Asignaciones - Web del Profesor

Electromagnetismo
Semestre B-06
1ra. Asignación - Electrostática
Nelson R. Pantoja V.
1. Usando la ley de Gauss (y de ser necesario la ecuación
!
! · d!l = 0) pruebe lo siguiente:
E
a) Cualquier exceso de carga en un conductor está localizado completamente sobre su superficie;
b) Un conductor hueco escuda su interior de los campos producidos por cargas localizadas en el exterior,
sin embargo no escuda su exterior de los campos debidos a cargas en su interior;
c) El campo eléctrico en la superficie de un conductor es normal a la superficie y tiene magnitud 4πσ,
donde σ es la densidad de carga por unidad de area sobre la superficie.
2. Usando la distribución δ de Dirac exprese las siguientes distribuciones de carga:
a) En coordenadas esféricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un cascaron esférico de radio
R;
b) En coordenadas cilı́ndricas, un anillo de radio a y carga total q con su centro localizado sobre el eje
z en z = b y el plano del anillo paralelo al plano xy;
c) En coordenadas esféricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un disco circular de espesor
despreciable y radio R.
3. Se tienen tres esferas de radio a y carga total Q, una conductora, una con densidad de carga uniformemente
distribuida sobre su volumen y una con una densidad de carga con simetrı́a esférica que varı́a radialmente
como rn (n > −3). Empleando la ley de Gauss, obtenga el campo eléctrico tanto dentro como en el exterior
de cada esfera.
4. Considérese el potencial electrostático dado por
Φ = qe−αr (1 + αr/2)/r
. Encuentre la distribución de carga asociada.
5. Un capacitor es un dispositivo formado por dos conductores aislados adyacentes uno al otro. Si se colocan
cargas iguales y opuestas sobre los conductores existirá una cierta diferencia de potencial entre ellos. El
cociente de la magnitud de la carga sobre un conductor y la magnitud de la diferencia de potencial se
denomina capacitancia. Usando la ley de Gauss, obtenga la capacitancia de
a) dos placas planas conductoras de area A paralelas y separadas una distancia d, despreciando los
efectos de borde;
b) Dos cascarones esféricos conductores concéntricos de radios a y b (b > a);
c) Dos cilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (L " b > a), despreciando los
efectos de borde.
6. Para los tres capacitores del problema anterior calcule la energı́a total electrostática y exprésela alternativamente en términos de las cargas iguales y opuestas Q y −Q colocadas sobre los conductores y la
diferencia de potencial entre ellos.
7. Calcule la fuerza atractiva entre las placas del capacitor de placas paralelas (problema 5a) para los casos
a) cargas fijas sobre cada conductor;
b) diferencia de potencial fija entre los conductores.
1
Electromagnetismo
Semestre B-06
2da. Asignación - Electrostática
Nelson R. Pantoja V.
1. Un hilo cargado de longitud infinita y densidad de carga λ está localizado perpendicular al plano
x-y en (x0 , y0 ), con x0 > 0 y y0 > 0. Los planos x = 0, y ≥ 0 y y = 0, x ≥ 0 son superficies
conductoras mantenidas a potencial cero. Considérese el potencial, los campos y las densidades de
carga en el primer cuadrante.
a) Determine el potencial de la linea cargada en presencia de los planos conductores.
b) Determine la densidad de carga superficial sobre el plano y = 0, x ≥ 0.
c) Muestre que la carga total (por unidad de longitud en z) sobre el plano y = 0, x ≥ 0 es
∼ −λ arctan(x0 /y0 ). ¿Cual es la carga total sobre el plano x = 0?
2. Considérese el problema de encontrar el potencial electrostático en el semiespacio z ≥ 0 con condiciones de contorno de Dirichlet sobre el plano z = 0 y en infinito.
a) Empleando el método de las imágenes, encuentre la función de Green apropiada.
b) Si el potencial Φ sobre el plano z = 0 se especifica como Φ = V en el interior de un circulo de
radio a centrado en el origen y Φ = 0 fuera de dicho circulo, encuentre una expresión integral
para el potencial en coordenadas cilı́ndricas (ρ, φ, z).
c) Muestre que, a lo largo del eje del circulo (ρ = 0), el potencial viene dado por
"
!
z
Φ=V 1− √
a2 + z 2
d ) Muestre que para ρ2 + z 2 % a2 el potencial puede ser expandido como
#
$
a2 V
5(3ρ2 a2 + a4 )
z
3a2
Φ=
+
1
−
+
.
.
.
