Tema 7 Movimiento ondulatorio

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
FÍSICA I
Tema 7
Movimiento ondulatorio
1.- Propiedades elásticas de los sólidos
2.- Conceptos fundamentales del movimiento
ondulatorio
3.- Ondas armónicas
4.- Energía e intensidad. Absorción
5.- Efecto Doppler
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
En este tema nos vamos a fijar en aquellas situaciones físicas que muestran que
cuando se produce una variación de una propiedad física en un punto del
espacio, esa variación se propaga de punto a punto por el espacio. Esa
propagación la denominaremos onda.
► Ejemplos: ondas en una cuerda, ondas en el agua, etc.
Así, una onda es la propagación de una perturbación en el espacio
Para que esto ocurra el medio debe ser “deformable”. Esto constituye las
llamadas ondas mecánicas (≡ ondas en medios deformables). (Existen también
otros fenómenos ondulatorios que no precisan de un medio material para que se
produzcan. Son las ondas electromagnéticas) .
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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1.- Propiedades elásticas de los sólidos
1.1.- Esfuerzo y deformación unitaria
1.2.- Módulos elásticos: ley de Hooke
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1.1.- Esfuerzo y deformación unitaria
Hasta ahora hemos hablado de sólidos rígidos, aquellos cuerpos donde las
distancias relativas entre las partículas permanecen constantes. Como se dijo
en su momento, esa situación se da dentro de un campo de fuerzas
determinado, no muy elevado. En realidad, todos los sólidos se deforman bajo la
acción de determinadas fuerzas.
• Esfuerzos longitudinales
Consideremos un cuerpo que se deforme bajo la acción de fuerzas
externas. Por sencillez, consideremos una barra cilíndrica de sección recta
S, sobre la que se aplica, en sus extremos, una fuerza F (tensora o
compresiva):
En esta situación la barra está en
equilibrio (a=0), de forma que no
se desplaza netamente, solo se
deforma.
Cada elemento
estará también
en equilibrio
Sobre una sección cualquiera de la
barra, la fuerza F se distribuye de
manera uniforme.
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Debido a la fuerza aplicada, la barra sufrirá una cierta deformación,
incrementando su longitud en ∆l:
Vamos a definir el esfuerzo como la fuerza externa aplicada por unidad de
área:
F
σ=
S
Vamos a definir la deformación unitaria como el cambio relativo del tamaño del
sólido en la dirección de la fuerza aplicada (tensora en este caso):
ε=
l − l0 Δl
=
l0
l0
De esta forma, generalizamos del concepto de fuerza al de esfuerzo (medida
de la fuerza que actúa sobre la barra o causa), siendo el efecto la deformación
(medida de la respuesta del sólido al esfuerzo).
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Si la fuerza es tensora, ∆l y ε son positivos, mientras que si es compresiva, ∆l y
ε son negativos.
Notemos que el esfuerzo se define igual que la presión. Sus unidades en el S.I.
son también N/m2 o Pa (pascales). Por su parte, la deformación unitaria se
define adimensional.
• Esfuerzos tangenciales o de cizalladura
Si la fuerza se aplica tangente a la superficie del cuerpo, se habla de esfuerzos
tangenciales o de cizalladura. Por simplicidad, consideremos un cubo sobre el
que se aplican, en dos caras opuestas, fuerzas tangenciales iguales y opuestas.
En este caso se definen el esfuerzo σt (de cizalladura o tangencial) y la
deformación unitaria γ como:
σt =
F
S
γ ≈ tgγ
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• Presión en un fluido
Si el sistema es un fluido (líquido o gas), el esfuerzo aplicado se corresponde
con una presión (presión hidrostática). La deformación unitaria en este caso se
relaciona con el cambio de volumen unitario:
Esfuerzo≡Presión=P
Deformación unitaria ≡
∆V
V
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1.2.- Módulos elásticos: ley de Hooke
Cuando un cuerpo se somete a esfuerzos, se observa experimentalmente que su
comportamiento (deformación) viene dado por una gráfica σ–ε como la que se
muestra:
Para pequeños esfuerzos (hasta el punto a), la
deformación es lineal, es decir, proporcional
al esfuerzo, resultado experimental que
constituye la denominada ley de Hooke: σ ∝ ε
Se tiene además que cuando cesa el esfuerzo
la deformación desaparece, de forma que el
cuerpo recupera su forma original. Se dice
entonces que el material presenta un
comportamiento elástico.
Cuando se sobrepasa el punto a (por ejemplo, al llegar al punto b), el cuerpo ya
no recupera su forma aunque cese el esfuerzo. Se dice que el cuerpo pasa a
tener un comportamiento no elástico o plástico. Por último, si el esfuerzo es
muy grande podemos llegar a la rotura del cuerpo (punto c).
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Si estamos dentro de la zona elástica del material, donde se verifica la ley de
