Presentación de PowerPoint

Conceptos básicos de
metrología
Definiciones, características y estimación de incertidumbres.
¿Qué es la metrología?
La metrología es la ciencia de las mediciones.
La meteorología es la ciencia que estudia los fenómenos
climáticos y atmosféricos.
Metrología
La metrología incluye todos los aspectos teóricos y prácticos de
las mediciones, cualesquiera que sean su incertidumbre de
medida y su campo de aplicación.
La metrología comprende aspectos importantes de la calidad,
tales como la confianza, la comparabilidad y la aceptación de
requisitos de los resultados de las mediciones.
Definiciones
Exactitud: Veracidad
La veracidad es la proximidad entre la media de un número
infinito de valores medidos y un valor de referencia, ejemplo la
determinación de la concentración de azúcar en café.
𝐶 𝑛𝑎𝑧ú𝑐𝑎𝑟
1
=
𝑛
𝑛=∞
𝐶𝑛𝑖,𝑎𝑧ú𝑐𝑎𝑟
𝑖=1
𝐶𝑛𝑎ú𝑐𝑎𝑟 = 8,9 𝑔 100 𝑔
𝐶𝑛𝑟𝑒𝑎𝑙 = 10 𝑔 100 𝑔
Exactitud: Precisión
La precisión es la proximidad entre las indicaciones o los valores
medidos obtenidos en mediciones repetidas de un mismo
objeto, o de objetos similares bajo condiciones especificadas,
ejemplo determinación de la concentración de azúcar en café.
𝐶 𝑛𝑎𝑧ú𝑐𝑎𝑟
𝑠𝑐𝑛 𝑎𝑧 =
3
1
𝐶𝑖,𝑎𝑧 − 𝐶𝑎𝑧
3−1
1
=
3
𝑛=3
𝐶𝑛𝑖,𝑎𝑧ú𝑐𝑎𝑟 =
1
𝐶𝑛1 + 𝐶𝑛2 + 𝐶𝑛3
3
𝐶𝑛1 − 𝐶 𝑛𝑎𝑧
2
𝑖=1
2
=
+ 𝐶𝑛2 − 𝐶 𝑛𝑎𝑧
3−1
2
+ 𝐶𝑛3 − 𝐶 𝑛𝑎𝑧
2
Exactitud
Valor
discreto
Valor
disperso
Valor
verdadero
Está conformada por dos componentes, la veracidad y la
precisión. Es la proximidad entre un valor medido y un valor
verdadero de un mensurando.
“Exactitud” en la práctica
Se busca que la media del valor medido se aproxime al valor
aceptado como verdadero y que la dispersión le incluya al menos
con un 95% de probabilidad de cobertura.
Referencia
Media
Valor medido
Determinación de la concentración de azúcar
en café
Repetición
Concentración de
azúcar (g/ 100 g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8,9
7,9
9,4
10,5
10,4
10,9
7,0
9,0
10,3
8,1
8,5
7,5
Repetición
Concentración de
azúcar (g/ 100 g)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
7,4
8,2
8,4
7,1
8,6
8,8
9,3
8,8
8,9
8,8
10,5
9,1
9,0
Determinación de la concentración de azúcar
en café
Parámetro
Valor
Promedio
8,9 g/ 100 g
Desviación
Estándar
1 g/ 100 g
Máximo
10,9 g/ 100 g
Mínimo
7,0 g/ 100 g
Rango
3,9 g/ 100 g
Incremento
0,78 g/ 100 g
𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
Clases
Frecuencia
Acumulada
6,2
7,0
7,8
8,6
9,4
10,1
10,9
11,7
0
1
4
9
19
20
25
25
𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑖𝑛
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜
=
𝑛
𝑛
Frecuencia
no
acumulada
0
1
3
5
10
1
5
0
Histograma de frecuencia acumulada
Gráfico de Frecuencia Acumulada
30
25
25
10,93
11,72
25
19
20
20
15
9
10
4
5
0
1
0
6,23
7,02
7,80
8,58
9,37
10,15
Histograma de frecuencia no acumulada
Gráfico de Frecuencia no acumulada
12
10
10
8
6
5
5
4
3
2
1
1
0
0
0
6,23
7,02
7,80
8,58
9,37
10,15
10,93
11,72
Medida del grado de exactitud
𝑍=
𝐶 𝑛𝑎𝑧 −𝐶𝑛𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐 𝑎𝑧
=
8,9 −10
1
= 1,1
𝑆𝑖 𝑍 ≤ 2, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑆𝑖 𝑍 > 2, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒
Medida del grado de exactitud
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
Concentración de azúcar (g/ 100 g)
10
12
14
Reconocimiento mutuo
Si el resultado de la medición se realizó con patrones trazables
internacionalmente, la concentración determinada puede ser
reconocida en el mundo y comparada con las determinadas en
otros países.
