F t

Sincronización y Transporte en
Potenciales Ratchets
H. A. Larrondo (FI-UNMDP)
en colaboración con
D. G. Zarlenga (FI-UNMDP)
C. M. Arizmendi (FI-UNMDP)
F. Family (Emory University)
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
1
Papers
“Disorder induced diffusive transport in ratchets”. M. N. Popescu, C. M. Arizmendi, A. L.
Salas-Brito, and F. Family. Physical Review Letters, 85(15):3321 - 3324, 2000.
•
“Quenched disorder effects on deterministic inertia ratchets”. C. M. Arizmendi, F. Family, and
A. L. Salas-Brito. Physical Review E, 63(6):061104, 2001.
•
“Control of current reversal in single and multiparticle inertia ratchets” H. A. Larrondo, F.
Family, C. M. Arizmendi, Physica A 303 (2002) 67-78
•
“Current basins of attraction in inertia ratchets”. H.A. Larrondo, C.M. Arizmendi, F.Family.
Physica A 320 (2003) 119-127.
•
“Transport and diffusion in overdamped ratchets as a synchronization problem”. D. G.
Zarlenga, H. A. Larrondo, C. M. Arizmendi, F. Family. Physica A 352 (2005) 282-294.
•
“Chaotic Dynamics and Control of Deterministic Ratchets· F. Family , H. A. Larrondo, D. G.
Zarlenga, C. M. Arizmendi. J. Phys.: Condens. Matter 17, (2005) S3719–S3739
•
“Trapping mechanism in overdamped ratchets with quenched noise” H D.G. Zarlenga, H.A.
Larrondo, C.M. Arizmendi, Fereydoon Family. Physical Review E 75, (2007) p 051101_1-8.
•
Complex Synchronization Structure of an Overdamped Ratchet with Periodic Forcing D. G.
Zarlenga, H. A. Larrondo, C. M. Arizmendi, F. Family En revisión Physical Review E (2009)
3
El péndulo forzado
•
“Quenched disorder effects on deterministic inertia ratchets”. C. M. Arizmendi, F. Family, and
A. L. Salas-Brito. Physical Review E, 63(6):061104, 2001.
•
“Control of current reversal in single and multiparticle inertia ratchets” H. A. Larrondo, F.
Family, C. M. Arizmendi, Physica A 303 (2002) 67-78
•
“Current basins of attraction in inertia ratchets”. H.A. Larrondo, C.M. Arizmendi, F.Family.
Physica A 320 (2003) 119-127.
•
“Transport and diffusion in overdamped ratchets as a synchronization problem”. D. G.
Zarlenga, H. A. Larrondo, C. M. Arizmendi, F. Family. Physica A 352 (2005) 282-294.
•
“Chaotic Dynamics and Control of Deterministic Ratchets· F. Family , H. A. Larrondo, D. G.
Zarlenga, C. M. Arizmendi. J. Phys.: Condens. Matter 17, (2005) S3719–S3739
•
“Trapping mechanism in overdamped ratchets with quenched noise” H D.G. Zarlenga, H.A.
Larrondo, C.M. Arizmendi, Fereydoon Family. Physical Review E 75, (2007) p 051101_1-8.
•
Complex Synchronization Structure of an Overdamped Ratchet with Periodic Forcing D. G.
Zarlenga, H. A. Larrondo, C. M. Arizmendi, F. Family En revisión Physical Review E (2009)
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
2
¿Por qué estudiar el transporte en
ratchets como un problema de
sincronización?
Trefemac
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ME y TE 2009
4
El péndulo forzado
ε l 2θ&& = −γ l 2θ& − ε gl sin θ + lF (t )
θ
“Disorder induced diffusive transport in ratchets”. M. N. Popescu, C. M. Arizmendi, A. L.
Salas-Brito, and F. Family. Physical Review Letters, 85(15):3321 - 3324, 2000.
Sincronización en Ratchets
•
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
Papers
•
εθ&& + γθ& = −ε
U = −ε g cos θ
+
l
g
1
sin θ + F (t )
l
l
θ
T
−γ lθ&
Trefemac
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ME y TE 2009
+
l
T
F
−γ lθ&
εg
5
Trefemac
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F
εg
6
1
El péndulo forzado
εθ&& + γθ& = −
Las lenguas de Arnold
1 dU 1
+ F (t )
l dθ l
θ
+
l
T
−γ lθ&
F
εg
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7
Trefemac
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8
El ratchet forzado
ε &&x + γ x& = −
dU
+ F (t )
dx
2
µ=0.5
1
U
0
-1
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9
Trefemac
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-2
-1
2
El ratchet forzado
µ
Trefemac
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2
1
µ=0.5
1
dU
ε &&x + γ x& = −
+ F (t )
dx
U ( x) = − sin( x) −
10
x~
U
0
-1
sin(2 x)
11
-2
-1
x~
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
1
12
2
2
El ratchet forzado
ε &&x + γ x& = −
-dU
dx
dU
+ F (t )
dx
F (t ) = Γ sin ( Ωt )
-1
-1
~
x
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
1
13
¿Porqué hay transporte en un
ratchet deteriminista?
dU
dx
14
¿Porqué hay transporte en un
ratchet?
