de materia por
zonas, y en el caso de la rectificación se tiene:
35
Vn +1 y n +1 = Ln x n + Dx D
y n +1 =
y=
Ln
D
xn +
xD
Vn +1
Vn +1
(78)
(79)
L
D
x + xD
V
V
(80)
L
D
(81)
R
1
x+
xD
R +1
R +1
(82)
R=
y=
Para la zona de agotamiento, las ecuaciones de balance son:
Lx m = V y m +1 + Bx B
(83)
L
B
xm − xB
V
V
(84)
y m +1 =
y=
L
B
x − xB
V
V
VB =
y=
V n +1
B
VB + 1
1
x−
xB
VB
VB
(85)
(86)
(87)
36
Las ecuaciones obtenidas en los balances de materia por zonas representan el
modelo de ecuación para una línea de la forma y=ax+b, en donde se tiene una
composición conocida para los valores de xD y xB.
El diagrama se construye a partir de un punto en la línea de referencia diagonal
que representa la composición deseada del producto más volátil, en la corriente de
destilado, luego, se traza la línea de rectificación resolviendo la ecuación
correspondiente para un punto dado de la línea.
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 7. Líneas de rectificación, agotamiento y alimentación.
El siguiente paso es trazar la línea correspondiente a la ecuación de la
alimentación de la torre, nuevamente parte de la línea de referencia del diagrama y se
prolonga hasta intersecar con la línea de rectificación en función de la condición a la que
se encuentra la corriente de alimentación, desde líquido subenfriado, hasta vapor
37
sobrecalentado. Condición que se calcula a partir del balance de materia por
componentes de la alimentación.
La línea de agotamiento se genera a partir del punto en la línea de referencia, que
corresponde a la concentración del componente más volátil en el producto de fondos, y
al punto donde se cortan las rectas de rectificación y alimentación. La construcción de
estas líneas se observa en la Figura 7. Para continuar el método gráfico, se traza una
línea horizontal entre la línea de rectificación y la curva de ELV, a partir de la
composición del destilado (líneas de operación); luego una línea vertical entre la curva
de ELV y la línea de rectificación (líneas de equilibrio); con esto se crea un patrón
escalonado, que representan las etapas en las cuáles las corrientes de líquido y vapor
están en contacto en la zona de rectificación.
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 8. Desarrollo escalonado de líneas que representan las etapas de una torre.
38
Cuando se alcanza la línea de agotamiento, el trazo de operación y equilibrio se
hace ahora entre la curva de ELV y la de agotamiento. Estas líneas alternadas tienen su
origen, en la fracción mol del componente más volátil en el destilado y terminan hasta
que alcanzan o superan la fracción mol del volátil en los fondos (Figura 8).
Existe una condición de etapas mínimas, cuando se hacen los balances de materia
suponiendo que el flujo total de vapor a lo largo de la torre, regresa hacia la misma en
forma de líquido después de una condensación, además, el flujo de líquido que fluye en
la torre es evaporado para regresar al sistema. Condición también conocida como reflujo
total.
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 9. Etapas mínimas para una torre (reflujo total).
El significado físico es que todo el material dentro de la torre está disponible para
realizar la transferencia de masa entre las fases, por lo que existe suficiente contacto
39
entre las mismas para optimizar la separación de los componentes, y no se necesitan más
etapas de equilibrio (Figura 9).
El caso contrario es cuando el reflujo en la torre es el mínimo posible, lo que
provoca que no exista un contacto entre fases dado que no se esta recirculando el líquido
necesario para modificar la composición del vapor.
Por ello se necesitan más y más etapas que tratan de maximizar la transferencia
con el poco material que está dentro de la columna.
En la Figura 10, se observa cómo el número de platos se hace mayor conforme se
acerca el punto donde convergen las líneas de rectificación y agotamiento a la curva de
ELV.
