de las estructuras tensadas - LMC

Investigación
Anotaciones sobre el proyecto y el análisis
Ruy Marcelo
de Oliveira Pauletti
Traducción
Marco Eugenio Terán
METF Iluminación, C.A.
Colaboración
Mariano Rodríguez Saglimbeni
Revista entre rayas
Revisión
Carlos H. Hernández
Grupo Estran, C.A.
de las estructuras tensadas
1. Introducción
¿Qué tienen en común estructuras tan diferentes como
un puente colgante, una cubierta de red de cables, un
globo meteorológico o la vela de un barco? Por más distintas que sean en términos de uso, forma o tecnología,
todas estas estructuras dependen, para su funcionamiento efectivo, de un adecuado estado de las fuerzas internas de tracción. Un caso emblemático es de las cuerdas
de los arcos o las cuerdas de los instrumentos musicales.
Para funcionar de manera satisfactoria, estos elementos
deben estar tensos, no sueltos. Así, en una alusión al
estado en que se encuentra la cuerda de un arco o la
membrana de un tambor, se pueden agrupar todos
estos tipos debajo de un único sistema estructural, aquel
de las estructuras tensadas (en inglés, taut structures).
Un estado adecuado de tensado es, de hecho, esencial
para el buen funcionamiento de cualquiera de los tipos
de estructura ejemplificados anteriormente.
Existen otras nomenclaturas de uso más corriente, que
también aluden al particular estado de solicitud en el
que se encuentran las estructuras tensadas y que impone la necesidad de algunas restricciones. El término
“tenso-estructura”, por ejemplo, de uso ya consagrado
en el campo de las cubiertas de cables y membranas,
es un anglicismo que introduce, en las lenguas latinas,
una seria ambigüedad: si el término tensión designa
adecuadamente, en inglés, los estados de tensiones de
tracción al que las estructuras tensadas invariablemente
se encuentran sujetas, en lenguas latinas el término
“tensión” incluye, sin distinción, los estados de solicitud
interna de tracción o compresión.
Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti
Maestría en Ciencias Sociales,
Doctorado en Ciencias, Doctor
Habilitado. Profesor Asociado,
Docente Independiente en Teoría
de las Estructuras. Departamento
de Ingeniería de Estructuras y
Fundaciones. Escuela Politécnica de
la Universidad de Sao Paulo
www.lmc.ep.usp.br/people/pauletti
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En el caso de las membranas, además de los estados
tensado y suelto, existe también un estado intermedio,
el arrugado, en el que en algún punto de la membrana
exista apenas una dirección principal en relación a la
membrana que esté suelta. De todos modos, optamos
por denominar las estructuras tensadas por su estado
ideal de tensión, a pesar de que los estados no ideales,
con áreas sueltas y arrugadas también puedan ocurrir en
la práctica, a menudo sin condenar la estructura.
Hay una aparente contradicción en denominar un
sistema por uno de sus estados. Pero, del mismo
modo que una “estructura hipostática” deja de ser una
estructura y se convierte en un mecanismo, también
una cuerda o una membrana, cuando se suelta, deja de
ser una estructura y comienza a comportarse como un
mecanismo. Nuevamente, es un estado apropiado de
tensión el que define el comportamiento correcto de
este tipo de estructura.
Los sistemas tensados son, generalmente, estructuras
ligeras. El peso específico típico de las estructuras de
cables y membranas es, a groso modo, dos órdenes de
magnitud menor que el de las estructuras en concreto
armado y una orden menor que el de las estructuras de
acero convencionales. Sin embargo, en contraste con las
ventajas derivadas de la reducción de peso, las consecuencias del viento se tornan críticas para el diseño
de este tipo de estructuras.
Por otra parte, las estructuras ejemplificadas anteriormente también se pueden clasificar como sistemas
flexibles, pasando por cambios drásticos de forma cuando
el patrón de carga al que están sujetos es alterado.
En contraste, los sistemas rígidos, tales como vigas y
conchas, no muestran una deformación considerable
sobre la acción de las cargas de servicios, manteniendo
una forma cercana a la original (en la figura 1 se sugiere
esta distinción gráficamente). Sin embargo, la clasificación
según el estado (estructuras tensas) y el comportamiento
(estructuras flexibles) son de hecho equivalentes: una
gran flexibilidad limita la naturaleza de las fuerzas internas
que las estructuras pueden desarrollar, ya que se vuelven
inestables a las fuerzas internas de compresión.
La flexibilidad inherente a los sistemas de tensión es un
factor que limita sus posibles aplicaciones. Como observa Bradshaw et al. (2002), este atributo, experimentado
por cualquiera que haya caminado sobre un trampolin,
es la razón por la cual los sistemas de membrana tensadas son casi exclusivamente empleados como cerramiento de edificaciones, particularmente como techos, y
no como plataformas o pisos.
Además, si por un lado los elementos estructurales básicos de las estructuras tensadas son posiblemente los
elementos más simples en ser formulados matemáticamente, por otra parte el comportamiento estructural
de estos elementos trabajando en conjunto es esencialmente no lineal, en la mayoría de los casos invalidando
el uso de soluciones analíticas.
(a) una estructura rígida, como una viga, no cambia drásticamente de forma, al variar la carga
(b) una estructura flexible, como un cable, cambia drásticamente de forma, al variar la carga.
