Apuntes - Unican.es

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Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
TEMA 8:
LINEAS DE TRANSMISIÓN:
ANÁLISIS CIRCUITAL Y
TRANSITORIO
Miguel Angel Solano Vérez
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
2
1 INTRODUCCIÓN
Las líneas de transmisión se usan básicamente para conducir potencia eléctrica y
para transmitir, con más o menos perfección, información y se utilizan en un rango de
9
frecuencias desde aproximadamente 60 Hz, en electrónica de potencia, hasta 10 Hz (1
GHz) y superiores, en ingeniería de microondas. Algunos de los tipos de líneas de
transmisión uniformes más usuales, tales como la línea de transmisión de dos
conductores (línea bifilar), la línea coaxial y la guía de planos paralelos, se muestran en la
figura 1. La línea bifilar está formada por dos conductores paralelos muy próximos
normalmente de sección recta circular. Estas líneas operan, generalmente, en el espacio
libre estando sujetadas mecánicamente en intervalos regulares por dieléctricos
aislantes. La línea de transmisión coaxial consiste, como su propio nombre indica, en una
región dieléctrica coaxial, que puede ser el vacío, entre la pared exterior del conductor
interno y la pared interna del conductor externo hueco. Ambos conductores son de
sección transversal circular. La guía de planos paralelos consiste en una lámina de
dieléctrico, o región del espacio libre, colocada entre dos conductores planos paralelos.
En el caso de la línea bifilar el campo electromagnético se extiende por todo el espacio;
en todos los demás casos el campo electromagnético está confinado al espacio limitado
por los contornos metálicos. La elección de un tipo u otro de línea de transmisión, entre
otros factores, depende de la frecuencia de operación y la capacidad de potencia
requerida.
3
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
La teoría de líneas de transmisión se puede desarrollar desde el punto de vista de
teoría de campos electromagnéticos o desde el punto de vista de teoría de circuitos
eléctricos. La primera opción, que veremos en un tema posterior, consiste en resolver las
ecuaciones de Maxwell del problema concreto junto con las condiciones de contorno
adecuadas. En la segunda opción, que es la que seguiremos en este tema, la línea de
transmisión se trata como un circuito de parámetros distribuidos formado por ciertos
valores de inductancias y resistencias en serie y capacitancia y conductancia en paralelo.
Los valores de estos parámetros dependen de la geometría de la línea de transmisión y
se tienen que obtener, necesariamente, mediante la aplicación de la teoría de campos
electromagnéticos. Estudiaremos líneas de transmisión uniformes, esto es, todas y cada
una de las secciones de una línea son iguales entre sí. Este requerimiento de uniformidad
excluye líneas de transmisión de longitud finita, puesto que en ese caso una sección
cercana al final de la línea no sería igual que una sección en el medio, por ejemplo. Así, la
teoría que vamos a ver es estrictamente aplicable sólo a líneas de transmisión de longitud
infinita. En la mayoría de los casos prácticos, los "efectos de borde" son suficientemente
pequeños y su omisión queda justificada.
2. MODELO CIRCUITAL DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
Según vimos en el tema 2 dedicado a las ecuaciones de Maxwell en el dominio de
la frecuencia, cuando la longitud de onda de la excitación a una red es del orden de
magnitud (o menor) que las dimensiones de la misma, o dicho de otra manera, cuando el
período de la señal es del orden o menor que el tiempo de propagación de la señal a lo
largo del circuito, las leyes de Kirchoff correspondientes al análisis de circuitos con
parámetros localizados ya no son aplicables. En este caso el análisis que debe llevarse a
cabo para estudiar la transmisión de una señal electromagnética es el denominado de
línea de transmisión, en el que los parámetros usuales de la teoría de circuitos
resistencias, inductancias y capacidades (R, L, C), han de considerarse distribuidos a lo
largo de ella, en lugar de localizados. Realmente, este modo de análisis encontrará
justificación rigurosa a partir de las ecuaciones de Maxwell en capítulos posteriores.
Este es el caso de la líneas de transmisión, en las que la frecuencia de utilización es tal
que la longitud de la línea es comparable con la longitud de onda o incluso varias veces
mayor. Como consecuencia, en nuestra representación mediante un circuito equivalente,
seleccionaremos una pequeña sección "dz" de línea de transmisión uniforme, con objeto
de que en ella sí sean aplicables las leyes de Kirchoff para circuitos habituales. Además,
para que no haya radiación de energía electromagnética, la sección transversal de los
conductores de la línea de transmisión así como su separación debe ser muy pequeña
comparada con la longitud de onda. El circuito en parámetros distribuidos de la línea de
transmisión total se puede obtener conectando en serie todos los circuitos equivalentes
desarrollados para cada una de las secciones.
2.1 Ondas en una línea de transmisión ideal
En la figura 2a se muestra una línea de transmisión uniforme de dos conductores
Electromagnetismo
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cilíndricos (hilos) paralelos. Consideraremos los conductores perfectos, es decir, con
conductividad infinita. Los conductores se extienden desde z=0 hasta infinito, formando
una línea de transmisión semiinfinita. En z=0 se aplica una tensión vg(t); si se conecta el
generador en t=0, a lo largo del conductor superior fluye una corriente i(t). Además,
debe retornar una corriente -i(t) por el conductor inferior, ya que la corriente en el
generador debe ser continua. Esta corriente que retorna, se produce por la acción del
campo eléctrico que se establece entre los dos conductores. Puesto que la línea de
transmisión es semiinfinita, no existe un camino directo entre los conductores superior e
inferior, por lo que supondremos que hay una capacitancia distribuida "C", por metro,
entre los dos conductores; así, tenemos una corriente de desplazamiento que fluye desde
el conductor superior hacia el inferior.