Para calcular el valor de Rmin se emplea la ecuación para la zona de rectificación,
dado el valor de su pendiente. Tomando en consideración únicamente la fracción del
componente en el destilado, así como el valor del punto donde la línea de rectificación
toca al eje de las ordenadas, es decir, sólo el valor de un punto en el diagrama Pxy, con
ello tenemos pues:
y=
1
Rmin + 1
xD
(88)
De donde se despeja el valor para Rmin.
40
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 10. Etapas infinitas para una torre (reflujo mínimo).
4.4.2 Eficiencia de Murphree
En la destilación, influyen muchos factores en el desempeño de la columna, que
hacen que la separación de los componentes no se lleve a cabo completamente con los
elementos calculados en el diseño.
En la realidad, el número de platos teóricos resultan insuficientes, es decir, existe
una cierta eficiencia de los mismos, que hace necesario calcular los platos reales que
tendrá una torre. La eficiencia de Murphree permite conocer el grado de separación real
que se está obteniendo la columna y está definida como:
41
ηM =
y n − y n +1
y n* − y n +1
(89)
En donde:
yn: Concentración actual del vapor que deja el plato n.
yn+1: Concentración actual del vapor que llega al plato n.
yn*: Concentración del vapor en equilibrio con el líquido que bajo del plato n.
Así pues, la eficiencia de Murphree es el cambio de la composición del vapor de
un plato hacia el siguiente, entre el cambio que habría ocurrido en el vapor si estuviera el
equilibrio con el líquido que sale del plato.
Aunque la eficiencia de Murphree está definida en términos de las
concentraciones de vapor, resulta difícil tomar muestras confiables de esta fase, por lo
que se toman muestras del líquido en los platos, entonces se calcula la eficiencia a partir
de las composiciones de este muestreo, otra opción es determinar las composiciones del
vapor mediante un diagrama de McCabe – Thiele.
Si se conoce la eficiencia de Murphree, ésta puede emplearse fácilmente en un
diagrama de McCabe – Thiele para conocer el número real de platos con respecto al
número ideal.
En la Figura 11, el triángulo abc representa el plato ideal y el triángulo cde el
plato real. Puede comprobarse que el vapor representado por bc es sustituido por el
vapor menos rico en el componente volátil dado por ce. Así la eficiencia de Murphree
puede calcularse con la relación bc/ce.
42
Cuando se aplica la eficiencia en toda la columna, es necesario reemplazar la
curva de equilibrio ideal por una curva de equilibrio real (en la Figura 11, las líneas
punteada y continua respectivamente), que se calcula con:
y e′ = y + η M ( y e − y )
(90)
Fracción mol y
P = constante
1
0.9
b
a
0.8
e
d
0.7
c
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fracción mol x
Figura 11. Eficiencia de Murphree en el diagrama Pxy.
Y para la curva de equilibrio calculada de la Figura 11, se representa un valor de
ηM de 0.8. Puede verse que la línea de equilibrio real depende de la curva de equilibrio
ideal y de la línea de operación.
La construcción del diagrama de McCabe – Thiele usando la eficiencia de
Murphree, sigue los mismos pasos descritos anteriormente, y únicamente se usa la curva
de equilibrio ideal cuando se hace el trazo para el rehervidor de la columna.
43
4.4.3 Método de Fenske – Underwood – Gilliland
El diseño para una torre de destilación de una mezcla multicomponente, con una
alimentación, una salida de destilado y una salida de fondos, sin salidas laterales, se puede
realizar con el método de FUG.
El algoritmo comienza estimando las composiciones de fondos y destilado. Con
éstas se calcula la presión de operación de la torre. Con estos datos se calcula el número
mínimo de platos con la ecuación de Fenske, tomando en cuenta solamente a los
componentes clave ligero y clave pesado, supone una volatilidad relativa media en toda
la columna sólo en base a los componentes clave.
Una vez obtenido el número de platos se calcula la redistribución de los
componentes no clave de fondos y destilado, para revisar si las estimaciones de
composición son correctas.