1. Distinción entre estructuras rígidas y flexibles (Pauletti, 2003), adaptado de Shodek (1992)
2. Elementos constructivos / tipologías
Los elementos constructivos de estructuras tensadas se
dividen básicamente en dos grandes grupos: cables y
membranas. Los cables son elementos lineales capaces
de soportar cargas externas con el solo desarrollo de
fuerzas axiales de tracción. Las membranas son elementos de superficie que equilibran los esfuerzos externos
desarrollando tensiones de tracción y de corte, tangenciales a la superficie. La distinción entre estos dos grupos
no está claramente delimitada: las redes de cables, por
ejemplo, tienen un comportamiento general muy similar
a las estructuras de membrana. Por otra parte, el tejido
de la membrana puede ser entendida como una red de
cable de malla muy fina. Cables y membranas pueden
presentarse juntos, generando la creación de estructuras
tensadas de tipo mixto.
Las estructuras neumáticas son las estructuras tensadas
por excelencia, puesto que son las únicas en donde es
posible tener todos los elementos trabajando sometidos
a tracción. Hay tres tipos básicos de estructuras neumáticas: una estructura insuflada consta de una membrana
que encierra un espacio útil y que se soporta por una
presión interna ligeramente superior a la atmosférica,
generada por el uso de ventiladores, en una estructura
aspirada se utiliza el principio opuesto, es decir, con una
presión interna menor; una estructura inflada, a su vez,
utiliza globos presurizados en forma de vigas, columnas
y arcos como elementos estructurales. Además de estos
tres tipos básicos, las velas, los paracaídas y las amarras
se pueden considerar como un cuarto tipo, los sistemas
neumáticos abiertos (Chi & Pauletti, 2005), (Pauletti,
2010A).
Las estructuras tensegrity y las estructuras atirantadas son
tipos mixtos de estructura, combinando cables traccionados con otros elementos que ejecutan la compresión o
la flexo-compresión (Deifeld y Pauletti, 2004A/B, 2005).
Sin embargo, en el caso de estas estructuras la rigidez
geométrica prepondera sobre otros factores de rigidez y
además de eso, siendo también muy ligeros, las cargas
críticas son similares a los de otras estructuras tensadas.
De hecho, estrictamente hablando, con la excepción de
los globos, todas las estructuras tensadas son mixtas, ya
que las fuerzas internas de tensión desarrolladas por algunos elementos deben ser, de alguna manera, equilibradas
por los elementos que ejecutan la flexión o compresión.
3. Materiales
El material más utilizado en la fabricación de los cables
estructurales es el acero. Los materiales alternativos
son el poliéster, en el caso de las estructuras de menor
función y carácter transitorio, y las fibras de vidrio o de
carbono (Kevlar), en el caso de las estructuras de mayor
responsabilidad. El predominio del acero en las aplicaciones habituales se debe a sus propiedades mecánicas
favorables, como su trajabilidad, las altas resistencias a la
tracción, la fatiga y la abrasión, combinado a la ductilidad
y flexibilidad, que dan lugar a pequeñas secciones transversales y –por lo tanto- poco peso.
Si la aparición del acero llevó al desarrollo de estructuras
de cable, desde el siglo XIX, no fue sino hasta la invención de tejidos sintéticos, durante los últimos cincuenta
años, que las estructuras de membrana pudieron
florecer. Antes de eso, poca resistencia y durabilidad de
los tejidos naturales limitaban tanto la amplitud de las
extensiones como la permanencia de las estructuras.
Incluso hoy en día, el espectro de materiales adecuados
para la producción de tejidos estructurales está muy
restringido: fibras de poliéster o de vidrio recubiertas con
PVC, fibras de vidrio o carbono (Kevlar) recubiertas con
teflón (PTFE) y fibra de vidrio o de carbono recubierta
de silicona (Vestar).
En términos generales, los tejidos de poliéster recubiertos con PVC están entre los más baratos, pero por
desgracia se deterioran bajo la acción de los rayos
ultravioleta. Al otro lado del espectro, los tejidos de fibra
de vidrio o Kevlar, recubiertos con teflón son estables,
resistentes a la intemperie y a las altas temperaturas,
resistentes a la tracción, corte y perforación y se pueden
dotar con cualquier grado de translucidez, desde la total
transparencia hasta una opacidad completa, pero son
más caros que los primeros. Desde el punto de vista
de resistencia mecánica y de costo, el nylon presentaría
a
b
2. El Monumento a la Forma Fútil II,
la escultura en la estructura tensada,
que combina un módulo tensegrity
simplex, cables y membranas:
(a) simulación por computadora
(b/c) realización física
(Titotto et al., 2005).
c
31
ventajas sobre el poliéster, pero este último termina
siendo el preferido, en la práctica, por ser más estables
dimensionalmente y menos susceptible a la erosión.
deformada. Al incluir estos efectos en el análisis de la
respuesta de las carga, ésta se torna geométricamente
no lineal (Pauletti, 2008).
El cableado de los tejidos estructurales se lanza generalmente en dos direcciones: la urdimbre y la trama.
Durante la fabricación, los hilos de urdimbre se mantienen
estirados, tensados, y los hilos de la trama se pasa alternativamente por arriba y abajo de cada hilo de la urdimbre,
presentando una ondulación más acentuada que estos
últimos, que por ende también terminan ondulándose,
en menor grado, por efecto de la interacción con los
primeros. Cuando el tejido lo requiere, esta interacción
se vuelve más pronunciada, con la trama tendiendo a
corregirse adicionalmente, al tiempo que aumenta la
ondulación de la urdimbre. De este comportamiento resultan las propiedades mecánicas anisótropas altamente
no lineales para la membrana, especialmente en los
casos de tejidos de fibra de vidrio.
