Números - Ministerio de Educación de Chile

Nivelación Restitutiva
Manual del
Docente
2006
Matemática
Números
1º Medio
Material elaborado por
Equipo Desarrollo Pedagógico
Programa Liceo Para Todos
Presentación de la Ministra de Educación
Marigen Hornkohl
Marzo 2006
Estimadas profesoras y profesores:
Al comenzar la década de los noventa, 20 de cada 100 jóvenes no asistía al liceo. Hoy tenemos una cobertura
del 93% en educación media y tenemos el firme propósito de seguir avanzando hacia el compromiso
—reafirmado a partir de mayo de 2003 por la Constitución— de lograr 12 años de educación para todos.
Lograr que todos los jóvenes chilenos, especialmente los de menores recursos, completen al menos su
enseñanza media es una meta en la que estamos trabajando juntos: Ministerio de Educación, sostenedores,
docentes, directivos, estudiantes, padres - madres y apoderados.
Este año ampliaremos la subvención pro retención que se pagó por primera vez el 2004 y que el 2005
benefició a los sostenedores de establecimientos que lograron mantener en el sistema escolar a 35 mil
niños y jóvenes de las familias más necesitadas, que cursaron entre 7º básico y 4º medio. Además, en los
442 liceos de menores recursos y mayores dificultades educativas, 18 mil alumnos recibirán Beca Liceo
para Todos, creada en el año 2000 para asegurar la permanencia en el aula de los estudiantes en riesgo
de desertar.
No sólo se trata de que los jóvenes no abandonen el liceo, sino principalmente de que ahí reciban aprendizajes
de calidad y aprendan conocimientos y habilidades que les permitan responder apropiadamente a las
exigencias del siglo XXI.
En esa perspectiva, Liceo para Todos está apoyando a los liceos que participan del Programa, a desarrollar
una experiencia escolar inclusiva y de calidad. La Nivelación Restitutiva —desarrollada desde el año 2000—
es una herramienta específica para ese fin. El año pasado, 67 mil estudiantes de primero medio —nivel en el
que se produce el mayor retiro y fracaso escolar, en estos establecimientos— recibieron apoyo pedagógico
especial para afianzar sus conocimientos en lenguaje y matemática.
A partir del año 2005 ampliamos la cobertura de sectores de aprendizaje que se incorporan a esta innovación,
esto es:
•
•
Trabajo diferenciado en ciencias sociales y ciencias naturales (los tres subsectores), a esto se
sumaron durante el 2005 14 mil estudiantes.
Trabajo diferenciado en lenguaje y matemática 2º medio, a esto se sumaron 12 mil 600 estudiantes
durante el 2005.
Este material de apoyo docente que ustedes tiene en sus manos es fruto de un esfuerzo compartido. Las
versiones anteriores han sido mejoradas gracias al aporte de profesores que han trabajado en el aula con
estos manuales en los liceos del Programa. También han entregado su contribución la Universidad de la
Frontera, de Temuco, en la parte Lengua Castellana y Comunicación, y la Pontificia Universidad Católica de
Chile, en la parte Matemática.
Las publicaciones por sí mismas no aseguran mejores resultados de aprendizaje. Es la acción pedagógica y
perseverancia de ustedes —profesoras y profesores— las que permitirán que estos manuales generen real
conocimiento en nuestros jóvenes y la oportunidad para que se formen mejor en la enseñanza media.
¡Felicitaciones por su esfuerzo!
MARIGEN HORNKOHL
Ministra de Educación
1 Introducción
Este Manual tiene como propósito entregar a los profesores y profesoras, orientaciones para
la implementación del proceso de Nivelación Restitutiva en 1° medio. Si bien algunos de los
docentes ha trabajado en esta innovación, cada año se ajusta la propuesta a partir de las
evidencias aportadas por los liceos y se hacen nuevos desarrollos que permitan su mejor
implementación, lo cual está contenido en este manual. En él encontraran orientaciones,
explicaciones y herramientas que buscan aportar al trabajo cotidiano en el subsector.
El Programa de Matemática para Primer Año de Enseñanza Media plantea la Resolución de
Problemas como tema transversal para el aprendizaje. Es fundamental que en este sentido
se abran espacios que permitan a los estudiantes responder a las preguntas generadas
en la dinámica de la clase o bien planteadas durante el tratamiento que se hace de las
diversas actividades, que expongan sus argumentos, describan, expliquen y validen sus
procedimientos y estrategias de resolución. No debemos olvidar que la matemática forma
parte del acervo cultural de nuestra sociedad. Es una disciplina cuya construcción ha surgido
de la necesidad y/o deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más
variados ámbitos, tanto de la matemática misma como del mundo de las ciencias naturales,
sociales, del arte y de la tecnología.
Desde esta perspectiva, el enfoque que se da al tema Números en los grupos de nivel 1, 2
y 3 no está exento de este enfoque y relevante propósito. En ellos se plantea una secuencia
de temáticas, contenidos y problemas cuya contextualización tiene el firme propósito de
acercar la matemática a la realidad, donde diferentes situaciones de la vida cotidiana hacen
posible la aplicación de un sinnúmero de conceptos propios de la disciplina y en particular
del Tema Números. La estructura y organización con carácter de texto de cada uno de ellos,
estamos seguros, responde a los intereses de los alumnos de esta edad, donde esperamos
confiados que su propuesta y gestión del profesor (a) permitirá a éstos recuperar de forma
significativa conocimientos trabajados en cursos anteriores y con ello establecer relaciones
que faciliten y medien en la adquisición y aplicación de nuevos saberes.
1.1 Propuesta LPT para la implementación curricular en 1° medio
No es desconocido para usted como profesor el tipo de competencias comunicativas de
sus estudiantes, las cuales se ven reflejadas, entre otras cosas, en la forma en que los
estudiantes han redactado, los procedimientos y respuestas, durante estos cuatro años de
aplicación de la Nivelación Restitutiva y desarrollo de proyectos de investigación, tampoco
lo son la diversidad de competencias que estos tienen al ingresar a la Enseñanza Media.
Estas tienen expresiones variadas: desde estudiantes que con esfuerzo desarrollan la
operatoria matemática, hasta aquellos que son capaces de comprender y relacionar los
diferentes contenidos curriculares; desde estudiantes que tienen dificultad para escribir
un procedimiento coherente al problema presentado hasta estudiantes que son capaces
de plantearlo desde el lenguaje matemático o icónico; desde quienes tienen dificultad
para realizar una actividad simple sin ayuda, hasta los que pueden trabajar a partir de
instrucciones durante una clase completa y logran el producto esperado.
Esto dificulta enormemente el abordaje habitual del subsector, es decir, si usted inicia
eproceso con todos los estudiantes en la unidad 1 del programa usando actividades iguales
—5—
para todos, sin establecer las diferenciaciones necesarias, la posibilidad de que una parte
de ellos no logre los aprendizajes que se ha propuesto alcanzar es alta. Esto es un desafío
para usted como profesor, que implica atender la diversidad existente en las aulas por
medio de estrategias que permitan a todos los estudiantes acceder al nuevo conocimiento
por medio de los que ya poseen.
Con el propósito de aportar una forma de abordar esta complejidad pedagógica, el Programa
Liceo para Todos pone a disposición de los liceos la propuesta de Nivelación Restitutiva la
cual ha sido reformulada a partir de los comentarios de los docentes y de las evaluaciones
realizadas por el programa, en este sentido las modificaciones al material contemplan
la incorporación de los tres temas curriculares que se intencionan desde el marco
curricular (y las siete unidades establecidas para abordar estos temas), mediante un
trabajo diferenciado que permite, al docente, construir y desarrollar el nuevo conocimiento
por medio de las diferentes disposiciones de aprendizaje que presentan los estudiantes al
comenzar este año escolar.
Este diseño pedagógico se basa en los siguientes propósitos respecto al aprendizaje de los
estudiantes:
(a)
(b)
(c)
(d)
Atender la diversidad de disposiciones de aprendizaje de los estudiantes,
relevada a través del diagnóstico de disposiciones de aprendizaje provisto para
la presente innovación.
Proveer contextos de trabajo que permitan a los estudiantes la articulación de sus
propios conocimientos con los aprendizajes esperados para primer año medio.
Evaluar el avance de los desempeños de los estudiantes al término de cada uno de
los temas curriculares (“Número y operatoria aritmética”, “Álgebra” y “Geometría”),
de tal modo de tener certeza respecto a los aprendizajes logrados.
Trabajar el año escolar en torno a actividades que permita lograr las competencias
curriculares establecida para el primero medio.
Estos propósitos implican lo siguiente:
(a)
(b)
(c)
Al igual que en el año anterior, el diagnóstico permite organizar a los estudiantes
en grupos de nivel, mediante los cuales se abordaran la totalidad de unidades
curriculares propuestas para primero medio.
La provisión de contextos de trabajo que permitan articular sus aprendizajes con
el nuevo conocimiento. Hemos modificado la estructura de la Nivelación la cual
contempla el desarrollo de un nivel por estudiante para adquirir el conocimiento
relacionado a cada tema y unidad curricular.
Una vez finalizado el desarrollo de cada tema curricular (Número, Álgebra
o Geometría), todos los estudiantes desarrollan la evaluación de término
(proyecto de externalización), el cual nos indicará el nivel de avance en el
desempeño de los estudiantes para cada una de las unidades curriculares
ya trabajadas y nos permitirá organizar a los estudiantes, en conjunto con el
diagnóstico de la temática siguiente, los grupos de trabajo para la enseñanza de
las unidades relacionadas con él.
En este sentido, hemos establecido que las unidades curriculares de primero medio que
mejor se ‘ajustan’ a cada uno de los temas son las siguientes:
—6—
(d)
•
Para el tema Números (trabajo con el cual se inicia el año escolar) las
unidades del programa relacionadas son: Unidad 1: Números, Unidad 4:
Variaciones Proporcionales y Unidad 5: Variaciones Porcentuales.
•
Para el tema Álgebra y Funciones (trabajo de mediados de año) las
unidades son Unidad 2: Lenguaje algebraico y Unidad 6: Factorizaciones y
productos.
•
Para el tema Geometría (trabajo de finalización de año) Unidad 3:
Transformaciones isométricas y Unidad 7: Congruencia de Figuras Planas
Esta definición quiere articular el trabajo ya realizado por los liceos (hasta el año
2005) y las nuevas demandas impulsadas por el currículum, que está construido
sobre la base de competencias que se desarrollan en nivel de complejidad creciente
a lo largo de los 12 años de escolaridad. Por ejemplo, podemos mencionar que el
aprendizaje del concepto del conjunto de los números naturales, que se desarrolla
desde edades tempranas (con el aprendizaje de la operatoria elemental), se
vincula en este nivel con nuevos conceptos y contenidos curriculares, por ejemplo,
con la distinción entre números racionales e irracionales o más tarde con el uso
de estos conjuntos en el desarrollo de funciones y la estadistica, pasando por los
conceptos de incógnita y variable.
Tema Números: Para la construcción de esta temática se tomó como base lo
estructurado en los niveles desarrollados por la nivelación en años anteriores,
pero fueron complementados y desarrollados desde la perspectiva de las
competencias matemáticas que articulan la enseñanza media (Estructuración y
generalización de conceptos matemáticos, Resolución de problemas y Aplicación
de procedimientos estandarizables).
Tema Álgebra y Funciones: El material propuesto para este año busca entregar
a los estudiantes no solo el concepto de representaciones algebraicas sino
que busca proporcionar a los estudiantes el conocimiento de generalización
de la estructura. Para esto, se requiere que la vinculación del aprendizaje de
la estructura algebraica esté fuertemente anclada en lo desarrollado en el tema
anterior (Números), así por ejemplo, la propiedad asociativa desplegada en el tema
Números toma fuerza en esta nueva temática, estableciendo la generalización de
la estructura presentada. En definitiva lo que se busca lograr con el tratamiento
de este tema, no es sólo el logro de ciertos contenidos curriculares sino que
los estudiantes puedan ver la real necesidad del estudio de este conocimiento
matemático y junto con ello avanzar en el concepto de generalización de
estructuras.
Tema Geometría: Este tema no ha sido abordado en la propuesta desarrollada
hasta el año 2005, solamente se incorporó una aproximación a este conocimiento,
el cual no estaba anclado en los conocimientos formales que deben ser
adquiridos en 1º medio, sino que abordaba temáticas tales como ubicación
espacial y una familiarización con las figuras y cuerpos geométricos, los cuales
son conocimientos necesarios para lograr lo que se propone para primero medio
como transformaciones Isométricas y congruencias de figuras planas. En este
contexto el abordaje de este tema busca vincular el aprendizaje ya adquirido
—7—
por los alumnos en la enseñanza básica, para el logro de los conocimientos
establecidos para 1º medio.
Ahora bien, como cualquier diseño, por si mismo no es suficiente, se actualiza
en el uso que usted como profesor haga de él incorporando sus propios énfasis,
aportando variaciones a partir de la experiencia que usted tiene como docente,
adecuando los ritmos y tiempos de trabajo a partir de las metas que como
liceo se han propuesto, variando actividades de tal modo que la propuesta sea
lo más pertinente posible a los estudiantes con los que usted trabaja. Todas
las adecuaciones son válidas en la medida que aporten al propósito explícito
de este trabajo que es que todos los estudiantes tengan oportunidades de
aprendizaje a partir del reconocimiento y validación de sus disposiciones de
aprendizaje.
En los capítulos sucesivos usted encontrará claves pedagógicas para la
implementación de esta propuesta, las cuales se complementan con las diversas
instancias de apoyo que se realizarán durante el año: asesoría de la supervisión,
redes de UTP, jornadas de trabajo que cada región diseñe para estos efectos,
entre otras.
1.1.1. Secuencia de trabajo
La experiencia desarrollada por el programa Liceo para Todos en estos
cuatro años de implementación, nos permite tener valiosa información
respecto del estado en que parten los estudiantes el primer año medio
en matemática. Según los datos obtenidos a partir del seguimiento a la
Nivelación, sólo el 10% de los estudiantes (de los liceos del programa) está
en condiciones de partir en primero medio con los aprendizajes propuestos
para la enseñanza básica logrados.
Siendo este el panorama, es claro que se requiere una estrategia que
permita que los estudiantes puedan afianzar las competencias definidas en
el currículo para la enseñanza básica y con ello avanzar en sus aprendizajes
del nivel y luego, en los aprendizajes destinados para los años siguientes,
de otro modo, seguirán acrecentando “la mochila” de aprendizajes sin
lograr durante su trayecto por la enseñanza media. Como muestran las
últimas investigaciones, el reiterado fracaso escolar en los estudiantes es
la antesala al abandono del sistema escolar.
El proceso implementado por los docentes en el sector de matemática,
durante estos años, ha tenido diversas características. Importante es
decir, que la Nivelación ha sido relevante para las distintas comunidades
educativas en la medida en que hay una apropiación de la innovación.
Entendemos por apropiación, el que cada liceo defina un diseño
específico para implementar la innovación. Ésta genera impactos
institucionales, por ejemplo, cuando hay cambio en los horarios, espacio
para reuniones de los docentes, evaluación permanente de los logros
obtenidos por los estudiantes, uso combinado de los materiales (Nivelación
Restitutiva, texto de estudios del nivel, material elaborado por los docentes,
entre otros); una implementación diseñada de esa forma, significa que, es
—8—
la población escolar la que es relevada y por tanto se atiende en función de
los aprendizajes que es preciso lograr.
En este sentido las características, sobre la apropiación de las innovaciones,
remiten la formación de grupos de nivel posterior al diagnóstico, desarrollo
de los distintos niveles que son parte del material, distribución del tiempo
para implementarla. Cada liceo ha construido las mejores condiciones al
proceso, sin embargo lo que la nivelación debe asegurar es la atención
efectiva a los distintos grupos de estudiantes, que tienen una diversidad de
disposiciones de aprendizajes.
Desde el año 2002 (primer año de implementación de la Nivelación
Restitutiva), el tiempo ha sido un elemento crítico para los docentes del
sector de matemática. El diseño de la innovación y las orientaciones puestas
a disposición de los docentes se quieren hacer cargo de esta importante
limitación. Sin embargo lo que atraviesa la organización del proceso que
desarrollan los estudiantes, está centrado en los aprendizajes que deben
lograr en esta etapa, lo que implica desarrollar estrategias de enseñanza
que permitan a los alumnos desarrollar las distintas competencias que
atraviesan el proceso de enseñanza-aprendizaje. Con la incorporación de
este nuevo modelo en la Nivelación, queremos entregar a los docentes
actividades que les permita percibir la enseñanza de la matemática como
un proceso que debe estar anclado en los conocimientos que poseen los
estudiantes, y desde ese punto, movilizarlos al logro de competencias que
se complejizan al introducir conocimientos nuevos.
En este sentido, hasta el año pasado la nivelación de matemática
desarrollaba un tipo de práctica pedagógica, que era “acumular” un cierto
conocimiento (por ejemplo operatoria en un determinado conjunto numérico)
para ser vinculado y desarrollado en otro conjunto numérico. Ahora, y en
base a los comentarios realizados por los docentes que han desarrollado
la innovación, proponemos tres niveles dentro de cada uno de los temas
curriculares pero cada estudiante realiza sólo un nivel por tema, los
cuales por medio de actividades similares, buscan entregar diferentes tipos
de ayuda a los estudiantes para lograr el conocimiento que deben adquirir.
Para ello, proponemos el desarrollo del mismo contenido curricular para
los tres niveles propuestos pero diferenciando la ayuda de acuerdo a las
disposición de aprendizaje que evidencian los estudiantes, así por ejemplo,
en el desarrollo del tema Números, todos los estudiantes comienzan
su proceso desplegando la noción de potencias, relevando la notación
exponencial y multiplicativa, además de su despliegue multiplicativo, pero
lo que se diferencia es la forma en que este conocimiento se desarrolla con
cada uno de los niveles en los cuales están organizados los estudiantes.
Las competencias del estudiante definen el nivel de partida y dan la pauta
para el proceso de enseñanza y aprendizaje. La idea es que la enseñanza
parta de lo que el estudiante puede hacer con ayuda. A partir de allí el
profesor define el tipo de ayuda que va a requerir para el logro de los
aprendizajes. Luego, divide la tarea en momentos o períodos en los que
puedan manejarse adecuadamente en los problemas que ésta plantea.
—9—
De este modo, el profesor toma la dirección que considera necesaria para
lograr las competencias establecidas en el currículum.
Volviendo al ejemplo anterior, de operar con números enteros, el profesor
como conductor del proceso de enseñanza aprendizaje, establece los
caminos a seguir por parte del estudiante, en este sentido si el alumno
utiliza el conteo para desarrollar el problema de la cantidad de casilleros
que presenta el tablero de ajedrez, es necesario que primero pueda
visualizar la suma como operatoria pertinente y luego avanzar hacia la
estructura de multiplicación y potencia y no pasar directamente desde la
adición a la estructura potencial.
1.1.2 Secuencia propuesta para el desarrollo del 1° medio en matemática:
TEMA GEOMETRÍA
:
Congruencia de figuras planas,
Transformaciones Isométricas
TEMA ÁLGEBRA
:
Lenguaje algebraico, Factorización
y Producto
TEMA NÚMEROS
:
Número, Variaciones
Proporcionales, Variaciones
Porcentuales
La presente secuencia será detallada en profundidad a lo largo de los
manuales, sin embargo es necesario presentar algunas consideraciones
con respecto a lo que aborda la Nivelación Restitutiva (durante el año
escolar) y la forma de hacerlo.
Contenidos de básica
Diagnóstico Números
Contenidos del tema números
Permite la conformación
de los grupos nivel
Nivelación Grupo I
Nivelación Grupo II
Nivelación Grupo III
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo I
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo II
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo III
Permite medir niveles de avance
en aprendizajes y actuar
como insumo a esta etapa
Proyecto Tema Números (Común)
Contenidos de básica y del
tema números necesarios
para el tema álgebra
Diagnóstico Álgebra
Contenidos del tema álgebra
Nivelación Grupo I
Nivelación Grupo II
Nivelación Grupo III
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo I
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo II
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo III
Permite la conformación
de los grupos nivel
Permite medir niveles de avance
en aprendizajes y actuar
como insumo a esta etapa
Proyecto Tema Álgebra (Común)
Contenidos de básica, contenidos
del tema números y del tema álgebra
necesarios para el tema geometría
geometría
Contenidos del tema geometría
Diagnóstico Geometría
Nivelación Grupo I
Nivelación Grupo II
Nivelación Grupo III
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo I
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo II