Hooke, se tiene entonces que existe una proporcionalidad lineal entre el
esfuerzo aplicado y la deformación. A dicha constante de proporcionalidad la
llamaremos módulo elástico, siendo una característica de cada material.
• Esfuerzos longitudinales: módulo de Young y coeficiente de Poisson
La relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerpo
sometido a esfuerzos longitudinales (de tracción o compresión) se denomina
módulo de Young (E):
F
En esta situación, no cambia solo la
longitud del material, sino también sus
dimensiones
transversales
(radio,
diámetro, etc.). Dentro de la zona
elástica, la tasa de cambio entre las
dimensiones trasversales y longitudinales
es constante (coeficiente de Poisson, µ,
característico también del material):
E=
σ
= S
ε ∆l
lo
∆D
εt
D
µ=−
=−
∆l
εl
l
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• Esfuerzos tangenciales: módulo de cizalladura
La relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerpo
sometido a esfuerzos tangenciales se denomina módulo de cizalladura (G):
σ
G= t =
γ
Ft
S
γ
• Compresión uniforme: módulo de compresibilidad
En el caso de un fluido, la relación entre la presión y el cambio de volumen
unitario se denomina módulo de compresibilidad (K):
K=−
P
∆V
V
En ocasiones se habla del coeficiente de compresibilidad (β), definido como la
inversa del módulo de compresibilidad K:
∆V
1
V = − 1 ∆V
β= =−
K
P
V P
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Cuestión 7.1
Un cuerpo de 10 kg está suspendido verticalmente de un
cable de acero de 3 m de longitud y 1 mm de diámetro. a)
¿Qué esfuerzo soporta el cable? b) ¿Cuál es el
alargamiento resultante? c) Calcular la contracción
transversal que experimenta el cable.
Módulo de Young: E=20 · 1010 N/m2
Coeficiente de Poisson: µ=0,28
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2.- Conceptos fundamentales del movimiento
ondulatorio
2.1.- Función de ondas y velocidad de ondas
2.2.- Ondas transversales y longitudinales
2.3.- Frente de ondas
2.4.- Ecuación diferencial del movimiento
ondulatorio
• Ejemplos de ondas longitudinales
• Ejemplos de ondas transversales
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2.1.- Función de ondas y velocidad de ondas
A partir del concepto de onda, tratemos de encontrar una descripción
matemática que nos refleje el hecho de que una perturbación se propague en el
espacio.
Para ello, empecemos por considerar la descripción de “una perturbación”, esto
es, de una deformación respecto a la posición de equilibrio de un punto material
(o conjunto de puntos):
En la situación de equilibrio (de todos los puntos de mi sistema) se tiene la
condición de que:
y = 0 ∀x ⇒ y(x) = f(x) = 0 ∀x
y
y ≡ perturbación
x
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Al provocar una deformación, los puntos experimentan un “desplazamiento” (hay
una magnitud y en cada punto que varía respecto a su valor de equilibrio). Así,
tendremos:
y
x
Ahora en cada punto y toma valores distintos de cero, de forma que existe una
cierta distribución de valores de y para cada x  y=f(x)
Consideremos a continuación el hecho de que esta deformación se propaga:
f(x+a)
f(x-a)
f(x)
a
x
 y = f(x-a) representa una propagación de y en un cantidad a (+) hacia la
derecha (el valor de la perturbación “y” en el punto x es el valor de aplicar la función f en el punto x-a)
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De la misma forma, y=f(x+a) representa una propagación de y en una cantidad a
(+) hacia la izquierda.
Esta propagación se realiza en el tiempo. Si la propagación tiene una velocidad
constante v, el desplazamiento de la propagación en un tiempo t será vt. Así:
a = vt
de forma que y=f(x–vt) representa una propagación que se desplaza hacia la
derecha con una velocidad cte. v (+), mientras que y=f(x+vt) representa una
propagación que se desplaza hacia la izq. con velocidad v cte. (+).
Así, la descripción genérica de una onda que se propaga con velocidad v viene
dada por:
y = f(x ± v.t)
que significa que en los sucesivos puntos del espacio existe una magnitud (y)
que toma valores dados por una cierta función de x y de v.t.
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Esa magnitud es una magnitud física modificada respecto a su valor en la
posición de equilibrio, y puede ser:
► Onda en el agua: desplazamiento de las gotas de
agua en la dirección perpendicular al plano de la
superficie
► Onda en una cuerda: desplazamiento de las
partículas de la cuerda en la dirección perpendicular
► Sonido (ondas sonoras): variación de la presión de
los puntos de un medio
(Nótese que lo que se propaga es el estado de perturbación, no la materia).
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2.2.- Ondas transversales y longitudinales
Dependiendo de la forma en que oscilan las partículas del medio material
respecto a la dirección de propagación se distingue entre ondas longitudinales