La respuesta de una estructura tensada a las cargas de
proyecto gira en torno a una configuración de equilibrio
inicial, o configuración viable, en la que la membrana (o
red de cables) está reforzada por el efecto de las cargas
permanentes, básicamente, las cargas de peso propio y
de tensión de la membrana.
4. Cargas
Las cargas típicas de las estructuras tensadas incluyen
las cargas concentradas (es decir, distribuidas en una
región muy pequeña), el peso propio, las cargas de
tensión y demás cargas permanentes, la sobre o subpresión uniforme (en el caso de estructuras neumáticas),
las cargas de nieve y viento, los terremotos y la temperatura. Las explosiones y las colisiones son mencionados ocasionalmente, pero generalmente no son
tomadas en cuenta en los proyectos. Las variaciones en
la temperatura llevan a la pérdida o aumentar el nivel de
tensión. Con respecto a los terremotos, se puede decir
que las estructuras tensadas se comportan de manera
muy favorable, gracias a su peso ligero, flexibilidad, y la
interacción entre las frecuencias de los terremotos y las
frecuencias propias de las estructuras. El contenido de
frecuencia de un terremoto es típicamente entre 3 Hz
y 10 Hz, mientras que las estructuras tensadas tienen
frecuencias por debajo de 4 Hz, en general, y las estructuras de soporte frecuencias por encima de los 10 Hz.
La falta de rigidez a flexión de los cables y las membranas deja a las estructuras tensas susceptibles a las
grandes variaciones geométricas, incluso con cargas
moderadas. En algunos casos, las propias cargas dependen de la deformación. Este es el caso de la carga de
presión, que permanece siempre normal a la superficie
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El peso es una carga inherente a la existencia misma
del material, mas su contribución al campo de tensiones
iniciales suele ser insignificante. Son las cargas de estiramiento las que constituyen, de hecho, la carga esencial de una estructura tensada, dándole forma y rigidez.
Es en torno al ámbito de las tensiones de estiramiento,
así como de la geometría inicial de la membrana en la
que se define este campo, que varían tanto la geometría
como el campo de tensión de una membrana bajo la
acción de las otras cargas de proyecto.
Dado que los cables y membranas no pueden soportar
las tensiones de compresión, se producen las arrugas,
con la consiguiente redistribución de tensiones, cada vez
que la carga externa anula las tensiones iniciales de tracción. El arrugamiento impone serias dificultades para el
análisis numérico, especialmente para cargas transitorias
de gran intensidad, a pesar de que la estabilidad global
de la estructura no sea comprometida, y la membrana
vuelve a su estado ideal de tensión, con la eliminación
de estas cargas.
Es interesante observar que la rigidez geométrica, que
estabiliza la configuración inicial de una estructura
tensada, no es una función directa de la intensidad de
las tensiones que actúan, pero sí de la fuerza normal,
resultante de la integración de las tensiones normales
en la sección transversal de un cable o de la tensión
superficial, resultante de la integración de las tensiones
normales a lo largo del espesor de una membrana.
Para los materiales disponibles en la actualidad para la
confección de membranas, y teniendo en cuenta el espesor típicamente disponible, se puede alcanzar un nivel
adecuado de rigidez para la membrana solicitando un
material con tensiones del orden de 5% de resistencia a
la ruptura, por lo que la imposición de un nivel adecua-
do de estiramiento no encuentra obstáculos, en lo que
respecta al nivel de tensión.
ser considerados, de forma similar a lo que se hace en
un estudio normal de fatiga.
Son las cargas debidas al viento las que son particularmente problemáticas para las estructuras tensadas,
ya sea por su gravedad, por la complejidad de los
fenómenos involucrados, tales como los resultantes de
la interacción viento-estructura. Naturalmente, el viento
constituye uno de los focos de las investigaciones experimentales y teóricas acerca de las cargas en estructuras tensiles (Buchholdt, 1985/1999), (Stefanou, 1992)
(Tabarrok, 1992, 1997) (Wuchner et al., 2009), pero su
discusión va más allá de la naturaleza introductoria de
este trabajo.
6. El Proceso de Diseño y Análisis de Estructuras
tensadas
Tradicionalmente, el diseño de las estructuras tensadas
eludía las dificultades asociadas al tratamiento analítico
por medio de modelos físicos, útiles para determinar
tanto la forma como el entendimiento cualitativo del
comportamiento estructural. Sin embargo, los modelos
físicos proporcionan poca información sobre los esfuerzos a los que la estructura está sometida, por lo que han
sido sustituidos, en gran parte, por el diseño asistido
por computadora, combinando análisis estructural y
gráficos por computadora. Además de la visualización y
la determinación precisa de la distribución de tensiones
en toda la estructura, el equipo también permite una
investigación más exhaustiva de la forma (tomando
partido, por ejemplo, técnicas de realidad virtual para la
creación rápida de prototipos) y una percepción rápida
de los efectos de los cambios geométricos, pretensado,
materiales, etc.
5. Seguridad
En general, la verificación de la seguridad de los sistemas tensados está basada en los criterios de máxima
tensión admisible, los cuales ofrecen mayor resolución
para verificar la seguridad de estructuras que se endurecen con el crecimiento de las cargas (“stiffening
structures”), como es el caso de las estructuras tensadas
(Horne, 1965) (Irvine, 1981).