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo III
Proyecto Tema Geometría (Común)
— 10 —
Permite la conformación
de los grupos nivel
Permite medir niveles de avance
en aprendizajes y actuar
como insumo a esta etapa
Este esquema muestra la distribución de las unidades curriculares en torno
a los tres temas descritos con anterioridad (Números, Álgebra y Funciones
y Geometría). En este sentido la distribución temporal de las unidades
curriculares, pensamos como programa, que para el primer semestre se
deberá desarrollar las unidades correspondientes a Números (unidad 1:
Números, Unidades 4 y 5: Variaciones proporcionales y porcentuales)
además del proyecto asociado y el diagnóstico de álgebra. Durante el
segundo semestre, se deberá desarrollar las unidades relacionadas a los
temas de Álgebra y Funciones y Geometría y los proyectos asociados a
cada uno de éstos.
TEMA NÚMEROS
:
Número, Variaciones
Proporcionales, Variaciones
Porcentuales
Analicemos con detención la secuencia de trabajo para el tema de
Números.
Contenidos de básica
Diagnóstico Números
Contenidos del tema números
Permite la conformación
de los grupos nivel
Nivelación Grupo I
Nivelación Grupo II
Nivelación Grupo III
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo I
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo II
Apropiación de contenidos 1º Medio
Grupo III
Proyecto Tema Números (Común)
— 11 —
Permite medir niveles de avance
en aprendizajes y actuar
como insumo a esta etapa
El cuadro anterior es posible explicarlo mediante el esquema que se presenta a continuación,
el cual hace referencia al proceso que se desarrolla en este tema específico:
DIAGNÓSTICO
Grupo Nivel 1
Grupo Nivel 2
Grupo Nivel 3
Número
Número
Número
Variaciones
Proporcionales
Variaciones
Proporcionales
Variaciones
Proporcionales
Variaciones
Porcentuales
Variaciones
Porcentuales
Variaciones
Porcentuales
D
I
M
E
N
S
I
Ó
N
V
E
R
T
I
C
A
L
PROYECTO DE EXTERNALIZACIÓN
Para cada uno de los temas, el proceso contempla las siguientes etapas:
-
Diagnóstico: El diagnóstico debe entregar información de dos ámbitos
distintos:
•
Contenidos de la enseñanza básica: entrega información
respecto al nivel de desarrollo de las competencias que han sido
trabajadas en la enseñanza básica y que son base para el estudio
de las unidades correspondientes a cada eje en primero medio.
•
Contenidos a tratar en el tema: Un segundo elemento a
considerar en el diagnóstico son los contenidos a tratar en el tema
correspondiente, de manera que esto le provee información al
— 12 —
docente sobre las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes
respecto a este ámbito. En este sentido no se trata de evaluar algo
que no conocen, sino relevar si los estudiantes tienen algún tipo de
acercamiento a estos contenidos.
-
Trabajo en grupos de nivel: Los grupos de nivel están referidos a un
tema en particular y no a todo el primero medio. El proceso se realiza en
tres momentos. Los dos primeros momentos (nivelación y apropiación
del conocimiento) van siendo desplegados paralelamente a medida
que son requeridos para avanzar en el logro de las competencias y
contenidos curriculares establecidas para el nivel.
•
Los estudiantes avanzan en el logro de los aprendizajes de las
unidades de Números, Variación Proporcional y Porcentual que
componen a este tema.
Es importante señalar que cada estudiante desarrollará
solo un grupo nivel, ya que en cada uno de ellos se desarrollan
los mismos contenidos curriculares, diferenciados por el tipo
de ayuda que se les debe proveer a los estudiantes.
-
Proyecto común: Terminado el proceso de internalización de saberes,
todos los estudiantes han de haber desarrollado las competencias
de base, asociadas a las unidad del tema y profundizado, en niveles
diferenciados, los aprendizajes y conocimientos propuestos por el
currículum de 1º medio.
Para dar cuenta de este aprendizaje todos los estudiantes realizan
un proyecto asociado a la construcción de un artefacto conceptual.
Aunque los estudiantes han trabajado de manera diferenciada hasta
este punto, en este proyecto de externalización del saber, todos los
estudiantes deben desarrollar el mismo proyecto, con indicaciones y
niveles de estructuración en la ayuda que son diferenciados. Entonces
lo que se debe diferenciar es la ayuda que se le provee a cada
estudiante y no la tarea a realizar por parte de ellos.
La evaluación del desarrollo de este artefacto conceptual debe
permitir al docente establecer el avance en los aprendizajes
asociados a este eje y compararlos con los datos o resultados
entregados por el diagnóstico, de manera de poder visualizar la
trayectoria de avance del estudiante respecto de estos aprendizajes
en particular.
— 13 —
Veamos un ejemplo para el desarrollo de este eje temático:
Como se expresa en el esquema, los estudiantes
comienzan el proceso con el diagnóstico de
disposiciones de aprendizaje, en este caso del tema
Números, en él evidenciarán un cierto estado de
desarrollo de sus competencias relacionadas a este
tema en particular. Así por ejemplo, un aprendizaje
señala que: ”Los estudiantes deben establecer y
reconocer la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes”,
los cuales serán evaluados mediante los descriptores “Asociar y
reconocer en un gráfico de círculo el valor porcentual equivalente a una
parte del entero”, “Traducir a su equivalente expresión porcentual una
fracción propia o impropia” y “Relacionar y traducir a su equivalente
expresión porcentual un número decimal mayor o menor al entero”.
Estos y el resto de indicadores asociados a los problemas (o ítem) que
se presentan en el diagnóstico, nos entregarán un panorama de lo que
los estudiantes son capaces de hacer con el conocimiento que portan. Y
desde esa evaluación los podremos distribuir en un determinado grupo
nivel (1, 2 ó 3). Esta agrupación por disposiciones de aprendizaje nos
podrán indicar, que para este aprendizaje puntual, los estudiantes del
grupo nivel GN1 establecen y reconocen de modo incorrecto la relación
de equivalencia presente entre fracciones decimales y porcentaje,
también nos muestra que los estudiantes del GN2 son capaces
de establecer la equivalencia por medio del lenguaje natural y los
estudiantes del GN3 son capaces de establecer la equivalencia desde
la dimensión matemática y desde el lenguaje natural. Entonces a partir
de estas disposiciones de aprendizaje que presentan los estudiantes,
todos los GN desarrollan la unidad de Variación Porcentual (además
de las unidades de Variación Proporcional y Número), pero en el
grupo nivel 1 se intenciona el desarrollo del concepto de porcentaje,
partiendo por el (1) cálculo de la fracción de un número como tal y
en su forma decimal, además de la (2) comprensión que el 50% y
25% corresponden respectivamente a las 1 y 1 parte del
2
4
todo, (3) Convertir un porcentaje a fracción decimal, fracción común y
número decimal respectivo y (4) Plantear y resolver la proporción que
permite resolver un problema de variación porcentual. En este mismo
sentido el GN2 desarrolla el concepto de variación proporcional partiendo desde la necesidad de (3) Convertir un porcentaje a fracción decimal,
fracción común y número decimal respectivo y (4) Plantear y resolver la
proporción que permite resolver un problema de variación porcentual.
Y el GN3 desde el planteamiento y resolución de proporciones que
permite resolver un problema de variación porcentual, entonces como
se puede apreciar todos los GN desarrollan la unidad de Variación
Porcentual, desde caminos diversos y con la permanente ayuda del
profesor, pero todos logran la meta común establecida por el currículo.
DIAGNÓSTICO
D
I
M
E
N
S
I
Ó
N
V
E
R
T
I
C
A
L
PROYECTO DE EXTERNALIZACIÓN
Una vez que todos los estudiantes han desarrollado la totalidad de
actividades que se incluyen en el grupo nivel correspondiente a sus
necesidades educativas, estarán en condiciones de desarrollar un
— 14 —
proyecto de externalización del aprendizaje, el que es común para
todos, ya que entendemos que, con la provisión del nuevo conocimiento,
y la ayuda que será entregada por los docentes a cada uno de los
grupos, los estudiantes han logrado las competencias previstas para
el tema de Número. Este proyecto de externalización contempla el uso
de los conocimientos alcanzados en el desarrollo del grupo nivel para
comprender y percibir la matemática como una disciplina en evolución
y desarrollo permanente.
1.2. Enfoque disciplinario asociado al marco curricular para el subsector y nivel de enseñanza
La enseñanza de la matemática, en la enseñanza media, se centra en desarrollar cinco
temas articuladores (“Números y Operaciones Aritméticas”, “Probabilidades”, “Álgebra y
Funciones”, “Geometría” y “Razonamiento Matemático”) y en torno a ellos se espera que
los estudiantes puedan vincular lo aprendido en la enseñanza básica, con los aprendizajes
esperados que serán desarrollados en los distintos niveles de la enseñanza media. Por
ejemplo, podemos mencionar que el aprendizaje del concepto del conjunto de los números
naturales, que se desarrolla desde edades tempranas (con el aprendizaje de la operatoria
elemental), se vincula en este nivel con nuevos conceptos y contenidos curriculares, por
ejemplo con la distinción entre números racionales e irracionales o más tarde con el uso de
estos conjuntos en el desarrollo de funciones y la estadística, pasando por los conceptos de
incógnita y variable.
Como señala el marco curricular “(...) los objetivos fundamentales y contenidos mínimos
obligatorios de la enseñanza media se refieren no sólo al conocimiento como concepto y
procedimientos, sino también a las habilidades y a las actitudes que necesitan adquirir los
estudiantes(...)”1. En este sentido, y como ha sido discutido en diferentes encuentros de
los docentes del programa Liceo para Todos, la enseñanza, de los diferentes contenidos
curriculares están a la base del desarrollo de las competencias que propone el DS 220.
Es así como los temas mencionados buscan desarrollar distintos aprendizajes y saberes
matemáticos cruzados por tres competencias matemáticas las cuales corresponden a:
Procedimientos estandarizables, que incluye el uso de distintos procedimientos y métodos
matemáticos para realizar cálculos y estimaciones; aplicación de fórmulas y algoritmos, y
uso de estrategias para resolver situaciones contextualizadas. Lo que implica el desarrollo
de competencias para conocer y usar distintas formas para llegar a un resultado y no de
forma mecánica.
Resolución de problemas, incluye el desarrollo de habilidades tales como: identificación
de incógnitas y estimación de su orden de magnitud, búsqueda y comparación de caminos
de solución, análisis de los datos y soluciones, anticipación y estimación de resultados,
sistematización del ensayo y error, aplicación y ajustes de modelos y formación de
conjeturas.
Estructuración y generalización de conceptos matemáticos, incluye, traducción
e interpretación de situaciones matemáticas; búsqueda y desarrollo de expresiones,
patrones y regularidades; generalización y particularización. Esto último, implica descifrar e
1 Texto extraído del DS 220, p. 6.
— 15 —
interpretar lenguaje simbólico, comprendiendo su relación con el lenguaje natural; trabajar
con expresiones que contienen símbolos y fórmulas, usar y establecer relaciones entre
variables.
Siendo este el panorama general de la enseñanza media, podemos decir que principalmente
las unidades del programa de 1º medio se centran en desarrollar tres de los cinco temas
curriculares: “Números y Operaciones Aritméticas”, “Geometría” y “Álgebra y Funciones”.
Estos tres temas se entrelazan para desarrollar las competencias matemáticas y permitir a
los estudiantes tener una visión matemática que les permita complementar sus aprendizajes
en los diferentes aspectos trabajados por el currículum. Por otro lado, en este primer año de
enseñanza media se comienza a sistematizar el aprendizaje de los estudiantes con respecto
al álgebra dando sentido a las letras que se utilizan en este lenguaje, generalización de la
operatoria aritmética a través del uso de símbolos, solo por nombrar algunos ejemplos.
1.2.1. Enfoque disciplinario para el tema de Números de acuerdo a los Planes y
Programas de estudio.
La secuencia anual para el trabajo en el aula se puede organizar de diversas
formas, considerando diferentes secuencias temáticas, estimando el tiempo que
se considere adecuado para los aprendizajes en relación con las características
del curso y del establecimiento educacional. Los planes y programas señalan lo
siguiente:
El tema Números se convierte en el nexo más evidente con el último año de la
Educación Básica y por tanto es considerado como una plataforma necesaria y
fundamental para el trabajo docente en primer año medio.
Durante sus años de Educación Básica las alumnas y alumnos han aprendido
acerca de los números: enteros, fraccionarios y decimales, positivos y negativos.
El tema retoma esos conceptos y plantea fundamentalmente una profundización.
Se permite así que los estudiantes continúen el desarrollo de sus capacidades
para interpretar adecuadamente los resultados de los cálculos, para analizar
los procedimientos y las respuestas a la luz de las características de los
problemas; para aproximar y evaluar con claros criterios las respuestas; para
describir fenómenos cuantitativos en forma cada vez más adecuada y precisa. La
resolución de problemas aparece nuevamente orientada hacia:
1.
El conocimiento de características y propiedades de los Números
Racionales e Irracionales; de la presencia de regularidades o patrones
en el mundo de los números; de cómo las potencias facilitan la descripción
de algunas situaciones numéricas relativas a incremento o crecimiento.
2.
El estudio sistemático de las Variaciones proporcionales iniciada en
la Educación Básica que ahora interesa profundizarlas, incorporando
las relaciones entre la representación gráfica, las tablas de valores y las
interpretación de gráficos, se propone el análisis, para el primer cuadrante
del modelo lineal.
— 16 —
3.
El estudio de porcentajes, presente en una gran diversidad de situaciones:
del quehacer de una persona; compras, créditos, rebajas o aumentos,
impuestos, leyes sociales, medicina; éxitos o fracasos se apoyan en valores
porcentuales; informaciones relativas a situaciones sociales, políticas,
económicas se expresan, habitualmente, en variaciones porcentuales. Los
estudiantes de Primer Año Medio tienen conocimientos sobre este tema,
tanto desde el ámbito informal como desde su trabajo en los últimos años
de Educación Básica. El propósito de su estudio es profundizar sobre el
tema y aprender a expresar y calcular el tanto por ciento como operador
multiplicativo, que es la forma en que se opera generalmente, en el ámbito
del comercio y de las finanzas.
Es así, como en virtud de las orientaciones didácticas y disciplinarias
que se establecen en el programa de estudio de primer año medio, de
la innovación planteada en el programa de nivelación restitutiva y de la
propuesta didáctica elaborada para ello, hemos considerado la siguiente
organización de temáticas y contenidos que se presentan a continuación
para el tema Números del nivel:
1.3 Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos
de primero medio para: tema Números.
El organizador gráfico que se presenta a continuación muestra el recorrido de contenidos
contemplados en la Unidad: Números. Potencias, Racionales e Irracionales. El estudio
y trabajo que deben realizar los alumnos en este cuadernillo considera el tratamiento de
contenidos y conceptos abordados en cursos anteriores y que son importantes para los
aprendizajes del programa en NM1. Por las características de nuestros alumnos y del
programa de nivelación restitutiva en aplicación, estos contenidos deben ser recuperados y
nuevamente puestos en funcionamiento, por tanto se hace necesario introducirlos de forma
tal, que permita progresivamente alcanzar los aprendizajes esperados del nivel, es así como
para el desarrollo de esta primera unidad se ha considerado trabajar:
Las potencias, inicialmente como multiplicación de factores iguales, con el objeto de que el
alumno retome su concepción preliminar. El desarrollo de ellas y su notación exponencial,
multiplicativa y resultado. Indistintamente se promueve el uso de la calculadora con el objeto
de reforzar este concepto e incorporar la tecnología para el cálculo numérico. Su uso no
exime a los alumnos de la necesidad de comprender y dar significado a las funciones y
“pequeños programas” que en ella se pueden aplicar.
En un principio las potencias son de base y exponente natural, ello por que lo que interesa
inicialmente es recuperar el concepto y evitar inconvenientes innecesarios trabajando con
números de mayor complejidad (base negativa o exponente negativo). Paulatinamente
se irán incorporando otros conjuntos numéricos. La representación geométrica de las
potencias cuadradas y cúbicas también ha sido considerada, la comprensión del concepto
en este aspecto, no sólo ha sido pensada para un trabajo exclusivamente numérico sino que
también en registros gráficos diversos: diagramas de árbol, tablas y configuraciones. Se
introduce a los alumnos en el descubrimiento práctico de las propiedades de las potencias,
mediante problemas de contexto geométrico, en primer término el propósito no es concluir
en la formalización sino comprender por qué se generalizan este tipo de propiedades,
— 17 —
posteriormente esta deberá ser formalizada y consolidada en clase junto con el profesor
(a).
El estudio de regularidades y patrones numéricos también está presente, el objetivo
es que los alumnos puedan establecer las reglas que operan en este tipo de situaciones,
presentadas ellas en contextos distintos (numéricos y geométricos). Para terminar, el
tratamiento de contenidos también considera los conocimientos de base que el alumno
debe tener para comprender y caracterizar al conjunto de los números racionales e
irracionales, para los primeros se intenciona el reforzar conceptos tales como fracción,
número decimal finito e infinito periódico y semiperiódico que han sido trabajados en años
anteriores.
Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio
Consideramos que bajo estos criterios de organización y secuencia, los alumnos en sus
distintos niveles irán progresivamente alcanzando los aprendizajes esperados para el
nivel y los explicitados para los alumnos y alumnas de primer año medio, en este caso
nos referimos en particular, al conocimiento que los estudiantes deben lograr de las
características y propiedades de los Números Racionales e Irracionales; de la presencia
de regularidades o patrones en el mundo de los números y de cómo las potencias facilitan
la descripción de algunas situaciones numéricas relativas a incremento o crecimiento.
Contenidos
abordados
en el material
Unidades
Temáticas
abordadas
en el material
R
E
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Números
Racionales
Lo que nivelaremos y
desarrollaremos en el material
Fracciones. Decimales
finitos e infinitos (periódicos
y semiperiódicos).
Ordenar, comparar,
operar con números
racionales.
Uso de la calculadora
para abreviar cálculos e
interpretar sus resultados.
Analizar pertinencia
de las soluciones.
Realizar aproximaciones.
Redondear y truncar,
análisis del error cometido
al aproximar.
Números
Irracionales
Transformación
de fracciones
a decimales y
de decimales a
fracciones.
Ubicar puntos en la recta
(construcción de decimales
no periódicos).
D
E
NÚMEROS
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Usar la calculadora
para determinar el
producto de una potencia
(Programación).
Potencias ab,
a0ybZ
Resolver problemas que
involucran potencias de
base y exponente natural.
Resolver problemas que
involucran potencias de
base racional positiva y
exponente entero.
— 18 —
Ordenar, comparar,
operar con números
racionales.
Analizar pertinencia
de las soluciones.
Convertir a fracción
o de fracción a
número decimal.
Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos
de primero medio para: Variaciones Proporcionales.
El organizador gráfico que se presenta a continuación, muestra el recorrido de contenidos
contemplados en la Unidad: Variaciones Proporcionales. Al respecto podemos mencionar
que el criterio considerado para la restitución de los contenidos es la siguiente:
Tratamiento de la información: uno de los aspectos que se enfatiza en los cursos
anteriores es el conocimiento y aplicación de las diversas herramientas que permiten al
hombre organizar y comunicar la abundante información de la cual hace acopio diariamente.
Por ello, un primer trabajo con los alumnos consiste en introducirlos y familiarizarlos
nuevamente en la lectura, interpretación y aplicación de los diferentes modelos de tablas y
gráficos que deben ser de su dominio. En ellos los estudiantes pueden establecer, junto con
la información, las variables que están involucradas, un conjunto de relaciones e inferencias
que serán importantes posteriormente en el tratamiento que se hará de las variaciones
proporcionales, las cuales por cierto, también deberán ser representadas e interpretadas
gráficamente.
Razones y proporciones: ambos conceptos han sido trabajados en cursos anteriores, por
lo tanto, es relevante volverlos a tratar pero no en un sentido de cálculo o algoritmo, sino
que por el contrario el que los alumnos puedan percibir el significado de estas relaciones,
¿qué interpretan de una razón y de una proporción?. Existe el propósito de generar un
razonamiento que permita comprender efectivamente las relaciones de proporcionalidad
y poder caracterizarlas. El análisis e interpretación de situaciones de proporcionalidad
presentadas en tablas y gráficos también es un tema que viene siendo tratado desde NB5,