2 (ρ2 + z 2 )3/2
4(ρ2 + z 2 )
8(ρ2 + z 2 )2
3. Un cilindro conductor de radio a y longitud infinita está localizado paralelo a un plano conductor,
también infinito, a una altura h del mismo. Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud
del sistema considerado viene dada por
C=
1
−1
2 cosh
(h/a)
4. Dos lı́neas rectas cargadas y paralelas separadas una distancia R tienen densidades de carga por
unidad de longitud λ y −λ.
a) Muestre que la superficie equipotencial Φ = V es un cilindro y encuentre las coordenadas del
eje y su radio en términos de R, λ y V .
b) Empleando el resultado anterior, muestre que la capacitancia por unidad de longitud de dos
conductores cilı́ndricos rectos de radios a y b separados una distancia d > a + b viene dada por
C=
2cosh−1
1
% d2 −a2 −b2 &
2ab
5. Una linea cargada con densidad de carga λ se coloca paralela y a una distancia R del eje de un
cilindro conductor de radio b. El cilindro es mantenido a un potencial fijo tal que el potencial se
anula en infinito (en la dirección transversa). Encuentre
1
a) la magnitud y posición de la carga imagen.
b) El potencial en todas las regiones del espacio en coordenadas polares (tomando como origen
el eje del cilindro y la linea cargada sobre el eje x).
c) La densidad de carga inducida sobre el cilindro.
d ) La fuerza sobre la linea cargada.
6.
a) Muestre que el potencial electrostático, solución del problema bidimensional
∆Φ = 0,
0 < r < a,
0 < ϕ < 2π;
Φ(a, ϕ) = f (ϕ),
0 ≤ ϕ ≤ 2π
viene dado por la expansión
Φ=
∞
!
n=−∞
An
" r #|n|
a
einϕ ,
An =
1
2π
$
2π
dϕ einϕ f (ϕ).
0
b) A continuación, sumando la serie muestre que Φ puede ser escrito como
Φ=
$
0
2π
dϕ# f (ϕ# ) k(r/a, ϕ − ϕ# ),
donde
k(ρ, ϕ) =
1 − ρ2
1
.
2π 1 − 2ρ cos ϕ + ρ2
¿Cual modificación será necesaria en caso de desearse el potencial en la región externa al
cilindro?
7. Las dos mitades de un cilindro conductor de longitud infinita y radio b están separadas una pequeña
distancia y se mantienen a potenciales diferentes V1 y V2 .
a) Muestre que el potencial en el interior del cilindro viene dado por
%
&
V1 + V2
V1 − V 2
2bρ
Φ(ρ, ϕ) =
+
arctan 2
cos ϕ
2
π
b − ρ2
donde ϕ se mide a partir del plano perpendicular al plano que separa las dos mitades del
cilindro.
b) Calcule la densidad de carga superficial sobre cada mitad del cilindro.
8.
a) Usando el método de las imágenes muestre que la función de Green para el problema exterior
de Dirichlet para un cilindro de radio b viene dada por
' 4
(
b + ρ2 ρ#2 − 2bρρ# cos(ϕ − ϕ# )
G(ρ, ϕ; ρ# , ϕ# ) = ln 2 2
b [ρ + ρ#2 − 2ρρ# cos(ϕ − ϕ# )]
b) Usando ésta función de Green, obtenga la solución del problema de Dirichlet para el potencial
electrostático con Φ(b, ϕ) = f (ϕ). Compare con el resultado obtenido en (6b).
9. Dos planos conductores, que se mantienen a potencial V , se intersectan formando un ángulo β.
Encuentre la forma general del potencial electrostático cerca de la región donde se intersectan
dichos planos suponiendo que allı́ no hay cargas. A continuación, reteniendo solo los dos primeros
términos del potencial, calcule
a) el campo eléctrico en la región comprendida entre los planos,
b) las densidades de carga sobre los planos.
c) Muestre que para β > π, tanto el campo como las densidades de carga son singulares para
ρ → 0.
2
Electromagnetismo
Semestre B-06
3ra. Asignación - Electrostática
Nelson R. Pantoja V.
1. Muestre que el potencial electrostático en la región z > 0, solución a la ecuación de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet prescritas sobre la superficie z = 0, Φ(ρ, φ, 0) = V (ρ, φ), viene dado en
coordenadas cilı́ndricas por
Φ(ρ, φ, z) =
∞ "
!
dk e−kz Jm (kρ)[Am (k) sin mφ + Bm (k) cos mφ],
0
m=0
donde
∞
k
Am (k) =
π
"
k
π
"
y
Bm (k) =
∞
dρ ρ
0
"
2π
dφ V (ρ, φ) Jm (kρ) sin mφ
0
∞
dρ ρ
0
"
2π
dφ V (ρ, φ) Jm (kρ) cos mφ.
