Energía electrostática

Energía electrostática
Electromagnetismo. Grupo C.
Curso 2005-2006
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Andrés Cantarero
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Trabajo y energía potencial
El trabajo necesario para mover una carga puntual de valor q desde un
punto (inicial) a otro (final) del espacio, en presencia de un campo
eléctrico uniforme es:
W =
Z
final
inicial
F · dl = q
Z
final
inicial
Energía de una carga en presencia de un
campo exterior
Energía de un conjunto de cargas
Energía de una distribución de cargas
Energía en función de los campos: densidad
de energía
Energía de un dipolo eléctrico
Energía de polarización
Energía potencial de un conjunto de
cargas puntuales
Calculemos la energía electrostática de un conjunto de N cargas. Debe
ser igual al trabajo de formación de dicho conjunto de cargas.
E · dl = q∆V
W1 = 0
1 q1 q2
4πε0 r12
∙
¸
1
q2 q3
q1 q3
W3 = q3 V1 + q3 V2 =
+
4πε0 r13
r23
W2 = q2 V1 =
Si definimos la energía potencial electrostática como U = qV
podemos decir que el trabajo realizado se almacena en forma de
energia potencial electrostática
W = ∆U
W =
N
X
Wi =
i=1
Energía electrostática de una distribución
de carga
1 X0 qi qj
U=
8πε0 i,j rij
1
U=
8πε0
U=
1
2
Z
2
De ρ(r) = −ε0 ∇ V (r)
U=
ε0
2
E 2 d3 r
0
ρ(r)ρ(r ) 3 3 0
d rd r
|r − r0 |
ρ(r)V (r)d3 r
y
2
2
∇ · (V ∇V ) = (∇V ) + V ∇ V
Energía electrostática de los campos
Z
Z Z
Densidad de energía
u=
1
ε0 E 2
2
1 X0 qi qj
8πε0 i,j rij
Energía de interacción y autoenergía
U=
ε0
2
Z
(E12 + E22 + 2E1 · E2 )d3 r = U1 + U2 + U12
Los dos primeros términos se corresponden con la autoenergía de
las cargas puntuales, el último se denomina energía de interacción.
La autoenergía se hace infinita en el caso de cargas puntuales.
Presenta problemas en Electrodinámica Cuántica (el electrón es una
carga puntual).
La energía total siempre es positiva, pero la energía de interacción
puede ser positiva o negativa. En el caso de cargas puntuales se
demuestra de forma trivial que
U12 =
q1 q 2
4πε0 r12
1
Energía de un dipolo eléctrico
La energía de un dipolo de densidad ρ(r) en un campo exterior es
U=
Z
0
0
3 0
ρ(r )V (r )d r
Siendo V (r) el potencial del campo exterior. Si es dipolo es cuasipuntual, centrado en el punto r0 = r , podemos aproximar, en el
intervalo de integración,
V (r 0 ) ≈ V (r) + (r − r0 ) · ∇V (r)
de donde
U = −p · E , como habíamos visto anteriormente
La fuerza sobre un dipolo en un campo inhomogéneo es
F = −∇U = ∇(p · E) = (p · ∇)E
Energía en un medio dieléctrico
Para definir nuestro problema, imaginémonos un condensador
cualquiera relleno de un dieléctrico de permitividad ε cargado con una
cierta carga q . Si queremos aumentar la carga del condensador en una
pequeña cantidad δρf , hemos de realizar un trabajo, que será igual a la
energía potencial de interacción
δU =
Z
δqf V d3 r =
Z
∇ · (δD)V d3 r =
Z
δD · (−∇V )
1
δ(D · E)
2
De modo que la energía almacenada en el dieléctrico puede escribirse en
la forma
Z
1
U =
D · Ed3 r
2
Si el medio es lineal, δD· = εδE · E =
Energía de polarización
La pregunta que nos hacemos aquí es: ¿cuál es la energía que se
necesita para polarizar un dieléctrico?
Consideremos una distribución de cargas (fija) en el espacio que originan
un campo eléctrico, de manera que la energía potencial puede escribirse
Z
como
1
U0 =
D 0 · E0 d3 r
2
Z
1
siendo D0 = ε0 E0. Con dieléctrico, U =
D · Ed3 r
2
Podemos reescribir
Z
Z
Z
1
1
1
(D · E − D0 · E0 )d3 r =
(D0 · E − D · E0 )d3 r = −
P · E0 d3 r
2
2
2
La densidad de energía de polarización es
up = −P · E0
2