Los coeficientes de seguridad empleados en los proyectos de estructuras de membrana son altos, en comparación con aquellos aplicados a otros tipos de estructura (y otros materiales). Varias razones contribuyen a
ello. Happold (1994) observa que la falla bruscas de
las membranas son causadas generalmente por cortes
provocados por objetos lanzados contra la membrana,
o por la colisión de ésta con otros objetos, durante las
oscilaciones provocadas por el viento. Los cortes, a su
vez, propician la aparición de roturas.
Sin embargo, los tejidos tienen “longitudes de rotura
características”, por encima de las cuales se propagan
las ranuras. Típicamente, un desgarro de 40 mm se
propaga con aproximadamente el 25% de la resistencia a la tracción, por lo que en general se requiere
un factor de seguridad nominal por encima de 5. De
todos modos, las cargas intensas, más las de naturaleza
localizada y transitoria, que someten a una membrana
íntegra a altos esfuerzos localizados, por un período
corto de tiempo, no son necesariamente perjudiciales
para la estructura: también los efectos acumulativos del
daño, resultantes de los ciclos de carga y creep, deben
Hasta la década pasada, prevalecía la noción de que
el proyecto y el análisis de las estructuras de membrana correspondía a un proceso especializado, el cual
requería el empleo de programas dedicados (‘special
purpose programs’) (Tabarrok & Qin, 1997). Actualmente, con la suma de experiencia y la disponibilidad
de herramientas computacionales más eficientes,
este proceso puede ser entendido como un proceso
estándar (‘standard process’), que puede ser de hecho
desarrollado por medio de cualquier buen programa
general (‘general purpose program’), capaz de realizar
análisis estructurales no lineales de cables y membranas
(Pauletti & Brasil, 2003).
Con respecto a los métodos numéricos, es sin duda el
método de los elementos finitos que domina el análisis
estructural de las estructuras de membranas y cables.
Fue Argyris (1974A/B) quien primero presentó discusiones completas del análisis de la estática no-lineal de
redes de cables, basadas en el método de los elementos finitos, realizadas por ocasión de los trabajos del
proyecto del Estadio Olímpico de Munich (Leonhardt,
1972), (Habber, 1982).
33
3. Fases del proyecto de una estructura tensada (Pauletti, 1999)
4. Cable suspendido libremente, sujeto al propio peso: sucesivas iteraciones del Método de Newton,
que convergen para una forma viable
En la mayoría de los casos prácticos del diseño de estructuras tensadas envuelve el análisis de su comportamiento
estático. La consideración de los efectos dinámicos y de
interacción de la estructura con el aire circundante es
poco frecuente, en el caso de membranas de tamaño
pequeño o mediano, sea porque los costos asociados
a este tipo de análisis son altos, sea porque la práctica
muestra que las oscilaciones de estructuras de pequeño
o mediano tamaño pueden ser controladas con relativa
facilidad. El análisis estructural de membranas de gran
tamaño, por el contrario, muy probablemente requerirán
la consideración de los efectos dinámicos y de interacción
fluido-estructura. Sin embargo, una descripción satisfactoria de este tipo de problemas exigiría una medida incompatible con la naturaleza introductoria de este trabajo, por
lo que la discusión queda aquí limitada a los métodos de
análisis estático.
Dos métodos alternativos predominan, para el análisis
estático de las estructuras tensadas: Método de Newton
y el Método de Relajación Dinámica, ambos métodos
clásicos de análisis numérico no lineal, descritos por
Zienkiewicz (1989),entre otros. En el contexto de las
estructuras de cables, los libros de Krishna (1978),
Buchholdt (1985, 1999) y Leonard (1988) discuten el
Método de Newton en detalles, mientras que el Método
de Relajación Dinámica es investigado por Shugar
(1987), y defendido por Barnes (1988, 1999) y Qiang
(1988). Métodos como gradientes conjugados y otros
métodos de programación matemática y optimización
también son empleados por Stefanou (1993).
El método de Newton por lo general suministra el
algoritmo más eficiente para la solución de problemas
no lineales de equilibrio, una vez que presenta tasas
de convergencia cuadráticas, en una zona lo suficientemente cercana a la solución. Sin embargo, los cables y
membranas no representa resistencia a la flexión, y por
lo tanto trabajan como mecanismos continuos, cuya
estabilidad depende intrínsecamente de la rigidez geométricas del sistema (Pauletti, 2008). En la ausencia de
un campo adecuado de tensiones de tracción, en toda
la extensión de la estructura, la matriz de rigidez tangente puede tornarse no positivo-definida, dando lugar
a la divergencia del proceso interactivo, sea porque la
estructura en realidad se afloja, sea simplemente debido
a las limitaciones del método numérico.
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Por otra parte, el Método de Relajación Dinámica (MRD)
el problema de equilibrio se resuelve mediante un
análisis pseudo-dinámico, con integración explícita en el
tiempo, y matrices diagonales de masas y amortiguación
ficticia, con valores ajustados para controlar la estabilidad
de integración en el tiempo. Si las fuerzas externas son
aplicadas repentinamente y luego mantenidas constantes,
dejando el sistema vibrar de forma amortiguada, su
respuesta converge para la solución estática. Si bien el
MRD no presenta una ventaja para problemas menores,
el método puede permitir un ahorro en la solución de
grandes problemas, y ofrecer una alternativa atractiva para
la solución de problemas fuertemente no lineales, sobre
si las derivadas de los vectores de la fuerza no estuviesen
disponibles explícitamente (Pauletti et al. 2008, 2010)
En cuanto a los métodos de búsqueda de la forma, una
alternativa para evitar los problemas asociados al análisis
no lineal, viene dada por el Método de las Densidades
de Fuerza (MDF), propuesta originalmente en el contexto de las estructuras de cable (Linkwitz & Scheck, 1971),
(Gründig et al., 2000). En la terminología de la mecánica
de sólidos, MDF se puede entender como un caso especial de análisis de equilibrio, en el cual se impone un
campo de tensiones secundarias de Piola-Kirkhoff (2PK)
a una configuración de referencia, resultando en un
sistema lineal de ecuaciones (Bletzinger & Ramm, 1999)
(Pauletti & Pimenta, 2008).