0
Ayuda: las funciones Jm (k # x) y Jm (kx) son ortogonales con peso x, en el sentido de Dirac
" ∞
1
δ(k − k # ) =
dx x Jm (k # x)Jm (kx) .
k
0
2. Muestre que la función de Green G(%x, %x# ) = |%x − %x# |−1 , solución elemental del problema
∆G(%x, %x# ) = −4πδ(%x − %x# ),
G(%x, %x# ) → 0,
viene dada
%x, %x# ∈ R3
|%x| → ∞
a) en coordenadas esféricas por
G(%x, %x# ) = 4π
∞ !
l
!
l=0 m=−l
l
r<
1
Ylm (θ# , φ# )∗ Ylm (θ, φ) l+1
2l + 1
r>
donde r> = max{r, r# } y r< = min{r, r# }. Haga uso de
∞ !
l
!
Ylm (θ# , ϕ# )∗ Ylm (θ, ϕ) =
l=o m−l
1
δ(θ − θ# )δ(ϕ − ϕ# ),
sin θ
donde 0 < θ, θ# < π y 0 < ϕ, ϕ# < 2π.
b) en coordenadas cilı́ndricas por
G(%x, %x# ) =
∞
!
eim(φ−φ#)
"
∞
dk Jm (kρ) Jm (kρ# ) e−k(z> −z< ) ,
0
m=−∞
donde z> = max{z, z # } y z< = min{z, z # }. Haga uso de
"
∞
1
1 ! −im(ϕ−ϕ! ) ∞
δ(ρ − ρ# )δ(ϕ − ϕ# ) =
e
dk k Jm (kρ) Jm (kρ# ),
ρ
2π m=−∞
0
donde 0 < ρ, ρ# < ∞ , 0 < ϕ, ϕ# < 2π y Jm es la función de Bessel de orden m, con J−m = (−1)m Jm .
1
3. Empleando los resultados del problema 2, encuentre el potencial electrostático creado por un anillo cargado
de carga total Q y radio R, cuyo eje de simetrı́a coincide con el eje z y cuyo centro está localizado a una
altura z0 = r0 cos θ0 .
4. Un disco circular plano conductor, de espesor despreciable y radio a, se encuentra localizado en el plano
x-y con su centro en el origen y se mantiene a potencial fijo V . Suponiendo que la densidad de carga sobre
el disco a potencial fijo es proporcional a (a2 − ρ2 )−1/2 , donde ρ es la distancia medida desde el centro del
disco,
a) muestre que el potencial para r > a viene dado por
Φ(r, θ, φ) =
∞
2V ! (−1)l " a #2l+1
P2l (cos θ),
π
2l + 1 r
l=0
b) encuentre el potencial para r < a.
5. Los dos casquetes polares, 0 ≤ θ ≤ π/4 y 3π/4 ≤ θ ≤ π , de una esfera de radio a se encuentran a
potenciales +V y −V , respectivamente, y el resto de esfera se encuentra a potencial cero. Nos proponemos encontrar el potencial electrostático Φ(r, θ, ϕ) en el interior de la esfera. Para ello, escogiendo una
cualquiera de las siguientes alternativas:
a) partiendo de la función de Green apropiada al problema de Dirichlet interior a una esfera de radio a,
b) proponiendo una expansión apropiada en polinomios de Legendre y potencias de r,
muestre que Φ viene dado por
Φ(r, θ, ϕ) =
∞
!
l=0
Haga uso de:
$
(2(2l + 1) + 1)V
%
1
√
1/ 2
&
dx P2l+1 (x)
" r #2l+1
a
P2l+1 (cos θ).
'
2l + 1
Pl (cos θ)
4π
los Pl (x) son funciones pares (impares) si l es par (impar).
Yl0 (θ, ϕ)
%
1
−1
=
dx Pl! (x)Pl (x) =
2
δl ! l
2l + 1
6. Un cilindro conductor de radio b y longitud L, tiene su eje coincidente con el eje z y sus extremos en
z = 0 y z = L. El potencial sobre las caras circulares es cero, mientras que el potencial sobre la superficie
cilı́ndrica viene dado por V (φ, z).
a) Usando separación de variables en coordenadas cilı́ndricas, encuentre el potencial en el interior del
cilindro.
b) Suponga a continuación que
V (φ, z) = V para − π/2 < φ < π/2
y V (φ, z) = V para π/2 < φ < 3π/2
1) Encuentre el potencial en el interior del cilindro.
2) Suponiendo L # b, considere el potencial en z = L/2 como función de ρ y φ y compárelo con el
problema 6 de la 2da. asignación.
7. Muestre que la función de Green apropiada al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en la
región no-acotada comprendida entre los planos z = 0 y z = L viene dada en coordenadas cilı́ndricas por
% ∞
∞
!
sinh(kz< ) sinh[k(L − z> )]
$
'
dk eim(φ−φ$) Jm (kρ)Jm (kρ$ )
G('x; x ) = 2
.
sinh(kL)
m=−∞ 0
2
Electromagnetismo
Semestre B-06
4ta. Asignación - Multipolos y dieléctricos
Nelson R. Pantoja V.
