El Amplificador Operacional Ideal

1
El Ampli…cador Operacional Ideal
J.I. Huircán
Abstract— El Ampli…cador Operacional Ideal es un ampli…cador de volta je de alta ganancia, controlado por volta je,
que posee una resistencia de entrada in…nita. De esta forma,
la corriente de entrada es cero, y la diferencia de potencial
en los terminales de entrada es cero (cortocircuito virtual).
Este dispositivo permite implementar aplicaciones analógicas para el procesamiento de señales tales como sumadores,
integradores, derivadores de señal además de sistemas osciladores, generadores de función y otros. Este componente
se puede usar para emular elementos pasivos.
v
_
v+
+VCC
v
_
vd
vo
+
Ro
_
+
A v vd
Ri
vo
v+
_V
CC
(b)
(a)
Fig. 1. (a) Símbolo del Op Amp. (b) Modelo del Op Amp.
Index Terms— Ideal Amp Op, Ampli…cador Operacional
TABLE I
Características del AO Ideal.
I. Introduction
El Ampli…cador Operacional (Op Amp), es un ampli…cador
de acoplamiento directo de alta ganancia, que mediante el
uso de una red de realimentación puede controlar en forma
más e…ciente la ganancia. Es muy versátil y e…ciente,
permite realizar aplicaciones tanto lineales como no lineales la que incluyen áreas de instrumentación electrónica,
circuitos de interfaz, electrónica industrial, computación
analógica y otras aplicaciones especiales.
El nombre de Op Amp deriva de sus primeras aplicaciones consistente en operaciones matemáticas (nombre
formalizado por Raggazini en 1947), como parte de computadores analógicos que permiten la resolución de ecuaciones diferenciales, en las cuales se pueden encontrar circuitos sumadores, integradores, diferenciadores, ampli…cadores logarítmicos, etc. Dentro de los usos especí…cos del Op Amp, se tienen: Ampli…cadores de corriente
continua y corriente alterna, comparadores, osciladores,
multivibradores, …ltros activos, ampli…cadores de instrumentación, transmitters y acondicionadores de señal, etc.
En este artículo se realiza una revisión del Op Amp ideal
mostrando sus principales características y bondades, también se estudian las con…guraciones más básicas y clásicas.
II. El Amplificador Operacional Ideal
Un Op Amp es un bloque con terminales de entrada y
salida y su simbolo se muestra en la Fig. 1a. Este requiere
fuentes de alimentación positivas y negativas ( VCC ) para
su operación, permitiendo una salida con excursión mayor
y menor que cero volts. Los rangos máximos de salida,
estarán determinados por dichas fuentes.
Donde vo es la salida, v + es el terminal no inversor,
v es el terminal inversor. El modelo del Op Amp, de
acuerdo a lo mostrado en la Fig.1b, corresponde a una
fuente controlada de voltaje dependiente de vd (VCVS,
voltage-controlled voltage-source), se observa una resistencia de entrada, Ri y una resistencia de salida Ro . Idealmente, vo depende de la diferencia de potencial que existe
entre el terminal inversor (v ) y el no inversor (v + ). Las
características del Op Amp ideal se indican an la Tabla I.
Documento preparado para la asignatura Circuitos Electrónicos
II. Depto Ing. Eléctrica. Versión 1.0 - 2015.
Característica
Resistencia de entrada
Resistencia de salida
Ganancia de Lazo abierto
Ancho de Banda
Balance Perfecto
Parámetros Invariables
Ri
Ro
Av
BW
vo = 0
con la To
Valor
1
0
1
1
Si v + = v
La salida de voltaje vo es proporcional a la entrada, esta
relación se llama ganancia en lazo abierto y se simboliza
como Av , luego
vo = Av v +
= Av vd
v
(1)
La curva vo vi del Op Amp mostrada en la Fig. 2,
tiene una zona lineal entre las líneas segmentadas y una
zona de saturación, la cual está limitada por las fuentes de
alimentación. En la práctica los límites no son exactamente
VCC , sino inferiores al voltaje de alimentación, los cuales
pueden no ser simétricos (+vcc 6= vcc ).
Vcc
vcc
vo (volts)
Av
vd (milivolts)
- vcc
_V
cc
Fig. 2. Curva vo
De (1) se tiene
vi del AO.