existiendo una diferencia cualitativa importante en términos de sus propósitos iniciales.
Interesa aquí que los alumnos puedan interpretar en un registro de plano cartesiano el
comportamiento de dos variables, y no tan sólo que reparen en los resultados numéricos sin
relación alguna entre el registro y su significado. Recordamos que en NB6 los estudiantes
realizan un trabajo más riguroso en el estudio y tratamiento de las variaciones proporcionales
y sus características fundamentales, lo que posteriormente se profundiza en NM1.
Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio:
Es por ello que lo diseñado y organizado como actividades de aprendizaje, permitirá mediar
junto con la gestión de la clase del profesor, en el progresivo dominio que los alumnos deben
lograr del tema Variaciones proporcionales iniciada en educación básica y que ahora
interesa profundizarlas, estableciendo relaciones entre la representación gráfica, tablas de
valores y las constantes de proporcionalidad, por medio de un trabajo sistemático de lectura
y análisis propuestos para este propósito.
— 19 —
Contenidos
abordados
en el material
Unidades
Temáticas
abordadas
en el material
Distinguir entre variable y
constante.
Concepto de
variable
R
E
S
O
L
U
C
I
Ó
N
PROPORCIONALIDAD
Lo que nivelaremos y
desarrollaremos en el material
Comprender y señalar el
significado y relación entre
las variables.
Distinguir entre magnitudes
proporcionales y no
proporcionales.
Proporcionalidad
directa e inversa
Comprender el concepto
de razón y proporción.
Plantear y operar
proporciones.
Identificar e interpretar
la constante de
proporcionalidad en
diferentes contextos.
D
E
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Identificar las variables
involucradas en un gráfico
cartesiano.
Lectura,
interpretación y
análisis de tablas
y gráficos de
proporcionalidad
directa e inversa.
Construir gráficos de barra.
Construcción de
tablas y gráficos
(comunicación
de datos)
Construir gráficos de línea
y ubicar puntos en el plano
cartesiano.
Lectura e
interpretación.
Construir gráficos
circulares.
Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos
de primero medio para: Variación Porcentual.
Los contenidos a restituir en el desarrollo del presente tema se definen a partir de los
conocimientos previos requeridos para el trabajo de este concepto, los cuales son parte del
currículum del segundo ciclo de educación general básica.
Los alumnos y alumnas traen ciertas nociones sobre porcentaje, más desde el punto de
vista informal que formal, pero ello es suficiente para intencionar un trabajo preliminar de
recuperación del concepto de porcentaje. Se pone énfasis inicialmente en el cálculo de
este por medio de la fracción de un número y multiplicación decimal, junto con esto se debe
hacer énfasis en la relación multiplicativa que tiene el determinar porcentajes. Importante
— 20 —
es a su vez, reforzar la equivalencia entre porcentaje, fracción y número decimal. Un trabajo
posterior, considerará el planteo y resolución de proporciones.
“Más allá de calcular porcentajes referidos a ciertas cantidades, se proponen situaciones en
que los estudiantes aborden variaciones proporcionales. No obstante, el primer aspecto no
ha sido descuidado y está abordado, en particular, en contextos de análisis de situaciones
de tipo estadístico. Se introduce el cálculo de frecuencias relativas y su representación en
gráficos circulares” (Programa de estudio)
Respecto de su articulación con los contenidos de primero medio:
Es así como consideramos necesaria esta mediación, de forma tal que la correspondiente
relación entre porcentaje, números decimales y fracciones tenga en su tratamiento la
secuencia debida. Es importante señalar que según programa NM1 el énfasis está en: el
planteo de situaciones que involucren la lectura e interpretación de porcentaje, el planteo y
resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje y el análisis y
pertinencia de las soluciones.
Calcular la fracción de un
número como tal y en su
forma decimal.
R
E
S
O
L
U
C
I
Ó
N
PORCENTAJE
Lo que nivelaremos y
desarrollaremos en el material
Contenidos
abordados
en el material
Unidades
Temáticas
abordadas
en el material
Comprender que el
50%, 25% corresponden
respectivamente a un
1/2 y 1/4 parte del todo.
Cálculo mental.
Porcentaje
Convertir un porcentaje a
fracción decimal, fracción
común y número decimal
respectivo.
Plantear y resolver la
proporción que permite
resolver un problema de
variación porcentual.
D
E
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Interpretación
y expresión de
porcentajes como
proporciones.
Distinguir entre
magnitudes
proporcionales y no
proporcionales.
Elaborar e interpretar
gráficos circulares.
Comprender el aspecto
multiplicativo de un
cálculo de porcentaje.
— 21 —
Análisis y
pertinacia de
las soluciones.
Aplicación de
propiedades.
¿Cómo se desarrollan las unidades curriculares establecidas para el tema Números?
Los cuadros siguientes muestran la cobertura que tienen cada uno de los grupos de nivel.
Para ello, y como veremos en cada uno de los esquemas, hemos analizado el currículum
nacional chileno y analizado los desafíos que se describen para el desarrollo de cada unidad,
con la necesidad de establecer cuáles son, a nuestro juicio, las unidades curriculaes que
están asociadas al tema de Números.
A continuación se despliegan las unidades curriculares que están asociadas al tema de
Números, los Objetivos Fundamentales asociados a cada una de las temáticas a tratar y los
contenidos curriculares que deben ser desarrollados en cada uno de los temas propuestos.
En este punto conviven aquellos contenidos que son de la enseñanza básica y los contenidos
propios del nivel de enseñanza en el cual se encuentran los estudiantes. Así por ejemplo,
podremos ver que la presencia de los contenidos de la enseñanza básica, son aquellos
que nosotros como programa Liceo para Todos, entendemos que deben ser nivelados para
desarrollar las competencias que deben ser asociadas al primero medio. Para dar una
mayor claridad al docente, la última columna de cada esquema muestra el carácter que
tiene el conocimiento respecto al aprendizaje a desarrollar en primero medio, es decir, si
dicho conocimiento corresponde a nivelación o a internalización del nuevo conocimiento,
Unidad
curricular
abordada en los
grupos de nivel
Unidad 1:
Números
Temas
desarrollados
en los grupos de
nivel
1
Números:
Potencias,
Racionales e
Irracionales.
Objetivos
fundamentales de
1o medio asociados
al tema
Contenidos abordados en el
material
Corresponde
Utilizar diferentes
tipos de números en
diversas formas de
expresión (entera,
decimal, fraccionaria,
porcentual)
para cuantificar
situaciones y resolver
problemas.
Potencias de base natural y
exponente entero.
Nivelación.
Representación gráfica
(geométrica) de a2 y de a3.
Nivelación.
Propiedades de operaciones con
potencias.
Nivelación.
Sumas ponderadas de potencias
de 10 en situaciones problema.
Nivelación.
Resolver problemas
seleccionando
secuencias
adecuadas de
operaciones y
métodos de cálculo,
incluyendo una
sistematización del
método ensayoerror; analizar la
pertinencia de los
datos y soluciones.
Expresar como fracciones
números decimales finitos
e infinitos periódicos y
semiperiódicos y viceversa.
Nivelación.
Potencias de base racional
positiva y exponente un entero.
Internalización
del nuevo
conocimiento.
Internalización
del nuevo
conocimiento.
— 22 —
Distinción entre números
racionales e irracionales.
Uso y conocimiento de la
calculadora.
Internalización
del nuevo
conocimiento.
Unidad curricular Temas
abordada en los
desarrollados
grupos de nivel
en los grupos
de nivel
Objetivos
fundamentales de 1o
medio asociados al
tema
Conocer y utilizar
conceptos
matemáticos
asociados al
estudio de la
proporcionalidad,
del lenguaje
algebraico inicial y
de la congruencia de
figuras planas.
Unidad: 4
Variaciones
proporcionales
2
Variación
proporcional
Resolver problemas
seleccionando
secuencias
adecuadas de
operaciones y
métodos de cálculo,
incluyendo una
sistematización del
método ensayoerror; analizar la
pertinencia de los
datos y soluciones.
Representar
información
cuantitativa a
través de gráficos y
esquemas; analizar
invariantes relativas
a desplazamientos
y cambios de
ubicación utilizando
el dibujo geométrico.
— 23 —
Contenidos
abordados en el
material
Tabla y gráficos
de distinto tipo;
interpretación y
lectura; variable
contínua y discreta.
Corresponde
Nivelación
Elaboración de
tablas y gráficos,
correspondientes
a situaciones
de variaciones
proporcionales.
Nivelación
Análisis de
razones y parejas
de razones
(Proporciones).
Nivelación
Interpretación y
uso de razones
expresadas en
diferentes maneras.
Nivelación
Noción de variables
y análisis y
descripción de
situaciones que
ilustran la idea de
variabilidad.
Internalización del nuevo
conocimiento.
Resolución
de problemas
que involucren
proporciones
directas o inversas.
Internalización del nuevo
conocimiento.
Constante de
proporcionalidad
Internalización del nuevo
conocimiento.
Construcción y
análisis de tablas y
gráficos asociados
a proporcionalidad
directa e inversa.
Internalización del nuevo
conocimiento.
Unidad
curricular
abordada en los
grupos de nivel
Unidad: 5
Variaciones
porcentuales
Temas
desarrollados
en los grupos
de nivel
3
Variación
porcentual
Objetivos
fundamentales de
1o medio asociados
al tema
Contenidos
abordados en el
material
Resolver problemas
seleccionando
secuencias
adecuadas de
operaciones y
métodos de cálculo,
incluyendo una
sistematización del
método ensayo-error;
analizar la pertinencia
de los datos y
soluciones.
Fracción de un
número
Nivelación
Cálculos del 50% y
25% como 50/100,
25/100 ó 0,5 y 0,25
Nivelación
Representar
información
cuantitativa a
través de gráficos y
esquemas; analizar
invariantes relativas
a desplazamientos y
cambios de ubicación
utilizando el dibujo
geométrico.
Corresponde
Interpretación
Nivelación
y expresión de
porcentaje como
proporciones y
cálculo de porcentaje
en situaciones
cotidianas.
Relación entre
porcentaje, números
decimales y
fracciones.
Nivelación
Resolución de
Internalización del nuevo
problemas en los que conocimiento.
el referente asociado
a 100 no está
explícito.
Planteo y resolución
de problemas que
perfilen el aspecto
multiplicativo del
porcentaje.
Internalización del nuevo
conocimiento.
Análisis de la
pertinencia de las
soluciones.
Internalización del nuevo
conocimiento.
2 El diagnostico de las disposiciones de aprendizaje
2.1. Su rol en el aprendizaje
Los Planes y Programas señalan que “la evaluación se considera como parte del proceso
de construcción del aprendizaje. Debe proveer al joven y al docente de la retroalimentación
necesaria para diagnosticar, corregir y orientar las actividades futuras. Es recomendable
que se evalúen diversos aspectos del proceso de aprendizaje, y no sólo los resultados de
los diversos ejercicios. Cobra relevancia observar y evaluar el tipo de razonamiento utilizado,
el método empleado, la originalidad de la o las ideas planteadas. Uno de los criterios para
la definición de las formas que tome la evaluación es que ésta debe ser consecuente
con el propósito de mejorar el aprendizaje. Si se evalúa, por ejemplo, sólo la repetición
— 24 —
memorística de datos, se está reforzando la idea de que ése es el tipo de educación que se
quiere promover; si se evalúan desempeños, capacidad de resolver problemas, de manejar
información, se está propiciando una educación flexible, abierta, con más sentido para
quienes aprenden, con propósitos inmediatos (sirve para hoy) y de largo plazo (preparan
para la vida adulta)”2.
En las Reformas Educativas actuales la evaluación diagnóstica adquiere una nueva e
importante dimensión desde la perspectiva del aprendizaje significativo. El aprendizaje
del alumno ha de partir de los esquemas previos que el alumno posee. Es la evaluación
diagnóstica la que permite conocer estos esquemas previos a partir de la siguiente
pregunta: ¿Qué tienen que saber nuestros alumnos, al principio de un curso escolar, para
poder comenzar un área, nivel o asignatura determinada? ¿Cuáles son los esquemas o
conocimientos previos que poseen?
Pero también el aprendizaje significativo, desde un modelo de enseñanza centrado en
procesos, afirma que el aprendizaje está en función de las capacidades previas que un
alumno posee. Y estas capacidades deben ser diagnosticadas como facilitadoras de un
potencial de aprendizaje. La evaluación diagnóstica por ello, debe precisar cuáles son y
en qué nivel se utilizan las técnicas instrumentales: cálculo mecánico y comprensivo. Pero
también la evaluación diagnóstica debe acotar los procesos de razonamiento del alumno,
en concreto, los siguientes: razonamiento lógico, orientación espacio-temporal y expresión
oral y escrita.
Para el aprendizaje constructivo y significativo es necesario partir de los conceptos y
experiencias que el alumno posee y sus capacidades-destrezas básicas, para desde
ahí elaborar adecuadamente los nuevos aprendizajes tanto conceptuales (arquitectura
del conocimiento) como instrumentales (nuevas destrezas a desarrollar). La evaluación
diagnóstica en este contexto es el punto cero del aprendizaje, que facilita la reelaboración
de conceptos y el conflicto cognitivo desde una base firme y sólida (Román y Diez, 1994,
1999, 2000) 3
2 Programa de estudio. MINEDUC.
3 E. Diéz L. y M. Román P. Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas. Edit. Andrés Bello.
— 25 —
2.2. Aprendizajes evaluados, actividades y tiempo de aplicación
Cada instrumento esta organizado en función de las competencias y niveles de desempeños
considerados oportunos de evaluar en los alumnos. Por lo tanto se hace necesario que
el profesor (a) previo a la aplicación de ellos, en particular del tema Números, revise la
Tabla de especificaciones con el objeto de estudiar los diferentes aspectos que cubre el
diagnóstico, donde se especifica: el ámbito de las habilidades evaluadas, las competencias,
aprendizajes e indicadores considerados para cada ítem en particular. El estudio previo de
estas especificaciones e instrumento mismo, sin duda, son importantes de manejar para la
claridad del proceso de implementación y posterior revisión de la evaluación a la cual se
someterá a los estudiantes.
Habilidad
Competencia
Emplear e interpretar
contextualizadamente
las formas de
expresión de
diferentes tipos
Conocimiento de números
pertenecientes a
diversos conjuntos
numéricos (naturales,
decimales, enteros
racionales.
Aprendizaje
Descriptores
1. Reconocer la
decomposición y
composición aditiva
y multiplicativa de un
número natural en
unidades y múltiplos
de potencias de 10.
1.1 Identificar el número que se
forma a partir de la suma de
productos de un dígito por
múltiplos de una potencia de
10.
1
2. Reconocer como
suma ponderada de
potencias de base 10
y exponente entero
cualquier número
natural.
2.1 Identificar el número que
corresponde al producto
de un número o suma de
productos de un número
cualquiera por una potencia
de base 10 y exponente
natural.
2-3
3. Interpretar y escribir
números decimales
asociados a diferentes
magnitudes.
3.1 Determinar el valor que,
de acuerdo a la medida,
representa la cifra de un
número en la posición de
los: décimos, centésimos o
milésimos.
4
3.2 Escribir a su equivalente
unidad de medida, en número
decimal o entero, diferentes
magnitudes de: longitud o
masa.
— 26 —
Item Nº
5-6-7
Habilidad
Resolución de
problemas
Competencia
Reconocer que
un problema se
puede expresar,
plantear y
resolver utilizando
algoritmos
simples.
Aprendizaje
Descriptores
Item Nº
1. Resolver problemas
utilizando
situaciones aditivas
y multiplicativas o
combinación de ellas,
de números enteros,
fracciones y decimales
positivos.
1.1 Resuelven problemas simples
donde para su solución
apliquen una: adición,
sustracción, multiplicación o
bien una división.
11-12
13-14
1.2 Resuelven problemas donde
para su solución apliquen la
combinación de dos o más
operaciones de números
enteros, fraccionarios o
decimales positivos y o
transformación de unidades
de medida.
15-16
17-18-19
1.3 Asociar e inferir información
relevante a partir de un
procedimiento algorítmico
específico.
20-21
22-23
2. Resolver problemas
de crecimiento
y decrecimiento
aditivo o exponencial
para interpretar y
expresar el resultado
utilizando simbología
matemática.
2.1 Determinar y expresar
mediante simbología
matemática el valor que
completa una secuencia
de crecimiento aditivo o
multiplicativo.
24
3. Resolver problemas
estableciendo
relaciones de
proporcionalidad
directa e inversa,
incluido el cálculo de
porcentaje.
3.1 Calcular el porcentaje de un
número.
25
3.2 Evaluar diferentes
procedimientos algorítmicos
para la solución de un
problema.
26
3.3 Resolver diferentes problemas 27-28
estableciendo relaciones de
proporcionalidad directa e
inversa.
3.4 Evaluar la veracidad de una
29
afirmación establecida a partir
de una relación de variación
proporcional.
Estructuración
y generalización
de conceptos
matemåticos
Utilizar
1. Probar el grado de
conocimientos
verdad o falsedad
matemáticos y
de una afirmación
un razonamiento
matemática.
ordenado para
establecer
diferenciaciones
progresivas en
problemas de
diferente contexto.
— 27 —
1.1 Evaluar el grado de verdad o
falsedad de una afirmación
matemática.
30
2.2.1.
Evaluacion diagnostica tema Números 2006
Protocolo de instrucciones para el profesor (a)
La Nivelación Restitutiva, considera la aplicación de un instrumento de evaluación
de matemática en cada tema: Número, Álgebra y Funciones y Geometría.
En su parte fundamental cada uno está destinado a diagnosticar el grado de
conocimiento y manejo de aquellos aprendizajes esperados que han debido
trabajar los alumnos y alumnas en el segundo ciclo de Educación Básica y que
son considerados relevantes para dar inicio al proceso de enseñanza aprendizaje
que deberán emprender los estudiantes en primer año medio.
Instrucciones generales para su aplicación
1.
La prueba se aplica a todo el 1º año medio. Excepto aquellos casos que
informados con anterioridad deban prorrogar la aplicación de la evaluación
para una fecha posterior.
2.
El tiempo asignado para la aplicación de la prueba es de 4 hora pedagógicas,
sin embargo se debe privilegiar el que esta se termine, por lo tanto la
decisión final quedará a criterio del profesor.
3.
Si un alumno llega tarde a rendir su prueba el profesor tomará la decisión
de asignar un tiempo proporcional a su retraso para que este pueda
culminarla en el tiempo fijado, de lo contrario, puede administrarla en otro
día para todos aquellos casos que fueron debidamente justificados.
4.
Cualquier cálculo o dibujo lo pueden realizar en el espacio asignado para
cada pregunta o bien, en caso contrario, entregar una hoja en blanco si
alguno de ellos la requiere.
5.
El profesor, si lo estima pertinente, puede leer en voz alta aquellas
preguntas que por su vocabulario o redacción puedan complicar la
comprensión del alumno. La reiterará a un alumno en particular cuando lo
estime estrictamente necesario.
6.
Si un alumno termina su evaluación antes del tiempo programado podrá
salir de la sala o realizar otra actividad previamente acordada con la
profesor (a).
2.2.2. Orientaciones para su revisión
La construcción del instrumento fue hecha en función de ítems de respuestas
para el desarrollo, este es un punto importante, pues a partir del o los registros de
procedimientos hechos por los alumnos estaremos en condiciones de hacernos
un panorama general del nivel de trabajo y dominio de contenidos y conceptos
que tiene cada alumno. Por ejemplo: es probable que la respuesta final de un
alumno en una pregunta no sea la correcta, pero sí su desarrollo da cuenta clara
que su procedimiento estaba bien encaminado, que su secuencia de operaciones
lo conducían definitivamente a la respuesta acertada, pero tuvo problemas en el
— 28 —
cálculo u algoritmo de las operaciones involucradas. Mirado esto como proceso,
ciertamente es determinante, ya que estamos en presencia de una situación que
desde el punto de vista de la evaluación del aprendizaje, resulta significativa al
momento de definir que se prioriza en el proceso.
Muchos de nuestros alumnos, dan muestra de tener conocimientos en acto
que efectivamente tienen relación directa con lo que se les pregunta y que
probablemente lo que no manejan es la solución experta o “deseada”, pero su
desarrollo y registros dan muestra evidente de que efectivamente tenía muy
en claro lo que se le preguntaba y debía resolver. Anteriormente señalamos la
importancia para el proceso, del estudio y revisión previa de tablas e instrumento
por aplicar, insistimos que en ellos se específica claramente lo que se desea evaluar,
este aspecto es también determinante, por ello se insiste tener muy presente los
objetivos de medición relacionados con cada ítem, por que efectivamente de
estos depende en gran medida la claridad que se debe tener respecto de que
es lo que se quiere que el alumno responda y no caer así, en subjetividades
que nos disperse efectivamente del objetivo en cuestión. Ello permitirá además,
afianzar el grado de objetividad y confiabilidad de la evaluación al momento
de la distribución en grupos de nivel, pues la organización de competencias,
desempeños e ítems son de complejidad creciente.
2.3. Tablas de desempeño, análisis de los resultados y criterios de conformación de los
grupos de nivel.
A continuación se presentarán las tablas que permitirán evaluar cada uno de los item que
conforman la evaluación diagnóstica del tema Números.
Habilidad
Aprendizaje
Reconocer la
descomposición
y composición
aditiva y
multiplicativa
de un número
natural en
unidades y
múltiplos de
potencias de 10.
Conocimiento
Item
1
Reconocer como
suma ponderada
de potencias
de base 10 y
exponente entero
cualquier número
natural.
2y3
Nivel I
Nivel II
Nivel III
Reconoce
incorrectamente
el número que se
forma a partir de
la descomposición
