Å Ø Ñ Ø × × Ö Ø × Á Ì ÓÖ Æ Ñ ÖÓ×

Matemátias Disretas I
Teoría de Números
Profesora: Martha Millan
Monitor: Jose Bernal
Abril 2011
1.
Reuerde
El taller se desarrollará en el lenguaje de programaión
Sheme.
Reuerde inluir el Contrato de la funión prinipal de ada punto del
taller, en aso de inumplir se hará penalizaión.
Reuerde inluir el Nombre
Código.
de los Integrantes del grupo on su respetivo
Para el envio del ódigo de Sheme se debe umplir on la siguiente espeiaión:
Para: martha.millanorreounivalle.edu.o
CC: jose.bernalorreounivalle.edu.o
Asunto: TALLER3MDI
El orreo que no umpla lo anterior
NO será reibido
Evite realizar opia en el taller
2.
2.1.
Considere
Para la entrega
Los problemas se trabajarán en How to Design Programs nivel Estudiante
Avanzado.
Cada funión prinipal tendrá su propio arhivo.
La parte esrita se presenta POR ESCRITO el día de entrega del taller
en la hora de lase.
1
2.2.
Ayuda
Una feha puede ser onsiderada una estrutura
2
Desarrolle en Sheme
2.3.
Problemas
Desarrolle un programa en Sheme que determine si un número es primo.
Pruebelo on entradas no tan grandes.
Desarrolle un programa en Sheme que dados dos números determine si
son o no primos relativos
Implemente el algoritmo de Eulides para hallar el md entre dos números
Desarrolle una funión en Sheme llamada ual-es-el-ultimo-digito-de?. La
entrada de esta funión son dos enteros n y e. El resultado que entrega la
funión es el último digito de ne .
Restriiones: El problema debe ser desarrollado on la operaión módulo
y en ningún momento se debe alular ne
Observe el siguiente ejemplo de uso:
23 mod 10 = 8
26 mod 10 = (23 mod 10)x(23 mod 10) mod 10 = 64 mod 10 = 4
De soluión al siguiente problema:
Qué día es hoy?
El alendario, atualmente en uso, evoluionó graias a los romanos. Julio
César odió un sistema de alendario que llegó a ser onoido omo
el alendario juliano. En este sistema, todos los meses tienen 31 días, a
exepión de abril, junio, septiembre y noviembre, que tienen 30 días, y
febrero, que tiene 28 días en años no bisiestos, y 29 días en años bisiestos.
Además, en este sistema, los años bisiestos tienen lugar ada uatro años.
Esto se debe a que los astrónomos de la antigua Roma determinaron que
un año era de 365,25 días, para que después de uatro años, se añadiese
un día extra para mantener el alendario aorde on las estaiones. Para
ello, se agregó un día más (29 de febrero) a ada año que era un múltiplo
de uatro.
Regla Juliana:
Cada año que es un múltiplo de 4 es un año bisiesto, es deir, tiene un día
más (29 de febrero).
En 1582, los astrónomos del Papa Gregorio se dieron uenta de que el año
no era de 365,25 días, sino más era de 365,2425. Por lo tanto, la regla
del año bisiesto ambia a:
Regla Gregoriana:
Cada año que es un múltiplo de 4 es un año bisiesto, a menos que sea un
3
múltiplo de 100 y no de 400.
Para ompensar la forma de las estaiones se había desplazado ontra el
alendario hasta ese momento, el alendario fue ambiado en realidad de
10 días: el día siguiente al 04 de otubre 1582 fue delarado el 15 de otubre.
Inglaterra y su imperio (inluido Estados Unidos) no se ambiaron al alendario gregoriano hasta 1752, uando al día siguiente 02 de septiembre fue
delarado 14 de septiembre. (El retraso fue ausado por la mala relaión
entre Enrique VIII y el Papa.)
Esriba un programa que onvierta las fehas en los Estados Unidos usando un alendario de la hora y los días de semana.
2.4.
Input/Output
(es-primo? 2)
>
#t
(son-primos-relativos? 11 17)
>
#t
(md-eulides 4144 7696)
>
592
(ual-es-el-ultimo-digito-de? 2 3)
>
8
(ual-es-el-ultimo-digito-de? 2 6)
>
4
(que-dia-es? 11 15 1997)
>
15 de noviembre 1997 es un sábado
(que-dia-es? 1 1 2000)
>
01 de enero 2000 es un sábado
(que-dia-es? 7 4 1998)
>
04 de julio 1998 es un sábado
4
(que-dia-es? 2 11 1732)
>
11 de febrero 1732 es un viernes
(que-dia-es? 9 2 1752)
>
02 de septiembre 1752 es un miéroles
(que-dia-es? 9 14 1752)
>
14 de septiembre 1752 es un jueves
(que-dia-es? 4 33 1997)
>
4/33/1997 es una feha no válida
5
Desarrolle por esrito
Resuelva la ongruenia 2x
≡
7(mod 17)
Demuestre que si n|m, donde n y m son enteros positivos mayores que 1,
y si a
≡
b(mod m), donde a y b son enteros, entones a
Demuestre que si a
enteros, m
≥
≡
b(mod n) y 2, entones a-
≡
≡
≡
b(mod n)
d(mod n), donde a,b,,d y m son
b-d(mod m)
Calule todas las soluiones del siguiente sistema:
x
≡
1(mod 2)
x
≡
2(mod 3)
x
≡
3(mod 5)
x
≡
4(mod 11)
Tres ampesinos se reparten la oseha de afé en partes iguales. El primero
se va al merado en donde se utilizan medidas de 83 libras, el segundo a
donde utilizan medidas de 112 libras y el terero a otro en donde utilizan
medidas de 135. Cada uno de los ampesinos vende antidades ompletas
hasta donde le es posible y uando regresan a asa al primero le han
quedado 72 libras, al segundo 70 y al terero 30. Calule la antidad total
de afé que llevaron al merado.
6