2
vo
= v+ v
Av
Pero como Av ! 1; entonces
v
+
(2)
Pero se tiene que v + = 0, como v + = v
(3), entonces
Rf
vi
Ra
vo =
v
(3)
En la realidad, la tensión de la entrada diferencial (vd )
es muy cercana a cero, debe considerarse esta situación
debido a que la salida debe tener un valor inferior al voltaje
de alimentación, si la entrada es grande, la salida del Op
Amp estará saturada.
Si la resistencia de entrada Ri ! 1, la corriente en
las entradas v + y v es cero. Esta situación explica el
concepto de cortocircuito virtual, donde el potencial entre
dos puntos es el mismo, pero la corriente entre ellos es
cero. Así se desprenden dos reglas básicas para el análisis
de circuitos con el Op Amp ideal:
La corriente de entrada al terminal v y al terminal
v + es cero.
La diferencia de potencial entre el terminal v + y v
es cero.
Cuando la entrada diferencial excede el rango lineal,
como se muestra en la curva de la Fig. 2, el Op Amp
opera como un elemento no lineal, lo que permite el diseño de aplicaciones no lineales tales como comparadores y
disparadores.
Los Op Amp reales tienen una ganancia en lazo abierto
que ‡uctúa del orden de 100000, la resistencia de entrada
y el ancho de banda también estarán limitadas, estos aspectos deberán ser considerados cuando se trabaje con Op
Amp reales y las condiciones de diseño sean más precisas.
III. Configuraciones Básicas del Amplificador
Operacional
El Op Amp mediante el uso de elementos externos que
realimentan parte de la salida a la entrada, puede con…gurarse para diferentes aplicaciones básicas. Estas aplicaciones se describen y analizan a continuación.
Rf
Ra
va
_
Rb
vb
vc
Fig. 4. Ampli…cador sumador inversor .
Planteando la LCK en v ,
va
v
Ra
+
vb
v
Rb
+
vc
v
Rc
Considerando v + = 0 y v + = v
vo =
Rf
v
Rf
=0
(6)
se obtiene
va
vb
vc
+
+
Ra
Rb
Rc
(7)
Para Ra = Rb = Rc = Rf se obtiene la suma de las
entrada, vo = (va + vb + vc ). Este circuito puede ser
extendido para n-entradas, así se tiene
vo =
Rf
n
X
vj
j=1
(8)
Rj
En este caso, los vj representan las n entradas y los Rj
los n resistores conectados a v .
vo
Rf
Ra
_
Fig. 3. Ampli…cador inversor.
vi
Planteando la LCK en el terminal v
Ra
vo
_
+
v
+
El circuito de la Fig. 5 es un ampli…cador no inversor.
Ra
vi
vo
+
Rc
B. El ampli…cador no inversor
Rf
vi
(5)
La relación vo =vi obtenida de (5) se conoce como ganancia de lazo cerrado o ganancia realimentada. El signo
indica que existe un desface de 180o entre la entrada y la
salida. Esta ganancia es independiente de Av .
Modi…cando la aplicación es posible obtener otras funcionalidades. Así, agregando dos resistores al terminal inversor, como se indica en la Fig. 4, se tiene el ampli…cador
sumador inversor.
A. El Ampli…cador Inversor
El circuito de la Fig.3 muestra un Op Amp con realimentación negativa. Existe una resistencia Rf , que une la
salida con la entrada inversora del Op Amp y un resistor
Ra que conecta la entrada con el terminal inversor.
de acuerdo a
+
vo
v
Rf
=0
se tiene
(4)
Fig. 5. Ampli…cador no inversor.
+
vo
EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL IDEAL
3
Planteando la LCK en el terminal v , se tiene
0
v
Ra
vo
+
v
Rf
=0
Rf
(9)
Ra
va
_
Ra
v
b
Por otro lado
vo
+
Rf
+
v = vi
(10)
Como v + = v , entonces
Fig. 7. Ampli…cador diferencial.
Rf
+ 1 vi
Ra
vo =
(11)
R
La ganancia de lazo cerrado será Rfa + 1 : La señal de
entrada y salida están en fase.
