Manual Básico - Grupo Constructor SEPSA SA de CV

MANUAL BÁSICO PARA EL DISEÑO
DE ELEMENTOS PREFABRICADOS
Ing. Rene Carranza Aubry
Ing. David F. Rodríguez Díaz
2009
R1
INTRODUCCIÓN
El presente “Manual del Estudiante” busca presentar de una manera clara los
principios necesarios para comprender como trabaja el concreto pretensado.
Enumera los conceptos de la mecánica de materiales que se deben manejar para
iniciar con el diseño de elementos prefabricados, presenta también los factores de
conversión de Unidades entre el sistema MKS y el SI mas usados en el diseño.
Se resaltan las características del concreto, el acero de presfuerzo y de refuerzo
que en combinación permite incrementar en gran manera la resistencia del
concreto, para dar innumerables soluciones a los problemas de ingeniería de
puentes y de Edificación industrializada.
Finalmente presenta 1 ejercicio académico para ejemplificar el calculo de
esfuerzos, así como 2 ejemplos que permiten entender el concepto de pérdidas, y
de cómo se puede diseñar un elemento tipo trabe cajón de puente vehicular.
Sirva esta modesta contribución a la formación de estudiantes de ingeniería civil,
ó para introducir a ingenieros en el diseño de concreto prefabricado.
CONTENIDO
 1ª Parte - Conceptos Básicos
 2ª Parte - Materiales
 3ª Parte - Ejercicios de Diseño
CONCEPTOS BASICOS
PRESFUERZO, CONCEPTOS.
DEFORMACIONES TIPICAS
UNIDADES/ CONCEPTOS BASÍCOS
LEY DE HOOKE / MÓDULO DE ELASTICIDAD
MOMENTO DE PRIMER ORDEN DE UN ÀREA Y CENTROIDE
MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN Ò MOMENTO DE INERCIA
ECUACIÓN GENERAL DE ESFUERZOS (ESCUADRÍA)
CONCEPTO DE PRETENSADO
CONCEPTO DE POSTENSADO
1ra PARTE
PRESFUERZO PARCIAL Y TOTAL
ETAPAS DE UN ELEMENTO POSTENSADO
3
TIPOS DE APOYO
PERDIDAS DE PRESFUERZO
CALCULO DE ESFUERZO EN ELEMENTOS PRESFORZADOS
RESUMEN DE ETAPAS Y ESFUERZOS
ESFUERZOS PERMISIBLES
FLEXIÓN
CORTANTE
CONCEPTOS BASICOS DEL
PRESFUERZO
•
El concreto presforzado consiste en crear deliberadamente
esfuerzos permanentes en un elemento estructural para
mejorar su comportamiento de servicio y aumentar su
resistencia.
•
Gracias a la combinación del concreto y el acero de
presfuerzo es posible producir en un elemento estructural,
esfuerzos y deformaciones que contrarresten total o
parcialmente a los producidos por las cargas gravitacionales
que actúan en un elemento, lográndose así diseños mas
eficientes.
DIAGRAMAS DE MOMENTOS
FLEXIONANTES
• Como trabaja el presfuerzo:
+
+
+
TRABES PRETENSADAS
PRETENSADO
+
TRABES POSTENSADAS
‐
POSTENSADO
DEFORMACIÒN TIPICA DE TRABES
PRETENSADAS
3)
1)
P
K1 (  W )
P
Pp + Presfuerzo
Agrietamiento a tension del concreto
TRANSFERENCIA
Wm + Wv
2)
4)
(Pp + Cm + Cv) + Presfuerzo
K2 ( W )
Fluencia del acero de presfuerzo
SERVICIO
Pp = Peso propio
K1(  w) = Suma de cargas factorizadas
Wm = Carga muerta
Wv = Carga viva
K2(  w) = Cargas incrementadas
CONCEPTOS BASICOS / UNIDADES
CONCEPTO
FUERZA
AREA
DEFORMACIÓN
UNIDADES
DEFINICIÓN
MKS
SI
Acción capaz de producir un
movimiento
Kg., Ton
1 Kgf = 9.81 N
1 Ton/ml x 9.81 = 9.81 KN/ml
Newton, KN
1N = 0.10197 Kgf
Kg/ml x 0.00981=Kg/ml
Las dimensiones que quedan
comprendidas dentro de un cuerpo.
cm.², m²
1m² = 10,000 cm²
mm.²
1cm ² = 100 mm ²
Cambio de forma, ley de Hooke
cm,m
mm.
RESISTENCIA
Y
ESFUERZO
Limite de capacidad.
Kg. / cm. ²
Fuerza por unidad de área
1
E
I
C
S
M
V
Módulo de elasticidad
Inercia
Centroide
Módulo de Sección
Momento Flexiónante
Cortante
Kg./cm²
4
cm
cm
cm³
Kg. cm, Kg.m, Ton.m
Kg, Ton.
Kg
 0.0986 MPa
cm 2
Pa , MPa
1N
1Pa  2
m
1MPa  1x10 6 N/M 2
Kg
1MPa  10.2 2
cm
Pa, MPa
4
mm.
mm.
mm³
N mm , KN mL
N KN.
LEY DE HOOKE : MÓDULO DE
ELASTICIDAD
Para estructuras dentro del rango elástico tenemos que el
esfuerzo es directamente proporcional a la deformación ε
   
B
B
Ley de Hooke.
(Robert Hooke matemático Ingles 1635-1703 )
L
E = Módulo de elasticidad ó módulo de Young [ Kg/ cm² ]
Tomas Young científico Ingles (1773-1829 )
Parámetro que caracteriza el comportamiento elástico de los materiales y
Se obtiene experimentalmente mediante una prueba de tracción.
C
A

 Alargamiento unitario
P
Esta ecuación se puede reescribir como:
(1)


E

P
AE
E
C

L
   L
Sustituyendo (2) en (1)
tenemos:
(2)


L
PL

AE
MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN DE
UN ÁREA
CENTROIDE DE UN ÁREA
CENTROIDE DE UN ÁREA SE DEFINE
COMO:
y
y
X
X
dA
A
0
c
Y
A
X
Momento de primer orden del Área A respecto a X
Qx   A ydA
Análogamente el momento de primer orden respecto a Y
Qy   A XdA
Y
0
X 
X
Qy
A
Qx
y
A
 El eje centroidal de una área irregular ó
compuesta es igual a la suma de Momentos
Estáticos de las áreas en que se divide entre
la suma total del Área.
EJEMPLO: MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN
Y CENTROIDE
Y
10
3
3
4
SECCIÓN
b
h
A=bh
y‫ﺄ‬
Q=Ax y‫ﺄ‬
1
10
5
50
22.5
1125
4
20
80
10
800
130

5
2
S1
C
20

Y=22.5
2
y =14.81 cm
Y=10
1
S2
x
y  QxA  1925
 14.81cm
130
1,925
MOMENTO DE SEGUNDO ÓRDEN Ó
MOMENTO DE INERCIA.
Momento de Inercia es una medida escalar que
refleja la distribución de la masa de un cuerpo en
rotación respecto al eje de giro.
Indica la resistencia de un cuerpo a rotar respecto
de un eje determinado
Radio de giro
r
x
Ix   A y 2 dA
y
dA
y1
dA
0
Y
d
X
Ix
A
y
Iy   A x 2 dA
X
A