y transversales.
Ondas longitudinales: la dirección de propagación es
paralela a la dirección de movimiento de las partículas
(ej.: ondas long. en un muelle, sonido, etc.)
dirección de movimiento de las partículas
dirección de propagación
http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm
Ondas transversales: La dirección de propagación
es perpendicular a la dirección de movimiento de las
partículas (ej.: cuerda)
dirección de movimiento de las partículas
dirección de propagación
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2.3.- Frente de ondas
Tal y como mencionábamos, una perturbación en un punto del espacio provoca
que un punto material se “desplace” en torno a su posición de equilibrio (haya
una variación de alguna magnitud física respecto a la situac. de equilibrio). Esto
provoca una “oscilación” de la partícula. A su vez, esta oscilación o perturbación
va a provocar que las partículas próximas oscilen (se perturben) y así
sucesivamente, de forma que la perturbación inicial se propaga.
Una noción importante en el concepto de ondas es el
denominado frente de ondas, entendiéndose por tal todos
los puntos del medio material que tienen el mismo estado
de deformación en un instante dado.
El movimiento del frente de onda puede indicarse
mediante líneas perpendiculares a los frentes de
onda → rayos.
(En un medio homogéneo, una onda se mueve en línea recta en
la dirección de los rayos).
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Hemos visto que y=f(x–vt) representa un movimiento ondulatorio que se
propaga a lo largo del eje X. Si la perturbación y se extiende a todo el espacio,
en un tiempo t, la función toma el mismo valor en todos los puntos que tienen la
misma x. Así pues, ese conjunto de puntos forma el frente de ondas.
Notemos que x=cte representa un plano
perpendicular al eje X. Así, el frente de ondas
viene dado en este caso por planos perpendiculares
al eje X. A esta onda la denominamos onda plana.
Dicho de otra forma: en tres dimensiones, la expresión y=f(x–vt) describe una
onda plana que se propaga paralelamente al eje X.
Notemos que todos los puntos del plano x=cte.
tienen un vector de posición r tal que:
→→
r i = cte
Por tanto, la onda plana propagándose en dirección X se puede expresar como:
→→
y = f( r i − vt)
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Esto nos permite escribir cualquier onda plana propagándose en una dirección
genérica u. Los frentes de onda son los planos r.u = cte y la onda se escribirá:
→→
y = f ( r u − vt)
→
u
Aunque esta expresión contiene las tres coordenadas, en realidad es un
fenómeno en una dimensión: la onda se propaga sólo en la dirección del eje u.
(No hay propagación en los planos perpendiculares).
En la naturaleza existen también otras ondas que se propagan en varias
direcciones. Las más importantes son las ondas cilíndricas y esféricas.
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Ondas cilíndricas: los frentes de onda son cilindros coaxiales
paralelos a una línea dada. La onda se propaga en todas las
direcciones perpendiculares a dicha línea. Este tipo de ondas
se generaría en un medio isótropo y homogéneo que contuviera
muchas fuentes colocadas en una cierta línea.
(ondas circulares sobre la superficie del agua, generadas por
una fuente puntual que se mueve hacia arriba y abajo con
movimiento periódico)
Ondas esféricas: los frentes de onda son esferas
concéntricas. La onda se propagaría en todas las
direcciones del espacio. Este tipo de onda se generaría en
un medio isótropo y homogéneo cuando hay una
perturbación puntual.
Las ondas planas se tienen siempre a gran distancia del
foco emisor. En ese caso, los frentes de onda se pueden
considerar que son planos.
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2.4.- Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio
De momento sabemos que un movimiento ondulatorio vienen descrito por una
función:
y = f(x ± v.t)
(Ondas planas)
Será interesante saber si existe también una ecuación diferencial que sea
válida para todos los movimientos ondulatorios, de forma que el estudio
dinámico de un proceso físico nos permita saber si ese proceso físico es una
onda.
Llegar a deducir dicha ecuación diferencial es complejo, por lo que veamos
simplemente quién es esa ecuación y justifiquemos que en efecto describe el
mov. ondulatorio:
∂2 y
∂t
2
=v
2
∂2 y
∂x2
v≡velocidad de propagación
de la onda
Que esta sea la ecuación diferencial de una onda quiere decir que su solución es
de la forma y=f(x±vt). Comprobémoslo.
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Necesitamos calcular las derivadas parciales: ∂ 2 y ∂t2
donde:
y = f(x ± v.t) = f(u),
Así:
∂y df ∂u
=
∂t du ∂t
siendo:
∂u
= ±v
∂t
y
∂ 2 y ∂x2
con u = x ± v.t
∂y df ∂u
=
∂x du ∂x
∂u
=1
∂x
De esta forma:
∂y df ∂u
df
=
= ±v
∂t du ∂t
du
∂2 y
∂t2
2
∂  ∂y  d  ∂y  ∂u
d2 f
2 d f
=
= (± v )
(± v ) = v
 =
 
