Optimizacion_en_el _consumo_2010

Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Departamento Académico de Economía
Economía III
Optimización en el consumo.
ME. Claudia Aburto Rancaño.
Lic. Daniel Gutiérrez R. 1
Los autores agradecen los comentarios del Prof Esteban Colla. Los errores permanecen como responsabilidad de los
autores.
1
Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
CAPÍTULO III. OPTIMIZACIÓN EN EL CONSUMO
i) Análisis gráfico de la Condición de Primer Orden (CPO) ......................................... 3
ii) Análisis gráfico de la Condición de Segundo Orden (CSO) ...................................... 4
iii) Análisis gráfico de soluciones de esquina .................................................................. 6
iv) Análisis matemático de la optimización en el consumo ............................................. 7
a) Método de los multiplicadores de Lagrange ........................................................ 7
v) Análisis de casos especiales ..................................................................................... 10
a) Sustitutos perfectos ............................................................................................. 10
b) Complementos perfectos .................................................................................... 13
c) Preferencias cóncavas ......................................................................................... 15
vi) Apéndice al Capítulo III ........................................................................................... 20
vii) Ejemplos y ejercicios adicionales ............................................................................. 21
2
Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
CAPÍTULO III. OPTIMIZACIÓN EN EL CONSUMO
Hasta ahora, hemos mostrado que el consumidor puede escoger cualquier canasta
alcanzable dentro de un conjunto de posibilidades de consumo delimitado por su ingreso.
Ahora bien, si las preferencias son monótonas y estrictamente convexas y, asimismo,
asumimos que el consumidor es racional y conocemos sus preferencias y restricción
presupuestal, entonces será posible hallar una única canasta óptima sobre su espacio de
elección.
i) Análisis gráfico de la Condición de Primer Orden (CPO)
Dado que U ( x, y) representa las preferencias, entonces es posible representar
matemáticamente el problema de encontrar la canasta preferida dentro de las canastas
comprables de acuerdo con la relación de preferencias que presente el consumidor; es decir,
estamos pasando del mundo de las preferencias al mundo matemático de la utilidad. De esta
manera, para funciones de dos variables x e y, la expresión matemática del problema de
maximización de la utilidad del consumidor es:
sujeto a Px x Py y
I
En realidad, el problema del consumidor es alcanzar el mayor nivel de utilidad dados su
ingreso y los precios de mercado de los bienes que va a consumir. Ahora bien, si las
preferencias son monótonas, entonces el consumidor gastará todo su ingreso, por lo que
podemos resolver el problema anterior con igualdad en la restricción presupuestal. Por otra
parte, si las preferencias del consumidor son estrictamente convexas entonces estaremos
seguros de que habrá una única canasta óptima.
Para el caso de dos bienes, una decisión de consumo será óptima en la medida en que el
individuo agote todo su ingreso y al hacerlo, elija una combinación de los bienes x e y tal
que la TMS sea igual al valor absoluto de la pendiente de la restricción presupuestal
determinada por la razón de precios relativos Px / Py . Este proceso se ilustra en la Gráfica
3.1, en la cual se representan tres curvas de indiferencia ( U 1 , U 2 y U 3 , donde
U1 U 2 U 3 ).
Sabemos que, el consumidor debe agotar todo su ingreso, por lo que su consumo no podría
ser una canasta como A. Los puntos como B, C o E, están sobre su restricción presupuestal
y por lo tanto en ellos el consumidor se gasta todo su ingreso. Sin embargo, los puntos B y
E, no son puntos óptimos, ya que el consumidor podría alcanzar curvas de indiferencia más
altas en otras canastas. Si estuviera en el punto B podría disminuir el consumo de y e
incrementar el consumo de x para moverse a C y alcanzar U 2 . Por otra parte, si estuviera en
un punto como E podría disminuir el consumo del bien x e incrementar el consumo del bien
y para moverse a C. Es importante notar que, en el punto B la TMS Px Py y que en el
punto E la TMS
Px Py .
3
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29 de enero de 2010
Finalmente, se puede apreciar en la Gráfica 3.1 que la canasta que maximiza la utilidad del
consumidor está dada por el punto C donde en donde consume x * e y * . En el punto C la
curva de indiferencia U 2 es tangente a la restricción presupuestal. Esta tangencia quiere
decir que en el punto C la TMS Px Py , lo que se conoce como la condición de
equimarginalidad. Intuitivamente, cuando hay equimarginalidad la valoración subjetiva de
un bien en términos de otro bien es igual a la valoración de mercado.