El MDF también se usa ampliamente para determinar la
forma de las membranas, mediante la sustitución de las
superficies continuas por redes de cables equivalentes,
que deben ser lo más regulares posible, de lo contrario
se hace difícil definir valores adecuados de las densidades de fuerza en los diferentes elementos, requeridos
para conseguir la geometría deseada. Para superar esta
limitación, procedimientos análogos al MDF, basados en
conceptos de “densidades de tensión” fueron propuestas
en la literatura (Singer, 1995), (Maurin y Motro, 1999).
Resultan, sin embargo, en procedimientos no lineales,
por lo que la gran ventaja del MDF original se pierde, y
no hay ninguna buena razón para reemplazar los análisis
estructurales clásicos por otros procedimientos no lineales.
Recientemente, Pauletti (2006) introdujo el Método de
las Densidades de Fuerza Natural (MDFN), una extensión del MDF para buscar la forma de las membranas
a
5. (a) diferentes momentos del proceso de búsqueda de la forma
de una red de cables a través del MRD, con amortiguación cinética,
(b) forma final viable, (c) la variación de energía cinética.
b
c
continuas, que preserva los lineamientos característicos
del método original y permite el uso de mallas irregulares,
típicas del modelado de membranas en forma libre. El
MDFN se basa en el enfoque natural, introducido por
Argyris (1974A/B, 1981) para el Método de los Elementos
Finitos (Pauletti et al., 2005). Pauletti y Pimenta (2008)
reconocieron que la imposición de densidades de fuerza
natural es equivalente a la imposición de tensiones 2PK
en una malla de referencia. Además, si el MDFN fuera
aplicado iterativamente, tomándose la forma resultante de
cada iteración como una nueva configuración de referencia, e imponiéndose siempre el mismo campo uniforme
e isótropo de tensiones 2PK, el mismo convergirá para
una configuración sobre un campo uniforme e isótropo
de tensiones de Cauchy. Esto significa que una superficie mínima se puede lograr a través de una serie de
configuraciones viables, de modo que el proceso pueda
ser interrumpido en cualquier iteración, y el resultado sea
admitido como solución. Esta es una clara ventaja, si se
compara con el Método de Newton o el MRD, los cuales
también pueden converger a una solución mínima, pero
a través de una serie de ajustes no viables.
consecuentemente, tampoco a la compresión- se
desprende que la forma, las cargas externas y un estado
exclusivamente interno de las tensiones de tracción deben interactuar con el fin de satisfacer las ecuaciones de
equilibrio. Por lo tanto, el diseño preliminar de las estructuras tensadas consiste en determinar una configuración
inicial, en la que una geometría dada y un estado de
las solicitudes dado, asociado a esa geometría, den un
estado de equilibrio. En este contexto, entendiendo
tanto la geometría como el campo de tensiones, se le
denomina configuración viable. Por extensión, también
nos referimos a los campos de tensión viables, siempre
asociados a las correspondientes formas viables.
El MDFN también se puede aplicar a la búsqueda de
formas no mínimas, por medio de la especificación de
campos no uniformes y no isótropos de tensiones 2PK.
En estos casos, sin embargo, aunque sigue siendo una
forma viable, para cada iteración, no hay garantía de que
un campo de tensiones de Cauchy, no uniforme y no
isótropo, pueda obtenerse por medio de las interacciones.
Por otra parte, una vez que la geometría varia de iteración
en iteración, la definición de las direcciones principales, en
relación a las que usualmente se prescriben las tensiones,
pueden volverse muy complejos (Pauletti, 2011).
Al adoptar el Método de Newton para resolver el
problema, se hace necesario definir una configuración
inicial (comprendiendo una geometría y un campo de
tensiones iniciales), no necesariamente viable, pero
capaz de proporcionar la rigidez geométrica suficiente al
sistema, evitando divergencia del Método de Newton.
También el Método de Relajación Dinámica requiere la
definición de una geometría inicial, pero sin la necesidad
de definir un campo inicial de tensiones.
6.1. Fases del proceso del proyecto y análisis de las
estructuras tensadas
Con algunas variaciones de terminología, los autores
identifican algunas fases características del proceso de
proyecto y análisis –necesariamente integrados- de las
estructuras tensadas. Estas fases, esquematizadas en la
figura 3 (Pauletti, 1999), comprenden la búsqueda de la
forma, el patrón y el análisis de la respuesta a las cargas.
6.2 En búsqueda de la Forma
Es difícil definir a priori la forma de una estructura
tensada. Como esta no tiene rigidez a la flexión –y
Además de ser mecánicamente posible, una configuración inicial debe adaptarse tanto a las exigencias arquitectónicas (forma y uso) como estructurales (resistencia
y estabilidad). En general, para un determinado conjunto de condiciones del contorno, en número suficiente,
hay toda una familia de posibles configuraciones viables,
dejando a los proyectistas seleccionar la configuración
que mejor se adapte a los requisitos del proyecto.