A
c
0
1
X
X
Ix  Ix1  Ad 2
EJEMPLO DE MOMENTO DE
INERCIA Ix
y
h
Seleccionamos un elemento de área diferencial dA como
una franja horizontal de longitud b y espesor dy, como todos
los puntos de las franjas están a la misma distancia y del eje
X, el momento de inercia de la franja respecto dicho eje es:
x
0
dIx  y 2 dA  y 2 (bdy )
b
h
2
Integrando desde

y
Ix   A y 2 dA  
y
x
0
h
h
dy
h
h
h
hasta 
2
2
1 h3 h3
 b

3
8
8
(
y 2 bdy 
2
h
2
)  121 bh
3
Radio de giro ry
h
2
b
r
I

A
1
bh 3
12

bh
h
12
1
by 3
3
2
h
2
EJEMPLO: Determine el Ix del área mostrada
con respecto al eje centroidal x
y
2)
A1
20
MOMENTO DE INERCIA
Inercia de Área 1
d1=24
C
60
y1=70
d2=16
y2=30
Y=46
40
20
h
 (Ix1 )1  A1 d12  53,333 1600x242
y
Q=A y
80
20
1,600
‫ﺄ‬
70‫ﺄ‬
112,000
‫ﺄ ﺄ‬
A2
40
60
2,400
30
72,000
∑ = 4,000 cm²
( Ix ) 2  121 bh
11
A1

1
1
bh 3 
x80x20 3  53,333.3cm 4
12
12
Inercia de Área 2
A
y  Qx
Ai

 974,933cm 4
1) Localización del eje centroidal
b
1
1
[ Dimensiones en cm]
SECCIÓN
Ix
Ix
A2
20
x
184,000 cm³
184 , 000
 4 6 cm
4 , 000
Ix2   Ix

11 
 
2
3

1
x 40 x 60 3  720 , 000
12
A 2d 22  720,000  2400x16
2
 1,334,400c m 4
Inercia Total
Ix   Ix 



1 
Ix 
2
 974 ,933  1,334 , 400  2,309 ,333 cm 4
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE
AREAS PLANAS
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE
LA SECCIÒN
TRABES TIPO AASHTO
TIPO
I
Peralte
71
II
III
IV
V
91
115
135
160
A (cm²)
1,743
2,325
3,629
4,974
6,463
I (cm4)
926,273
2,056,660
5,257,638
10,261,070
21,565,200
y1 (cm)
32.00
40.07
51.2
61.5
81.3
y2
C
y1
y2 (cm)
Wo
(Kg/m)
39.00
418
51.00
558
63.8
871
73.5
1,194
73.84
1,551
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE
LA SECCIÒN
TRABES TIPO NEBRASKA
TIPO
NU 900
NU 1100
NU 1350
UN 1600
NU 1800
NU 2000
PERALTE
90
110
135
160
180
200
4,168.32
4,467.40
4,841.06
5,214.74
5,513.81
5,812.88
4,589,490.94
7,587,024.8
12,584,091.18
19,083,461.65
25,445,392.49
32,906,923.52
40.89
49.78
60.96
72.14
81.28
90.68
49.11
60.22
74.04
87.87
98.72
109.32
A (cm²)
I (cm4)
y1 (cm)
y2 (cm)
Wo
(Kg/m)
122.5
y2
C
18
97.5
1,000
1,072
1,161
1,251
1,323
1,395
y1
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE
LA SECCIÒN
TRABES TIPO CAJÒN
PERALTE
A = cm²
I =cm4
85
115
135
150
170
5,142.7
5,737.7
6,095.5
6,367
6,734
200
y2
4,905,294
10,541,098
15,669,164
20,306,424
27,602,737
51.6
69.2
80.6
89.1
100.3
33.4
45.8
54.4
60.9
69.7
1,234
1,377
1,463
1,528
1,616
C
9
y1=cm
y2=cm
Wo
Kg/m
15
y1
ECUACION GENERAL DE LA
ESCUADRIA
Wo
eje neutro
Caso general de carga axial Excéntrica
Y2
e
P
P Y1

My
σx   PA  Mx
y
x
Ix
Iy
Ó usando el módulo de sección
Esfuerzo flexionante.
σx

I

C
Mc
I
Ó
σx
My
I
Para cualquier distancia Y
Depende solo de la geometría de la sección
transversal y se conoce como módulo elástico
de sección y se denota por S
S 
I
C
Sustituyendo en el
  MS

flex.
My
σx   PA  Mx

Sx Sy
x 
Elementos mecánicos
Elementos geométricos
PRETENSADO
Producción en serie:
Características:
1) Se tensan los torones “antes” del colado.
2) Se requieren de muertos de anclaje o
moldes autotensables.
3) Se aplica a producción en serie en plantas
prefabricadoras.
4) Se reutilizan moldes e instalaciones.
5) El anclaje se da por adherencia.
6) Se requiere enductar torones para controlar
los esfuerzos durante la transferencia.
Aplica a:
Trabes de puentes y edificios, Losas extruidas,
Viguetas, Losas T, TT, TTV.
POSTENSADO
Anclaje
Gato
Viga
Tendon conducto
(a)
Diafragmas
Viga
Bloque extremo
Gato
Solido
Viga
(b)
Anclaje
Gato
Losa
Tendon apoyado
(c)
Características:
1) Se tensan los torones una vez que se ha
realizado el colado.
2) Se realiza en obra principalmente.
3) Se requiere dejar ductos ahogados y
ubicados según las trayectorias de cálculo.
4) Una vez colocados y tensados los torones
se requiere inyectar los ductos con mortero
para proteger a los torones.
5) La acción del postensado se ejerce
externamente por medio de anclajes
especiales.
Aplica a:
Dovelas y Trabes para puentes, Losas con
presfuerzo bidireccional,
Diafragmas de puentes, Vigas hiperestaticas.
PRESFUERZO PARCIAL Y TOTAL
El término de presfuerzo parcial se aplica a aquellos elementos que contienen en su
armado longitudinal, tanto su refuerzo ordinario como presforzado para resistir el momento
flexionante que actúe en este.
A su vez un elemento se considera con presfuerzo total cuando su índice de presfuerzo,
“Ip” esta comprimiendo 0.9 y 1 incluyendo los valores extremos. Si el índice de presfuerzo es
menor a 0.9 pero mayor o igual a 0.6, se considera una sección parcialmente presforzada y si el
índice de presfuerzo es menor a 0.6 se considera una sección sin presfuerzo, la expresión para
obtener el índice de presfuerzo es la siguiente.
Mrp
Ip =
Mrp + Mrr
Mrp = Momento resistente provocado por el acero de preesfuerzo
Mrr = Momento resistente provocado por el acero de refuerzo
Ip = Índice de presfuerzo
Una forma más sencilla de obtener el índice de presfuerzo es con la siguiente formula:
Asp Fsp
Ip =
Asp Fsp + As Fy
Asp = Área de acero de presfuerzo
As = Área de acero de refuerzo
Fsp = Esfuerzo en el acero presforzado cuando alcanza su resistencia
Fy = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo ordinario
REFUERZO, PRESFUERZO PARCIAL
Y PRESFUERZO TOTAL
MR
C
B
A
B
C
Edificacion
en sitio
Edificacion
Prefabricada
Puentes, Losas
o Trabes
A
Deflexión
C
Ip