Gráfica 3.1
y
I
Py
B
D
y*
C
A
U3
U2
U1
E
0
x
*
I
Px
Equimarginalidad
Px
TMS
Py
x
ii) Análisis gráfico de la Condición de Segundo Orden (CSO)
La condición de equimarginalidad o de primer orden por sí sola no garantiza la existencia
de un óptimo; es decir, equimarginalidad es una condición necesaria pero no suficiente para
un óptimo. Requerimos también una condición de segundo orden (CSO), la cual establece
que la TMS sea decreciente; es decir, que las curvas de indiferencia sean estrictamente
convexas. Por ejemplo, en la Gráfica 3.2 se dibujan dos curvas de indiferencia ( U 1 y U 2 ,
donde U 1 U 2 ) que no cumplen el supuesto de TMS decreciente en todo su rango. En
particular, se puede apreciar que en los puntos A y B las curvas de indiferencia son
tangentes a la restricción presupuestal. Es decir, se cumple la condición de
equimarginalidad; sin embargo, en el punto A, la utilidad no es la más alta que se puede
alcanzar dada la restricción presupuestal. Mientras que el punto B el individuo alcanzará el
mayor nivel de utilidad (U2) mediante una combinación x * , y * .
4
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29 de enero de 2010
Gráfica 3.2
y
I
Py
B
y*
A
U2
U1
x*
0
I
Px
x
A continuación, se resumen las condiciones de primer y segundo orden en el Cuadro 3.1.
Cuadro 3.1
Condición de Primer Orden (CPO)
Matemáticamente, la condición de equimarginalidad o de primer orden puede ser
expresada como:
Px
y
Px
y
donde
es la pendiente de la restricción presupuestal y
la
xU
Py
Py
xU
pendiente de la curva de indiferencia. De esta forma, el negativo de la pendiente de la
y
y
curva de indiferencia; es decir,
es la TMS.
xU
xU
Px
Py
Pero TMS
y
xU
UMg x
UMg y
Px
Py
Tangencia entre la curva de indiferencia y
la restricción presupuestal
TMS
UMgx
Px
UMgy
Py
Lo cual implica que en un punto óptimo la utilidad marginal por peso gastado en el bien
x deberá ser igual a la utilidad marginal por peso gastado en el bien y.
Condición de Segundo Orden (CSO)
TMS decreciente
Curva de indiferencia estrictamente convexa
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29 de enero de 2010
iii) Análisis gráfico de soluciones de esquina
Hasta ahora, hemos considerado decisiones óptimas de consumo que involucran canastas
interiores; es decir, combinaciones positivas de ambos bienes que maximizan el nivel de
utilidad del individuo; no obstante, en ocasiones las preferencias del consumidor pueden
conducirlo a especializarse en el consumo de algún bien en particular, de forma tal que para
maximizar su utilidad, elija no consumir alguno de los bienes.
Por ejemplo, no todos los individuos poseen una computadora o un automóvil; o bien, no
todos dedican su ingreso al consumo de tabaco o joyería. En este sentido, si el consumidor
no puede hallar una canasta interior que cumpla con la condición de equimarginalidad,
entonces podría encontrar una canasta en alguno de los puntos de intersección que posee la
restricción presupuestal con los ejes horizontal y vertical, destinando la totalidad de su
ingreso al consumo en alguno de los bienes.
Para demostrar lo anterior, en la Gráfica 3.3 se dibujan tres curvas de indiferencia ( U 1 , U 2
y U 3 donde U1 U 2 U 3 ) que no cumplen la condición de equimarginalidad;
particularmente en los puntos A, B y C se puede apreciar que la pendiente de las curvas de
indiferencia es mayor que la de la restricción presupuestal, determinada por la razón de
precios, es decir que en cualquiera de estos puntos se cumple que TMS Px Py ; que
expresado de la forma UMgx Px UMgy Py , implica que la utilidad marginal por peso
gastado en el bien x es mayor que la utilidad marginal por peso gastado en el bien y. En este
sentido, el consumidor podrá aumentar su utilidad disminuyendo el consumo de y e
incrementando el consumo de x hasta que su presupuesto lo permita, lo cual sucede en un
punto como C, donde dedica la totalidad de su ingreso al consumo del bien x.
No obstante que en el punto C la TMS continúa siendo mayor que la razón de precios, dado
que ya no es posible continuar sustituyendo unidades adicionales de y a cambio de x; es la
canasta C la decisión de consumo óptima que le brinda al individuo el máximo nivel de
satisfacción posible (U3).