Como un primer ejemplo de búsqueda de la forma,
utilizando el Método de Newton, se considera la determinación de la geometría de un cable poligonal suspendido, sujeto a constantes fuerzas nodales. Se trata
de una aproximación al problema de la geometría del
cable sujeto a su peso propio, cuya solución es la familia
de las curvas catenarias. Como forma inicial, se asume
el cable definido por dos segmentos rectos. La figura
4 muestra las configuraciones obtenidas por sucesivas
iteraciones del Método de Newton, hasta que encuentre
una configuración de equilibrio. Sólo esta última configuración corresponde una forma viable.
35
6. (a) geometría inicial, no viable, (b) la geometría posible, con colores que representan las dimensiones verticales desde el suelo,
(c) que cubre la membrana del “Memorial de los Pueblos de Belém do Pará” (Pauletti, 2005b)
Como ejemplo de aplicación del MRD, se considera la
búsqueda de la forma de una red de cables en forma
de montura, a partir de una malla plana, de contorno
cuadrado. Dos vértices opuestos se mantienen fijos,
imponiéndose desplazamientos verticales a los otros
dos vértices. La figura 5 (a) muestra cuatro instantes
del proceso de relajación dinámica, convergiendo en la
configuración de equilibrio estático, que se muestra en
la figura 5 (b). Una vez más, apenas la configuración
final, de reposo, corresponde a una forma viable. La
figura 5 (c) muestra la variación de energía cinética del
sistema. Se adopta la técnica de amortiguamiento cinético, mediante el cual la energía cinética del sistema es
arbitrariamente llevada a cero cada vez que alcanza un
máximo. Los primeros picos de energía (Fase A) se asocian a movimientos tangenciales a la configuración de
la estructura, debido a las altas cargas desbalanceadas
que surgen cerca de los vértices. Después de que estos
movimientos son sustancialmente reducidos, los picos
posteriores (Fase B) se asocian con oscilaciones de baja
frecuencia, que se caracterizan por desplazamientos
transversales a la superficie media de la estructura.
7. Geometrías diferentes generadas
por el método de las densidades
de la fuerza, considerando la misma
malla de la referencia y diferentes
razones
nb = ni
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®
Un tercer ejemplo de la búsqueda de la forma, utilizando el Método de Newton, se da en la figura 6. El
análisis parte de la geometría no-viable, que se muestra
en la figura 6 (a). Se atribuye al material un módulo
de elasticidad muy bajo, así como un campo isótropo
de tensiones iniciales. Una vez que se encuentra una
configuración viable, la geometría es redefinida, el
campo de tensiones se actualiza, y las propiedades de
los materiales se cambian a valores reales. La figura 6
(b) muestra la forma viable encontrada. La figura 6 (c)
muestra la realización del proyecto. Pauletti (2005B) describe en detalles el proyecto y la construcción de esta
membrana de 400 m2, ubicada en la capital del Estado
de Pará, Brasil.
nb = 5ni
nb = 10ni
La figura 7 muestra tres diferentes hipar generados
por medio del método clásico de las densidades de
fuerza, a partir de una misma malla de referencia, y con
diferentes razones, entre las densidades de fuerza de
los cables de bordes y del cableado interno. Debido a
que el MDF es un proceso lineal, cada una de las tres
soluciones presentadas se obtuvo en una sola iteración,
una clara ventaja sobre el Método de Newton o al MRD.
También es interesante observar que si las densidades
de fuerza de todos los elementos fueran directamente
prescritas, el problema no depende de la definición de
una geometría inicial, sino de la conectividad entre los
diferentes elementos. También se resalta que al prescribir densidades de fuerza en la configuración inicial, no
es posible controlar las fuerzas normales resultantes de
la configuración final, en apenas una iteración. De todos
modos, es posible acercarse a un campo normal de
fuerzas uniformes, de manera iterativa, redefiniéndose la
geometría y las densidades de tensión especificadas, en
cada iteración.
La figura 8, a su vez, muestra la aplicación del Método
de las Densidades de Fuerza Natural a la determinación
de diferentes geometrías de membrana, partiendo
siempre de una misma malla de referencia cuadrada.
Para la búsqueda de la forma de conoides, es necesario
incluir un agujero en la malla de referencia (en términos
topológicos, una superficie de “genus 1”). Cada forma
factible se obtiene en una única iteración, no siendo
posible, sin embargo, el control las tensiones de Cauchy
que resultan en la configuración final, en apenas una
iteración, análogamente al MDF. La figura 9 muestra los
campos de las primeras tenciones principales asociadas
a las geometrías mostradas en la figura 8.
8. Varias configuraciones viables, generadas por la imposición de diferentes condiciones de desplazamientos y densidades de
fuerza en los cables del borde, sobre una misma malla de referencia rectangular, de género 0 o 1.
9. Campos de tensión de Cauchy asociados con las formas
posibles mostradas en la figura 8.
10. Búsqueda de la forma de la superficie mínima de Costa, utilizando el
Método de las Densidades de Fuerza Natural (Pauletti, 2006).
En muchas situaciones prácticas del proyecto de las
estructuras de membrana, es razonable adoptar, como
configuración inicial, la superficie mínima asociada al
contorno especificado en el proyecto arquitectónico.
Una superficie mínima se caracteriza por presentar
tanto por la mínima área para un determinado contorno, como un estado uniforme e isótropo de tracción. Para encontrar una superficie mínima se puede
buscar directamente la geometría que reduce el área,
o la geometría que permite el equilibrio de un campo
isótropo de tensiones superficiales (Souza et al., 2008).