aditiva multiplicativa
de un número
natural expresada
en unidades
y múltiplos de
potencias de 10.
Reconoce de
forma parcial el
número que se
forma a partir de
la descomposición
aditiva
multiplicativa
de un número
natural expresada
en unidades
y múltiplos de
potencias de 10.
Reconoce
correctamente el número
que se forma a partir
de la descomposición
aditiva multiplicativa
de un número natural
expresada en unidades
y múltiplos de potencias
de 10.
Reconoce
incorrectamente
el número que
corresponde al
producto de un
número o a una
suma de productos
de un número
cualquiera por una
potencia de base 10
y exponente natural.
Reconoce de
forma parcial
el número que
corresponde
al producto de
un número o a
una suma de
productos de un
número cualquiera
por una potencia
de base 10 y
exponente natural.
Reconoce
correctamente el número
que corresponde al
producto de un número
o a una suma de
productos de un número
cualquiera por una
potencia de base 10 y
exponente natural.
— 29 —
Habilidad
Aprendizaje
Item
4
Conocimiento
Interpretar y
escribir números
decimales
asociados
a diferentes
magnitudes.
5
6
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Interpreta y escribe
incorrectamente
el número que
corresponde al valor
de posición decimal
de una cifra en un
número dado, según
el referente de
magnitud utilizado.
Interpreta y
escribe de forma
parcialmente
correcta el
número que
corresponde
al valor de
posición decimal
de una cifra
en un número
dado, según
el referente
de magnitud
utilizado.
Interpreta
y escribe
correctamente
el número que
corresponde
al valor de
posición decimal
de una cifra
en un número
dado, según
el referente
de magnitud
utilizado.
Interpreta y escribe
incorrectamente a su
equivalente unidad
de medida el número
que corresponde
al valor de posición
decimal de las cifras
en un número dado,
según el referente de
magnitud utilizado.
Interpreta y
escribe de forma
parcialmente
correcta a su
equivalente
unidad de
medida el
número que
corresponde
al valor de
posición decimal
de las cifras
en un número
dado, según
el referente
de magnitud
utilizado.
Interpreta
y escribe
correctamente a
su equivalente
unidad de
medida el
número que
corresponde
al valor de
posición decimal
de las cifras
en un número
dado, según
el referente
de magnitud
utilizado.
Interpreta y escribe
incorrectamente a su
equivalente unidad
de medida el número
que corresponde a
la descomposición
hecha, en lenguaje
natural y numérico,
de medidas de
longitud diferentes.
Interpreta y
escribe de forma
parcialmente
correcta a su
equivalente
unidad de
medida el
número que
corresponde a la
descomposición
hecha, en
lenguaje natural
y numérico,
de medidas
de longitud
diferentes.
Interpreta
y escribe
correctamente a
su equivalente
unidad de
medida el
número que
corresponde a la
descomposición
hecha, en
lenguaje natural
y numérico,
de medidas
de longitud
diferentes.
— 30 —
Habilidad
Aprendizaje
Item
Interpretar y
escribir números
decimales
asociados
a diferentes
magnitudes.
7
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Interpreta
y escribe
incorrectamente
a sus
equivalentes
unidades de
medida las
cifras enteras
y decimales
correspondientes
a una unidad de
longitud dada.
Interpreta y
escribe de forma
parcialmente
correcta, a sus
equivalentes
unidades de
medida, las
cifras enteras
y decimales
correspondientes
a una unidad de
longitud dada.
Interpreta y escribe
correctamente a
sus equivalentes
unidades de
medida las
cifras enteras
y decimales
correspondientes
a una unidad de
longitud dada.
Establece
incorrectamente
la equivalencia
entre: fracción
y número
decimal, fracción
y porcentaje o
número decimal
y porcentaje,
en el contexto
de la situación
planteada.
Establece
correctamente en
lenguaje natural
la equivalencia o
sólo parcialmente
la equivalencia
entre: fracción
y número
decimal, fracción
y porcentaje o
número decimal
y porcentaje,
en el contexto
de la situación
planteada.
Establece
correctamente la
equivalencia entre:
fracción y número
decimal, fracción
y porcentaje o
número decimal
y porcentaje,
en el contexto
de la situación
planteada.
Conocimiento
Establecer
y reconocer
equivalencias
entre fracciones,
decimales y
porcentajes.
8, 9 y
10
— 31 —
Habilidad
Resolución
de problemas
Aprendizaje
Resolver
problemas
utilizando
situaciones aditivas
y multiplicativas
o combinación de
ellas, de números
enteros, fracciones
y decimales
positivos.
Item
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
11, 12,
13 y 14
Resuelve
incorrectamente
problemas
simples y
directos en el
ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
relacionando
y resolviendo
erróneamente
con la operación
de: adición,
sustracción,
multiplicación
o división para
hallar la solución.
Resuelve y
relaciona de forma
parcialmente
correcta
problemas simples
y directos en el
ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
planteando y
resolviendo
la operación
de: adición,
sustracción,
multiplicación o
división para hallar
la solución.
Resuelve
correctamente
problemas
simples y
directos en el
ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
relacionando,
planteando y
resolviendo sólo
la operación
de: adición,
sustracción,
multiplicación
o división para
hallar la solución.
15, 16,
17, 18 y
19
Resuelve
incorrectamente
diversos
problemas en
el ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
relacionando
y resolviendo
erróneamente
con la operatoria
combinada
entre: adición,
sustracción,
multiplicación
y división para
hallar la solución.
Resuelve y
relaciona diversos
problemas de
forma parcialmente
correcta en el
ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
planteando y
resolviendo
la operatoria
combinada
entre: adición,
sustracción,
multiplicación
y división para
encontrar la
solución.
Resuelve
correctamente
diferentes
problemas en
el ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos,
relacionando,
planteando y
resolviendo
la operatoria
combinada
entre: adición,
sustracción,
multiplicación
y división para
encontrar la
solución.
— 32 —
Habilidad
Aprendizaje
Resolver problemas
utilizando
situaciones aditivas
y multiplicativas
o combinación de
ellas, de números
enteros, fracciones
y decimales
positivos.
Item
20, 21,
22 y
23
Resolución
de problemas
Resolver problemas
de crecimiento
y decrecimiento
aditivo o
exponencial
para interpretar
y expresar el
resultado utilizando
simbología
matemática.
24
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Interpreta
y concluye
incorrectamente
la información
que se desprende
a partir de la
formulación de
un procedimiento
algorítmico, en
el ámbito de los
números enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos, que
sintetiza la
operación o
combinación
operatoria
conducente a
la solución del
problema.
Interpreta y
concluye de forma
parcialmente
correcta la
información que
se desprende
a partir de la
formulación de
un procedimiento
algorítmico, en
el ámbito de los
números enteros,
fraccionarios y
decimales positivos,
que sintetiza
la operación o
combinación
operatoria
conducente a
la solución del
problema.
Interpreta
y concluye
correctamente la
información que
se desprende
a partir de la
formulación
de un
procedimiento
algorítmico, en
el ámbito de
los números
enteros,
fraccionarios
y decimales
positivos, que
sintetiza la
operación o
combinación
operatoria
conducente a
la solución del
problema.
Resuelve
incorrectamente
una situación
problema,
determinando
y expresando
erróneamente
mediante
simbología
matemática o
lenguaje natural el
valor que completa
una serie de
crecimiento aditivo
o multiplicativo.
Resuelve de forma
parcialmente
correcta una
situación problema,
determinando
y expresando
mediante
simbología
matemática o
mediante lenguaje
natural el valor
que completa
una serie de
crecimiento aditivo
o multiplicativo.
Resuelve
correctamente
una situación
problema,
determinando
y expresando
mediante
simbología
matemática
el valor que
completa
una serie de
crecimiento
aditivo o
multiplicativo.
— 33 —
Habilidad
Aprendizaje
Item
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Resuelve
incorrectamente
y no relaciona
información
en diferentes
problemas que
para su solución
requieran del
cálculo de
porcentaje de un
número.
Resuelve
y relaciona
información
de forma
parcialmente
correcta en
diferentes
problemas que
para su solución
requieran del
cálculo de
porcentaje de un
número.
Resuelve
correctamente
diferentes problemas
que para su solución
requieran del cálculo
de porcentaje de un
número.
26
Relaciona
y evalúa
incorrectamente
el grado de
verdad o
falsedad de
procedimientos
algorítmicos cuyo
planteamiento
operatorio es
conducente a
la solución del
problema.
Evalúa y prueba
sólo de forma
parcial el grado de
verdad o falsedad
de procedimientos
algorítmicos cuyo
planteamiento
operatorio es
conducente a
la solución del
problema.
Evalúa y prueba
correctamente el
grado de verdad
o falsedad de
procedimientos
algorítmicos cuyo
planteamiento
operatorio es
conducente a
la solución del
problema.
27 y 28
Resuelve
estableciendo de
forma incorrecta
e incoherente
las relaciones de
proporcionalidad
directa o inversa
que permiten
encontrar
mediante
algoritmos
simples y
combinados
la operación u
operaciones que
conducen a la
solución.
Resuelve
estableciendo
de forma
parcialmente
correcta las
relaciones de
proporcionalidad
directa o inversa
que permiten
encontrar
mediante
algoritmos simples
y combinados
la operación u
operaciones que
conducen a la
solución.
Resuelve
estableciendo
correctamente
las relaciones de
proporcionalidad
directa o inversa
que permiten
encontrar mediante
algoritmos simples
y combinados
la operación u
operaciones que
conducen a la
solución.
25
Resolución
de problemas
Resolver
problemas
estableciendo
relaciones de
proporcionalidad
directa e
inversa, incluido
el cálculo de
porcentaje.
— 34 —
Habilidad
Resolución de
problemas
Estructuración
y generalización
de conceptos
matemáticos
Aprendizaje
Resolver
problemas
estableciendo
relaciones de
proporcionalidad
directa e
inversa, incluido
el cálculo de
porcentaje.
Probar el grado
de verdad o
falsedad de
una afirmación
matemática.
Item
29
30
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Relaciona y evalúa
incorrectamente el
grado de verdad
o falsedad de una
afirmación hecha en
lenguaje natural, cuya
veracidad se puede
comprobar mediante
el razonamiento
de procedimientos
algorítmicos simples
de proporcionalidad
directa o inversa.
Evalúa y prueba
de forma
parcialmente
correcta el
grado de verdad
o falsedad de
una afirmación
hecha en
lenguaje natural,
cuya veracidad
se puede
comprobar
mediante el
razonamiento de
procedimientos
algorítmicos
simples de
proporcionalidad
directa o inversa.
Evalúa y prueba
correctamente el
grado de verdad
o falsedad de
una afirmación
hecha en lenguaje
natural, cuya
veracidad se
puede comprobar
mediante el
razonamiento de
procedimientos
algorítmicos
simples de
proporcionalidad
directa o inversa.
Relaciona y evalúa
incorrectamente el
grado de verdad
o falsedad de
una afirmación
hecha en lenguaje
algebraico, cuya
veracidad se puede
comprobar mediante
el razonamiento
de procedimientos
algorítmicos simples
de valoración
operatoria.
Evalúa y prueba
de forma
parcialmente
correcta el grado
de verdad o
falsedad de una
afirmación hecha
en lenguaje
algebraico,
cuya veracidad
se puede
comprobar
mediante el
razonamiento de
procedimientos
algorítmicos
simples de
valoración
operatoria.
Evalúa y prueba
correctamente el
grado de verdad
o falsedad de
una afirmación
hecha en lenguaje
algebraico, cuya
veracidad se
puede comprobar
mediante el
razonamiento de
procedimientos
algorítmicos
simples de
valoración
operatoria.
Según las tablas de desempeño presentadas anteriormente hemos organizado en el
cuadro los siguientes aspectos: habilidad contemplada en el diagnóstico, los desempeños
evaluados, la asignación de nivel o categoría al o los desempeños y la cantidad de ítems
que corresponden a cada nivel.
Diagnónstico del tema Números
El diagnóstico elaborado para el tema de Números, contiene 31 problemas o ítem a resolver
por los estudiantes, los cuales hacen referenica a las habilidades matemáticas que deben
ser desarrolladas en la enseñanza media (Procedimientos estadarizables, Resolución de
problemas y Estructuración y generalización de conceptos matemáticos) y por otro lado
quiere levantar evidencias con respecto a las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes
con respecto a los contenidos que fundan el conocimiento que debe ser desarrollado en el
primero año medio.
— 35 —
Siendo este el panorama general, a continuación se presentan algunas claves que permiten
al docente distribuir a los estudiantes, de acuerdo a sus disposiciones de aprendizaje, en
los diferentes grupos de nivel elaborados para este tema en particular.
A continuación el siguiente cuadro (Cuadro Nº 1) debe ser considerado para la distribución
y ubicación de los alumnos en grupos de nivel, de acuerdo a los resultados obtenidos en la
evaluación diagnóstica. Para ello será necesario la organización y recuento de:
• Resumen de ítems correctos por niveles de desempeño 1, 2 y 3
Cuadro Nº 1 Tema Números
Distribución de resultados para determinar el grupo nivel que desarrollará un alumno, en función de los resultados en el diagnóstico
Distribución de
Distribución de
Distribución de
Niveles
desempeños
desempeños
desempeños
Primero Medio
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Si 14 o más respuestas Si a lo más 8 respuestas Si a lo más 6 respuestas
Grupo Nivel 1
se encuentran en este
se encuentran en este
se encuentran en este
nivel de desempeño.
nivel de desempeño.
nivel de desempeño.
Si a lo más 14
Si 8 o más respuestas
Si a lo más 6 respuestas
respuestas se
Grupo Nivel 2
se encuentran en este
se encuentran en este
encuentran en este nivel
nivel de desempeño.
nivel de desempeño.
de desempeño.
Si a lo más 14
Si a lo más 8 respuestas Si 6 o más respuestas
respuestas se
Grupo Nivel 3
se encuentran en este
se encuentran en este
encuentran en este nivel
nivel de desempeño.
nivel de desempeño.
de desempeño.
Como podemos observar en este cuadro, los estudiantes que deben desarrollar el grupo
nivel 1, demostrarán en su diagnóstico, mayoritariamente desempeños del nivel 1 lo que
implica que el desarrollo de las habilidades matemáticas se encuentran poco desarrolladas,
es decir, por ejemplo, en el ámbito de resolución de problemas, tiene grandes dificultades
para identificar la incógnita (o variable) que esta “en juego” para resolver el problema
planteado, o presentan disposiciones de aprendizaje que permiten establecer que el
estudiante tiene dificultades para analizar los datos o soluciones que se presentan en los
diferentes probleas.
Los estudiantes que deben desarrollar el grupo nivel 2, presentan una distribución de sus
desempeños que si bien pueden presentar, un mayor porcentaje de desempeños en el nivel
1, demuestran disposiciones de aprendizaje aceptables en el ámbito de las habilidades
matemáticas, por ejemplo, el estudiante es capaz de discriminar las variables que son
necesarias para resolver el problema o son capaces de realizar un tipo e análisis de la
solución o datos que se presentan en el problema.
Los estudiantes que desarrollarán el grupo nivel 3, evidencian un tipo de dispociiones de
aprendizaje que hacen alusión al desarrollo de las habilidades y conocimientos necesarios
para enfrentar los saberes que deben ser desarrollados en la enseñanza media.
— 36 —
Consideraciones importantes:
•
En caso de distribuciones similares en dos niveles se favorece el nivel superior,
siempre y cuando la distribución de incorrectas y/o omitidas (o no abordadas) sea
menor que la distribución de correctas en cualquiera de los niveles.
•
En caso de distribuciones iguales en los tres niveles, se ubica en el nivel medio,
siempre y cuando la distribución de incorrectas y/o omitidas sea menor que la de
correctas en cualquiera de los niveles.
•
Si la distribución de incorrectas y/o omitidas corresponde a un tercio o más de la
prueba el alumno debe realizar el grupo nivel 1.
Los casos siguientes se presentan como ejemplos para la aplicación del cuadro descrito
anteriormente:
Caso I
Dist.
Distribución de
ítemes desempeños
Nivel 1
Caso
Caso I
Distribución de
desempeños
Nivel 2
Distribución de Omitidos y/o
desempeños
Incorrectos
Nivel 3
Distribución de desempeños son similar en los distintos
Una distribución
niveles (dispersión de resultados tiende a ser equivalente menor a lo
en los tres niveles)
presentado en los
niveles anteriores.
El alumno debe realizar el Grupo Nivel 2.
Caso II
Dist.
Distribución de Distribución de Distribución de Omitidos y/o
ítemes desempeños
desempeños
desempeños
Incorrectos
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Caso
Caso II
La dispersión de resultados
La dispersión de resultados es equivalente
mayoritariamente se encuentran en en estos casos, pero comparativamente
estos niveles, en forma equivalente. menor que en los niveles anteriores
El alumno debe realizar el Grupo Nivel 2.
Caso III
Caso
Dist.
Distribución de
ítemes desempeños
Nivel 1
Caso III
La dispersión
de resultados
se encuentra
mayoritariamente
en este nivel.
Distribución de
desempeños
Nivel 2
Distribución de
desempeños
Nivel 3
La dispersión de
resultados en menor
que la dispersión
que en el nivel 1 pero
mayor a la nivel 3
La dispersión de resultados es
equivalente en estos casos, pero
comparativamente menor que en
los niveles anteriores
El alumno debe realizar el Grupo Nivel 1
— 37 —
Omitidos
y/o
Incorrectos
Caso IV
Caso
Dist.
Distribución de
ítemes desempeños
Nivel 1
Caso IV
Distribución
similar al de
los niveles 2
y omitidas o
incorrectas
Omitidos
y/o
Incorrectos
Distribución de
desempeños
Nivel 2
Distribución de
desempeños
Nivel 3
La dispersión
de resultados
se encuentra
mayoritariamente
en este nivel.
La dispersión de resultados
mayoritariamente se encuentran en
estos niveles, en forma equivalente
El alumno debe realizar el Grupo Nivel 2
Caso V
Dist.
Distribución de
ítemes
desempeños
Nivel 1
Caso
CASO V
Distribución de
desempeños
Nivel 2
La dispersión de resultados
mayoritariamente se encuentran en
estos niveles, en forma equivalente
Distribución de
desempeños
Nivel 3
No presenta
distribución en
este nivel
Omitidos
y/o
Incorrectos
Distribución similar al
de los niveles 1 y 2
El alumno debe realizar el Grupo Nivel 1
3 Trabajo en grupos de nivel
Las siguientes orientaciones no pretenden ser absolutas y tampoco coartar la creatividad del
profesor (a), pero sí nos mueve el interés de que previo a la implementación de la propuesta
que trae cada tema, éstas sean revisadas y analizadas, puesto que son complemento
importante de la gestión que hará el profesor (a) en el aula. En síntesis, ellas dan cuenta del
propósito y énfasis didáctico pensado y desarrollado en la elaboración de estos productos
de enseñanza.
3.1. Consideraciones generales
Previo al inicio de la clase será de suma importancia que el profesor establezca un contrato
didáctico con los alumnos, su objetivo fundamental es la definición de reglas y condiciones
de trabajo que ambas partes acordarán y además se comprometen a cumplir durante
el desarrollo de la clase. Recordemos que la organización del curso en grupos de nivel
hace aún más necesario, para la eficacia de la propuesta y la atención diferenciada de los
estudiantes, definir claramente con los alumnos la modalidad de trabajo: individual o en
pareja, luego un momento de socialización del trabajo personal, donde cada uno tenga la
posibilidad de comunicar sus hallazgos y compartir sus dificultades. Un tercer momento
involucra al profesor, él puede realizar una puesta en común donde sea debatida y
argumentada la producción de los alumnos. Es un momento importante, esta define y orienta
la intervención posterior del profesor con un claro objetivo de conducción, es decir, en él
recae la responsabilidad de realizar la consolidación final de los temas y conceptos
trabajados en clase.
— 38 —
La asignación del tiempo para el desarrollo de las actividades es importante. Se sugiere
asignar tiempos prudentes, de acuerdo al estudio preliminar que hará el profesor (a) de
las actividades seleccionadas del cuadernillo, no es imperioso que todos los alumnos deban
concluir el trabajo para iniciar la puesta en común, aquí es cuando las reglas establecidas en
el contrato deben ser consistentes. No olvidemos que la puesta en común es un momento
que debe permitir a todos los alumnos confrontar: sus hallazgos, trabajo realizado y grado
de responsabilidad en la ejecución de sus tareas.
3.2. Consideraciones generales respecto de la consolidación del conocimiento
Un momento relevante en la gestión de la clase será aquel destinado a consolidar y
sistematizar clase a clase o bien de una clase a otra, los conocimientos tratados
por los alumnos. Los estudiantes asumirán, bajo las condiciones acordadas y estipuladas
en el contrato didáctico, la modalidad de trabajo donde la distribución del tiempo y tareas
asignadas, en los distintos momentos de la clase, darán cuenta del trabajo realizado.
Insistimos en que esta consolidación es de responsabilidad del profesor, es el momento en
que él conocimiento matemático se sistematiza. Es por esto que a continuación presentamos
una síntesis de los contenidos y definiciones a trabajar durante la gestión de la clase
para cada una de las unidades del cuadernillo. Posterior a esta presentación se entregan
orientaciones didácticas importantes para cada unidad considerando el trabajo diferenciado
que se debe hacer según la organización por grupos de nivel.
3.3. Sintesis de contenidos y definiciones por unidades de trabajo
3.3.1. Números: potencias, racionales e irracionales
En el desarrollo de este tema se abordaran varios contenidos y conceptos
descritos en la síntesis anterior.
Potencias
En los cursos anteriores los alumnos deberían haber trabajado el concepto de
potencia de un número, definido en:
 a  Z, n  N, an = a
 