2
∂t  ∂t  du  ∂t  ∂t
du
du2
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De la misma forma:
∂y df ∂u df
=
=
∂x du ∂x du
∂2 y
∂  ∂y  d  ∂y  ∂u
d2 f
d2 f
=
=1
1=
 =
 
2
2
∂x  ∂x  du  ∂x  ∂x
∂x
du
du2
Se tiene entonces:
∂2 y
∂t
2
=v
2
d2 f
du
2
=v
2
∂2 y
∂x2
de forma que f(x ± v.t) es solución de la ecuación diferencial. Por lo tanto, la
expresión vista es, en efecto, la ecuación diferencial del movimiento
ondulatorio.
Veamos algunos ejemplos de análisis dinámicos, de forma que comprobemos si
ciertos fenómenos dan lugar a un movimiento ondulatorio. El cálculo nos va a
permitir, además, determinar la velocidad de propagación de la onda (v)
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● Ejemplos de ondas longitudinales
1.- Ondas elásticas en una barra
Consideremos una barra de sección recta S constante sobre la que provocamos
una deformación (golpeamos, por ejemplo, uno de los extremos):
Perturbación
S
Cada sección de la barra experimenta una fuerza F, que no será necesariamente
la misma en todas las secciones, pues se van a producir diferentes
desplazamientos de cada sección (y = y(x), siendo y el desplazamiento de la
sección situada en la posición x). (Si todas las secciones se desplazasen la
misma cantidad tendríamos un desplazamiento neto de la barra): F =F(x)
F(x)
F(x)
F =F(x,t)
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De esta forma, un diferencial dx que separa dos secciones S y S’ se verá
afectado de la forma:
Pasamos de dx a dx+dy: (incremento de longitud dy por cada tramo dx).
La relación entre F y dy viene dada a través del módulo de Young de la barra.
Recordemos que:
E=
FS
FS
=
ε
∂y ∂x
Sobre el elemento dx habrá un dF:
que podremos poner entonces como:
F = ES
F-F'=dF =
dF = E.S
∂y
∂x
∂F
dx
∂x
∂2 y
∂x
2
dx
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F =F(x,t)
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Aplicando la ecuación de la dinámica (segunda ley de Newton): dF = dm.a
dm = ρ S dx
a=
∂2 y
∂2 y
∂t2
∂2 y
E ∂2 y
ES
dx = ρSdx 2
=
2
2
ρ ∂x2
∂t
∂x
∂t
Lo que nos indica que tenemos una propagación en forma de onda, con una
velocidad (vL ):
vL =
∂2 y
E
ρ
La velocidad de propagación de la onda depende de E y ρ, es decir, de las
características del medio material por el que se propaga.
Es el medio el que impone la velocidad de propagación de la ondas.
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2.- Ondas de presión en un fluido
Consideremos ahora las ondas elásticas producidas como consecuencia de los
cambios de presión en los puntos de un fluido, simplificando a la situación de
una columna de gas. Las ondas sonoras son un típico ejemplo de este tipo de
ondas.
Consideremos un cilindro de sección S en el que está contenido un cierto gas de
densidad ρ0 y consideremos el efecto de producirse cambios de presión en los
puntos del gas. Esto supondrá que dos secciones cualesquiera, separadas dx,
experimenten desplazamientos y(x) e y(x+dx).
y(x, t)
de forma que pasamos de dx a dx+dy.
A diferencia de lo que ocurría en la barra rígida, el gas es muy compresible y se
produce por ello una variación en la densidad del mismo. Por ello, debemos
intentar conocer quien es ρ=ρ(x).
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En la situación de equilibrio todo el gas tiene densidad ρ0 y presión Po. Fuera del
equilibrio cada punto tiene una ρ(x) y una P(x). Para cada elemento diferencial
que estamos considerando:
en el equilibrio
fuera del equilibrio
ρ0, dx, S
ρ, dx+dy, S
magnitudes que se relacionan entre sí gracias a que la masa de este elemento
diferencial es cte.:
m=ρ0 Sdx=ρS (dx+dy)
ρ=
ρ0
∂y
1+
∂x
∂y 

≈ ρ0 1 −

x
∂


(desarrollo del binomio)
Esto nos da ρ=ρ(x). Podemos poner:
∂y
ρ − ρ0 = − ρ0
∂x
ρ − ρ0
∂y
=−
ρ0
∂x
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ρ(x, t)
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Ahora debemos interesarnos por conocer quién P(x) (presión en cada punto del
gas). Para ellos consideraremos que la presión va a ser función de la densidad
(lo cual es cierto siempre), de forma que P=P(ρ). La expresión exacta no la
sabemos, pero no es necesaria. Haciendo un desarrollo en serie en torno a ρ0
obtenemos que:
 2 
 ∂P 
P = P(ρ 0 ) +   (ρ − ρ 0 )
 ∂ρ  0
 ∂P 
Nos aparece el término:  
 ∂ρ  0
+
1∂ P
(
ρ − ρ 0 )2 + ...
2  ∂ρ2 
0
que está relacionado con el módulo de compresibilidad K del gas. En efecto,
hemos definido:
K=−
Puesto que:
ρ=
m
V
Así:
K = −V
ΔP
ΔV
V
= -V
∂P
∂V
∂P ∂P ∂ρ ∂P  m 

−
=
=
∂V ∂ρ ∂V ∂ρ  V 2 
∂P
∂P 
m 
. − 2  = ρ
∂ρ
∂ρ  V 
 ∂P 
K = ρ 
 ∂ρ 
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De esta forma, tenemos:
P(ρ 0 )
 ρ − ρ0
P = Po + K 
 ρ0