La figura 10 muestra la generación de una superficie
mínima de Costa (Costa, 1982), a partir de la superficie
no-mínima mostrada en la figura 10 (a), la cual conecta
tres anillos circulares fijos. Las figuras 10 (b/c) muestran
las geometrías obtenidas en la primera y en la sexta
iteración del MDFN. Se advierte que la primera iteración
ya proporciona una aproximación óptima de superficie
mínima. En la segunda línea, las figuras 10 (d/e/f)
muestran los campos de primera tensión principal (sI)
resultantes después de la primera iteración (1.0288 ≤
sI ≤ 1.8086), de la segunda iteración (1.0015 ≤ sI ≤
1.0594) y la sexta iteración (1.0001 ≤ sI ≤ 1.0124). Se
observa que a partir de la segunda iteración del campo
ha sido liberado de cualquier punto de concentración,
y para efectos prácticos, el método puede ser interrumpido sólo en la segunda iteración.
piezas planas. Como las superficies de doble curvatura
–típicas de las estructuras tensadas- no pueden ser
planificadas de forma exacta, el proceso de determinación de los patrones de corte es inevitablemente
aproximado. Sin embargo, es crucial que se limite el
error de esa aproximación, con el riesgo de no conseguir
la configuración recomendada, o de que aparezcan rasgos o zonas de arrugas, que condenan la estructura, sea
del punto de vista mecánico o sea de utilidad.
6.3. Patrón
La definición de los patrones de corte de una membrana es un proceso que comprenden la identificación
de líneas de corte sobre la superficie de equilibrio inicial,
permitiendo el desdoblamiento de la superficie total y la
generación de un conjunto de piezas de doble curvatura, posteriormente desarrollado en un conjunto de
El proceso de modelar el patrón también debe tener
en cuenta una serie de limitaciones de orden práctica:
el tejido debe ser cortado a partir de rollos de anchura
relativamente pequeña; por razones económicas, es
deseable que cada pieza maximice el uso de anchura
disponible, siendo ventajoso el empleo de piezas con
lados rectos; la longitud del contorno de las piezas
adyacentes deben ser iguales; la distorsión del tejido en
los bordes de la estructura debe evitarse; la disposición
de las piezas debe ser tal que las direcciones de las tensiones principales coincidan en mayor medida posible
b
a
d
c
e
11. (a) patrón de la membrana del Memorial de los Pueblos de Belem do Pará, (b) planificación estructural de estos
patrones, (c) conjunto de patrones de corte planificados (d) montaje de estos patrones en un modelo de papel,
(e) modelo de tejido, en escala 1:10.
12. (a) Modelo físico de la superficie mínima de Costa; (b) patrones de corte sobre la superficie de la membrana, (c) patrones de corte después de la planificación
37
la direcciones de la fijación. Por otra parte, las líneas
de costura también están condicionadas por factores
estéticos. Piezas adyacentes deben tener una variación
gradual de tamaño.
Figura 13. Toldos originales de Mercado Abierto de Goiânia (hasta 2006)
14. Intención arquitectónica de los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiânia
La figura 11 muestra el proceso de patrón aplicado a la
membrana del Memorial de los Pueblos de Belém do
Pará (Pauletti, 2005). La figura 11 (a) muestra los diferentes modelos de corte definidos, sobre la forma posible
de la membrana. La planificación de estos patrones se
obtuvo a través de una serie de análisis estructurales
no lineales (uno para cada banda), arrastrando todos
los nodos de cada banda para un plano conveniente,
y permitiendo que la membrana se acomodase sobre
este plano. La figura 11 (b) muestra uno de estos
patrones de corte, antes y después de la planificación,
con los colores que representan la magnitud de los
desplazamientos prescritos. La figura 11 (c) muestra el
conjunto de todos los patrones de corte ya planificados,
que se pueden trazar en papel, a escala reducida, y
montarse para verificar la consistencia, como se ve en
la figura 11 (d). La figura 11 (e) muestra un modelo de
tejido, en escala 1:10, usado para verificar los procesos
de fabricación y montaje de la estructura.
Como otro ejemplo de patrón, se considera la realización de un modelo físico de la superficie de Costa,
que se muestra en la figura 12 (a) (en exhibición en
el vestíbulo del Edificio de Ingeniería Civil de la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo en 2008).
La figura 12 (b) muestra un patrón definido sobre la
superficie de la membrana, y la figura 12 (c) muestra
los patrones de corte ya planificados. Como el material
utilizado en la producción del modelo era flexible, se
empleó un pequeño número de puertos de corte, con
apenas tres patrones, repetidos cuatro veces (patrones
F1 y F3) u ocho veces (patrón F2).
7. Análisis de cargas / Mercado Abierto de Goiânia
(2006)
Como un ejemplo de análisis de cargas, se considera el
caso de los techos en membrana del Mercado Abierto de
Goiânia. En un esfuerzo por restaurar el área urbanísticamente degradada, la Prefectura de la Ciudad de Goiânia
propuso la sustitución de dos agregados de toldos
piramidales, que se muestran en la figura 13, por dos
nuevas membranas para el techo.
15. Solución del proyecto para los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiânia
38
entre rayas Nº 88 Abril 2011
®
La figura 14 muestra la intención del arquitecto con el
nuevo techo, cada uno compuesto de una sucesión de
conoides, cubriendo las dos esquinas centrales de un
bulevar del eje circular. El presupuesto para la producción de la obra fue restringido, y un presupuesto básico
del proyecto estructural buscaba el mínimo costo, sin
comprometer la seguridad. Los dos techos se destinaban a una feria de comercio popular. Su ocupación sería
intensiva, con muchos obstáculos, por lo que no había
necesidad de trabajar con grandes aberturas.