(0.9 – 1)
B
Ip

0.6
A
Ip

Ip
0.9
 Ip  0.9

0.6
 Ip  1
Totalmente presforzada
Parcialmente presforzada
Reforzada o sin presfuerzo
ETAPAS DE UN ELEMENTO
PRESFORZADO
Para prefabricados se debe analizar:
1. Sacar del molde
2. En transporte
3. En montaje
4. Condiciones finales
Contra flechas
Flechas
DISEÑO
•
EQUILIBRIO DE FUERZAS
Externas
FUERZAS EN UN CUERPO
Internas
Entre dos cuerpos se genera una fuerza en el punto en que se tocan.
EXTERIORES
Equilibrio = exteriores + interiores = 0
INTERIORES
APOYOS
Simplemente apoyado:
Empotrado:
Cantiliver:
PERDIDAS DE PRESFUERZO
La magnitud de la fuerza de presfuerzo en un elemento no es constante, sino que esta va
perdiendo fuerza durante su vida útil. A este fenómeno se le conoce con el nombre de perdida de
preesfuerzo. Existen dos tipos de perdidas de presfuerzo, aquellas que se presentan
instantáneamente al aplicar el presfuerzo, y aquellas que dependen del tiempo para que se
presenten. También existen pérdidas que dependen de las cargas aplicadas a dichos elementos.
Las perdidas de presfuerzo que son inmediatas, se presentan por las siguientes razones:
*Deslizamiento del anclaje, ya que al momento en que la fuerza pretensora se transfiere de
los gatos a los anclajes, las cuñas de fricción que se emplean para sostener los cables de
presfuerzo, se deslizan una distancia pequeña antes de sujetar firmemente al cable, provocando
que este se afloje perdiendo consecuentemente algo de presfuerzo.
*Por acortamiento elástico del concreto, ya que al transferirse la fuerza de presfuerzo al
concreto, se provoca un acortamiento elástico en este, a medida de que este elemento se va
comprimiendo. Dicho acortamiento provoca que los cables de presfuerzo también sufran un
acortamiento ocurriendo por tal motivo una perdida de presfuerzo.
*Fricción. Solo en elementos postensados, debido a la curvatura intencional ó accidental.
PERDIDAS DE PRESFUERZO
Por otro lado las perdidas de presfuerzo que dependen del tiempo se deben a las
siguientes razones.
*Por contracción del concreto al momento de que este se seca, lo que provoca una
reducción en la deformación del presfuerzo traduciéndose en perdidas.
*Por relajamiento del acero esta es una propiedad del acero que se presenta en el
momento en que a la pieza se le aplican las cargas de servicio. Se puede decir que el
relajamiento es la perdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud
constante. La magnitud del relajamiento varia dependiendo del tipo y del grado de acero,
aunque las causas principales son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial.
*Se presentan también por escurrimiento ó flujo plástico del concreto, el cual es la
propiedad de que el material se deforma continuamente bajo un estado de esfuerzo o de carga.
Primeramente la deformación es elástica hasta que alcanza un valor constante, y este fenómeno
se traduce en perdidas de preesfuerzo a lo largo del tiempo.
METODOS PARA ESTIMACION DE
PERDIDAS
A)
METODOS DE ESTIMACIÓN
Se aplica en caso de no tener información para evaluar las
GLOBAL:
perdidas de presfuerzo. En elementos pretensados se pueden
suponer que la suma de las pérdidas varían entre 20 y 25 % de la
fuerza aplicada por el gato.
En postensados la suma de pérdidas, incluyendo las de fricción se
puede suponer de un 25 a un 30 % de la fuerza aplicada por el
gato.
B) ESTIMACIÓN INDIVIDUAL:
Se suma la contribución de cada una de ellas para obtener
la perdida total.
C) ESTIMACIÓN POR EL
MÉTODO DE INTERVALOS
Se efectúan estableciendo como mínimo cuatro intervalos
de tiempo, que toman en cuenta la edad del concreto en la
cual ocurre la perdida.
CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL METODO DE EVALUACION DE PERDIDAS
PRETENSADO
Estimación Preliminar
A
Estimación Definitiva
B
POSTENSADO
Estimación Preliminar
A
Estimación Definitiva
C
ESFUERZOS EN ELEMENTOS
PRESFORZADOS
Siempre que el concreto y el acero de un elemento estén trabajado dentro del rango
elástico, se pueden calcular los esfuerzos tanto de la fibra inferior como de la superior del
elemento provocados por la fuerza presforzante inicial mediante la superposición de los efectos
axiales y de flexión, por lo que:
Y2
e
Pi
fi  
Y1 Pi
Pi Pie
Y1

A
I
f2
Pi Pie

Y2
A
I
ƒ 1 = Esfuerzos en la fibra inferior
ƒ 2 = Esfuerzos en la fibra superior
Pi = Fuerza presforzante
A = Área de la sección simple
e
= Excentricidad del presfuerzo medida desde el centroide de la sección simple
Y1 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra inferior.
Y2 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra superior
I
= Momento de inercia de la sección del elemento de la sección simple
( - ) Compresión
( + ) Tensión
ESFUERZOS EN ELEMENTOS
PRESFORZADOS
En el momento en que se transfiere la fuerza presforzante al elemento, se presenta una contaflecha
en éste, lo que provoca que el elemento en vez de tener toda la superficie inferior de este como apoyo,
solo le queden algunos puntos de apoyo en los extremos, por lo que el peso propio de la pieza provoca
esfuerzos inmediatamente después de la aplicación de la fuerza presforzante y estos se calculan de la
siguiente manera:
Esfuerzos debidos al presfuerzo
fi  
Mo
P Pe
Y1
Y1

I
A
I
f2
P Pe

A
I
(1)
(1)
(2)
Y2
Mo
Y2
I
(2)
Esfuerzo debido al presfuerzo
Esfuerzo debido al peso
propio
ESFUERZOS EN ELEMENTOS
PRESFORZADOS
El siguiente estado de esfuerzos que se debe analizar es el momento en que se le aplica el firme
a la sección. Sin embargo, al encontrarse este en estado fresco, es una carga que en este momento
debe ser absorbida solamente por la sección simple del elemento, por lo que se presentan los siguientes
esfuerzos.
Mf = Momento flexionante debido al peso del firme.
Una vez que el firme ha adquirido su resistencia necesaria, se aplican las cargas muertas y vivas
adicionales. La sección se debe de revisar para ver que esfuerzos se presentan, ya incluyendo la
sección compuesta.
fic  
P Pe
( Mo  Mf )
( Mcm  Mcv )Y 1c