Gráfica 3.3
y
U2
U1
U3
I
Py
A
B
C
0
x*
6
I
Px
x
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iv) Análisis matemático de la optimización en el consumo
a) Método de los multiplicadores de Lagrange2
Una alternativa para resolver problemas de maximización con restricciones que se cumplen
con igualdad es utilizar el método de multiplicadores de Lagrange, desarrollado por el
matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813), que introduce una variable
adicional
(Lambda) al problema de optimización en el consumo y lo transforma en un
problema de maximización simple. Este método no solamente ayuda a resolver el
problema, sino que también posee una interpretación económica importante.
Nos interesa encontrar los valores de x e y que maximizan una función de utilidad
, sujeto a una restricción Px x Py y I .
En otras palabras, suponiendo preferencias monótonas, nuestro problema puede expresarse
de la forma:
max U ( x, y)
( x, y )
s.a. Px x Py y
I
Entonces, podemos escribir una función auxiliar conforme al método de multiplicadores de
Lagrange, también conocida como Lagrangiano:
L( x, y, )
U ( x, y )
( Px x Py y I )
Donde λ (Lambda) es una variable adicional que toma valores estrictamente positivos
(
0 ), también conocida como el multiplicador de Lagrange.
Se puede apreciar que, independientemente del valor de , que en la medida que valores de
x e y satisfagan la restricción Px x Py y I 0 , entonces L( x, y, ) U ( x, y) y por tanto, el
problema es equivalente a uno sin restricciones. Ahora bien, ¿cuál es el papel de λ ?
Intuitivamente, podemos contemplar a λ como un factor de ajuste que nos garantiza que, al
maximizar L( x, y, ) estemos seleccionando los valores de x e y de forma tal que cumplan
con la restricción Px x Py y I 0 .
Por ejemplo, si el individuo quisiera gastar más de lo que ingresa pretendiendo estar fuera
( Px x Py y I ) 0 ), como
de la restricción presupuestal (i.e. Px x Py y I
0 y
2
Para la elaboración de este apartado se utilizó la nota elaborada por el Profesor Alejandro Hernández para el
curso de Economía V: Nota #1 Optimización con restricciones: El Método de Lagrange.
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L( x, y, ) U ( x, y )
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( Px x Py y I ) , entonces el Lagrangiano estaría penalizando la
función de utilidad U ( x, y) al restarle ( Px x Py y I ) , llevando al consumidor de un
punto fuera de la restricción a un punto sobre la propia restricción presupuestal (ver punto
C de la Gráfica 3.4). En este sentido, a medida que ( Px x Py y I ) sea mayor, más
importante será dicho castigo; no obstante que para casos en que el valor de λ sea pequeño,
el castigo sobre U ( x, y) podría ser insuficiente para contrarrestar el incremento en la
utilidad resultante de un mayor consumo por haberse salido de la restricción presupuestal;
por lo que el valor de deberá ser suficientemente grande para que la penalización exceda
el aumento en la utilidad derivado de un mayor nivel de consumo.
Por otra parte, si el individuo gastara menos de lo que ingresa pretendiendo estar en un
punto dentro de la restricción presupuestal (es decir Px x Py y I
0 y L( x, y, ) U ( x, y) ( Px x Py y I) , en lugar de
penalizar, el Lagrangiano estaría otorgando un subsidio a la función de utilidad U ( x, y) al
sumarle ( Px x Py y I ) , llevando al consumidor de un punto interior a un punto sobre la
propia restricción presupuestal (ver punto A de la Gráfica 3.4). De igual forma, el valor de
deberá ser de forma tal que el máximo no sea alcanzado en un punto interior de la
restricción, sino sobre la misma. Como se mostrará más adelante, el método de Lagrange
produce en forma automática el valor exacto de .
( Px x Py y I )
0 ), como
Gráfica 3.4
y
C
y*
B
A
U3
U2
U1
x*
0
x
Para encontrar un punto crítico de la función L( x, y, ) , necesitamos las condiciones de
primer orden del lagrangiano:
[1]
L
x
U ( x, y)
x
Px
0
[2]
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U ( x, y)
x
U ( x, y )
y
[3]
L
Px
Py
Px x Py y I
29 de enero de 2010
0
U ( x, y )
x
Px
0
U(x,y)
y
Py
U ( x, y )
UMg x
x
U ( x, y )
UMg y
y
UMg x
Px
UMg y
Py
0
Se puede apreciar que incluyendo la última ecuación (que en realidad es la restricción
presupuestal), hay un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (x, y, ). Como
UMg x UMg y
tenemos de las dos primeras condiciones anteriores que
(condición de
Px
Py
equimarginalidad)
Por lo tanto, la solución matemática al sistema requiere que se cumpla la condición de
equimarginalidad. Exactamente lo mismo que habíamos encontrado gráficamente.