a
a
a
…….
a
n veces
Especial observación, se hace entonces respecto de la diferencia que existe
entre este desarrollo y una adición iterada. La cual puede expresarse como un
producto, por ejemplo:
5+5+5+5=5

4 = 20
Que es distinto a:
5

5
5
5 = 54 = 625
Es importante reparar en este punto, pues sabemos que la adición iterada
(repetida) de un cierto número no es lo mismo, que multiplicar este número
— 39 —
varias veces por sí mismo. En otras palabras, según nuestro conjunto referencia,
tenemos que:

a  Z, n  N, n
a  an
Se exceptúan de esta generalización los siguientes casos:
2

2 = 22 y 1

a=a
Potencias de base racional positiva y exponente entero
El conjunto referencia para el tratamiento del concepto de potencia cambia según
los objetivos y contenidos planteados para NM1. El trabajo se desarrollará en el
ámbito de los números racionales, por lo tanto, se denomina potencia de base
racional y exponente entero, a toda expresión de la forma:
 ba 
n
, con a
b
Q, n  Z y b  0

Cuyo desarrollo se puede escribir de la forma:
 
a
b
n
=
a
b
 
a
b
a , ...
b

a = a
b
b
   
a
b
a
b
......
......
a
b
=
an
bn
n factores
Se sabe que todo número racional distinto de cero, posee un inverso multiplicativo,
lo que se puede escribir como:
Para a  Q con a  0,  a’ / a
Por lo tanto: a’ =


1
, ya que: a
a
a’ = 1
1 = a = 1 entonces,
a
a
el inverso multiplicativo de a es a-1, análogamente el inverso multiplicativo de a es
a-n
Un aspecto importante durante el trabajo con los alumnos es hacer observación
en aquellas situaciones donde se pueden establecer generalizaciones, es el
caso de las potencias de base racional y exponente par. Todo número racional
elevado a un exponente par, da como resultado un número racional positivo.
En general, para una potencia de exponente par, tenemos que:
 ba 
2n
 Q, 
a
 Q, n  Z y b  0
b
Para el caso de una potencia de base racional elevada a un exponente impar se
conserva el signo de la base.
— 40 —
Propiedades de las potencias
Unos de los tópicos considerados en el programa de NM1 es que el alumno trate inicialmente
de forma experimental las propiedades de las potencias, para luego, establecer de forma
más rigurosa su formulación y definición. En particular se enfatiza mayormente el uso y
aplicación de las propiedades referidas a la multiplicación y división de potencias, sin
descartar por cierto, el tratamiento con el resto de las propiedades. A continuación se
presentan algunas de ellas considerando una base perteneciente al conjunto de los
números racionales y exponente perteneciente a los enteros:
1. La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación.
(a

b) n = an

bn
2. La potenciación es distributiva con respecto a la división.
 ba 
n
an
b0
bn
=
Reglas operatorias para el cálculo con potencias
1. Multiplicación de potencias de igual base
En general:
am