Y1 
Y1 
A I
I
Ic
f2
P Pe
( Mo  Mf )Y 2 ( Mcm  Mcv )Y 2c


Y2
A I
I
Ic
f 2* 
( Mcm  Mcv )
Y2*
Ic
Mcm = Momento flexionante causado por las cargas muerta
Mcv = Momento flexionante causado por las cargas vivas
El subíndice “ c ” en algunas letras significa que es de la sección
compuesta.
F2* = Fibra superior, incluyendo el firme de la pieza
Y2* = Distancia a la fibra superior, ya incluyendo el firme de la sección
ETAPAS DE UN ELEMENTO
PREFABRICADO
nb e
h sc
Y 2"c
Y2
h ss
-
Y2*
Compresión
Eje neutro seccion compuesta
Eje neutro seccion simple
e1
Asp
Y 1"c
Y1
Y 1"c
+
Tensión
PARAMETROS GEOMETRICOS
Sección
Sección
Simple
Compuesta
ƒp = Esfuerzo debido al presfuerzo axial.
ƒpe= Esfuerzo debido al presfuerzo excéntrico.
Etapa
Área
Sección Simple
Ass
Sección Compuesta
Asc
ƒpp= Esfuerzo debido al peso propio en sección simple.
ƒf= Esfuerzo debido al peso del firme.
ƒmc= Esfuerzo debido al peso de la carga muerta.
ƒcv= Esfuerzo debido al peso de la carga viva.
Propiedades
Iss
Iss
Sss =
Y1 ó Y2
Isc
Isc
Ssc =
Y1”c , Y2”c ó Y2*
Sección Simple
Sección Compuesta
Concreto
F’ci
F’c
ESFUERZOS PERMISIBLES
Existen ciertas restricciones en cuanto a los esfuerzos máximos a que pueden ser sujetados tanto el
concreto como el acero de los elementos pretensados y estos son los siguientes:
 Los esfuerzos permisibles en el concreto inmediatamente después de la transferencia del
preesfuerzo, y antes de las perdidas de preesfuerzo dependiente del tiempo deben ser
menores a:
*Esfuerzo a la fibra extrema a compresión
0.6 f’ci
*Esfuerzo en la fibra extrema a tensión
0.8
f’ci
en los extremos del elemento simplemente apoyado 1.6
f’ci
*Esfuerzo en la fibra extrema de tensión,
 f´ci = En Kg/cm2, es la resistencia a compresión del concreto a la edad en que ocurre la
transferencia. Esto ocurre en el concreto pretensado en el momento de que se cortan los
cables o se disipa la presión del gato.
 Cuando el esfuerzo a tensión excede a este valor, se requiere de acero de refuerzo en esta
área de la sección para que resista la fuerza total de tensión.
ESFUERZOS PERMISIBLES
•
Los esfuerzos máximos cuando se aplican las cargas muertas y vivas de servicio son:
–
Esfuerzo a la fibra extrema a compresión
0.45 f’c
–
Esfuerzo en la fibra extrema a tensión
0.6
–
Estos valores pueden excederse con tal que se justifique que el comportamiento estructural
del elemento será el correcto, y siempre y cuando el valor a tensión no sea mayor a 3.2 f’c
f’c
•
En el caso de que el valor a tensión sea mayor a este, se puede colocar acero de refuerzo en la fibra
a tensión, de tal forma que se considera un elemento parcialmente presforzado si su índice de
preesfuerzo así lo indica.
•
f´c = Kg/cm²
•
En lo que se refiere a los esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo, se entiende lo siguiente:
•
–
Debidos a la fuerza aplicada por el gato
0.8FSR
(15, 200 Kg/cm²)
–
Inmediatamente después de la transferencia
0.7FSR
(13,300 Kg/cm²)
FSR= Es el esfuerzo resistente del acero de preesfuerzo,en Kg/cm² (19,000 Kg/cm²)
FLEXION
Se puede calcular de una forma aproximada el acero de preesfuerzo a la falla con la siguiente
expresión, siempre que el esfuerzo efectivo en este no sea menor a 0.5 FSR.
Para elementos con cables adheridos.
fsp = Esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal.
fsr = Resistencia especificada en el acero de presfuerzo (19,000 Kg/cm2)
p
= Porcentaje de acero
f’’c
= Resistencia del concreto = 0.85 f*c; f*c= 0.8 f´c.
El porcentaje de acero esta dado por:
Ap = Área de presfuerzo en el área de tensión del elemento
b = Ancho de la cara compresión
d = Peralte efectivo de la sección
FLEXION
Partiendo de la base de que la compresión debe ser igual a la fuerza de tensión de los elementos,
la profundidad del bloque de esfuerzos a compresión, se puede calcular de la siguiente manera:
CT
Finalmente el momento resistente de la sección está dado por la siguiente expresión:
(*)
* Esta expresión esta afectada por un factor de reducción que en este caso para elementos a
flexión, su valor es de 0.9, de tal forma que la expresión queda de la siguiente manera:
*Mr  0.9Mn
RESISTENCIA AL CORTANTE
En elementos presforzados donde los cables están adheridos, la resistencia al cortante del
concreto está dado por la siguiente expresión:
Fr = Factor de resistencia, el cual para el cortante es igual a 0.8
b = Al ancho del alma
d = Peralte efectivo de la sección
f*c = 0.8 f’c
dp = a la distancia de la fibra extrema a compresión al centroide de los cables de preesfuerzo
M = Momento flexionante
V = Fuerza cortante
Sin embargo el valor mínimo de
Y no debe ser mayor a
Vcr = 0.5Fr d b
Vcr = 1.3Fr b d
f *c
f *c
RESISTENCIA AL CORTANTE
En secciones con preesfuerzo parcial se aplican las siguientes ecuaciones para obtener la
capacidad del concreto al cortante según el caso:
El refuerzo por tensión diagonal en vigas presforzadas estará formada por
estribos perpendiculares al eje de la pieza, de grado no mayor a 4200 Kg/cm2, o por malla
electrosoldada cuyo valor de fluencia no debe ser mayor a 4200 Kg/cm2.
La separación de los estribos cuando Vu es mayor a Vcr, está dada por la siguiente ecuación:
Av = Área transversal del refuerzo por tensión comprendido en una distancia S.
 = Es el ángulo que forma el refuerzo transversal con el eje de la pieza.
RESISTENCIA AL CORTANTE
Para la separación de los estribos en elementos totalmente presforzados existen las siguientes
limitaciones:
*Esta no debe ser menor a 5 cm
*Si Vu es mayor que Vcr pero menor o igual que :
1.5 Fr (b)(d ) f * c        (b)
*La separación no debe ser mayor que 0.75 h
h = peralte total de la pieza
*Si Vu es mayor la expresión (b)
*La separación de los estribos no deberá ser mayor que 0.37h
*Vu nunca debe ser mayor a:
2 . 5 Fr ( b )( d )
f *c
RESISTENCIA AL CORTANTE
En el caso de que la sección sea parcialmente presforzada, la separación de
los estribos se calcula con la misma ecuación, y las limitaciones serán las siguientes:
*La separación no debe ser menor de 5 cm
*Si Vu es mayor que Vcr, pero menor o igual a :
1.5Fr (b)(d ) f * c      (c)
*La separación máxima de los estribos no debe ser mayor que 0.5 d
*Si Vu es mayor que la expresión (c), la separación máxima de los estribos es
de 0.25d
En ningún caso se permite que Vu sea mayor que:
2.0 Fr (b)(d ) f * c
MATERIALES
CONCRETO, TIPOS.
VALORES DE DISEÑO Y MÓDULO DE ELASTICIDAD
2da PARTE
TORÒN, E, Fpu.
ACERO DE REFUERZO
ACERO ESTRUCTURAL
MALLA ELECTROSOLDADA
CONCRETO
Simple
Resistencia a la compresión, pero débil a la tensión
Reforzado
Para resistir tensiones se emplea acero de refuerzo, el acero
restringe el desarrollo de grietas originadas por la poca resistencia a la
tensión. También el refuerzo aumenta la resistencia del elemento,
para reducir las deformaciones debidas a las cargas de larga duración
y para proporcionar confinamiento.
Presforzado
Es la modalidad del concreto reforzado, en la que se crea un
estado de esfuerzos a compresión ante la aplicación de las cargas. De
este modo, los esfuerzos de tensión y producidos por las acciones
quedan contrarrestados ó reducidos.
CONCRETO
El concreto que se usa para presforzar se caracteriza por tener mayor resistencia con respecto al
utilizado en las construcciones ordinarias. Los valores comunes se encuentran de f´c=350 Kg/cm² a
f´c=500 Kg/cm² .
Se requiere de tales resistencias para poder hacer la transferencia del presfuerzo cuando haya
alcanzado un f´ci = 280 Kg/cm² .
VALORES PARA DISEÑO DE ACUERDO
A LAS NTC-CONCRETO.
VALORES MEDIDOS DE MÓDULO DE
ELASTICIDAD. E  K f ' c
CARACTERISTICAS DEL CONCRETO
EFECTO DE LA RELACIÒN AGUA – CEMENTO..
La resistencia del cemento depende del la relación agua / cemento;
cemento, menor resistencia.
A mayor relación agua /
CONTRACCIÓN POR SECADO
Uno de los efectos del fraguado del concreto es la disminución de volumen del mismo, esto es por la
evaporación del agua excedente de la que se requiere para la hidratación del cemento. Esta contracción
es proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla, si se requieren contracciones mínimas, la
relación agua- cemento debe ser mínima.
RELACIÓN DE POISSON
La relación entre deformación transversal y la longitudinal y su valor varia de 0.15 a 0.20.
DEFORMACIÓN POR FLUJO PLASTICO
Debido a la presencia de esfuerzos permanentes, las partículas que forman el concreto sufren un
reacomodo que modifica las dimensiones de los elementos. Depende de la magnitud de las
cargas permanentes; de las mezclas; de las condiciones de curado y de la edad en que el
concreto empieza a ser cargado.
CARACTERISTICAS DEL
CONCRETO