1. La fuerza F! y el torque !τ que experimenta una distribución de cargas ρ(!x) bajo la acción de un campo
! ext (!x) vienen dados por
eléctrico externo E
!
!
"
#
3
!
!
! ext (!x) .
F = d x ρ(!x) Eext (!x),
!τ = d3 x !x × ρ(!x) E
! x−!x0 ),
a) Muestre que la fuerza sobre un dipolo p! localizado en !x0 , con densidad de carga ρ(!x) = −!
p · ∇δ(!
viene dada por
! E
! ext |!x=!x .
F! = (!
p · ∇)
0
b) Demuestre que el torque que actúa sobre el dipolo bajo la acción de éste campo viene dado por
! ext (!x0 ) + !x0 × (!
! E
! ext |!x=!x .
!τ = p! × E
p · ∇)
0
2. Considérese la distribución de cargas constituida por tres cargas puntuales localizadas sobre el eje z: una
carga −2q en el origen, una carga +q en (0, 0, a) y otra carga +q en (0, 0, −a). Muestre que el tensor
cuadrupolar eléctrico de dicha distribución tiene componentes cartesianas dadas por Qxx = Qyy = −2qa2 ,
Qzz = 4a2 y todas las otras componentes iguales a cero.
3. Dos medios dieléctricos semi-infinitos se encuentran separados por el plano z = 0, de forma tal que para
z > 0 la constante dieléctrica es ε1 y para z < 0 es ε2 . Dos cargas puntuales q1 y q2 se encuentran en
z = a y z = −a, respectivamente. Calcule la fuerza sobre cada carga y explique por qué son diferentes.
4. Un dipolo p! se orienta normalmente a una distancia d de un plano conductor infinito que está a potencial
cero. Calcúlese la fuerza ejercida sobre el plano por el dipolo.
! 0 = E0 k̂, se coloca una esfera conductora de radio
5. En una región donde hay un campo eléctrico uniforme E
a sin carga.
a) Proponiendo una expansión adecuada, encuentre el potencial electrostático Φ en el interior y exterior
de la esfera. Ayuda: como condición de contorno en infinito tome Φ(!x) → −E0 z + constante, para
! x) → E0 k̂, para r → ∞).
r → ∞ (como se sigue de que E(!
b) Muestre que el potencial debido a la esfera es el de un dipolo y encuentre el momento dipolar inducido.
c) Calcule el campo eléctrico en el interior y en exterior de la esfera.
d ) Calcule la densidad de carga superficial inducida sobre la esfera.
! 0 = E0 k̂, se coloca una esfera dieléctrica sin carga,
6. En una región donde hay un campo eléctrico uniforme E
de radio a y constante dieléctrica ε.
a) Calcule el campo eléctrico en el interior y en exterior de la esfera. Muestre que en el exterior, el
campo eléctrico es la superposición del campo eléctrico aplicado mas el campo eléctrico de un dipolo
p! localizado en el origen con p! dado por
%
$
ε−1
!0
p! =
a3 E
ε+2
b) Muestre que en el lı́mite ε → ∞, se obtienen los mismos resultados que en (5c) para la esfera
conductora a potencial cero.
1
7. Un cilindro infinitamente largo de constante dieléctrica ε y radio a se coloca bajo la acción de un campo
eléctrico uniforme E0 , con su eje perpendicular al campo. Determine el potencial y el campo eléctrico
dentro y fuera del cilindro.
8. El trabajo total W hecho para ensamblar la distribución de cargas ρ(#x), trayendo desde el infinito cargas
# x) = −∇Φ(#
# x), viene dado por
elementales ρ(#x) d3 x en contra de la acción del campo eléctrico existente E(#
!
1
W =
d3 x ρ(#x) Φ(#x).
(1)
2 R3
# · E(#
# x) = 4πρ(#x).
a) De las ecuaciones de Maxwell (para la electrostática) en el vacı́o se tiene que ∇
Demuestre que en este caso
!
1
# x)|2 ,
d3 x |E(#
W =
8π R3
expresión que nos permite interpretar W como la energı́a almacenada en el campo eléctrico.
b) En presencia de un medio dieléctrico no solo se hace trabajo para ensamblar la distribución de cargas,
también se hace trabajo para producir cierta polarización del medio. Suponiendo que la respuesta es
lineal, de forma tal que el trabajo hecho para llevar el sistema a su configuración final no dependa de
la forma por la cual se llegue a dicha configuración, la expresión para W dada en (1) puede ser usada.