lo que nos da P=P(ρ).
Puesto que estamos interesados en P=P(x), dado que conocemos ρ=ρ(x) podemos
relacionar y obtener que:
P = P0 − K
∂y
∂x
P(x, t)
de forma que ya conocemos P=P(x).
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Busquemos ahora la fuerza que se ejerce en el elemento diferencial dx para
igualarla a dm.a:
dF = F(x + dx) − F(x) = S[P(x) − P(x + dx) ] = −S
dF = PS − P'S = -dPS
Así:
dF = SK
∂2 y
∂x
2
dx = ρ 0Sdx
∂2 y
∂2 y
K
=
∂t2 ρ 0
∂t2
∂2 y
∂x2
dm . a
se produce un movimiento ondulatorio con velocidad (vS ):
vS =
K
ρo
(de nuevo vemos que sólo depende de las propiedades del medio)
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∂P
dx
∂x
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En las expresiones anteriores hemos demostrado que el desplazamiento y de
cada sección verifica un movimiento ondulatorio. De igual forma se puede
demostrar que la presión (P) y la densidad (ρ) verifican la misma ecuación de
ondas. Se habla así de ondas de desplazamiento (y), ondas de presión (P) y
ondas de densidad (ρ):
2
2
∂ y
∂t2
=
K
ρ0
∂ 2P
∂ y
∂x2
∂ 2P
K
=
∂t2 ρ 0
∂x2
∂ 2ρ
∂ 2ρ
∂t2
K
=
ρ0
∂x2
ondas de desplazamiento
ondas de presión
ondas de densidad
En concreto, las ondas de presión y las de desplazamiento están desfasadas en
90º, de forma que en los puntos de máximo desplazamiento la presión es nula, y
viceversa:
P = P0 − K
∂y
∂x
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Cuestión 7.2
Calcular la velocidad de propagación del sonido en una barra
metálica, sabiendo que cuando se somete a la barra a un
esfuerzo tensor de 1000 kp/cm2 dentro del rango elástico
sufre un alargamiento del 1.5 %, y que su peso en agua es el
75% de su peso en aire.
Densidad del agua: 1000 kg/m3
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● Ejemplos de ondas transversales
1.- Ondas elásticas en una barra
De la misma forma que hicimos ya antes, si consideremos una barra de sección
recta S (cte.) sobre la que provocamos una deformación tangencial o de
cizalladura:
F
S
es sencillo poder llegar a demostrar de nuevo que se produce una propagación
de la perturbación (onda). La ecuación diferencial en este caso es:
dF = GS
∂2 y
∂x
2
dx = ρSdx
∂2 y
∂t2
Así, la onda se propaga con velocidad (vT):
∂2 y
∂t2
G ∂2 y
=
ρ ∂x2
vT =
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
G
ρ
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En un medio material se van a producir tanto ondas longitudinales como ondas
transversales. Por ejemplo, las ondas símicas que se producen en la Tierra y que
viajan a través de ella son ondas longitudinales y transversales:
Longitudinales
Transversales
Ambas tienen distinta velocidad de propagación. En concreto, G y E están
relacionados a través de la expresión:
E
G=
G < E
G
Puesto que:
vT =
ρ
vL =
E
ρ
2(1 + µ )
vT < vL
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
FÍSICA I
2.- Ondas en una cuerda
Consideremos una cuerda, sometida a una cierta tensión T en sus extremos, que
perturbamos y sacamos de su posición de equilibrio:
Podemos considerar que la T apenas varía. Esta es, además, la misma en cada
punto de la cuerda. Esto supone que en el elemento dx las fuerzas en cada
extremo serán:
x)
Fx(x) + Fx(x + dx) = −T cos α + T cos α'
x)
y)
Fy (x) + Fy (x + dx) = −Tsenα + Tsenα'
y)
Para pequeños desplazamientos (α muy pequeño):
de forma que, en esta situación:
x)
y)
dFx ≈ 0
dFx = T (cos α' − cos α )
dFy = T (senα' − senα )
senα ≈ tgα ≈ α
cos α ≈ 1
dFy = T (tgα' − tgα )
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
de forma que sólo existe una fuerza neta no nula en la dirección perpendicular y.
dFy = T (tgα' − tgα ) = Td(tgα ) = T
Puesto que tgα≡ pendiente de la curva y=y(x):
de forma que:
Y como:
dFy = T
∂2 y
∂x
dFy = dm.a = µdx
2
∂
(tgα )dx
∂x
tgα =
∂y
∂x
dx
∂2 y
∂t
2
(µ=densidad lineal de la cuerda)
escribimos, finalmente:
dFy = T
∂2 y
∂x2
dx = µdx
∂2 y
∂t2
T ∂2 y
=
2
µ ∂x2
∂t
∂2 y
Se tiene pues un movimiento ondulatorio con velocidad:
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
v=
T
µ
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FÍSICA I
Cuestión 7.3
Un hilo de acero de 30 m y un hilo de cobre de 20 m, ambos
con un diámetro de 1 mm, están unidos por un extremo y
soportan una tensión de 150 N. ¿Cuánto tarda un pulso
transversal en recorrer la longitud total de los dos cables?
Densidad del acero ρAc=7870 kg/m3; densidad del cobre
ρCu=8960 kg/m3.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
3.- Ondas armónicas
3.1.- Longitud de onda
3.2.- Frecuencia y periodo
3.3.- Ondas armónicas estacionarias
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Hemos visto que cualquier función f(x,t)=f(x±vt) representa una perturbación
que se propaga por el medio a velocidad v.
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/ondasCaract/OndasDinam/Default.html
La forma de la función f(x,t) puede ser cualquiera. Sin embargo, resulta de
especial interés analizar en detalle la situación en que dicha función es
sinusoidal, en cuyo caso tenemos las denominadas ondas sinusoidales o
armónicas:
y(x,t) = Asen k(x − vt)
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
3.1.- Longitud de onda
Analicemos qué representa k. Para ello, notemos qué ocurre cuando x aumenta
una cantidad 2π/k :
y(x +
2π
2π
− vt) = Asen [k(x − vt) + 2π] = Asen k(x − vt) = y(x ,t)
,t) = Asen k(x +
k
k
Así, vemos que al aumentar x en 2π/k tenemos la misma situación que en x. Esto
constituye una periodicidad espacial de la función y(x,t):
λ=
2π
≡ longitud de onda
k
La magnitud k=2π/λ se denomina número de onda.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
3.2.- Frecuencia y periodo
Analicemos también la dependencia temporal de la función y(x,t).
Denotemos ω≡frecuencia angular de la onda al producto de k por v:
ω = kv ≡ frecuencia angular
Así:
y(x,t) = Asen k(x − vt) = Asen (kx − ωt)
Como ya sabemos (por el mismo tipo de análisis que hicimos en el M.A.S.),
incrementar el tiempo en una cantidad T=2π/ω supone repetir la misma
situación temporal. Así, a la cantidad T la denominaremos periodo (periodicidad
temporal) (a su inversa la denotamos por frecuencia ν):
2π
T=
≡ periodo
ω
ν=
ω
1
=
≡ frecuencia
T
2π
(Notemos que ω=2πν)
Por tanto, en el movimiento ondulatorio sinusoidal tenemos dos periodicidades:
una en el tiempo, dada por el periodo T, y la otra en el espacio, dada por la
longitud de onda λ. Notemos que ambas magnitudes están relacionadas:
T=
2π
2π
2π
λ
=
=
=
ω
kv (2π λ )v v
v=
λ
T
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
La longitud de onda es justamente la distancia que recorre la perturbación en
un tiempo igual al periodo.
En la gráfica se ha representado la función y(x,t) para cinco tiempos
diferentes. Se puede ver como a medida que la situación física se propaga hacia
la derecha, ésta se repite en el espacio después de un periodo:
t = t0
T
4
T
t = t0 +
2
3T
t = t0 +
4
t = t0 +
t = t0 + T
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Usando las expresiones vistas, podemos escribir la onda armónica como:
y(x,t) = Asenk(x − vt) =
= Asen(kx − ωt) =
t
x
= Asen2π −