s máx
s
S2 - S1
E=
e2 - 0.000050
s

0.000050
e2 (0.40 

CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN DE
TORÓN (diferentes diámetros)
El esfuerzo de fluencia se calcula con
la deformación unitaria del 1%. Para el
toròn de ø ½” = 17,000 a 17,500 Kg/cm²
para acero normal y de baja relación
respectivamente
E = 2,000,000 Kg/cm²
Fsr ò Fpu= 19,000 Kg/cm²
A(torón de ½)= 0.987 cm²
El esfuerzo máximo al que se tensan
es igual a 0.8 fsr para toròn de ½”
= 15,200 Kg / cm2
Se utilizan principalmente aceros de Baja
relación ò LO-LAX.
ACERO DE REFUERZO
Es común el uso de acero de refuerzo en elementos de concreto presforzado para tomar los
esfuerzos cortantes y de torsión, los esfuerzos por temperatura, los esfuerzos de tension durante la
transferencia, los esfuerzos durante el transporte y dar confinamiento.
ACERO ESTRUCTURAL
Se emplea el Acero A-36 para accesorios metálicos que sirvan para diafragmas metálicos,
conexiones en edificaciones fc = 2,530 Kg / cm²
MALLA ELECTROSOLDADA
Por su fácil colocación se usa principalmente como armado en aletas (losas) de trabes cajón,
trabes T,TT y TTV
Fy = 5,000 Kg / cm²
EJERCICIOS DE DISEÑO
•
3ra PARTE
EJEMPLO 1
1.1 PRESFUERZO AXIAL
1.2 PRESFUERZO LIMITE NÚCLEO CENTRAL
1.3 PRESFUERZO A 7.5 cm FIBRA INFERIOR
EJEMPLO 2. DISEÑO DE VIGA DE CONCRETO
TOMANDO EN CUENTA LAS PERDIDAS
EJEMPLO 3. DISEÑO DE TRABE DE CAJÓN PARA PUENTE
Ejemplo 1
ESTADO DE ESFUERZOS
CASO 1) .- PRESFUERZO AXIAL
‫ )ﺄﺄﺄ‬Esfuerzos debido al presfuerzo axial.
W=2 t/ml.
P=90 tons

P
C

P 90 , 000 Kg

 100 kg / cm 2
2
A
900 cm
ft  fc   McI   MS  900,000
 100kg/cm
9,000
‫ ) ﺄ‬Propiedades geométricas

Carga
W
Presfuerzo
Axial
Área= bh = 15 x 60 = 900 cm²
3
1
x15 x 60 3  270 , 000 cm 4
12
c=30
c
60
EN
S
I
270 , 000

 9 , 000 cm
c
30
S
bh 2
15 x 60 2

 9 , 000 cm
6
6
3
15 cm
3
c
2
c
+
Presf.
Excéntrico
+ 0
t
100 Kg/cm.2
2
t =100 Kg/cm.2
Total.
200Kg/cm.
-100Kg/cm.
c=30
Ó
P M

A S
‫ ﺄ‬v) Esfuerzos debido a W
L=6.0 mts.
I  121 bh
fi  fs  
c
=
c = 0 Kg/cm. 2
ESTADOS DE ESFUERZOS EN EL EXTREMO
W
Presfuerzo
Presf.
Axial
Excéntrico
‫ ) ﺄﺄ‬Elementos Mecánicos
o
2
M  WL8

2
2 x6

8
9ton.m
 900,000 Kgcm
+
+ o
 c =100Kg/cm.2
=
2
c
 c= 100 Kg/cm.2
Solo actúa la fuerza preforzante ya que el Momento en el extremo es 0
CASO 2) .- VIGA CON PRESFUERZO EN EL LIMITE DEL NUCLEO CENTRAL
W =2 t/ml.
P=45 ton
h/6 60
P=45 ton
e=10
L=6 m
( + ) Tensión
( - ) Compresión
P
15

Ecuación de la escuadría
fi = Esfuerzo en la fibra inferior
fs = Esfuerzo en la fibra superior
Estado de Esfuerzos en L/2
fi fs  
P
A
Presfuerzo
Axial
Fibra Super
-
Cargas
Externas
c
t
c
45,000
900
= - 50 Kg/cm2
t
+-
45,000 x 10
+
50 Kg/cm2
+
9,000
-
+
2
= - 50 Kg/cm
-
900,000
9,000
- 100 Kg/cm 2
t
=
t
2
50 Kg/cm
+
- 100 Kg/cm2
c
+
c
Fibra Inferior
M
S

Presf.
Excéntrico
c
=
Pe
S

100 Kg/cm2
CASO 3) .-
PRESFUERZO UBICADO A 5 cm. DE LA FIBRA INFERIOR
W=2 t/ml.
P=22.5 ton
e=25 cm
P=22.5 ton
60
e=0.25
- COMPRESIÓN
+ TENSIÓN
15
L=6 m
Esfuerzos al centro del claro
P Pe M


A
S
S
22,500
22,500x25
900,000
 

900
9,000
9,000
Kg
Kg
 -25

62.5
 100kg/cm 2
2
2
cm
cm
fi  fs  -
+ 37.5 Kg/cm2
t
- 100 Kg/cm2
c
+
c
- 87.5 Kg/cm2
c
=
t
+
- 62.5 Kg/cm2
100 Kg/cm2
COMPRESIÓN
t
12.5 Kg/cm2
TENSIÓN
Ejemplo 2
DISEÑO DE VIGAS DE CONCRETO PRESFORZADO CONSIDERANDO PÉRDIDAS DE
PRESFUERZO
Momento debido a la sobre carga útil
DATOS
F´c= 350 Kg/ cm²
M = Ws
8
1er Tanteo = 4 torones de Ø ½
c
Tensión T = 14,000 Kg / torón
3
50
Pérdidas 10 % perdidas iniciales
17.5
10 % perdidas a largo plazo
7.5
L = 10 mts
Sobre carga = 1,000 Kg/ ml
20
Solución.
1
Propiedades geométricas.
Área = 20 x 50 = 100 cm²
2
2
S = bh  20x50  8333.3cm3
6
2
6
Elementos mecánicos.
Wo
= 0.2mx 0.5mx 2,400
Kg
 240Kg/ml
m3
2
2
Mpp = ω  240x10  3,000Kg.m  300,000 Kg.cm
8
8
2
1,000x10