El resultado anterior, implica que en un punto máximo la utilidad marginal por peso
gastado tanto para el bien x como para el bien y deberá ser la misma; es decir, que un peso
adicional gastado en cualesquiera de los bienes le deberá generar la misma utilidad al
consumidor sin importar en qué bien esté gastando. Asimismo, el valor extra de esa utilidad
estará determinado por el multiplicador de Lagrange. En este sentido, es posible contemplar
a como la utilidad marginal por peso gastado; o bien, la utilidad marginal del ingreso.
Ejemplo:
Encontrar la canasta óptima de consumo de Marina entre x e y, si su función de utilidad está
dada por U ( x, y) xy . Además su ingreso es de $100 pesos, Px 2 y Py 5 .
Escribiendo el problema de maximización: max U ( x, y)
( x, y )
x y s.a. 2 x 5 y 100
Construyendo el Lagrangiano:
L( x, y, )
x y
(2 x 5 y 100)
Escribiendo las condiciones de primer orden, resolviendo para
y encontrando la
condición de equimarginalidad al igualar ambas expresiones, tenemos que:
9
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[1]
L
x
[2]
L
y
[3]
L
y 2
x 5
29 de enero de 2010
0
y
2
0
x
5
[4]
y
2x
5
2 x 5 y 100 0
Sustituyendo [4] en [3] tenemos 2 x 5
2x
100
5
Utilizando este resultado en [4] tenemos que y
4 x 100
(2)(25)
5
x 25
y 10
Por lo tanto, la canasta que maximizará la utilidad del consumidor es (25,10).
v) Análisis de casos especiales
a) Sustitutos perfectos
Como ya se ha dicho, el objetivo del consumidor es maximizar su utilidad sujeto a su
restricción presupuestal. En el caso de sustitutos perfectos esto no va a cambiar, pero
tendremos que resolver el problema de forma diferente.
Si el agente económico tiene este tipo de preferencias, sus curvas de indiferencia son líneas
rectas, al igual que la restricción presupuestal. En este caso, para determinar la canasta
óptima de consumo tenemos que ver que pasa en tres escenarios diferentes:
Caso 1: TMS
Px
Py
Cuando la pendiente de la restricción presupuestal (dada por Px Py ) es mayor que la TMS
(dada por
), la utilidad marginal por peso gastado en x es menor a la utilidad marginal
por peso gastado en y; por lo que el individuo continuará consumiendo el bien y hasta
agotar la totalidad de su ingreso en dicho bien. Entre las seis curvas de indiferencia
( U1 ,..., U 6 , donde U1 ,..., U 6 ) que se dibujan en la Gráfica 3.5, se puede apreciar que en
U 5 el individuo alcanza el nivel máximo de utilidad en un punto como A, en donde x 0 e
y 0.
10
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29 de enero de 2010
Gráfica 3.5
y
I
Py
TMS
A
Px
Py
Utilidad
creciente
U6
TMS
U5
Px
Py
UMg x
UMg y
Px
Py
U4
UMg x
Px
U3
U2
U1
I
Px
0
UMg y
Py
x
Px
Py
Caso 2: TMS
De manera análoga, si la pendiente de la restricción presupuestal es menor que la TMS, la
utilidad marginal por peso gastado en x será mayor que la utilidad marginal por peso
gastado en y. En consecuencia, el individuo dedicará la totalidad de su ingreso al consumo
del bien x. Lo anterior, resultará en una solución de esquina en la intersección de la
restricción presupuestal con eje horizontal, como se puede apreciar en la Gráfica 3.6,
alcanzando el nivel máximo de utilidad posible en un punto como A, en donde x 0 e
y 0.
Gráfica 3.6
y
I
Py
U1 U 2 U 3 U 4 U 5
U6
px
py
TMS
TMS
Utilidad
creciente
UMg x
Px
A
I
Px
0
Caso 3: TMS
Px
Py
UMg x
UMg y
Px
Py
UMg y
Py
x
Px
Py
Por último, cuando la TMS sea igual a la pendiente de la restricción presupuestal, todos los
puntos sobre la restricción presupuestal serán soluciones factibles. En la Gráfica 3.7 se
puede apreciar que entre las seis curvas de indiferencia que se dibujan ( U1 ,..., U 6 , donde
Px Py ), al estar
U1 ,..., U 6 ), solamente U 5 cumple con esta condición (i.e.
sobrepuesta a la restricción presupuestal.
