2. Energía electrostática y capacidad

2 Energía electrostática y Capacidad
M. Mudarra
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 1/44
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 2/44
Energía electrostática
■
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
■
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
■
El campo eléctrostático es conservativo: el trabajo realizado
contra él queda almacenado en forma de energía potencial.
Comencemos por un caso sencillo: energía almacenda en
un sistema de dos cargas puntuales.
Llevamos las cargas desde el infinito hasta su posición final.
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
■
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
■
Desplazar la primera carga no requiere
ningún trabajo.
Desplazar la segunda carga requiere un
trabajo:
Z r21
1 q1
1 q1 q2
W =−
q2
dr =
2
4πε
r
4πε0 r21
0
∞
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 3/44
Energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
W =
● Energía electrostática
● Energía electrostática
1 q1 q2
4πε0 r21
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
■
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
■
La expresión calculada representa también el trabajo que
desarrollará el sistema si lo dejamos expansionarse hasta
una distancia infinita.
Por lo tanto, la expresión anterior representa la energía
potencial que posee la configuración constituida con las dos
cargas.
◆ W > 0 El sistema realiza trabajo sobre el entorno al
expansionarse.
◆ W < 0 El sistema recibe trabajo del exterior al
expansionarse.
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 4/44
Energía electrostática
Calculemos el trabajo necesario para formar una configuración
de tres cargas, desplazándolas desde el infinito.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
■
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
■
Desplazar la primera carga no requiere
ningún trabajo.
Desplazar la segunda requiere un trabajo:
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
W =
● Ejemplo
1 q1 q2
4πε0 r21
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
■
Desplazar finalmente la tercera requiere
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
El trabajo total necesario es, pues:
1 q2 q3
1 q1 q3
+
W =
4πε0 r31
4πε0 r32
1 q1 q2
1 q1 q3
1 q2 q3
W =
+
+
4πε0 r21
4πε0 r31
4πε0 r32
Enginyeria Aeroespacial - p. 5/44
Energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
1 qi qj
Uij =
4πε0 rij
Si definimos la cantidad
Uij como:
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
Podemos extrapolar la expresión del trabajo para formar una
distribución de n cargas como
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
W =
X
Uij =
todos los pares
● Ejemplo
X
todos los pares
1 qi qj
4πε0 rij
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
W =
conductores
i=1 j6=i
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
■
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
n
n X
X
1
■
2
Uij =
n
n X
X
1
i=1 j6=i
1 qi qj
2 4πε0 rij
j 6= i : las cargas no interaccionan consigo mismo
El factor 21 se incluye para contar una sóla vez los términos
1 qm qn
4πε0 rmn
1 qn qm
4πε0 rnm
Enginyeria Aeroespacial - p. 6/44
Energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
La expresión anterior se puede reescribir como
● Energía electrostática
n
● Energía electrostática
n
1 X X 1 qj
qi
W =
2 i=1
4πε0 rij
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
j6=i
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
En la que
Vi =
n
X
j6=i
1 qj
4πε0 rij
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Es el potencial que el resto de cargas de la distribución crean
en el la posición que ocupa la carga i-ésima
Finalmente
n
1X
qi Vi
W =
2 i=1
Enginyeria Aeroespacial - p. 7/44
Energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
En el caso de distribuciones continuas de carga podemos
expresar la energía electrostática como
R
R
Pn
1
1
1
W = 2 i=1 qi Vi → W = 2 V ol V dq = 2 V ol V ρ dv
■
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
■
dq = ρ dv: elemento de carga en el
punto de posición ~r(x, y, z).
V : es el valor del potencial en dicho
punto debido a la distribución
formada.
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
El resultado de la integral es el mismo si lo extendemos a todo
el espacio (T.E.): fuera de dicho volumen ρ = 0
Z
Z
1
1
W =
V ρ dv =
V ρ dv
2 V ol
2 T.E.
Enginyeria Aeroespacial - p. 8/44
Ejemplo
Energía potencial electrostática de una distribución uniforme
de carga en forma de esfera de radio a.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 9/44
Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 10/44
Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 11/44
Densidad de energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
La expresión de la energía electrostática de la distribución se
puede reescribir como
Z
Z
1
1
V ρ dv = . . . =
ε0 E 2 dv
W =
2 T.E.
2 T.E.