Aceptación de requisitos
Los límites de aceptación de parámetros establecidos en las
leyes, regulaciones internacionales y normas, pueden
comprobarse con los resultados metrológicos.
Se evalúan tanto el valor reportado como su incertidumbre, pues
el que un parámetro cumpla con requisitos depende de toda la
probabilidad de valores posibles.
Aceptación de requisitos
Existen tres posibles formas de evaluar el cumplimiento de
requisitos.
𝑋𝑖 + 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 < 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑜
Ley de
agua
Contenido neto
𝑋𝑖 − 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 > 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑜
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑜𝑚𝑎𝑥 > 𝑋𝑖 ± 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 > 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑜𝑚𝑖𝑛
OIML R-111
Aceptación de requisitos
Para cumplir los requisitos generalmente se utilizan unas
fórmulas sencillas:
Para procesos estables
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 ≤
1
𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝐸𝑀𝑃
3
Para procesos inestables
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 ≤
1
𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝐸𝑀𝑃
5
Elección de equipos de medición en procesos
con requerimiento de cumplimiento de
requisitos de contenido neto
OIML R 87:2004 (E) Criterios de rechazo
1- El error promedio de la cantidad de producto en una muestra
de preempacado (Qprom≥ Qn , o que Error promedio ≥ 0).
2- El porcentaje de preempacados en la muestra que contiene
una cantidad de producto menor que Qn-T debe ser menor a
2,5% (T1).
3- Que el lote de inspección debe ser rechazado si uno o más
preempacados inadecuados en las muestras contienen una
cantidad de producto menor que Qn-2T (T2).
Deficiencias tolerables en el contenido actual
de preempacados
Cantidad nominal de producto (Qn) en g o mL
Deficiencia tolerable (T)
Porcentaje de Qn
g o mL
0 a 50
9
-
50 a 100
-
4,5
100 a 200
4,5
-
200 a 300
-
9
300 a 500
3
-
500 a 1 000
-
15
1 000 a 10 000
1,5
-
10 000 a 15 000
-
150
15 000 a 50 000
1
-
Caso 1, la productora de macarrones
Se empacan macarrones en bolsas plásticas con un contenido
declarado de 150 g, quiere decir que la cantidad nominal está
entre 100 g y 200 g y le corresponde en T de 4,5%.
𝑇1 = 𝑄𝑛 − %𝑄𝑛 = 150 𝑔 − 0,045 ∙ 150 𝑔 = 143,25 𝑔
𝑄𝑛 − 𝑇1 = 150 𝑔 − 143,25𝑔 = 6,75 𝑔
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙 ≤
1
1
𝐸𝑀𝑃 = ∙ 6,75 𝑔 = 2,25 𝑔
3
3
Caso 2, la embaladora de gaseosas
Se embalan gaseosas en botellas, con 750 mL de producto. El
proceso de embalaje es muy inestable. La cantidad nominal está
entre 500 mL y 1 000 mL y le corresponde en T de 15 mL.
𝑇1 = 𝑄𝑛 − 𝑇 = 750 𝑚𝐿 − 15 𝑚𝐿 = 735 𝑚𝐿
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙 ≤
1
1
𝐸𝑀𝑃 = ∙ 15 𝑚𝐿 = 3 𝑚𝐿
5
5
Evaluación del error promedio
Se evalúa la suma del error promedio con el error estándar
muestral Em.
