curso de termodinamica

3
CURSO DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD 1. ESTÁTICA
CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
LECCIÓN 2. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN COMPONENTES RECTANGULARES
2.1 FUERZAS EN UN PLANO
Como ya se indicó, las fuerzas se representan como vectores y se caracterizan por su magnitud, su dirección y su
sentido. La magnitud de la fuerza se expresa en newton (N) en el SI ó en libras (lb) en el USCS. La dirección de
la fuerza se define por la recta que designa su línea de acción, la cual se caracteriza por el ángulo (θ) que forma
dicha recta con la horizontal. Una línea recta define dos sentidos; gráficamente el sentido se define por la cabeza
de una flecha, de esta manera los extremos de una fuerza se denominan cabeza y cola. Una fuerza se denota por
una letra mayúscula con una pequeña flecha encima ( F ); en este texto se denotará por una letra mayúscula resaltada
en negrilla (F). Para designar la magnitud de una fuerza se emplea la misma letra en mayúscula sin la flecha
encima; en este texto se empleará la misma letra en mayúscula pero sin resaltar en negrilla (F). Dos fuerzas iguales
en magnitud y dirección, pero que difieran en sentido se dice que son opuestas; para denotar la opuesta de una
fuerza se antecederá la letra que representa al vector fuerza por un signo negativo (-F ó -F). En la figura 2.1a se
representa una fuerza y en la figura 2.1b, su opuesta.
Figura 2.1
2.2 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA
Al representar una fuerza F en un plano cartesiano (x-y) a la proyección de la fuerza sobre el eje x se le denomina
componente horizontal de la fuerza y se denota por Fx y a la proyección de la fuerza sobre el eje y se le denomina
componente vertical de la fuerza y se denota por Fy. Como los ejes coordenados forman entre sí un ángulo de 90º
a las dos componentes mencionadas se les llama componentes rectangulares de la fuerza y se cumple que:
F = Fx + F y
(2.1)
Introduciendo la base de vectores unitarios i - j que representan las direcciones de los ejes coordenados x e y
respectivamente, la expresión (2.1) se puede escribir como:
F = Fxi + Fyj
(2.2)
La figura 2.2 muestra las componentes rectangulares del vector F. En dicha figura se puede observar que si se
conoce F (magnitud de la fuerza) y θ (dirección) las componentes rectangulares del vector se pueden escribir
como:
Fx = F cos θ y Fy = F sen θ
De modo que modo que la expresión (2.2) se puede escribir como:
(2.3)
4
F = Fxi + Fyj = F cos θ i + F sen θ j
(2.4)
La expresión (2.4) es cierta siempre que θ sea el ángulo que forma la fuerza F con la horizontal.
Figura 2.2
Se observa que la componente escalar Fx es positiva cuando coincide con el sentido del vector unitario i (esto es,
si apunta hacia la derecha) y negativa cuando tiene el sentido opuesto (si apunta hacia la izquierda). De la misma
manera la componente escalar Fy es positiva cuando coincide con el sentido del vector unitario j (esto es, si apunta
hacia arriba) y negativa cuando tiene el sentido opuesto (si apunta hacia abajo).
Ejemplo 1. Sobre el perno A se aplica una fuerza de 800 N, como se muestra en la figura 2.3. Determinar las
componentes horizontal y vertical de la fuerza.
Figura 2.3
Solución: Se conoce que F = 800 N y que α = 35º
En la figura 2.3b se observa que:
F = - F cos α i + F sen α j
(1)
Reemplazando F y α en (1) tenemos que:
F = - (800 N) cos 35º i + (800 N) sen 35º j
(2)
Por tanto:
F = - (655 N) i + (459 N) j
(3)
5
CURSO DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD 1. ESTÁTICA
CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
LECCIÓN 3. FUERZA RESULTANTE
2.3 FUERZA RESULTANTE SOBRE UNA PARTÍCULA
Una partícula se define como un sistema de fuerzas concurrentes; esto es, un sistema en el que todas las fuerzas
que actúan sobre un determinado cuerpo tienen el mismo punto de aplicación. El punto en cuestión, que
generalmente se nombra con una letra mayúscula, representará a todo el sólido y se denominará partícula. A la
suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se le llama fuerza resultante (R). La fuerza resultante R
representa la acción del sistema de fuerzas concurrentes sobre el cuerpo, lo cual significa que la descripción del
movimiento del sólido corresponderá exactamente a la descripción del movimiento de la partícula.