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29 de enero de 2010
Gráfica 3.7
y
I
Py
Utilidad
creciente
TMS
U1
U2
U4
U3
TMS
Px
Py
U5
UMg x
Px
U6
I
Px
0
Px
Py
UMg x
UMg y
Px
Py
UMg y
Py
x
Ejemplo:
La dieta de Sandra es a base almendras (A) y/o de cacahuates (C). A ella le da la misma
utilidad consumir una almendra que tres cacahuates. Las almendras cuestan el doble que
un cacahuate. Además, cuenta con un ingreso de $1,000.
Con la información anterior, es posible construir la función de utilidad de Sandra:
U ( A, C )
A
C
U (1,0) U (0,3)
U (1, 0)
3
1
3
U (0,3) 3
Además TMS
UMg A
UMgC
Por otra parte, PA
2 PC
3
1
PA
PC
3y
1
U ( A, C ) 3 A C
3
2
Como TMS PA PC , la utilidad marginal por peso gastado en almendras será mayor que la
utilidad marginal por peso gastado en cacahuates, por lo que Sandra dedicará todo su
ingreso al consumo de almendras y, como se puede observar en la Gráfica 3.8, la solución
óptima se dará en un punto como A.
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29 de enero de 2010
Gráfica 3.8
C
U1 U 2
I
PC
U3
A
I
PA
0
A
b) Complementos perfectos
Retomando lo visto en el primer capítulo, la función de utilidad para complementos
perfectos se representa de la forma U ( x, y) min x, y , donde
y
son constantes
positivas que definen las preferencias relativas y, por su parte, el operador min implica que
el nivel de utilidad estará determinado por el menor de los dos términos x y y .
Como se puede observar en la Gráfica 3.9, el individuo maximiza su nivel de utilidad en un
punto como B; donde el vértice de la curva de indiferencia se coloca sobre la restricción
presupuestal y, a su vez el rayo que une los vértices de las curvas de indiferencia, cruza en
este mismo punto; sin embargo, lo anterior no implica que exista en realidad una tangencia
entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestal, ya que en el vértice la TMS no
está definida.
Gráfica 3.9
y
y
(
)x
I
Py
C
B
y*
En B
U3
U2
y
A
0
U1
x*
I
Px
x
13
y
I
Py
Px
x
Py
x
I
Py
Px
x
Py
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29 de enero de 2010
Ejemplo:
Genaro cuenta con un ingreso de $80 pesos para comida y su dieta es a base de tacos (T) y
refrescos (R) y no come tacos si no toma refresco, ni viceversa. Por cada cinco tacos toma
un refresco. El precio de cada taco es de PT 4 pesos y el precio de cada refresco es de
PR 5 , por lo que su restricción presupuestal es 4T 5R 80 .
Para Genaro los tacos y los refrescos son complementos perfectos, por lo que su función de
utilidad es de la forma U (T , R) min T , R . A su vez, siempre escogerá combinaciones
de tacos y refrescos para las cuales se cumpla que T
R ; o bien, T ( / ) R . Vamos
a encontrar la función de utilidad y la canasta óptimas de elección de Genero si T 5 y
R 1.
U (T , R) min
T, R
min 5 ,
U (T , R) min T ,5R
T
5
5R
/
1/ 5
1y
5
R T /5
Sustituyendo R T / 5 en la restricción presupuestal tenemos que 4T 5(T / 5) 80
Resolviendo para T tenemos que T * 16 ; sustituyendo este resultado en R T / 5 tenemos
que R* 16 / 5 3.2 . Por tanto, la canasta óptima que maximiza la utilidad de Genaro es
A(T * , R* ) (16,3.2)
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Gráfica 3.10
Refrescos
I
PR
R*
R 5T
16
3.2
U1
A
R 16
m
0
T
*
4/ 5
I
PT
16
14
20
Tacos
4 Restricción presupuestal
T
5
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c) Preferencias cóncavas
Las curvas de indiferencia cóncavas son aquellas en las que la TMS es creciente a lo largo
de una curva de indiferencia. En estos casos vamos a ver que la solución óptima puede ser
una solución de esquina.