La fuerza media que “ve” una
partícula no es nula
F (t ) t = 0
−
Trefemac
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=0
x
Trefemac
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ME y TE 2009
15
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
16
Variables normalizadas
x% = x / λ
t% = t / T
con
T = 2π / Ω
x%& = v% = v / vΩ
con
vΩ = λ / T
F (t ) = Γ sin ( Ωt )
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
17
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
18
3
420
5
Γ=1.015
~
xosc
En un ratchet determinista
interesa medir
~
vosc
Γ=1.015
(c)
400
400
420
~
t
−4
0.6
(d)
2
~
x
osc
v
t
26
Γ=1.010
Velocidad
media de la
partícula
Γ=1.011
~
xosc
(a)
1
1
(b)
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
26
~
t
1
19
En un ratchet determinista
interesa medir
v
t
Trefemac
2005
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20
26
~
t
En un ratchet determinista
interesa medir
v
vsa
sincronización
t
vsa
v
t
ρ
Corriente de un
paquete de
partículas
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
21
Trefemac
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22
Trefemac
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ME y TE 2009
23
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
24
4
¿Por qué se puede controlar el
transporte en un ratchet?
Trefemac
2005
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25
Los dominios de atracción de la velocidad
media
son2005
fractales
Trefemac
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26
Ratchet Overdamped
¿Qué se puede esperar de un
ratchet overdamped?
Trefemac
2005
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27
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
28
Derenyi, Astumian, PRE 58 (1998)
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
29
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
30
5
Modelo del ratchet overdamped
con fuerza externa senoidal
γ x& = −
dU
+ Γ sin(Ωt )
dx
γ = 1 Ω = 0.1 µ = 0.5
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
31
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
32
(+3, -0) (+4, -1)
(+3, -0) (+4, -1)
(+2, -0)
(+2, -0)
(+4, -2)
(+3, -1)
(+3, -1)
(+4, -2)
(+1, -0)
(+1, -0)
(+0, -0)
(+0, -0)
Trefemac
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33
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
34
Sistema de muchas partículas
• Condiciones iniciales cubriendo un pozo
en forma uniforme
• La velocidad inicial dentro del pozo queda
fijada por la posición dentro del pozo
• Para caracterizar la evolución usamos
cumulantes (alcanza con los dos
primeros)
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35
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36
6
Expresión de los cumulantes
Velocidad y coeficiente de difusión
dC%1
= V
t →∞ dt
dC%
lim 2 = D%
t →∞ dt
C%1 = x%k
lim
C% 2 = x%k2 − C% 12
Trefemac
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37
Trefemac
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ME y TE 2009
38
<V>=4/3
<V>=6/7
Trefemac
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ME y TE 2009
39
Trefemac
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ME y TE 2009
40
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
42
Ruido congelado
ε &&x + γ x& = −
dU
+ F (t ) + G ( x)
dx
G ( x) = αξ ( x)
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
41
7
Ruido congelado en ratchets
overdamped
• El ratchet overdamped es 2d por lo tanto
es trivial
• Se lo puede complicar agregando ruido
temporal
• Se lo puede complicar agregando ruido
congelado
Construyendo una trampa con ruido
congelado para un ratchet
overdamped
Trefemac
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ME y TE 2009
43
Trefemac
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ME y TE 2009
44
Trefemac
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ME y TE 2009
45
Trefemac
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ME y TE 2009
46
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
47
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
48
8
creciente
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
localización
49
Trefemac
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Workshop
ME y TE 2009
50
51
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
52
decreciente
localización
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
αth
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
53
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
54
9
α >αth
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
55
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
56
t=200
¿puede haber caos en un ratchet overdamped
forzado SIN ruido quenched y SIN ningún ruido
temporal adicionado?
t=1000
localización
Trefemac
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ME y TE 2009
57
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
58
Sincronización en un ratchet
overdamped
Otro modo de generar caos en un
ratchet overdamped
Lo que hay que hacer es ponerse en un caso que
viole los requisitos del teorema de existencia y
unicidad.
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
59
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
60
10
¿Qué pasa con otras fuerzas
periódicas?
 +Γ medio período
F (t ) = 
 −Γ medio período
La fuerza externa no tiene derivada continua
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
61
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
62
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
63
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
64
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
65
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
66
11
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
67
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
68
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
69
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
70
Un punto en la frontera entre
sincronización 1 y caos
15
99.9%
75%
1000
10
Ntrans
vSA / v
ω
800
5
0
600
400
-5
200
-10
1.2
1.4
1.6
1.8
Γ
2
Trefemac
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ME y TE 2009
2.2
2.4
0
85
71
90
%
Trefemac
2005
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ME y TE 2009
95
72
12
Construyendo una trampa con
ruido congelado
Trefemac
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ME y TE 2009
Construyendo una trampa con
ruido congelado
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Trefemac
2005
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ME y TE 2009
74
Conclusiones
• Los problemas de transporte en ratchet deterministas
pueden estudiarse usando la artillería de sistemas
dinámicos oscilatorios.
• Los ratchets overdamped deberían ser reestudiados
para los casos en que se viola el TEU.
• Nosotros estudiamos el caso con onda cuadrada y
encontramos que reaparece la riqueza propia de los
sistemas de mayor dimensión
• En la onda cuadrada los resultados obtenidos son
robustos.
• Debería estudiarse otras formas como ondas
triangulares por ejemplo para ver si el comportamiento
es genérico.
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
FIN
75
Trefemac
2005
Workshop
ME y TE 2009
76
13