# · D(#
# x) = 4πρ(#x). Demuestre
Sin embargo, ahora en presencia de medios dieléctricos se tiene que ∇
que en este caso, asumiendo respuesta lineal, W viene dado por
!
1
#
# x).
W =
d3 x E(x)
· D(#
8π R3
2
Electromagnetismo
Semestre B-06
5ta. Asignación - Magnetostática
Nelson R. Pantoja V.
! es necesariamente paralelo al eje
1. Por simetrı́a, en un solenoide infinitamente largo el campo magnético B
del solenoide tanto dentro como fuera del mismo.
! es uniforme en el interior y en el exterior del solenoide.
a) Use la ley de Ampere para demostrar que B
!
De aquı́ se sigue que si B es cero muy lejos del solenoide entonces es cero en toda la región exterior
al solenoide.
! en el interior del solenoide.
b) Use la ley de Ampere para encontrar B
2.
! =∇
! ×A
! entonces
a) Demuestre que si B
!
C
! · d!l =
A
"
S
! · d!s,
B
(1)
#
! · d!l una cantidad invariante de
donde S es la superficie limitada por el contorno cerrado C ¿Es c A
calibre?
! en el interior y el exterior de un solenoide
b) Utilice (1) y el resultado obtenido en 1b) para encontrar A
infinitamente largo.
! producido por un anillo de radio a por la cual circula una corriente
3. Demuestre que el campo magnético B
I, a una altura z sobre su eje de simetrı́a, viene dado por
a2
! = 2πI
B
êz .
2
c (a + z 2 )3/2
(2)
! viene dado en coordenadas cilı́ndricas ρ, ϕ, z por
4. Suponga que el potencial vector A
! ϕ, z) = a ϕ êρ + (b + c ρ2 ) êz ,
A(ρ,
(3)
con a, b y c constantes ¿Cual es la distribución de corriente que asociada a este potencial?
5. Para un solenoide de longitud L y radio a, con N vueltas por unidad de longitud y por el cual circula una
! sobre el eje y a una distancia l de uno de sus extremos,
corriente I, muestre que el campo magnético B
con l < L, viene dado por
&
$
2πN I
L−l
l
√
Bz =
+%
.
(4)
c
l2 + a2
(L − l)2 + a2
A partir de (4) obtenga en el lı́mite apropiado el resultado obtenido en 1b).
6. Un anillo de radio a que lleva una corriente I está localizado sobre el plano z = 0 con su centro en el
origen.
!
a) Muestre que en coordenadas cilı́ndricas (ρ, ϕ, z), la única componente no nula del potencial vector A
viene dada por
"
2πIa ∞
Aϕ =
dk e−k|z| J1 (ka)J1 (kρ)
(5)
c
0
! a partir del resultado anterior. Evalúe
b) Obtenga expresiones integrales para las componentes de B
! sobre el eje z efectuando las integraciones necesarias.
explı́citamente las componentes de B
1
7. Una esfera de radio a tiene una densidad de carga superficial uniforme σ. La esfera rota en torno de uno de
# y el campo magnético
sus diámetros con velocidad angular constante ω. Encuentre el potencial vector A
#
B dentro y fuera de la esfera.
8. Un cilindro recto, hueco y muy largo de radio interno a y radio externo b y de permeabilidad magnética
µ, se coloca en una región en la que inicialmente habı́a un campo magnético B#0 uniforme con el eje del
# en todos los puntos del espacio.
cilindro perpendicular al campo. Encuentre B
# x) existe en un medio de permeabilidad uno adyacente a un bloque
9. Una distribución de corriente J(#
semi-infinito de un material de permeabilidad µ que llena todo el semi-espacio z < 0.
# puede ser calculado reemplazando el medio de permeabilidad magnética
a) Muestre que para z > 0, B
µ por una densidad de corriente imagen J#∗ (#x), con componentes
"
!
"
!
"
!
µ−1
µ−1
µ−1
Jx (x, y, −z),
Jy (x, y, −z),
−
Jz (x, y, −z).
(6)
µ+1
µ+1
µ+1
#
b) #
Muestre
$ que para z < 0, B puede ser se visto como producido por una distribución de corriente
2µ
#
µ+1 J en un medio de permeabilidad uno.
10. Un hilo de corriente I está localizado en el vacı́o paralelo a un bloque semi-infinito de un material de
permeabilidad µ, a una distancia d de su superficie. Suponiendo que esta superficie define al plano z = 0,
# para z > 0 y z < 0.
encuentre el campo magnético B
11. Un anillo de radio a que lleva una corriente I está localizado en el vacı́o con su centro a una distancia d de
un bloque semi-infinito de un material de permeabilidad µ. Encuentre la fuerza que actúa sobre el anillo
cuando
a) el plano del anillo es paralelo a la cara del bloque,
b) el plano del anillo es perpendicular a la cara del bloque.