En la Gráfica 3.11 se dibujan tres curvas de indiferencia cóncavas ( U 1 , U 2 y U 3 donde
U1 U 2 U 3 ). En particular, se puede observar que en un punto como B se cumple la
condición de primer orden (i.e. que TMS Px Py ); sin embargo, no se cumple la condición
de segundo orden, ya que en dicho punto la curva de indiferencia no es estrictamente
convexa, por lo que en realidad nos encontramos en un punto mínimo. Asimismo, el
consumidor podría alcanzar con el mismo nivel de ingreso una curva de indiferencia más
alta ( U 2 ) que le permitiría alcanzar un mayor nivel de utilidad en un punto como A donde
TMS Px Py
UMg x Px UMg y Py . Lo anterior, implica que la utilidad marginal por
peso gastado en el bien y es mayor que la utilidad marginal por peso gastado en el bien x, lo
que llevará al consumidor a agotar la totalidad de su ingreso en el consumo del bien y.
Gráfica 3.11
y
TMS
Px Py
A
TMS
U3
B
U1
U2
Px Py
y
Px
x
Py
I
Py
x
Por su parte, en la Gráfica 3.12 se ilustra una segunda posibilidad. Al igual que el caso
anteriormente descrito, se puede observar que en B se cumple la condición de primer orden;
mas no la condición de segundo orden. Por lo que el máximo ocurre en la intersección que
posee la restricción presupuestal con el eje horizontal en un punto como A donde
TMS Px Py
UMg x Px UMg y Py . Lo anterior, implica que la utilidad marginal por
peso gastado en el bien x es mayor que la utilidad marginal por peso gastado en el bien y, lo
que llevará al consumidor a agotar la totalidad de su ingreso en el consumo del bien x.
15
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29 de enero de 2010
Gráfica 3.12
y
y
Px
x
Py
I
Py
TMS
Px Py
B
U3
TMS
Px Py
U2
U1
A
x
Finalmente, en la Gráfica 3.13 se ilustra una tercera posibilidad, en la que el consumidor
será indiferente entre los puntos A y B, ya que le reportan un mismo nivel de utilidad al
colocarse sobre la misma curva de indiferencia ( U 2 ). Asimismo, se puede apreciar que en
un punto como C se cumple la condición de primer orden; mas no la de segundo orden, por
lo que no constituye un punto máximo.
Gráfica 3.13
y
TMS
Px Py
A
y
C
I
Py
Px
x
Py
U3
TMS
Px Py
U2
U1
B
x
Ejemplo:
max u ( x, y)
( x, y )
Umg x
Umg y
TMS
x2
u ( x, y )
x
u ( x, y )
y
2x x
2y y
y 2 s.a. Px x Py y
I
2x
2y
16
Optimizacion_en_el _consumo_2010
Pero como
anterior y tenemos que:
29 de enero de 2010
, entonces podemos sustituir
en la derivada
Es decir, la TMS es creciente.
En estos casos hay especialización en el consumo y tendremos tres posibilidades:
Caso 1:
Si Px
4 , Py
2 e I
100 4 x 2 y . Dado U ( x, y )
100
condición de primer orden: TMS
Px Py
x y
2
x
x2
y 2 y partiendo de la
2y .
Sustituyendo este resultado en la restricción presupuestal, podemos encontrar la
combinación de los bienes x e y que cumplen con la condición de primer orden; esto es,
x 20 e y 10 , lo cual se ilustra en el punto B de Gráfica 3.14. No obstante lo anterior, el
punto B(20,10) no cumple con la condición de segundo orden, por lo que no constituye un
punto óptimo. En la gráfica se ve claramente que se puede alcanzar un mayor nivel de
utilidad si el consumidor especializa su consumo en el bien y.
Lo anterior se puede comprobar examinando como es el nivel de utilidad del individuo en
la ordenada y en la abscisa de la siguiente forma:
Si x
0& y
U (0,50) 502
Si x
0& y
U (25, 0)
252
U ( x, y )
0
y 2 y la restricción es 100=2y
y=50 & x=0
x 2 y la restricción es 100 4x
x=25 & y=0
2,500
0
U ( x, y )
625
Por lo tanto, la canasta óptima de consumo es A(0,50) y el consumidor agotará la totalidad
de su ingreso en el bien y.
17
Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
Gráfica 3.14
y
A(0,50)
U ( x, y )
x2
y2
100 4 x 2 y
B(20,10)
x
Caso 2:
Si Px
1 , Py
2 e I
100
100
x 2 y entonces dado U ( x, y )
x2
y 2 , la condición
x y 12
x y 2 . Nuevamente, al sustituir este
de primer orden es TMS Px Py
resultado en la restricción presupuestal, podemos encontrar la combinación de los bienes x
e y que cumplen con dicha condición: x 20 e y 40 , lo cual se ilustra en el punto B de
Gráfica 3.15. Sin embargo, B no cumple con la condición de segundo orden, por lo que no
es un punto óptimo.