Una variante del circuito analizado se conoce como
seguidor de emisor, bu¤ er de ganancia unitaria o adaptador de impedancias. Esta aplicación se construye haciendo
Rf = 0 y Ra = 1; lo que permite obtener el circuito de la
Fig. 6a. De esta forma la salida será
vo = vi
va
v
Ra
vb
+
v+
Ra
vo
v
= 0
Rf
0 v+
+
= 0
Rf
vo =
Rf
(vb
Ra
va )
(18)
Donde la ganancia de lazo cerrado será
_
vi
vo
v
i
Cambiando los resistores por impedancias en el ampli…cador la Fig. 3, se obtiene el circuito de la Fig. 8. Se han
usado letras mayúsculas para expresar el dominio j!; debido a que éstas representan amplitudes complejas. Repitiendo el análisis del ampli…cador inversor, esta vez en el
plano complejo, se obtiene (19).
vo
+
(b)
(a)
Fig. 6. (a) Seguidor de emisor básico. (b) Alternativo.
v
= 0
(13)
v + = vi
(14)
Rf
Vi
Za
Vo
Fig. 8. Ampli…cador inversor modi…cado.
Haciendo Za = Ra y Zf = 1=j!Cf , el circuito queda de
acuerdo al circuito indicado en la Fig. 9. Reemplazando
en la ecuación (19) los valores de las impedancias, se tiene
(15)
=
El circuito de la Fig. 7, se conoce como ampli…cador
diferencial. Planteando la LCK en v y v + se tiene
_
+
Vo (j!) =
C. Ampli…cador Diferencial
(19)
Zf
Luego como v + = v , entonces
vo = vi
Zf
Vi
Za
Vo =
Esta con…guración se caracteriza porque tiene una alta
impedancia de entrada y una muy pequeña impedancia
de salida, lo que le permite ser utilizado como etapa de
aislación. Desde el punto de vista de la entrada es la carga
ideal, y visto desde la salida es un generador de tensión
ideal.
Una variante del seguidor de emisor corresponde al circuito de la Fig. 6b. Planteando las ecuaciones se tiene
vo
Rf
Ra :
D. Circuitos integradores y diferenciadores
_
+
(17)
Como v + = v , entonces
(12)
Rf
(16)
1
j!Cf
Vi (j!)
Ra
1
Vi (j!)
j!Ra Cf
Haciendo s = j! y aplicando £
en función del tiempo
1
(20)
(21)
fg se obtiene la salida
4
Haciendo el análisis en el dominio del tiempo se tiene
1
jωC f
Vi ( jω )
Ra
v + = vo
_
Vo ( jω )
+
R1
vo
=
R1 + R 1
2
(26)
Luego en v ,
v+
vi
R
Fig. 9. Integrador inversor en el plano complejo.
+
v+
vo
= iC = C
R
dv +
dt
(27)
Finalmente, reemplazando v + y despejando vo
1
Ra Cf
vo (t) =
Z
t
vi ( ) d
(22)
0
Este circuito se conoce como integrador inversor. Para
valores especí…cos de Ra y Cf se obtiene la salida como
integral de la entrada.
Considerando el circuito de la Fig. 8, haciendo Za =
1=j!Ca (un capacitor) y Zf = Rf , se obtiene el circuito
de la Fig. 10. Luego de acuerdo a (19) se obtiene (24).
Z
vi ( ) d
(28)
0
El circuito de la Fig. 12 es un generador de corriente
dependiente, permite transformar un voltaje en una corriente, la cual será independiente de la carga.
R
R
_
v
+
_
Vi ( jω)
t
E. Conversores Voltaje-Corriente
Rf
1
j ωC a
2
RC
vo (t) =
Vo ( jω)
+
R
R
vi
i
RL
L
Fig. 10. Derivador inversor plano complejo.
Fig. 12. Convertidor v
Vo (j!) =
=
Rf
1
j!Ca
Vi (j!)
(23)
j!Rf Ca Vi (j!)
Haciendo s = j! y aplicando $
salida será
1
Planteando la LCK en el terminal v + y v , se tiene
(24)
fg se tiene que la
Rf Ca
v
2
(29)
v+
= iL
R
(30)
vi
R
(31)
v+ =
v+
vi
R
d
vi (t)
(25)
dt
El circuito mostrado se conoce como derivador inversor.
Un caso especial es la aplicación de la Fig. 11, el cual
tiene dos lazos de realimentación y corresponde al circuito
integrador no inversor de Miller.
vo (t) =
i no inversor.