F1
F1y
F2y
F2
F1x
F2x
Fn
(a)
Fnx
Fny
(b)
(c)
(d)
Figura 2.5
De acuerdo con lo anterior se tiene que si sobre un punto A de un cuerpo actúan simultáneamente n fuerzas, como
se muestra en la figura 2.5a, se tiene que:
R = F1 + F2 + … + F n = Σ Fi
(2.5)
Dado que cada fuerza se puede descomponer en sus componentes rectangulares (figura 2.5b), la expresión (2.5) se
puede escribir como:
F1 = F1x i + F1y j
+ F2 = F2x i + F2y j
+ .
.
.
+ .
.
.
+ Fn = Fnx i + Fny j
_________________
R = Rx i + Ry j
(2.6)
En la expresión (2.6) se debe cumplir que:
Rx = Σ Fix y que
Ry = Σ Fiy
(2.7)
Obteniéndose las componentes rectangulares de R como se indica en la expresión (2.6) estas se deben llevar a un
plano cartesiano para recomponer la fuerza (figura 2.5c y 2.5d) de la siguiente manera:
6
La fuerza resultante queda completamente especificada con las expresiones (2.6), (2,8) y (2,9) y con el gráfico 2.5d
Ejemplo 2. Determinar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno A, como se indica en la figura.
(a)
(b)
Figura 2.6
Solución: La resultante de las tres fuerzas se encuentra como:
R = F1 + F2 + F3
(1)
Expresando cada fuerza en términos de sus componentes rectangulares y sumando se tiene que:
F1 = (150 N) cos 30º i + (150 N) sen 30º j = (129,9 N) i
+ F2 = - (80 N) sen 20º i + (80 N) cos 20º j = -(27,4 N) i
+ F3 = (100 N) cos 15º i - (100 N) sen 15º j = (96,6 N) i
R = (199,1 N) i
Gráficamente
Ry = 124,3 N
Rx = 199,1 N
Donde se tiene que:
+ (75,0 N) j
+ (75,2 N) j
- (25,9 N) j
+ (124,3 N) j
(2)
7
CURSO DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD 1. ESTÁTICA
CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
LECCIÓN 4. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA
2.4 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la
partícula es cero, por consiguiente se debe cumplir que:
R = F1 + F2 + … + F n = Σ F i = 0
(2.10)
En términos de las componentes rectangulares se puede escribir que:
R = Rx i + Ry j = (Σ Fix ) i + (Σ Fiy ) j = 0
(2.11)
De la expresión (2.11) se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para que la partícula este en
equilibrio son:
Rx = Σ Fix = 0
y
Ry = Σ Fiy = 0
(2.12)
De acuerdo con la segunda ley de Newton, el equilibrio de una partícula supone que la partícula permanece en
reposo (si inicialmente estaba en reposo) o se mueve en línea recta con velocidad constante (si inicialmente estaba
en movimiento).
Un problema de equilibrio de una partícula generalmente consiste en encontrar la magnitud de hasta dos fuerzas
(incógnitas) de las cuales se conoce su dirección, en este caso la expresión (2.12) constituye un sistema de
ecuaciones lineales 2x2, el cual debe ser resuelto para encontrar las incógnitas.
Ejemplo 3. La caja de 75 kg mostrada en la figura, esta sostenida por dos cables para colocarla sobre un camión
que la transportará. Determinar la tensión de los cables AB y AC.
(a)
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 2.7
Solución: Primero se debe encontrar el peso de la caja como:
W = m g = (75 kg) (9,81 m/s2) = 736 N
(1)
En segundo lugar se construye el diagrama de cuerpo libre del sistema (DCL) e(figura 2.7b) a partir del cual se
puede afirmar que:
R = TAB + TAC + W = 0
(2)
8
Escribiendo la expresión (2) en columna se tiene:
TAB = - TAB cos 50º i + TAB sen 50º j = -(0,643)TAB i + (0,766)TAB j
+ TAC = TAC cos 30º i + TAC sen 30º j = (0,866)TAC i + (0,5) TAC j
+ W =
0
i - (736 N) j =
0
i - (736 N)
j
R =
0
i +
0
j
(3)
Sacando aparte las componentes escalares se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la
expresión (2.12):
Rx = Σ Fix = 0 : -(0,643)TAB + (0,866)TAC = 0
y Ry = Σ Fiy = 0 :
(0,766)TAB
+
Despejando TAc de (4) se obtiene:
(4)
(0,5) TAC = 736 N
(5)
TAC = 0,643 TAB = (0,742) TAB
0,866
(6)
Reemplazando (6) en (5) y despejando TAB se tiene:
(0,766)TAB
+
(0,5)(0,742) TAB = 736 N
(1,137)TAB
= 736 N
TAB = 736 N = 647,3 N
1,137
(7)
Reemplazando (7) en (6) se obtiene TAC :
TAC = 0,742 TAB = 0,742 (647,3) = 480,3 N
(8)
Por tanto se puede concluir que la tensión de los cables AB y AC son, respectivamente: TAB = 647,3 N y
TAC = 480,3 N.