8
2
 12,500 Kgml  1,250,000 Kgcm
Perdidas de Presfuerzo.
Fuerza inicial
=4 torones x 14,000 = 56,000 Kg
10 % Pérdidas iniciales = 5,600 Kg
10 % Perdidas a largo plazo = 5,600 Kg
f

f
fibra inferior
P Pe

A S
f fibra
=
5,600 5,600 x 17.5

 17,36 Kg / cm 2
1,000
8,333.3
superior =
5,600 5,600 x 17.5

 6.16 Kg / cm 2
1,000
8,333.3
(Nota: Se invierten los signos en las pérdidas)
ESFUERZOS PERMISIBLES EN
TRANSFERENCIA
Fibra Inferior
Fibra Superior
Compresión
Tensión
F´c = 350 Kg/ cm²
t
= 0.8
f´ci
= 0.8
280 = 13.39 Kg/cm²
F´ci = 0.8 f´c = 280 Kg/cm²
c = 0.6 f´ci
= 0.6 x 280 = 168 Kg /cm²
Esfuerzos Permisibles en Servicio
Fibra inferior (Compresión)
Fibra Superior (Tensión)
c = 0.45 f´c
= 0.45 x 350 = 157.5 Kg /cm²
t = 0.6
f´c = 0.6
350 = 11.22 Kg /cm²
CONCRETO PRESFORZADO
CONCRETO PRESFORZADO
2 da Iteración
con 5 Ø ½”
Por tanto
T= 5 x 14,000
= 70,000Kg
CONCRETO PRESFORZADO
Ejemplo 3
EJEMPLO DE DISEÑO:
Trabe Cajón 200/135 L=24.0m
Condición de Apoyos:
Trabe Simplemente Apoyada (Puente)
200
15
Firme de Compresión
135
L=24 mts
MATERIALES:
Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²
Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²
Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²
Torones de ½” Φ
Cargas:
Carga Muerta= 254kg/m²X2= 508kg/m
Carga Viva= 1227kg/m²X2= 2454kg/m
CONCRETO PRESFORZADO
SECCIONES MACIZAS
PROPIEDADES GEOMETRICAS
8.6
200
200
106
68
38.3
200
10
10 10
7 8.6
3.4
10
9
116
9
3.4
38.3
106
124
124
81
101
106
15
40
SECCIONES HUECAS
15
Y1
88
85
88
70
15
81
Y1=77.93
Centriode de la
Sección
10
68
15
135
7
Y2
40
70
CONCRETO PRESFORZADO
CALCULO DEL CENTROIDE DE LA SECCION
Ai
ΣAi
Yi
AiYi
Ii
No.1
1720
1720
130.7
224804
10600.93
No.2
550.8
2270.8
124.57
68613.16
520.87
No.3
805
3075.8
119.59
96269.95
3280.4
No.4
10846
13921.8
60.58
657050.68
12089524.4
No.1
-780
13141.8
119.77
-93420.6
6464.4
No.2
-6715
6426.8
74.11
-497648.65
4025498.7
No.3
-825
5601.8
23.18
-19123.5
15085.2
Hueca
Maciza
SECCION
Σ 5,601.8 cm²
Y
Σ 436,545.04 cm³
Ai.Y 436,545.04

 77 .93cm
5,601 .80
Ai
CONCRETO PRESFORZADO
CALCULO DE MOMENTO DE INERCIA
I I
C
 A*d 2
2
2
2
I  (10,693 . 3 1,720 *52 . 77 )  (520 . 87  550 . 8* 46 . 64 )  (3,280 . 4  805 * 41 . 66 ) 
2
2
2
(12,089,524 . 4  10,846 *17 . 35 )  (6,464. 4  780 * 41 . 84 )  ( 4,025,498.. 7  6,715 *3 . 82 ) 
2
(15,082 . 2  825 *54 . 75 )
I  14, 770 , 243 . 3 cm 4
200
a) Propiedades Geométricas de la Sección Simple:
A  5,601 .80 cm
2
Y2=57.07
I  14'770, 243.30cm 4
Y 1  77.93cm.
Y 2  57 .07cm
Y1=77.93
CONCRETO PRESFORZADO
b firme  200 * 0.845  169cm
b) Propiedades Geométricas de la Sección Compuesta:
F ' c firm e  250 kg / cm 2
A firme  169 *15  2,535.46cm 2
F ' csec ción  350 kg / cm 2
Y firme  135  7.5  142.5cm
N 
F ' c firme

F ' c sec ción
250
350
A f * Y f  2,535.46 *142.5  361,303.05cm3
N  0 .845
436,548.27cm3
As * Ys  5,601.80 * 77.93 
797,851.32cm3
15
b=200
nb=169
44.45
Y2'=36.95
Centroide
Y2*=51.95
A f  2,535.46cm 2
As  5,601.80cm 2
Ac  8,137.26cm 2
135
20.12
77.93
I firme
(169 *153 )

 47,531.25cm 4
12
Y1'=98.05
797,851.32cm3
Yc 
 98.05cm
8,137.26cm 2
CONCRETO PRESFORZADO
Ic   I  A * d 2
I c  (47,531.25  2,535.46 * 44.452 )  (14'770,243.3  5,601.80 * 20.12 2 )
I c  22'095,032.06cm 4
SECCION COMPUESTA
Y2'
Centroide
Y1'
Y2*
Ac  8,137.26cm 2
Ic  22'095,032. 06cm 4
Y 1'  98. 05cm
Y 2 '  36.95cm
Y 2*  51 .95cm
CONCRETO PRESFORZADO
DATOS:
Propiedades Geométricas:
A  5, 601.80cm
2
I  14'770,243 .30cm 4
Y 1  77. 93cm.
Y 2  57. 07 cm
Propiedades de la Sección Compuesta:
Materiales:
Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²
Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²
Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²
Torones de ½” Φ
Cargas
wo  0. 56018m 2  2400kg / m3  1344kg / ml
Ac  8,137.26cm 2
Ic  22'095,032. 06cm 4
Y 1'  98. 05cm
Y 2 '  36.95cm
Y 2*  51 .95cm
wF / t  360kg / m 2  2 m  720kg / ml
wm  254 kg / m 2  2m  508kg / ml
wv  1227kg / m2  2 m  2454 kg / ml
CONCRETO PRESFORZADO
Pérdidas:
5 5
e
Revisaremos con 28
torones de Φ ½”
c. g .s. 
15  5  13  10
 7 .3cm
28
e  77 .93  7. 3  70 .63cm
T  14,000 kg  28  392 ,000 kg
c.g.
Por experiencia en Prefabricados las pérdidas
totales son del 18 al 25% de las cuales el 40%
aproximadamente son instantáneas.
Para este caso consideraremos 20% de pérdidas
totales
Fuerza con pérdida total=392,000x0.20=78,400kg
Pérdidas Instantáneas=78,400x0.4=31,360kg
CONCRETO PRESFORZADO
REVISIÓN POR TRANSFERENCIA
E s fu e rz o s d e b id o s a l
p re s fu e rz o a x ia l
-6 4 .3 8
+
E s fu e rz o s d e b id o s a l
p re s fu e rz o e x c é n tric o
+ 9 8 .8 4
+
E s fu e rz o s d e b id o s a l
P op o
-3 7 .3 9
-2 .9 3
C
(-)
T
(+ )
Y 2 = 5 7 .0 7
C
(-)
e = 7 0 .6 3
=
Y 1 = 7 7 .9 3
C
(-)
-6 4 .3 8
Presfuerzo=392,000-31,360 kg
=360,640 kg
Se revisa con la fuerza de tensión después de las
pérdidas instantáneas
2
2
1.- M   ofL  1344  24  9,676 ,800 kg  cm
8
 1y 2  
+ 5 1 .0 5
-1 4 7 .7 2
P Pex y1óy2  M  y1óy2 


A
Is imple
I simple
8
Esfuerzos para la Fibra Inferior
1  
-1 3 4 .3 9
T
(+ )
360,640kg 360,640  70.63  77.93 9,676,800  77.93


5,601.8cm 2
14,770,243.3
14,770,243.3
 1  64.38  134.39  51.05  147.72 kg cm 2
Esfuerzos para la Fibra Superior
2  
360,640 360,640  70.63  57.07 9,676,800  57.07