Aberturas más pequeñas abaratan las estructuras,
porque los esfuerzos son más bajos, reduciendo el
tamaño de la estructura metálica. Por otra parte, la forma
muy alargada de los toldos generó exigencias contradictorias en cuanto a la altura de los mástiles: para garantizar el ajuste de la superficie en dirección longitudinal,
con sólo tres mástiles, los mismos deberían ser considerablemente altos; por otro lado, si los mástiles eran muy
altos, la superficie de la membrana sería casi vertical, en
la dirección transversal. Se optó entonces por el uso de
un mayor número de mástiles (siete), de modo que la
“zona de influencia” de cada uno de ellos esté lo más
cerca posible a un cuadrado. Debido a que los techos
deberían cubrir una serie de quioscos modulares, el
uso de siete mástiles también ordena mejor el espacio,
atendiendo las funciones a las que está destinado.
Aún tratando de reducir los costos de fabricación y
montaje, se procuró aprovechar al máximo las simetrías
disponibles, dentro de las limitaciones impuestas por
el despliegue de las estructuras. Así, se definieron dos
estructuras iguales, doblemente simétricas, con la forma
de una V muy deprimida, con dos piernas rectangulares,
con las cuatro esquinas biseladas, para dar cabida a
las restricciones de espacio. Cada toldo se compone
de siete módulos conoidales, siendo cuatro módulos
intermedios (módulos tipo A -bases cuadradas, dos ejes
de simetría), dos módulos de extremidad (módulos tipo
B -bases trapezoidales, sin simetría) y un modulo central
(módulo tipo C -base truncada; un eje de simetría).
Cada módulo estará apoyado por un mástil tubular,
unido a la membrana por un “rueda cónica rayada” (con
8 rayos, y con 2 m de diámetro medio). La figura 15
muestra el modelo de uno de los nuevos techos.
c
Presión de campo para el caso de viento transversal
d
Presión de campo para el caso de viento longitudinal
a
b
16. (a) Isopletas (en m/s), a lo largo del territorio nacional y situación de Goiania, (b) zonas de coeficientes de forma y de
presiones (en kN/m2), (c/d) campos de presión para los casos de viento transversal y longitudinal.
(1) Retensado
(2) Viento transversal
(3) Viento longitudinal
17. Principales tensiones máximas en la membrana (en N/m2) y reacciones de anclaje
(a) Viento transversal
(b) Viento longitudinal
18. Norma de los desplazamientos, bajo la acción de las cargas de viento
(en metros; desplazamientos amplificados tres veces, para una mejor visualización)
39
Tabla 1
40
entre rayas Nº 88 Abril 2011
®
Todos los análisis estructurales se realizaron por medio
de modelos de elementos finitos desarrollados con
la ayuda del programa SATS (Pauletti et al., 2005).
La membrana fue modela con elementos en estado
plano de tensión, con material isótropo, elástico-lineal,
trabajando exclusivamente la tracción. Los bordes fueron
modelados por los cables, sin rigidez de compresión.
Los demás elementos metálicos fueron modelados con
elementos de viga de sección tubular, definiéndose los
diámetros equivalentes, en los casos donde las secciones transversales fueran compuestas, o no-circulares.
Se consideraron tres casos de carga: (1) Tensión: campo
de tensiones superficiales promedio de 2.5 kN/m; (2)
Viento Transversal: q0 = 0,4 kN/m2, (3) Viento longitudinal: q0 = 0.4 kN/m2. Las cargas de presión ocasionadas por el viento se definieron de acuerdo a la norma
brasileña NBR-6123/88, considerando una velocidad
básica vo = 35m/s. La norma NBR-6123/88 no prevé
coeficientes de presión específica para la geometría
de las membranas en estudio. Se sabe, sin embargo,
por medio de pruebas en túneles de viento, que cada
módulo de una sucesión de conoides está sujeto a un
exceso de presión a barlovento y la succión a sotavento
en los lados, conforme a las zonas de presión que se
esquematizan en la figura 16, donde también se muestran los campos de presión adoptados por los dos casos
de viento estudiados.
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Suponiendo que el tejido tenga un rendimiento igual o
similar al tejido Sanclif Doble IV, producido por la empresa Sansuy, cuya baja resistencia a la tracción se produce
en la dirección de la trama, con un valor, según la información del catálogo, de Sr=(76 ± 11) kN/m, tomando,
a favor de la seguridad, el límite inferior del rango
estadístico, Sr=65kN/m, y luego Slim=0,25Sr=16kN/m.
La tabla 1 y las figuras 17 y 18 resumen los principales resultados de los análisis. La figura 19 muestra,
en la primera línea, algunos pasos del montaje de un
modelo físico 1:10, durante las clases de la disciplina
de Estructuras Ligeras, ofrecidas por el Programa de
Posgrado en Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica
de la Universidad de São Paulo. La segunda línea de la
figura 19 muestra una foto de satélite de nuevos techos.
Finalmente, la figura 20 muestra algunas visuales de
los techos nuevos, que rápidamente se convirtieron en
iconos urbanos, muy apreciados por los ciudadanos.
20. Distintas visuales de los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiania
19. Mercado Abierto de Goiania. Montaje de prototipo en escala 1:10 y vista por satélite
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