T
λ


TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Cuestión 7.4
La ecuación de una onda transversal que avanza por una
cuerda está dada por la ecuación y=10sen[π(0.01x-2t)]
estando x e y en cm y t en segundos. a) Hallar la amplitud,
frecuencia, velocidad de fase y la longitud de onda; b)
hallar la máxima velocidad transversal de una partícula en la
cuerda.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
3.3.- Ondas armónicas estacionarias
Consideremos una onda que viaja en un medio limitado (por ejemplo una cuerda
con un extremo fijo). Denotémosla como onda incidente:
yi(x,t) = Aisen (ωt + kx)
Al llegar a x=0, la onda no puede más que rebotar, produciéndose una onda
reflejada. Esta onda, por las propiedades de reflexión (tema de Física II),
conserva la misma frecuencia ω. Así, tendremos:
yr(x,t) = Ar sen (ωt − kx)
(Notemos que la velocidad de propagación sigue siendo la misma, ya que v
depende sólo del medio de propagación, que sigue siendo la misma cuerda. De
esta forma, k=ω/v sigue siendo la misma).
En la cuerda coinciden (se superponen) dos ondas, la resultante es la suma de
ambas.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
La onda resultante es:
y(x,t) = yi(x,t) + yr(x,t) = Aisen (ωt + kx) + Ar sen (ωt − kx)
Puesto que x=0 es un punto fijo de la cuerda: y(x = 0,t) = 0 ∀t
Ar = −Ai
Ai + Ar = 0
Aisen (ωt) + Ar sen (ωt) = 0
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
La onda resultante es, por tanto:
sen (α − β) = sen α cos β − cos α sen β
y(x,t) = Aisen (ωt + kx) − Aisen (ωt − kx) =
= Ai[sen (ωt) cos (kx) + sen(kx) cos (ωt) − sen (ωt) cos (kx) + cos (ωt) sen(kx)] =
= 2Aisen(kx) cos (ωt)
variables separables
A(x)
Esta es la ecuación de una onda cuya amplitud es función de la posición: A=A(x).
A(x) = 2Aisen (kx)
La amplitud se hace nula (puntos nodales) si:
sen (kx) = 0
kx = Nπ
x=
Nπ Nλπ
λ
=
=N
k
2π
2
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
(N C Z)
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FÍSICA I
Si ahora considero una cuerda limitada por ambos extremos:
■
Puesto que x = 0 es un punto fijo de la cuerda: y(x = 0,t) = 0 ∀t
y(x,t) = 2Aisen(kx) cos (ωt)
■
Ahora, además, x = L es también un punto fijo: y(x = L,t) = 0 ∀t
y(x = L,t) = 2Aisen(kL) cos (ωt) = 0
kL = N'π
N'π
k =
L
2L
λ=
N'
∀t
sen(kL) = 0
2π
N'π
=
λ
L
N’ C Z
2L L


, , ... 
 λ = 2L, L,
3 2


De esta forma, vemos que sólo son posibles ciertos valores de λ (función de L)
(k, ω, ν).
http://io9.com/all-the-scienceexperiments-performed-in-thismusic-vid-1659246561/all
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Consideremos ahora tubos. La condición necesaria para que existan ondas
estacionarias en tubos es que en el extremo cerrado del tubo se produzca un
mínimo o nodo (las moléculas de aire están en contacto con el fondo del tubo y
por lo tanto no vibran) y en el extremo abierto se produzca un máximo o vientre
(las moléculas de aire pueden vibrar libremente). Así, de la gráfica podemos
extraer la condición de ondas estacionarias en un tubo abierto por ambos
extremos o abierto sólo por un extremo.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Cuestión 7.5
Una cuerda de piano está hecha de acero y tiene 50 cm de
longitud y 5 g de masa, estando sometida a una tensión de
400 N. a) ¿Cuál es la frecuencia de su vibración
fundamental? b) ¿Cuál es el número del armónico más alto
que puede ser oído por una persona capaz de percibir
frecuencias hasta de 10000 s-1?
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
4.- Energía e Intensidad. Absorción
4.1.- Energía en el movimiento ondulatorio
4.2.- Intensidad de una onda
4.3.- Medios absorbentes
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
4.1.- Energía en el movimiento ondulatorio
Como se ha dicho, en el mov. ondulatorio no se propaga la materia, sino el
estado de perturbación. Dicho de otra forma, se propaga la energía o el
momento (cantidad de movimiento) de las partículas. Debe existir, por tanto,
una variación de la energía respecto al tiempo
Consideremos el caso concreto de
una onda en una cuerda: la potencia
que se transmite de la parte
izquierda a la parte derecha será:
P = Fv = −Ttgα
Puesto que:
∂y
∂y ∂y
= −T
∂t
∂x ∂t
y(x,t) = Asen(kx-ωt)
∂y
= Ak cos (kx-ωt)
∂x
∂y
= −Aω cos (kx-ωt)
∂t
P = −TAk cos (kx-ωt)[-ωA cos (kx-ωt)] = TA2ωk cos2 (kx-ωt)
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
La potencia media será:
Puesto que: v =
< P >=
T
µ
1
TA2ωk
2
T = v 2µ
< P >=
(ω = kv )
1 2
1

