Repartido 1 - Laboratorio de física II

BQ202-Laboratorio de Física II para Bioquímica
Repartido Nº 1
Facultad de Ciencias - Instituto de Física
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICO
1.- INTRODUCCIÓN En esta práctica realizaremos un estudio experimental de líneas
equipotenciales y del campo eléctrico generado por electrodos de diversas geometrías.
Para poder determinar el campo eléctrico en una determinada región del espacio, vamos a
medir la diferencia de potencial en dicha región respecto a una referencia fija, denominada
"tierra". De esta manera se puede determinar cuáles puntos tienen mismo potencial eléctrico.
En nuestra experiencia vamos a estudiar el potencial sobre un plano bidimensional. Uniendo
los puntos del mismo potencial en el plano obtenemos curvas denominadas “equipotenciales”.
Este proceso se denomina "mapeo de potenciales".
Una vez realizado el mapeo de un buen número de equipotenciales próximas, se podrá calcular
una aproximación al campo eléctrico y visualizar las variaciones del campo en el espacio.
2.- RESEÑA BIOGRÁFICA: Henry Cavendish
- Físico y químico
británico, nació en Niza el 10 de octubre de 1731 y falleció en Londres el
24 de febrero de 1810. Se educó en Cambridge, y si bien pasó cuatro años
en la universidad, no obtuvo ningún título universitario, pues era incapaz
de enfrentarse a los profesores durante los exámenes. Durante toda su
vida tuvo la misma dificultad de relacionarse con las personas, tímido y
distraído casi nunca hablaba, jamás intercambiaba palabras con más de
una persona a la vez, y de hacerlo sólo lo hacía por necesidad y por
supuesto nunca con una mujer, a las que temía hasta el punto de no poder
mirarlas. Para pedir la cena, o cualquier otra orden, siempre lo hacía por
escrito, para no tener que enfrentarse con las sirvientas. Hizo construir una
puerta en su casa por la que él solo entraba y salía. De familia noble no
tuvo dificultades económicas. Heredó una fortuna de más de un millón de
libras, lo que lo transformó en una de las personas más ricas del momento,
aunque no le prestó ninguna atención. A su muerte la fortuna estaba intacta. Si bien pasó casi 60 años
investigando, nunca se preocupó de publicar o que le acreditaran sus descubrimientos, sólo lo hacía para
satisfacer su curiosidad. Por esa razón permanecieron desconocidos hasta que un siglo más tarde
Maxwell publicó sus anotaciones.
Sus experimentos con electricidad entre 1770-1780 anticiparon la mayor parte de lo que se había de
descubrir en los cincuenta años siguientes. Formuló en 1772 (trece años antes Coulomb) la ley de
interacción entre cargas eléctricas e introdujo el concepto de potencial eléctrico. Gracias a este concepto
introducido por Cavendish podemos desarrollar esta práctica en la que encontraremos superficies
equipotenciales (es decir superficies que están al mismo potencial eléctrico) para distintas
configuraciones. Experimentó con capacitores y descubrió el efecto de los dieléctricos sobre la capacidad
y con corrientes eléctricas: la ley hoy llamada de Ohm fue descubierta por él casi 50 años antes.
Cavendish medía la intensidad de corriente de una forma muy particular y directa: él mismo recibía la
descarga, la magnitud la estimaba en función del daño que le originaba, extremo al cual no pensamos
llegar, ya que utilizaremos instrumentos de medición (a menos que nos falten los instrumentos
necesarios). A través de una balanza de torsión determinó el valor de la constante G, y luego pudo
determinar la masa terrestre, por lo tanto se le atribuye haber sido el primero en “pesar” la Tierra.
Calculó que la densidad de la Tierra era 5,45 veces mayor que la densidad del agua, un cálculo muy
cercano a la relación establecida por las técnicas modernas (5,5268 veces, lo que representa un error
relativo de 1,4%). También determinó la densidad de la atmósfera y su composición, descubriendo el
argón un siglo antes que Ramsey. Trabajó con los calores específicos de las sustancias y determinó
diversas densidades de gases. En química descubrió el hidrógeno, y que el agua no es un elemento,
determinando su composición, y además la del ácido nítrico.
3.- FUNDAMENTO TEÓRICO.
Una distribución de cargas eléctricas estáticas genera un campo eléctrico independiente del
tiempo, que representaremos por el vector E.
El campo eléctrico E, en un punto del espacio determinado por el vector posición
r = x i +y j +z k se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga que actuaría sobre una
carga de prueba si fuera puesta en el punto r (sin que se muevan las demás cargas):
E(r) = F/q0
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Ahora consideramos campos estáticos producidos por una distribución de carga constante en el
tiempo. Cuando una carga q se coloca en un campo E, la fuerza eléctrica sobre la carga es qE.
Esta fuerza total debido a la distribución de cargas es igual la suma de las fuerzas individuales
ejercidas por las cargas que crean el campo E (principio de superposición). Como la
distribución de cargas es constante en el tiempo la fuerza que ejerce cada carga está dada por
la ley de Coulomb.
Podemos concluir que la fuerza qE es conservativa, ya que las fuerzas coulombianas son
conservativas.
Consideremos que la carga q se desplaza desde un punto A a otro B por una cierta curva C en
el espacio donde existe un campo eléctrico E. Para un desplazamiento infinitesimal ds, el
diferencial de trabajo dW realizado por el campo eléctrico E, para desplazar a la carga q, está
dado por:
dW = q E•ds.
Para un desplazamiento finito de la carga entre los puntos A y B, el trabajo está dado por:
B
W= q∫ E .ds
(2)
A
El integral se toma a lo largo de alguna curva que extiende desde A hasta B. Pero como la
fuerza eléctrica qE es conservativa, el valor de la integral no depende de la curva entre A y B
usada. Solo depende de A y de B.
Esto nos permite definir la energía potencial U(r) del campo eléctrico estático, que es una
función de la posición r de la carga. Es la energía que gasta (o pierde) el campo eléctrico
cuando la carga va al punto P (desde algún punto de referencia Z que se fija cuando se define
U). Con esta definición
W = -[U(B) - U(A)]
y
dU = -q E•ds.
La cantidad
V=
U
q
recibe el nombre de potencial eléctrico, es decir que representa la
energía potencial electrostática por unidad de carga. El cambio de potencial asociado con un
desplazamiento infinitesimal ds es
dV(r) = -E(r)•ds
(3)
La diferencia de potencial entre A y B está dada por
B
ΔV=V B− V A =
ΔU
= − ∫ E . ds
q
A
La unidad en el sistema SI (Sistema Internacional) del potencial electrostático es el Volt (V),
que es equivalente a 1 joule/coulomb.
Finalmente, vamos a definir el concepto de superficie equipotencial: es toda superficie
sobre la cual el potencial eléctrico permanece constante. Por tanto, la diferencia de potencial
entre dos puntos cualesquiera de la misma es cero. Dichas superficies proporcionan un modo
de visualizar el campo. En la figura 1 podemos observar algunos ejemplos donde se muestra la
intersección de las superficies equipotenciales con un plano, definiendo lo que se denomina
curvas equipotenciales.
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Figura 1
Si el campo E tiene una sola componente, Ex, entonces E•ds = Ex dx, por lo que la ecuación
(3) implica que
E x =-
dV
dx
En general, el potencial eléctrico es una función de tres coordenadas espaciales. Si V(r) está
dado en términos de coordenadas rectangulares, las componentes del campo eléctrico Ex, Ey y
Ez, pueden calcularse a partir de V(x,y,z) como:
E x =-
∂V
∂x
E y =-
∂V
∂y
E z =-
∂V
∂z
(4)
lo que se puede resumir utilizando el operador diferencial gradiente como
E(r) = -V(r).
(5)
El campo eléctrico es perpendicular a las equipotenciales: A lo largo de una curva sobre una
equipotencial V es constante. Así también U lo es, y por lo tanto dW = 0 en cada incremento
de la curva. Pero dW = qE•ds, entonces E debe ser perpendicular a ds, es decir, a la curva.
Esto vale para cualquier curva sobre el equipotencial, entonces
E debe ser normal al
equipotencial. Esto puede observarse en la figura 1 en la que también se representan las líneas
del campo.
De la ecuación dV(r) = -E(r)•ds se desprende que E apunta en el sentido de potencial
decreciente.
En este experimento determinaremos el módulo del campo eléctrico aproximadamente de la
siguiente forma
Eaprox=
ΔV
Δs
(6)
siendo V la diferencia de potencial entre dos superficies (o líneas) equipotenciales y s la
separación entre las mismas, medida a lo largo de una recta que es más o menos
perpendicular a ambas. (Generalmente no hay una recta que sea exactamente perpendicular a
ambas.) Nota que si usáramos como s la separación entre las equipotenciales medida a lo
largo de una curva perpendicular a todas las equipotenciales intermedias (es decir, una línea
de campo) entonces la ecuación (6) da una expresión exacta para el promedio del módulo de E
a lo largo de la curva entre las equipotenciales.
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4.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Para la realización de esta práctica usaremos una pecera con agua, o cubeta electrolítica, en la
que introduciremos los distintos electrodos (un electrodo plano A a la izquierda, un electrodo B
sobre la derecha y un conductor cilíndrico C entre los anteriores como se muestra en la figura
2).
La práctica no la realizamos en condiciones electrostáticas pues hay corrientes fluyendo por el
montaje. Esto no altera fundamentalmente la interpretación de los resultados. En condiciones
estacionarias el campo eléctrico está dado por la misma ley (Ley de Coulomb) como en
condiciones electrostáticas.
Preferimos trabajar con un campo estacionario principalmente porque nos permite medir
fácilmente la diferencia de potencial entre dos puntos. Si se colocan las dos puntas de un
tester (multímetro digital) en los puntos A y X respectivamente entonces hay dos caminos de
conducción entre A y X, uno a través del tester, y uno afuera. Si la resistencia del tester es
mucho mayor que el del camino de conducción afuera, entonces la presencia del tester
produce sólo una despreciable perturbación en el potencial eléctrico. La diferencia de potencial
entre A y X en ausencia del tester es entonces casi igual a la diferencia de potencial entre A y
X a traves del tester. Pero esta última diferencia de potencial se deduce de la corriente a
través del tester y la resistencia eléctrica del mismo. (Ustedes no tienen que hacer esta
deducción ya que el tester hace el cálculo automáticamente indicando la diferencia de potencial
en el display.)
Vemos que es esencial para este método que la resistencia entre A y X por el camino de
conducción fuera del tester no sea demasiado alta. Por lo tanto se pone agua en la cubeta en
lugar de dejar sólo aire.
Debajo de la cubeta colocaremos un papel milimetrado con el cual podremos leer las
coordenadas de los puntos que están al mismo potencial.
C
B
x
d
A
Figura 2
Procedimiento de montaje:
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El origen de coordenadas (x = 0, y = 0) se ubicará en el centro de la cara derecha del
conductor plano A, con el eje y paralelo a la cara del conductor A.
El extremo central del conductor B, se ubicará a una distancia d = 120 mm de la cara
derecha del conductor A. Es decir que la punta del conductor B estará en las coordenadas
(120, 0) mm.
El conductor cilíndrico se ubicará con su centro en las coordenadas (60, 60) mm.
El polo negativo de la fuente de corriente continua se conectará al electrodo A y el polo
positivo al electrodo B.
Se llenará la cubeta con agua con profundidad entre 5 mm y 10 mm.
Uno de los terminales del voltímetro se fijará al electrodo A, y el restante se usará para
medir los potenciales en los distintos puntos de la cubeta entre los electrodos A y B. [Por lo
tanto los potenciales medidos son relativos al de conductor A. El potencial medido de A
(fuera del agua) siempre va a ser cero.]
Figura 3- Montaje experimental
Registro de medidas
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 Se deberá registrar las coordenadas de los extremos de los electrodos y de sus
dimensiones de modo de luego poder dibujar la configuración en el papel milimetrado.
 Se medirán los potenciales de los electrodos A (VA) y B (VB) por fuera del agua.
 Se medirán los potenciales del electrodo A en las coordenadas (0,0) (V0) y B en (120,0)
mm (VF), por debajo del agua.
 Se medirá los valores del potencial del conductor cilíndrico C, en por lo menos cuatro



puntos de su interior. El promedio se llamará VC.
Para mapear un equipotencial de potencial V, posicionarán la punta libre del tester en un
valor de y dado y variarán la coordenada x de la punta hasta encontrar un x tal que el
potencial medido sea igual a V. Esto se repite para y = 140 mm, 120, 100, 80, 60, 40, 20,
0, -20, -40, -60, -80, -100, -120, -140. Mapearán los equipotenciales V = 2V, 4, 6, 8 , 10,
11, y además los de V = (VF – 1 V), (VC - 0,5 V), y ( VC + 0,5 V). Estas son las principales
mediciones del experimento y hacerlos llevara algún tiempo. Es importante que se entienda
exactamente como se deben realizar estas mediciones antes de invertir el tiempo de hacer
toda la serie.
Hay que estimar el error de medición en los coordenadas x y y grabadas.
Hay que anotar los errores de medición en los voltajes grabados. Estos errores se pueden
encontrar en la tabla de errores del tester, disponible en la página web y en EVA.
Tratamiento de los datos
 Luego de terminadas las mediciones trazar las equipotenciales a partir de los valores x
anotados sobre el esquema de la configuración experimental en el papel milimetrado.
 En el mapeo de equipotenciales se miden los valores xe ≡ x(yn,Vn) de la coordenada x en el
cual potencial V toma el valor nominal Vn , con la coordenada y tomando su valor nominal
yn. (Es decir V(xe,yn) = Vn.) Por ejemplo, una de las mediciones de x es con yn = 40 mm,
Vn = 10 V.
Los errores en la medición de y y V implican que nuestra medición no es realmente de x
en para yn y Vn, pero para valores de y y V levemente distintos.
Si podemos expresar xe en términos de los valores de x, y y V cuando la punta del tester
está puesto cerca de (xe,yn) entonces podemos usar las conocidas errores ∆x, ∆y y ∆V para
calcular el error ∆xe en xe. Ahora desarrollamos esta expresión. Se puede aproximar el
potencial como una función lineal de x y y en un entorno de (xe, yn):
V ( x, y)  Vn  (x - x e )
∂V
V
(y - y n )
∂x
y
Podemos despejar xe.
V ( x, y )  V n  (y - y n )
xe  x 
V
y
V
x
Esta es nuestra fórmula para xe en términos de las cantidades medibles x, y y V. Si
tenemos V en un punto (x,y) cercano a (xe,yn) entonces nos permite calcular el valor de xe.
Ahora hay que aplicar el método de propagación de errores a esta expresión. Solo
necesitamos una aproximación al error en xe. Entonces vamos a reemplazar los valores
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verdaderos de las derivadas parciales por valores típicos en la experiencia. Los valores
típicos que tomamos son
D
V
V V A  V B
 0 . Estos valores están cercanos a los
y

y
x 120m m
valores promedio de estas derivadas en la región entre los electrodos.
expresión para xe se simplifica a
xe  x 
Entonces la
V ( x, y )  V n
D
Aplicando la propagación de errores obtenemos
x e   x 2 
2
V 2
D2

Trazar siete líneas del campo eléctrico, empezando desde el electrodo A en y =120 mm,
80, 40, 0, -40, -80, -120. Trazar las líneas lo más exactamente posible. (Tienen que ser
perpendiculares a las equipotenciales.) Hay que incluir flechas indicando la dirección de las
líneas.

Calcular el valor del módulo del campo en y =80 mm, 40 mm, y 0 mm sobre el
equipotencial de 10 V. Estimar el error en estas mediciones. Recuerden que no hay error
en el potencial nominal Vn de un equipotencial, solo hay error en la posición del mismo.
Para estimar el correspondiente error en el campo haga cada cálculo del campo 5 veces
usando distintas posiciones de los equipotenciales compatibles con los errores en los x de
los puntos medidos sobre los mismos. Para facilitar esto marca barras de error indicando el
error ∆xe en los puntos medidos sobre los equipotenciales usados en el cálculo del campo.

Proponer una hipótesis para explicar la diferencia en los potenciales de los electrodos
medidos fuera y dentro del agua.
6.- BIBLIOGRAFÍA




Serway, R. Física (Tomo II) (1996); 4ta. Edición; McGraw-Hill, México.
Serway, R.; Faughn, J. (2001); 5ta. Edición; Pearson Educación, México.
Kane, J.W. D; Sternheim, M. M. Física. 2º edición.Ed. Reverté.
Asimov, I. (1987) Enciclopedia Biográfica de Ciencia y Tecnología 1, 2da. Edición;
Alianza Editorial; Madrid.
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