La corriente eléctrica provoca un campo magnético alrededor de los conductores,
por lo que la línea de transmisión también tendrá una inductancia serie distribuida L, por
metro. Podemos, entonces, modelar una sección diferencial dz de esta línea de
transmisión como una inductancia serie Ldz y una capacitancia paralelo Cdz, tal y como se
muestra en la figura 2b. Si los conductores tuviesen conductividad finita, se debería
incluir, además, una resistencia serie en el circuito equivalente de una sección diferencial
C. Lo mismo sucedería si el espacio entre los conductores estuviera lleno con un material
dieléctrico con pérdidas; tendríamos, entonces, que considerar una conductancia paralelo
"G" en el circuito equivalente. Sin embargo, no vamos a considerar, por ahora, estos dos
últimos efectos.
Puesto que los efectos electromagnéticos se propagan a una velocidad finita "c"
(velocidad de la luz en el vacío), la tensión v(z,t) y la corriente i(z,t) en un punto
arbitrario "z" de la línea de transmisión serán cero hasta que haya pasado un tiempo z/c
después de que el generador se haya conectado. Veremos que el generador lanza ondas
de tensión y corriente a la línea de transmisión que se propagan con velocidad finita. Las
ecuaciones que describen estas ondas se obtienen aplicando las leyes circuitales de
Kirchoff al circuito equivalente de una sección diferencial de la línea de transmisión,
junto con las relaciones terminales (condiciones de contorno) que se deben cumplir en el
generador.
Sean v(z,t) e i(z,t) la tensión y la corriente, respectivamente, en un punto
arbitrario "z" de la línea de transmisión. A una distancia diferencial "dz" más allá, la
∂v
∂i
tensión y la corriente habrán cambiado una pequeña cantidad ( ∂z )dz y ( ∂z )dz ; por lo
tanto, la tensión y la corriente en z+dz serán
v(z + dz,t) = v(z,t) +
∂v(z,t)
dz
∂z
i(z + dz,t) = i(z,t) +
∂i(z,t)
dz
∂z
5
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Electromagnetismo
Figura 2
La suma de todas las caídas de potencial a lo largo del circuito deben ser cero;
entonces
-v + Ldz
∂i
∂v
+v +
dz = 0
∂t
∂t
y operando
∂v(z,t)
∂i(z,t)
=-L
∂z
∂t
(1.a)
La suma de las corrientes en el nudo de salida debe ser cero; por lo tanto
podemos escribir
i - Cdz
∂v
∂i
-idz = 0
∂t
∂t
y operando
∂i(z,t)
∂v(z,t)
=-C
∂z
∂t
(1.b)
Estas dos ecuaciones diferenciales describen la relación entre las ondas de
Electromagnetismo
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tensión y de corriente en la línea de transmisión.
Podemos obtener una ecuación para la tensión v(z,t) diferenciando la ecuación
(1.a) respecto a z y utilizando (1.b) para eliminar la corriente; así
∂ 2v(z,t)
∂ 2i
∂ 2v
=-L
= - L (-C
)
∂z ∂t
∂t 2
∂z 2
o
∂ 2v(z,t)
∂ 2v(z,t)
- LC
=0
∂t 2
∂z 2
(2.a)
De manera similar se obtiene la ecuación diferencial para la corriente
∂ 2 i(z,t)
∂ 2i(z,t)
- LC
=0
∂t 2
∂z 2
(2.b)
El producto LC tiene dimensiones de inverso de velocidad al cuadrado. Estas dos
ecuaciones son ecuaciones de onda unidimensionales y describen ondas propagándose a
una velocidad (línea de transmisión ideal en aire)
c=
1
LC
(3)
Consideremos la ecuacion
1 ∂ 2v
∂ 2v
=0
∂z 2 c 2 ∂t 2
+
-
Dos funciones arbitrarias de la forma f (t-z/c) y f (t-z/c) son soluciones de esta
ecuación, es decir, de la ecuación de ondas unidimensional, como ya demostramos en
temas anteriores para una onda plana.
+
+
La función f (t-z/c) es la misma que la función f (t) pero retrasada en el tiempo
una cantidad z/c, que es igual al tiempo que tarda la señal desde que sale del generador
hasta que alcanza la posición marcada por la coordenada z. Esta solución puede,
entonces, interpretarse como una onda propagándose en la dirección z positiva, por lo
cual se identifica con el superíndice "+". La otra solución representa una onda
propagándose en la dirección -z, y se identifica con el superíndice "-".
La solución general para la onda de tensión en la línea de transmisión es
v(z,t) = V + f + (t -
z
z
) + V - f -(t + )
c
c
(4)
7
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+
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-
donde V y V son amplitudes constantes. Usando la ecuación (1.b) podemos poner
∂i(z,t)
∂f +
∂f =-C (V+
+V )
∂z
∂t
∂t
Si consideramos que la corriente es de la forma
i(z,t) = I + f + (t -
z
z
) - I - f -(t + )
c
c
entonces
∂i
1
∂f +
∂f =- ( I+
+I)
c
∂z
∂t
∂t
sin más que utilizar la relación
±
±
∂f
∂f
=
z
∂z
∂( t ∓ )
c
z
)
±
c = ∓ 1 ∂f
c ∂t
∂z
∂(t ∓
Inspeccionado estas ecuaciones, vemos que la solución considerada para i(z,t) es
compatible con que la de la tensión v(z,t) si escogemos
I+=cCV+
I-=c CV-
El parámetro cC tiene dimensiones de admitancia y es también igual a
C
C
=
L . La admitancia característica Yc de la línea de transmisión viene definida por
LC
este parámetro. Su inverso se denomina impedancia característica de la línea de
1
transmisión, y vale
Zc=
L
1
=
C Yc
(5)
Utilizando este parámetro, la solución para las ondas de corriente en la línea de
1
Puesto que Zc está aquí definida como un número real, es más lógico llamarla "resistencia
característica", ya que el concepto de impedancia implica el uso de formas fasoriales apropiadas
para el estado estacionario con excitación sinusoidal. Éste es un caso especial e importante que
veremos en el tema posterior; sin embargo, aún utilizando líneas de transmisión con pulsos u
otras señales genéricas, es muy común referirse al parámetro definido Zc como impedancia
característica.