𝑒 + 𝐸𝑚 > 0
𝑛
Error promedio
𝑆𝑇𝐸 1
𝑒=
=
𝑛
𝑛
Error muestral
𝐸𝑚 = 𝐷𝑒𝑠𝑣 𝐸𝑠𝑡 ∙ 𝑓
𝑖=1
1
𝑒𝑖 =
𝑛
𝑛
𝑄𝑖 − 𝑄𝑛
𝑖=1
Cálculo de incertidumbres
Incertidumbre
• La incertidumbre es un parámetro de medida no negativo,
que caracteriza la dispersión de los valores atribuidos a un
mensurando, a partir de la información que se utiliza.
• Existen dos maneras de representar la incertidumbre, la
incertidumbre típica que se utiliza para operar, y la
incertidumbre expandida que se utiliza para reportar
resultados.
Incertidumbres tipo a
Son las que se deben a la aleatoriedad de los eventos.
Generalmente se utiliza como estimador estadístico la desviación
estándar.
𝑛
𝑠𝑥 =
𝑋𝑖 − 𝑋
2
𝑛−1
𝑖=1
La repetibilidad en una medición, se estima como la desviación
estándar media.
𝑢𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡
𝑠𝑥
=
𝑛
Incertidumbres tipo b
Son las que se deben a la falta de resolución de los equipos, al
sesgo de los métodos y a las limitaciones del operador y del
ambiente.
Existen algunas distribuciones para determinarlas. La forma
general es un cociente entre la zona de duda y un número
relacionado con el tipo de distribución estadística esperada.
𝑢𝑏 =
𝛿𝑑
𝑘
Tipos de distribución
Rectangular: la probabilidad es igual en todo el ámbito.
𝑘 = 12
Triangular: la probabilidad es máxima en la media e igual a cero
en los extremos.
𝑘=
24
Normal: sigue la función de distribución normal.
𝑘 = 𝑖 (𝑖 = 1 ó 2 ó 3)
Tipo t: sigue la función de distribución t.
𝑘 = 𝑡1−𝛼,𝜈
Combinación de incertidumbres
Se utiliza la ley de propagación de la incertidumbre.
𝐺=𝐹 𝑥
;
𝜕𝐹(𝑥)
∙ 𝑢𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝑢𝑐,𝑏,𝐺 =
2
Si la ecuación es una suma o resta ↓
𝑋𝑡 = 𝑎𝑋1 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋3 ; 𝑢𝑋𝑡,𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑢𝑋1
2
+ 𝑏 ∙ 𝑢𝑋2
2
+ 𝑐 ∙ 𝑢𝑋3
2
Incertidumbre típica combinada
Si la ecuación divide o multiplica.
𝑎 ∙ 𝑌1 ∙ 𝑌2
𝑌𝑡 =
; 𝑢𝑌𝑡;𝑏 = 𝑌𝑡
𝑌3
𝑢𝑌1
𝑌1
2
𝑢𝑌2
+
𝑌2
2
𝑢𝑌3
+
𝑌3
2
A la incertidumbre combinada b se le incorpora la incertidumbre
tipo a.
𝑢𝑐 =
2
2
𝑢𝑐,𝑏
+ 𝑢𝑐,𝑎
Incertidumbre expandida
La incertidumbre expandida se obtiene al multiplicar la
combinada por un factor de cobertura k.
El factor de cobertura k es un número que refleja los extremos
de probabilidad en los que se encuentra el valor medido. Está
relacionado con la probabilidad de cobertura y con la
distribución estadística del mensurando.