9
CURSO DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD 1. ESTÁTICA
CAPÍTULO 3. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
LECCIÓN 5. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA EN EL ESPACIO
2.5 FUERZAS EN EL ESPACIO
2.5.1 Fuerza definida por su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción. Sea una fuerza F de magnitud F,
definida en el espacio tridimensional, y sean dos puntos M y N sobre su línea de acción. La dirección de la fuerza
se define por las coordenadas M(x1, y1, z1) y N(x2, y2, z2) de la siguiente manera (figura 2.8):
Figura 2.8
Consideremos el vector MN que va de M a N y que tiene la misma dirección y sentido que F. El vector MN se
puede escribir como:
MN = (x2 - x1 ) i + (y2 - y1 ) j + (z2- z1 ) k = dx i + dy j + dz k (2.13)
Si se divide el vector el vector MN entre su propia magnitud (MN) se obtiene un vector unitario que se representa
como :
siendo
 = MN = 1 ( dx i + dy j + dz k )
MN
d
_______________
d = √ (dx 2 + dy 2 + dz 2)
(2.14)
(2.15)
El vector  tiene magnitud 1 y la misma dirección y sentido que la fuerza F, de manera que al hacer el producto
de F (magnitud de la fuerza) con  se obtiene el vector fuerza F:
F = F = F ( dx i + dy j + dz k )
d
(2.16)
de donde se puede concluir que las componentes escalares de F son:
Fx = Fdx ,
d
Fy = Fdy y Fz = Fdz
d
d
(2.17)
y que los ángulos x , y y z que la fuerza F forma con los ejes coordenados pueden encontrarse como:
x = dx ,
d
y = dy y z = dz
d
d
Las ecuaciones 2.18 se conocen como los cosenos directores de la fuerza.
(2.18)
10
2.5.2
Fuerza resultante sobre una partícula en el espacio. La resultante R de dos o más fuerzas concurrentes
en el espacio se determina sumando sus componentes rectangulares, de manera similar a como se hizo en la sesión
2.3:
(2.19)
R = F1 + F2 + … + F n = Σ Fi
Dado que cada fuerza se puede descomponer en sus componentes rectangulares, la expresión (2.19) se puede
escribir como:
F1 = F1x i + F1y j + F1z k
+ F2 = F2x i + F2y j + F1z k
+ .
.
.
.
+ .
.
.
.
+ Fn = Fnx i + Fny j + F1z k
_________________________
R = Rx i + Ry j + Rz k
(2.20)
En la expresión (2.20) se debe cumplir que:
Rx = Σ Fix , Ry = Σ Fiy y que Rz = Σ Fiz
(2.21)
La magnitud de la resultante R y los ángulos x , y y z que la fuerza forma con los eje coordenados, se pueden
encontrar como:
La
fuerza
resultante
queda
completamente
especificada
con
las
expresiones
(2.20)
y
(2.22).
2.5.3
Equilibrio de la partícula en el espacio. De acuerdo con la definición dada en la sesión 2.4 una partícula
se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es cero, por
consiguiente se debe cumplir que:
Rx = Σ Fix = 0 , Ry = Σ Fiy = 0 y Rz = Σ Fiz = 0
(2.23)
Las ecuaciones (2.23) representan las condiciones necesarias y suficientes para garantizar el equilibrio de una
partícula en el espacio y pueden utilizarse en la solución de problemas relativos al equilibrio de una partícula que
no tenga más de tres incógnitas.
11
12
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:
Beer, Ferdinand y Johnston, Russell. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. México: Mc Graw Hill. 3ª. ed.