Si evaluamos a la función de utilidad en la ordenada y en la abscisa veremos que en este
caso el óptimo implica especialización en el bien x.
Si x
U ( x, y ) x 2 y la restricción es 100
0, y 0
U (100, 0) 1002 10, 000
Si x
U ( x, y ) y 2 y la restricción es 100 2y
0, y 0
U (0,50) 502 2,500
x=100 & y=0
x
y=50 & x=0
Gráfica 3.15
y
U ( x, y )
x2
y2
100 4 x 2 y
B(20,40)
A(100,0)
x
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
Caso 3:
Si Px
2 , Py
2 e I
100 2 x 2 y . Dado U ( x, y )
100
condición de primer orden es TMS
Px Py
x y 1
x2
x
y 2 , entonces la
y . Por tanto, la
combinación de los bienes x e y que cumple con esta condición es x* 25 e y* 25 ,
situación que se ilustra en la Gráfica 3.16 en un punto como C. Sin embargo, dicho punto
no constituye un óptimo, ya que no cumple con la condición de segundo orden.
Si evaluamos a la función de utilidad en la ordenada y en la abscisa veremos que en este
caso tenemos dos óptimos:
Si x
U ( x, y ) y 2 y la restricción es 100 2y
0, y 0
U (0,50) 502 2,500
y=50 & x=0
Si x
U ( x, y ) x 2 y la restricción es 100 2x
0, y 0
U (50, 0) 502 2,500
x=50 & y=0
En conclusión, hay dos soluciones factibles y tanto A(0,50) como B(50,0) son puntos
óptimos, por lo que el consumidor sería indiferente entre ambas canastas. En la Gráfica
3.16, puede observarse que ambas canastas se ubican sobre la misma curva de indiferencia.
Gráfica 3.16
y
U ( x, y )
x2
y2
A(0,50)
100 2 x 2 y
C(25,25)
B(50,0)
x
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
vi) Apéndice al Capítulo III
A continuación se resume la forma de hallar máximos y/o mínimos de una función de una
variable f ( x) .
Una condición necesaria3 para alcanzar un máximo en un punto interior ( x̂ ) del dominio de
una función y f ( x) , es que su primera derivada sea igual a cero (i.e. dy dx f '( x) 0 y
además que f ' ( x) esté definida en x). Se dice que un punto interior ( x̂ ) del dominio de
f ( x) donde f ' ( x) 0 , es un punto crítico de f ( x) . Por otra parte, para asegurar que se
trata de un punto máximo, el signo de la segunda derivada debe ser negativo 4 (i.e.
d 2 y dx 2 f ( x) 0 ), de lo contrario habremos encontrado un punto mínimo.
Por ejemplo, en la Gráfica 3.17 puede apreciarse que tanto A como B representan puntos
críticos de y f ( x) ; no obstante que A es un punto máximo y B es un punto mínimo.
Gráfica 3.17
y
Máximo
f ' ( x)
0
f ' ' ( x)
A
0
Punto A
(Máximo)
y
f ( x)
Mínimo
f ' (x)
0
f ' ' ( x)
0
Punto B
(Mínimo)
B
x̂1
x̂2
x
3
df ( x)
dx x
d 2 f ( x)
dx 2
df ( x)
dx x
0
xˆ1
0
x xˆ1
0
xˆ2
d 2 f ( x)
dx 2 x
0
xˆ2
Decimos que una condición es necesaria cuando debe cumplirse; no obstante que no garantiza por sí misma
el resultado; por otra parte, decimos que una condición es suficiente cuando su cumplimiento sí garantiza el
resultado –aunque también puede obtenerse sin ella. Finalmente, decimos que una condición es necesaria y
suficiente cuando el resultado se cumple si y solo si se verifica la condición.
4
En concreto, si f (x) 0 y si f (x) 0 , entonces se trata de un punto máximo.
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
vii) Ejemplos y ejercicios adicionales
1. La función de utilidad de Margarita está dada por U ( x, y) min 3x, y
y cuenta
con un ingreso de $30 pesos. Los precios de los bienes x e y son Px $1 y Py $3
pesos, respectivamente. Además, cuenta con doce horas para consumir ambos
bienes y consumir cada uno de los bienes le toma una hora. Encuentre la
combinación óptima de los bienes x e y.
1
La restricción presupuestal está dada por 30 x 3 y
y 10
x
3
Ahora vamos a determinar las intersecciones de la restricción presupuestal con los
ejes vertical y horizontal.
Partiendo de esta ecuación sabemos que si y
y 10 .
0
x 30 . Por otra parte, si x 0
Por otra parte, la restricción presupuestal temporal está dada por 12
y 12 x .
x y
De la misma forma evaluamos la ecuación de la restricción presupuestal en x 0 y
y 0 para determinar sus intersecciones con los ejes vertical y horizontal.
Encontramos que si y 0
y 12 .
x 12 y si x 0
De la función de utilidad de Margarita igualamos 3x
en la restricción presupuestal y resolvemos para x:
30
x 3y y
3x
30 x 9x
y , sustituimos el resultado
x 3
Sustituyendo este resultado en 3x
y tenemos que y
9.
Ahora para la restricción presupuestal temporal tenemos:
12
x yy
3x
12 4x
x 3
Sustituyendo este resultado en 3x
y tenemos que y
9.
Entonces la combinación óptima de los bienes x e y es ( x, y) (3,9) , como se puede
apreciar en la Gráfica 3.18.
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
Gráfica 3.18
y
y 3x
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
( x* , y * )
(3,9)
U0
0 3
6
9 12 15 18 21 24 27 30
x
2. Jorge tiene un ingreso de $1,000 pesos para consumir alcachofas (bien x) y pepinos
(bien y). Una alcachofa le da cuatro veces más utilidad que un pepino pero cuestan
el doble que los pepinos. Determine la función de utilidad de Jorge y la solución
óptima.
Podemos construir la función de utilidad de Jorge como U ( x, y)
x
y . Como
una alcachofa le da cuatro veces más utilidad que un pepino, entonces le da lo
mismo consumir una alcachofa que cuatro pepinos, lo cual implica que:
U (1,0) U (0, 4)
U (1, 0)
4
1
4
U (0, 4) 4
Además TMS
UMg x
UMg y
1
2 Py
Px
Py
U ( x, y) 4 x y
4
Por otra parte, los precios relativos son Px
Como TMS
4y
2
Px
, la utilidad marginal por peso gastado en alcachofas será mayor
Py
que la utilidad marginal por peso gastado en pepinos, por lo que Jorge consume
solamente alcachofas, resultando una solución de esquina en el eje horizontal como
se puede apreciar en el punto A de la Gráfica 3.19.
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
Gráfica 3.19
y
U1 U 2
I
Py
U3
A
I
Px
0
x
3. Rosita siempre consume dos rollos de canela (bien x) con una taza de café (bien y).
Si el precio de un rollo de canela es de $20 pesos y el precio de la taza de café es de
$30 pesos, ¿cuál es el ingreso mínimo que Rosita requiere para alcanzar un nivel de
utilidad de U 20 ?
La restricción presupuestal de Rosita está dada por I 20 x 30 y . De la
información anterior podemos inferir que para Rosita los rollos de canela y las tazas
de café son complementos perfectos, por lo que su función de utilidad es de la
forma U ( x, y) min x, y . A su vez, escogerá siempre combinaciones de x e y
para las cuales se cumpla que
y ; o bien y
x
tenemos que U ( x, y) min x, 2 y
x 2y
resultado en la restricción presupuestal tenemos I
( / ) x . Si x 2 y y 1 ,
x
. Sustituyendo este
y
2
20 x 30 y y x
I 35x
2
x
I
.
35
Sustituyendo
este
resultado
en
x
I
, tenemos que y
.,
2
70
I I
min
,
. De esta manera
35 35
y
I
I
U ( x, y )
,2
35
70
I I
20 min
,
y resolviendo para I tenemos que I 700 , por lo que Rosita
35 35
requiere un ingreso de $700 pesos para alcanzar un nivel de utilidad de U 20 .
U ( x, y) min
4. ¿Para qué tipo de preferencias y en qué casos un consumidor que busque maximizar
su utilidad debe escoger una canasta de bienes tal que su restricción presupuestal
sea tangente a la curva de indiferencia más alta posible?
5. Pedro sólo consume hamburguesas (bien x) si los acompaña con refresco de dieta
(bien y). Por cada hamburguesa que consume tiene que consumir dos refrescos de
dieta. Si el ingreso de Pedro es de $200 pesos, el precio de las hamburguesas es de
$10 pesos y el precio de los refrescos de dieta es de $15 pesos, determine la canasta
óptima de consumo óptima.
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Optimizacion_en_el _consumo_2010
29 de enero de 2010
6. Ante preferencias regulares, si la TMS es mayor que la razón de precios, ¿qué debe
hacer el consumidor con la proporción del consumo entre el bien y y el bien x para
maximizar su utilidad? ¿qué debería hacer con dicha proporción de consumo si la
TMS es menor que la razón de precios?
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