an = am + n ,  a  Q  m, n  Z
2. División de potencias de igual base
En general:
am
= am – n ,  a  Q  m, n  Z
an
3. Potencia elevada a un exponente
En general:
amn , am • n  a  Q  m, n  Z
4. Potencias de exponente cero
En general:
a0 = 1  a  Q con a  0
5. Potencia de exponente negativo
En general:
a-n =
 a1 
n
,  a  Q con a  0
— 41 —
El Conjunto de los Números Racionales
Uno de los énfasis que se hace en NM1 es trabajar con los alumnos en el sentido de que
ellos perciban como diferentes situaciones problemas que ha debido enfrentar el hombre
en el ámbito de los números, requieren una ampliación del ámbito trabajado, creando otros
conjuntos numéricos. Por ejemplo: ¿existe solución en el conjunto de los números naturales para 4 – 10? ¿Existe algún número entero que multiplicado por 3 sea igual a 1? La
respuesta para las preguntas es negativa, de esta forma se obliga a los matemáticos a una
ampliación del conjunto de los números naturales y del conjunto Z, respectivamente. Es así,
como en este caso el conjunto de los números racionales aparece como solución a esta
problemática. Este conjunto se representa con la letra Q (que proviene del inglés “quotient”
que significa cociente) y se define:
Q={r/r=
 ba  , a  Z, b  Z, b
0
}
Al representar en la recta numérica algunos elementos de este conjunto, la situación queda
representada de la siguiente manera:
3
1
1
3
-1
0
1
…
2
2
2
2
Cada fracción es un número racional y a cada número racional le corresponden infinitas
fracciones de igual valor. Por ello, el conjunto Q es reconocido como un conjunto denso,
esto quiere decir que entre dos números racionales, por muy pequeña que sea su diferencia,
entre ellos hay infinitos números racionales. No obstante, a pesar de considerar a Q como
un conjunto denso, estos números no cubren completamente la recta numérica, quedando
“espacios” en ella. Existe una correspondencia unívoca entre los números racionales y los
puntos de la recta, pero esta relación no es recíproca.
…
N
Z
Q
N Z Q
De acuerdo a lo dicho inicialmente, en el conjunto Q aparentemente se podrán realizar
todas las operaciones aritméticas y cumplirá con las propiedades correspondientes.
Esto, no es del todo cierto, puesto que hay inconvenientes para realizar otro tipo
de operaciones que el alumno deberá enfrentar más adelante, aquí nuevamente
surgirá la necesidad de ampliación de este conjunto, que involucra construir otros
conjuntos numéricos, tal cual se había comentado brevemente en un comienzo.
— 42 —
Números racionales expresados en forma decimal
Recordemos que el alumno se verá enfrentado a esta conversión nuevamente. Para
a
expresar un número racional de la forma
, b  0 a su forma decimal, es necesario
b
dividir el numerador por el denominador. De esta manera, el cociente podrá ser:
• Un número decimal finito.
• Un número decimal infinito periódico.
• Un número decimal infinito semiperiódico.
Definiciones:
1.
Números decimales finitos: corresponden a los cocientes de divisiones exactas
del numerador por el denominador de la expresión fraccionaria. Se caracterizan por
tener una cantidad finita de cifras decimales a la derecha de la coma.
2.
Números decimales infinitos periódicos: corresponden a los cocientes de
divisiones inexactas del numerador por el denominador. Se caracterizan por tener
uno o más cifras que se repiten infinitamente e inmediatamente después de la
coma hacia la derecha. La cifra repetida infinitamente es llamada período.
3.
Números decimales infinitos semiperiódicos: corresponden a los cocientes
de divisiones inexactas del numerador por el denominador. Estos números se
caracterizan por tener una o más cifras antes del período, que forman lo que se
conoce con el nombre de anteperíodo.
Estas características serán un importante indicador para establecer experimentalmente
con los alumnos, la diferencia entre lo que es conocido como número racional y un nuevo
conjunto numérico llamado, el conjunto de los números irracionales.
El Conjunto de los Números Irracionales
El conjunto Q de los Números Racionales es el conjunto de los números que pueden
ser escritos de la forma a , b  0 y que admiten expresiones decimales: finitas e
b
infinitas periódicas y semiperiódicas. Sin embargo, como fue señalado anteriormente existen números cuya expresión decimal es infinita, pero no periódica, estos números se llaman
Números Irracionales porque no es posible expresarlos como fracciones.
2 = 1,41421356…
 = 3,14159265…
e = 2,71828182
3 = 1,73205080…
— 43 —
Definición de un número irracional
Llamamos número irracional a todo número que no puede escribirse en
a
forma de fracción
donde a y b son números enteros, pero con b distinto
b
de cero. Es así, que el conjunto de los números irracionales se representa por la letra (I),
el conjunto de los Números Racionales (Q) y conjunto de los números irracionales (I) son
disjuntos, es decir:
QI=
La unión de ambos conjuntos dará origen a un nuevo conjunto, el que los alumnos deberán
conocer más adelante, el de los Números Reales, que se representa por la letra: 
QI=
Al analizar la sentencia anterior, podemos establecer que la unión de ambos conjuntos, nos
permite completar la recta real.
La introducción de un número irracional
Diversas son las formas de introducir los números irracionales. Una de ellas, es de tradición
histórica: la geométrica, puesto que fueron los matemáticos griegos de la escuela Pitagórica
los primeros en descubrirlo.
Este procedimiento emplea el Teorema de Pitágoras: “en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Sea un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos miden “1” (una unidad medida
cualquiera). Encontrar la medida de su hipotenusa.
c2 = 12 + 12
c2 = 1 + 1
c2 = 2
Donde el valor de la hipotenusa se escribe:
C= 2
Esta expresión nos lleva a preguntarnos: ¿qué número elevado al cuadrado nos da 2?
Sabemos que su valor está comprendido entre 1 y 2:
1< 2 <2
1,4 < 2 < 1,42
Obviamente que, realizando una serie de aproximaciones algorítmicas del cálculo de la raíz
cuadrada de un número, permitirá acercarnos cada vez más a 2 .
— 44 —
3.5.1.1. Orientaciones didácticas
Número: potencias, racionales e irracionales, según niveles de grupo
Grupo Nivel 1
El alumno (a) inicia su trabajo con un problema muy simple que lo introduce
al concepto de potencia. Se intenciona la organización gráfica de la situación
con el propósito de lograr un mayor grado de comprensión, el diagrama
de árbol permite visualizar de manera diferente el sentido y significado
del problema. El procedimiento de solución planteado mediante registro
gráfico posteriormente es convertido a registro numérico, este es un punto
importante de manejar por el alumno, ambos procedimientos satisfacen la
solución del problema pero evidentemente están formulados en registros
(lenguaje) distintos.
En esta primera parte diremos que estamos en la recuperación del concepto
de potencia que deben manejar los alumnos de este nivel. Se presentan
diferentes actividades que permiten hacer funcionar esta noción, especial
atención se debe poner en las distintas formas de notación que esta tiene.
El uso de la calculadora juega un papel importante, las actividades están
elaboradas para que el alumno “opere con pequeños programas” en una
calculadora básica y científica, que le permitan reforzar el concepto y al
mismo tiempo encontrar el significado de la operación introducida al digitar
indistintamente uno u otro “programa”, lo importante es que siempre
su cálculo sea relacional y de sentido a lo que está ejecutando.
Relevancia cobran en este aspecto la discusión de las preguntas
hechas una vez aplicado el “programa”.
Especial atención debe tener el docente al momento en que los alumnos
digiten
25
Xy
0
y respondan la pregunta formulada posteriormente. Será el momento
donde a partir de una demostración experimental se pruebe que 250 = 1 Lo
que posteriormente se constituirá en una propiedad de las potencias. La
consolidación que hará el profesor (a) del procedimiento y conocimiento
involucrado en esta actividad, nuevamente es relevante.
La resolución de los problemas es un eje transversal fundamental en
matemática, y este claramente es un pilar fundamental en muchas de las
actividades planteadas en el cuadernillo. Se sugiere al profesor dedique
especial atención a la producción que los alumnos hacen al resolverlos,
como también de los procedimientos y argumentos que estos dan en
su resolución, con el objeto de que los alumnos evalúen los distintos
procedimientos empleados entre sus compañeros.
— 45 —
En este nivel se trabaja experimentalmente el refuerzo de las propiedades
de potencias. Ellas no son definidas como tal, sino que son introducidas
a modo de dar respuesta a problemas de carácter intramatemático en el
ámbito de la geometría. Importante es que el profesor anime los hallazgos
y respuestas dadas por los alumnos, reforzando su argumentación para
posteriormente tomarse de ésta al momento de consolidar y generalizar
las propiedades trabajadas.
Se introduce y refuerza en este nivel las potencias de base 10 y el concepto
de notación científica. Su propósito es que los alumnos se familiaricen con
nuestro sistema de numeración decimal percibiendo de forma práctica,
como éste también permite dar respuesta mediante el uso de la notación
exponencial a diferentes problemas que requieren ser formulados con
grandes o pequeñísimos números. Sirve de introducción a los ejercicios
con potencias de exponente positivo y negativo, en situaciones en que es
posible simplificar la notación, ayudando a la comprensión y descripción de
situaciones. La contextualización no debe ser impedimento para trabajar
estos conceptos con el rigor matemático que corresponde al nivel, sino que
por el contrario, se busca dar sentido y significado a cómo la matemática
ayuda a resolver y comprender los problemas de la vida cotidiana.
Las actividades relacionadas con la variación exponencial también
se presentan en diagramas de árbol. Su propósito es que los alumnos
visualicen de manera gráfica ritmos de crecimiento que se pueden describir
por medio de la multiplicación o la adición iterada de un mismo número.
Estos diagramas también se articulan con tablas de valores lo que permite
a los alumnos formarse una idea de los crecimientos y decrecimientos.
Es conveniente apoyar la elaboración de estas últimas para facilitar la
comparación y visualización del proceso de crecimiento de un número, en
conclusión diagramas y tablas son formas de registro diferentes, los cuales
el (la) profesor (a) los puede traducir a registro numérico presentando la
notación exponencial correspondiente.
Para este nivel también se intenciona y trabaja la representación geométrica
de las potencias cuadradas y cúbicas. Hemos señalado reiteradamente
que uno de los propósitos es que los alumnos y alumnas logren visualizar
y comprender de mejor forma la potenciación. Se sugiere la posibilidad
que para efectos de esta actividad, los alumnos puedan construir en
material concreto los modelos que sirven para la generación de esquemas
mentales de representación de estos conceptos y junto con ello, proponer
una variación de actividades que contribuyan a una mejor apropiación de
los mismos.
Los números racionales son incorporados a partir de la resolución
de problemas, que no tan sólo requieren del cálculo con fracciones y
decimales, sino que también, generen la necesidad de hacer estimaciones
y aproximar resultados. El trabajo a realizar por los alumnos, requerirá de la
relación que ellos deben hacer entre los datos y los resultados obtenidos,
— 46 —
nuevamente el sentido y significado de los resultados se convierte en un
punto relevante a tratar por el profesor. Un trabajo importante a realizar por
los alumnos es lo que dice relación con las expresiones decimales finitas
e infinitas: periódicas y semiperiódicas, en ellas se les plantea establecer
regularidades numéricas, que permitan conjeturar y caracterizar estas
expresiones.
Para este nivel se amplía el tratamiento que se da a los números irracionales,
se propone establecer una comparación entre número racional e irracional,
de forma tal, que los alumnos puedan discriminar y caracterizar a ambos
conjuntos. Para el caso de los números irracionales se pide la ubicación
geométrica de algunos de ellos en la recta numérica, importante será que
el profesor (a) plantee a sus alumnos preguntas que los lleven a pensar
que esos números irracionales, en cierto modo, ayudan a completar los
“espacios” no cubiertos por otros números, acercándonos de esta forma a
una idea intuitiva de lo que será más tarde la recta real.
La sección ¡A investigar! en esta oportunidad plantea un desafío de tipo
heurístico, donde los alumnos se verán en la necesidad de: observar,
constatar y conjeturar sobre la presencia de patrones o regularidades
numéricas. De este modo, los alumnos deberán argumentar sus hallazgos,
lo que indudablemente, permitirá validar estrategias y procedimientos que
dieron solución al problema. Un aspecto importante a considerar más tarde,
es que estas secciones podrán ser utilizadas nuevamente en el cuadernillo
de álgebra, donde este tipo de situaciones a resolver es interesante poder
generalizarlas mediante expresiones algebraicas.
Grupo Nivel 2
Los alumnos trabajarán de forma más directa el concepto de potencia para
el nivel. Se proponen actividades que varían en función de las capacidades
y conocimientos que distingue a este grupo de alumnos del nivel anterior.
La propuesta nuevamente está centrada en hacer funcionar la noción
de potencia, especial atención se debe poner en las distintas formas de
notación que esta tiene. Sabemos que el uso de la calculadora juega un
papel importante, por lo tanto, aunque las actividades presentadas para
tal efecto son menores que en cuadernillo de nivel 1, se propone asignar
en clase o dar como tarea complementaria actividades que refuercen la
noción de potencia mediante el uso de esta herramienta, teniendo presente
las orientaciones didácticas hechas anteriormente. Lo importante es
que siempre su cálculo sea relacional y de sentido a lo que está
ejecutando. Relevancia cobran en este aspecto la discusión de las
preguntas hechas una vez aplicado los “programas” y utilidad de las
funciones de que se disponen las calculadoras.
Nuevamente hacemos hincapié en que la resolución de problemas es
un eje transversal fundamental en matemática y pilar de las muchas
actividades planteadas en los diferentes cuadernillos. El profesor debe
poner especial atención en: la producción que los alumnos hacen al
— 47 —
resolverlos, procedimientos, estrategias y argumentos. En este sentido
se proponen problemas ligados a trabajar de forma experimental en el
refuerzo del concepto de potencias cuadradas y cúbicas, como también de
las propiedades de potencias. Estas últimas no son definidas como tal, sino
que son introducidas a modo de dar respuesta a problemas planteados en
contextos geométricos. Se sugiere revisar los hallazgos de los alumnos,
orientando y reforzando su argumentación, estos conocimientos en acto
serán relevantes al momento en que el profesor consolide y generalice
las propiedades trabajadas. Por último se insiste en la posibilidad que
para efectos de este tipo de actividades, los alumnos puedan construir
en material concreto los modelos que servirán para la generación de
esquemas mentales de representación de estos conceptos y junto con ello,
trabajar variadas actividades que contribuyan a una mejor apropiación de
los mismos.
En este nivel también se llevan a cabo actividades relacionadas con la
variación exponencial. Los problemas preliminarmente son desarrollados
empleando diagramas de árbol y tablas de valores, ambos registros permite
que los alumnos visualicen de manera gráfica ritmos de crecimiento y
decrecimiento. Es conveniente apoyar la elaboración de estas últimas para
facilitar la comparación y visualización del proceso de crecimiento de un
número. Diagramas y tablas son formas de registro diferentes, los cuales
es conveniente que el profesor (a) los traduzca a registro numérico con
el fin de establecer la relación de congruencia entre ellos y fortalecer la
apropiación de los conceptos involucrados.
Los números racionales e irracionales son incorporados a partir de la
resolución de problemas, las respuestas obtenidas permitirá a los alumnos
comparar y caracterizar a cada uno de ellos. Nuevamente el trabajo está
centrado en la relación y análisis que ellos deben hacer de los datos, sentido
y significado de los resultados obtenidos, un aspecto relevante a tratar por
el profesor. Un trabajo importante a realizar por los alumnos es lo que
dice relación con las expresiones decimales finitos e infinitos, en ellas se
les plantea establecer regularidades numéricas, que permitan conjeturar y
caracterizar ambos tipos de números. A los alumnos se les pide trabajar
en la ubicación geométrica de algunos números irracionales en la recta
numérica, importante será que el profesor (a) plantee a sus alumnos que
los irracionales se ubican en “espacios” no cubiertos por otros números,
acercándonos de esta forma a una idea intuitiva de lo que será más tarde
la recta real.
Por ultimo en la sección ¡A investigar!, ya dijimos, plantea un desafío de tipo
heurístico, los alumnos se verán en la necesidad de: observar, constatar
y conjeturar sobre la presencia de patrones o regularidades numéricas.
Ellos deberán argumentar sus hallazgos, lo que sin duda, permitirá validar
estrategias y procedimientos que dieron solución al problema. Un aspecto
importante a considerar más tarde, es que estas secciones podrán ser
utilizadas en el cuadernillo de álgebra, donde será interesante que los
alumnos trabajen en la generalización de sus respuestas mediante
expresiones algebraicas.
— 48 —
Grupo Nivel 3
Por la estructura y propuesta de los cuadernillos en este nivel es conveniente
tener presente las orientaciones señaladas anteriormente, estas no son
bajo ningún punto de vista excluyentes, por el contrario, vienen en fortalecer
la secuencia, tratamiento y rigurosidad de los contenidos y conceptos a
trabajar por estos alumnos.
El tratamiento y profundidad de los conceptos puede ser de mayor exigencia.
Por tanto, se sugiere al profesor (a) complementar su trabajo proponiendo
a los alumnos actividades y problemas anexos que contribuyan a fortalecer
y profundizar las nociones abordadas. Si lo estima necesario, podrá hacer
variaciones en cantidad y rigurosidad, de acuerdo al nivel, de los temas
que no aparecen en este cuadernillo pero que si lo están en los anteriores,
intencionando nuevamente la profundización y extensión de contenidos.
Hacemos hincapié una vez más en la resolución de problemas, eje
transversal fundamental en la propuesta para el desarrollo de contenidos y
conceptos matemáticos. Los problemas planteados en los diferentes temas
del cuadernillo, deben ser de especial atención por parte del docente. La
producción que los alumnos hacen al resolverlos, sus procedimientos,
estrategias y argumentos son valiosos respecto de los conocimientos en
acto que entran en juego y de las variadas estrategias con las que nos
podemos encontrar. En virtud de esto, no menor es la importancia que
toma la consolidación y sistematización que el profesor (a) debe hacer de
los conocimientos involucrados.
3.5.2. Variación proporcional
Este segundo tema, aborda en términos generales el tratamiento de la
proporcionalidad directa e inversa, características y sus implicancias.
Tablas
El procesamiento de la información es muy importante hoy en día, diariamente
nos llega de una u otra forma mucha información. Una manera efectiva de
emplearla y organizarla provechosamente es llevando estos datos a un esquema
que sintetice adecuadamente las frecuencias de la(s) variable(s) registradas en
esos datos, a estas les llamamos: tabla de frecuencias.
METRO
TRANSPORTE DE PASAJEROS EN EL METRO DE SANTIAGO JULIO-SEPTIEMBRE 2004
MES
Línea 1 (miles)
Línea 2 (miles)
Línea 5 (miles)
Adultos
Estud.*
Ad. Mayor
Adultos
Estud.*
Ad. Mayor
Adultos
Estud.*
Ad. Mayor
Julio
9.948
2.289
154
2.405
759
57
3.205
836
61
Ago.
10.142
2.275
157
2.425
949
58
3.251
1.079
63
Sept.
10.018
2.722
154
2.721
957
60
3.231
1.006
62
* Incluye escolares gratuitos y pagados
Fuente: METRO S.A.
— 49 —
En esta tabla se presenta un recuento de los pasajeros que se movilizaron en
metro en el período julio – septiembre del 2004; por ejemplo, nos informamos
que en el mes de julio en la línea 1 se movilizaron 2.289 escolares. La naturaleza
de la variable estudiada en este caso es de carácter cuantitativo. La tabulación
que se hace de la información se complementa provechosamente con la representación gráfica, lo que hace más evidentes algunas características globales de
los datos, los cuales sería más difícil de captar si sólo consultásemos la base de
datos original. Se debe hacer notar que la presentación de los datos en forma de
tabla de frecuencias se parece, pero no es lo mismo que la tabla de valores de
una función.
Gráficos
Otra forma de procesar la información recibida diariamente es por medio del
empleo de gráficos, estos se relacionan de manera directa con las tablas de
frecuencia. Por lo tanto, una manera efectiva de usar la información reunida a
través de los datos, es traduciendo estos en un modelo que, en forma gráfica,
resuma adecuadamente las relaciones entre ellos. Su representación puede
ser más o menos abstracta y hay criterios orientadores que permiten tomar
decisiones adecuadas a la hora de representar gráficamente un conjunto de
datos. Los principales son:
• Identificar el tipo de variable(s) involucrada(s)
• Definir claramente el propósito del gráfico.
• El público a quien eesta dirigido.
El primero de ellos hace alusión a la distinción que debemos hacer entre
variables, puesto que en un gráfico estas se relacionan y permiten medir algunas
características. Las variables pueden ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa,
las últimas se clasifican en: discretas y variables continuas; la diferencia radica
en que para una variable discreta el conjunto de posibles valores es numerable
y toma valores en un conjunto finito, a diferencia de una variable continua, que
no es numerable, por lo tanto, puede tomar valores en un conjunto infinito de
valores. En el segundo caso “objetivo del gráfico” podemos diferenciar entre
“mostrar la distribución de frecuencias de una variable” y “ mostrar la asociación
entre dos variables”, así combinando estos dos criterios presentaremos en esta
oportunidad dos escenarios posibles:
Mostrar la distribución de frecuencias de una variable discreta:
f
C
A
B
A
B
C
X
— 50 —
Mostrar la distribución de frecuencias de una variable continua:
f
f
X1 X 2 X3 X4 X
X1 X 2 X3 X4 X
Información tomada de Unidad 4_template.Sitio Web
“Un gráfico o diagrama requiere explicarse por sí mismo y transmitir información,
sin hacer referencia a un texto o a alguien que lo explique. La selección cuidadosa
de títulos, descripción de escala, subtítulos y otras leyendas contribuyen a lograr
este objetivo” (Ferris J Ritchey. Estadística para las ciencias sociales. El potencial
de la imaginación estadística. Mc Graw Hill)
El contenido desarrollado anteriormente se integra y articula con el tema principal
a tratar en el cuadernillo: La variación proporcional, puesto que las situaciones
asociadas a este concepto permiten ser organizadas y comunicadas a través de
tablas y gráficos. Revisemos algunos de los contenidos y conceptos claves de
este tema.
Razones y proporciones
Se llama razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por cociente
o división. Su notación queda definida por:
a
La razón entre a y b se escribe b o bien a : b, con b  0, para ambos casos su
lectura es: “a es a b”
Los elementos o partes que constituyen una razón se llaman: antecedente
y consecuente. Respectivamente, el primero corresponde al numerador y el
segundo al denominador de una fracción.
a
b
antecedente
consecuente
a
Toda razón tiene un cociente llamado valor de la razón. Así:
= k; k  R
b
(k: valor de la razón). A continuación se nombran algunas razones bastante
importantes:
Número de habitantes de un país,
Superficie en Km2
— 51 —
Distancia
Tiempo
y
Fuerza ejercida
Unidad de superficie
Dos razones iguales forman una proporción. Sean:
a
c
b y d con a y d  0, dos razones iguales, entonces:
a
c
=
,  a, b, c, d  , b  0; d  0
b
d
Se escribe también de la siguiente forma: a : b = c : d En ambos casos se lee: “a
es a b como c es a d” En una proporción distinguimos términos medios, términos
extremos, antecedentes y consecuentes.
Teorema fundamental de las proporciones
Dos razones forman una proporción si y sólo si el producto de sus términos
extremos es igual al producto de sus términos medios.
a = c
b
d
a
 
d=b
c, b  0  d  0
Dada una proporción, se puede obtener otras proporciones con los mismos
términos, aplicando las siguientes transformaciones:
a) Permutar razones
c
a
=
d
b
c
a
=
d
b
b) Invertir razones
c
a
=
d
b
b
d
=
a
c
c) Alternar medios
c
a
=
d
b
a
b
=
c
d
d) Alternar extremos
d
c
=
b
b
c
a
=
d
b
e) Componer una proporción con respecto al antecedente y consecuente.
c
a
=
d
b
a+b c+d a+b c+d
=