𝑈 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐
Interpretación de certificados en la
estimación de la incertidumbre
Caso de la medición con pH
metro
Diagrama de Causa Efecto
Trazabilidad
Resolución
NIST, material de pH
4,01 con U= 0,5% del
valor de pH, k=2
0,001; con una
media de 5,648
Incertidumbre
típica combinada
Pendiente
Repetibilidad
7 repeticiones,
s = 0,01
Respuesta
Reproducción
Calibración
Tipo a
Certificado de calibración
Parámetro
Respuesta (% de la respuesta
final)
Pendiente de calibración
evaluado en pH 4 y 7 (%)
Pendiente de calibración
evaluado en pH 7 y 10 (%)
Potencial a pH 7,00 ( mV )
Desviación estándar de
repetibilidad a pH 4
(unidades de pH)
Desviación estándar de
reproducibilidad a pH 4
(unidades de pH)
Resultado
Incertidumbre
expandida ( ± ), k
=2
99,8
0,7
100
1
100
1
10,4
0,1
0,004
No aplica
0,004
No aplica
Incertidumbre por calibración
Incertidumbre por respuesta final
𝑢𝑟𝑒𝑠𝑝
5,648 ∙ 0,007
=
= 0,020
2 ∙ 0,998
Incertidumbre por reproducibilidad
𝑢𝑟𝑒𝑝𝑟 = 0,004
Incertidumbre por pendiente (ácida)
𝑢𝑝𝑒𝑛𝑑 =
5,648 ∙ 0,01
= 0,028
1∙2
Incertidumbre por resolución y trazabilidad
La distribución de la resolución de los equipos se comporta
según un modelo rectangular.
𝑢𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑛 =
0,001
12
= 0,000 29
La distribución del valor de trazabilidad es normal ya que k = 2.
𝑢𝑡𝑟𝑎𝑧
4,01 ∙ 0,005
=
= 0,010
2
Incertidumbre tipo a e incertidumbre
combinada
La incertidumbre tipo a se determina en el experimento.
𝑢𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡 =
0,01
7
= 0,003 8
La incertidumbre típica combinada incluye los aportes tipo a.
Como no hay modelo los coeficientes son igual a 1.
𝑢𝑐 𝑝𝐻 =
=
0,020
2
+ 0,004
2
2
2
2
2
2
𝑢𝑟𝑒𝑠𝑝
+ 𝑢𝑟𝑒𝑝𝑟
+ 𝑢𝑝𝑒𝑛𝑑
+ 𝑢𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑛
+ 𝑢𝑡𝑟𝑎𝑧
+ 𝑢𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡
2
+ 0,028
2
+ 0,000 29
2
+ 0,010
2
+ 0,003 8
2
= 0,036
Incertidumbre expandida
Asumiendo que la distribución final sigue una función normal,
entonces k = 2 para un 95% de probabilidad de cobertura.
𝑈𝑝𝐻 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 𝑝𝐻 = 0,07
El resultado de la medición de pH es (5,65 ± 0,07), con k = 2 para
un 95% de probabilidad de cobertura.
Caso de la calibración de la pesa
de 100 g
Modelo matemático
La determinación de la corrección de la masa de una pesa se
realiza por comparación entre una pesa patrón y una incógnita.
Para el ejemplo se asumió que la densidad del aire fue constante
y que la densidad del patrón es igual a la densidad de la
incógnita.
𝑐𝑜𝑟𝑟 = 𝑚𝑠 − 𝑚𝑥
𝑚𝑥 =
∆𝑚
+ 𝑚𝑠
1 − 𝜌𝑎 𝜌𝑠
Diagrama causa efecto
Trazabilidad
Resolución
LACOMET (ver
certificado)
0,000 01
Deriva del
patrón
Aire (g/cm3)
0,001 040 (6)
Pesa (g/cm3)
8,00 (0,14)
Densidad
Incertidumbre
típica combinada
Repetibilidad
7 repeticiones;
Δm = 0,000 08;
s = 0,000 02 g
Tipo a
Estimación de la incertidumbre típica
Incertidumbre por resolución para un Δm de 0,000 08 g.
𝑢𝑟𝑒𝑠 = 2 ∙
0,000 01
12
= 0,000 005 8 𝑔
Incertidumbre por densidad del aire obtenida por ecuación
CIPM.
𝑢𝜌𝑎 = 0,000 006 𝑔/ 𝑐𝑚3
Incertidumbre por la densidad de las pesas según OIML R-111.