Las ecuaciones de Fenske son las siguientes:
N min
⎡⎛ d ⎞⎛ b j
log ⎢⎜ i ⎟⎜⎜
⎢⎣⎜⎝ d j ⎟⎠⎝ bi
=
log(α i , j )
bi , j =
d i, j =
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎥⎦
f i, j
1 + (d r / br )α iN, jmin
f i , j (d r / br )α iN, jmin
1 + (d r / br )α iN, jmin
(91)
(92)
(93)
44
[
]
α i , j = (α i. j )N (α i. j )1 1 2
(94)
Donde:
α: Es la volatilidad relativa media.
b: Fondos.
d: Destilado.
f: Alimentación.
i: Componente clave ligero.
j: Componente clave pesado
r: Componente referencia.
Si las estimaciones son iguales a las redistribuciones se continúa con el
algoritmo, de lo contrario se regresa a recalcular la presión de operación de la torre. El
reflujo mínimo de la torre se calcula a partir de las ecuaciones de Underwood, probando
que tipo de separación es, tipo 1 cuando todos los componentes se distribuyen
(sustancias con puntos de ebullición similares), o tipo 2 si uno o más de los componentes
no aparece en uno de los productos (dos puntos pinch en la torre), de acuerdo a las
siguientes ecuaciones:
Tipo 1º.
Dxi , D
LF xi , F
⎡ (α i , HK )F − 1 ⎤⎛ Dx LK , D
=⎢
⎥⎜⎜
⎢⎣ (α LK , HK )F − 1⎥⎦⎝ LF x LK , F
⎞ ⎡ (α LK , HK )F − (α i , HK )F ⎤⎛ Dx HK , D
⎟+⎢
⎜
⎟
(α LK ,HK )F − 1 ⎥⎥⎦⎜⎝ LF x HK ,F
⎠ ⎢⎣
⎞
⎟
⎟
⎠
(95)
Si
45
⎛ Dxi , D
0 < ⎜⎜
⎝ Fxi , F
⎞
⎟ <1
⎟
⎠
(96)
Tipo 2º.
α i xFi
= ∑ fi
αi − φ
(97)
Vmin
αx
= RDm + 1 = ∑ i Di
D
αi − φ
(98)
1− q =ν = ∑
Donde:
HK: Componente pesado.
LK: Componente ligero.
F: Flujo de alimentación
D: Flujo de destilado.
L: Flujo de líquido.
V: Flujo de vapor.
Para estas ecuaciones se requieren los datos del flash de la alimentación a las
condiciones de operación de la torre.
Ya con estos datos de reflujo mínimo y platos mínimos se puede proseguir a
calcular el número de platos teóricos reales, mediante la ecuación de Gilliland:
⎡⎛ 1 + 54.4 X ⎞⎛ X − 1 ⎞⎤
N − N min
= 1 − exp ⎢⎜
⎟⎜ 0.5 ⎟⎥
N +1
⎣⎝ 11 + 117.2 X ⎠⎝ X ⎠⎦
X=
R − Rmin
R +1
(99)
(100)
46
El último paso del método de FUG es el cálculo de la etapa de alimentación. Este
cálculo se realiza a partir de la ecuación de Kirkbride y la relación de platos de
rectificación y agotamiento con los platos totales:
N R ⎡⎛⎜ z HK , F
=⎢
N S ⎢⎜⎝ z LK , F
⎣
2
⎞⎛ xLK , B ⎞ ⎛ B ⎞⎤
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟⎥
⎟⎜ x
⎟
⎠⎝ HK , D ⎠ ⎝ D ⎠⎥⎦
NR + NS = N
0.206
(101)
(102)
4.4.4 Modelo Termodinámico para la Destilación
El proceso completo de transferencia de masa y energía en una columna de
destilación real, es demasiado complicado para modelarlo directamente de una forma
sencilla.
Para poder simplificar esta tarea es necesario implementar un modelo basado en
etapas de equilibrio. Al hablar de un sistema en ELV, se establece que, las corrientes de
líquido y vapor que salen de una etapa en equilibrio, están en equilibrio completo entre
sí, y entonces, el uso de modelos termodinámicos para relacionar las concentraciones de
las dos corrientes en equilibrio es posible.