=
a
c
b
d
f) Descomponer una proporción respecto del antecedente y consecuente.
c
a
=
d
b
a-b
c-d
=
a
c

a-b
c-d
=
b
d
g) Componer y descomponer una proporción
c
a
=
d
b
a+b c+d
=
a-b
c-d
Proporcionalidad directa
Dadas dos magnitudes x e y, se dice que son directamente proporcionales si
x es directamente proporcional a y o bien x varía proporcionalmente a y, si y
solo si la razón entre un valor cualquiera de x y el correspondiente valor de y es
constante.
— 52 —
x=yk
Entonces: x = k
y
Si al comparar dos pares ordenados (x , y) y (x1 , y1) se cumple que:


x1 = x
k y y1 = y
k, k  R, entonces dichos pares pertenecen a un conjunto
que es directamente proporcional. Luego los pares (x , y) y (x1 , y1) forman una
proporción:
x = y
x1
y1
x=yk
En conclusión, si las variables x e y toman valores reales en forma continua, el
gráfico de y = kx es una línea recta que pasa por el origen.
y = kx
y
x
Proporcionalidad inversa
Dadas dos magnitudes x e y, se dice que son inversamente proporcionales si
x es inversamente proporcional a y o bien x varía inversamente a y, si y solo
si el producto entre un valor cualquiera de x y el correspondiente valor de y es
constante.
Entonces: x