5,601.8
14,770,243.3
14,770,243.3
 2  64.38  98.84  37.39  2.93kg / cm 2
CONCRETO PRESFORZADO
Esfuerzos Permisibles en Transferencia
•Fibra Extrema a Compresión = 0.6f’ci
•Fibra Extrema a Tensión = 0.8 f’ci
•Fibra Extrema a Tensión en los extremos de elementos simplemente apoyados = 1.6 f’ci
Donde:
f’ci = Resistencia del concreto en el momento de la
transferencia (0.8f’c) = 0.8x350 kg/cm²=280 kg/cm²

0 . 6 f ' ci  0 . 6  28 0   16 8 k g / cm 2 ( co mp resió n )
0. 8
f ' ci  0 .8 28 0  1 3 . 38 kg / cm 2 ( tensión )

Fibra INFE RIO R  L / 2  1 68 kg / cm 2   1 47 .7 2 k g / cm 2   13 .38 kg / cm 2
Fibra S UPE RIO R  L / 2  1 68 kg / cm 2   2 .9 3 kg / cm 2   1 3 .3 8 k g / cm 2
CONCRETO PRESFORZADO
Estado de Esfuerzos debidos a las Pérdidas
a Largo Plazo
Esfuerzos debidos al
presfuerzo axial
+8.4
+
Esfuerzos debidos al
presfuerzo excéntrico
-12.84
-4.44
C
(-)
C
(-)
Y2=57.07
T
(+)
e=70.63
=
Y1=77.93
T
(+)
+8.4
Tperdidas = Pérdidas Totales – Pérdidas
Instantáneas
Fza perdida = 78,400 – 31,360
A largo Plazo = 47,040 kg
Esfuerzos Fibra Inferior
47, 040 47040 70.63  77. 93

5601. 8
14'707, 243.3
 1  8. 4  17.53  25.93
1  
 1y2
+17.53
T
(+)
+25.93
Pe x  y1óy 2 
P
 
A
I
Esfuerzos Fibra Superior
47040
47040  70 . 63  57 . 07

5601 . 8
14 ' 707 , 243 . 3
 2   8 . 4  12 . 84   4 . 44
2  
CONCRETO PRESFORZADO
Esfuerzos debidos al Firme de compresión
-20.03 kg/cm²
C
(-)
Y2=57.07
1.-Se utiliza la Sección simple para la revisión
de esfuerzos
2
2
2.- M firme  wfL  720  24  51.84 X 105 kg  cm
8
e=70.63
8
Y1=77.93
T
(+)
+27.35kg/cm²
Esfuerzos Fibra Inferior
1  
M f  yi
I
51.84 X 10 77.93  27.35kg / cm

5
2
14,770,243.30
Esfuerzos Fibra Superior
2  
M f  y2
I
51.84 X 10 57.07   20.03kg / cm

5
14,770,243.30
2
CONCRETO PRESFORZADO
Esfuerzos debidos a la Carga Muerta
b=200
15
8.6 kg/cm²
C
(-)
Y2'=36.95
Y2*=51.95
1.-Se utiliza la Sección compuesta
6.12 kg/cm²
2
2.-
Centroide
M CM
20.12
135
M CM
77.93
w  L2 50824
 cm

 36,576kg  m
8
8
 36.576 X 105 kg  cm
Y1'=98.05
T
(+)
3.-
 1'2 ' y 2* 
M CM  y1' , y2 'óy2* 
I sc
16.23 kg/cm²






 36.576 X 105 98.05
 1' 
 16.23kg / cm 2 ( FibraInferior )
22,095,032.06
 36.576 X 105 36.95
 2' 
 6.12kg / cm 2 ( FibraSuperior )
22,095,032.06
 36.576 X 105 51.95
 2' 
 8.6kg / cm 2 ( Firme)
22,095,032.06
CONCRETO PRESFORZADO
Esfuerzos debidos a la Carga Viva
b=200
15
41.54 kg/cm²
C
(-)
Y2*=51.95
Y2'=36.95
29.55 kg/cm²
1.-Se utiliza la Sección compuesta
2.- M CV
135
20.12
77.93
w  L2 2,45424 
 cv

 176,688kg  m
8
8
 176.688 X 105 kg  cm
2
Centroide
M CV
Y1'=98.05
T
(+)
3.-
 1'2 ' y 2* 
M CV  y1' , y2 'óy2* 
I sc
78.41 kg/cm²
 Inferior
176.688 X 10 98.05  78.41kg / cm

 Superior
176.688 X 10 36.95  29.55kg / cm

 Firme
5
2
22,095,032.06
5
22,095,032.06
176.688 X 10 51.95  41.54kg / cm

5
22,095,032.06
2
2
CONCRETO PRESFORZADO
Estado Final de Esfuerzos
b=200
-20.03
-4.44
-8.6
15
-2.93
Y2'=36.95
-6.12
C
(-)
Y2*=51.95
C
(-)
-41.54
-39.55
C
(-)
-50.14
-63.1
C
(-)
C
(-)
Centroide
20.12
135
+
77.93
Y1'=98.05
+
+
+
=
C
(-)
T
(+)
-147.72
+25.93
T
(+)
+27.33
T
(+)
+16.23
T
(+)
+78.41
ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO
1.-En la fibra extrema a compresión = 0.45 f’c
2.-En la fibra extrema a tensión = 1.6 f’c (máximo 3.2 f’c)
*Solo si se justifica estructuralmente el buen comportamiento del elemento
1.- 0.45*f’c = 0.45*350 = -157.5kg/cm² (compresión)
2.- 1.6 f’c = 1.6 √350 = +29.93kg/cm² (tensión)
RESUMEN
Fibra inferior = -157.5kg/cm² > 0.18kg/cm² < 29.93kg/cm²
Fibra superior = -157.5kg/cm² > -63.1kg/cm² < 29.93kg/cm²
Bien las fuerzas se encuentran
dentro de los esfuerzos permisibles
T
(+)
+0.18
CONCRETO PRESFORZADO
REVISIÓN A LA RUPTURA
Momento último actuante (para puentes según el código AASHTO 93).
Mu 
1.3 
5

C

(
C

I
)

  M 3 V
Φ = 1 para elementos de concreto presforzado, precolado y
producido en planta.
5


M u  1.3(96,768  51,840  36576)  176,688
3


M u  623,563.2kg  m
Nota: Los factores de carga varían según el Reglamento en Función del destino
Del elemento prefabricado en cuestión al tipo de Estructura y a su importancia.
CONCRETO PRESFORZADO
C
a
a/2
d
d-a/2
Tsp
C=T
a b
a
f C''
a = profundidad del bloque de compresión

 p  fsr 
fsp  fsr1  0.5

f C'' 

fsp = esfuerzo en el refuerzo presforzado a la
resistencia nominal
p 
281
Asp

 0.000981
b  d 200142.7
ρp = porcentaje de acero
7.3
a

M N  ( Asp  fsp )   d  
2

 Asp  fsp
Asp  fsp
b  f C''
7.3
150
0.000981 19000 

fsp  19,000 1  0.5 

170


fsp  17,958.4kg / cm 2
14.8 

M N  28 17958.4   142.7 

2 

M N  68,033,602.6kg  m
M N  680,336kg  m
a
28 17,958.4
 14.8cm  15cm(delfirme)
200 170
M R  0.9 M N  612,302  M u
NO PASA-REQUIERE ACERO DE REFUERZO
CONCRETO PRESFORZADO
C
a
dp=142.7 dr=145
7.3
Se proponen 2Vs #4c
f y refuerzo  4200kg / cm 2
Asr  2 1.27cm 2  2.54cm 2
Trefuerzo  Asr  f y  2.54cm 2  4200  10,668kg
Tpresfuerzo  28cm 2 17,958.4  502,835kg
T  513,503kg
T
513,503
a