Tomando como base una torre hipotética que se compone de etapas de equilibrio
en lugar de verdaderos platos de contacto entre fases, se realiza la separación
especificada para una columna real usando métodos cortos, gráficos o rigurosos de
diseño.
47
Los resultados obtenidos para el número de etapas de equilibrio necesarias, se
transforman a un número dado de platos reales, considerando las eficiencias de plato que
predicen el rendimiento real de una etapa de equilibrio en función del rendimiento neto
de la etapa hipotética.
Utilizando el modelo de etapas de equilibrio, el diseño de una torre de destilación
puede describirse en tres elementos bien definidos:
Es preciso determinar con absoluto cuidado la base de datos de ELV (validación
de consistencia termodinámica) y los modelos termodinámicos a emplear en la
predicción del comportamiento del equilibrio de fases.
Hay que calcular el número de etapas teóricas necesarias para alcanzar un grado
determinado de separación, o si se tiene un número dado de etapas de equilibrio,
se calcula la separación que es posible obtener para la mezcla a destilar.
Los resultados obtenidos con el diseño de la torre deben ser convertidos a un
valor equivalente en platos reales para la torre o en su caso la altura del empaque
contenido en la columna.
4.4.5 Métodos Rigurosos
Los métodos rigurosos son una forma de solución para el diseño de una torre,
parten de un sistema multicomponente el cual se encuentra en equilibrio líquido – vapor,
dentro de la etapa j de un sistema de separación complejo.
El sistema se representa mediante en uso de las ecuaciones MESH (Masa,
Equilibrio, Sumatorias y Entalpía), las cuales plantean en conjunto un sistema de
ecuaciones altamente no lineal que resuelve los balances de materia y energía para cada
componente y cada fase del sistema, así como las composiciones de los mismos en el
equilibrio de la etapa.
48
Las ecuaciones son las siguientes:
Masa:
L j −1 xi , j −1 + V j +1 y i , j +1 + F j z i , j − (L j + U j )xi , j − (V j + W j )y i , j = 0
(103)
Equilibrio:
y i , j − k i , j xi , j = 0
(104)
Sumatorias:
∑x
i, j
−1 = 0
(105)
−1 = 0
(106)
i
∑y
i, j
i
Entalpía:
L j −1 H Lj −1 + V j +1 H Vj +1 + F j H Fj − (L j + U j )H Lj − (V j + W j )H Vj − Q j = 0
(107)
Existen diferentes métodos de solución para este sistema de ecuaciones, entre
ellos tenemos:
Método de Punto de Burbuja.
Método de Corrección Sucesiva o de Naphtali – Sandholm.
Método Inside – Out o de Boston – Sullivan.
49
Figura 12. Diagrama de una etapa de equilibrio para las ecuaciones MESH.
Tomada de Henley, 1988.
La solución de cada uno depende del método numérico que se emplee y de la
elección de las variables de corte.
El método de Punto de Burbuja se utiliza para mezclas de componentes con
puntos de ebullición cercanos, el problema surge cuando se están manejando mezclas no
ideales, puesto que no alcanza una convergencia adecuada.
50
El método de Corrección Sucesiva es un modelo iterativo que se resuelve usando
Newton – Raphson. En un algoritmo definido en la Figura 13.
Boston – Sullivan fue propuesto en 1974 para la destilación de hidrocarburos,
pero actualmente se utiliza en casi todas las separaciones multicomponentes. Emplea dos
modelos de propiedades: el empírico y el riguroso. El modelo empírico se usa
principalmente para la convergencia del ciclo interno del sistema, mientras que el
riguroso se ocupa del ciclo externo. Este modelo es muy útil debido a que reduce el
tiempo de cómputo de las propiedades termodinámicas.
Figura 13. Algoritmo para el método de Naphtali – Sandholm.
Tomada de Henley, 1988.
51