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transmisión se puede expresar como
i(z,t) =
1
z
1
z
V + f + (t - ) V - f -(t + )
c
c
Zc
Zc
(6)
Como puede observarse de las ecuaciones (4) y (6) la impedancia característica
de la línea es el cociente entre la tensión y la corriente para una de las ondas que viajan
en un punto e instante dados. El signo negativo para la onda viajando en el sentido
negativo de z es lógico, puesto que la onda se propaga hacia la izquierda y nuestro
convenio de corriente positiva es viajando hacia la derecha.
2.2 Línea de transmisión semiinfinita
Para el circuito en línea de transmisión de la figura 2a, el generador envía ondas
de tensión y corriente propagándose en la dirección z. Puesto que la línea de transmisión
se extiende hasta el infinito, no existirán ondas propagándose en el sentido z negativo.
Las ondas de tensión y corriente en la línea serán
z
)
c
z
i(z,t) = I + f + (t - )
c
v(z,t) = V + f + (t -
+
+
con V =I Zc. En el generador colocado en z=0, las condiciones terminales requieren que
V g (t) = V 0 v g (t) = I
g
i(0,t) = I
g
R g + v(o,t)
donde Ig es la corriente proporcionada por el generador y Rg es la resistencia de
generador. Estas condiciones terminales se pueden expresar de la forma
V + + (t) + + + (t)
f
V g (t) = V 0 v g (t) = R g
V f
Zc
V + + (t) =
f
I
Zc
g
de donde se obtiene
V + f + (t) =
Zc
Zc
V g (t) =
V 0 v g (t)
Zc+Rg
Zc+Rg
(7)
La onda de tensión que se propaga por la línea de transmisión viene, entonces,
dada por
9
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v(z,t) =
Electromagnetismo
z
z
Zc
Zc
V g (t - ) =
V 0 v g (t - )
c
c
Zc+R g
Zc+R g
(8.a)
con la correspondiente onda de intensidad
i(z,t) =
1
z
1
z
V g (t - ) =
V 0 v g (t - )
c
c
Zc+R g
Zc+Rg
(8.b)
En cualquier punto de la línea de transmisión, la forma de onda de la tensión es la
misma que la que produce el generador pero retrasada en el tiempo y reducida en su
amplitud por el factor
Zc
Z c + R g . La reducción de tensión es la habitual división de
tensión asociada al circuito equivalente de la figura 2c. Para una línea de transmisión
semiinfinita, un generador ve una impedancia igual a la impedancia característica de la
línea de transmisión.
3 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN TERMINADAS: TRANSITORIO
3.1 Carga resistiva
En la figura 3 se muestra una línea de transmisión terminada a una distancia "l"
del generador por una resistencia de carga RL. En el plano de la carga las condiciones
terminales son
v(l,t) = v L = i L R L
i(l,t) = i L
(9.a)
(9.b)
Si escogemos RL igual a la impedancia característica Zc, entonces
vL= iLRL= iL Z c
Para una onda propagándose en el sentido positivo del eje z
v(z,t) = Z c i(z,t)
por lo que en en plano z=l
v(l,t) = Z c i(l,t)
que satisface la condición terminal en el plano z=l. Por lo tanto, escogiendo RL=Zc la onda
positiva (la que se propaga en la dirección z positiva) será absorbida completamente por
la resistencia de carga y no se generará ninguna onda reflejada (la que se propaga en la
Electromagnetismo
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dirección z negativa) al final de la línea de transmisión. Como consecuencia, para evitar la
presencia de una onda reflejada, como por ejemplo en aplicaciones con circuitos
digitales, la línea de transmisión debe estar acabada en su impedancia característica.
Si R L ≠ Z c las condiciones terminales en la carga no se pueden cumplir sin la
introducción de una onda reflejada. La onda incidente en z=l viene dada por
v i (l,t) =
l
l
Zc
V 0 v g (t - ) = V + v g (t - )
c
c
Zc+Rg
i i (l,t) =
1
v i (l,t)
Zc
+
donde V es la amplitud de la onda de tensión incidente vi relativa a Vg. Para que la onda
reflejada se pueda combinar con la incidente de manera que se puedan cumplir las
condiciones terminales dadas en las ecuaciones (9), la onda reflejada debe tener la
misma dependencia temporal que la onda incidente. Por lo tanto, la onda reflejada tendrá
la forma
v r (z,t) = V - v g (t -
l z-l
z 2l
+
) = V - v g (t + - )
c
c
c c
El argumento debe contener el factor t+z/c más factores adicionales de retardo,
de forma que en z=l la onda reflejada tenga la forma vg(t-l/c). La onda de corriente
reflejada viene dada por
i r (z,t) = -
1
v r (z,t)
Zc
En el plano de la carga la corriente total de la línea de transmisión debe ser igual
a la corriente iL que fluye a través de RL, es decir
11
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1
l
( V + - V - ) v g (t - ) = i L
c
Zc
y la tensión total en la línea de transmisión debe ser igual a la tensión en la carga, es
decir
( V + + V - ) v g (t -
l
) =vL= iLRL
c
Dividiendo estas dos últimas ecuaciones entre sí se obtiene
V + +V - = R L
V + -V - Z c
que proporciona
V - = RL- Z c =
ΓL
V + RL+ Z c
(10)
-
El parámetro ΓL se llama coeficiente de reflexión en la carga. V es la amplitud de
+
la onda reflejada y V es la amplitud de la onda incidente y su cociente está determinado
únicamente por las condiciones en la carga.
Una vez que la carga ha producido la onda reflejada, la onda de tensión total en la
línea de transmisión será la suma de la onda de tensión incidente más la onda de tensión
reflejada, y ésto será así hasta el momento en que la onda reflejada alcance el plano
donde está el generador. Si la impedancia interna Rg del generador es igual a la
impedancia característica Zc de la línea, el generador absorbe por completo la onda
reflejada. Si, por el contrario, R g ≠ Z c el generador refleja la onda reflejada
produciendo una nueva onda propagándose en la dirección z positiva. Las condiciones
límites en el plano del generador se obtienen cortocircuitándolo; entonces, la onda
reflejada ve una terminación Rg y se reflejará con un coeficiente de reflexión Γg dado
por
Γg =
R g-Zc
R g+ Zc
(11)
El proceso continuará indefinidamente con ondas que viajan en ambos sentidos de
la dirección z y que se reflejan en la carga y en el generador cada t=nT (n=1,2,3,...) con T
el tiempo que tarda cada onda en recorrer la longitud de la línea de transmisión, es decir,
T=l/c.