+
v
Como v + = v ; entonces
iL =
La corriente depende del valor de R y no de la carga.
La aplicación de la Fig. 13, es un conversor v i inversor,
planteando la LCK en v + y v se tiene
R1
R1
vi
_
vo
+
vi
R
R
C
Fig. 11. Integrador no inversor.
v
vx v
+
= 0
R1
R2
0 v+
vx v +
+
= iL
R3
R4
Como v + = v ; considerando que
iL =
vi
R3
R1
R2
=
(32)
(33)
R3
R4 ,
entonces
(34)
EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL IDEAL
5
Esta expresión representa una resistencia negativa.
R2
R1
vi
-
R3
vx
_
+
R4
iL
+
RL
Z1
Vi
V3
Z3
V2
Z2
Z4
V4
Z5
_
V1
+
Fig. 13. Convertidor v
i inversor.
Fig. 16. Convertidor de impedancias.
IV. Emulación de componentes mediante Op Amp
El Op Amp puede ser usado para simular elementos pasivos, tal es el caso del inductor activo o la resistencia negativa. Es decir, desde los terminales de entrada (del circuito), es posible apreciar el comportamiento del elemento
pasivo simulado con componentes activas.
Z ent
-jXC
jXL
El Op Amp puede se utilizado para emular otro tipo de
elementos pasivos, el circuito de la Fig. 16, se conoce como
convertidor de impedancias. Calculando la impedancia de
entrada de la con…guración es posible determinar que componente es el que se ve desde los terminales. Para el cálculo
del Zent , se coloca entre los terminales de entrada un generador de voltaje y se hace circular una corriente I, como
se indica en la Fig. 17, luego Zent = VIin :
-R
_
+
Fig. 14. Posibles componentes pasivos a emular.
Si la impedancia es vista desde la entrada, entonces el
componente corresponderá al Zent del circuito. Analizando
el circuito de la Fig. 15a, se determina la resistencia de
entrada, Rent ; colocando un generador de voltaje v en la
entrada, el cual hará circular una corriente i, así Rent = vi :
Rf
Rf
Ra
Ra
_
vo
+
_
vo
+
I
+
Z1
Vi
R
v
_
Considerando que Vi = V + = V = V2 en el primer
Op Amp, y V2 = V = V + = V4 del segundo Op Amp,
entonces Vi = V2 = V4 .
Planteando la LCK en V del primer Op Amp.
R
V2
i+
v+
vo
R
= 0
(35)
(36)
Pero v = v + = v, entonces
Rent =
v
=
i
R
Ra
Rf
(37)
V3
V2
Z3
Vi
=0
V1
Z1
(38)
(39)
Por otro lado en el segundo Op Amp
V4 =
Ra
vo
R a + Rf
+
I=
(b)
v+ =
Z5
+
Z2
Fig. 15. (a) Emulador de resistencia negativa. (b) Circuito para
cálculo de Rent .
V
4
V3
V1
V1
+
(a)
V2
Fig. 17. Cálculo del Zent .
i
vi
Z2
Z4
Z3
Z5
V3
Z4 + Z5
(40)
Vi
Z5 Z3 Z1
=
I
Z2 Z4
(41)
Finalmente
Zent =
El circuito mostrado puede emular distintos componentes, tal es el caso del inductor activo, esto eligiendo
las impedancias adecuadasmediante el uso de capacitores
y resistores.
6
El circuito de la Fig. 18 permite emular un multiplicador de capacidad, para determinar esa función, sólo se
debe determinar la impedancia de entrada vista desde los
terminales de entrada.
C
i
in
R2
a
+
v
R
1
El circuito integrador y derivador inversor fueron analizados en el dominio de la frecuencia compleja, sin embargo, estos pueden ser analizados en el dominio del
tiempo. Considerando el circuito de la Fig. 21, planteando la LCK en v + y v se tiene
_
_
in
V. Análisis de integradores en el dominio del
tiempo
Cf
vout
+
b
Ra
vi
_
Fig. 18. Emulador de capacidad variable.
Pasando el circuito al dominio j! como se muestra en la
Fig. 19, se incorpora una fuente de prueba en la entrada,
para luego planteando la LCK en el terminal V + del primer
Op Amp.