y=k
x=
k
y


Si al comparar dos pares ordenados (x , y) y (x1 , y1) se cumple que: x y = k y x1
y1 = k, k  R, entonces dichos pares pertenecen a un conjunto que inversamente
proporcional. Luego los pares (x , y) y (x1 , y1) forman una proporción:
x y1
=
x1 y
x
x
= 1
y1
y1
El gráfico de x y = k corresponde a una curva llamada hipérbola.
y
y = kx
x
— 53 —
3.1.1.1. Orientaciones didácticas
Variaciones proporcionales, según niveles de grupo
Las orientaciones también tienen como propósito que el profesor (a) se familiarice
y pueda hacer suya la propuesta desarrollada en los cuadernillos. Recordamos
que cuadernillo y manual son materiales complementarios en el tratamiento de
los contenidos y conceptos a trabajar en el presente tema.
Grupo Nivel 1
Se introduce a los alumnos de este nivel en la lectura e interpretación de tablas
y gráficos. Las actividades están elaboradas en función de una secuencia de
aprendizaje que permita reforzar técnicas de lectura e interpretación, en este
tipo de representaciones. Por ello, en un comienzo se les pregunta por aspectos
básicos, por ejemplo: identificar filas y columnas, relacionar la información entre
estas e incluso poder inferir información a partir de los patrones descubiertos.
Junto con la lectura y el análisis se da tiempo para la aplicación mediante la
construcción de estas representaciones, que permitirán organizar y trabajar
con la información. Aquí es importante que el profesor (a) oriente el proceso
de observación en cuanto a: la comparación de los gráficos, identificación de
las variables puestas en juego, congruencia entre gráfico y tabla de frecuencia
y la pertinencia de qué gráfico usar, es indispensable que estos aspectos sean
trabajados sistemáticamente. Especial atención se pide tener con los gráficos de
línea y circulares, puesto que más adelante serán utilizados con mayor frecuencia,
el primero en lo que concierne a representaciones de proporcionalidad directa y
el segundo en el tema variaciones porcentuales. Por último no debemos olvidar
que el alumno debe lograr tomar la decisión acertada respecto de qué gráfico
emplear para la representación de una u otra situación en estudio.
Insistimos nuevamente en la contextualización que se hace de la mayoría de los
problemas, su objetivo es acercar los problemas de la realidad al conocimiento
matemático, pues en definitiva este permite resolver un sinnúmero de situaciones
de la vida diaria. Es así, como en el tema de razones, proporciones y constante
de proporcionalidad, se enfatiza este punto. Los alumnos de este nivel deberán
desarrollar varias actividades que promueven la reflexión y análisis de diferentes
situaciones asociadas a los contenidos descritos anteriormente. Particularmente
se pide al profesor (a) que durante la gestión de su clase intencione la
comprensión, sentido y significado del concepto de razón y de proporcionalidad
y no proporcionalidad. La adecuada y correcta comprensión de su significado
será relevante en este grupo de alumnos, pues no debemos olvidar que a partir
de ellas podrán articular y transferir lo aprendido a los conceptos de proporción
directa e inversa a tratar más adelante.
De preferencia se emplearán gráficos cartesianos, por lo tanto, al constituirse
estos como registro gráfico e incluso geométrico de una situación determinada
dificulta en cierto modo su comprensión, puesto que el alumno está más habituado
al trabajo en registros numéricos. Ambos, representan el mismo concepto por lo
que el profesor (a) debe tener especial cuidado en mediar durante su gestión
para que los alumnos logren comprender y articular la información contenida
— 54 —
en ellos, de ahí la importancia de estar en una constante sistematización de la
información contenida y representada en: tablas, gráficos y registros numéricos.
Importante será que los alumnos logren, a partir de la información contenida en
un gráfico de proporcionalidad directa, abstraer: las variables que están en juego,
las razones, la constante de proporcionalidad y por que no, la tabla de valores
que permite construir dicho gráfico.
Para el trabajo de proporcionalidad directa e inversa, es de suma importancia
establecer momentos de la clase, el análisis de este tipo de proporcionalidad,
es fundamental en la apropiación de los conceptos involucrados. Los alumnos
deberán responder a varias situaciones problemas donde el estudio y análisis
se intenciona sistemáticamente: lectura e interpretación de tablas, lectura e
interpretación de gráficas que representan variaciones directa e inversamente
proporcionales, identificación de la constante de proporcionalidad, de forma tal,
que en virtud de la constante pueda obtener los valores de la otra variable. Los
alumnos trabajarán además el planteo, resolución y validación de las ecuaciones
que satisfacen la solución de un problema. Se sugiere que la gestión del
profesor en cada clase, culmine o bien siempre considere, la consolidación
y sistematización de los conocimientos y definiciones matemáticas
trabajadas.
Grupo Nivel 2
El trabajo a emprender por los alumnos de este nivel considera una menor
restitución, principalmente de aquellos contenidos considerados básicos. Esto
no exime al profesor (a) de la posibilidad de complementar las actividades del
nivel con aquellas que le parezcan más adecuadas para profundizar y/o hacer
variaciones. El énfasis debe estar puesto en los propósitos de fondo señalados
para el nivel 1, es decir: orientar el proceso de observación en cuanto a la
comparación de los gráficos, identificación de las variables puestas en juego,
congruencia entre gráfico y tabla de frecuencia y la pertinencia de qué gráfico
usar, es indispensable que estos aspectos sean trabajados sistemáticamente.
Especial atención se pide tener con los gráficos de línea y circulares, puesto
que más adelante serán utilizados con mayor frecuencia, el primero en lo que
concierne a representaciones de proporcionalidad directa y el segundo en el tema
variaciones porcentuales. Otro aspecto a considerar son las preguntas que los
alumnos deberán responder, ellas han sido elaboradas de forma tal, que buscan
problematizar a los alumnos. La indagación y búsqueda de procedimientos para
dar respuesta a cada problema es conveniente que sea debatido en la puesta en
común.
Un aspecto que es recomendable es el estudio y análisis de las situaciones
que constituyen una relación de proporcionalidad y no proporcionalidad. “Estas
actividades apuntan a que se haga una primera distinción entre situaciones donde
existe una variación proporcional y aquellas en la que no la hay. Se trata de que los
alumnos primero determinen si existe una relación y, segundo, caractericen dicha
relación. Un criterio es el de la posibilidad de encontrar valores desconocidos a
partir de los datos de la tabla a través del establecimiento de pares de razones
iguales (que permiten calcular un valor desconocido). De este modo, por ejemplo,
— 55 —
aunque exista una relación entre la edad de una persona y la estatura, ella no
es proporcional, es decir, la estatura no varía proporcionalmente con la edad y
depende, también, de otros factores, existiendo una gran variedad de casos”
(Programa NM1).
El empleo de gráficos cartesianos en el primer cuadrante será frecuente en el
estudio de las situaciones de proporcionalidad. Este tipo de registro puede ser
tratado con mayor profundidad en este grupo, intencionando de forma más directa
su análisis. La congruencia que ellos pueden establecer entre los diferentes
registros puede ser lograda en menor tiempo. Se hace hincapié en la comprensión
que deben hacer de las operaciones puestas en juego, el significado de los
datos en función del contexto, de ahí la importancia de estar en una constante
sistematización de la información contenida y representada en: tablas, gráficos y
registros numéricos. Se reitera lo relevante que será el que los alumnos logren,
a partir de la información contenida en un gráfico de proporcionalidad directa o
inversa, abstraer: las variables que están en juego, las razones, la constante de
proporcionalidad y la tabla de valores correspondiente a dicho gráfico.
En los momentos en que el profesor lo encuentre pertinente podrá realizar una
puesta en común que abarque la ejecución y tratamiento de un mismo concepto,
el trabajo diferenciado pero colaborativo es importante de realizar, en el cada
alumno planteará sus procedimientos los cuales deberá validar ante el resto de
los compañeros. Ya se mencionó anteriormente que el trabajo de proporcionalidad
directa e inversa, es el que mayor tiempo demandará a los alumnos y alumnas,
el análisis de este tipo de proporcionalidad, es fundamental en la apropiación
de los conceptos involucrados. Los alumnos deberán responder a varias
situaciones problemas donde el análisis se intenciona sistemáticamente: lectura
e interpretación de tablas, lectura e interpretación de gráficas que representan
variaciones directa e inversamente proporcionales, identificación de la constante
de proporcionalidad, de forma tal, que en virtud de la constante pueda obtener los
valores de la otra variable. Los alumnos trabajaran además el planteo, resolución
y validación de las ecuaciones que satisfacen la solución de un problema. En
este punto, a lo mejor se hará necesario considerar un bloque de clase dedicado
exclusivamente al refuerzo del tema ecuaciones, recordemos que ellas deben ser
la instancia de solución en varios problemas, por lo tanto, la congruencia entre el
enunciado y su planteo no es fácil y requiere de un mayor tiempo de trabajo.
Grupo Nivel 3
En las orientaciones planteadas con anterioridad a este tema, señalamos que
teniendo en claro que este grupo probablemente presente menos dificultades
de apropiación y dominio de conocimientos, no lo exime de trabajar de modo
diferenciado las orientaciones de fondo que en este se plantean. Es probable,
que el nivel de trabajo permita consolidar en menor tiempo los aprendizajes
esperados para este grupo, pero el profesor (a) puede en forma planificada
introducir variaciones a muchos de los problemas planteados, seleccionar y
generas otros nuevos, sin perder de vista la organización y objetivo didáctico
intencionado en la propuesta.
— 56 —
Se sugiere, tratar con mayor profundidad los conceptos involucrados, inclusive
gestionando la posibilidad de que los alumnos expongan y validen sus estrategias
y resultados, situación que contribuye enormemente al desarrollo de sus
habilidades y autoestima. “Como en los años anteriores, se insiste, también, en
otorgar a los estudiantes la oportunidad de desarrollar sus propias estrategias
para enfrentar una situación, incorporando paulatinamente, y en la medida que
eso sea necesario, algunos procedimientos convencionales. En este sentido, se
propone un trabajo muy relacionado con el enfrentar problemas abiertos, que
provoquen la necesidad de encontrar soluciones, de aventurarse en la búsqueda
de patrones, de soluciones más generales. El énfasis del trabajo debe estar
puesto en la determinación de variaciones proporcionales directas o inversas,
cuando corresponde, más que en el cálculo de valores de una proporción.
Se enfatiza, en consecuencia, una mirada dinámica de las proporciones. En
definitiva, se trata de ir desarrollando el razonamiento proporcional más que el
aprendizaje de un conjunto de procedimientos preestablecidos (tales como la
aplicación mecánica de la regla de tres, por ejemplo). Ello se realiza a partir de un
conjunto de actividades que ponen en juego las intuiciones y conocimientos de
los estudiantes, que les permiten ir sistematizando procedimientos, observando el
comportamiento de las variables y obtener conclusiones” (Programa de estudio.
MINEDUC).
3.5.3. Variación porcentual
Este tercer y último tema es de porcentaje. La correspondiente relación entre
porcentaje, números decimales y fracciones. Según programa NM1 se pone
énfasis en: el planteo de situaciones que involucren la lectura e interpretación de
porcentaje.
Porcentaje o tanto por ciento
Son varias las formas en que este concepto se puede definir:
a)
Un porcentaje o tanto por ciento corresponde a una fracción con
denominador constante e igual a cien. La expresión porcentaje se abrevia
mediante el símbolo %, que es una deformación de la abreviatura de ciento
(cto.)
b)
Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada
en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por
ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20
por ciento significa 20 . Normalmente se representa con el símbolo %.
100
c)
El “a % de una cantidad X” es una notación que se refiere al valor
“ a . X ” y se lee “el a por ciento de la cantidad X”. La cantidad X se
100
denomina referente. El valor que puede tomar a es cualquiera, es decir, a
es cualquier número real.
— 57 —
Son varios los procedimientos que se pueden trabajar en el cálculo de un
porcentaje. A continuación presentaremos algunas de ellas:
Trabajar el porcentaje como fracción de un número:
El 50 % de X se puede expresar o calcular mediante su fracción correspondiente,
a . X = 1 . X . Luego el 50% se puede expresar por medio de la fraccón
100 .
4
1
2
Trabajar el porcentaje como número decimal
“El 75 % de X se puede expresar o calcular mediante su fracción correspondiente,
75 . X = 0,75 . X ”. Luego 75 % es equivalente a 0,75 como número
100
decimal.
Casos particulares de cálculo de porcentaje
a)
Calcular el tanto por ciento de una cantidad: de acuerdo con las definiciones
anteriores, para determinar el tanto por ciento de una cantidad calculamos
la fracción decimal (fracción de un número) correspondiente a dicha
cantidad.
El a% de b es =
b)
a
100
.b=
a•b
100
Calcular qué tanto por ciento es una cantidad de otra: se debe tener
presente que toda cantidad es de sí misma el 100%. En función de esto
podemos preguntarnos ¿Qué porcentaje es a de b? así tenemos que: “b
es el 100% y a es de b el porcentaje que deseamos determinar, es decir, a
representa el x%. De esta forma podemos plantearnos la proporción:
b
=
100%
a
x%
de donde, obtenemos: x = 100 • a
b
c)
Dado un porcentaje de una cantidad, calcular la cantidad: ¿de qué cantidad
a es el b%? Ahora, en este caso se pregunta por la cantidad a la cual le
corresponde el 100%
x
=
100%
a
b%
x 100 a
b
— 58 —
En el cálculo de porcentajes es conveniente aprender algunas equivalencias que
pueden facilitar enormemente cálculos posteriores.
Porcentaje
Fracción
Porcentaje
Fracción
1%
1
100
20%
1
5
2%
1
50
25%
1
4
4%
1
25
33 1 %
3
1
3
5%
1
20
50%
1
2
10%
1
10
100%
1
3.5.3.1 Orientaciones Didácticas
Variación Porcentual según Niveles de Grupo
Los alumnos y alumnas de este nivel “tienen conocimientos sobre porcentaje,
tanto desde el ámbito informal como desde su trabajo en los últimos años de
Educación Básica. El propósito de su estudio es profundizar en él y aprender a
expresar y calcular el tanto por ciento como operador multiplicativo, que es la
forma en que se opera generalmente, en el ámbito del comercio y de las finanzas”
(Programa NM1).
Grupo Nivel 1
En este nivel los alumnos y alumnas traen ciertas nociones sobre porcentaje,
más desde el punto de vista informal que formal, pero ello es suficiente para
intencionar un trabajo preliminar de recuperación del concepto de porcentaje. Se
pone énfasis inicialmente en el cálculo de porcentaje por medio de la fracción de
un número, contenido y concepto tratado en cursos anteriores. “El tratamiento
sistemático y generalizado de los porcentajes es materia de los niveles posteriores.
En consecuencia, en este nivel se enfatiza la interpretación y el cálculo de algunos
porcentajes habituales y su escritura como decimal o fracción” (Programa de
estudio). Se sugiere que el profesor (a) refuerce particularmente la equivalencia
entre porcentaje, fracción y número decimal, todos registros numéricos que
representan a la misma noción en estudio, pero que es importante que los
alumnos lo comprendan. Señalamos anteriormente la dificultad con la que se
encuentran los alumnos al momento de no establecer la debida congruencia entre
los cambios de registro (5% de cierta cantidad es posible calcularlo utilizando su
fracción correspondiente 1 ó 0,05 en el conjunto de los decimales).
20
— 59 —
Se sugiere implementar sesiones de trabajo relacionadas con la publicación por
diferentes medios de porcentajes aplicados en situaciones de la cotidianeidad.
Revisar y analizar, la fuente, el ámbito y público al cual está dirigida la
información. Los alumnos deben ir comprendiendo lo relevante que es el manejo
de este concepto y sus diversas aplicaciones en el concierto: de la economía,
comercio, producción, ciencia y en general, toda información que es oportuno y
necesario comunicar mediante herramientas diversas (gráficos, tablas u otros)
que comunican haciendo uso de este tipo de cálculo y registro.
Afianzar el conocimiento de los diferentes procedimientos aplicados en clase
y consolidados por parte del profesor. El cálculo de porcentaje en términos de
fracción de un número, multiplicación decimal o bien por medio del planteo de
proporciones, junto con esto se debe hacer énfasis en la relación multiplicativa que
tiene el determinar porcentajes. Por ello en cada cuadernillo se proponen tablas
que permiten hacer la conversión entre: número expresado como porcentaje,
fracción decimal y común y número decimal, de forma tal de facilitar un cálculo
escrito o mental más práctico y eficiente.
La integración y articulación de los diferentes contenidos y conceptos trabajados
que el alumno debe hacer en el desarrollo de las actividades, tiene relación directa
con las temáticas desarrolladas anteriormente, es el caso de las fracciones,
decimales y en particular, para este caso, el planteo y resolución de proporciones.
De una forma u otra, en términos de la propuesta llevada a cabo y del trabajo
implementado en clase los alumnos y alumnas deberían estar en mejores
condiciones de aprendizaje para abordar este tema, puesto que además ya han
trabajado dos anteriores, que tienen significativa relación con este último.
Grupo Nivel 2 y 3
Las orientaciones dadas para el grupo de nivel 1 son aplicables al nivel 2 y 3,
en ello queremos ser categóricos. La distinción que se hace, lo hemos señalado
anteriormente, está en términos de la: secuencia y organización de las actividades
de aprendizaje, muchas diferentes, que median entre los diferentes grupos.
Sumado esto a la significativa participación que el profesor (a) debe hacer para
ir consolidando el conocimiento en juego, debería permitir la apropiación de los
aprendizajes esperados para cada nivel y en particular, de los propuestos para
primer año de enseñanza media.
Un tema que está presente en esta unidad, que ya se comenzó a trabajar en
niveles anteriores, es el de porcentajes. Más allá de calcular porcentajes referidos
a ciertas cantidades, se proponen situaciones en que las y los estudiantes aborden
variaciones proporcionales. No obstante, el primer aspecto no ha sido descuidado
y está abordado, en particular, en contextos de análisis de situaciones de tipo
estadístico. Se introduce el cálculo de frecuencias relativas y su representación
en gráficos circulares.
4
Cuando los alumnos trabajen diferentes tipos de información es muy importante
determinar primero sobre qué base se calcularán los porcentajes para luego poder
entender un porcentaje mayor. Usar expresiones que pueden ayudar a imaginar
el porcentaje; por ejemplo, el 200% del peso inicial puede expresarse como el
5
— 60 —
doble; así como el 900% correspondería a un alza de nueve veces. Se recomienda
especial cuidado en el lenguaje, ya que aumentar en 50% (o 50% más) es
equivalente con aumentar a un 150%, es decir, es equivalente a preguntarse por
el 150% del valor inicial. El uso de la calculadora es importante para reforzar este
concepto, por ello es conveniente dar significado a las operaciones y funciones
que se aplican, por ejemplo: al usar la tecla porcentaje en una calculadora es
claro que el valor que se ingresa primero es lo que se considera como el 100%
y, en ese sentido su uso refuerza la importancia del referente (así, si el valor de
un objeto, o cualquier otra unidad, aumenta a 150% basta con multiplicar el valor
inicial por 1,5) Tanto la visualización del significado de los porcentajes como de
las variaciones se pueden apoyar, también, con representaciones gráficas un
aspecto abordado en el tratamiento hecho en cada cuadernillo.
— 61 —
4 Proyecto de Externalización: Números
El tabaco y la salud
Razones y Porcentajes
Este proyecto se presenta de la siguiente manera:
1.- Orientaciones al profesor: De que se trata el proyecto y cuales aprendizajes se logran a
través de su ejecución
2.- Desarrollo del proyecto mismo con indicación de los pasos a seguir.
3.- Presentación de los resultados.
1.- Orientaciones al Profesor
Para realizar este proyecto, los grupos se conformarán con 4 o 5 compañeros y
compañeras que se encuentren en el mismo nivel, según lo señale tu profesor o profesora.
¿En que consiste el proyecto?
Este proyecto quiere invitarlos a realizar un trabajo de investigación sobre cual es el
porcentaje de personas que están cerca tuyo que fuman hoy. Este trabajo lo realizarán a
partir de la recolección de datos y el análisis numérico de estos . En este caso los datos que
se requieren para esta investigación son:
•
•
•
Número de personas encuestadas
Cantidad de encuestados que fuman
Cantidad de encuestados que no fuman
¿ Qué importancia tiene este tema en otras áreas?
Desde el área de la biología
El hábito de fumar atenta seriamente en contra de la salud:
•
•
•
La nicotina es un veneno que está en el humo del cigarrillo, que afecta el sistema
nervioso, acelera el ritmo del corazón y aumenta la presión sanguínea.
El humo del cigarro contiene monóxido de carbono, este gas impide que la sangre se
oxigene completamente..
En el alquitrán del humo del cigarrillo se encuentran muchas sustancias y algunas de
ellas pueden provocar cáncer.
Desde la Educación Física
La persona habituada a fumar disminuye en su capacidad respiratoria , lo cual
incide directamente en su capacidad física.
Es indispensable que planteen este tema a los profesores y profesoras de esas
asignaturas. Ellos podrán aportarles importante información sobre el tabaco y sus efectos .
— 62 —
¿Qué conceptos matemáticos se aplicarán en este proyecto?
1.
Razón: Comparar cantidades de una misma especie por medio de un cuociente
2.
Porcentajes
¿ Cuáles son los aprendizajes que persigue este proyecto?
•
•
•
•
Recolectar datos.
Tabular datos
Comparar por medio de una razón
Cálculos porcentuales
........y también....
En un trabajo de grupo existe la posibilidad de muchos aprendizajes como:
•
•
•
•
Aprender a organizarse como grupo
Discutir interpretar los datos obtenidos
Llegar a consenso
Redactar un informe con los resultados obtenidos
Evaluación de los aprendizajes de los estudiantes
Para evaluar este proyecto se pone a disposición tablas de desempeño, con ellas ustedes podrán
evaluar el niveles de desempeño que presenta cada uno de los estudiantes con respecto a los
Objetivos Fundamentales descritos para primero medio que hacen referencia a esta unidad:
Para esta unidad hemos revisado los distintos Objetivos Fundamentales de primero medio, y
vemos que los Objetivos Fundamentales 2, 3, 4 y 5. son aquellos que hacen referencia a la
unidad de variaciones porcentuales de primero medio, A continuación se despliegan las tablas
de competencias descritas para cada uno de los Objetivos Fundamentales:
— 63 —
Niveles
Competencia
(OF2)
Desempeño
incipiente
Desempeño
básico
Desempeño
aceptable
Analiza aspectos
cuantitativos
presentes en la
vida cotidiana,
describe y analiza
situaciones con
precisión.
El estudiante
tiene
dificultades
para diferenciar
los elementos
cuantitativos
y/o cualitativos
de su entorno
cotidiano.
El estudiante
es capaz de
diferenciar
elementos
cualitativos y
cuantitativos
de su entorno
cotidiano, pero
no establece
relaciones
que permitan
establecer
relaciones entre
dichos elementos.
El estudiante
establece
relaciones entre
elementos
cuantitativos
de su entorno,
establece
relaciones
entre partes y
totales de dichos
elementos, pero
tiene dificultades
para interpretar
y operar con
porcentajes.
Niveles
Competencia
(OF 3)
Desempeño
incipiente
Utilizar diferentes
tipos de
números en
diversas formas
de expresión
(entera, decimal,
fraccionaria,
porcentual)
para cuantificar
situaciones
y resolver
problemas.
Reconoce
los diferentes
conjuntos
numéricos, pero
requiere ayuda
para operar
con algunos de
ellos.
Desempeño
básico
Reconoce
los diferentes
conjuntos
numéricos
y opera con
ellos en forma
aislada
— 64 —
Desempeño
adecuado
El estudiante
comprende el
concepto de
porcentaje y opera
con él, y aplica
dicho conocimiento
para establecer
relaciones y tomar
decisiones respecto
de elementos
cuantitativos de su
entorno cotidiano.
Desempeño
aceptable
Desempeño
adecuado
Realiza operatoria
combinada con los
distintos conjuntos
numéricos,
transformando entre
sí las diferentes
representaciones
numéricas (enteros,
decimales,
fracciones, etc.)
según corresponda;
relacionándolos
con problemas o
situaciones reales
A partir de un
problema, el
estudiante trabaja con
los distintos tipos de
números para generar
un modelo explicativo
de la situación
planteada.
Niveles
Competencia
(OF 4)
Resolver
problemas
seleccionando
secuencias
adecuadas de
operaciones
y métodos
de cálculo,
incluyendo una
sistematización
del método
ensayo-error;
analizar la
pertinencia
de los datos y
soluciones
Niveles
Competencia
(OF 5)
Percibir la
matemática
como una
disciplina en
evolución y
desarrollo
permanente.
Desempeño
incipiente
Resuelve
problemas con
operaciones
aisladas, sin
analizar la
pertinencia de
los resultados
y soluciones
halladas
Desempeño
incipiente
El estudiante
percibe la
matemática
como una
ciencia
acabada, no
establece
relaciones
entre los
diferentes
contenidos
trabajados.
Desempeño
básico
Desempeño
aceptable
Desempeño
adecuado
Resuelve
problemas con
operaciones
combinadas,
analiza la
pertinencia de
las operaciones
utilizadas, pero
requiere de ayuda
para relacionar
el resultado
encontrado
con la solución
del problema
planteado.
Resuelve
problemas con
operaciones
combinadas,
analiza la
pertinencia, y
coherencia de las
soluciones con él
calculo realizado.
Establece y realiza
una secuencia
de operaciones
adecuada para la
resolución de un
problema, analiza la
congruencia de los
datos y las soluciones
encontradas con el
problema planteado,
modifica los posibles
errores.
Desempeño
básico
Establece relaciones
entre diferentes
contenidos tratados,
pero asocia la
evolución de la
matemática(números
naturales, números
enteros, etc.) a
niveles progresivos
de dificultad y no a
un desarrollo de ésta
como ciencia.
2.- Descripción del proyecto
Anoten los nombres de los integrantes del grupo:
— 65 —
Desempeño
aceptable
El estudiante
reconoce el
carácter evolutivo
de la matemática,
como un
conocimiento
generado en
un contexto
específico que
permite adecuar
o transformar
el conocimiento
existente.
Desempeño
adecuado
El estudiante
reconoce que
la necesidad de
contestar nuevas
preguntas, tanto
en el ámbito de las
matemáticas como
en otros ámbitos
del saber otorga a
la matemática su
carácter evolutivo
y de desarrollo
permanente.
Comienza el trabajo........
Primer Paso: Definiendo la muestra de la investigación
El tema de la investigación está definido por el proyecto: Relación que existe entre el consumo
de tabaco y su salud
Ahora es necesario definir que cantidad de datos se necesita recoger y respecto de que número
de personas.
Ese grupo de personas a las que vamos a investigar, constituirá la muestra de nuestra
investigación.
¿Cómo definir la muestra de la investigación?
Cada uno de ustedes debe elegir un total de 10 estudiantes, pueden ser tanto del curso como
compañeros o compañeras de colegio, incluyendo a las personas que conforman el grupo de
trabajo.
Segundo Paso: La recolección de datos
Los datos básicos que se requieren en esta investigación son: si el encuestado es fumador o
no.
Recuerden repartirse esta tarea al interior del grupo y fijen un plazo para cumplirla.
Después de haber hecho la encuesta registren en esta tabla los datos obtenidos.
Vacíen los datos obtenidos en esta tabla de registro.
Tabla de registro N° 1
Total
encuestados
•
Total
Total
mujeres que hombres
fuman
que fuman
Total
Total
mujeres que hombres
no fuman
que no
fuman
Total de
personas
que fuman
Total de
personas
que no
fuman
Comparación por medio de una razón
Se llama razón entre dos cantidades a y b, a la comparación de ellas por cociente o división. Su
notación queda definida por:
La razón entre a y b se escribe a o bien a : b con b ≠ 0, para ambos casos su lectura es: “a es
b
a b”
El primer término de la razón recibe el nombre de “Antecedente” y el segundo término recibe el
nombre de “Consecuente”
— 66 —
Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, 15 alumnos son hombres y 25 son mujeres.
a
La razón entre los hombres y mujeres se expresa de la siguiente manera:
15 es a 25 como 15: 25 como 15 / 25 , donde 15 es el antecedente y 25 el consecuente.
b
La razón entre los hombres y el total de los alumnos del curso es:
15 es a 40 como 15 : 40 como 15 / 40, donde 15 es el antecedente y 40 es el consecuente.
c
La razón entre el número de mujeres y el total de alumnos del curso es:
25 es a 40
25 : 40
25/ 40, donde 25 es el antecedente y 40 es el consecuente.
Cuando esté entendido el concepto de “ razón” a partir del registro de datos de la tabla N° 1,
expresa la razón que existe entre:
1
2
3
4
la razón entre los hombres que fuman (H F) y los hombres que no fuman (H n F)
la razón entre las mujeres que fuman (M F) y las mujeres que no fuman (M n F)
la razón entre el total de las personas que fuman (T F) y el total de encuestados (T E)
la razón entre el total de las personas que no fuman (T n F) y el total de los
encuestados (T E)
Expresa tus datos en la tabla de registro N° 2
Tabla de registro N° 2
T. Encuestados
•
HF:HnF
MF:MnF
T F: T Enc
T n F : T Enc
Porcentajes
Recordemos las diferentes formas que este concepto se puede ser definido:
a
Un porcentaje o tanto por ciento corresponde a una fracción con denominador constante
e igual a cien. La expresión porcentaje se abrevia mediante el símbolo %, que es una
deformación de la abreviatura de ciento (cto)
b
Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas.
El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones
cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20 . Normalmente se representa con
100
el símbolo %.
c
El “a % de una cantidad X” es una notación que se refiere al valor “
20
• X” y se lee “el a por
100
ciento de la cantidad X”. La cantidad X se denomina referente. El valor que puede tomar a
es cualquiera, es decir, a es cualquier número real.
— 67 —
d
Toda razón se puede expresar como una razón porcentual, es decir como una razón de
consecuente 100
Ejemplo
Si 25 es el antecedente y 40 es el consecuente. La razón que lo representa es: 25 es 40, 25: 40
ó 25 / 40
Esta razón se puede expresar como una razón porcentual de la siguiente manera:
1. la razón 25 / 40 se iguala a una razón de consecuente 100, y por tanto se debe
establecer cual es el antecedente de esta nueva razón de consecuente 100, esto
significa lo siguiente.
25 : 40 = X : 100
2. Para determinar cual es el valor del antecedente de esta razón e consecuente 100,
se debe despejar la incógnita de la ecuación anterior, para ello multiplicaremos los
extremos de estas razones, para ello recuerda que:
Los extremos son el 25 y 100
Los medios son el 40 y X
Entonces al operar el paso 2 tenemos que:
25 • 100 = 2.500
3. Ahora al igualar ambas multiplicaciones tenemos que:
2.500
= 40X
4. Entonces para determinar el valor de la incógnita debemos dividir el producto de 25 • 100,
que es 2.500, por el consecuente de la primera razón:
2.500 : 40 = 62,5
5. Como el valor de la incógnita es 62,5 podemos establecer que el antecedente de
la segunda razón es 62,5 lo que implica que la razón porcentual es 62,5 : 100 que
corresponde al 62,5 %
6. Por lo tanto 25 : 40 = X : 100 es igual a 25 : 40 = 62,5 : 100 lo que implica que
25: 40 = 62,5 %
— 68 —
Luego de haber analizado el ejemplo de una razón de consecuente 100, o dicho de otra forma,
analizar el ejemplo referido a porcentaje. Responde las siguientes preguntas a partir de la tabla
de registro N° 2.
1. ¿Cuál es el porcentaje entre hombres fumadores y de hombres no fumadores?
2. ¿Cuál es el porcentaje entre Mujeres fumadoras y mujeres no fumadoras?
3. ¿Cuál es el porcentaje del total de fumadores con respecto al total de encuestados?
4. ¿Cuál es el porcentaje de total de personas no fumadoras con respecto al total de
encuestados?
3.- Informe Final
¿Cómo presentar los resultados?
Elaboren un informe final que de cuenta del trabajo realizado.
1. Introducción: En esta primera parte deben explicar cual es el contenido de este informe, el
tema de la investigación y la descripción de la muestra de su investigación. Es importante
que cada informe destaque quienes son sus autores
2. Presentación y análisis de los datos recolectados:
En esta sección deberán presentar los porcentajes obtenidos.
Aprendizaje final
En esta última parte deben exponer con claridad acerca del aprendizaje obtenido a partir de
este proyecto.
¿Cuál es la conclusión que se puede sacar acerca del hábito de fumar entre las personas que
ustedes consideraron como muestra de análisis?
¿Cuál es la importancia de las matemáticas para sacar estas conclusiones?
— 69 —
Indicaciones al docente
Usted debe apoyar la elaboración de cada uno de los productos señalados anteriormente,
para ello se presentan en el siguiente anexo técnicas de trabajo y sus consideraciones para
ser elaboradas, las cuales, se reitera deben ser estudiadas y explicadas en clase previo a
la fase del cierre.
Alumnos y alumnas a continuación te invitamos a leer y estudiar algunas técnicas
de trabajo posibles de emplear en la ponencia y divulgación del proyecto a la comunidad
educativa (Panel).
Uso de transparencias
Previo a su uso es conveniente elaborar en borrador un resumen o esquema de los temas
abordados en la investigación y que son considerados como relevantes para la ponencia.
Las transparencias pueden ser en blanco y negro o bien en color, esto se puede hacer a
mano o bien directamente desde un computador (utilizando la transparencia adecuada para
ello).
Al proyectar la transparencia hay que considerar las condiciones de luz, en la mayoría de los
casos es conveniente disminuir la luz para obtener una mejor imagen. Además, la ubicación
del proyector debe guardar una distancia adecuada para facilitar un buen tamaño de las
imágenes.
Uso de papelógrafo
Es una de las técnicas de trabajo más empleadas. Consiste en presentar la Información
en pliegos de papel puestos en un lugar seleccionado para ello. Esta Técnica resume y
apoya la explicación oral de quien o quienes realizaron el trabajo. El papel kraft es ideal
para la elaboración del papelógrafo pero ante la dificultad de no poder contar con este
puede ser reemplazado por pliegos de cartulina. Durante su elaboración es recomendable
previamente hacer una selección y resumen de la información a exponer, por lo general, se
emplean de 3 a 4 papelógrafos. El uso de plumones de colores, pegamento, reglas, tijeras
y cinta adhesiva son importantes en su presentación, importante es recomendar que el
tamaño de las letras, dibujos, fotografías o fotocopias sean lo suficientemente grandes para
captar y favorecer la atención y comprensión de los compañeros.
Uso de paneles
Como una forma de difundir el proyecto de investigación al interior del establecimiento, se
puede construir un panel informativo puesto en un lugar visible y por donde acostumbren a
pasar muchas personas (alumnos (as), profesores (as), apoderados, personal administrativo,
etc.) En la mayoría de los casos cada colegio cuenta con este tipo de paneles, los cuales
pueden ser solicitados previamente para difundir el trabajo. Si no se contase con ellos será
necesario contar con un soporte donde ubicar el material elaborado. Una alternativa es el
empleo de pizarras que se puedan desplazar.
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Autoevaluación
Indicaciones al docente
Se considera relevante dentro del proceso evaluativo, en especial de trabajos con estas
características, el que los alumnos tomen conciencia y se hagan responsables de evaluar
su desempeño individual y grupal, por ello, consideramos pertinente el que usted reflexione
sobre este punto con sus alumnos y plantee la importancia que tiene el que ellos respondan
la siguiente pauta de evaluación, la cual posteriormente será conveniente compartir en sus
aspectos generales más significativos para los estudiantes.
Estimados alumnos, ante la culminación de un trabajo es necesario realizar una evaluación
de él para reflexionar sobre los aspectos positivos y negativos evidenciados durante el
proceso, por ello es importante que ustedes respondan y reflexionen la siguiente pauta en
función de su trabajo, tanto en el plano grupal como individual.
Evaluación del trabajo en equipo
MB
B
S
I
El trabajo se realizó en forma limpia y ordenada.
Hubo planificación previa para la realización del proyecto.
Cada uno de los integrantes aportó según sus capacidades
al logro del proyecto.
El grupo asigno tareas en forma equitativa a los integrantes
del equipo.
El equipo mantuvo su responsabilidad y compromiso de
trabajo hasta el término del proyecto.
Cada uno de los integrantes del grupo cumplió con las
tareas en las que se comprometió.
Todos los integrantes del grupo participaron debidamente
del proyecto.
Se respetaron las fechas y/o plazos convenidos para la
elaboración y presentación del proyecto.
El desempeño e interacción entre los miembros del equipo
fue armónico.
Durante la elaboración del proyecto se respeto la opinión
de los integrantes del grupo
MB Muy bueno: el desempeño grupal en este aspecto es sobresaliente y completo.
B, Bueno: el desempeño grupal en este aspecto fue positivo y adecuado.
S, Suficiente: el trabajo en este sentido cumple con lo mínimo. ¡Faltó más esfuerzo!
I, Insuficiente: no se logra el propósito. Es necesario corregir y reorientar.
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C1
C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C1
C2 C3 C4 C5 C6 C7
Variaciones porcentuales
C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C1
Variaciones proporcionales
Descriptores de evaluación:
Ci : Conocimiento i-ésimo
L: el tratamiento y rendimiento alcanzado por el alumno en este contenido permite determinar el logro del aprendizaje implícito.
ML: el tratamiento y rendimiento alcanzado por el alumno está en vías de ser alcanzado. Requiere de quiere más tiempo y apoyo.
NL: el tratamiento y rendimiento del alumno es deficiente. Requiere de un mayor seguimiento, actividades de refuerzo y sistematización
de su trabajo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11
12
13
Alumnos
Contenidos
Numero: potencias, racionales e
irracionales
La siguiente tabla debe ser trabajada durante el desarrollo de los cuadernillos de cada grupo nivel. La relación: unidades, contenidos
y alumnos está en función de la organización de contenidos de nivelación e internalización del nuevo conocimiento, descrita en el
capítulo 1 para cada unidad
Tabla de registro para el estado de avance de los alumnos del curso
5 Anexos
Bibliografía
Gobierno de Chile. Ministerio de Educación. Programas de Estudio de Matemática: NB5,
NB6, NM1.
O. Tapia, M. Ormazábal, J. Olivares y D. López. Manual de preparación matemática.
Ediciones Universidad Católica de Chile.
A. Wesley y otros., Matemática Intermedia. Editorial Menlo Park.
R. E. De las Heras y otros., Álgebra y geometría I Medio. Editorial Santillana.
E. Díez L y M. Román., Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas.
Editorial Andrés Bello.
A. Alvarez A., Uso de la calculadora en el aula. Narcea, s.a. de ediciones.
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