Es conveniente hacer notar dos cosas. La primera es que las ondas que se van
reflejando en la carga y el generador pueden tener amplitud negativa puesto que ΓL o Γg
(o ambos) pueden ser negativos. La segunda es que, excepto para cargas
correspondientes a circuito abierto o cortocircuito, ΓL y Γg son menores que la unidad.
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Como consecuencia, las sucesivas ondas reflejadas lo hacen con cada vez menor amplitud
dando lugar a un proceso convergente. Es interesante calcular el valor final de la tensión
+
entre los terminales de la resistencia de carga VL. Si V1 es la amplitud en la carga de la
onda de tensión que envía el generador, es decir
V +1 =
Zc
V0
Zc+Rg
con las sucesivas reflexiones en el generador y la carga podremos escribir
V L = V +1 + V -1 + V +2 + V -2 + V +3 + V -3 + ...
= V +1 (1 + Γ L + Γ g Γ L + Γ g Γ2L + Γ2g Γ2L + Γ2g Γ3L + ...
= V +1 [(1 + Γ g Γ L + Γ2g Γ 2L + ...) + Γ L (1 + Γ g Γ L + Γ 2g Γ2L + ...)]
= V +1 (
1
+
(12)
ΓL
)
1 - Γ g ΓL
1 - Γ g ΓL
1 + ΓL
= V +1 (
)
1 - Γ g ΓL
Análogamente encontramos la intensidad en la carga IL como
I L= (
V+
1 - ΓL
) 1
1 - Γ g ΓL Z c
(13)
3.1.1 Diagramas de reflexión
El procedimiento anterior "paso a paso" para calcular la tensión y la corriente en
un punto y tiempo dados de la línea de transmisión terminada en una carga resistiva
arbitraria llega a ser tedioso y difícil de visualizar cuando es necesario considerar
muchas reflexiones. En estos casos, es muy útil emplear una construcción gráfica
denominada diagrama de reflexión. Comenzaremos por construir un diagrama de
reflexión en tensión. En tal diagrama se dibuja el tiempo transcurrido después del
cambio en las condiciones del circuito en función de la distancia z al plano del generador.
El diagrama de reflexión en tensión para la línea de transmisión de la figura 3 se muestra
en la figura 4.
+
El diagrama comienza con una onda V1 en t=0 que viaja desde el generador (z=0)
en la dirección z positiva con velocidad u = 1/ LC (u=c en el vacío). Esta onda está
+
representada por la línea recta desde el origen marcada con V1 y tiene una pendiente
+
positiva igual a 1/u. Cuando V1 alcanza la carga situada en z=l, se crea una onda reflejada
+
V1 = ΓL V1 siempre que RL no sea igual a Zc. La onda V1 viaja en la dirección z negativa y
+
viene representada por la línea recta marcada con ΓL V1 , y tiene una pendiente negativa
igual a -1/u. Esta onda alcanza el generador cuando ha transcurrido un tiempo t=2T
+
+
+
(T=l/u) dando lugar a una onda reflejada V2 = Γg V2 = Γg ΓL V1 , y que viene representada
13
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Electromagnetismo
por la segunda línea con pendiente positiva. Este proceso continua en un sentido y otro
indefinidamente. El diagrama de reflexión en tensión se puede utilizar para obtener la
distribución de tensión a lo largo de la línea de transmisión en un tiempo dado así como la
variación de tensión en función del tiempo en un punto arbitrario de la línea.
Supongamos que queremos conocer la distribución de tensión a lo largo de la línea
en t=t4 (3T<t4<4T); procederíamos como sigue:
1.-
Marcar t4 en el eje temporal (vertical) del diagrama de reflexión en tensión.
2.-
Dibujar una línea horizontal desde t4, que interseccione la línea con pendiente
Electromagnetismo
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positiva en el punto P4. Todas las líneas por encima de P4 son irrelevantes en
nuestro problema puesto que pertenecen a t>t4.
3.-
Dibujar una línea vertical por P4 hasta cortar al eje z (horizontal) en z1. El
significado de z1 es que en el rango 0<z<z1 (a la izquierda de la línea vertical) la
+
+
+
tensión tiene un valor igual a V 1 + V 1 + V 2 = V 1 (1 + Γ L + Γ g Γ L ) ; y en el rango
z1<z<l
V
(a
++ -+ +
1 V1 V2
la
derecha
de
la
línea
vertical)
la
tensión
es
+ V -2 = V +1 (1 + Γ L + Γ g Γ L + Γ g Γ2L ) . Por lo tanto se produce una
2 +
discontinuidad en la tensión en z=z1 de valor Γ g Γ L V 1 .
4.-
La distribución de tensión a lo largo de la línea en t=t4, V(z,t4) se muestra en la
figura 5a, para RL=3Zc (ΓL=1/2) y Rg=2Zc (Γg=1/3).
Para encontrar la variación de la tensión en función del tiempo en un punto z=z1,
usamos el procedimiento siguiente
1.-
Dibujar una línea vertical interseccionando los puntos P1 al P5 (figura 4), y así
sucesivamente. (Existirían un número infinito de tales intersecciones siempre que
RL y Rg fueran ambos diferentes de Zc).
2.-
Desde esos puntos de corte, dibujar líneas horizontales hasta interseccionar el
eje temporal en los puntos t1 al t5, y así sucesivamente. Éstos son los instantes en
los que una nueva onda de tensión llega a z=z1 y cambia su tensión bruscamente.
3.-
El gráfico de V(z1,t) se muestra en la figura 5b para las mismas condiciones
anteriores. Cuando t crece indefinidamente, la tensión en z1 (y también en otros
puntos de la línea de transmisión sin pérdidas) tiende al valor 3V0/5 dado por la
ecuación (12).
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Electromagnetismo
Figura 5
De la misma manera que hemos hecho para el diagrama de reflexión en tensión se
puede construir un diagrama de reflexión en intensidad. La esencia en su construcción es
exactamente la misma que para el diagrama en tensión con la única diferencia del cambio
de signo asociado con la corriente que viaja en la dirección z negativa. El diagrama de
reflexión en intensidad se puede emplear para determinar la distribución de corriente a
lo largo de la línea de transmisión así como la variación de la corriente en función del
tiempo en un punto particular de la línea, sin más que seguir los pasos arriba indicados.
Para la línea de la figura 3 y con los valores antes utilizados el diagrama de reflexión en
intensidad se muestra en la figura 6 y el transitorio describiendo la variación de la
intensidad en z1 en función del tiempo en la figura 7.
Electromagnetismo
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3.2 Carga reactiva
Hemos visto que cuando la resistencia de carga no es igual a la impedancia
característica de la línea de transmisión, la tensión o corriente incidente produce una
onda reflejada con su misma dependencia temporal y la razón entre las amplitudes de las
ondas incidente y reflejada es una constante que hemos llamado coeficiente de
reflexión. Sin embargo, si la terminación es un elemento reactivo tal como una
inductancia o una capacitancia, la onda reflejada no tendrá la misma dependencia
temporal (es decir, no tendrá la misma forma) que la onda incidente. En tales casos, no es
factible la utilización de un coeficiente de reflexión constante, siendo necesario resolver
una ecuación diferencial en la terminación para determinar el comportamiento
17
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Electromagnetismo
transitorio.
Consideremos una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica
Zc (real) terminada en z=l en una inductancia L (figura 8a). Aplicamos una tensión de
continua V0 en z=0 mediante un generador de impedancia interna Zg=Zc. Si en el instante
t=0 se conecta dicho generador se produce una onda que se propaga en la dirección z
positiva (viajando hacia la carga) cuya amplitud es
V+=
V0
2
Cuando alcance la carga, una vez transcurrido un tiempo t=l/u=T, se produce una
+
onda reflejada v (t) y queremos encontrar la relación entre v (t) y V . En z=l, se cumple
que cuando t ≥ T
v L(t) = V + + v -(t)
1
[V + - v -(t)]
i L(t) =
Zc
di L
v L(t) = L L
dt
De las dos primeras de estas ecuaciones se obtiene
v L(t) = 2V + - Z c i L(t)
(14)
Esta ecuación describe la aplicación de las leyes de Kirchoff de las tensiones al
circuito mostrado en la figura 8b, que es el circuito equivalente en la carga para t ≥ T .
Sustituyendo el valor de vL(t) en la ecuación (14) se obtiene la siguiente ecuación
diferencial de primer orden con coeficientes constantes
LL
cuya solución es
di L(t)
+ Z c i L(t) = 2V +
dt
Electromagnetismo
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i L(t) =
Zc
2V +
[1 - e -(t -T) L L ]
Zc
para t ≥ T
18
(15)
+
que proporciona correctamente i L(T) = 0 e i L( ∞ ) = 2V / Z c . La tensión en los
terminales de la inductancia es
v L(t) = L
Zc
di L(t)
= 2V + e -(t -T) L L
dt
para t ≥T
(16)
La amplitud de onda reflejada es
v -(t) = v L(t) - V + = 2V + [ e -(t -T)
Zc
LL
-
1
]
2
para t > T
(17)
Esta onda reflejada viaja en la dirección z negativa. La tensión en un punto
+
cualquiera z=z1 de la línea es V antes de que la onda reflejada por la carga alcance ese
+
punto, t-T<(l-z1)/u, e igual a V + v (t-T) después.
-
En las figuras 9a,b,c se dibujan iL(t), vL(t) y v L(t) en z=l. La distribución de
tensión a lo largo de la línea para T<t1<2T se muestra en la figura 9d. Obviamente, el
comportamiento transitorio de una línea de transmisión con una terminación reactiva es
más complicado que con una terminación resistiva.
Para una terminación de tipo capacitivo (figura 10) el proceso a realizar es similar
al anterior, siendo válidas las ecuaciones anteriores para z=l con la siguente ligadura
entre la tensión y la intensidad en la carga
i L(t) = C L
dv L(t)
dt
con lo que se obtiene la siguiente ecuación diferencial
CL
1
2 +
di L(t)
+
v L(t) =
V
dt
Zc
Zc
para t ≥ T
19
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
Figura 9
La solución de esta ecuación es
1
v L(t) = 2V + [1 - e -(t -T) Z c C L ]
para t ≥ T
(18)
y la corriente en la capacitancia es
2V + -(t -T) 1
e
i L(t) =
Z cC L
Zc
para t ≥T
(19)
A su vez la amplitud de la onda reflejada es
v -(t) = 2V + [
1
1
- e -(t -T) Z cC ]
2
-
para t ≥ T
(20)
Los gráficos de vL(t), iL(t) y v L(t) en z=l se muestran en las figuras 11a,b,c. La
distribución de tensión para T<t1<2T se muestra en la figura 11d.
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
20
3.3 Solución mediante la transformada de Laplace
Aunque los diagramas de reflexión de la sección anterior proporcionan una visión
intuitiva del comportamiento transitorio de una línea de transmisión, a veces es
necesario o deseable obtener una solución analítica del problema en concreto. En esta
sección veremos cómo utilizando el método de la transformada de Laplace de la teoría de
circuitos se puede obtener la respuesta temporal de una línea de transmisión sin
pérdidas. Para ilustrar el proceso de resolución vamos a resolver el caso que se muestra
en la figura 12, y que consiste en una línea de transmisión sin pérdidas cortocircuitada
conectada a un generador adaptado que proporciona una tensión escalón de amplitud V0.
Figura 12
Las ecuaciones del telegrafista, que por comodidad vamos a repetir aquí, para
21
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
este caso son
∂v(z,t)
∂i(z,t)
+L
=0
∂z
∂t
∂i(z,t)
∂v(z,t)
+C
=0
∂z
∂t
(21.a)
(21.b)
La transformada de Laplace F(s) de una función f(t) se define como
F(s) = _ [f(t)] ) =
∞
∫ f(t) e -st dt
0
son
Como referencia, algunas de los resultados básicos de la transformada de Laplace
L[
∂f(t)
] = s F(s) - f( o + )
∂t
L [U(t)] =
1
s
L [f(t - b)] = F(s) e -sb
(22)
(23)
(24)
En las ecuaciones anteriores se supone que f(t)=0 para t<0. Aplicando la ecuación
(22) a las ecuaciones (21) se obtienen las ecuaciones del telegrafista en el dominio
transformado
∂V(z, s)
+ sLI(s, z) - Li(z, 0 + ) = 0
∂z
∂I(z, s)
+ sCV(s, z) - Cv(z, 0 + ) = 0
∂z
(25a)
(25b)
donde V(z,s) e I(z,s) son las transformadas de Laplace de v(z,t) e i(z,t),
respectivamente. Para resolver estas ecuaciones y encontrar V e I, que son funciones de
las variables independientes z y s, necesitamos las condiciones de contorno en z=0 y z=l
en z = 0 :
−V0 + i (0,t )Zc + v (0,t ) = 0
en z = l :
V(l,t) = 0
(26a)
(26b)
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
22
En el dominio transformado las ecuaciones anteriores son
-V 0
+ I(0, s) Z c + V(0, s) = 0
s
(27a)
V(l, s) = 0
(27b)
También se requieren las condiciones iniciales. Debido a la velocidad finita de
+
propagación, podemos afirmar que la tensión y la corriente en t=0 son cero en todos los
puntos de la línea de transmisión. Entonces
v(z, 0 + ) = i(z, 0 + ) = 0
para 0 < z ≤ l
Con todo ésto, las ecuaciones (25) se reducen a
∂V
+ sLI = 0
∂z
∂I
+ sCV = 0
∂z
(28a)
(28b)
de las que se puede obtener una ecuación con sólo V(z,s) como
∂ 2V
- s 2 LCV = 0
2
∂z
cuya solución general para V es
z
z
V(z, s) = A e -s u + B e s u
(29)
donde u es la velocidad de propagación en la línea (u=c en el vacío). Como ya hemos visto,
estos dos términos representan ondas viajando en las direcciones z positiva y negativa.
Usando la ecuación (28a) podemos despejar la onda de intensidad I
I(z, s) = -
1 ∂V
A -s z B s z
=
e ue u
sL ∂z Z c
Zc
(30)
Ahora debemos determinar las constantes desconocidas A y B aplicando las dos
condiciones de contorno dadas por las ecuaciones (27)
l
l
l
V0
V V0
en en
z =zl= 0 Ae--s u ++ ABe- Bs +u A
= +0B=>= 0B ==>- A0= e -2s u
s
2s 2s
23
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
La solución para V(z,s) es entonces
V(z, s) =
z
2l - z
V0
[ e -s u - e -s( u ) ]
2s
(31)
Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace se obtiene la
transformada inversa de la ecuación anterior, es decir, la solución en el dominio del
tiempo
v(z,t) =
z
2l z
V0
[U(t - ) - U(t + )]
2
u
u u
(32)
Para 0<t<l/u sólo está presente el primer término, y representa la onda de tensión
incidente de amplitud Vg/2 que viaja hacia la carga, como muestra la figura 13a. Para
t>l/u, la onda incidente se ha reflejado completamente en la carga con un coeficiente de
reflexión igual a -1. La onda reflejada va cancelando la onda incidente a medida que va
viajando hacia el generador, como muestra la figura 13b. Consecuentemente, la tensión
que se ve a la entrada de la línea de transmisión es un pulso, como se ve examinado la
ecuación (32) para z=0
v(0,t) =
2l
V0
[U(t) - U(t - )]
2
u
y que se dibuja en la figura 13c. La duración del pulso es 2l/u, que puede ser un valor muy
pequeño. Por ello, un circuito como el analizado aquí se utiliza a veces para generar pulsos
estrechos.
Figura 13
4. REFLECTOMETRÍA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
La caracterización de dispositivos y componentes microondas se puede conseguir
midiendo sus propiedades de reflexión y transmisión en función de la frecuencia. Sin
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
24
embargo, una caracterización completa del dispositivo exige, a menudo, medidas sobre
una banda ancha de frecuencias. Esta información banda ancha se puede obtener
haciendo un barrido de la frecuencia en el rango deseado o aplicando un pulso o un salto
de tensión. Basándose en la transformada de Fourier del pulso o el salto aplicado, se
puede demostrar que la forma de onda contiene un espectro de frecuencias, que en el
caso ideal de que la función tensión aplicada sea una función delta, la banda de
frecuencias se extendería desde cero al infinito. Claramente, en la práctica es imposible
generar una pulso de tensión en forma de función delta con un tiempo de subida nulo.
Esta es la causa por la que un análisis en el dominio del tiempo no proporciona
información sobre un ancho de banda frecuencial infinito. A menor tiempo de subida
mayor ancho de banda. Es claro, por lo tanto, que la información deseada en un rango de
frecuencias dado se puede obtener bien a través de técnicas de barrido en frecuencia,
bien por medidas de la respuesta del sistema a una entrada de tensión tipo pulso corto o
salto de tensión. En otras palabras, la respuesta transitoria del dispositivo o componente
microondas junto con un análisis simple mediante la transformada de Fourier puede
utilizarse para una caracterización completa y ancha banda del dispositivo, en lugar del
repetitivo de medir frecuencia a frecuencia o bien con medidas de barrido de
frecuencia.
Otra ventaja de la caracterización en el dominio del tiempo es que facilita la
separación en el tiempo de la respuesta proporcionada por diferentes discontinuidades
que se produzcan a lo largo del sistema en línea de transmisión. En medidas en el dominio
de la frecuencia, donde habitualmente se utilizan tensiones sinusoidales, se obtienen
coeficientes de reflexión y transmisión compuestos de contribuciones de todas las
discontinuidades, y es bastante difícil descomponer estos valores medidos en las
contribuciones que cada una de las discontinuidades colocadas a lo largo de la línea de
tranmsisión hace al valor total. En medidas en el dominio del tiempo, las contribuciones
debidas a varias discontinuidades a lo largo de la línea están todas separadas en el
tiempo y, por tanto, se pueden reconocer individualmente. Por ésto, se han utilizado
durante mucho tiempo medidas en el dominio del tiempo para localizar fallos en cables a
lo largo de líneas telefónicas. Los analizadores vectoriales modernos tienen posibilidad
de aislar la información de varias discontinuidades y realizar un análisis posterior en el
dominio de la frecuencia.
El sistema que se emplea para realizar medidas en el dominio del tiempo se
conoce como reflectómetro en el dominio del tiempo (TDR). En la figura 14 se muestra un
diagrama de bloques de un TDR, que básicamente contiene los siguientes componentes
1.-
Un generador de tensión que proporciona la entrada en forma de salto de tensión
a la línea de transmisión.
2.-
La cabeza de muestreo que incluye una sonda de alta impedancia para muestrear
la tensión a lo largo de la línea de transmisión.
3.-
Un osciloscopio donde ver la tensión a lo largo de la línea de transmisión.
4.-
El dispositivo a medir.
25
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
Hay que notar que la sonda de muestreo realmente mide la tensión total VG+VR a
lo largo de la línea. Por lo tanto, para obtener la función salto respuesta al dispositivo a
medir, se debe restar el salto en tensión de la onda incidente de la señal mostrada en el
osciloscopio.
Vamos a ver algunas de las aplicaciones del TDR.
4.1 Localización de desadaptaciones resistivas
Supongamos que el dispositivo test de la figura 14 es una línea de transmisión
terminada en su impedancia (resistencia) característica Zc. Entonces, no se produce onda
reflejada y lo que se verá en el osciloscopio es la onda de tensión incidente (un escalón) a
medida que pasa por el punto de muestreo (figura 15). Pero si existe desadaptación en la
carga, parte de la onda incidente se refleja. Como ya se ha dicho, la onda reflejada
aparecerá en la pantalla del osciloscopio sumada algebraicamente a la onda incidente,
como muestra la figura 16.
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
26
La onda reflejada se identifica fácilmente puesto que se ve, en el osciloscopio,
separada en el tiempo de la incidente. Esta situación proporciona información suficiente
para determinar la separación "D" entre el punto de muestreo y la desadaptación. Si "u"
es la velocidad de propagación en la línea y "T" el tiempo de tránsito desde el punto de
muestreo hasta la carga y vuelta, que se puede medir en el osciloscopio como muestra la
figura 16, se verifica la relación
D=u
T
2
(33)
La velocidad de propagación "u" se puede determinar mediante una experiencia
con un cable de longitud conocida y del mismo tipo que el empleado anteriormente. Por
ejemplo, si el tiempo, medido en el osciloscopio, empleado por la onda incidente en viajar
hasta la carga más el empleado por la onda reflejada en viajar desde una terminación en
circuito abierto hasta el principio de una línea de 120 cm es de 11,4 nseg, se obtiene una
10
velocidad u=2,1x10 cm/seg.
No sólo se puede localizar la desadaptación, también se puede calcular el valor de
27
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
+
la carga resistiva. Supongamos por ejemplo que la amplitud de la onda incidente Ei (V ) es
de 12 V y que la tensión detectada en el osciloscopio una vez que ha pasado por el punto
de muestreo la onda reflejada es V2=8 V. Por tanto, Er=(V )=V2-Ei=-4V. Esto da lugar a un
+
coeficiente de reflexión de -1/3 (Γ=Er/Ei=V /V ); si la impedancia característica de la
línea de transmisión es Zc=50Ω, se obtiene el valor de la resistencia de carga como
Γ=
RL- Z c
=> R L = 25 Ω
RL- Z c
4.2 Discontinuidades múltiples
Una de las virtudes del TDR es su habilidad para manejar dispositivos con más de
una discontinuidad como, por ejemplo, el mostrado en la figura 17. La pantalla del
osciloscopio mostraría en este caso un diagrama parecido al mostrado en la figura 18
(para el caso ZL>Zc1>Zc2).
Como se puede observar en la figura 18 las dos desadaptaciones producen
reflexiones que se pueden analizar separadamente. La desadaptación debida a la unión de
las dos líneas de transmisión genera una onda reflejada Er1 dada por
E r 1 = Γ1 E i =
Zc 2 - Z c 1
Ei
Zc 2 + Z c 1
(34)
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
28
Análogamente, la desadaptación en la carga crea una reflexión con un coeficiente
de reflexión
Γ2 =
Z L - Z c2
Z L + Z c2
(35)
Es necesario apuntar que la onda que incide sobre ZL no es Ei sino (1+Γ1)Ei. Como
consecuencia, la reflexión producida en la carga es
E rL = Γ 2 (1 + Γ 1 ) E i
(36)
que no es igual a Er2, ya que se produce una nueva reflexión en la unión de las dos líneas
de transmisión. La onda que retorna hacia el punto de muestreo es
E r 2 = (1 + Γ 11 ) E rL = (1 + Γ11 ) [ Γ2 (1 + Γ1 ) E i ]
(37)
1
pero como Γ 1 = - Γ 1 , Er2 se puede escribir como
E r 2 = [ Γ 2 (1 - Γ 12 )] E i
1
(38)
La parte de ErL reflejada en la unión de las dos líneas de transmisión (es decir
Γ1 E rL ) alcanza la carga y es reflejada por ella, y después de ser parcialmente reflejada
en la unión de las líneas alcanza el punto de muestreo. Ésto continua indefinidamente,
aunque transcurrido un cierto tiempo las sucesivas reflexiones van aproximándose a
cero. Por tanto, es conveniente indicar que aunque TDR es útil para observar múltiples
discontinuidades, hay que tener cuidado con las complicaciones que introducen cuando se
analizan en la pantalla del osciloscopio. Afortunadamente, en la mayoría de los casos
29
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
prácticos, las medidas se hacen sobre dispositivos que no presentan grandes
discontinuidades (es decir Z c 1 ≅ Z c 2 ) y el efecto de todas estas múltiples
discontinuidades es muy pequeño.
Por último, es importante conocer cuál es el comportamiento de las ondas que
llegan hasta el plano del generador. En general, la impedancia del generador puede no ser
igual a la impedancia característica de la línea de transmisión. En este caso, las ondas de
tensión que se producen en las desadaptaciones del dispositivo a medir, son reflejadas
por el generador complicando el análisis en la pantalla del generador. Por tanto, es "casi"
esencial que el generador esté adaptado a la línea de transmisión. En esta situación,
todas las reflexiones provenientes del dispositivo a medir pasan por el punto de
muestreo únicamente una vez, puesto que son absorbidas por la impedancia del
generador. Todo esto se muestra en las figuras 19a,b. En la primera de ellas se muestra
una foto de la pantalla del osciloscopio del TDR conectado a una línea de transmisión
(Zc=50Ω) acabada en una capacitancia, con el generador adaptado a la línea. En la foto
de la figura 19b, se introduce entre el generador y la línea otra de impedancia diferente
(Zc=75Ω) con lo que se desadapta el generador. La onda reflejada por la capacitancia
alcanza el generador, siendo reflejada por él. Ésta onda llega a la carga, se refleja,
vuelve hacia el generador, donde se refleja nuevamente y así sucesivamente. El proceso
continua indefinidamente, a menos que cada coeficiente de reflexión tenga módulo
unidad, y las reflexiones decrecen en intensidad de manera que sólo las primeras son
importantes.
4.3 Limitaciones por el tiempo de subida del escalón
El generador del TDR proporciona un escalón en tensión con un tiempo de subida
finito. En la figura 20a se muestra un caso típico de un generador de TDR con un tiempo
de subida de aproximadamente 150 pseg; además se puede apreciar también el
sobredisparo (figura 20b). El tiempo de subida tiene una importancia significativa en la
resolución entre dos discontinuidades muy próximas entre sí. Cuando dos
discontinuidades están tan próximas entre sí que la onda de tensión que deja pasar una
de ellas alcanza a la segunda antes de que el escalón haya "subido" totalmente, el
resultado es que en la pantalla del osciloscopio no se pueden separar en el tiempo
adecuadamente y, como consecuencia, no se pueden caracterizar cuantitativamente por
separado. El tiempo de subida también influye en las formas de las reflexiones
producidas por pequeñas capacitancias o inductancias. Vamos a estudiar con detalle este
caso.
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
30
Tratadas idealmente, las reflexiones producidas por pequeñas capacitancias e
inductancias poseen unas constantes de tiempo muy pequeñas, es decir, el paso entre el
estado en t=0 y t igual a infinito es muy rápido. Consideremos, por ejemplo, una
combinación serie R-L, con R=50Ω=Zc (Zc impedancia característica del cable que
-10
alimenta la combinación R-L) y L=10
H. Idealmente, la pantalla del osciloscopio
mostraría algo como lo de la figura 21a. En realidad lo que muestra es la figura 21b.
31
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Electromagnetismo
Cualitativamente, podemos interpretar lo que sucede en la figura 21b fijándonos
en que la constante de tiempo de la onda reflejada es tan pequeña que decae hasta su
valor final antes de que el sistema TDR haya alcanzado su valor final. A pesar de esta
limitación, todavía se puede obtener información cuantitativa sobre la magnitud del
pequeño inductor que causa la reflexión. Recordando la ecuación del coeficiente de
reflexión, que escribimos a continuación por comodidad
Γ=
E r Z L- Z c
=
E i Z L+ Z c
sustituyendo Z L = R + j ω L = Z c + j ω L
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
Γ=
32
j ωL
Z c + j ωL - Z c
=
Z c + j ωL + Z c 2 Z c + j ωL
Puesto que L es pequeña, el producto ωL será mucho menor que 2Zc a menos que
ω sea muy grande. Sin embargo, el tiempo de subida finito (lo cual limita el ancho de
banda) del TDR dicta que el espectro en frecuencia correspondiente al escalón no
contiene frecuencias por encima de cierta frecuencia de corte. Por lo tanto, podemos
despreciar ωL frente a 2Zc y escribir
Γ=
L
E r j ωL
=
=> E r =
(j ω E i )
2Z c
E i 2Z c
Supongamos, ahora, que la onda incidente es de la forma
E i = E e j ωt
entonces
j ω E i = j ω E e j ωt =
dE i
dt
por lo que podemos escribir
Er=
L dE i
2 Z c dt
Por lo tanto, la onda reflejada será una versión diferenciada de la onda incidente
y su magnitud proporcional a L/2Zc. Puesto que las señales er(t) (onda de tensión
reflejada) y su derivada temporal dei/dt se pueden leer de la pantalla del osciloscopio
(figura 22) se puede obtener el valor de L.
Como ejemplo, examinemos la figura 23 correspondiente a la foto de la reflexión
por un pequeño inductor en serie con una resistencia igual a la impedancia característica
de la línea de transmisión que los alimenta. En la parte superior se muestra la pantalla del
osciloscopio a escalas de 50 mv/cm se sensibilidad y 4 ns/cm de barrido. La parte
inferior es una vista expandida de la onda reflejada con una sensibilidad de 10 mv/cm y
un barrido de 400 ps/cm. De ella se obtiene que ermáx es 34 mv y la pendiente
aproximadamente 3 mv/ps. Si Zc=50 Ω
L≈
2 50 Ω
34 mv = 1,1x 10 -9 H
3 mv/ps
33
Tema 8 Líneas de Transmisión: análisis circuital y transitorio
Figura 23
Electromagnetismo
Electromagnetismo
Tema 8 Líneas de transmisión: análisis circuital y transitorio
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5 REFERENCIAS
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Iskander, M.F.: "Electromagnetic Fields and Waves", Prentice Hall, 1992.
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1987.
Pozar, D.M.: "Microwave Engineering", Addison-Wesley, 1990.
Rizzi, P.A.: "Microwave Engineering: Passive Circuits", Prentice Hall, 1988.
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