Fig. 21. Integrador en el dominio del tiempo.
vi
1
ωj C
I
V+
in
vi
R2
in
a
V+
_
V
v
Ra
R
1
+
_
_
+ Cf
v
+ iC = 0
Ra
d (vo
v )
dt
= 0
(45)
Pero v = v + = 0, entonces
Vout
+
b
dvo
vi
+ Cf
=0
Ra
dt
(b)
(46)
Finalmente
Fig. 19. Cálculode Zent .
Iin =
V+
vo (t) =
Vout
(42)
1
j!C
Adicionalmente V + = V = Vin . Por otro lado, el
segundo Op Amp está con…gurado como ampli…cador inversor, entonces se tiene
Vin
=
Iin
j!C
FH
R2
R1
Ra
KI
(47)
vo
+
Fig. 22. Integrador diferencial.
Planteando las ecuaciones en el dominio del tiempo en
v + y v se tiene
v1
v
Ra
+ Cf
d (vo
v )
dt
v2
Fig. 20. Circuito equivalente del multiplicador de capacidad.
vi ( ) d
0
Cf
+1
+1
t
_
Ra
2
R2
C R
+ 1 , el cual se modi…ca variando los resistores R1
1
y R2 .
Ceq = C
v1
(44)
Note que Zent será un capacitor variable dado por Ceq =
Z
Cf
v
1
R2
R1
1
Ra Cf
El cual coincide con el obtenido en (22).
Sea circuito de la Fig. 22, el cual corresponde a una
con…guración diferencial.
R2
Vout =
V
(43)
R1
Reemplazando V + de (42) en (43), se llega a (44).
Zent =
vo
+
v+
Ra
= 0
= Cf
(48)
dv +
dt
(49)
Pero como v + = v , luego, restando (49) y (48) se tiene
EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL IDEAL
v2
Ra
v1
Ra
dvo
Cf
=0
dt
7
(50)
Despejando vo , se tiene
1
vo (t) =
Ra Cf
Z
t
(v2 ( )
v1 ( )) d
(51)
0
Este circuito será entonces un integrador diferencial.
Observe que si el análisis se realiza en el dominio de la
frecuencia, entonces se tendría
Vo =
Zf
(V2
Za
V1 )
(52)
Luego
Vo =
1
(V2
j!Cf Ra
V1 )
(53)
Al pasar al dominio del tiempo se llega a (51).
El circuito derivador de la Fig.10 puede ser analizado
en el dominio del tiempo. En este caso el circuito en el
dominio del tiempo es el mostrado en la Fig. 23.
Rf
Ca
vi
_
vo
+
Fig. 23. Circuito derivador inversor.
Planteando la LCK en v
Ca
d (vi
v )
dt
y v + se tiene
+
vo
v
Rf
= 0
v+ = 0
Dado que v + = v , se tiene
Ca
dvi
vo
+
= 0
dt
Rf
vo =
Rf Ca
dvi
dt
(54)
Se observa que el resultado obtenido en (54) es igual a
(25).
VI. Conclusiones
El Op Amp ideal tiene una ganancia de voltaje in…nita
y una resistencia de entrada in…nita. De acuerdo a esto se
establece que la corriente de entrada al Op Amp es cero y
que la diferencia de potencial entre los voltajes de entrada
es cero lo que se conoce como cortocircuito virtual. El
análisis de las con…guraciones se hace aplicando las dos
reglas mencionadas.
Las con…guraciones más básicas son construidas realimentando negativamente el Op Amp mediante elementos pasivos, tales como, resistores y capacitores, de esta
forma se obtienen el ampli…cador inversor, no inversor
y diferencial, adicionalmente los circuitos integradores y
derivadores.
La relación obtenida entre la salida y la entrada de un
circuito lineal con Op Amp realimentado recibe el nombre
de ganancia de lazo cerrado o ganancia realimentada.
Cuando en el circuito aparecen elementos capacitivos,
el cálculo de la relación entrada-salida del circuito puede
hacerse tanto en el dominio del tiempo como en el plano
complejo, esto debido a que el análisis usando impedancias
es más simple.
Finalmente, el Op Amp ideal puede ser usado para emular el comportamiento de otros elementos pasivos, esto
quedará establecido por el cálculo de la impedancia de entrada del circuito, en este caso el componente emulado será
un componente activo.
References
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