Tests Exactos - ditellianos.org

Test de Hipótesis para comparación de dos poblaciones
Suposiciones
Hipótesis
Caso 1: Sean X1, ..., Xn v.a. 1) H0: μX - μY ≤ Δ0
iid con distribución N(μX ,
H1: μX - μY > Δ0
σX2)
2) H0: μX - μY ≥ Δ0
Sean Y1, ..., Ym v.a. iid con
H1: μX - μY < Δ0
distribución N(μY , σY2)
3) H0: μX - μY = Δ0
X e Y independientes
H1: μX - μY ≠ Δ0
Estadístico
Zona de Rechazo
Intervalo de
Confianza de nivel
(1-α)
Rechazo H0 a nivel α si
1) Z > Zα
Z =
X −Y − Δ0
σ X2
n
+
σ Y2
~ N (0,1)
m
2) Z < - Zα
3) Z > Zα/2 o Z < - Zα/2
( X −Y − Zα
2
X −Y + Zα
,σX2 y σY2 conocidas
2
Caso 2: Sean X1, ..., Xn v.a. 1) H0: μX - μY ≤ Δ0
iid con distribución N(μX ,
H1: μX - μY > Δ0
2
σX )
2) H0: μX - μY ≥ Δ0
Sean Y1, ..., Ym v.a. iid con
H1: μX - μY < Δ0
distribución N(μY , σY2)
3) H0: μX - μY = Δ0
X e Y independientes
H1: μX - μY ≠ Δ0
,σX2 y σY2 desconocidas e
iguales
t=
X −Y − Δ0
Sp
1 1
+
n m
~ t n+ m−2
(n − 1) S X2 + (m − 1) S Y2
( n + m − 2)
n
σ X2
n
σ Y2
+
+
m
σ Y2
m
Rechazo H0 a nivel α
1) t > tα , n+m-2
2) t < - tα , n+m-2
donde S p2 =
σ X2
3) t > tα/2 ,n+m-2
o t < - tα/2 , n+m-2
( X −Y − tα
2
X −Y + tα
2
, n+m−2
, n+m−2
Sp ;
Sp )
)
;
Caso 3: Sean X1, ..., Xn v.a. 1) H0: μX - μY ≤ Δ0
iid con distribución N(μX ,
H1: μX - μY > Δ0
σX2)
2) H0: μX - μY ≥ Δ0
Sean Y1, ..., Yn v.a. iid con
H1: μX - μY < Δ0
distribución N(μY , σY2)
3) H0: μX - μY = Δ0
X e Y no independientes
H1: μX - μY ≠ Δ0
,σX2 y σY2 desconocidas
t=
D − Δ0
~ t n −1
SD
n
Rechazo H0 a nivel α si
1) t > tα , n-1
2) t < - tα , n-1
( X −Y − tα
2
donde
3) t > tα/2 ,n-1 o t < - tα/2 , n-1
Di = X i − Yi
2
D = X −Y
n
S D2 =
∑( D
i =1
i
X −Y + tα
− D )2
n −1
, n −12
, n −1
SD ;
SD )
Tests Asintóticos
Suposiciones
Hipótesis
Caso 4: Sean X1, 1) H0: μX - μY ≤ Δ0
..., Xn v.a. iid con
H1: μX - μY > Δ0
E(Xi) = μX Var
(Xi) = σX2
2) H0: μX - μY ≥ Δ0
H1: μX - μY < Δ0
Sean Y1, ..., Ym
v.a.
iid
con 3) H0: μX - μY = Δ0
E(Xi) = μY Var
H1: μX - μY ≠ Δ0
(Xi) = σY2
Estadístico
Zona de
Rechazo
Intervalo de Confianza de nivel
(1-α)
Rechazo H0 a nivel
α si
Z =
X −Y − Δ0
σ X2
n
+
σ Y2
≈ N (0,1)
3) Z > Zα
( X −Y − Zα
2
4) Z < - Zα
m
X −Y + Zα
4) Z > Zα/2
2
σ X2
n
σ X2
n
+
+
σ Y2
;
m
σ Y2
m
)
o Z < - Zα/2
X
e
Y
independientes
n y m grandes
Caso 5: Sea X ~ 1) H0: p1 – p2 ≤ 0
Bi (n , p1)
H1: p1 – p2 > 0
Sea Y ~ Bi (m , 2) H0: p1 – p2 ≥ 0
p2)
H1: p1 – p2 < 0
X
e
Y 3) H0: p1 – p2 = 0
independientes
H1: p1 – p2 ≠ 0
n y m grandes
pˆ 1 − pˆ 2
pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
+
n
m
X
Y
donde pˆ 1 =
pˆ 2 =
n
m
Z=
Rechazo H0 a nivel
α si
1) Z > Zα
( pˆ 1 − pˆ 2 − Z α
2
2) Z < - Zα
3) Z > Zα/2
o Z < - Zα/2
pˆ 1 − pˆ 2 + Z α
2
pˆ 1 ( 1 − pˆ 1 ) pˆ 2 ( 1 − pˆ 2 )
+
;
n
m
pˆ 1 ( 1 − pˆ 1 ) pˆ 2 ( 1 − pˆ 2 )
+
)
n
m