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
( Ver en la bibliografía los pasos . . . )
Podemos definir
Densidad de energía electrostática:
En cada punto del espacio donde está presente el campo que crea la distribución hay
1
dW
= ε0 E 2 una fracción elemental de la energía elecue =
dv
2
trostática de la distribución
1
dW = ue dv = ε0 E 2 dv
2
La energía electrostática de la distribución es:
Z
Z
Z
1
W =
dW =
ue dv =
ε0 E 2 dv
T.E.
T.E.
T.E. 2
Enginyeria Aeroespacial - p. 12/44
Ejemplo
Energía potencial electrostática de una distribución uniforme
de carga en forma de esfera de radio a.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 13/44
Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 14/44
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 15/44
Conductores y aisladores
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
Desde el punto de vista de su comportamiento eléctrico los
materiales se dividen en dos grupos de comportamiento
extremo ideal
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
Aislantes o
dieléctricos
movilidad nula de los portadores
No transportan la carga eléctrica
“Electrización local ”
Conductores
movilidad infinita de los portadores
Transportan la carga eléctrica
“Electrización global ”
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 16/44
Campo en un conductor
Nos vamos a ocupar del problema del campo en un conductor
en equilibrio electrostático
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
■
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
■
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
■
Eint = 0: el campo en el interior es nulo
(en caso contrario no podría haber
equilibrio electrostático)
Et = 0: la componente tangencial del
campo en los puntos de la superficie es
nula.
En 6= 0: Sólo la componente normal del
campo en los puntos de la superficie
puede ser diferente de cero.
Enginyeria Aeroespacial - p. 17/44
Potencial del conductor
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
Como el campo establece diferencias de potencial y es normal
a las superficies equipotenciales:
Z B
~
~ · dl
~ = −∇V
VB = VA −
E
E
A
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
En equilibrio electrostático:
■ Todo el volumen del conductor está al mismo potencial.
■ La superficie es una equipotencial (mismo potencial que el
volumen).
■ Podemos hablar del potencial de un conductor.
Enginyeria Aeroespacial - p. 18/44
Carga en un conductor
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
~ =0y
Como en el interior E
Z
I
~ = 1
~ · ds
ρ dv
E
ε0 V ′
S′
, para cualquier V ′ dentro del conductor → ρ = 0 en el interior.
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Sólo puede haber carga en la superficie del conductor. Está relacionada
con el campo en la superficie mediante
σ
En =
ε0
Enginyeria Aeroespacial - p. 19/44
Ejemplo
Determinar el campo y el potencial creados por una esfera
conductora de radio a cargada con una carga Q
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 20/44
Ejemplo
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 21/44
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.3 Apantallamiento. Jaula de Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 22/44
Ejemplo: Apantallamiento electrostático
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
Campo y potencial en el interior de una cavidad practicada en
un conductor.
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 23/44
Ejemplo: conexión a tierra
2.1 Energía electrostática
Conexión a tierra de un conductor.
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 24/44
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 25/44
Capacitancia
2.1 Energía electrostática
■
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
■
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
■
Uno de los usos más antiguos de los conductores era el
almacenamiento de carga: capacitores
La magnitud que cuantifica esta propiedad física es la
capacitancia
la carga por unidad de potencial que almacena el sistema.
De manera general los sistemas de conductores que tienen
interés desde este punto de vista son:
◆ Un conductor aislado
◆ Dos conductores con cargas de igual magnitud, pero de
signos opuestos.
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 26/44
Capacidad de un conductor
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
Como el potencial de un conductor es una propiedad “bien
definida” y es proporcional a la carga neta que contiene,
podemos definir su capacitancia C como:
Q
C=
V
Ejemplo: Capacitancia de una esfera conductora de radio a.
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
La capacidad de un conductor sólo depende de su geometría.
No depende de la carga neta que contiene, ni de su potencial
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 27/44
Sistemas de conductores en influencia
Coeficientes de potencial y de capacidad
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday

Q1
 Q2 


 . 
 . 
 . 
Qn



p11
V1
 p21
 V2 



 . =  .
 .
 . 
 .
 . 
Vn
pn1
p12
p22
.
.
.
pn2

. . . p1n
. . . p2n 

. 
.
. 
.
. 
.
. . . pnn



Q1
c11
 c21
 Q2 



 . =  .
 .
 . 
 .
 . 
cn1
Qn
c12
c22
.
.
.
cn2

. . . c1n
. . . c2n 

. 
.
. 
.
. 
.
. . . cnn

2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores

● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
Qi =
n
X
cij Vj
j=1
cij = cji
Vi =
n
X

V1
 V2 


 . 
 . 
 . 
Vn
pij Qj
j=1
pij = pji
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
Los coeficientes cij y pij solo dependen de la geometría del
sistema de conductores
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 28/44
Influencia total de dos conductores
2.1 Energía electrostática
General
Total
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
H
~ 6= 0
~ · ds
E
H
~ =0
~ · ds
E
P
Qint = 0
Q1 = −Q2
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 29/44
Influencia total de dos conductores
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
p12 = p21
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
Q1 = −Q2 = Q
resulta
V1
V2
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
p11 Q1 + p12 Q2
p21 Q1 + p22 Q2
como
● Capacitancia
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
=
=
V1
V2
=
=
(p11 − p12 )Q
(p12 − p22 )Q
y
V1 − V2 = (p11 + p22 − 2p12 )Q
∆V = (p11 + p22 − 2p12 )Q
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
C=
1
Q
=
∆V
p11 + p22 − 2p12
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 30/44
Geometría prácticas de condensadores
Condensador: sistema de dos conductores en influencia total:
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
Q
C=
∆V
Su capacitancia sólo depende de su geometría. Es la razón
entre la “carga desplazada” y la diferencia de potencial entre
sus armaduras.
Planos
Cilíndricos Esféricos
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 31/44
Ejemplo: condensador plano
Determinar la capacidad de un condensador plano, de armaduras paralelas de sección s, separadas por una distancia d.
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 32/44
Ejemplo: condensador plano
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 33/44
Ejemplo: condensador esférico
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
Determinar la capacidad de un condensador esférico,
constituido por una esfera conductora de radio externo a,
rodeada por una capa esférica metálica concéntrica de radio
interior b.
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 34/44
Ejemplo: condensador esférico
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 35/44
Asociación de condensadores
2.1 Energía electrostática
■
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
■
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
■
En un circuito pueden aparecer sistemas o redes de
capacitores interconectados.
El condensador equivalente o capacitancia equivalente de la
red es el condensador al que, aplicando la misma diferencia
de potencial enre sus bornes, desplaza la “misma carga”
que la red enre sus armaduras.
Dos topologías básicas
◆ Asocición en serie.
◆ Asociación en paralelo.
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 36/44
Asociación en paralelo
V1 = V2 = VAB
2.1 Energía electrostática
Q1 = C1 VAB
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
Q2 = C2 VAB
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
QT = Q1 +Q2 = C1 VAB +C2 VAB = (C1 +C2 )VAB
Comparando con
QT = Ceq VAB
resulta
Ceq = C1 + C2
Es fácil extrapolar que en la asociación en paralelo de n
condensadores:
n
X
Ci
Ceq =
i=1
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 37/44
Asociación en serie
Q1 = Q2 = Q
Q = C1 V1
2.1 Energía electrostática
Q = C2 V2
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
VAB = V1 + V2 =
Q
Q
+
=Q
C1
C2
influencia
● Influencia total de dos
conductores
● Influencia total de dos
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador
esférico
● Ejemplo: condensador
esférico
● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
1
1
+
C1
C2
Comparando con
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
conductores
● Geometría prácticas de
condensadores
VAB
Q
=
Ceq
resulta
1
1
1
=
+
Ceq
C1
C2
Es fácil extrapolar que en la asociación en paralelo de n
condensadores:
n
X
1
1
=
Ceq
Ci
i=1
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 38/44
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
2.5 Energía almacenada por un
condensador
condensador
● Energía almacenda en un
condensador
● Ejemplo: Caso del
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 39/44
Energía almacenda en un condensador
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
● Energía almacenda en un
condensador
● Ejemplo: Caso del
Hemos visto que en los condensadores, el campo eléctrico
queda “confinado” en una región limitada del espacio. Como
en los puntos donde está presente el campo hay una densidad
de energía
1
ue = ε0 E 2
2
Los condensadores almacenan energía elecrostática.
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra
Ejemplo: Determinar la energía almacenada por un
condenador plano.
Enginyeria Aeroespacial - p. 40/44
Ejemplo: Caso del condensador esférico
Energía almacenada por un condenador esférico.
El campo en la región a ≤ r ≤ b es
2.1 Energía electrostática
E=
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
Q
4πε0 r 2
luego
1
Q2
2
ue = ε0 E =
2
32π 2 ε0 r 4
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
Así:
2.5 Energía almacenada por un
W =
condensador
● Energía almacenda en un
condensador
● Ejemplo: Caso del
Z
ue dv =
T .E.
Q2
W =
8πε0
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Como C =
4πε0 ab
b−a ,
Z
b
a
1
1
−
a
b
entonces W =
Q2
2
4πr dr
2
4
32π ε0 r
Q2 (b − a)
=
8πε0 a b
2
1 Q
2 C
=
2
1
2 C(∆V )
=
1
2Q
∆V
No lo hemos demostrado en general (sólo comprobado en dos
casos). Pero es válido en general que:
Wcond
Física III (2A) - M. Mudarra
1 Q2
1
1
=
= C(∆V )2 = Q ∆V
2 C
2
2
Enginyeria Aeroespacial - p. 41/44
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.6 Fuerzas sobre conductores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática
● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 42/44
Presión electrostática
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
σ2
1
dFn
=
= ε0 En2
pe =
ds
2ε0
2
(En = εσ0 )
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática
● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 43/44
Ej.: fuerza sobre la placa de un condensador
Fuerza sobre la placa de un condensador plano
2.1 Energía electrostática
~ en presencia de
2.2 Campo E
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática
● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra
Enginyeria Aeroespacial - p. 44/44