12. Un material magnético ”duro”tiene la forma de un cilindro recto de longitud L y radio a. El cilindro
tiene una magnetización permanente M0 , uniforme en todo su volumen y paralela a su eje. Determine los
# yB
# en todos los puntos sobre el eje del cilindro, dentro y fuera del mismo.
campos H
13. Considérese la expresión de Dirac
# x) = −g
A(#
%
Γ
#
d#l" × ∇
!
1
|#x − #x" |
"
(7)
para el potencial vector de un monopolo magnético de carga g y su cuerda asociada Γ. Como se sigue de
# es singular sobre Γ. Suponga a continuación que el monopolo está localizado en el origen y que
(7), A
la cuerda está a lo largo del eje z negativo (puede probarse que posiciones diferentes de la cuerda son
# demostración que omitiremos).
equivalentes a diferentes elecciones de calibre para A,
# explı́citamente y muestre que en coordenadas esféricas viene dado por
a) Calcule A
Ar = 0,
Aθ = 0,
Aφ =
g
θ
tan .
r
2
(8)
# = ∇
# ×A
# es el campo tipo Coulomb de una partı́cula puntual, excepto en θ = π
b) Verifique que B
#
donde A no es derivable.
A la fecha no hay evidencia experimental de la existencia de monopolos magnéticos, sin embargo Dirac
muestra en 1931 que la existencia de un solo monopolo magnético de carga magnética g implica la condición
de cuantización eg/!c = n/2, con n = 0, ±1, ±2, . . ., donde e es la carga del electrón.
2
Electromagnetismo
Semestre B-06
6ta. Asignación - Ecs. de Maxwell
Nelson R. Pantoja V.
! = B(!
! x, t). Muestre que el campo eléctrico inducido
1. Suponga que se tiene un campo magnético B
en el espacio viene dado por
! x, t) = 1
E(!
4π
!˙ x! , t)
(!x − !x! ) × B(!
d x
|!x − !x! |3
R3
!
3 !
(1)
!˙ = ∂t B.
! Verifique de manera explı́cita que ∇
! ·E
! = 0.
donde B
! x, t), localizadas espacialmente, que su2. Considérense densidades de carga ρ(!x, t) y corriente J(!
pondremos admiten transformadas de Fourier en la variable t. Entonces ρ(!x, t) puede ser escrita
como la expansión de Fourier
!
!
1
iωt
dω ρω (!x)e , donde ρω (!x) ≡ dt ρ(x, t)e−iωt .
(2)
ρ(!x, t) =
2π
a) Muestre que si ρ(x, t) es real entonces ρ−ω (!x) = ρ∗ω (!x). Encuentre expresiones análogas
! x, t).
para J(!
!
b) Partiendo de las expresiones para los potenciales retardados Φ y A,
Φ(!x, t) =
!
! x, t) = 1
A(!
c
muestre que
1
Φ(!x, t) =
2π
!
!
3 !
d x
!
3 !
d x
dt!
!
ρ(!x! , t! )
δ(t! − t + |!x − !x! |/c),
|!x − !x! |
dt!
dω Φω (!x)e
iωt
,
! x! , t! )
J(!
δ(t! − t + |!x − !x! |/c),
|!x − !x! |
! x, t) = 1
A(!
2π
!
! ω (!x)eiωt ,
dω A
(3)
(4)
(5)
donde
Φω (!x) =
!
ρω (!x! ) −ik|"x−"x! |
d x
e
,
|!x − !x! |
3 !
! ω (!x) =
A
!
d3 x!
J!ω (!x! ) −ik|"x−"x! |
e
,
|!x − !x! |
(6)
con k = ω/c.
! · J(!
! x, t) = 0 muestre que
c) Partiendo de la ecuación de conservación de la carga ∂t ρ(!x, t) + ∇
! · J!ω (!x) = 0.
iωρω (!x) + ∇
(7)
3. A continuación mostraremos que los potenciales retardados (3) y (4) dan lugar en general a
campos que varı́an como el inverso de la distancia. Para ello, partiendo de (5) y (6),
1
! viene dado por una expansión de Fourier del tipo (5), con B
! ω dado por
a) muestre que B
!
!
!
!
! !
! !
! ω (!x) = d3 x! Jω (!x ) × (!x − !x ) e−ik|"x−"x! | − ik d3 x! Jω (!x ) × (!x − !x ) e−ik|"x−"x! | . (8)
B
|!x − !x! |3
|!x − !x! |2
El primer término de (8) es la forma retardada del campo magnetostático producido por
J!ω . El segundo término, que depende con la distancia como |!x − !x! |−1 se conoce como el
término de radiación.