 15.1cm  15cm
''
b  f c 200 170
5
Tsp
TR

15.1 

MR1  0.9502,835  142.7 
 100
2



MR1  611,623.35kg  m( presfuerzo)

15.1 

MR2  0.910,668  145 
 100
2



MR2  13,196.85kg  m(refuerzo)
MRTOTAL  624,820.2kg  m  M u
PASA POR FLEXIÓN
CONCRETO PRESFORZADO
REVISIÓN POR ACERO MÍNIMO
Para Secciones Compuestas
M AGR  M 1  M 2
MR  1.5  0.3Ip Magr
MAGR = Momento de Agrietamiento
M 1  M PP  M F  96.768 X 105 kg  cm  51.84 X 105
M 1  148.601X 105 kg  cm
M2 
I SC  Pe
M1 
P




 yi 
2
f
'
c
y
i
I
A
yisc  I

(fr =Módulo de ruptura = 2√f’c)

148.60 X 105
22,095,032  313,600 * 70.63 * 77.93 313,600




M2 
77
.
93
2
350

14,770,243
98.05 
14,770,243
5,601.8

M 2  297.14 X 105 kg  cm
CONCRETO PRESFORZADO
Índice de Presfuerzo
IP 
18 *17,958.4
Asp  fsp

 0.97
Asp  fsp  As  fy 18 *17,958.4  2.54 * 4,200
Factor  1.5  0.3 * 0.97   1.21
M AGR  148.601X 10 5  297.14 X 10 5  445.74 X 10 5 kg  cm
1.21M AGR  539.35 X 10 5 kg  cm  M u  624.820 X 10 5 kg  cm
CONCRETO PRESFORZADO
REVISIÓN POR CORTANTE
wm=wo+wf+wmad=2,572 kg/m
wv=2454 kg/m
RESTRICCIONES
Wx
R1
x/2
x
R1
R1cm=30,864kg
R1cv=29,448kg
R1
L=24 mts
X
5 

Vu  1.3CM  CV 
3 

1.35m
6.00m
5


Vu1PERALTE  1.327,392  26,135
3


Vu1PERALTE  92,235kg
1 Peralte
L/4
POSICION
X
(m)
UN
PERALTE
L/4
M
wx 2
 R1 x 
2
Vx=R1-Wi(x)
Mx=R1x-Wi x²/2
CORTANTE (kg)
MOMENTO (kg?m)
CM
CV
CM
CV
1.35
27,391.8
26,135
39,322
37,518
6.0
11,959.8
11,411
138,888
132,516
5


VuL / 4  1.311,960  11,411
3


VuL / 4  40,272kg
VuMAXIMO  2.5  FRbd f c*
0.5FRbd f c*  VCR  1.3FRbd ' f c*
Vdp
1
M
CONCRETO PRESFORZADO
REVISION A UN PERALTE (COMO REFORZADA)
Notas: Se revisa como reforzada ya que el presfuerzo
no se encuentra totalmente adherido por los enductados
ó bien por la longitud de adherencia
dp=142.7 dr=145
RESTRICCIONES
7.3
Vmax  2.5  FR bd f c*
d
As p  fs p  d p  As  f y  d s
As p  fs p  As  f y
28 17,958.4 142.7  2.54  4,200 145
d
28 17,958.4  2.54  4,200
d  143cm
Vmax  2.5  0.8 18 143 280  86,142kg
Vmax  Vu  se  propone  b  10cm / pared
Vmax  2.5  0.8  20 143 280  95,714kg  Vu
VCR  0.5  FR  b  d f c*
VCR  0.5  0.8  20 143 280
VCR  19,142kg  Vu
 requiere  estribos
FR AV f y d FR AV f y

S
3.5b
Vu  VCR
0.82 1.27 4,200 143
 16.7cm
92,235  19,235
0.82 1.27 4,200 
S2 
 121.92cm
3.5  20
propongo :
Est #4c @ 15cm
S1 
5
CONCRETO PRESFORZADO
REVISION EN L/4 COMO PRESFORZADA
Restricciones
0.5  FR  b  d f c*  VCR  1.3  FR  b  d f c*
0.5  FR  b  d
f c*  0.5  0.8  20 143 280  19,143 kg
1.3  FR  b  d
f c*  1.3  0.8  20  143 280  49,771kg
V  dp 

VCR  L / 4  FR  b  d 0.15 f c*  50
M 

50  23,371  142 .7 

VCR  L / 4  0.8  20  143 0.15 280 
 19800 kg
271 .404 X 10 5 

VCR  L / 4  19,800 kg  Vu  40,272 kg ( requiere  estribos )
VCR  L / 4  19,143  19,800  49,771
Revisaremos con estribos #3c Av=0.71cm²
S
0.82  0.714,200 143 
 33 .33cm
40,272  19,800
Proponemos Est. #3c @30cm
CONCRETO PRESFORZADO
Restricción a la separación de Estribos
1.  S  5cm
2.  siVu  VCR peroVu  1.5FR bd f c*  S max  0.75h
3.  siVu  1.5 FR bd f c*  S max  0.37 h
REVISANDO :
<Vu1peralte = 92,235kg
1.5 * 0.8 * 20 *143 280  54,428kg
>Vu L/4 = 40,272kg
en L1peralte Smax = 0.37x143 = 53 > Steórica = 15cm (rige)
en L/4
Smax = 0.75h = 107 > Steórica = 33cm (rige)
CONCRETO PRESFORZADO
REVISION DE DEFLEXIONES
1)Etapa de Transferencia (Contra Flecha)
 C   presf   pp
Contra Flecha debido al presfuerzo
1 P  e  L2
1 28 * 14 ,000 70 .63 2400 
  i
 
  5 .15 cm
8 E ci  I ssimple
8
261 ,916 * 14 ,770 , 243 .3
2
 presf
E ci  14 ,000 350  261 ,916 kg / cm 2
Contra Flecha debido al peso propio
 pp
4
4
5 w pp  L
5 1344 kg / m / 100 2400 




  1 .5 cm
384 E  I ss
384
261 ,916  14 ,770 , 243 .3
 Contraflec ha
 c   5 .15  1 .5   3 .65 cm
CONCRETO PRESFORZADO
2)Deflexiones Finales
 f   contraf 
 presf   contraf
2
Cf = Coeficiente de Flujo Plástico=


C f   CM T   pp 1  C f    CV
 f  i
 2.4
i
(Valor recomendado en normas)
 CM T   firme   Cmuerta
 firme
4
4
5 wf  L
5 720kg / m / 1002400




 0.8cm
384 E  I ss 384 261,916 *14,770,243.3
5 wm  L4
5 508kg / m / 1002400




 0.38cm
384 E  I sC 384 261,916 * 22,095,032
4
 Cmuerta
 CM T  1.18cm
5 wv  L4
5 2,454 / 1002400




 1.83cm
384 E  I sC
384 261,916 * 22,095,032
4
 Cv
5.15  3.65
 2.4  1.18  1.51  2.4  1.83  3.37cm  Contraflecha
2
2400
L

 0.5cm 
 0.5  10.5cm   final
240
240
 f  3.65 
 perm
BIBLIOGRAFIA
•
NTC, Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado.
•
Manual de Diseño de Estructuras Prefabricadas y Presforzadas.
Anippac, Instituto de Ingeniería de la UNAM.
•
Mecánica de Materiales.
Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr.