Aplicaciones de la Derivada

Apuntes de Matemáticas II. CBP02_ ITSA
APLICACIONES DE LA DERIVADA.-
Blas Torres Suárez
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la
variación que experimentan las imágenes, cuando aumentan o disminuyen
los valores del dominio.
Una función
f , definida en un intervalo dterminado, es creciente en este
intervalo, si para todo x1 , x2 , tales que x1  x2 , se cumple que
f ( x1 )  f ( x2 ) .
Una función
g , definida en un intervalo determinado, es decreciente en
este intervalo, si para todo par x1 y x2 tales que x1  x2 , se cumple que
g x1   g x2  .
En la gráfica de la izquierda se observa que:
la función es creciente entre a y b
la función es decreciente entre b y c
la función es creciente entre c y d
CRITERIO DE CRECIMIENTO DE UNA FUNCION:
La derivada de una función nos proporciona un criterio certero y fácil de utilizar, para determinar en qué
intervalos una función es creciente y en qué intervalos es decreciente:

Si la pendiente de la tangente a la curva en un punto c, es positiva (
f ' (c)  0 ), entonces la función es
creciente en dicho punto.
Si la pendiente de la tangente es negativa (
f ' (c)  0 ) entonces la función es decreciente.
 Si la pendiente de la recta tangente es igual a cero ( f ' (c)  0 ), la función no crece ni decrece.

Función creciente, pendiente positiva
Función decreciente, pendiente negativa
1
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PUNTOS CRÍTICOS:
Un punto x0 se denomina punto crítico de la curva
punto es igual a cero. En otras palabras:
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f , si la pendiente de la recta tangente a la curva en ese
x0 es un punto crítico si f ' ( x0 )  0
EJEMPLOS:
Determinar los intervalos en los que son crecientes o decrecientes cada una de las siguientes funciones:
a)
f ( x)  x 2  10 x  20
b)
f ( x)  x 3
c)
3
f ( x)  x 3  x 2  1
2
a) Para determinar los intervalos en los cuales la función
f ( x)  5x 2  20 x  12 , crece o decrece,
procedemos de la siguiente manera:
Derivamos la función e igualamos a cero para determinar los puntos críticos
f ' ( x)  2 x  10 o sea 2 x  10  0 , entonces x 
10
5
2
Luego, x=5 es un punto crítico de la función
Finalmente damos valores de prueba antes y después del punto crítico, para aplicar el criterio de
crecimiento.
La tabla siguiente muestra los valores de prueba en los intervalos correspondientes:
  x  5
Intervalos
Valor de Prueba
Signo de f ' ( x)
Comportamiento de
O sea que
4
f
5  x  
6
f ' (4)  2  0
f ' (5)  2  0
decreciente
creciente
f ( x)  x  10 x  20 es decreciente en el intervalo (,5) y creciente en el intervalo
2
(5,) , lo que se puede corroborar el siguiente gráfica:
2
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b)
f ( x)  x
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3
Derivamos e igualamos a cero
f ' ( x)  3x 2 = 0 , entonces x  0  0
Luego, x= 0 es un punto crítico de la función
Finalmente damos valores de prueba antes y después del punto crítico, para aplicar el criterio de
crecimiento.
La tabla siguiente muestra los valores de prueba en los intervalos correspondientes:
Intervalos
Valor de Prueba
Signo de f ' ( x)
Comportamiento de
O sea que
  x  0
0  x  
-1
1
f ' (1)  3  0
f ' (1)  3  0
creciente
creciente
f
f ( x)  x 3 es creciente en el intervalo
(, ) , o sea en todo el dominio de la funciónlo que se
puede corroborar en la gráfica:
c)
3
f ( x)  x 3  x 2  1
2
f ' ( x)  3x 2  3x = 0,
2
entonces 3x  3x  0 ; 3x( x  1)  0 o sea x  0 o x  1
Derivamos e igualamos a cero
Luego, x= 0 y x=1 son puntos críticos de la función
Finalmente damos valores de prueba antes y después de los
puntos críticos, para aplicar el criterio de crecimiento.
La tabla siguiente muestra los valores de prueba en los intervalos correspondientes:
Intervalos
Valor de Prueba
Signo de f ' ( x)
Comportamiento de
f
  x  0
0  x 1
-1
1/2
1  x  
2
f ' (1)  6  0
f ' (1/ 2)  (1/ 8)  0
f ' (2)  6  0
creciente
decreciente
creciente
3
f ( x)  x 3  x 2  1 es:
2
creciente en el intervalo (,0) ;
decreciente en el intervalo (0,1)
y creciente en el intervalo (1,)
O sea que
lo que se puede corroborar en la gráfica:
3
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Blas Torres Suárez
CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN
Otro aspecto que determina la gráfica de una función es su concavidad. A pesar de que una función sea
creciente, la manera en que crece puede variar. Observa las gráficas:
A la curvatura de una gráfica se le denomina concavidad.
Si en un intervalo dado, la tangente a la curva está simpre por encima de la función, la gráfica es cóncava hacia
abajo. Si la tangente está por debajo de la curva, la gráfica es cóncava hacia arriba.
El criterio para determinar la clase de concavidad de la gráfica de una función, nos lo ofrece la segunda
derivada:
f ' '  0 ), la curva es cóncava hacia arriba.
 Si la segunda derivada de una función es negativa ( f ' '  0 ), la curva es cóncava hacia abajo.
 Si la segunda derivada de una función es igual a cero( f ' '  0) , no se puede decidir acerca de la

Si la segunda derivada de una función es positiva (
concavidad.
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Ya sabemos determinar cuándo una función es cóncava hacia arriba y cuándo es cóncava hacia abajo.
¿Cómo podemos precisar en qué momento pasa de un tipo de concavidad a otra?
El punto donde una función cambia la forma de la concavidad de denomina punto de inflexión.
En general, x0 es un punto de inflexión de f si f " cambia de signo de un lado a otro de este punto.
x0 es un pundo de inflexión de la curva correspondiente a f x  , debe cumplirse que f " x0   0 .
No precisamente todo x0 que cumple f " x0   0 es punto de inflexión, pero este dato nos presenta las
Si un punto
posibles candidatos a puntos de inflexión.
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Un punto crítico
Blas Torres Suárez
x0 puede ser un punto de inflexión, un máximo o un mínimo.
Si es un punto de inflexión, ya sabemos reconocerlo.
Veamos cuando un punto crítico es un mínimo o un máximo.
Para determinar si un punto es máximo o mínimo aplicamos el criterio de la segunda derivada
Criterio de la segunda derivada:
f una función tal que f ' (c)  0 y cuya segunda derivada exixte en un intervalo abieto que contiene a c
1. Si f ' ' (c)  0 entonces f (c) es un mínimo relativo (o también se dice la función tiene un mínimo en c )
2. Si f ' ' (c)  0 entonces f (c) es un máximo relativo (o también se dice la función tiene un máximo en c )
Sea
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