1
v µωkA2 = µω2vA2 =  µω2A2 v
2
2
2

Se denomina energía por unidad de longitud o densidad de energía ≡ ET a la
cantidad:
1
ET = µω2A2
2
de forma que:

1
< P >=  µω2A2 v = ET v
2

Podemos ver que la potencia media o flujo de energía que atraviesa la cuerda
depende de:
▬ Las propiedades del medio material, a través de µ
▬ La frecuencia de oscilación de la onda (ω)
▬ La amplitud de la onda al cuadrado (A2)
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
y
v=
T
µ
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FÍSICA I
4.2.- Intensidad de una onda
Las expresiones vistas anteriormente representan el flujo de energía que
atraviesa cada sección de material.
Podemos definir también la denominada intensidad de onda I:
I =
E
<P>
=v T =vE
S
S
E


 E = T = energía por unidad de volumen 
S


La intensidad representa entonces la energía trasmitida por unidad de tiempo y
unidad de superficie (potencia por unidad de superficie).
Unidades de la intensidad, I (SI): W/m2
Si tenemos un medio no disipativo (que no absorbe energía), la <P> sería
constante, pero no necesariamente la I, ya que depende de cómo se expande la
onda. Así, tendremos las siguientes situaciones:
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
■ Ondas planas
Los frentes de ondas son planos de sección S
constante. La energía que atraviesa cada sección
se mantienen cte:
<P>
I=
■ Ondas cilíndricas
S
= cte
Consideremos una porción de onda y dos instantes de tiempo, t1 y t2. La
energía que atraviesa la sección S1 es la que atraviesa después S2. Así:
S1 = r1θh
S2 = r2θh
< P >= cte
■ Ondas esféricas
Al igual que antes:
I1 < P > S2 r2 θ
=
=
I2 < P > S1
r1 θ
IS = Ir = cte
S1 = r1θ1r1θ2
S2 = r2 θ1r2 θ2
< P >= cte
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
I1r1 = I2r2
Icil ∝
1
1
∝
S r
IS = Ir2 =cte
Iesf ∝
1
1
∝ 2
S r
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FÍSICA I
Ondas sonoras
En el caso de las ondas sonoras, el oído humano es sensible a las ondas con
intensidades entre 10-12 W/m2 y 1 W/m2, no siendo nuestra percepción de la
sonoridad proporcional a la intensidad, sino que varía logarítmicamente. Por
ello, se define una nueva magnitud física, el nivel de intensidad de una onda
sonora (B):
I
B = 10 log
I0
donde I es la intensidad física del sonido e I0 es el nivel de referencia, que se
toma como umbral de audición:
I0 = 10 −12 W/m2
El nivel de intensidad se mide en decibelios (dB) en el SI.
En esta escala, el umbral de audición (I=10-12 W/m2) es:
10 −12 W/m2
= 0 dB
Β = 10 log −12
10 W/m2
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
y el umbral del dolor (I=1 W/m-2):
 1W/m2 
12