𝑢𝜌𝑠 =
0,14
12
= 0,040 𝑔/ 𝑐𝑚3
Certificado de calibración de pesas patrón
Descripción
Corrección (mg)
U (mg); k=2
pesa de 200 g
0,022
0,0032
pesa de 200* g
0,126
0,031
pesa de 100 g
0,036
0,021
pesa de 50 g
0,022
0,019
pesa de 20 g
- 0,006
0,013
pesa de 20* g
- 0,006
0,013
pesa de 10 g
0,0208
0,0084
Incertidumbre típica por la masa del patrón y la
deriva
La corrección para el valor de la pesa patrón de 100 g es de 0,036
mg. La incertidumbre expandida es de 0,021 mg. Se dividen
entre 1000 para pasarlas a g.
𝑢𝑚𝑠
0,000 021
=
= 0,000 011 𝑔
2
Se considera la incertidumbre por trazabilidad como factor de
deriva.
0,000 021
𝑢𝑑𝑒𝑟 =
12
= 0,000 006 1 𝑔
Aporte a la incertidumbre combinada por ms y
la repetibilidad
Combinada de la masa del patrón
𝑢𝑚𝑠 =
0,000 011
2
+ 0,000 006 1
2
= 0,000 013 g
La incertidumbre por repetibilidad de las masas del calibrando,
se estima utilizando la desviación estándar de 0,000 02 g
obtenida en el experimento.
𝑢𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡 =
0,000 02
7
= 0,000 007 6 𝑔
Incertidumbre por la división de densidades
∆𝑚
𝑚𝑥 =
+ 𝑚𝑠 = 100,000 116 𝑔
1 − 𝜌𝑎 𝜌𝑠
𝑢𝜌𝑎/𝜌𝑠
𝑢𝜌𝑎/𝜌𝑠
0,001 040
=
∙
8,00
𝜌𝑎
=
∙
𝜌𝑠
𝑢𝜌𝑎
𝜌𝑎
0,000 006
0,001 040
2
2
𝑢𝜌𝑠
+
𝜌𝑠
2
0,040
+
8,00
2
= 9,9 × 10−7
Incertidumbre por el primer factor de la
ecuación
𝑚𝑥 =
𝑢∆𝑚/𝜌
𝑢∆𝑚/𝜌
0,000 08
=
∙
0,999 87
∆𝑚
+ 𝑚𝑠
1 − 𝜌𝑎 𝜌𝑠
∆𝑚
=
∙
𝜌𝑎
1−𝜌
𝑠
0,000 005 8
0,000 08
𝑢∆𝑚
∆𝑚
2
2
+
𝑢𝜌𝑎/𝜌𝑠
𝜌
1 − 𝜌𝑎
𝑠
9,9 × 10−7
+
0,999 87
2
2
= 5,8 × 10−6 𝑔
Incertidumbre combinada
Se combina la incertidumbre tipo b.
𝑢𝑚𝑥 =
2
2
𝑢∆𝑚/𝜌
+ 𝑢𝑚𝑠
=
5,8 × 10−6
2
+ 1,3 × 10−5
2
= 0,000 014 𝑔
Luego se combina la incertidumbre tipo b con la a.
𝑢𝑐 𝑚𝑥 =
𝑢𝑏2 + 𝑢𝑎2 =
0,000 014
2
+ 0,000 007 6
2
= 0,000 016 𝑔
Cálculo de la corrección del calibrando
Se calcula la corrección de la pesa calibrada.
𝑐𝑜𝑟𝑟 = 𝑚𝑠 − 𝑚𝑥 = 100,000 036 − 100,000 116 = −0,000 08 𝑔
La incertidumbre correspondiente es la que se reporta en el
certificado.
𝑢𝑐 𝑐𝑜𝑟𝑟 =
2
2
𝑢𝑚𝑥
+ 𝑢𝑚𝑠
=
0,000 016
2
+ 0,000 013
2
= 0,000 021 𝑔
Reporte
Se calibró la pesa de valor nominal 100 g. La incertidumbre
expandida se calculó un factor k = 2 para un 95% de probabilidad
de cobertura.
𝑈𝑐𝑜𝑟𝑟 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 𝑐𝑜𝑟𝑟 = 2 ∙ 0,000 021 = 0,000 04 g
Descripción
Corrección (mg)
U, k = 2; (mg)
100 g
- 0,08
0,04
¡Muchas gracias!
Francisco Sequeira C.
[email protected]
2283-6580 ext 110