! viene dado por una expansión de Fourier del tipo (5), con E
! ω dado por
b) Muestre que E
!
!x − !x! −ik|"x−"x! |
! ω (!x) =
E
d3 x! ρω (!x! )
e
|!x − !x! |3
"
# −ik|"x−"x! |
!
x − !x!
1
e
3 ! !! !
! !
!
!
d x ∇ · Jω (!x )
−
− ik Jω (!x )
,
(9)
!
c
|!x − !x |
|!x − !x! |
donde se ha usado (7). El primer término de (9) es el campo retardado de Coulomb y
el segundo término, que depende con la distancia como |!x − !x! |−1 contiene al término de
radiación.
4. Un cilindro dieléctrico infinitamente largo, con constante dieléctrica (ε > 1) y de radio a,
! constante y uniforme. Si el ciestá orientado con su eje paralelo a un campo magnético B
lindro rota en torno de su eje con una velocidad angular ω constante, encuentre la polarización
por unidad de volumen resultante y la densidad de carga que aparece sobre su superficie.
Ayuda: Para medios materiales en movimiento, las ecuaciones de Maxwell deben modificarse
para tomar en cuenta la contribución a los campos de este movimiento. Para un dielectrico sin
carga y libre de corrientes, las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por
!
! ×H
! = 1 ∂t D,
!
! ·D
! = 0,
! ·B
! = 0,
! ×E
! = − 1 ∂t B,
∇
(10)
∇
∇
∇
c
c
! = B
! − 4π P! × !u toma en cuenta la contribución a los campos debida al medio con
donde H
c
polarización P! que se mueve con velocidad !u (para una derivación sencilla de (10) vease W. K.
H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2nd edition, Addison-Wesley,
Reading, Mass. (1962)).
5. Una esfera dieléctrica (ε > 1) de radio a, localizada con su centro en el origen, está bajo la
! 0 en la dirección del eje x. Suponga a continuación que
acción de un campo eléctrico uniforme E
la esfera rota en torno del eje z con velocidad angular ω. Muestre que bajo estas circunstancias,
! = −∇Φ
! M con ΦM dado por
hay un campo magnético H
$
%
$ %
ω a 5
3 ε−1
ΦM =
E0
xz
(11)
5 ε+2
c r>
donde r> = max{r, a}.
Ayuda:
Las ecuaciones de Maxwell en este caso vienen dadas por (10).
Puede usar el resultado (obtenido en la problema 5 de la 4ta. asignación) para la esfe! 0 externo, según el cual la
ra dieléctrica en presencia de un campo eléctrico uniforme E
!
polarización P es constante en el interior de la esfera y viene dada por
$
%
ε
−
1
3
! 0.
P! =
E
4π ε + 2
2
Electromagnetismo
Semestre B-06
7ma. Asignación - Ondas electromagnéticas
Nelson R. Pantoja V.
1. Partiendo de los potenciales retardados (3) y (4) de la asignación anterior (6ta. Asignación), vamos a obtener
~ yB
~ lejos de la región donde las fuentes tienen su soporte.
los campos E
~ ω dado en (6) de la asignación anterior, muestre que para |~x − x~0 | ' |~x| − ~x · x~0 /|~x| se tiene
(a) Partiendo de A
que
−ikr Z
~0
~ ω (x) = 1 e
d3 x0 J~ω (x~0 ) eikr̂·x ,
(1)
A
c r
donde r = |~x| y r̂ = ~x/|~x|.
(b) Ahora suponga que las dimensiones de la fuente son pequeñas comparadas con la longitud de onda λ =
~ Ası́, proponiendo una expansión en serie de potencias
2π/|k|, esto es k r̂ · x~0 1 para x~0 ∈ soporte de J.
para la exponencial que aparece bajo el signo integral en (1) y reteniendo solo el primer término de dicha
expansión muestre que
Z
e−ikr
~
Aω (~x) '
d3 x0 J~ω (x~0 ).
(2)
r
(c) Integrando por partes la expresión anterior y usando el teorema de la divergencia junto con el resultado (7)
de la 6ta. Asignación, muestre que
Z
e−ikr
~
Aω (~x) ' −ik
p~ω ,
p~ω = d3 x0 x~0 ρω (x~0 ).
(3)
r
Note que p~ω es el momento dipolar eléctrico del modo de Fourier ρω asociado a la distribución de cargas ρ.
~ en la aproximación considerada y muestre que el mismo
(d) A continuación obtenga el campo magnético B
viene dado por una expansión de Fourier donde
e−ikr
1
2
~
Bω (~x) = k (r̂ × p~ω )
1+
(4)
r
ikr
~ muestre
(e) Ahora partiendo de la ley de Ampere y proponiendo una expansión de Fourier apropiada para E,
~
que fuera del soporte de J se tendrá
~ ×B
~ ω (~x) − ik E
~ ω (~x) = 0
∇
(5)
y de aquı́, usando (4), muestre que
−ikr
~ ω (~x) = k 2 (r̂ × p~ω ) × r̂ e
E
r
+ [3r̂(r̂ · p~ω ) − p~ω ]
1
k
+i 2
3
r
r
e−ikr ,
n 6= 0.
(6)
~ yB
~ que decaen como r−1 nos dan los campos en la zona de radiación. Obtenga el
(f) Las contribuciones a E
~ω ,
vector de Poynting complejo S
~ω (x) = c E
~ ω (~x) × B
~ ω∗ (~x)
S
(7)
8π
~ω · r̂ es máximo en el plano perpendicular a p~ω .
en la zona de radiación y muestre que S
(g) Hemos encontrado que la contribución mas importante en la zona de radiación proviene del término dipolar
electrico (términos de orden mayor en la expansión dan origen a campos dipolar magnético, cuadrupolar
eléctrico, etc.). Ahora bien, ¿porqué no aparece contribución monopolar eléctrica? Para responder a esto,
muestre que
R
• la carga total Q = d3 x0 ρ(x~0 , t) de una fuente localizada es independiente del tiempo,
1
~ proveniente del termino monopolar de Φ es E
~0
• la única contribución a E
y a partir de estos resultados argumente su respuesta. Si lo desea puede basar parte de su repuesta en
consideraciones de simetrı́a.
2. Una onda plana electromagnética de frecuencia ω incide normalmente desde el espacio libre sobre la superficie
plana de un medio de conductividad σ y constante dieléctrica ε.
(a) Calcule la amplitud y la fase de la onda reflejada relativa a la onda incidente.
(b) Discuta los comportamientos lı́mite buen conductor y mal conductor y muestre que para un buen conductor
el cociente de la intensidad reflejada entre la intensidad incidente viene dado aproximadamente por R '
1 − 2ωδ/c, donde δ es la profundidad de penetración (skin depth).
3. Suponga a la ionoesfera terrestre como un medio que puede ser descrito por la constante dieléctrica ε(ω) '
1 − ωp2 /ω 2 (ωp se conoce como la frecuencia de plasma del medio) y a la tierra con dicho medio comenzando
abruptamente a una altura h y extendiéndose hasta infinito. Para ondas con polarización paralela al plano de
incidencia, muestre que para ω > ωp hay un intervalo de ángulos de incidencia para los cuales la reflexión no es
total, pero que para ángulos mayores se tiene reflexión total de regreso hacia la tierra.
4. Un dieléctrico homogéneo e isótropo viene caracterizado por un ı́ndice de refracción complejo n(ω) de forma tal
que pueda describir procesos absortivos.
(a) Muestre que la solución general para ondas planas (en una dimensión) que se propagan en dicho medio
puede ser escrita como
Z ∞
h
i
1
dω e−iωt A+ (ω)ei ω n(ω) x/c + A− (ω)e−i ω n(ω) x/c ,
u(x, t) = √
2π −∞
~ o B.
~
donde u(x, t) es una componente cualquiera de E
(b) Muestre que si u(x, t) es real entonces n∗ (ω) = n(−ω).
(c) Muestre que si se imponen las condiciones de contorno u(0, t) = h1 (t) y ∂x u(0, t) = h2 (t), los coeficientes
A± (ω) vienen dados por
Z ∞
1
ic
±
iωt
h2 (t)
A (ω) = √
dt e
h1 (t) ∓
ω n(ω)
2 2π −∞
~ x, t) y D(~
~ x, t) están relacionadas a través de
5. Suponga que las componentes monocromáticas de E(~
~ x, ω) = ε(ω) E(~
~ x, ω).
D(~
~ x, t) y D(~
~ x, t), via transformadas de Fourier en t, muestre que
(a) Reconstruyendo E(~
Z ∞
~ x, t) = E(~
~ x, t) +
~ x, τ ),
D(~
dτ G(t − τ ) E(~
−∞
donde
G(t) =
1
2π
Z
∞
dω e−iωt [ε(ω) − 1].
−∞
~ x, t) y D(~
~ x, t) para ε(ω) = ε independiente de ω?
¿Cual es la relación entre E(~
(b) Suponga a continuación que ε(ω) viene dado por
ε(ω) = 1 +
ω02
ωp2
,
− ω 2 − iγω
donde ωp , ω0 y γ son constantes. Muestre que G(t) viene dada por
G(t) = Θ(t) ωp2 e−γt/2
donde Θ es la distribución de Heaviside y ν02 = ω02 − γ 2 /4.
2
sin ν0 t
ν0