B = 10 log −12
10
log
10
=
= 120 dB
2 
10
W/m


TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
En el oído humano hablamos de sonoridad como el atributo que nos permite
ordenar sonidos en una escala del más fuerte al más débil.
La sonoridad depende tanto de la frecuencia como del nivel de intensidad (en
decibelios). En el gráfico se muestra el nivel de intensidad en dB en función de
la frecuencia para sonidos de igual sonoridad. La mayor sensibilidad del oído es
~ 4 kHz para todos los niveles de intensidad sonora en dB.
sonoridad
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Cuestión 7.6
Todas las personas (38) que han acudido a un cocktail se
encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo
estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de
72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas
hablan a la vez.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
4.3.- Medios absorbentes
Hasta ahora hemos considerado que el medio por el que se propaga la onda no
absorbe energía. Sin embargo, se observa experimentalmente que los medios
materiales absorben energía, de forma que las ondas finalmente acaban
extinguiéndose.
Supongamos una onda que se propaga (por sencillez consideremos una onda
plana propagándose en la dirección +X). Experimentalmente se observa que la
intensidad de la onda decae con la propagación:
-dI = βI(x)dx
dI
= −βdx
I
donde
β
≡
constante
de
absorción, depende del medio y
de la frecuencia ω
Integrando: ln I = −βx + cte
Tomando I=Io en x = 0:
cte = ln I0
ln
I
= −βx
I0
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
I = I0 e −βx
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FÍSICA I
Esta expresión nos indica que I decae exponencialmente con x (a medida que
avanza la onda).
Notemos pues que en una situación real (con absorción):
- Ondas planas: I no es cte, sino que decae debido a la absorción
- Ondas cilíndricas y esféricas: I disminuye debido a la expansión de la
onda y a la absorción del medio
Como se ha mencionado, β depende del material.
Así pues, por ejemplo para ondas sonoras, se
puede realizar un mejor aislamiento acústico de
una sala en función de los materiales usados en las
paredes de la misma.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Cuestión 7.7
Una onda sonora cuya intensidad es 10-2 W/m2 al penetrar
en un medio absorbente de 1 m de espesor, tiene al salir del
mismo una amplitud que es la cuarta parte de la que tenía al
incidir en el medio absorbente. Determinar la intensidad de
la onda a la salida, el coeficiente de absorción del material
y su espesor de semiabsorción.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
5.- Efecto Doppler
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Una onda se caracteriza por su frecuencia. En el caso de una onda sonora
emitida por una fuente, esta posee una cierta frecuencia ω (ν). Sin embargo, se
observa experimentalmente que si una fuente o un observador están en
movimiento, la frecuencia percibida cambia (efecto Doppler).
http://www.youtube.com/watch?v=UEBNJqUW5Ok
En efecto, consideremos una fuente en movimiento (observador en reposo),
como se representa en la figura:
Al irse moviendo F hacia la dcha., los frentes
de onda se van a ir desplazando
sucesivamente, por lo que dejan de ser
concéntricos. Se tiene una acumulación de
frentes de onda en la parte delantera (según
avanza la onda) y una situación opuesta en la
parte posterior. Para el observador O,
situado por delante de F, la longitud de onda
que se percibe es menor (si está detrás es
mayor), y por tanto la frecuencia que observa
es mayor (menor si está detrás).
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Así, al acercarse o alejarse la fuente al observador,
este percibe una frecuencia mayor o menor. De la
misma forma, si el observador está también en
movimiento, la frecuencia percibida se ve afectada. En
el caso anterior del ejemplo, si el observador se
acercase a la fuente los frentes de onda se agruparían
aún más, disminuyendo adicionalmente la longitud de
onda y aumentando la frecuencia percibida.
Calculemos la frecuencia percibida en términos de la frecuencia emitida.
Consideremos el caso sencillo en el que O y F se mueven sobre la misma línea
recta:
Queremos calcular el nº de ondas emitido por la fuente en un cierto intervalo
de tiempo (τ) y observar el intervalo de tiempo correspondiente (τ´) en el que
son recibidas por el observador.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Consideremos una onda emitida por F en t=0 (posición A). Esta onda tardará un
tiempo t en ser percibida por el observador, que se habrá movido una cantidad
vOt. El espacio recorrido por la onda será s+vOt. Puesto que la onda viaja con
velocidad v tendremos:
s + vO t = vt
t=
s
v-vO
Consideremos el instante t (=t) y consideremos en dicho instante una nueva
onda emitida por F (posición A’). Esta onda será percibida por O en un instante
t’ (medido respecto al origen de tiempos inicial). Así, tendremos que:
s − vF τ + vO t' = v (t'-τ)
s − vF τ + vτ = v t' − vO t'
t' =
s + (v-vF )τ
v-vO
De esta forma, las ondas emitidas por F en el intervalo [0, t]≡τ se están
percibiendo por O en el intervalo [t, t’]≡τ’. Así:
τ' = t'-t =
s + (v-vF )τ
v-vO
(v-vF )τ
s
s
−t =
+
−
v-vO
v-vO
v-vO
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
τ' =
v-vF
v-vO
τ
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FÍSICA I
Si las ondas son emitidas con una frecuencia ν, el nº de ondas emitido en el
intervalo τ será ντ. El nº de ondas percibido en el intervalo τ’ será de la misma
forma ν’τ’. Ambos números de ondas emitidos y observados son iguales, por lo
que:
ντ = ν'τ'
ντ = ν'
v-vF
v-vO
τ
ν' =
v-vO
ν
v-vF
expresión que nos da la relación entre la frecuencia percibida por el
observador y la emitida por la fuente.
En general:
v ± vO
ν' =
ν
v ± vF
http://www.cimat.mx/~gil/tcj/2001/astronomia/hubble/doppler.html
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
En el caso de que F y O no se muevan sobre la misma línea debemos considerar
la descomposición de velocidades sobre la recta que los une. Además debemos
tener en cuenta las condiciones de propagación de la onda (viento en el caso de
ondas sonoras, etc.) (vexp)
ν' =
OF
vexp ± vO
vexp ± vFOF
ν
El efecto Doppler aparece en la naturaleza y tiene múltiples aplicaciones
prácticas: murciélagos, radar para detectar la velocidad de un automóvil, sonar
para detectar objetos, etc.
Si la velocidad de la fuente es mayor que la velocidad de las ondas en el medio
(vF>v), F avanza más rápido que sus frentes de ondas y el resultado es una onda
de choque u ondas de Mach.
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO
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FÍSICA I
Cuestión 7.8
Un observador en reposo frente a una vía férrea tarda 5 s
en oir el silbido de una locomotora, distante y en reposo,
con un tono continuo de 300 ciclos/segundo. Al cabo de ese
tiempo el tono del sonido se va haciendo más agudo,
llegando en 10 s más a ser de 330 ciclos/segundo y
permaneciendo otra vez constante. a) Explicar la causa de
los fenómenos descritos; b) calcular la posición, aceleración
media y velocidad final de la locomotora.
Velocidad del sonido: 340 m/s
TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO