4º ESO Académicas Castellano LOMCE

TEMA 1: NÚMEROS CONOCIDOS. OPERACIONES
Recuerda
Aunque duela, no nos queda más remedio que recordar cosas sobre números para
estar en condiciones de “encontrar” otros números “nuevos”.
Verás que muchos ejercicios ya sabes hacerlos. Si es así, haz unos pocos para
refrescar la memoria, y si ésta flojea tienes más para recordar.
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones:
1. (+3)+(+8)=
2. (-13)+(-8)=
3. (+13)+(-8)=
4. (-13)+(+8)=
5. (13)+(+8)=
6. (-38)-(-12)=
7. (+38)-(+12)=
8. (-38)-(+12)=
9. (+38)-(-12)=
10. (+56)+(+72)=
11. (-56)+(-72)=
12. (+56)+(-72)=
13. (-56)+(+72)=
14. (+42)-(-47)=
15. (+42)-(+47)=
16. (-42)-(-47)=
17. -56+72=
18. 42-47=
19. (-42)-(+47)=
20. (+5)·(+8)=
21. (-5)·(-8)=
22. (-5)·(+8)=
23. (+5)·(-8)=
24. (+9)·(+6)=
25. -5·8=
26. 5·(-8)=
27. 9·6=
28. (-9)·(-6)=
29. (+9)·(-6)=
30. (-9)·(+6)=
31. (-6)·(+4)=
32. (-7)·(-4)=
33. (-8):(-4)=
34. 0·(-5)=
35. 0:(-5)=
36. (-8)·0=
37. (-8):0=
38. (+1)·(-7)=
39. (+1)·(+8)=
40. (-1)·(-1)=
41. (-1):1=
42. (-1):(-1)=
43. 3:0=
44. -72:12=
45. -72:6=
-5-
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones:
46.
 15

5
47.
 39

 13
 75

 15
 90
51.

 15
6
54.

3
48.
49. 0:(+5)=
50. (-60):(-12)=
52. (-200):(-40)=
53. (-200):(+40)=
55. Opera:
a) (-2)4=
b) (-2)3=
c) (–2)1=
d) (-3)3=
e) (-1)73=
f) (-1)214=
g)
81 =
h)
 81 =
i)
1=
j)
 1 =
k)
0=
l)
100000000 =
56. Rellena los huecos que hay:
a) 8+
d)
g) 2·
j) 10:
=10
+3=10
=-8
=-5
b) –2+
e)
=-5
+4=-2
h) 3·
=15
k) –15:
=5
c)
+4=7
f) 15+
=15
i) –5·
=10
l) 6:
=2
57. Opera:
a) (+5)+(+3)-(-2)= ___________________________________
b) (+6)·(-3):(-2)= ___________________________________
c) –3+(-5).6= ________________________________________
d) 3-2·(-4)= _________________________________________
-6-
e) (3+(-2))·7= _______________________________________
f) –6+6:2= ___________________________________________
g) (4-7)·(5-3)= ______________________________________
h) (12-45):(5+(-8))= _________________________________
i) 3-(5-2+3)= ________________________________________
j) 7-(-5+4·3)= _______________________________________
k) –2-5+16:2-0·7-15:5= _______________________________
l) 7·(5-2)-12:(8-5)-(9-8-1)= _________________________
m) 8:2-15:(7-10)+4·(2-3)= ____________________________
n) 8-4·3-12:3-5+7·(9-6)= _____________________________
o) –3·6·(-1)·(-2)= ___________________________________
p) 32+22·(-2)3- 16 = __________________________________
Ejercicios
58. Realiza las operaciones:
a)
(-5)·(-2)·(+4)·(-1)=
b)
(-3)·(-1)·(-2)·(+5)·6=
c)
(-3)·(-1)·(-2)·(-1)·4=
d)
(-1)·(-5)·(-6)·5·2·(-1)=
e)
(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=
f)
(-9)+(+5)+(-6)+(-4)=
g)
(-7)+(-3)+8+(+3)=
h)
(-2)+(-5)+(-6)+(-8)=
i)
-9+4-(-7)-(+2)=
j)
10-(-12)-(-6)+(-3)=
k)
-9+4-(-6)-(+3)=
l)
4-(-5)-(-10)-2=
-7-
Ejercicios
59. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7·(4+3)-[6:(2+1)]+6= __________________________________
b) (13+2-5):2+{(24-6+1)·7-[(5+8)-12]+2}= _________________
c) –7-9+19-3+8= __________________________________________
d) –2-(-8+6+4-1)= ________________________________________
e)4-(1-8)+5·3= ___________________________________________
60. Realiza las siguientes operaciones:
a) 15-(8-3-7·2)= _________________________________________
b) 8-(-7+3-1)= ___________________________________________
c) 6-[9-(5-7)+4]= ________________________________________
d) 6-[3-(8-5)+2]= ________________________________________
e) 5+3·(-2)= _____________________________________________
f) 3·(4+1)-(-4)·3-6+4= ___________________________________
g) 4·(3-4)+5-2+7·(-10)= __________________________________
h) -(-10)·(10-1)+(3-5)·4-10= _____________________________
i) -(-10)·(-2)-(7-3)·(-4-2)= _____________________________
j) 9:3-(6+4)-9-2-1-(5-6)= ________________________________
k) [(-3)·(+4)-4]:(-3+5)= _________________________________
l)
 3   4  4 
35
__________________________________________
m) [(-7)·(-1)-4-3]:[-5-6-1]= _____________________________
n)
 7   1  4  3 
 5 6 1
________________________________________
o) [-4+4·(-3)]:[(-3+2)·(-2)]= ____________________________
p)
 4  4   3
 ___________________________________________
 3  2   2
-8-
Ejercicios
61. Sacar factor común lo que puedas y calcula:
a) 3·(-5)+3·12= __________________________________________
b) (-8)·6+(-8)·3= ________________________________________
c) 3·9-3·8= ______________________________________________
d) –20·8+(-20)·5= ________________________________________
e) 2·5+3·5-6·5= __________________________________________
f) 3·7-3·2+4·3= __________________________________________
g) 5·2+5·7-5·1= __________________________________________
h) 5·2+5·7-5= ____________________________________________
i) –4·3-4·2-4= ___________________________________________
62. Calcula de dos formas distintas, como en el ejemplo:
3-(-2+5-1) = 3-(2) = 1
3-(-2+5-1) = 3+2-5+1 = 1
a) 7-(4-3)=
b) 5-(-2+4)=
c) –(-1-2-3)=
d) 3-(4-(5-1))=
e) 3-(4+(5-1))=
f) 3-(4-(5+1))=
g) 3-(4+(5+1))=
h) 3-(2-(3-(5-1)))=
i) 3-(-(-2))=
63. Escribe las siguientes fracciones:
a) Nueve veintidosavos = ________________________________
b) Tiene numerador 25 y denominador 17 = ________________
c) Representa un porcentaje del 15 % =
64. Halla
_________________
2
de las siguientes cantidades:
5
a) 100  _______________
b) 120  _______________
 _______________
d) –75  _______________
c) 35
-9-
Ejercicios
65. Halla
35
de 500.
100
66. Halla el 35 % de 500.
67. Calcula:
3
de 160 =
4
4
c)
de 30 =
6
2
e)
de 9 =
3
a)
b)
d)
f)
5
de 35 =
7
5
de 40 =
8
3
de 50 =
5
68. En una clase hay 21 alumnos en total. Si
2
3
son chicas,
¿cuántos chicos hay?
69. Un tercio de los 24 alumnos de una clase va al colegio en
autobús, un sexto va en coche y el resto caminando. ¿Cuántos
alumnos van caminando?
70. Victoria tiene 32 € y Jorge 69 €. Victoria gasta los
su dinero y Jorge un sexto. ¿Cuál de los dos gasta más?
- 10 -
3
de
5
71. Un almacén comienza el día con 600 Kg. de manzanas. Por la
5
mañana venden una cuarta parte y por la tarde
partes.
12
a) ¿Cuántos Kg. vendió por la mañana?
b) ¿Cuántos por la tarde?
c) ¿Cuántos Kg. quedan sin vender?
72. Unos padres dejan de herencia para sus tres hijos 840.000
3
1
€ y en el testamento consta que a Juan le dejan
, a Ana
y
8
3
a Margarita el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
73. Una ciudad tiene 30.000 habitantes. Los 2/3 tienen menos
de 50 años y los 5/8 de éstos tienen menos de 20 años.
a) ¿Cuántos tienen menos de 20 años?
b) ¿Cuántos entre 20 y 50?
c) ¿Cuántos más de 50 años?
74. ¿Podemos interpretar los números enteros como fracciones?
2
, que se pide:
3
a) Tiene numerador 6  ____________________________
b) Tiene denominador 18 __________________________
c) Tiene numerador –10  __________________________
75. Escribe la fracción equivalente a
76. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:
2
1 3  4
4
9 6 30  21
, , ,
,
, , ,
,
3
2 2  6  8 6 9 45  14
- 11 -
Ejercicios
77. Simplifica al máximo las fracciones:
4
= ________________
6
 12
c)
= ______________
18
100
e)
= ______________
20
4
g)
= ________________
2
a)
24
= _______________
36
75
d)
= ________________
100
0
f)
= ________________
8
22
h)
= ________________
33
b) -
78. Completa el término que falta para que sean equivalentes
los pares de fracciones siguientes:
a)
3

4
8
b)
10

3
2
c)
5
30

6
d)
8
120

9
79. Di si las siguientes simplificaciones son válidas:
2·3
3

2·5
5
2  3
d)

2
2
g)

2  3
2·3  2·5
j)
2
a)
2  3
3

2  5
5
2
0
e)

 0
2·3
3
2
1
h)

2  3
3
2·3  2
k)
 3
2
b)
3
0
3
 3  5
2  3
 3
3


2  5
 5
5
2
1
f)

2·3
3
2·3·5
5
i)

6·4
4
2·3  2
l)
 3  1
2
c)
80. Escribe los siguientes grupos de fracciones con el mismo
denominador, siendo éste el menor posible:
a)
3 4 3 2
, , ,
4 8 6 3
b)
3 4 7 0 13
 _________________________________
, , , ,
6 3 1 2 9
c)
3 1 2 5
,
, ,
4 12 3 6
d)
1 1 1
, ,
2 3 5
 _________________________________
 _________________________________
 _________________________________
- 12 -
Ejercicios
81. Opera y simplifica al máximo:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
o)
q)
s)
u)
2
3


7
7
7
3


15
15
2
5


10
10
4
3


6
4
1
5
3


3
6
4
2
3 

5
12
9 

8
7
6 

5
5
7



6
6
 2
 5

3
2
2
5



3
2
5
3


9
9
4
5
6



17
17
17
4
5
6



20
20
20
2
1


5
3
5
2
3



6
3
5
4
7 

9
4
5 

6
3
5
 2 

8
6
5
3
 5 
 1 
12
8
2
5


 3
 2
2
5

 ( ) 
3
2
b)
d)
1

10
f)
h)

j)
l)
n)
p)
r)

t)
v)
82. Opera y simplifica:
1
1
 ( ) 
2
3
2
3
c)
 ( ) 
5
4
1
1
 ( ) 
2
3
1
1
d) 3  ( ) 

2
3
a) 
b) 
83. De un pastel, Juan se comió
2
1
partes y María
. ¿Qué
3
6
parte del pastel sobró?
- 13 -
Ejercicios
84. Opera y simplifica:
32
a) · 
65
34
d) · 
57
21
g) · 
34
3
j) 7· 
2
6
1
m) :

4
2
2
p) : 4 
5
1
s) : 3 
3
42
b) · 
53
23
e) · 
34
2
h) ·6 
3
5 3
k) :
2 4
3 5
n) :
6 2
2
q) 4 :
5
7 1
t) :
6 2
53
c) · 
65
53
f) · 
95
3
i) 5·

10
3
3

l) :
8
4
3 5
o) :

4
2
1
r) 3 :

3
0
u) 3 :

3




85. Opera y simplifica:
1 26
·· 
475
47
d) · : 2 
54
a)
1 4
c) 3· :

6 7
5
6 
f) · 
 
3  10 
12
· ·3 
47
2  3
e) 
:   
3  5
b)
86. Opera y simplifica:
 2
a)  
 3
3
3
 3
b)    
 2

2
4
 3
c)    
 2
49
e)

16
 4
g)

9
 2
d)   
5
81
f)

9
5
h) 1 

4
2 2

i)  2   
3

 2
j) 2   
 3
2
87. Opera y simplifica:
3
5
a)
 2· 
8
6
5
4 7
c)

:

3
3 6
3
3
e)
 2:
 3 
4
5
4 5
1
4
7
g)
:

   
3 4
6
3 6
2

2
5
·  2   
7
6
47
1 2
d) 3  · 
:

58
6 9
1  2
7
f)
: 
  
3  5
6
b)
- 14 -
Ejercicios
88. De un bote de pintura hemos gastado los 3/7 en pintar una
habitación y 2/5 de lo que quedaba en el comedor. ¿Qué
fracción de pintura queda en el bote?
89. Opera y simplifica:
a) 1  3·7  1
2
52
4
l)
7
1
4
   
3
6
3
b) 3· 2 5  1·2
5 12 2 3 4
m)
3:
c) 3·5·1  1 : 3
5 26
3 4
n)
13
1
· 
24
4
d) 3·5 : 1
62 6
o)
2
1
1
1



3
4
3
5
e) 1  1·4  1 : 3
2
35
6 5
p)
5
5
8·  3·
9
9
f) 3·1·1 : 1  1
543
2
4
q)
1 4
1
1
  ·  
3  5
6
2
g)
1 3
1
·  
2 4
8
r)
7 3
1 2
:  · 
9 5
4 3
h)
1 1
1
:  
2 4
3
s)
 1
1  7
1  11
  ·    :
4  2
3 12
 3
i) 1·1  1·1
24
39
t)
3
11    2 
1
  

·

4
5  3 
2
5
7
j)   1·  2
3
 2

u)
 1  2 1

 2  3  4   7 : 2




3
1
5
1
k)    :   
2  3
6
4
- 15 -
5
11
 ·
4
24
Ejercicios
90. Opera y simplifica:
1 7


a) 1+  2  3  4  ·  13 
5 6



b) 3+ 5·7  4  2  3  5·2  4  6·3  2 
c)
1
2
2 1
2  1 
2 3  1
:    ·     
5 3
5  3 
7 2  3
1
2 



d)  3   5  1    4  3   5  3    1  
2
3 



91. Opera y simplifica:
3
1 2

 ·  1
5
3 5

a)
=
2
2


4     3  
3
3


1
2
1


5  
3 =
2 : 6
b) 
3
4
1
1
  



4
2
2 5
- 16 -
1 
1

 3   2    2
5 
3
c) 
=
1
3

2 3   
4
4

12
1 3
· 
:
3
5
3
2
d)
=
1
1

3  2  2  2
3

4
2
1
3
1
1
3
1
2
e)    :        : 
 =
4
3
2
5
3
4
5
 10
4 1
2
23

:
 ·
5 3
3 52
f)
=
6
1

1  1 : 1 
: 
2
3

2
2
 
3
5
g) 

h) 


2

5

3
2 
1  1
2
1
   1
 
4  6
3
2
=
1
2

 3  
4
5
 2
3
1 
=
2
1 
5
2
- 17 -
Ejercicios
92. Saca factor común, opera y simplifica:
a)
13
17
12
·  ·  · =
25
25
25
b)
23
23
2
=
·  · 
34
35
3
1
3
c) 2·  2·  2 =
5
5
d)
43
43
43
·  ·  · =
74
75
76
93. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7,84+53,9+697,4+38,25
b) 364,2+69,963+85+72,4
c) 6845,362-437,246
d) 593,74-46,5743
e) 43,25-68,34
f) 531,282-689,1111
94. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 0,6·0,5
b) 0,63·1,2
c) 12,4·3,5
d) 6,52·3,4
e) (-6,53)·4,01
f) (-3,18)·(-2,17)
95. Realiza las siguientes divisiones dando el cociente con
dos decimales exactos:
a) 75,3:21
b) 32,18:(-12)
c) 753:2,25
d) (-3):2,22
d) 0,6:0,5
e) 75,3:2,25
- 18 -
96. El médico receta a Cristina un jarabe que contiene 95 cl.
¿Cuántas tomas necesitará para acabarlo si emplea una
cucharita de 5 cl.?
97 Un agricultor vende a una fábrica 1.400 Kg. de algodón.
¿Cuántas camisetas se podrán hacer si se gasta 0,35 Kg. en una
docena?
98. Juana recorre en bicicleta 28,56 Km. Andrés recorre el
triple que Juana y Luis el doble que Andrés. ¿Cuántos Km.
recorren entre los tres?
99. Opera:
a)
b)
c)
d)
e)
0,3+0,2·0,4=
(0,3+0,2)·0,4=
0,3·0,5+0,4:0,2=
(0,3·0,5-1)·2=
(-0,2)3=
100. Calcula mentalmente:
a)
d)
g)
j)
m)
p)
s)
v)
5·0,01=
47·0,1=
0,001·0,01=
975·0,1=
58·0,01=
2,13:10=
17,02·1000=
(0,1)7=
b)
e)
h)
k)
n)
q)
t)
w)
62·0,01=
53,8·0,1=
2,01·0,01=
975:0,01=
58:0,01=
2,13·0,1=
5,26:0,001=
0,01 
- 19 -
c)
f)
i)
l)
o)
r)
u)
x)
-869·0,01=
-47,12·0,001=
975:10=
58:100=
2,13·10=
2,13:0,1=
(0,1)3=
0,000001 
Ejercicios
101. Halla las cantidades que faltan:
a) 35,32·
=3532
c) 7,007·
=0,7007
e) 7536·
=7,536
g)
:1000=0,42
b)
d)
f)
h)
:100=45,68
:0,01=3,76
46,7·
=467000
:0,01=0,42
102. Completa los huecos:
a) 24=
b) 2
d) 10
=10000000
103. Opera:
e)
=8
=0,1
3
c)
f)
=-8
=10
[(0,01:0,01-0,01)·0,01]:100 = ___________________
Soluciones
TEMA 1:
1.
11
8.
-50
15.
-5
22.
-40
29.
-54
36.
0
43.
No existe
50.
5
55.
a)16
g)9
2.
3.
-21
9.
4.
5
10.
50
16.
128
17.
5
23.
16
24.
-40
30.
54
31.
-54
-24
37.
38.
No existe
-7
44.
45.
-6
-12
51.
-6
b)-8
h)No existe
5.
6.
-5
11.
-128
18.
-5
25.
-40
32.
28
39.
8
46.
3
52.
5
c)-2
i)1
21
12.
26
13.
-16
14.
16
19.
89
20.
-89
21.
40
26.
40
27.
-40
28.
54
33.
54
34.
2
35.
0
40.
0
41.
1
42.
-1
47.
1
48.
-3
53.
d)-27
j)No existe
- 20 -
7.
-26
49.
-5
0
54.
-5
2
e)-1
k)0
f)1
l)10000
Soluciones
56.
a)2
b)-3
c)3
d)7
e)-6
f)0
g)-4
h)5
i)-2
j)-2
k)-3
l)3
57.
a)10
i)-3
58.
a)-40
59.
b)9
j)0
b)-180
c)-33
k)-2
c)24
a) 53
60.
a)24
i)4
61.
b)13
j)-18
d)300
d)11
l)17
e)64
f)-3
n)8
g)1
c) 8
d)4
l)-8
a)3·(-5+12)=21
d)–20·(8+5)=-260
g)5·(2+7-1)=40
62.
a)6
f)-14
b) 139
c)-9
k)-8
e)7
m)5
h)-21
g)-6
o)-36
i)0
d) –3
e)–1
m)0
h)11
p)-27
j)25
k)–2
l)17
e) 26
f)25
n)0
g)–71
o)-8
b)–8·(6+3)=-72
e)5·(2+3-6)=-5
h)5·(2+7-1)=40
h)72
p)-8
c)3·(9-8)=3
f)3·(7-2+4)=27
i)–4·(3+2+1)=-24
63.
b)3
c)6
d)3
e)-5
f)5
g)-7
h)0
I)1
a)
9
22
b)
25
17
c)
15
100
64.
65.
66.
67.
a)40 b)48 c)14 d)-30 175
175
a)120 b)25 c)20 d)25 e)6 f)30
68. 69. 70.
71.
7
12 Victoria.
Mañana 150, tarde 250, quedan 200.
72.
Juan 315000, Ana 280000, Margarita 245000.
73.
Menos de 20 = 12500. Entre 20 y 50 = 7500. Más de 50 = 10000.
74.
Sí; 7=7/1
; -3=-3/1
75.
76.
2
4
6
30
10
9
21
12
1
4 3
6





a)
b)
c)
;
; 
18
2
8 2
9
 15
6
 14
3
6
9
45
77.
78.
2
2
3
2
2
a)
b) 
c)
d)
e)5 f)0 g)2 h)
a)6
b)15
c)36
d)135
3
3
4
3
3
79.
a)sí b)no c)no d)no e)no f)sí g)no h)sí i)sí j)sí k)no l)sí
80.
9 24 126 0 26
15 10 6
18 12 12 16
9
1
8 10
,
,
,
,
,
,
a)
b)
c)
d)
,
,
,
,
,
,
30 30 30
12 12 12 12
24 24 24 24
18 18 18 18 18
81.
4
1
5
4
3
2
15
17
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
15
15
7
9
5
17
20
12
67
15
21
19
23
17
17
23
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
9
12
10
5
3
5
24
2
115
19
11
19
19
q)-2 r)
s) 
t) 
u)
v)
6
6
24
6
6
82.
83.
23
5
1
23
1
a) 
b) 
c)
d)
6
20
6
6
6
84.
8
10
21
1
1
12
1
1
1
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)4 I)
j)
k)
5
2
2
6
2
35
3
2
15
3
3
1
1
1
1
7
l)
m)3 n)
o)
p)
q)10 r)9 s)
t)
u) no existe
2
5
3
10
10
9
- 21 -
Soluciones
85.
a)
3
35
b)
3
14
c)
7
8
e)
7
4
d)
7
10
e)
10
9
f)-1
86.
a)
8
27
b) 
27
8
c)
9
4
d)
16
625
f)3
g)no existe
5
12
f)
87.
a) 
31
24
b) 
1
3
c)
59
21
d)
61
20
e)
10
23
g)
163
63
h)
64
3
i)
2
9
88.
j)
40
9
12
35
89.
a)47/20
b)1/12
c)-7/36
d)15/2
e)23/45
f)7/20
g)7/16
h)6/7
i)19/216
j)1
k)15/22
l)7/2
m)91/40
n)1/8
o)11/20
p)25/9
q)29/36
r)70/69
s)41/22
t)-19/30
u)-179/48
90.
a)1252/15 b)265/2 c)14/11 d)-16
91.
16
40
4
8
45
20
49
a)
b)
c)
d)e)f)1 g)
h)17
33
5
5
7
57
1575
92.
1 3
7
2
4
2 3
3
7

  
 1 
a)  
b)  
3 4
5
30
2 5
5
5
5

3
2
4 3
3
3
17
1

 1  
  
c)2  
d)  
7
4
5
6
35
5
5
5




93.
a)797,39
b)591,563
c)6408,116
d)547,1657
e)-25,09
f)-157,8291
94.
a)0,3
b)0,756
c)43,4
d)22,168
e)-26,1853
f)6,9006
95.
a) 3,58
b)-2,68
c)334,66
d)-1,35
e)1,2
f)33,46
96.
97.
98.
19
48000
285,6 Km.
99.
a)0,38
b)0,2
c)2,15
d)-1,7
e)-0,008
100.
a)0,05
b)0,62
c)-8,69
d)4,7
e)5,38
f)-0,04712
g)0,00001
h)0,0201
i)97,5
j)97,5
k)97500
l)0,58
m)0,58
n)5800
o)21,3
p)0,213
q)0,213
r)21,3
s)17020
t)5260
u)0,001
v)0,0000001
w)0,1
x)0,001
101.
a)100
b)4568
c)0,1
d)0,0376
e)0,001
f)10000
g)420
h)0,0042
102.
103.
a)16
b)3
c)-2
d)7
e)0,01
f)100
0,000099
- 22 -
TEMA 2: RADICALES
Recuerda
 Ya conoces las potencias y sus propiedades básicas:
 Definición:
n  veces


a  a.......a
n
n=1,2,3, ...
a0 = 1, a-n = 1/an
 Propiedades:
an·am = an+m
(an)m =an·m
an:bn = (a:b)n
an:am = an-m
an·bn = (a·b)n
 En particular:
2
3 = 3·3 = 9
2
 2  2  4
      
3
 3  3  9
(-4)2 = (-4)·(-4) = 16
a2 = a·a
2
 Se define la raíz cuadrada de un número como la operación inversa a elevar al
cuadrado:
9 = 3  32 = 9
a = b  b2 = a
Por supuesto que 32=9 y que (-3)2=9, con lo que podríamos decir que
o -3. Para evitar problemas convendremos que
en contra de que la ecuación
3.
9 es 3
9 =3 y - 9 =-3. Esto no está
9 = x tenga dos soluciones posibles x = 3 y x = -
 A partir de la definición es evidente que la raíz cuadrada de un número
negativo no existe. Pero no debemos confundir la no existencia con la no
exactitud:


 4 no existe pues ningún cuadrado da negativo.
2 no es exacto, pero existe (es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1)
1

90º
1
2 por Pitágoras
- 23 -
Ejercicios
1. Calcula:
a) 9
f)
25
36
9
4
b) 25
c)  7
d) 0,36
e)
g) 25a2
h) 16a2b4
i) 9a6b 2m4
j)
0,00000001
2. Di entre qué par de números consecutivos se encuentra:
a) 3
b) 18
e)
d) 6,32
c) 50
25
9
Observa
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CUADRADAS
1.
a ·b  a · b pues:
2.
a
a

por lo anterior:
b
b
a = x  x2 = a
b = y  y2 = b
a ·b = z  z2 = a·b
x2y2 = z2
(xy)2 = z2  xy = z
a ·b
=
b
a ·b  a · b 
ab
b
a =
x
x

b
b
3.
an   a 
n
n = 0,  1,  2,  3,…
 si n = 0 
a0 = 1 =
 si n es positivo:
 a
0
por definición.
a n  a ·.......·a   a 
n
Por 1
n veces
 si n es negativo: n=-7 por ejemplo
a 7 
1
a
7

1
a
7
Por 2
4.
a =a evidentemente
2
Conviene que recuerdes que con sumas y restas:
a  b  a  b  9  16  25  5  9  16  3  4  7
- 24 -

1
 a
7

 a
Por lo anterior
7
Ejercicios
3. Calcula de la forma más cómoda posible y sin calculadora:
25
0,0001
a) 4·9·16·100
b)
d) 8· 2
e) 10· 1000
g) 128 / 2
h) 4000 / 40
800
200
j)
m)

7
16

163
f) 50· 200
2500
i)
3600
8000
2000
l) a4b8c2
 3
n)
 3
o) 28
q) 25 81 256
r) 3a2 
9
 2  2
5
p) 1 
s)
k)
c)
3
6 
5 
16
6a4 
25a8
2
Observa
INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL RADICAL.
Observa:
8  23  22 ·2  22 · 2  2 2
32  25  22 ·22 ·2  22 22 2  2·2· 2  22 2
a9  a2 a2 a2 a2 a  a2  a2  a2  a2  a  a a a a  a  a4  a
Dicho de otra forma: En una raíz cuadrada “por cada dos de dentro sale uno
fuera”.
El proceso realizado tiene dos nombres según lo miremos:
 Así: Extraer factores del radical.
 Así: Introducir factores dentro del radical.
Ejercicios
4. Extrae factores del radical, opera y simplifica:
e)
81
8
i) 27xy 3
j)
x 11
y8
8x 3
y2
o)
a) 12
b) 72
c) 48
d)
f) 8a3
g) 48b 17
h) x 4y 3
l) 2a3
m)
k)
x 10
y3
48x 3
125y 4
- 25 -
n)
27
4
1
x
2x
3y
81y 4
8x 3
5.Introduce
simplifica:
lo
que
a) 5 2
b) 3 8
f)x
g) x
k)
x2
y
y
x
l)
puedas
dentro
c) 2 5
1
x
3x
2y
3 2
2 3
x  y
m)
2
radical,
8
i)
2
a
n)
xy
6
opera
y
e)3
d) 7 a
h)
2y
3x
del
ax
2
2
3
1
8
2
x 2y 3
o)
ab 2
j)
ab
xy
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS: LA SUMA Y LA RESTA.
Extrayendo factores del radical se pueden agrupar las raíces iguales. Por
ejemplo:
27  5 3  2 12 =
33  5 3  2 22 ·3 = 3 3  5 3  2·2 3 = =
3 3 5 3 4 3 = 4 3
Ejercicios
6. Opera y agrupa lo que puedas:
a) 6 3  4 3  5 3
b) 3 2  5 2  8 2
c) 6 3  4 3 
d) 2  3 3  2 2  3
4
1
19
f) 6 3 
3 
3 
3
3
2
6
h) 2a 3  27a2  a 12
3
2
3
j) 4 12 
48 
27 
75
2
3
5
3
1
l)
20 
45  125
4
3
3
e) 23 5  2 7  32 5  3
g) 3 2  3 8  3 18
i) 2a 2 
8  3 2
k) 7 54  3 18 
24 
3
50 
5
6
7. Opera y agrupa lo que puedas:
2
3
6
48
8
32
8 
32 
128  5 50 b)


 27  3 72
5
4
4
2
3
6
d)
3
2
3
3
c) 4 12 
48 
27 
75
7 54  3 182  242 
50  6
2
3
5
5
a)
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS. EL PRODUCTO.
Igual que siempre:
5·(3+4)=5·3+5·4=35
(5+2)(3+4)=5·3+5·4+2·3+2·4=49



2 2  3 = 2 2  2 3 =2  6

2 3

2  3 = 2 2  2 3  3 2  3 3 =2  6  3 2  3 3
- 26 -
Ejercicios
8. Opera y agrupa lo que puedas:
 3  2  6  1
d) 2 2  3 3 2 3  4 2 
g) 3 3  42  5 3 
j)  2  3 

b) 3 2  3
a)

h) 
k) 
e)
2

5  2 3
2  3
5 2 3

52
2
2


3
f)  5  3 
i) 3 2  43
l) 1  2 


c) 3 2  1  2 3  1
2
24

2
Observa
OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS. EL COCIENTE.
No se divide nunca entre una raíz cuadrada. Lo que se hace es transformar la
división en una multiplicación mediante un artificio conocido como
“racionalización de denominadores” que consiste en hacer desaparecer las raíces
cuadradas del denominador. Dicho de otra forma: cambiamos nuestra división por
otra cosa, multiplicando dividendo y divisor por lo mismo para no cambiar nada.
Veamos algún ejemplo:
3
3 7 3 7

·

7
7
7 7
3
7 5
3
3

·
7 5
=
3 7 3 5 3 7 3 5

7 5
2
7 5 7 5
3
5 3
15  3
15  3

·
=

5 3
2
5 3
5 3 5 3
3
3
7  5 21  3 5 21  3 5

·
=

49  5
44
7 5 7 5 7 5
5
3 2

5
·
3 2
3 2 3 2
=
15  2 5
15  2 5

 2 5  15
34
1
En los últimos cuatro ejemplos se ha multiplicado y dividido por el conjugado del
denominador. El conjugado de (a+b) es (a-b) y el de (a-b) es (a+b).
Ejercicios
9. Racionaliza, opera y simplifica:
a)
1
5
f)
5
2
k)
1
2 
p)
a  b
a  b
5
5
2
g)
3
2 6
2
5
h)
3 3
b)
3
c)
l)
1 
1 
q)
5  2
3 2 5
2
2
m)
r)
2
2 1
3 5  2 3
2 3  3 5
- 27 -
27
8
3
i)
2 x
2
n)
3 2
x
s)
2 x
d)
e)
j)
o)
t)
2
3
1
2 
1
3
3 2 5
1 
1 
3
3
Observa
RAICES DE OTROS ÍNDICES
Igual que se definió la raíz cuadrada como:
72=49  49 =7
x =y  y2=x
Podemos definir:
23=8 
8 =2 (Raíz cúbica de 8 es 2)
3 =81  4 81 =3 (Raíz cuarta de 81 es 3)
210=1024  10 1024 =2 (Raíz décima de 1024 es 2)
3
4
En general:
an=b 
n
b =a
n=1,2,3,4,…
Si no se pone índice, se entiende raíz cuadrada (índice 2). Se llama índice a n.
Ejercicios
10. ¿Cuándo existe la raíz de un número negativo?
11. Calcula:
a) 4 16
g) 3
27
8
b) 3 8
c) 3  8
d) 4  16
e) 5 32
f) 5  32
h) 3 0,064
i) 10 1
j) 3 a6
k) 4 b 8
l) 4
81
16
Observa
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1.
n
a ·n b  n a ·b pues:
n
n
n
2.
n
a =x  xn=a
b =y  yn=b
a ·b =z  zn=ab
a / n b  n a / b por lo anterior:
n
a ·n b  n a ·b 
n a ·b
a ·b
na n
nb
b
nx
x
n
nb
b
- 28 -
xnyn=zn  (xy)n =zn xy=z
Observa
3.
n
a m  n a 
m
n=0,  1,  2,  3,…
 Si m=0 
n
a 0  n 1 1 n a  por definición.
0
 Si m es positivo:
n
a m  a ·.....·a  n a n a ·.....·n a  n a 
m
m veces
m veces
 Si m es negativo: m=-7 por ejemplo
n
a 7  n
1
a
7

1
n
a
n
7

1
 a
 a
7
n

7
n
por lo anterior
por 2
a n =a evidentemente.
4.
n
5.
n m
a  nm a porque:
n m
m
nm
a =x  xn= m a
a =y  ym=a
a =zznm=a(zn)m=a
ym=(zn)m
y=zn
zn=y=xn
6.
n
a  nm a m porque:
z=x
n
a =x  xn=a  am=(xn)m=xnm
nm
a
m
m
xnm=ynm
nm
=y  a =y
x=y
Ejercicios
12. Calcula de la forma más cómoda posible:
d) 3
c)
b) 5 243·32·0,00001
a) 3 8·27·64
8
0,064
e) 5
13. La sexta propiedad
como en el ejemplo:
6
8 
6
243
32
nos
23 
f) 3 0,0012
permite
6:3
25
0,0001
23:3 
2
“simplificar
21 
radicales”
2
Hazlo con:
a) 4 4
b) 4 9
c) 6 27
d) 10 75
e) 10 72
f) a2
g) 12 a2
h) 12 a4b 8
i) 12 a
j) 12 a6 b 4
k) 24 a12b 8
l) 24 a8b6
- 29 -
Observa
EXTRACCIÓN E INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN EL RADICAL
 A partir de las propiedades tenemos por ejemplo:
3
a 4  3 a 3 ·a  3 a 3 3 a  a 3 a
3
a 5  3 a 3a 2  3 a 3 3 a 2  a 3 a 2
4
a 7  4 a 4a 3  4 a 4 4 a 3  a 4 a 3
5
a 12  5 a 5a 5a 2  5 a 5 5 a 5 5 a 2 =a·a· 5 a 2  a 2 5 a 2
A este proceso se le llama extraer factores del radical.
 Al proceso inverso se le llama introducir factores dentro del radical.
Ejercicios
14. Extrae factores del radical:
a) 3 16
b) 3 54
c) 5 64
d) 8 1024
e) 3
81
32
f) 3
16a4
b3
15. Introduce los coeficientes dentro del radical:
1 27
e) 4
a) 25 2
b) 23 5
c) 4 2
d) a2 4 b
3 2
g) 7 a18
f)
3
2
3
16
81
16. Escribe con un solo radical y simplifica:
16
a)
b)
f) 3 32
8
d) 3
c) 2 2
g) a a
h) 3 3
1
9
x
i) a3
e) 2 3 4
1
a
j) a2 a2
Observa
OPERACIONES CON RADICALES: LA SUMA Y LA RESTA
Funcionan exactamente igual que con raíces cuadradas:
3
2  36 4  3 2  36 22  3 2  33 2  43 2
Habrás visto que siempre, antes de hacer algo, conviene simplificar los radicales.
Ejercicios
17. Opera y simplifica:
a) 3 54 
3
16 
c) 3 54 
3
16 
b) 6 16  33 4 
3
250 
d) 4 162 
- 30 -
4
32 
4
1250
Observa
OPERACIONES CON RADICALES: EL PRODUCTO
Igual que se hacía con raíces cuadradas. Sólo hay que tener en cuenta que el
índice de las raíces debe coincidir:
2·3 4  6 23 6 4 2  6 23 4 2  6 27  26 2
Ejercicios
18. Escribe los siguientes grupos de radicales con el mismo
índice y procura que éste sea el menor posible:
a) 3, 3 2
b) 3 4, 5 2
d) 2, 3 5, 5 x
c) 3 7, 6 x
19. Efectúa las operaciones que se indican, extrae los
factores que puedas del radical y simplifica:
a) 4 2·3 2
b) 5·3 6
c) a·3 a
d) 2·3 2·4 2
e) 3·5 5
f) 35 56 2
g) 33 32 6 35
h) a3 a2
i) 5 a2 6 a4 3 a
j) 8 :
k) 3 3 : 3 81
l) 2 :
p)
10a 5
3 6a
3
m)
2
q) 3 6a5 :
3
2a2

23 2
·
3 3

n) 3 a·6 a :
r) 23 9 27
s)
5
a3
2
o) 3 16·3 2
 2
4
Observa
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
De la misma forma que se hacía con las raíces cuadradas, se pueden quitar otras
raíces del denominador. La técnica es más complicada, pero en algunos casos
podemos hacerlo de forma parecida a la vista en raíces cuadradas:
1
7
x4

1
7
x4
·
7
x3
7
x3

7
x3
7
x7

7
x3
x
Ejercicios
20. Racionaliza los denominadores de:
1
a) 3
2
3
b) 3
3
c) 3
3
2
d)
1
5 2
21. Pide al profesor que racionalice:
- 31 -
e)
3
3
1
3 
3
2
2
7
23
f) 3
2
4
Soluciones
TEMA 2:
1.
a)3 b)5 c)No existe d)0,6 e)3/2 f)5/6 g)5a h)4ab2 i)3a3bm2 j)0,0001
2.
3.
a)1 y 2 b)4 y 5
a)240 b)500 c)64 d)4 e)100 f)100 g)8 h)10 i)5/6
c)7 y 8 d)2 y 3 e)1 y 2
j)2 k)2 l)a2b4c m)64 n)27 o)16 p)2 q)30 r)2a s)4
4.
5.
3
9 1
a) 2 3 b) 6 2 c) 4 3 d)
3 e)
2 2
2
a) 50 b) 72 c) 20 d) 49a e) 9 f) x 2
f) 2a 2a g) 4b8 3b h) x2y y i) 3y 3xy
3
2x
x3
3x
g) x h)
i)
j) 2 k)
l)
5
5
x
1
2
y
a
2y
x
j)
l) a 2a m)
x k)
y
y
y4
2 2
x 3y 5
2 n) x y
m)
o)


2
x

y
2
1
4x
3x
54
n)
2x o) 3y
ab 3
2
y
5
2
x
5y
6.
7.
84 2
b) 5 3  18 2 c)
5
23 3
d) 20 6  2  30
2
a) 7 3 b)0 c) 3 d) 3 2  4 3 e) 55 5  2 7  3 f) 2 3
g) 6 2 h) 3a i) 2a  1 2 j) 7 3 k) 22 6  12 2 l)
8.
11 5
2
9.
a) 2 2 
3
c) 2 6 
b) 3 
3 
5
3 6
6
2 3
5 3
10
b) 5 c) 2 3 d)
e)
f)
g)
h)
4
3
3
9
5
2
3 2 x
i)
j) 3  2 k)  2  3 l) 2 2  3 m) 2 2  2
2 x
2 3 3
 3  2 5
5 4
a2  b2
n)
o)
p)
q)
r)
7
11
11
a  b
6
a)
2 d)
 2  8 6 e)-7 f)
8  2 15 g) 37  14 3 h)
17  4 15 i)2 j)
5  2 6 k) 5  2 6 l)
19  4 15
x  2 x
s)
11
4 x
3  2 2
10.
Cuando el índice
es impar.
13.
a) 2 b) 3 c) 3
h) 3 ab 2
e) 5 7
d) 7
j) 6 a3b 2
i) 12 a
t) 3  2
11.
a)2 b)2 c)-2 d)No existe e)2 f)-2
g)3/2 h)0,4 i)1 j)a2 k)b2 l)3/2
14.
15.
6
k)
a3b 2
a) 23 2
g) 6 a
f)a
3
2
l) 12 a4b6
3
a) 64 b) 40 c) 32 d)
4
3
3
4
f)
1
2
f) 3
a b e) 4
6
3
2a 3
2a
b
17.
g) 4 a3
d) 24 2
g) a27 a4
a) 3 2
c)0
h)1 i) 3 a j) a3
e)
b) 43 4
d)0
19.
a) 6 27, 6 4 b) 15 45 , 15 23
a) 12 27 b) 6 532232 c) 6 a5 d) 212 2 e) 10 3552 f) 30 3105625
c) 6 49, 6 x d)
30 15
2 , 30 510,
30
h) a6 a i) a5 a2
x6
20.
3
c) 25 2
a)2 b) 4 8 c) 4 8 d) 6 x e) 4 24 f) 6 32
8
18.
12.
a)24 b)0,6 c)500
d)5 e)3/2 f)0,01
b) 33 2
16.
5
o)2 3 4
j)2 k)
g)9
1
32
1
l) 6 2 m) 6
n) 10
243
3
a
r) 186 3 s)4
q) a3 3
p)5/3
21.
3
4
12
b) 3 9 c)
d)
2
2
3
4 /10 e) 14 2 f) 3 2
a)
a)
3 2
3 
·
3
3
3  2 3 32 
1
3
3
3·2 
3
22
3·2 
3
2
- 32 -
2

3
9  36 
3 2
3
4

3
9 
3
6 
3
4
TEMA 3: MÁS NÚMEROS
Recuerda
 Hasta ahora hemos trabajado con distintos tipos de números: naturales,
enteros, fracciones y decimales.
Sabemos operarlos, o, al menos, deberíamos saber.
También sabemos representarlos y ordenarlos.
 El conjunto de los números enteros se representa por Z y está formado por
los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .................................... y por los negativos
-1, -2, -3, -4, -5, -6 ....................................
Tenemos así:
Enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6 ......... (debo)
El 0 (ni positivo ni negativo) (ni tengo ni debo)
Enteros positivos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ........ (tengo) (También +1, +2, +3, ........)
 Los números enteros se representan sobre una recta:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
Igual que con los naturales, cuanto más a la derecha está un número, mayor es
(siempre se tiene más si se deben 2 que si se deben 5):
..........-3<-2<-1<0<1<2<3..........
 Observa cómo representar fracciones sobre la recta:
3
 Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 3:
4
0
-1
3/4 1
2

7
 Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 7:
4
0
-1

1
7/4

2
3
3
pero a la izquierda de cero:
 Igual que
4
4
-1
-3/4

0
1
- 33 -
2
Recuerda
 Orden: Cuanto más a la derecha está una fracción, mayor es. Para comparar
dos fracciones, según esto:
 si tienen el mismo denominador, es mayor la del numerador más
grande.
 si tienen el mismo numerador, es mayor la del denominador más
pequeño.
 si son distintos numerador y denominador, las pasaremos a igual
denominador para compararlas.
 Los números decimales se representan como las fracciones, teniendo en
cuenta:
327
2
7
3,27 =
3

100
10 100
 Dados los números a y b, pueden ocurrir tres cosas:
1ª) Si a-b > 0, se dice que a es mayor que b: a > b.
2ª) Si a-b = 0, se dice que a es igual que b: a = b.
3ª) Si a-b < 0, se dice que a es menor que b: a < b.
Ejercicios
1. Escribe dentro del rectángulo el número correspondiente:
-6 -5
2. Representa sobre la recta, las fracciones:
a)
1
4
b) 
2
4
c)
0
4
d) 
8
4
e)
3
4
f)
7
4
g) 
3
4
3. Escribe la fracción correspondiente:
a)
-1
0
1
b)
1
-1
0
1
d)
e)
-1
0
1
2
3
- 34 -
c)
-1
1
-3
-2
-1
0
1
1
0
1
Ejercicios
4. Escribe en el espacio, el símbolo de orden correspondiente:
a) –5
-6
b) –7
3
c) 0
-1
d) 3
4
5. Ordena, usando la simbología apropiada:
a)3,-1,0,-4,5,+6
b)-5,2,-7,+1,+3,-1,1
c)0,1,+2,-1,-2,3,-3
d)-5,5,-6,+6,0,8,-8
6. Completa la frase con la palabra que falta:
a) Todos los números positivos son ___________ que cero.
b) Todos los números negativos son ___________ que cero.
c) Cualquier número positivo es ___________ que cualquier
número negativo.
7. Escribe los números enteros que se piden:
a) Comprendidos entre -3 y 7  __________________________
b) Los seis siguientes a –3
 __________________________
d) Los seis anteriores a –3
 __________________________
c) Los mayores que -2 y menores que 2  _________________
8. Ordena de menor a mayor:
a) 6,4 ; 6,004 ; 6,0004 ; 6,04 ; 5,4 ; 5,98 ; 6 ; 6,024.
b)
1
 2
;
;
2
3
4
12
;
;
6
30
3
; 0,6; 0,66; 0,06; 0,665, ; 0,656; 0,666;
5
 13
2
;
;0,01; 0,001;0,11.
30
3
9. En el número 706,050 ¿qué cero suprimirías para…?
a) Que aumente __________________________________
b) Que disminuya ________________________________
c) Que no cambie ________________________________
- 35 -
Ejercicios
10.Escribe en el espacio, el símbolo de orden correspondiente:
a)
7
9
e) 
8
9
7
9
b)

7
13
8
7
f) 13
9
7
15
7
15
-
c)
3
4
g) -
4
5
3
4
-
d)
4
5
7
9
h) -
7
9
9
10
-
9
10
11. Ordena, usando los símbolos apropiados:

3 2 1
1
1 4
4 6 4
7
, , , , ,
,0,1,2, 1 ,2,  , , ,
5 7 2
4
2 14
7 3 2
4
Recuerda
RELACIÓN FRACCIONES Y DECIMALES
De hecho, los números decimales y las fracciones son el mismo tipo de números.
Toda fracción se puede escribir en forma decimal y muchos números decimales
se pueden escribir como fracción.
 Toda fracción se puede expresar en forma decimal:
15 15  25 375


 3,75
4
4  25
100
111
 1,12121212 ....  1,12
99

111
 1,23333333 ....  1,23
90
ya que
ya que
ya que
- 36 -
15
30
20
0
4
111
120
210
12
99
111
210
300
30
90
3,75
1,12
Se repite
1,23
Se repite
Recuerda
Habrás observado que hay varios tipos de números decimales:
 Decimales exactos: Tienen un número finito de cifras decimales. Son fáciles
de escribir como fracción:
326
123
921
, 0,123 
, 92,1 
3,26 
100
1000
10
 Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten. Estas
cifras que se repiten se llaman periodo.
Tipos:
 Periódico puro: Las cifras que se repiten empiezan en la coma:
123,32323232....=123’32
periodo
 Periódico mixto: El periodo no empieza tras la coma:
123,31254646464...=123,312546
antiperiodo periodo
Ejercicios
12. Halla el número decimal correspondiente a las fracciones:
a)
9
2
b)
15
4
c)
21
8
d)
1
3
e)
2
11
f)
4
5
13. Halla
número:
la
fracción
irreducible
correspondiente
a) 2,45
b) 0,012
c) 36,5
d) 0,102
- 37 -
a
cada
Recuerda
Los números periódicos también pueden escribirse como una fracción:
PUROS
MIXTOS
N = 42,358
1000·N = 42358,358....
N=
42,358....
999·N = 42316
42316
N=
999
N = 4,2358
10000·N = 42358,358....
- 10 N =
42,358....
9990·N = 42316
42316
N=
9990
Parte entera y periodo-Parte entera
Parte entera, antiperiodo y periodo-P entera y antiperiodo
Tantos 9 como cifras periodo
Tantos 9 como cifras periodo y 0 como antiperiodo
Puedes comprobarlo con:



1
11
2092
3
,
,
0,3  ,
1,2 
21,13 
0,59  ,
3
9
99
5


11
369
26567
,
,
,
0,12 
3,689 
213,1234 
100
1110
90

0,9  1

4
1,3 
3
Hay números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas como pueda
ser el número: 0,1234567891011121314151617181920212223......... o el número
=3,141592........., pero éstos se salen de este tema.
 Observa:
49  4 45 1

  0,5  0,4 9=0,5
90
90 2
379  37 342 144
38
0,37 9 



 0,37 9=0,38
900
900 300 100
179  17 162
17, 9 

 18  17, 9=18
9
9
0,4 9 
Saca tus propias conclusiones.
- 38 -
Ejercicios
14. Busca la escritura decimal de los números:
a) 
c)
4
6
7
10
b)
2
125
d)
1
45
15. Halla la fracción generatriz de los números:
a) 48, 63
b) 0, 375401
c) 23,56 7
d) 4,0 0001
e) 3, 9
f) 3,4 9
g) 3,5
h) 4,73
i) 3,47 9
j) 3,48
16. Encuentra otra escritura decimal para los números:
a) 86,9
b) 8,759
c) 4,57
d) 5,7
e) 0,9
- 39 -
Observa
Quedan varias preguntas abiertas y sin contestar:
 Hemos visto que los números se van representando sobre una recta. ¿Está la
recta llena con las fracciones? O por el contrario ¿quedan huecos?
 Hemos visto que toda fracción tiene una representación decimal. ¿Ocurre que
todo número decimal tiene una representación en forma de fracción?
La respuesta a esto ya casi la tienes: has visto que todo número decimal
periódico tiene una fracción que lo representa, pero hay números decimales
no periódicos:
0,1234567891011121314…99100101…10001001…
 Tenemos los números clasificados en conjuntos que van conteniéndose unos a
otros:
Naturales
N  0,1,2, …
Con ellos contamos.
Con ellos sumamos y multiplicamos.
No restamos siempre con ellos: 7-9 = ¿?
Enteros
Z  0, ±1, ±2, ±3, …
Con ellos ya restamos.
No siempre dividimos con ellos: 7:2 = ¿?
Q  p/q , q 0
Son las fracciones (o sus representaciones
decimales) y las cantidades que representan
porque 1/2=2/4=3/6 = … representa un único
número racional.
Racionales
¿Hay otros números fuera de los vistos?
N
Q
Z
- 40 -
Observa
Veamos cómo contestar a lo planteado.
 Ya sabes que hay números decimales no periódicos:
0,1234567891011121314…99100101…10001001…
si vas poniendo cada vez la coma un lugar a la derecha, tienes infinitos de
ellos.
1
 Sabemos, por el teorema de Pitágoras, que la diagonal
del cuadrado de lado 1 mide 2 unidades. Veamos que
no se puede escribir como fracción:
12  12  2
1
Supongamos que 2 = p/q, donde p/q es una fracción irreducible (y si no, se
simplifica y ya lo es).
Entonces: q · 2 = p  2· q2 = p2.
Hay dos posibilidades:
a) p impar  p2 impar (piénsalo tú) 
b)
miembro izquierdo par
 Imposible
y derecho impar
p par
 p = 2x  p2 = 4x2
q impar (si no la fracción no sería irreducible)
Imposible
Par = Impar
2x2 = q2
4x2 = 2· q2
2  p/q.
Como ambas posibilidades son imposibles, el supuesto inicial es falso y
 La 2 se puede representar sobre la recta:
Luego había huecos en ella y faltaban números para completarla.
1
Compás
1
2
 Estos números no racionales se llaman irracionales, y unidos a los racionales
forman los llamados números reales R, que llenan toda la
R
recta donde representábamos las fracciones y que
N
Z Q
llamaremos recta real. Son números irracionales todas
las raíces cuadradas no exactas, el número  y otros
muchos que desconoces.
 Las operaciones y el orden de números reales funcionan igual que los
racionales. Su representación exacta es más difícil, pero se pueden situar de
forma aproximada sobre la recta real, aunque las raíces cuadradas pueden
situarse exactamente, por ejemplo
17
Tomando un rectángulo de base 4 y altura 1, la
diagonal mide 17 y la podemos trasladar sobre la
recta con ayuda de un compás.
1
90º
Compás
1
2
3
4
1
- 41 -
17
Ejercicios
17. Escribe un número real comprendido entre:
a)1/3 y 2/5
b)1,4142 y 1,4143
c) 2 y
3
18. Di cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen
los números:
a)-3 

e) 6,4 
b)5/2 
d)0 
c) 3 
g)8/4 
f)5,34 
h)-1/5 
19. Ordena de menor a mayor los números:

1/3;  2,9 ; 2 ; - 3 ; ; 2/6; -3.
20. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Todo número real es racional

____________________
b) Todo número natural es entero

____________________
c) Todo número entero es racional 
____________________
d) Todo número real es irracional 
____________________
e) Algún número entero es natural 
____________________
f) Algún número irracional es entero  __________________
Recuerda
Veremos ahora algunas cosas sobre los números reales que interesa conocer.
 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor del dinero es el mismo, tanto si se tiene, como si se debe. Para tener
en cuenta esto, se define el valor absoluto de un número x y se representa x :
si x es positivo o cero  x  x
x = 
 si x es negativo  x  x
Por ejemplo: 7  7, 0  0,  3  3,
- 42 -
3 3

5 5
Recuerda
 DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS
x
y
d(x,y)
Dados dos números x, y, la distancia entre ellos, d(x,y), es la que separa sus
representaciones sobre la recta, como indica el dibujo. Es evidente que:
d(x,y) = x  y  y  x
Por ejemplo:
12  15
27 27
3 3 3  3 3 3
d  ,         


20
20 20
5 4 5  4 5 4
d 3,5  5  3  2  2
d 5,3  3  5   2  2
Ejercicios
21. Si x es un número entero negativo, di si es verdadera o
falsa cada una de las siguientes afirmaciones:
a) x<+1
b) x>0
c) x<+2
e) x>0
d) x<0
f) –x>0
22. El símbolo  significa que la expresión que hay a su
izquierda es menor o igual, que la que hay a su derecha. Y el
símbolo  significa que lo que hay a su izquierda, es mayor o
igual, que lo que hay a su derecha. Teniendo esto en cuenta,
di qué desigualdades son ciertas o falsas:
a) –7  -7
b) –15  -20
c) 13  0
d) 5  -3
23. Escribe los números enteros que se piden:
a) Los negativos mayores que –5.
b) Los positivos menores que 5.
c) Aquellos números x que cumplen x < 6.
d) Aquellos números x que cumplen x = 6.
e) Aquellos números x que cumplen x
- 43 -
 3.
Ejercicios
24. Halla el valor absoluto de los siguientes números:
a)8 
e)-5 
b)-4,5 
f)0 
c)-  
g)-32 
d)-+3 
25. Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a)-7 y –3
b)-7 y 3
c)3 y 8
d)0 y 4
26. Halla x para que se cumpla:
a) x = 3
b) x = 0

c) x  1 = 3

d) x  2 = 2


Recuerda
 La parte entera de un número x: E(x), es el número entero menor o igual a x
más grande posible. Por ejemplo:
E(6,9) = 6, E(0,3) = 0, E(-0,2) = -1, E(-7,8) = -8
27. Halla la parte entera de los siguientes números:
a)2,3
b)2
c)-3
d)-3,5
e)
f) 2
g)4,3
h)-7,2
Recuerda
INTERVALOS EN R
Se escribe:
[a,b] = Todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a, e incluido
también b.
a
b
(Intervalo cerrado)
]a,b[ = Todos los números reales comprendidos entre a y b, excluido a, y también
excluido b.
a
b
(Intervalo abierto)
- 44 -
Recuerda
]a,b] = Todos los números reales comprendidos entre a y b, excluido a, pero
incluido b.
a
b
(Intervalo semiabierto izquierda)
[a,b[ = Todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a, pero
excluido b.
a
b
(Intervalo semiabierto derecha)
[a,+ [ = Todos los números reales superiores o iguales a a.
a
a
]a,+ [ = Todos los números reales superiores a a.
]- ,a] = Todos los números reales inferiores o iguales a a.
a
]- ,a[ = Todos los números reales inferiores a a.
a
Ejercicios
28. Representa gráficamente los siguientes intervalos:
a)[1,7]
b)]-1,3]
c)]-7,-3[
d)[0,5[
e)]7,+[
f)]-,3/2[
Recuerda
APROXIMACIONES Y REDONDEOS. NOTACIONES
 Evidentemente, habrá ocasiones en que no se pueda conocer exactamente un
número real (o racional incluso). Pero, a efectos prácticos, puede no ser
necesario, puede bastar con sustituir el número en cuestión por otro
considerado cercano (hacer una estimación).
 Al hacer una estimación se comete una imprecisión a la que se llama error; así
por ejemplo, para estimar el número 3,167 con un error menor que una
milésima, podemos dar cualquier cantidad comprendida entre 3,166 y 3,168,
es decir, la estimación x debe cumplir: x  3,167 < 0,001.
A las estimaciones también se las llama aproximaciones.
- 45 -
Recuerda
 El redondeo es una aproximación particular. Para entender cómo se hace
veremos un ejemplo:
Supongamos que queremos redondear el número 172,3469
1º) A las unidades (2)  Miramos la siguiente cifra decimal (3).
Como está entre 0, 1, 2, 3, 4 la omitimos, y el redondeo será 172.
2º) A las milésimas (6)  Miramos la siguiente cifra decimal (9).
Como está entre 5, 6, 7, 8, 9 aumentamos una unidad la que nos
interesa, y el redondeo será 172,347.
Al hacer un redondeo se comete un error:
1º) A las unidades: 172 es redondeo desde 171,5… a 172,4… Luego el
número real está comprendido entre 171,5 y 172,5 y hay un margen de
error de ±0,5.
2º) A las milésimas: 172,347 es redondeo desde 172,3465… a 172,3474…,
luego hay un margen de error de ±0,0005.
 Es usual utilizar la notación adecuada en cada campo. La más importante es la
Notación científica. Es aquella en la que un número se escribe con unidades y
decimales multiplicadas por las potencias de 10 adecuadas. Por ejemplo:
3170000 = 3,17·106
0,000371 = 3,71·10-4
Ejercicios
29. Redondea hasta las milésimas las siguientes cantidades, y
da el margen de error de la aproximación:
a)42,3541 
b)2,34567 
c)0,0000009 
30. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:
a)427900000
b)379000
c)609437120
d)0,0000342
e)0,7523
f)0,000432
- 46 -
Soluciones
TEMA 3:
1.
De izquierda a derecha: -1; 6; 16
2.
a)
b)
0
1
e)
c)
1
-1
1
f)
0
0
-2
0
1
-1
1
2
3.
4.
a)
4
1
2
b) 
5
c)
2
3
0
0
-1
g)
1
0
d)
d)
11
4
e) 
a)>
c)>
8
3
0
b)<
d)<
5.
a)-4<-1<0<3<5<+6
c)-3<-2<-1<0<1<+2<+3
b)-7<-5<-1<1=+1<2<+3
d)-8<-6<-5<0<5<+6<8
6.
a) Mayores
b) Menores
c) Mayor
7.
a)-2,-1,0,1,2,3,4,5,6
c)-4,-5,-6,-7,-8,-9
b)-2,-1,0,1,2,3
d)-1,0,1
8.
a)5,4 < 5,98 < 6 < 6,0004 < 6,004 < 6,024 < 6,04 < 6,4
2
13
3
 
 0,001 < 0,01 < 0,06 < 0,11 < 0,4 < 0,5 < =
3
30
5
4 2
= 0,6 < 0,656 < 0,66 < 0,665 < 0,666 <
=
6 3
b) 
9.
a)El central.
b)El de la izquierda.
c)El de la derecha.
10.
a)<
b)>
c)<
d)<
e)>
f)<
g)>
h)>
11.
 2  
7
3
4
1
1
2
4
1
6
4
 1  
 
 
 
 0 


 1  2 

4
5
7
2
4
7
14
2
3
2
12.
a)4,5
b)3,75

d) 0,3
c)2,625
e) 0,18
f) –0,8
13.
a)
14.
49
20

a) 0,6
b)
3
250
b)0,016
c)
73
2
c)0,7
d)
51
500

d) 0,02
15.
a)
16.
535
11
b)
375401
21211
399961
473
87
87
7
7
c)
d)
e)4 f)
g)
h)
i)
j)
900
100
25
25
2
2
999999
99990


a)87 b)8,76 c) 4,569 d) 5,69 e)1
- 47 -
Soluciones
17.
Puedes coger siempre el punto medio de los dos.
18.
a)Z
b)Q
c)R
d)N
e)Q
f)Q
g)N
h)Q
19.

-3=- 2,9 < 
1 2
3 < = < 2 <
3 6
20.
a)F
21.
a)V
23.
24.
a)8
26.
b)F
b)4,5
c)V
d)V
b)V
e)V
c)V
f)V
d)F e)V f)F
22.
a)V
b)V
c)V
d)V
a)-4, -3, -2, -1
b)1, 2, 3, 4
c)-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
d)6, -6
e)-3, -2, 0, 1, 2, 3
25.
a)4
b)10
c)5
c) 
d) -3
e)5
f)0
g)9
a)x = ±3
b)x = 0
c)x = 4, x = -2
d)4
d)x = 4, x=0
27.
a)2
b)2
c)-3
d)-4
e)3
f)1
g)4
h)-8
28.
1
7
a)
c)
e)
-1
3
0
5
b)
-7
-3
d)
7
3/2
f)
29.
a)42,354, E = ±0,0005
b)2,346, E = ±0,0005
c)0, E = ±0,0005
30.
a)4,279·108
d)3,42·10-5
b)3,79·105
e)7,523·10-1
- 48 -
c)6,0943712·108
f)4,32·10-4
TEMA 4: EXPONENTES Y LOGARÍTMOS
Recuerda
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL
Potencia: es un producto de factores iguales:
25  2  2  2  2  2  32

n
veces



n
4

a

a
.......
a

3  3  3  3  3  81

10 7  10  10  10  10  10  10  10  10.000 .000 

a=Base
n=Exponente
Propiedades de la potenciación:
23·24=(2·2·2)(2·2·2·2)=2·2·2·2·2·2·2=2 7= 23+4
 an·am = an+m
27:24=cosa  (cosa)·24=27  cosa=23  cosa=27-4
 an : am = an-m
(24)3=24·24·24=24+4+4=23·4
 ( an)m = an·m
24·34=(2·2·2·2)·(3·3·3·3)=(2·3)·(2·3)·(2·3)·(2·3)=(2·3)4
 an · bn = (a · b)n
64:24=cosa  cosa·24=64  cosa=34  cosa=(6:2)4
 an : bn = (a : b)n
  ¡ Y aquí se acaban las propiedades. No inventes otras !
Ejercicios
Son sólo para recordar. En condiciones normales, no hace falta
que los hagas todos. Si te cuestan los que vienen después,
busca tiempo y vuelve a hacer éstos.
1 Escribe con una sola base y un solo exponente:
a) 25·27= _________
b) 28:25= _________ c) 37·34= _________
d) 34·3=
e) 75:72= _________ f) (33)2=
_________
________
g) (33)3= _________
h) (52)4= _________ i) 84:24= _________
j) 63:23= _________
k) 53·33= _________ l) 122:42= ________
m) 32+42= _________
n) 52-32= _________ o) 23·45= _________
p) 82:43= _________
q) (-2)3·(-2)4= ___ r)(-2)7:(-2)3= ____
- 49 -
Ejercicios
2 Opera de la forma más cómoda posible:
a) 503·23= _________
b) 153:53= _______________
c) 32+42= __________
d) (23)4:(25·24)= _________
3. Calcula:
3
a)(-2)3= ___________
1
b)   = _________
 2
c)(-3)2= _________
d)(0,1)4= __________
e)(-0,1)4= _______
2
f)  
 3
2
 ________
4 Calcula:
a)(-2/3)3=
b)(0,2)4=
c)1995=
d)(-1)1974=
e)042=
f)1141=
g)(-4)1=
h)(-4)2=
i)-42=
j)-104=
k)-(-1/2)3=
l)(0,3)2=
m)(0,01)4=
n)(1’1)2=
o)(-1)75=
5. Calcula de la forma más cómoda posible:
a)26·56= _________________
c)
e)
206
26
152
52
=

(1000)8

b)
(100)8
_________________
123
d) 3 
4
_________________
f)203·53=
g)(103)4= ________________
__________________
_____________________
h)(52·22)3=
____________________
__________________
i)27·211-(23)6= _____________________________________________
 2
j)  
 3
k)
25
 2 20  2 5 
:   ·    _____________________________________
 3   3  
218  222
l)1-
237
 2  ___________________________________________
317  325
350 : (35)2
 ___________________________________________
- 50 -
6. Escribe con una sola base y un solo exponente:
a)(-2) ·(-2)·(-2) =
1 2 1 4
1 3
b)   ·  :   
 3  3
 3
c)[(-5)4]7=
d)(-2)3·(53)=
3
2
7. Indica el signo del resultado sin hacer la operación:
a)(-2)6 
b)(-7)3 
c)(-5)51 
d)(-6)18 
8. Calcula x en las igualdades siguientes:
a)(-4)x·(-4)4=(-4)7
b)6x:65=67
c)(32)x=310
 2
d)  
 3
e) (-9)x:(-9)3=(-9)2
f)(3x)5=320
3
 2
 
 3
x
9
 2
  
 3
9. Calcula de la forma más cómoda posible:
a)(-7)2-62= ______________
b)(-2)2·(-3)2= _______________
42
c)2 = ________________
8
52
 53  _____________
d)2·3 5
e)72-71=
f)52+3-53·23=
2
________________
g)(-6)3:23+23·32=
_________
2
________________
h)-(-2)2·3+(-2)3·(-3)3=
______
10. Calcula:
a) 1+5·{(312·34)3:(36)8}-2= _______________________________
b) (53)15-2+5·3-(2+1)·4-(59)5= ____________________________
- 51 -
Recuerda
EXPONENTES NEGATIVOS
 Vamos a usar las propiedades de potencias, a ver que sale:
75
7
=
5
= 75-5 = 70
5
a0=1
0n=0
75
78

00 plantea problemas
00 no existe
7 7 7 7 7
1

7  7  7  7  7  7  7  7 73
7-3=
75
7
8
a0=1
70=1
75
7
Un número
=1
Mismo número
1
73
a-n=1/an
 7 5  8  7 3
 Lo dicho puede parecer extraño, pero es lo que sale y además tiene sentido.
(Las cosas son como son, no como nos gustaría)
Imagina que una determinada bacteria duplica el número de sus individuos, y
por tanto su peso, cada día y que el miércoles había 1 gramo de bacterias. El
problema se puede describir así:
Nº Día
-3
-2
-1
0
Día
Domingo
Lunes
Martes Miércoles
Número 0,125 gr 0,250 gr 0,500 gr
1 gr
-3
-2
-1
gramos
2
2
2
20
2-3=1/23 2-2=1/22 2-1=1/21
20=1
1
Jueves
2 gr
21
2
Viernes
4 gr
22
Ejercicios
11. Calcula:
a)50=
e)03=
b)70=
f)00=
c)10=
g)(0,2)0=
- 52 -
d)(2/3)0=
h)(-3)0=
3
Sábado
8 gr
23
Ejercicios
12. Calcula:
a)2-3= ____________ b)3-2= ___________
c)4-1= ____________
d)0-1= ____________ e)(-2)-2= ________
f)(-2)-3= _________
2
g)(-3) = _________
5
j)  
 2
1
m)  
 2
1
2
h)  
3
2
2
i)  
3
= _________
5
l)  
 2
2
= _________
5
k)  
 2
= _________
a
n)  
b
3
= _________
1
= _________
3
= __________
3
a
o)  
b
= __________
2
= __________
13. Halla el signo de las siguientes cantidades:
a)(-2)2 
d)(-2)-3 
b)(-2)-2 
e)(-2)0 
c)(-2)3 
f)(2/3)-3 
14. Utiliza las propiedades de potencias para operar y
simplifica al máximo el resultado:
a)[(-2)4]2:(-2)2·(-2)-6= __________________________________
 2
b)  
 3
2
4
 2
  
 3
2
 3  3
   :    _______________________________
 2  2
c)1+2-1+3-2= ______________________________________________
1
d)  
 2
1
1
  
4
2
1
  
 3
3
 __________________________________
e)2-2·2-3·26= _____________________________________________
f)(2-2)-3= ________________________________________________
g)(2-2·2-3):(3-1·32)= ______________________________________
h)6-4:3-4= ________________________________________________
i)1-(1+1/2)-3= ____________________________________________
j)(-2)-14·(-2)16+32·3-2= ____________________________________
- 53 -
Y seguimos...
1
k)  
4
5
1
  
4
7
3
 ___________________________________________
6
1
1
l)     
 ___________________________________________
9
9
 1 2  3 3 
m)        __________________________________________
 5  
 3 
15. Calcula y simplifica al máximo el resultado:
3
3 5
a)  :  
4 6
32·(2)
b) 

 6 
2


3
2 3
15 
3
4
0
  3
 3 
 3 
4
 3
 7
c)         :              
 5  
 5 
 3
 2
 11 
 5 



1  2

d) 1  

2

 


10
16  2 2  53
: 510 : 5 19 
2  2

e) ((-2)3)-2·(-2)7+ 1   =
3

16. Observa que 10-1=
a)10-2=
c)10-4=
1
=0,1. Escribe en forma decimal:
10
b)10-6=
d)10-8=
17. Escribe como potencia de 10:
a)100=
d)0,01=
b)1000000=
e)0,000000001=
- 54 -
c)0,000001=
f)0,00001=
18. Escribe en forma decimal:
a) 3·10-6=
b) 7·10-3=
c) 5·103=
d) 6·104=
e) 7·10-4=
f) 3+7·10-1+5·10-2=
g) 5·10-1=
h) 8·10-3=
i) 42·10-2=
j) 13·10-2=
k) 15·10-3=
l) 2·102+3·10+7·10-2=
19. Calcula:
a)3,2·102=
b)0,527·102=
c)0,0023·103=
d)45·10-3=
e)1,234·103=
f)-2,5·102=
g)45·10-2=
h)0,45·10-1=
i)423,2·10-3=
20. Escribe como una potencia de base 10:
a)10·103·10-4·105=
b)10-1·10-4=
c)10-3·103=
d)105:102=
e)10-1/10-3=
f)105·10-2=
g)10-3:102=
h)25·55=
i)203:23=
j)64+44=
k)153-53=
l)23·54=
21. Halla n para que se cumplan las igualdades:
a)25·10n=2500 
c)4·10n=4 
e)0,23·10n=0,023 
g)45·10n=0,45 
b)5,4·10n=54000 
d)100·10n=1 
f)320000·10n=0,32 
h)45·10n=0 
Recuerda
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Volvamos al ejemplo de las bacterias. Teníamos un gramo de ellas que duplicaban
su peso cada 24 horas. La fórmula que nos daba el peso en gramos de las
bacterias desde que empezamos a medirlo (1 gramo) era:
Peso = 2Nº días transcurridos
y nos servía:
 para hoy: 20 = 1 g
 para mañana: 21 = 2 g
 para pasado mañana: 22 = 4 g
 para ayer: 2-1 = 1/2 g
 para anteayer: 2-2 = 1/4 g
- 55 -
Recuerda
Por supuesto que pesamos las bacterias siempre a la misma hora (pongamos a las
12 h de la noche).
 ¿Qué pasaría si pesáramos las bacterias a las 12h del mediodía de
mañana? Tendrá que haber 21/2 g.
 ¿Qué pasaría si lo hacemos a las 12h del mediodía de pasado
mañana? Tendrá que haber 23/2 g.
 ¿Qué pasaría si lo hacemos a las 12h del mediodía de ayer? Tendrá
que haber 2-1/2 g.
 ¿Qué pasaría si lo hacemos a las 6h de la mañana de mañana? Tendrá
que haber 21/4 g.
 ¿Qué pasaría si lo hacemos a las 8h de la mañana de mañana? Tendrá
que haber 21/3 g.
Además, deberá suceder que 23/2 sea el doble de 21/2 (han pasado 24 horas), y así
con todo.
Dicho de otra forma: Tenemos que dar un sentido y un valor a 2 1/2, 21/3, 21/4, 23/4,
etc, y además deben cumplirse las propiedades de potencias.
Puedes hacer ensayos, pero verás que fallan salvo en un caso. Por ejemplo, si
intentamos:
2-1
0,5
2-1/2
0,75(intento)
20
1
21/2
1,5
21
2
23/2
3(intento)
22
4
25/2
6(intento)
23
8
fallan las propiedades de potencias:
2 1/2 ·23/2 = 1,5 · 3 = 4,5  4 = 21/2+3/2 = 22
Sí hay una cosa que funciona: 21/2 =
2 , 21/3 =
3
2 , 21/4 =
4
2 ,……. 21/n =
n
2
Puedes probar que se cumplen todas las propiedades de potencias y además las
condiciones del problema.
 
   
Evidentemente: 2m/n = n 2 m = n 2 pues 2m/n = 21 / n = 2 m
y así la fórmula: Peso = 2Nº días transcurridos sirve para fracciones de días.
m
En general: am/n =
n
m
a m , m y n enteros, n  o
- 56 -
1/ n
Ejercicios
22. Calcula:
a)251/2
b)82/3
c)8-1/3
d)8-2/3
e)43/2
f)4-3/2
9
g)  
4
1/2
 27 
j)  
 8
9
h)  
4
2 / 3
 27 
i)  
 8
3/4
1/3
k) 81
1/3
l)  27
1/4
n)  81
 81 
o)  
 16 
1/4
1 / 3
m)  27
 81 
p)  
 16 
1 / 2
1
q)  
 8
1 / 3
1/4
 1
r)   
 8
1 / 3
23. Escribe en forma de potencia:
2
2
a) 2
b)
f) 3 32
g) 33
k) 5 a  b
l)
a
c) 7
h) 3
2
3
m) 4 a a
1
7
d) x
e)
i) 4 ab 2
j) 4 ab 3
n) 3 7
o) 2 :
24. Escribe en forma de radicales:
a)31/2
b)5-1/2
c)53/2
d)x-7/2
e)5-3/2
f)32/3
g)2a1/4
h)(3a)2/5
i)3·25/2
j)8-1/3
k)a-2/5
l)(-2)2/3
m)(2/3)-1/2
n)(3/5)-1/4
o)(1/4)-2/5
p)(42)3
q)(41/2)2/3
r)(42/3)-1/4
s)4-1/2·47/2
t)
- 57 -
162 / 3
22 / 3
3
3
Observa
Puedes preguntarte cómo se calculan, por ejemplo, 2 2 , 2π y otras potencias de
exponente irracional. Piensa que, como podemos aproximar el exponente tanto
como queramos, bastará hacer lo siguiente:
1,4
21,4
1,41
21,41
1,414
21,414
1,4142
21,4141
1,41421 ……
21,41421
2,6390…
2,6573…
2,6647…
2,6651…
2,665137562…
→
→
2
2
2
Ejercicios
25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 2x = 16
b) 3x = 81
c) 2x = 1/64
d) 4x = 2
x
e) 16
= 2
x+1
g) 4
f) 52x-1 =
+2x+3-320 = 0
3
x2 
25
1
4
h) 5x+5x-1 = 6
i) 32(x+1)-28·3x+3 = 0
j) 9x-2·3x+2+81 = 0
k) 3x-1+3x+3x+1 = 117
l) 22x+22x-1+22x-2+22x-3+22x-4 = 1984
m) 4x-10·2x+16 = 0
n) 3x+3-x+2 = 10
o) 2x-4-x = 0
p) 3x+9-x = 0
q) 6x = 36
r) 4x-2x = 2
s) 21  x = 8
t) 2x-1+2x+2x+1 = 7
u) 3x+31-x = 4
v) 52x-1= 25x
w) 2x-1+2x-2+2x-3+2x-4 = 960
x) 4x+3 =
2
2
1 / 4
1
2x
y) 9x-1 = 33x+1
26.
Resuelve
exponenciales:
los
siguientes
sistemas
de
ecuaciones
2x  3y  7 
a) x  1

2
 3y  1  1
22x  22y  80
b)

22(x  y)  1024 
2x  2y  24
c)

2x·2y  128 
2x  2  5y  33 
d) x  3

2
 5y  1  11
53x  2y  3125 
e)

116x  7y  14641
a2x  a2y  2
f)

ax  y  1 
- 58 -
Recuerda
LOGARITMOS
 Sea a>0  Si se cumple a = y, se dice que x es el logaritmo en base a de y,
y se escribe log a y = x.
x
A partir de la definición, es evidente que:
loga 1 = 0, loga a = 1, loga a2 = 2, loga an = n.
 Cuando la base es 10, se habla de logaritmos decimales, y se escribe:
log x=y ↔ 10y = x (no se expresa ninguna base)
 Cuando la base es el número e=2,718281…, se habla de logaritmos
neperianos o naturales y se escribe ln x=y ↔ ey = x o Lx = y ↔ ey = x
(Para trabajar, basta con saber esto de e)
Ejercicios
27. Calcula:
a) log7 49
b) log3 3
c) log3 9
d) log3 27
3
f) log3 1
g) log3 1/3
h) log3 1/9
j) log3 1/81
k) log3 1/243
l) log 1 1/243
e) log3
i) log4 1/64
3
m) log5 625 - log3243 + log4256 – log2 8 + log 8 2+ log 0,001
n) log3 1+ log264+ log39+ log 1 9- log31/9+ log9 3
3
o) log 1 4- log 1 1/4+ log24- log21/4+ log4 2 - log 2 4
2
2
p) log50,2- log 1 5+ log 1 1/25+ log
5
5
125 - log5 125
5
28. Calcula x en cada caso:
a) logx 0,001=-3
b) logx 0,125=3
c) logx 1/3=-1/2
d) logx 3=2
e) logx 2=3
f) logx 2=1/2
g) logx 9=-4
h) logx 8=1/2
i) logx 3=-1/2
j) logx 4=-1/2
k) logx (log2 8)=1
l) log3 (logx 2)=1
m) log3 (logx8)=1
o) log5x=2
p) log4 x=-2
n) logx (log24)=1
q) log 1 x=-4
s) log x=-3
t) log x=2
u) log8 x=1/3
v) log4 x=1/2
w) log3 x=-1
x) log25 x=1/2
y) log
2
2
x=4
- 59 -
r) log x=0
Ejercicios
29. Calcula x en cada caso:
a) log3 x=-1/2
b) log3 (log2 x)=0
c) log2 (log3 x)=0
d) log2 (log3 x)=-1
e) log3 ( log 2 x)=1
f) log4 2=x
g) log 1 1/243=x
h) log125 5=x
i) log2 1/64=x
k) log160,5=x
l) log 2 81/16=x
n) log 5 27/125=x
o) log 3 27/125=x
3
1
=x
5
m) log 2 16/81=x
j) log125
3
3
3
5
4
r) log3 (log2 2)=x
p) log8 4 2 =x
q) log9
27 =x
s) log2 (log3 3 )=x
t) log 2 ( log3 9)=x
30. Ordena las siguientes cantidades:
a) log3 4 y log3 ½
b) log2 9 y log2 1/27
c) log 1 32 y log 1 128
d) log 3 9 y log3 1/27
2
2
Recuerda
Los logaritmos tienen unas propiedades importantes que facilitan los cálculos
numéricos (de hecho se “inventaron” para esto, para facilitar los cálculos
astronómicos y trigonométricos cuando no existían calculadoras ni ordenadores):
1) loga x+ loga y = loga (x·y)
aβ = y
Si a = x,
loga x=
a · aβ = a+β = x·y
loga (x·y) = +β
loga y=β
x 
2) loga x- loga y = loga  
y 

β
Si a = x,
a =y
loga x=
→
→
a : aβ = a-β =
x
y
loga  x  = -β
 
loga y=β
y 
3) loga (xy) = y· loga x
Si a = x,
loga x=
a β = xy
→
aβ = xy = (a )y = a·y
loga (xy) = ·y
loga xy=β
- 60 -
Recuerda
Observa que, por lo dicho antes, si tuviéramos una tabla de logaritmos de todos
los números en una base dada:
Por ejemplo:
x
2
4
8
16
Log2 x
1
2
3
4
 el cálculo de productos se convierte en cálculo de sumas:
2·8 → 1+3 = 4 → 16
1ª col
2ª col
1ª col
 el cálculo de cocientes se convierte en cálculo de restas:
15:2 → 4-1 = 3 → 8
1ª col
2ª col
1ª col
 el cálculo de potencias se convierte en cálculo de productos:
(4)2 → 2 · 2 = 4 → 16
1ª col
2ª col
1ª col
Recuerda
Si tuviéramos una tabla de logaritmos en una base dada, (y la tenemos: en la
calculadora tienes logaritmos decimales), ¿Cómo podemos trabajar en otra base?
De otra forma, si yo sé calcular loga x, ¿cómo calculo logb x? Veámoslo:
Logb x =  ↔ b = x → loga ( b) = loga x → · loga b = loga x →
=
loga x
= logb x
loga b
Fórmula de cambio de base
Ejercicios
31. ¿En qué base el logaritmo de 100 es igual a 2 más el
logaritmo (en la misma base) de 25?
32. Halla x para que se cumpla logx A = 2 y logx (16A) = 4
- 61 -
Ejercicios
33. Si log3 N= 4 y log3 P= 1, halla:
N
P
a) log3(NP)
b) log3  
c) log3  
N 
P 
34. Si log2 N = 12, calcula: a)log2 N3
b) log2 4 N
35. Si loga A = 7, calcula:
a
A
a)loga
b)loga(a3A)
c)loga 4
a
A
d)loga(a6 A)
e)loga A
36. Encuentra la relación que hay entre a y b si se verifica:
a) log a + log b = 0
b) log a + log b = 1
37. Sabiendo que loga(1/3)=-1/2, calcula: a)a
b) loga81
38. Si loga b = 0,25, calcula logb a.
39. Suponiendo que conoces log 2=0,3,
calcula:
a)log 125
log 3=0,47 y log 10n=n,
b)log 0,02
c)log
e)log 0,25
f)log 6
g)log 144
h)log 30
i)log 2,025
j)log 1/250
k)log
l)log
8
d)log
m)log
1
16
0,3
2
4
0,08
n)log 324
o)log 0,012
p)log 9,375
q)log 1,25/9
r)log
s)log
t)log
0,025
8
u)log
3
4
781,25
1
72
3
0,02
40. Suponiendo que conoces log 2=0,3, log 3=0,47 y log 10n=n,
calcula:
3
240
25,6
1252
a) log 3
b)log
c) log
27
9
4
643
d)log3 4
e)log4 3
f)log3 10
g)log4 10
h)log2 3
i)log5 2
j)log5 10
k)log4 5
l)log5 4
m)log4
n)log2 4
0,27
- 62 -
Ejercicios
41. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a)2·log x – 4·log 2 = 3·log 3
b)2·log x = 2+log x
c)2 log x - log (x-16) = 2
d)
e)log(2x-7) – log(x-1) = log 5
f)2·log x-log(x2+3x) = 1
g)log x = log 2 + 2·log(x-3)
h)
i)
3 log x  log 5
 1
log 25
log(35  x3)
 3
log(5  x)
log(16  x 2)
 2
log(3x  4)
j)log(2x+4)+log(3x+1)-log 4 = 2·log(8-x)
k)
log 2  log(11  x 2)
 2
log(5  x)
l)log8+(x2-5x+7)log3=log24
m)2·logx - log16 = log x/2
n)(x2-x+3)log4 = 3log4
1
o)log(5x+4)–log2 = log(x+4)
2
p)log x2-log
10x  16
= 2
10
q) log 3x  1  log 2x  3  1  log 5
r)log x + log100 x 
42.
Resuelve
logarítmicas:
a)
x
s)log5 x2+log5 10 = log5  
 25 
1
2
los
siguientes
x  y  15


log x  log y  2
x  y  27
c)
log y  log x 
sistemas
b)
de
ecuaciones
log x  3 log y  5

log x 2  log y  3 
2 log x 2  log y 2  4
d)

2 log x  log y 2  2 


1
e)
log x  log y  log 12 

log 5x  log(y  1)  1
(x  y)log 2  (x  y)log 4
f)

xy log 3  log 312

g)
x  y  29


log x  log y  2
h)
log x  log y  2 log 2

2x  4  8y

i)
2 log x  log y  3 

log x3  2 log y  1
j)
x  y  20


log x  log y  2
- 63 -
Ejercicios
Y seguimos resolviendo sistemas de ecuaciones logarítmicas…
k)
logx(y  8)  2

1
log y(4  x)  
2

l)
3 log x  2 log y  1

y  2x  0

m)
log x  log y  3

x  y  70

n)
log x  log y  1

x 2  y 2  11 
log(x 2  y 2)  log 21
p)

ax·ay  a7

x log 2  y log 3  log 2592
o)

log(x  y)  2 log 3


x3  y 3  9
q)

log x  log y  log 5  1
43. Calcula las siguientes cantidades:
a) 2log2 3
x
c) 10log(log 10 )
b)log(log1010)
log3 x
)
d) 3log2(2
44. Dí cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a)log2 a + log2 b = 2log2(a+b)
b)log2 a-log2 b=log2(a/b)
log2 a
a
c) log2   
log2 b
b
d)log1/2 4 = -2
e)log1/2(1/4)=2
f)log1/28 = -log28
g)log1/2(1/4)= -log2(1/4)
h)log2x + log3y = log2xy
i)log2x + log3y = log5xy
Amplía
Interés compuesto. Si un banco nos presta una cantidad C a un interés i, el
capital a devolver en un tiempo t viene dado por:
t
i 

C·  1 
(piensa en ello).

100 

Ejercicios
PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN
45. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos a
plazo fijo 3000 € al 15%?
46. Pedimos un crédito a un banco de 10.000 € al 10%. Si a los
5 años devolvemos el capital y los intereses, ¿cuánto debemos
pagar?
- 64 -
Soluciones
TEMA 4:
1.
a)212 b)23 c)311 d)35 e)73 f)36 g)39 h)58 i)44 j)33 k)153
l)32
m)No se puede, salvo 251
n) No se puede, salvo 161
1
o) No se puede, salvo 8192
p)No se puede, salvo 11 q)(-2)7 r)(-2)4
2.
3.
a)1003=1000000
b)33=27
a)-8
b)1/8
c)9
c)9+16=25
d)212:29=23
d)0,0001
e)-0,001 f)4/9
4.
a)-8/27
b)0,0016
c)1
d)1
e)0
f)114
g)-4
h)16
i)-16
j)-10000
k)1/8
l)0,09
m)0,00000001
n)1,21
o)-1
5.
a)1000000
b)100000000
c)1000000
d)27
e)9
f)1000000
g)1000000000000
h)1000000
i)0
j)1
k)6
l)-8
6.
7.
a)(-2)6 b)(1/3)3 c)(-5)28 d)(-10)3
a)+
b)c)d)+
8.
9.
a)3 b)12 c)5 d)6 e)5 f)4
a)13 b)36 c)2 d)138 e)42 f)-972 g) 45 h)204
10.
11.
a)4
b)1
a)1
b)1
c)1
d)1
e)0
f)no existe
g)1
h)1
12.
a)1/8
b)1/9
c)1/4
d)No existe
e)1/4
f)-1/8
g)9
h)9/4
i)27/8
j)2/5
k)4/25
l)8/125
m)8
n)b/a
o)b2/a2
13.
a)+
b)+
c)d)e)+
f)+
14.
a)1
b)10/9
c)29/18
d)45
e)2
f)64
g)1/96
h)1/16
i)19/27
j)5
k)1/16
l)1/9
m)3/125
15.
16.
a)0,01
b)0,000001
729
32
a)
b)9
c)-10
d)
e)7
c)0,0001
d)0,00000001
9
1000
17.
a)102
b)106
c)10-6
d)10-2
e)10-9
f)10-5
18.
a)0,000003
b)0,007
c)5000
d)60000
e)0,0007
f)3,75
g)0,5
h)0,008
i)0,42
j)0,13
k)0,015
l)230,07
19.
a)320 b)52,7 c)2,3 d)0,045 e)1234 f)-250 g)0,45 h)0,045 i)0,4232
20.
a)105
b)10-5
c)100
d)103
e)102
f)103
g)10-5
h)105
3
i)10
j)No se puede
k) No se puede
l) No se puede
21.
a)2 b)4 c)0 d)-2 e)-1 f)-6 g)-2 h)No se puede
22.
a)5
b)4
c)1/2
d)1/4
e)8
f)1/8
g)3/2
h)2/3
i)3/2
j)4/9
k)3
l)-3
m)-1/3
n)No existe o)3/2
p)27/8
q)2
r)-2
23.
a)21/2
b)21/2
c)71/2
d)x1/2
e)7-1/2
f)32/3
g)33/2
h)(2/3)1/3
1/4
1/2
3/4
3/4
1/5
1/4
3/8
1/4
i)a ·b
j)a ·b
k)(a+b)
l)a
m)a
n)63
o)(8/9)1/6
24.
a) 3
j)1/2
b)
k)
1
5
1
5
a2
c) 125
l) 3 4
d)
m)
3
2
1
x7
n) 4
e)
5
3
1
125
f) 3 9
o) 5 16
- 65 -
g)2 4 a
p)46 q) 3 4
h) 5 9a2
1
r) 3
2
i)3 32
s)64
t)4
Soluciones
25.
a)4
b)4
c)-6
d)1/2
e)1/4
f)1/2, 5/2
g)3
h)1
i)1, -2
j)2
k)3
l)5
m)1, 3
n)0, 2
o)0
p)sin solución
q)2
r)1
s)sin solución
t)1
u)0, 1
v)1/2
w)10
x)-2
y)-3
26.
a)x=2,y=1 b)(x=3,y=2),(x=2,y=3) c)(3,4),(4,3) d)(1,2) e)(3,2) f)(0,0)
27.
a)2
b)1
c)2
d)3
e)1/2
f)0
g)-1
h)-2
i)-3
j)-4
k)-5
l)5
m)-5/6
n)33/4
o)-15/4
p)7/2
28.
a)10 b)0,5 c)9 d) 3
m)2 n)2 o)25 p)1/16
29.
e) 3 2 f)4 g)1/ 3 h)64
q)16 r)1 s)0,001 t)100
i)1/9 j)1/16 k)3 l) 3 2
u)2 v)2 w)1/3 x)5 y)4
a) 3 /3
b)2
c)3
d) 3
e) 8
f)1/2
g)5
h)1/3
i)-6
j)-1/6
k)-1/4
l)-4
m)4
n)-3
o)3
p)1/12
q)3/8
r)0
s)-1
t)2
30.
a)> b)> c)> d)>
Todos son el número de la derecha menor que el de la izquierda.
31.
32.
33.
34.
2
4
a)5 b)3 c)-3
a)36 b)3
35.
36.
37.
38.
a)-6 b)10 c)3 d)13 e)3,5
a)ab=1 b)ab=10
a)9 b)2
4
39.
a)2,1
b)-1,7
c)0,15
d)0,45
e)-0,6
f)0,77
g)2,14
h)1,47
i)0,28
j)-2,4
k)-0,265
l)-0,275
m)0,4
n)2,48
o)-1,93
p)0,97
q)-0,84
r)-0,92
s)0,725
t)-1,8
u)-0,566…
40.
a) 0,4766… b) -0,005 c) 0,05 d) 1,27… e) 0,7833… f) 2,127… g) 1,66…
h) 1,566… i) 0,4285… j) 1,428… k) 1,166… l) 0,857… m) -0,49166… n) 2
41.
a)12 3 b)100 c)20, 80 d)5 e)sin solución (x=-2 no vale)
f)sin solución, x=0 y x=-10/3 no valen g)9/2 (x=2 no vale) h)2, 3
i)2,4 (x=0 no vale) j)3 (x= -42 no vale) k)3, 1/3 l)2, 3
m)8 (x=0 no vale) n)0 y 1 o)0 (x=-16/25 no vale) p)80 y 20
q)13/5 r) 3 10 s)1/250 (x=0 no vale)
42.
a)x=20, y=5 (x=-5, y=-20 no vale)
b)x=100, y=10
c)x=30, y=3
d)x=10, y=1
e)x=4, y=3 (x=-6, y=-2 no vale)
f)(x= 6, y=2), (x=-6 , y=-2)
g)(x=4, y=25), (x=25, y=4)
h)x=8 , y=2
i)x=10=y
j)x=10, y=10
k)x=3, y=1
l)x=40, y=80, (x= 0, y=0 no vale)
m)(x=50 , y=20), (x=20 , y=50) n)x=10/3 , y=1/3 (x=-10/3 , y=-1/3 no vale)
o)x=5 , y=4
p)x=5 , y=2
q)(x=2 , y=1), (x=1, y=2)
43.
44.
a)3
b)1
c)x
d)x
Verdaderas: b, d, e, f, g
45.
46.
6034,0716 € 16105,1 €
- 66 -
TEMA 5 : POLINOMIOS
Recuerda
LAS LETRAS COMO NÚMEROS
 Ejercicio: Supongamos que un Kg. de naranjas cuesta 0,5 €. ¿Cuánto
cuestan…?
a) 2 Kg.  ____________________________
b) 3 Kg.  ____________________________
c) 50 Kg.  ___________________________
d) n Kg.  ____________________________
e) x Kg.  ____________________________
 Habrás visto que podemos usar una letra para designar una cantidad
indeterminada, pero esa letra representa un número y funciona como un
número:
 Igual que 5+5+5+5 = 4·5
x+x+x+x = 4·x
 Igual que 4·5+7·5+3·5 = 14·5
4·x+7·x+3·x =14·x
 Igual que 7·5-3·5 = 4·5
7·x-3·x = 4·x
 Igual que 5·5·5 = 53
x·x·x = x3
 Igual que 53·52·54 = 59
x3·x2·x4 = x9
 Igual que 57:54 = 53
x7:x4 = x3
Tenemos entonces una expresión algebraica que consiste en una expresión
en la que aparecen letras para designar números tal y como hemos visto en
los ejemplos anteriores.
- 67 -
Ejercicios
1 Escribe en lenguaje matemático:
a) Una cantidad aumenta en 10 unidades: __________________
b) Un billete de tren cuesta 5 € menos que un billete de
autobús: _________________________________________________
c) Un avión lleva una velocidad 8 veces mayor que la de un
coche: ___________________________________________________
d) La edad de mi padre es triple que la mía: _____________
2. Agrupa lo que puedas:
a)
d)
g)
j)
3x+5x= _________
3x+4x+1= _______
3x2+4x2= ________
3x2+4x= _________
b)
e)
h)
k)
2x-5x= _________
3x+4x+3y= ______
5x3-7x3= ________
x2+2x·x= ________
c)
f)
i)
l)
3y+4y= _______
3y-4y+1= _____
5x2+y= _______
5x-5= ________
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)x2·x3= ________
d)5y3·y= ________
g)x2+x2= ________
b)3x2·2x3= ________
e)(10y4):5y= _______
h)x2·x2= ___________
c)5y4·7y2= ______
f)7x:x= _________
i)x2:x2= ________
4. Realiza las siguientes operaciones y agrupa lo que puedas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3·(x+5)=
x·(3+5)=
x·(x+5)=
(x+3)(x+5)=
(x-3)(x+5)=
(x+3)(x-5)=
(x-3)(x-5)=
(x2+1)(x2-1)=
x2(x2+x+2)=
5. Saca factor común lo que puedas:
a)
b)
c)
d)
e)
5x+5y=
5x+5=
5x2+5x=
5x+x·y=
2x-4=
- 68 -
Recuerda
EXPRESIONES NOTABLES
Observa:
a

a+b
b
a+b
b
a
Área cuadrada mayor  a  ba  b  a  b2
Por trozos  a·a+a·b+a·b+b·b = a2  b2  2ab
Igualando: a  b2  a2  b2  2ab
De otra forma, multiplicando: a  b  a  b  aa  ab  ba  bb  a2  b2  2ab

Debemos quitar este
trozo sólo una vez
b
a
a-b
b
a
+
a
+
b
b
Es decir: a2 = (a-b)2+2ab-b2  (a-b)2 = a2  b2  2ab
De otra forma: (a-b)·(a-b) = aa-ab-ba+bb = a2  b2  2ab

a
a+b
b
a-b
a
a+b
a
b
a-b
a-b
b
Faltaría este cuadrado para
completar el cuadrado de lado a
Es decir: (a+b)(a-b) = a2 - b2
De otra forma, multiplicando: (a+b)·(a-b) = aa-ab+ab-bb = a2 - b2
INTENTA HACERLO CON CARTULINAS DE COLORES Y LO VERÁS MEJOR
- 69 -
Recuerda
 Trabajando con cubos se pueden encontrar fórmulas parecidas en el espacio,
pero es difícil verlo dibujando. Veámoslo operando:
 (a+b)3= (a+b)·(a+b)2 = (a+b)·(a2+b2+2ab) = a3+ab2+2a2b+ba2+b3+2ab2 =
a3+3a2b+3ab2+b3
 (a-b)3= (a-b)·(a-b)2 = a3-3a2b+3ab2-b3
(hazlo tú)
¿Cómo obtendrías (a+b)4?
Ejercicios
6. Calcula:
a)(x+2)2
b)(x+3)2
c)(x-5)2
d)(x+y)2
e)(x-y)2
f)(x+y)·(x-y)
g)(x-2)·(x+2)
h)(x+3)·(x-3)
i)(x+5)·(x-5)
j)(6-x)·(6+x)
k)(8-a)·(8+a)
l)(a-x)·(a+x)
m)(x+2)·(x+2)
n)(x+3)·(x+3)
o)(x-5)·(x-5)
p)(x+y)·(x+y)
7. Calcula:
a)(x2+x)2
b)(x2-5)2
c)(2x+1)2
d)(2x-3)2
e)(2x2+x)2
f)(2x+5)·(2x-5)
g)(3x2+2)·(3x2-2)
x

h)   1
2

8. Utiliza las fórmulas para hallar:
a)(109)2 =
b)(91)2 =
- 70 -
c)91·109 =
2
Ejercicios
9. Calcula:
a)(x+2)3
b)(x-2)3
c)(2x+3)3
d)(x2-3)3
Recuerda
POLINOMIOS
 Un monomio es una expresión algebraica formada por un producto de números
y letras. Por ejemplo -25x2.
Todo monomio tiene dos partes: coeficiente y parte literal.
En el ejemplo, el coeficiente es -25 y la parte literal x2.
Se llama grado de un monomio al exponente que tiene la letra.
En el ejemplo, el monomio es de grado 2.
 Un polinomio es una suma de monomios (binomio: de dos, trinomio: de tres).
Se llama grado de un polinomio, al grado del monomio de mayor grado de los
que lo forman.
Ejercicios
10. Agrupa lo que puedas:
a)5x+3x =
c)3x2+12x2 =
e)6x+9x =
g)-8x2+6x2 =
i)6x+2x+x2+1 =
k)5x3-6x2+2x2-3 =
m)3·x·(-2)·x4 =
o)4x2·5x2·6x =
q)6x3·2x·3 =
s)5·x·2+3·x =
b)8x-3x =
d)7x3-2x3 =
f)9x-4x =
h)11x4-3x4 =
j)4x+6x+3x-1 =
l)3x+5+8x+2 =
n)3·x·2·x2·5 =
p)2·x·(-5)·x3 =
r)3x2·(-1)x·2x =
t)5·x·2-3·x·(-1) =
11. Desarrolla los siguientes productos:
a)(4+x)·5 =
c)6·(x2+2x) =
e)(x-5x2)·4x =
b)(x+2x3)·x =
d)(2+x)·x =
f)-8·(x-3) =
- 71 -
Ejercicios
12. Saca factor común lo que puedas:
b) x+5xy+x2 =
d) 4x+4y =
f) 8x+x2 =
a) 2x+2y =
c) 6x+x2 =
e) x+2xy+x2 =
13. Completa los huecos que faltan:
a)4·(+) = 4x2+4x
c)5·(+) = 5a+5b
b)x·(+) = 6x2+2x
d)y·(-) = 3xy-2y
14. Sabiendo que en un polinomio, se llama término principal
al término de mayor grado, y término independiente al que no
tiene letra (grado cero), dados los siguientes polinomios:
A) 
3
x+12x3-x5
5
B) 3x4+x7-2
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Grado.
Término principal.
Término independiente.
Valor numérico para x = -2.
Recuerda
OPERACIONES CON POLINOMIOS
 Veamos, con un ejemplo, cómo se realiza la suma, resta, producto y cociente
de dos polinomios.
Sean los polinomios: P(x) = x3+x+5 y Q(x) = x5+x3-x+8
 Suma
P(x)+Q(x):

5
x
x5
x3
+ x3
+ 2 x3
+x
-x
x3
x3
+x
+x
+ 2x
+ 5
+ 8
+ 13
Resultado
 Resta  P(x)Resultado
5
-x
- x5
-
- 72 -
+ 5
Q(x):
- 8
- 3
Recuerda
 Producto  P(x)·Q(x):
8x
4
Resultado
x6
+x6 +5x5
+ 2x6 +5x5
x8
x8
-x
+x4
x3
x5
3
+5x3
+13 x3
-x2
+x +5
-x +8
+8x +40
-5x
-x2
+ 3x + 40
x3
x2
+x
+x
3
 Cociente  Q(x):P(x):
x5
- x5
+ x3
- x3 -5x2
-5x2
-x
+8
-x
+8
+5
 cociente  x 2
Resultado  
2
resto  5x  x  8
Observa que la división de polinomios se termina cuando el grado del resto es
menor que el grado del divisor. Se utiliza la misma terminología que para la
división con números: D = dividendo, d = divisor, c = cociente, r = resto,
cumpliéndose D = d·c+r.
Ejercicios
15. Dados los polinomios:
A=3x2 ; B=7x4 ;C=5x3 ; D=3x2+1 ; E=3x+2 ; F=3x3+2x2-x-1
G=5x4-x2+1 ; H=7x6-x5+1 ; I=5x5+6x4-3x3+2x2-x-1 ; J=3x3-2x2+1
Se pide:
a)
f)
k)
p)
A+B
H-J
C·D
2·F
b)
g)
l)
q)
A-D
I-H
E·F
3·J
c)
h)
m)
r)
A+B+C
A·B
I·J
2F+3J
d)
i)
n)
s)
A+B-C
G·H
F·G
2F-3J
e)
j)
o)
t)
I+J
G·J
F·G·H
2F·3J
16. Halla el cociente y el resto de las divisiones:
a)
c)
e)
g)
i)
(7x+11+4x2+x4):(x2-5x+1)
(7x+11+4x2+x4):(x3+x)
(4x3+7x):(2x2-1)
(4x3+6x2-2x+4):x
(x3-3x):(2x2+5)
- 73 -
b)
d)
f)
h)
j)
(4x4+2x2+1):(x2-3x)
(4x4+2x2+1):(x-3)
(x4-5x3+7x2-4x+5):(x2+1)
(2x-3):(3x-2)
(x2-2x+1):(x3-2)
Recuerda
REGLA DE RUFFINI
Hay ciertas divisiones que se pueden hacer de un modo más sencillo usando lo que
se conoce como regla de Ruffini. Estas divisiones son aquellas en las que el
divisor es de la forma (x-a). Se verá mejor con un par de ejemplos:
Método general
x3
- x3
2
-5x +2
+2 x
2 x2 -5x +2
2 x2 +4x
-x +2
x -2
0
Ruffini
x - 2
x2 + 2x -1
1
2
1
-5
4
-1
2
-2
0
Cociente
Cociente
X2+2x-1
Resto
Método general
x3
-5x +2
3
2
- x -3 x
-3 x2 -5x +2
3 x2 +9x
4x +2
-4x -12
-10
0
2
2
Resto
Ruffini
x + 3
x2 - 3x +4
1
-3
1
0
-3
-3
-5
2
9 -12
4 -10
Cociente
Cociente
X2-3x+4
Resto
Resto
Ejercicios
17. De las siguientes divisiones haz las que puedas por la
regla de Ruffini:
a)(4x4+2x2+1):(x-3)
c)(x4-x3-1):(x2-x)
e)(5x2+x3+1):(x+1)
g)(x4-x3-1):(5-x2)
i)(x4-x3-1):x
b)(4x4+2x2+1):(x2-3)
d)(5x3-6x2-7):(x+3)
f)(x2-5x+6): (x-2)
h)(x4-x3-1):(5+x)
j)(x4-x3-1):x2
18. Halla m para que (x2+mx-3) sea divisible por (x-2).
1
19. Halla a para que  x   sea un factor de (ax2-3x+2).
3

- 74 -
Ejercicios
20. Halla el resto de las siguientes divisiones:
a)(3x4+5x3-x-8): (x+2)
b)(5m-3m3+8m2-6):(m-3)
3
c)(4a3-8a2-6+2a3-2a):  a  
2

2
11
3  
4
d)  m2  4 
m  m3  :  m  
9
2  
3
3
21. Halla p para que sea exacta la división (x2-2x+p):(x+3).
22. Halla t para que (x4-3x3+tx+2) sea divisible por (x+2).
23. Halla m para que (x5-8x2+mx-6x3+1) sea divisible por (x+1).
24. Halla b para que (x-2) sea un factor de (x3-2bx+3).
25. Halla m para que al dividir (x4-x3-3x+m) entre (x+2), el
resto sea 8.
26. Halla k para que el polinomio de la izquierda sea
divisible por el binomio de la derecha:
a)(x2-6x+k) por (x+3)
b)(x3-3x2+2x+k) por (x+2)
c)(x3-9x2+kx-32) por (x-4)
d)(3x5-8x3+kx-20) por (x-2)
27. P(x) es un polinomio de grado 2 con coeficiente de x2 igual
a 1. Al dividir P(x) entre (x-5); el resto es 4. Si P(x) es
divisible por (x-3); halla P(x).
- 75 -
Recuerda
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
 Haz el siguiente producto:
(x-2)·(x+2)·(x-3) = x3-3x2-4x+12
Dicho de otra forma, podemos descomponer el polinomio P(x) = x 3-3x2-4x+12
en un producto de factores más pequeños P(x) = (x-2)·(x+2)·(x-3)
Este va a ser el problema al que nos enfrentaremos: ¿cómo localizar los
números 2, -2 y 3 que intervienen en los factores?
 En cualquier división se tiene: D = d·c+r
En particular, si dividimos un polinomio P(x) entre (x-a), obtendremos un
cociente C y un resto R:
P(x) = (x-a)·C+R
Si, por otra parte, nos interesa conocer el valor numérico del polinomio P(x)
cuando x vale a lo podríamos obtener así:
P(a) = (a-a)·C+R = 0·C+R = 0+R = R
es decir:
P(a) = [Resto de la división de P(x) entre (x-a)]
(Teorema del resto)
Con un par de ejemplos se verá mejor:
P(x) = x3-2x2+1
P(2) = 23-2·22+1 = 8-8+1 = 1
1
2
1
-2
0
1
2
0
0
0
0
1
Coinciden
Resto de P(x) : (x-2)
P(-3) = (-3)3-2·(-3)2+1 = -27-18+1 = -44
1
-3
1
-2
0
1
-3
+15
-45
0
15
-44
Coinciden
Resto de P(x) : (x+3)
- 76 -
Recuerda
 Cuando dividimos un polinomio P(x) entre (x-a) puede ocurrir que el resto R
sea 0, es decir que:
P(x) = (x-a)·C
Si ocurre esto, hemos descompuesto P(x) en dos factores más sencillos: (x-a)
y C (en este caso, evidentemente, P(x) es divisible por (x-a) o (x-a) es un
divisor de P(x) ).
 Cuando ocurre esto último, el valor del polinomio al sustituir x por a sería:
P(a) = (a-a)·C = 0·C = 0.
Se dice en este caso que a es una raíz (o cero) de P(x).
 De lo dicho se desprende que para que P(x) sea divisible por (x-a), debe
suceder que a sea raíz de P(x) y lo recíproco: si a es raíz de P(x), entonces
P(x) es divisible por (x-a).
 Observa el siguiente ejemplo:
Sea P(x) = x3-2x2-5x+6
1
1
1
-2
1
-2
-5
6
1
-1
-6
-1
-6
0
-2
6
-3
0
P(x) = (x-1)·(x2-x-6)
P(x) = (x-1)·(x+2)·(x-3)
Hemos descompuesto P(x) en factores lo más sencillos posible (lo hemos
factorizado).
Así: 
1,-2 y 3 son raíces de P(x):
P(1) = 0, P(-2) = 0, P(3) = 0
luego  P(x) es divisible por (x-1), por (x+2) y por (x-3)
- 77 -
Ejercicios
28. Comprueba si los siguientes
polinomio: P(x) = 2x3-x2-8x+4
a)1
b)-1
c)2
d)-2
números
e)1/2
son
raíces
f)-1/2
del
g)1/3
29. Halla el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas:
a)(x4-3x+2x2-5):(x+2)
b)(3x2+x4-6x+2):(x+1)
30. Resuelve los problemas 18 a 27 sin hacer la división.
Recuerda
En principio buscamos factores del tipo (x-a) que son los más sencillos. Ello
equivale a buscar las raíces a del polinomio con el que trabajamos. ¿Cómo las
buscamos? Lo veremos mejor en el ejemplo:
P(x) = x3-2x2-5x+6
Queremos que ocurra:
1
-2
-5
6
0
¿Qué números podemos poner aquí?
Si estos números han de ser enteros, debe suceder:
1
-2
-5
6
b
0
a·b = -6

a debe ser un divisor de -6
a
Luego los candidatos a raíz entera de un polinomio son los divisores del término
independiente. (En el ejemplo serían  1,  2,  3, y  6).
Ejercicios
31. Factoriza los siguientes polinomios:
a)x2-5x+6
d)x3-4x2-4x+16
g)x2-4
b)x2+6x+9
e)x4-13x2+36
h)x4-34x2+225
- 78 -
c)x3-4x2+5x-2
f)x2-3x+2
i)x5-x4-34x3+34x2+225x-225
Recuerda
Habrás observado que a veces , un factor aparece más de una vez, por ejemplo:
(x2+6x+9) = (x+3)2
Se dice entonces que -3 es una raíz doble de (x2+6x+9) o que su grado de
multiplicidad es dos.
Si aparece tres veces se dice triple o de grado 3, y así sucesivamente.
Si una raíz aparece una sola vez, se dice que es simple.
Recuerda
Cuando un polinomio no tiene término independiente, podemos hacer lo siguiente:
x3-5x2+6x = x· (x2-5x+6)
Se factoriza por Ruffini
x4-x2 = x2· (x2-1)
Se factoriza por Ruffini
y así siempre. Evidentemente, en este caso, el 0 es raíz del polinomio (simple en
el primer caso y doble en el segundo).
Ejercicios
32. Factoriza los siguientes polinomios:
a)x3-4x
d)x5-x3
b)x3+4x2+4x
e)x4-4x3
c)x3-5x2+6x
f)x7-x6-2x5
Recuerda
Hay polinomios de grado 2 o superior que no se pueden o no sabemos factorizar,
por ejemplo x2+1. Cuando ocurre esto, se dejan los factores que parecen tal cual.
Por ejemplo:
1
-3
1
-3
3
2
2
x -3x +x-3=(x-3)·(x +1)
3
3
0
3
1
- 79 -
0
1
0
Ejercicios
33. Factoriza los siguientes polinomios:
a)(x4+x3-x2+x-2)
b)x4-16
34. Halla las raíces de los siguientes polinomios, dí de qué
orden son y factorízalos:
a)x5-3x4+3x3-x2
d)x3-7x+6
b)x4-2x2+1
e)x4+1
c)x5-16x
f)x5+x3
Recuerda
Hasta ahora hemos factorizado polinomios buscando sólo raíces enteras, pero en
algunos casos podemos afinar más.
Veamos los polinomios de segundo grado: P(x) = ax 2+bx +c.
Sabemos que un polinomio es divisible por (x-a) si P(a) = 0, y esto, en este caso
significa que ax2+bx+c = 0.
Es decir, hallar las raíces de P(x) es resolver una ecuación de segundo grado:
 b  b 2  4ac
x 
2a
Veamos como esto nos puede ayudar a factorizar polinomios de segundo grado
que antes no sabíamos:
1
6
P1  x 2  x 
1 
1 
1
  x   x  
6 
2 
3
1
1
4
1
25
1 5




1
1
6
36
6
6
36
2
6
6=
=
=
x  x  0  x 
2
2
2
6
6
1
1
P2  6  x 2  x  1  6· x     x  

2 
3
6x 2  x  1  0  x 
1  1  24 1  5


12
12
Observa que P2  6·P1
- 80 -
1/2
-1/3
1/2
-1/3
Recuerda
1
1
P3  12x 2  2x  2  12· x   x  

2 
3
12x 2  2x  2  0  x 
1/2
2  4  96 2  10


24
24
-1/3
3
P4  x 2  2x  3  x  1x  3
x 
2  4  12 2  4

2
2
P5  x 2  6x  9  x  32
x 
6  36  36 6  0


2
2
P6 
x2 x 2  x2 x 2
x 
-1
3
3
1  1 8
 sin solución
2
Ejercicios
35. Factoriza los siguientes polinomios:
a)4x2-1
e)x2-2
b)4x2+1
f)x2-3
c)4x2-7x-2
g)x2-5
d)6x2+5x+1
h)3x2-15
Recuerda
Veamos ahora cómo extender esto a grados mayores:
6x3-x2-4x-1 =
=(x-1)·(6 x2+5x+1) =
1
1
= 6··(x-1)·(x+ )(x+ )
2
3
6
1
6
x 
-1
-4
-1
3
0
3
5
1
0
 5  25  24
51


12
12
- 81 -
-1/2
-1/3
Ejercicios
36. Factoriza los siguientes polinomios:
a)4x4-17x2+4
d)6x3+x2-4x+1
b)9x3+18x2-x-2
e)2x3+x2-2x-1
c)x3+2x2-3x-6
f)x4-6x2+5
Amplía
Cuando no hay raíces enteras y el grado es mayor que dos:
12x3+4x2-3x-1. No tiene raíces enteras (compruébalo).
Podría tenerlas fraccionarias. ¿Cómo buscarlas por Ruffini?
12
4
-3
-1
r/s
0
-1/4
-1/12
r/s
0
P/q
1
1
1
12x3+4x2-3x-1 = 12·(x3+ x2- x- )
3
4 12
1
1/3
P/q
p r 1

· 
q s 12
En nuestro ejemplo,
12
p divisor del término independiente
q divisor del término principal.
p =  1, q =  1,  2,  3,  6,  12
candidatos:  1,  1/2,  1/3,  1/6,  1/12
4
-3
-1
6
5
1
10
2
0
-6
-2
12
4
-4
0
12
0
1/2
12
-1/2
-1/3
- 82 -
1 
1 
1

12·  x   x   x  
2 
2 
3

Ejercicios
37.Calcula las raíces de los siguientes polinomios, di de qué
orden son y factorízalos:
a)-3x2+12
d)2x4-10x2+8
g)8x3+12x2+6x+1
b)3x2-7x
e)2x3+12x2+22x+12
h)2x2+3x+1
c)x4-4x2+4
f)x3+x2-2x-2
i)5x3+2x2-5x-2
Amplía
Si lo cree conveniente el profesor se puede ver esto ahora. Si no, se hará en el
tema de ecuaciones.
ECUACIONES POLINÓMICAS
Todo lo visto nos va a permitir resolver algunas ecuaciones polinómicas de grado
mayor que 2. Con un ejemplo se entenderá mejor:
x3-2x2+3 = x2+x
 x3-3x2-x+3 = 0
Resolver la ecuación equivale a hallar las raíces del polinomio: x 3-3x2-x+3.
Hallar las raíces implica el mismo proceso que factorizarlo:
1
-3
1
-1
-2
3
-3
1
-2
-3
0
-1
3
-3
0
1
-1
1
(x3-3x2-x+3) = (x-1)·(x+1)·(x-3) = 0
x=1
x=3
x=-1
soluciones
1
y aún mejor:
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
1
1
(x3-3x2-x+3) = (x-1)·(x2-2x-3)
x=1
- 83 -
x 
2  4  12 2  4


2
2
3
-1
Ejercicios
38. Resuelve las ecuaciones:
a)x3+x2-4x-4=0
d)x+6=4x2-x3
b)2x3+x2=x3+4x+4
e)6x3-x2-4x-1=0
c)x3-4x2+x+6=0
f)2x4-2x3+2x2-2x=0
Observa
MCD Y MCM DE VARIOS POLINOMIOS
 Recuerda lo que hacías con números:
360 = 23·32·5
84 = 22·3·7
108 = 22·33
mcm (360,84,108) = 23·32·5·7
factores comunes y no comunes de mayor exponente.
mcd (360,84,108) = 22·3
factores comunes de menor exponente.
 Con polinomios se actúa exactamente igual:
P = x3-5x2+6x = x (x-2)(x-3)
Q = x3-4x = x (x-2)(x+2)
R = x4-4x3+4x2 = x2 (x-2)2
mcd (P,Q,R) = x·(x-2)
mcm (P,Q,R) = x2 (x-2)2(x-3)(x+2)
 Del mismo modo que :
6 = 2·3 ; 35 = 5·7  mcd (6,35) = 1
ocurre que :
P = x2-5x+6 =(x-2)(x-3)
mcd (P,Q) = 1
Q = x2+4x+4 = (x+2)2
y al igual que se decía que 6 y 35 son
números
entre sí, se dice que los polinomios P y Q son primos entre sí.
- 84 -
primos
Ejercicios
39. Halla el mcd y el mcm:
a)(x2-1),(x2+x-2)
c)(x3-4x2+5x-2),(x5-x3)
e)(x2-5x+6),(x2-2x+1)
g)(x2-4),(x2+2x+1),(x2-2x+1)
i)(3x2-9x+6),(x2-4)
k)(6x2-6),(3x2-3)
b)(x3+4x2+4x),(x3-4x)
d)(x3-5x2+6x),(x4-13x2+36)
f)x3,(x2-x),(x2+x)
h)(x3-5x2+6x),(x3-4x2+4x)
j)(6x2-6),(8x2+8x-16)
l)(x2-1),(1-x2)
Recuerda
FRACCIONES ALGEBRAICAS
 Una fracción algebraica es una expresión de la forma
P (x )
donde P y Q son
Q (x )
dos polinomios, Q  0.
 Con fracciones algebraicas se trabaja exactamente igual que con fracciones
numéricas:
 simplificación:
x 2  5x  6
x  2x  3 = x  2x  3  x  3

2
x  2x  2 x  2
x  4x  4
x  22
factorizando
 sumas y restas:
Pasamos a común denominador
(mcm de los denominadores)
factorizando denominadores
x
2
2



x  1 x  x x  1x  1 x x  1
x 2  2x  2
x ·x
2·x  1


x x  1x  1 x x  1x  1 x x  1x  1
x
2

2
Agrupamos numeradores.
Factorizamos el de arriba y simplificamos si se puede
(en este caso no se puede)
- 85 -
Recuerda
 Productos y cocientes:
operamos
Factorizamos todos los polinomios
x 2  5x  6 x 2  9
=
:
x 2  4x  4 x 2  4
x  22 x  3x  2
=
x  22 x  3x  3
x
 2x  3
x
 2
2
x
x
 2
x  2x  3
=
x
:
 3x  3
 2x  2
=
2
simplificamos
1º Paréntesis de dentro hacia fuera.
2º Productos y cocientes
3º Sumas y restas
 Orden de las operaciones:
Ejercicios
40. Simplifica al máximo:
6x 3
2x
b)
2x 3
4x 5
c)
6x 4
3x 4
x2  x
d) 2
x  x
e)
x2  x
 x2  x
f)
x2  3x  2
x2  1
h)
x3  2x  1
x3  2x2  1
i)
x 3  2x 2
x 3  4x
a)
g)
x2  9
x2  6x  9
x2  4x  4
j) 2
x  5x  6
x2  1
k)
1  x2
- 86 -
x 3  3x 2
l) 2
3x  x 3
Ejercicios
41. Opera y simplifica:
a)
x
x

3
5
xx
d) ·
35
b)
e)
3
5

x
x
c)
x
x
:
3
5
f)
x
5

3
x
2
x  1

3
5
42. Opera y simplifica:
a) 5 
x
5

3
x
b)
x
2
 2
2x  4
x  2x
x  2
x  2

x  2
x  2
c)
1
x 1
x  1


x 1
x  1
x 1
d)
e)
x  3
x  2
x  3

 2
x  1
x
x  x
x  1
x  1
x2  3

 2
f)
x  1
x  1
x  1
g)
1  3x
5x  6

x  1
2x  2
h)
- 87 -
3
2
6

 2
1 x
x 1
x 1
Ejercicios
43. Opera y simplifica:
a)
x5  x3 x2  4x  4
·
x3  4x x2  2x  1
b)
x2  5x  6
x2  9
:
x2  4x  4 x2  x  2
c)
1  x2 x  1
·
1  x2 2x2  2
d)
2x3  8x 1
:
3x3  3x 3
x  2 x  1
·
x2
2x  1
44. Opera y simplifica:
x 1
 x
x
x
a) 
·

:   3
5
3
x  1 x  1
b)
x2  5x  6 x2  4x  4
x  1
·

2
2
x  4x  4
x  4
x  2

x
2 
3x


c)  x 
 x 
3
3  2x  1x  1 

6
6
8
d)  x  5   : 1 
 2
x 
x
x 

45. Opera y simplifica:
a)
6
3
2


2
1 x
1  x
1  x
b)
c)
x  2 x  1
:
x2
2x  1
d)
- 88 -
1  x 2
1  x 
1  x  2x 1  x 
2
:
Soluciones
TEMA 5:
1.
a) x+10
b)x+5 = y
c)x = 8·y
d)x = 3·y
2.
a)8x
g)7x2
b)-3x
h)-2x3
c)7y
i)5x2+y
d)7x+1
j)3x2+4x
e)7x+3y
k)3x2
f)-y+1
l)5x-5
3.
a)x5
b)6x5
c)35y6
d)5y4
e)2y3
f)7
g)2x2
h)x4
i)1
4.
a)3x+15
f)x2-2x-15
b)8x
c)x2+5x
g)x -8x+15
2
d)x2+8x+15
h)x4-1
e)x2+2x-15
i)x4+x3+2x2
5.
a)5(x+y)
b)5(x+1)
c)5x(x+1)
d)x(5+y)
e)2(x-2)
6.
a)x2+4x+4
b)x2+6x+9
c)x2-10x+25
d)x2+y2+2xy
e)x2+y2-2xy
2
2
2
2
2
2
f)x -y
g)x -4
h)x -9
i)x -25
j)36-x
k)64-a2
2
2
2
2
2
2
l)a -x
m)x +4x+4
n)x +6x+9
o)x -10x+25
p)x +y2+2xy
7.
a)x4+2x3+x2
b)x4-10x2+25
c)4x2+4x+1
d)4x2-12x+9
e)4x4+4x3+x2
f)4x2-25
g)9x4-4
h)x2/4–x+1
8.
a)(100+9)2=10000+81+1800=11881
b)(100-9)2=10000+81-1800=8281
c)(100+9)(100-9)=10000-81=9919
9.
a)x3+6x2+12x+8
b)x3-6x2+12x-8
c)8x3+36x2+54x+27
d)x6-9x4+27x2+27
10.
a)8x b)5x c)15x2 d)5x3 e)15x f)5x g)-2x2 h)8x4 i)x2+8x+1 j)13x-1 k)5x34x2-3 l)11x+7 m)-6x5 n)30x3 o)120x5 p)-10x4 q)36x4 r)-6x4 s)13x t)13x
11.
a)20+5x
b)x2+2x4
c)6x2+12x
d)2x+x2
e)4x2-20x3
f)-8x+24
12.
a)2(x+y) b)x(1+5y+x) c)x(6+x) d)4(x+y) e)x(1+2y+x) f)x(8+x)
13.
14.
Aa)5 Ab)-1·x5
Ac)0 Ad)-314/5
2
a)4(x +x) b)(6x+2) c)(a+b) d)(3x-2)
Ba)7 Bb)x7
Bc)-2 Bd)-82
15.
a)7x4+3x2 b)-1 c)7x4+5x3+3x2 d)7x4-5x3+3x2 e)5x5+6x4-x f)7x6-x5-3x3+2x2
g)-7x6+6x5+6x4-3x3+2x2-x-2 h)21x6 i)35x10-5x9-7x8+x7+7x6-x5+5x4-x2+1
j)15x7-10x6-3x5+7x4+3x3-3x2+1 k)15x5+5x3
4
l)9x +12x3+x2-5x-2 m)15x8+8x7-21x6+17x5-x4-4x3+4x2-x-1
7
6
n)15x +10x -8x5-7x4+4x3+3x2-x-1 o)105x13+55x12+46x11-57x10+35x9
p)6x3+4x2-2x-2
3
2
3
2
3
2
6
4
q)9x -6x +3 r)15x -2x -2x+1 s)-3x +10x -2x-5 t)54x -42x +12x3+24x2-6x-6
16.
a)C=x2+5x+28; R=142x-17
b)C=4x2+12x+38; R=114x+1
2
3
2
c)C=x; R=3x +7x+11
d)C=4x +12x +38x+114; R=343
e)C=2x; R=9x
f)C=x2-5x+6; R=x-1
g)C=4x2+6x-2; R=4
h)C=2/3; R=-5/3
i)C=1/2x; R=-11/2x
j)C=0; R=x2-2x+1
17.
a)C=4x3+12x2+38x+114; R=343
b)No
c)No
d)C=5x2-21x+63; R=-196
e)C=x2+4x-4; R=5 f)C=x-3; R=0
g)No
h)C=x3-6x2+30x-150; R=749
i)C=x3-x2; R=-1
j)No
18.
19.
20.
21.
22.
23.
-1/2
-27
a)2 b)0 c)-27/4 d)0
-15
21
-2
24. 25.
26.
27.
11/4
-22
a) –27 b) 24 c)28 d) -6
x2-6x+9
28.
29.
a)No b)No c)Si d)Si e)Si f)No g)No
a)25 b)12
30.
Son las mismas soluciones del problema correspondiente.
31.
- 89 -
Soluciones
a)(x-2)(x-3)
b)(x+3)2
e)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
h)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)
c)(x-1)2(x-2)
d)(x-2)(x+2)(x-4)
f)(x-1)(x-2)
g)(x-2)(x+2)
i)(x-1)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)
32.
33.
2
a)x(x-2)(x+2) b)x(x+2) c)x(x-2)(x-3)
a)(x-1)(x+2)(x2+1)
d)x3(x-1)(x+1) e)x3(x-4) f)x5(x-2)(x+1)
b)(x-2)(x+2)(x2+4)
34.
35.
a)x2(x-1)3 ; o doble, 1 triple
a)4(x-1/2)(x+1/2) b)No se puede
2
2
c)4(x-2)(x+1/4) d)6(x+1/2)(x+1/3)
b)(x-1) (x+1) ;  1 dobles
2
c)x(x-2)(x+2)(x +4) ; 0,  2 simples
e)(x- 2 )(x+ 2 ) f)(x- 3 )(x+ 3 )
d)(x-1)(x-2)(x+3); 1,2.-3 simples
g)(x- 5 )(x+ 5 ) h)3(x- 5 )(x+ 5 )
e)x4+1; sin raíces f)x3(x2+1); 0 triple
36.
a)4(x-2)(x+2)(x-1/2)(x+1/2)
b)9(x+2)(x-1/3)(x+1/3)
c)(x+2)(x- 3 )(x+ 3 )
d)6(x+1)(x-1/2)(x-1/3) e)2(x-1)(x+1)(x+1/2) f)(x-1)(x+1)(x- 5 )(x+ 5 )
37.
38.
a)  2 simples: -3(x-2)(x+2)
b)0, 7/3 simples: 3x(x-7/3)
a) -1,2,-2
2
2
c)  2 dobles: (x- 2 ) (x+ 2 )
b) -1,2,-2
d)  1,  2 simples: 2(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
c) -1,2,3
e)-1,-2,-3 simples: 2(x+1)(x+2)(x+3)
d) -1,2,3
f)-1,  2 simples: (x+1)(x- 2 )(x+ 2 )
e) 1,-1/2,-1/3
g)-1/2 triple: 8(x+1/2)3
h)-1,-1/2 simples: 2(x+1) (x+1/2) f) 0,1
i)  1,-2/5 simples: 5(x-1)(x+1)(x+2/5)
39.
a)mcd=(x-1), mcm=(x-1)(x+1)(x+2)
b)mcd=x(x+2), mcm=x(x-2)(x+2)2
c)mcd=(x-1), mcm=x3(x-1)2(x+1)(x-2)
d)mcd=(x-2)(x-3), mcm=x(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
e)mcd=1, mcm=(x-1)2(x-2)(x-3)
f)mcd=x, mcm=x3(x-1)(x+1)
2
2
g)mcd=1, mcm=(x-1) (x+1) (x-2)(x+2)
h)mcd=x(x-2), mcm=x(x-2)2(x-3)
i)mcd=(x-2), mcm=3(x-2)(x+2)(x-1)
j)mcd=2(x-1), mcm=24(x-1)(x+1)(x+2)
k)mcd=3(x-1)(x+1), mcm=6(x-1)(x+1)
l)mcd=mcm=(x-1)(x+1)
40.
x  1
1  x
x 1
a)3x2
b)1/2x2
c)2
d)
e)

x 1
 x  1
x  1
x 1
x  3
x  2
x  2
x
f)
g)
h)
i)
j)
k)-1
l)-1
x  3
x  3
x  1
x  2
x 1
41.
a) 2x/15
b) -2/x
c)
x2  15
3x
d) x2/15
e) 5/3
f)
13  3x
15
42.
 x2  15x  15
1  3x
8x
x  2
b)
c) 2
d) 2
3x
2x
x  1
x 4
2
x  5
11x  8
5x  7
7x  5
e) 2
f) 2
g)
h) 2
2
x

2
x

1
x  x
x 1
43.
44.
2x  8
17x  12
x2x  1x  2
x  1x  2
a)
b) 2
a)
b)
5
x

5
x
 4x  4
x  1x  2
x  3x  2
2
2
3x
x  3x
1
2x  2x  2
c) 2
d)
c)
d)
x 4
x  1
x  1x  1
2  2x
45.
a)
a)
1
x 1
b)
x2  x  2
2x3  x2
c)
- 90 -
2x2  5x  2
x3  x2
d)
1  x
1  x
TEMA 6: ECUACIONES Y SISTEMAS
Recuerda
Este curso ampliaremos el campo de ecuaciones que ya iniciamos en cursos
anteriores. Por si alguien ha olvidado cosas, recordaremos algo.
 Una ecuación es una igualdad donde aparecen cantidades conocidas y
desconocidas relacionadas por operaciones matemáticas. Por ejemplo:
2) 2x-1 = 8
1) 3x+4 = 5x-8
 Resolver una ecuación es encontrar las cantidades desconocidas, incógnitas,
que hacen cierta la igualdad. En nuestros ejemplos, la solución sería:
1) x = 6
2) x = 4
 Para resolver una ecuación hay un principio básico: todo lo que hagamos a uno
de los lados de la igualdad, miembro, debemos hacérselo al otro para
conservarla, por ejemplo:
 x+5 = 8  x+5-5 = 8-5  x = 8-5 = 3
que se traduce vulgarmente por: lo que está sumando a un lado,
pasa restando al otro.
 x-5 = 8  x-5+5 = 8+5  x = 8+5 = 13
que se traduce vulgarmente por: lo que está restando a un lado,
pasa sumando al otro.
20
 5·x = 20  5·x:5 = 20:5  x=
=4
5
que se traduce vulgarmente por: lo que está multiplicando a un lado, pasa
dividiendo al otro.
 x:6 = 5  (x:6)·6 = 5·6  x = 5·6 = 30
que se traduce vulgarmente por: lo que está dividiendo a un lado, pasa
multiplicando al otro.
- 91 -
Ejercicios
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x-7 = 3x-8
b) 6x-3 = 2x+1
c) 9(x-1) = 6(x+3)
d) 2x+2 = x+2
e) 10x+2x = 7x-15
f) x-7 = 2(x-3)
g) 2x+2 = x+5
h) –3x+2 = x+10
i) 12-(x-3) = 6
j) 8(x-2) = -12(3-x)
k)
2
1
1
1
x-  x2
5
3
4
l) 2x-
m)
1
2
x+  x-3
3
5
n)
o)
3
2
x+1 =
x-2
4
5
p) 3-(2x+1) = 5
2
1
 x+
5
3
1
3
2
1
x+  x+
3
2
5
2
q) x-(3-2x) = 3
r) 2x+(5x-2) = 3
s) x = 4-(x-2)
t) 2x-3 = 4(x+2)
u) 3-(x-2) = 4-(2x+1)
v) 2(x+1)+x = 7
w)
2x  1
x  3
 5 
6
4
x)
x  11
x  5

 0
6
3
2. Si al triple de un número le restamos 7 obtenemos el doble
del número inicial. Hállalo.
- 92 -
Ejercicios
3. Halla el número al que sumándole 5 obtenemos seis veces más
que si le restamos 5.
4. Si al doble de un número le restamos su mitad obtenemos 54.
Halla el número.
5. Si a un número le restamos 1 obtenemos el doble que si le
restamos 10. Hállalo.
6. Eva se gastó los 3/4 partes del dinero que tenía y después
la tercera parte de lo que le quedaba. Si acaba con 1 €,
¿cuánto dinero tenía al empezar?
7. Se han consumido 7/8 del contenido de un bidón de aceite.
Reponemos 38 l y así el bidón queda lleno hasta sus 3/5
partes. Halla la capacidad del bidón.
8. Se reparten 150000 € entre tres personas A, B y C de modo
que entre A y B cobren conjuntamente doble de lo que cobra C y
que A cobre 20000 € más que B. ¿Cuánto recibe cada persona?
9. Los 65 viajeros de un avión pertenecen a 4 países.
Colocados en orden decreciente, el número de viajeros que
corresponde a cada país, México, Venezuela, Argentina y
España, cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos
viajeros hay de cada país?
- 93 -
Ejercicios
10. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x  1
x  3

 0
10
6
b)
x  2
x 1

 1
9
3
x  1
 3
2
d)
x
x  2
x  3


 3
3
4
9
c) x 
e)
x
x 1
x  1


 1
2
3
4
f)
x  1
x  3

 0
5
6
g)
x  2
x  1
x 1


 0
6
3
2
h)
x  1
x 1
x  3


 2
8
6
5
i)
x  5
2x  3

2
3
j)
2x  1
4x  2

3
5
k)
x  1
x  3

 1
6
4
l) 2x 
m)
2x  1
x  2

 0
15
9
n)
o)
x  11
x  5

 0
6
3
x  2
 x  7
8
3x  2
x  1
 7  2x 
5
2
11. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x
x
x


 5
2
3
4
c)
x  2
3(1  x)
 10 
3
2
b)
x  6
x  2

 1
10
3
12. En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales
mide 3 cm más que el lado desigual y su perímetro es 24 cm.
¿Cuánto miden los lados?
- 94 -
Ejercicios
13. La suma de dos números pares consecutivos es 90. Hállalos.
14. El perímetro de un rectángulo es 20 cm y el lado mayor
mide 2 cm más que el menor. Halla sus lados.
15. Las edades de María y de su padre suman 54 años. Hace 5
años la edad de su padre era el triple que la de María. ¿Qué
edad tiene cada uno?
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x  2
3(1  x)
 10 
3
2
b)
3  x
x
1  x
2  x



6
2
5
3
c)
x  2
x  1
x  1


 0
6
3
2
d)
x  1
x  1
x  3


 2
8
6
5
x  1
x  1

2
3
f)
 x
2
1
1
x 
3  0
2 
2
3
x 
e)
2
5
x  1
x  1
3
4

g)
2
3
i) x 
x
1

3  x  7
h) 5
5
1
3
x


2
4
2
- 95 -
Ejercicios
17. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x  2
x  2
x  1
x  3



3
2
6
4
2
1
x
x 
 3
2

x
3 
2 
2

3
4
6
12
x 
b)
c) x 
d)
3x  1
x  1
x  2

 1 
 2(x  1)
4
5
10
1  2x  5
x  3
1 5
10x  5



 2x  3

 

2 3
2 
5 4
3

1



x  
1  x 

2   4x  3  3x  4
  x 
e) 
3
3
1  

1  



4
4


2
2
5
 x
x  20
x  1
f) 3
 2
 30x  5
7
2
3
1
1 

1 
3
3
4
5
18. ¿Qué número hay que sumar a cada uno de los dos términos
7
2
de la fracción
para obtener una fracción equivalente a
?
3
13
- 96 -
Ejercicios
19. Halla los tres ángulos de un triángulo A,B,C sabiendo que
el ángulo B mide 40º más que C, y que A mide 40º más que B.
20. Calcula los ángulos
condiciones que se dan.
3x+20
x
del
trapecio
del
dibujo
con
las
3x+15
x+5
21. En un triángulo ABC, el ángulo A mide el triple que C y el
ángulo B mide el doble que C. Halla lo que miden los tres
ángulos.
22. La base de un rectángulo mide doble que su altura.
Hállalas sabiendo que el perímetro del rectángulo es 30 cm.
23. Halla los ángulos del paralelogramo del dibujo con los
datos que se dan.
8x
2x+20
24. Un peatón recorre 22 km en 4 h a velocidad constante.
a) Halla su velocidad en km/h.
b) Hállala en m/seg.
25. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres
y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos.
¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si el total es de 96
personas?
26. La valla que rodea un campo rectangular mide 3200 m.
¿Cuáles son las dimensiones del campo si su largo mide triple
que su ancho?
27. Halla el número cuya tercera parte sumada con su triplo
nos dé como resultado 40.
- 97 -
Ejercicios
28. Descompón el número 133 en dos sumandos de forma que al
dividir la parte mayor por la menor dé 4 de cociente y 8 de
resto.
29. Halla dos números enteros consecutivos tales que la
diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte
del menor sea 1/5 del menor.
Recuerda
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
 Son aquellas en las que la incógnita aparece, como mucho, elevada al cuadrado.
Después de operar los dos lados (miembros) de la igualdad, queda reducida a
una expresión como: ax2+bx+c = 0, con a,b,c números conocidos.
 Para su resolución consideremos tres casos:
1º) Cuando c = 0.
Tenemos ax2+bx = 0  x(ax+b) = 0  Dos soluciones: x = 0, x = 
2º) Cuando b = 0.
Tenemos ax2 + c = 0  x2 = 
b
.
a
c

a
c
c
> 0  Dos soluciones: x =  
a
a
c
b) Si  = 0  c = 0  Una única solución: x = 0.
a
c
c) Si  < 0  No hay ninguna solución.
a
a) Si 
3º) Caso general, que también incluye los anteriores.
La solución de la ecuación viene dada por la fórmula: x 
(b2-4ac = Discriminante)
a) Si b2-4ac > 0  Hay dos soluciones.
b) Si b2-4ac = 0  Hay una solución.
c) Si b2-4ac < 0  No hay solución.
- 98 -
 b  b2  4ac
2a
Recuerda
Podemos ver que, efectivamente, esta fórmula da la solución de la ecuación,
viendo que en ambas expresiones pone lo mismo, haciendo una serie de cálculos:
x
 b  b2  4ac
 2ax  b  b2  4ac  2ax  b   b2  4ac
2a
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, nos queda:
4a2x2+b2+4abx = b2-4ac  4a2x2+4abx+4ac = 0  4a (ax2+bx+c) = 0
Y como a  0 ( de lo contrario la ecuación no sería de segundo grado) tenemos
que: ax2+bx+c = 0.
Veamos algunos ejemplos:
x=0
1º) 4x2-8x = 0  x(4x-8) = 0
4x-8 = 0  x = 2
x=3
2º) x2-9 = 0  x2 = 9  x   9
3º) x2-5x+6 = 0  x 
x = -3
5  25  24 5  1

2
2
x=3
x=2
Ejercicios
30. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2-9x = 0
b) 4x2-16x = 0
c) 4x2-9x = 0
d) x2-x = 0
e) x2-9 = 0
f) x2-6 = 10
g) 3x2-48 = 0
h) 1-4x2 = -8
i) x2-2 = 0
j) x2+4 = 0
k)
- 99 -
3 2
9
x 
2
2
l) x2-5 = 0
Ejercicios
31. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2-5x+6 = 0
b) x2+5x+6 = 0
c) x2-2x+1 = 0
d) x2+4x+4 = 0
e) -x2-x+2 = 0
f) 6x2-x-1 = 0
g) x2-4 = x-2
h) (x+1)(x+2) = 3(x+2)
3x2  11
2x2  60

 36
i)
5
7
j) 5x+4 = 3x2+3x+3
k) 2x2-1 = 1-x-x2
l) 2x2-x+4 = 3x2+3x+3
m) 3x2-2x+1 = 0
n) 3x2+6x-3 = 0
o) x2+x+3 = 0
p) -2x2-2x-2 = 0
32. Se tienen tres tiras de longitudes 8, 15 y 16 cm.
Se
quiere cortar a cada tira un trozo de igual longitud, de forma
que las tiras resultantes formen un triángulo rectángulo.
¿Cuál es la longitud del trozo suprimido?
33. Un depósito de forma cilíndrica cuya altura es de 10 m
tiene un volumen de 2,826 m3. Calcula los metros cuadrados de
cinc necesarios para ponerle una tapa.
- 100 -
Ejercicios
34. Aumentando un lado de un cuadrado en 4 m y el otro lado
perpendicular en 6 m se obtiene un rectángulo de doble área
que el cuadrado. Halla el lado del cuadrado.
35. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 24 cm y la
hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto. Halla el perímetro
y el área del triángulo.
36. Haz lo mismo que en el problema 35, si un cateto es 5/13
de la hipotenusa y el otro cateto mide 48 cm.
37. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.
38. El cuadrado de un número menos su duplo es -1. Calcula el
número.
39. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números
enteros consecutivos. Halla los lados.
40. El producto de dos enteros consecutivos es 156. Hállalos.
41. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 m y la
diferencia entre los catetos es 7 m. Halla los catetos.
- 101 -
Amplía
 Evidentemente, si los dos miembros de una ecuación cualquiera se multiplican
por el mismo número (distinto de cero), las soluciones no cambian.
 Ampliando esto a una ecuación de segundo grado: ax 2+bx+c = 0, si dividimos
b
c
por a tenemos: x 2  x   0 .
a
a
 Si  1 y  2 son soluciones de esta ecuación, se cumplirá:
x   1 · x   2   0 
luego:
x 2   1   2 x   1 2  0
b
a
c
1  2 
a
 1  2 
relaciones conocidas como fórmulas de Cardano-Vieta.
Ejercicios
42. Determina las ecuaciones de segundo grado con términos en
x2 igual a 1, cuya suma de soluciones es S y su producto P.
a)S=5, P=6
c)S= 
b)S=P=4
1
5
, P= 
6
6
d)S=-P=1
43. Busca la ecuación de segundo grado con término en x2 igual
a 1, cuyas raíces son:
a)-1 y 4
b)1/2
y 2
c)-2 y -3/2
d) 2 y - 2
Recuerda
ECUACIONES REDUCIBLES A UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1º) Ecuaciones formadas por productos de factores de primero y segundo grado
igualados a cero. Para resolverlas basta resolver cada factor igualado a 0. Por
ejemplo:
x-3 = 0
(x-3)(x2-4) = 0
2
x -4 = 0
- 102 -
x=2
x = -2
Recuerda
2º) Ecuaciones bicuadradas. Son aquellas en que la incógnita aparece elevada sólo
a 2 y 4 o a 3 y 6 o a 4 y 8… Se resuelven sustituyendo la incógnita elevada al
mayor grado por z2. Por ejemplo:
x4-29x2+100 = 0
z 
2
x =z
z2-29z+100 = 0
x=5
z = 25
29  841  400 29  21


2
2
x = -5
x=2
z=4
x = -2
3º) Ecuaciones racionales. Son aquellas en las que la incógnita aparece en el
denominador. Operando se convierten en una ecuación de segundo grado de la que
obviaremos las soluciones que anulen el denominador. Por ejemplo:
1
1

0
2
x x  1 x  1
1
1

0
3
2
x 1
x x
1-x2 = 0
x2 = 1
1x2
0
x 2 x  1
x=1
Solución válida
x=-1
Descartada
4º) Ecuaciones irracionales. Son aquellas en las que la incógnita aparece bajo una
raíz cuadrada. Aislándola y elevando al cuadrado se convierte en una ecuación de
segundo grado, de la que se obvian las soluciones que hacen negativo el radicando.
Por ejemplo:
2x  1  x  1
2
2x+1 = x -2x+1
2
0 = x -4x
x=0
x=4
Ejercicios
44. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)(x-1)(x-2)=0
b)(2x-5)(7x-3)=0
c)(x-1)(x-2)(x+3)=0
d)(x-2)(x2-1)=0
- 103 -
ambas válidas
Ejercicios
45. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)4x4-5x2+1=0
b)x4-13x2+36=0
c)x4+5x2+4=0
d)2x4-x2+1=0
e)12x4+x2-1=0
f)x4+3x2+2=0
g)x4-x2-6=0
h)x4+2x2-3=0
i)2x4+x2-1=0
j)x4+5x2+6=0
k)x6+3x3+2=0
46. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
4
x
12


x
2
x
b)
x
x 1
13


x 1
x
6
c)
3  x
2
4


5
x
5
d)
4
x

 1
x
2
e)
2x  1
x  7
3x  1 


 4 

x  1
x  1
x  2

f)
1
3
 2  5
x
x
g)
3
2
3 
x 1
1  x
h)
2
5

 1
2
2x  5
2x  5x
2
47. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x  2  4  0
c) 2x  3  2 
b) 2 x  4 
x
3
d) x2  3  2  x
f) x  3 
e) 2x  1  x  1
g) x  1 
5x  4
6x  9
x 1  1
48. Hay una fracción de
inversa da 13/6. Hállala.
denominador
2
49. Halla un número
cuadrada dé 24.
sumado
el
que
- 104 -
con
que
sumada
doble
de
con
su
su
raíz
Recuerda
ECUACIONES POLINÓMICAS
Todo lo visto nos va a permitir resolver algunas ecuaciones polinómicas de grado
mayor que 2. Con un ejemplo se entenderá mejor:
x3-2x2+3 = x2+x
 x3-3x2-x+3 = 0
Resolver la ecuación equivale a hallar las raíces del polinomio: x 3-3x2-x+3.
Hallar las raíces implica el mismo proceso que factorizarlo:
1
1
1
-1
1
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
-1
3
-3
0
(x3-3x2-x+3) = (x-1)(x+1)(x-3) = 0
x=1
x = -1
x=3
soluciones
y aún mejor:
1
1
1
-3
-1
3
1
-2
-3
-2
-3
0
(x3-3x2-x+3) = (x-1)(x2-2x-3)= 0
x=1
2  4  12 2  4
x 


2
2
x=3
x = -1
Ejercicios
50. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)x3+x2-4x-4=0
d)x+6=4x2-x3
b)2x3+x2=x3+4x+4
e)6x3-x2-4x-1=0
- 105 -
c)x3-4x2+x+6=0
f)2x4-2x3+2x2-2x=0
Recuerda
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
 Son aquellos formados por dos ecuaciones de primer grado con dos
cantidades desconocidas.
Resolverlo es encontrar el valor, o los valores, de las incógnitas que verifican
las dos ecuaciones simultáneamente.
 Hay varios métodos para resolverlas. Veámoslos con un ejemplo:
 Por sustitución: Consiste en elegir una incógnita en una de las ecuaciones y
sustituirla, despejada, en la otra. Veamos un ejemplo:
2x  3y  1

x  2y  0 
2(2y)+3y=1  7y=1  y 
x=2y
1
7
x 
2
7
Solución: x = 2/7, y = 1/7
 Por igualación: Consiste en elegir una incógnita, despejarla en las dos
ecuaciones, e igualar. Veámoslo en el ejemplo:
2x  3y  1

x  2y  0 
1  3y
2
x = 2y
x 
1  3y
1
 2y  1  3y  4y  y 
2
7
Sustituyéndolo en la segunda ecuación: x-2·
1
2
=0  x 
7
7
 Por reducción: Consiste en operar las ecuaciones de modo que desaparezca
una incógnita. Veámoslo en el ejemplo:
2x  3y  1
2x  3y  1  Restando
 

x  2y  0 
2x  4y  0
Sustituyéndolo en una ecuación:
- 106 -
x  2·
7y=1  y=
1
2
0x 
7
7
1
7
Recuerda
 Hay que tener en cuenta que un sistema puede no tener una única solución,
por ejemplo:
x  y  1
 No tiene solución.
x  y  0
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
x y 1 
 Tiene infinitas soluciones.
2x  2y  2
Ejercicios
51. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas, usando un método distinto para cada uno:
a)
x  y  1

x  y  0
b)
2x  y  1

2x  y  0
c)
2x  y  2 

2x  3y  1
d)
2x  2y  x 

3x  y  y 
e)
5x  4y  3  0

x  y  0 
f)
5x  2y  3x  y 

4x  2y  x  y 
x
y
1

 
2
3
g) 3
1
3x  y  
2
j)
2x  y  1 

4x  2y  3
x
y


 1
2
h) 2

x
y

 2
2
2

k)
x  y  1 

3x  3y  3
- 107 -
x
y


 2
i) 2

2
x  y  4 
3x
5y


 2
2
4
l)
12x
3 
 1 
y
5
4 
Ejercicios
52. Cierto día, en una cafetería, hemos consumido un bocadillo
y un refresco que nos han costado 3 €. Al día siguiente, por
cuatro refrescos y tres bocadillos nos pidieron 10,25 €. ¿Cuál
es el precio de cada cosa?
53. Por 5,6 € se han comprado 6 kg de azúcar de clase A y 2 kg
de azúcar de clase B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y
se obtiene una mezcla de 0,75 € el kg. ¿Cuánto vale el kg de
azúcar de cada clase?
54. Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 20 € y
los vende por 22,6 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo
que en la venta del pañuelo ganó el 10% y en la de la bufanda
el 15%?
55. Los radios de dos circunferencias concéntricas difieren en
24cm, y uno es 5/7 del otro. Halla el área de la corona
circular limitada por las dos circunferencias.
56. Un corral tiene conejos y gallinas, con un total de 35
animales y 116 patas. ¿Cuántos animales hay de cada especie?
57. ¿Cuál es el área de un rectángulo del que se sabe que el
perímetro es 16cm y que su base mide triple que su altura?
- 108 -
Ejercicios
58. La suma de dos números es 79 y el cociente entre ellos nos
da como resultado 7 con resto 7. Halla los números.
59. Halla el número de dos cifras del que se sabe que la suma
de sus dos cifras es 10 y que al invertir el orden de sus
cifras resulta otro número igual a 26 más el doble del
inicial. (Pista: 78=7·10+8; 59=5·10+9; 87=8·10+7)
60. Halla un número de dos cifras del que se sabe que su cifra
de las unidades es doble que la de sus decenas, y que si se
invierte el orden de sus cifras, dicho número aumenta en 36
unidades.
61. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace 10
años, la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Qué edad
tienen ahora?
62. Un hermano le dice al otro: “si yo tuviera 5 años más y tú
5 menos, seríamos gemelos”. Y el otro le contesta: “si yo
tuviera 10 años más y tú 10 menos, te doblaría la edad”. ¿Qué
edades tienen ahora?
63. Hace dos años, un padre tenía el triple de la edad de su
hijo, y dentro de 11 sólo tendrá el doble. Halla las edades de
ambos ahora.
- 109 -
Ejercicios
64. Un padre tiene 37 años, y las edades de sus tres hijos
suman 25. ¿Dentro de cuántos años las edades de los hijos
sumarán como la edad del padre?
65. Un padre tiene 26 años más que su hijo. Cuando pasen dos
años, la edad del padre será triple que la del hijo. ¿Qué
edades tienen ahora?
66. Luís preguntó a Juan cuántos años tenía, y Juan le
contestó: “si al triple de los años que tendré dentro de tres
años le restas el triple de los años que tenía hace tres años,
tendrás los años que tengo ahora”. ¿Cuántos son?
67. En un colegio, entre chicos y chicas, hay 300 personas.
Del total asisten a una excursión 155 personas. Se sabe que a
la excursión han ido el 65% de los chicos y el 40% de las
chicas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en el colegio?
68. Un automóvil sale de Madrid a una velocidad de 68 Km/h.
Después de una hora y cuarto sale otro coche en su persecución
y le alcanza 5 horas después. ¿Cuál es la velocidad del
segundo coche?
69. Dos
ciudades
velocidad
tiempo y
si van en
coches de línea salen simultáneamente desde dos
que distan entre sí 600 km. Si uno lleva una
de 56 km/h, y el otro de 64 km/h. ¿Después de cuánto
a qué distancia de las dos ciudades se encontrarán,
sentidos contrarios y a encontrarse?
- 110 -
Ejercicios
70. Dos ciudades A y B distan entre sí 180 km. A las 5 de la
mañana sale un coche de cada ciudad en el mismo sentido. El
que sale de A marcha a 90 km/h, y el que sale de B va a 60
km/h, ¿Al cabo de cuánto tiempo un coche alcanzará al otro? ¿A
qué hora ocurrirá esto? ¿Qué distancia habrá recorrido cada
coche?
71. Las ciudades A y B distan entre sí 60 km. A la misma hora,
salen de ambas, dos coches en el mismo sentido. El que sale de
A a 120 km/h, y el que sale de B a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto
tiempo se encontrarán?
72. Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales,
sustituyendo una de las incógnitas en las otras ecuaciones:
x  y  z  1

x  y  2z  2
x  y  z  1 
Soluciones
TEMA 6:
1.
a)1
b)1
c)9
d)0
e)-3
f)-1
g)3
h)-2
i)9
j)5
k)28/15
l)13/15
m)48/5
n)-9/25
o)-60/7
p)-3/2
q)2
r)5/7
s)3
t)-11/2
u)-2
v)5/3
w)53
x)1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7
7
36
19
6 €
80 l
8.
9.
A=60000 B=40000 C=50000 27 México;18 Venezuela; 12 Argentina; 8 España.
10.
a)9
b)7
c)7
d)6
e)19/7
f)9
g)7/2
h)7
i)9
j)-11/2
k)5
l)6
m)7
n)-61/9
o)1
11.
12.
13.
14.
15.
a)60/7 b)4 c)-55/7
6, 9 y 9 cm
44 y 46
4 y 6 cm
16 y 38
16.
a)73/11 b)-11/4 c)7/2 d)7 e)5/6 f)-5/7 g)60/29 h)-265/36 i)5/2
17.
a)-7/11
b)2
c)-25/11
d)-26/11
e)1/8
f)-18/5
18.
19
20.
21.
5
20º, 60º, 100º
40º, 45º, 135º, 140º
30º, 60º, 90º
- 111 -
Soluciones
22.
23.
128º y 52º
Base 10, altura 5
24.
a)5,5

b) 1,527
29.
35 y 36
25.
26.
27.
28.
8 H, 16 M, 72 N
400m x 1200m
12
108 y 25
30.
a)0 y 9
b)0 y 4
c)0 y 9/4
d)0 y 1
e) 3
f) 4
3
g) 4
h) 
i)  2
j)No tiene solución.
k)  3
l) 
2
31.
a)2 y 3
b)-2 y -3
c)1
d)-2
e)1 y -2
f)1/2 y -1/3
g)2 y -1
h) 2
i) 9
j)1 y -1/3
k)-1 y 2/3
l)  2 
20
2
n)  1 
m)No tiene.
32.
33.
8
2
o)No tiene.
34.
5
p)No tiene.
35.
P=56cm, A=84cm2
36.
37.
38.
P=120cm, A=480cm2
13 y 14 o -13 y -14
1
39.
40.
41.
3,4 y 5
12 y 13 o -13 y -12
5 y 12
42.
a)x2-5x+6=0
b)x2-4x+4=0
c)6x2+5x-1=0
d)x2-x-1=0
43.
44.
a)x2-3x-4=0
b)2x2-5x+2=0
a)1 y 2
b)5/2 y 3/7
c)2x2+7x+6=0
d)x2-2=0
c)1, 2 y –3
d)2, 1 y -1
45.
3 cm
0,2826
a)  1,  1/2
b)  3,  2
g) 
f)No solución
12 m
c)No solución
d)No solución
e)  1/2
2
h)  1
i) 
j)No solución
k)-1 , 3  2
2
3
46.
a)  4
b)2,-3
c)2,5
d)2,-4
e)5, -5/4
f)No solución
47.
a)6
b)12
c)3
d)-1/4
e)0 y 4
f)0 y 12
g)5/4
g)2,-4/3 h)1
48.
49.
3/2
16
50.
a)-1,2,-2
b)-1,2,-2
c)-1,2,3
d)-1,2,3
e)1,-1/2,-1/3
f)0,1
51.
a)x=y=1/2
b)x=1/4, y=1/2
c)x=5/4, y=-1/2
d)x=y=0
e)x=y=1/3
f)x=y=0
g)x=5/11, y=7/22
h)x=3, y=-1
i)Infinitas soluciones
j)Sin solución
k)Infinitas soluciones
l)x=2/3, y=4/5
52.
53.
54.
Ref=1,25, Boc=1,75 0,65 € el kg de A y 0,85 € el de B
Pañ=8 €, Buf=12 €
55.
56.
57.
58.
59.
60.
2
2
23
conejos,
12
gallinas
12
cm
70
y
9
28
48
3456  cm
61.
62.
63.
64.
65.
66.
20 y 40 años 40 y 50 años 41 y 15 años 6 años
11 y 37 años
18 años
67.
68.
69.
Chicos=140, chicas=160 85 km/h
5 horas, 280 y 320 km
70.
71.
72.
6 horas, 11 de la mañana, 540 y 360 km
2 horas
x=0, y=0, z=1
- 112 -
TEMA 7: GEOMETRÍA
Lee
En este tema repasaremos cosas que ya has visto otros años. Muchas ya las
sabrás, pero son lo suficientemente importantes como para recordarlas, y vamos
a ello.
1ª Parte: UNIDADES DE MEDIDA
Recuerda
En la época de la revolución francesa, se planteó construir un sistema de medidas
que unificara las existentes de una forma racional y ajustada al sistema decimal
de numeración. Así nació el sistema métrico decimal que usamos habitualmente y
al que nos dedicaremos.
LONGITUDES
 Una longitud es la distancia que hay entre dos puntos.
 El metro es la principal unidad de longitud. Para medir cosas más grandes y
más pequeñas usamos:
Abreviatura
Unidad
Valor (en metros)
Km
Hm
Dam
m
dm
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
cm
Centímetro
mm
Milímetro
1000 m
100 m
10 m
1m
1
0,1 m =
m
10
1
0,01 m =
m
100
1
0,001 m =
m
1000
- 113 -
Recuerda
Hay ocasiones en que las unidades habituales no son operativas:
 Medir lo grande  La unidad astronómica (UA) es la distancia media entre
la Tierra y el Sol (150000000 km). El año-luz es la distancia que recorre la
luz en un año (la luz viaja a una velocidad de aproximadamente 300000 km
por segundo).
 Medir lo pequeño  Para medir bacterias, glóbulos, virus,… son necesarias
unidades muy pequeñas. La micra o micrómetro  es la milésima parte de un
milímetro. La milimicra m es la milésima parte de la micra.
SUPERFICIES
 Una superficie es un trozo de plano limitado por todas partes.
Área es la medida de una superficie.
Tienes así dos superficies con la misma área. Recortando la figura inicial de
varias formas, y pegando, tendríamos superficies distintas con la misma área.
 El metro cuadrado, m2, es la unidad fundamental de superficie.
Es el área de un cuadrado de 1 m de lado.
1 m2 1 m
1m
 Múltiplos y divisores:
1m
1m
Observa
1 m2
1 Dam = 10 m
1 Dam2 = 100 m2
Longitudes: 1 Dam = 10 m
Áreas: 1 Dam2 = 100 m2
1 Dam = 10 m
- 114 -
Recuerda
Razonando así tenemos:
km2
Kilómetro cuadrado
Hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
Metro cuadrado
Decímetro cuadrado
Hm2
Dam2
m2
dm2
Centímetro cuadrado
cm2
Milímetro cuadrado
mm2
Longitudes: :10
Km
Áreas:
:10
Hm
m
x10
x10
:100
:100
:100
Hm2
x100
Dam2
x100
dm
x10
m2
cm
x10
dm2
x100
mm
x10
:100
:100
:100
x100
:10
:10
:10
x10
Km2
10000 m2
100 m2
1 m2
1
0,01 m2 =
m2
100
1
0,0001 m2 =
m2
10000
1
0,000001 m2 =
m2
1000000
:10
Dam
1000000 m2
cm2
x100
mm2
x100
 Medidas agrarias. En medida de fincas se utilizan unas medidas con nombres
especiales:
Hectárea (Ha) = Hm2 , Área (a) = Dam2 , Centiárea (ca) = m2
CAPACIDAD
 Capacidad de un recipiente es la cantidad de líquido que puede contener.
 La principal unidad de capacidad es el litro.
Tenemos también:
Kl
Hl
Dal
l
dl
kilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
cl
Centilitro
ml
Mililitro
Decilitro
- 115 -
1000 l
100 l
10 l
1l
1
0,1 l =
l
10
1
0,01 l =
l
100
1
0,001 l =
l
1000
Recuerda
MASA
 La masa es la cantidad de materia de que está formado un cuerpo.
La unidad principal de masa es el gramo.
Sus múltiplos y divisores más usuales son:
Tm
Kg
Hg
Dag
g
dg
Tonelada métrica
kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
cg
Centigramo
mg
Miligramo
1000000 g = 1000 kg
1000 g
100 g
10 g
1g
1
0,1 g =
g
10
1
0,01 g =
g
100
1
0,001 g =
g
1000
 La masa está relacionada con la capacidad: Un kilogramo es,
aproximadamente, la masa de un litro de agua pura al nivel del mar y a 4º C.
 La densidad indica si un cuerpo es más o menos pesado que el agua.
Masa (kg )
= Densidad
Capacidad (l )
Si la densidad es mayor que 1, es más denso que el agua, y si es menor que 1,
es menos denso (en este caso flota y en el primero se hunde).
 El peso de un cuerpo es la mayor o menor resistencia que ofrece al
movimiento. Al nivel del mar y a 4º C coincide con su masa, pero en la Luna,
por ejemplo, la misma masa pesa menos.
VOLÚMENES
 Un volumen es un trozo del espacio limitado por todas partes. Medir un
volumen es averiguar la cantidad de algo que cabe dentro. Podría ser agua, lo
que nos dice que, a efectos de medir, un volumen y una capacidad es lo mismo.
 Sabemos que la cantidad de agua no depende de la forma del envase que la
contiene.
1m
El metro cúbico, m3, es la unidad fundamental de volumen.
1m
Es el volumen (el agua que cabe) de un cubo de 1 m de lado.
1m
- 116 -
Recuerda
 Múltiplos y divisores:
1 Dam = 10 m
1m
1m
1 Dam3 = 1000 m3
1 Dam = 10 m
1m
1 m3
1 Dam = 10 m
3
3
Observa que en 1 Dam caben 1000 m : una primera capa de 100 m3 en el
“suelo” y otras 9 capas iguales, una sobre otra hasta el “techo”, que harán:
10 · 100 = 1000 m3
Razonando así tenemos:
Kilómetro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico
Metro cúbico
Decímetro cúbico
km3
1000000000 m3
Hm3
Dam3
m3
dm3
Centímetro cúbico
cm3
Milímetro cúbico
mm3
1000000 m3
1000 m3
1 m3
1
0,001 m3 =
m3
1000
1
0,000001 m3 =
m3
1000000
1
0,000000001 m3 =
m3
1000000000
:1000
Km3
Hm3
x1000
:1000
Dam3
x1000
:1000
:1000
m3
x1000
:1000
dm3
x1000
cm3
x1000
 Relación con las medidas de capacidad vistas:
m3 = kl , dm3 = l , cm3 = c·c = ml
- 117 -
:1000
mm3
x1000
Ejercicios
1. Sabemos que una película consta de 80000 imágenes y cada
imagen tiene 25 mm de largo. ¿Cuántos kilómetros tiene?
2. Una persona avanza en cada paso 0,60 m y otra 0,75 m. ¿Qué
distancia las separa después de dar cada una 200 pasos, si
salieron del mismo punto?
a) En el mismo sentido.
b) En sentido opuesto.
3. ¿Cuántos kilómetros tiene un año-luz?
4. ¿Cuántos minutos tarda la luz del Sol en llegar a la
Tierra?
5. ¿Cuántas UA tiene un año-luz?
6. Si la estrella más próxima al Sol está a 3 años-luz, ¿a
cuántos kilómetros se encuentra?
7. ¿Cuántas micras tiene un milímetro?
8. Un glóbulo rojo de la sangre tiene un diámetro de 6 .
a) Expresa ese diámetro en mm y en cm.
b) ¿Qué longitud en metros, tienen 50000000 glóbulos rojos
puestos en fila?
9. Una célula mide 3428 m. Expresa esa longitud en:
a) 
b) mm
10. Expresa en metros:
a) 1 mm
b) 3 
e) 3 UA
f) 1 m
c) m
d) km
c) 7 cm
d) 6 km
g) 1 año-luz
h) 1000 años-luz
11. Haz el problema 10 usando potencias de 10.
- 118 -
Ejercicios
12. Completa los huecos:
a) 4578 m2 = _________ km2
c) 481 km2 = _________ m2
e) 0,034 Hm2 = _______ dm2
b) 0,89 Dam2 = __________ cm2
d) 0,005 cm2 = __________ dm2
f) 0,000001 m2 = ________ mm2
13. Ordena de menor a mayor las áreas:
6 Dam2; 573 m2; 5,1 km2; 8653 dm2
14. Queremos poner en el techo de un salón de 30,6 m2 placas de
escayola de 6000 cm2 cada una. ¿Cuántas necesitamos?
15. Un cristalero ha comprado una luna de 7,4 m2 por 133,2 €, y
quiere ganar en la venta 33,3 €. ¿A cuánto debe vender el m2 de
cristal?
16. Un agricultor tiene una finca de 5 Ha. La planta de robles
que le cuestan a 2 € por árbol. Cada roble ocupa 25 m2. La
máquina que le hace los hoyos le cobra 800 €. El Ministerio de
agricultura le da una subvención por árboles de 1000 € por Ha.
¿Cuánto dinero ha tenido que poner el agricultor?
17. ¿Cuántos kg pesan 5 depósitos de gas argón de 3 kl cada
uno, si un litro pesa 1,38 g?
18. Si la densidad del hierro es 7,8, ¿cuánto pesan 100 l?
19. Un litro de aceite pesa 850 g.
a) ¿Cuál es la densidad del aceite?
b) ¿Cuántos kg pesan 40 l de aceite?
c) ¿Cuántos litros ocupa una Tonelada métrica de aceite?
20. Haz los cambios de unidades siguientes:
a) 3 m3 =
c) 4578 dm3 =
e) 38,467 cm3 =
dm3
m3
m3
- 119 -
b) 8 Hm3 =
d) 0,45 m3 =
f) 0,006 m3 =
m3
dm3
dm3
Ejercicios
21. Una fuente mana 5 l por segundo. ¿Cuántos m3 de agua dará
en 10 días?
22. Al llenar con agua destilada a 4º C un dm3, usamos un
litro, y el peso del agua usada es 1 kg (hecho al nivel del
mar).
a) ¿Cuál es la densidad del agua?
b) Si la densidad del aluminio es 2,7 kg/l, ¿qué volumen
ocupan 100 kg de éste metal?
c) ¿Cuánto pesan 28 l de aceite, si la densidad es 0,82?
d) Sabiendo que la densidad del oro es 19,3 kg/l, ¿cuánto
ocupa 1 kg de oro?
2ª Parte: GEOMETRÍA DEL PLANO
Lee
 Figuras planas son aquellas que se representan sobre el plano (como esta
hoja de papel). Pueden ser abiertas o cerradas.
Nosotros sólo estudiaremos las cerradas y no en todas sus posibilidades:
 Polígonos: cuando las líneas que lo forman son rectas. Tienen:
Ángulo exterior
Ángulo interior
Lado
Diagonal
Vértice
Lados  segmentos que lo limitan.
Vértices  puntos comunes a dos lados.
Diagonales  segmentos que unen dos vértices
no consecutivos.
Ángulos exteriores  formados por un lado y la
prolongación del consecutivo.
Ángulos interiores  formados por dos lados
consecutivos.
- 120 -
Recuerda
Cuando tienen todos los lados y ángulos iguales, se llaman regulares, y en
ellos se consideran:
Centro  punto equidistante de los vértices.
Radio  segmento que une el centro con el
CentroRadio
vértice.
Apotema
Apotema  segmento perpendicular a un lado,
que une su punto medio con el centro.
De éstos últimos veremos:
Perímetro: medida de todos sus lados.
Área: verás que siempre es :
Perímetro x Apotema
2
 Circunferencia: conjunto de puntos que equidistan de uno interior llamado
centro. A esa distancia se la llama radio. Como sabes es una línea curva.
 Sabemos de cursos anteriores que un polígono es una porción del plano
limitada por lados rectos. Cuando todos los lados de un polígono son iguales,
se dice polígono regular.
 Según el número de lados reciben nombres:
 3 lados: Triángulo
90º
Equilátero
(3 lados iguales)
Isósceles
(2 lados iguales)
Escaleno
(3 lados distintos)
Triángulo rectángulo
(uno de los ángulos
mide 90º)
 4 lados: Cuadrilátero
Cuadrado: 4 lados iguales y 4 ángulos rectos

 

Rombo: 4 lados iguales y 2 medidas de ángulos
Rectángulo: 4 ángulos rectos y 2 medidas de lados
- 121 -
Recuerda


Romboide: 2 medidas de ángulos y 2 medidas de
lados



Trapecio isósceles: lo que queda al cortar un
triángulo isósceles, paralelamente a la base




Trapecio rectángulo: lo que queda al cortar un
triángulo rectángulo paralelamente a la base.

 5 lados: Pentágono





Pentágono regular: 5 lados y 5 ángulos miden lo
mismo
 6 lados: Hexágono






Hexágono regular: 6 lados y 6 ángulos miden lo
mismo.
TRIÁNGULOS
 Un triángulo es un polígono de 3 lados.
 Clases de triángulos y clasificación:
 Según el número de lados:
Equilátero
(3 lados iguales)
Isósceles
(2 lados iguales)
Escaleno
(3 lados distintos)
 Según los ángulos:
90º
Acutángulo
(3 ángulos agudos)
Triángulo rectángulo
(uno de los ángulos
mide 90º)
 La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
- 122 -
Obtusángulo
(1 ángulo obtuso)
Recuerda
PERÍMETRO Y ÁREA
 El perímetro del triángulo, como el de cualquier polígono, es la medida de su
contorno, es decir, la suma de las longitudes de sus lados:
c
a
p = a+b+c
b
 El área:
El área más fácil de calcular es la del rectángulo.
Área = 3·2 = 6 m2
2m
3m
Con decimales también funciona:
0,5 m
0,25 m2
0,5 m
0,5
0,5
0,5
0,25
1
1
1
0,5
1
1
1
0,5
3,5·2,5 = 8,75
1+1+1+1+1+1+0,5+0,5+0,5+0,5+0,5+0,25 = 8,75
 Luego el área del rectángulo es:
Altura h
A=b·h
Base b
El área de un romboide es la misma:
Altura h
h
Base b
b
 Todo triángulo es medio romboide:
Por lo tanto, el área de un triángulo es:
b ·h
A=
siendo b el lado horizontal y h la longitud desde el vértice que no
2
está en b hasta la horizontal b.
h
h
h
b
b
- 123 -
b
Recuerda
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
 En un triángulo rectángulo, el lado más largo se llama hipotenusa, y los lados
más cortos se llaman catetos.
Veamos qué ocurre en un triángulo rectángulo:
Área h2
h
h
b
a
b
Área b2
a
Área a2
a
b
b
a b
2
a b
2
a
h2
a
a b
2
a b
2
a
b
b
Área del cuadrado grande: (a+b)·(a+b) = a·a+a·b+b·a+b·b = a 2+b2+2·a·b
Por trozos: h2+4·
ab
2
= h2+2ab
Igualando: h2+2ab=a2+b2+2ab
 Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa:
h
b
a2+b2 = h2
a
- 124 -
Recuerda
 Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular trazada por su punto
medio.
Para trazarla, se abre el compás con un ángulo que
supere medio segmento, y apoyándolo en los dos
extremos del segmento, se sitúan dos puntos P y Q,
como indica el dibujo, y con esos puntos se traza la
mediatriz.
P
Compás
Q
 Posición relativa de dos rectas en el plano.
Se cortan
Paralelas
 Distancias en el plano:
punto-recta
P
r
distancia = 0
P
d
recta-recta
90º
º
r
d
distancia = d
distancia = 0
90º
90º
º
º
distancia = d
 Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales.
Empieza en el vértice del ángulo.
Para trazarla se apoya el compás en el vértice
del ángulo y se marcan dos puntos en los lados
que lo forman. Con el compás en esos puntos
se localiza el punto P que determina la
bisectriz buscada.
Compás
P
(1)
Compás (2)
 Rectas y puntos notables de un triángulo:
 Medianas y baricentro. Las medianas son los
segmentos que unen el vértice con el punto medio del
lado opuesto. Se cortan en un punto que se llama
baricentro. Este punto es interior al triángulo y
divide a cada mediana en dos segmentos, uno doble
del otro.
- 125 -
Mediana
Recuerda
 Mediatrices y circuncentro. Las mediatrices son las de sus lados. Se
cortan en un punto llamado circuncentro, que equidista de los tres vértices
y nos permite hallar la circunferencia que pasa por los tres vértices.
Piensa en cómo esto te permite dibujar la circunferencia que pasa por tres
puntos.
C
Circuncentro
(centro circunferencia C)
Mediatriz
 Alturas y ortocentro. Las alturas de un triángulo ya sabes que son los
segmentos perpendiculares, trazados desde cada vértice al lado opuesto o a
su prolongación. Ellas o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado
ortocentro.
Altura
Ortocentro
 Bisectrices e incentro. Las bisectrices son las de sus ángulos. Se cortan en
un punto interior al triángulo llamado incentro, que es el centro de la
circunferencia tangente a los tres lados.
r
Incentro
- 126 -
Bisectriz
Ejercicios
23. Fíjate en los dibujos y contesta, sin saltarte ningún
apartado.
a)
b)
c)
La suma de los ángulos de un rectángulo es:







La suma de los ángulos de un romboide es:
La suma de los ángulos de un triángulo es:



d)
La suma de los ángulos de un cuadrilátero
es:
e)
La suma de los ángulos de un pentágono es :
f)
La suma de los ángulos de un hexágono es:
24. Halla el ángulo que falta en las figuras siguientes:
a)
60º
30º
75º
b)
25º
c)
160º
45º
35º
25. Un pentágono regular contiene 5 triángulos isósceles.
Dibújalos y halla la medida de los ángulos de cada uno.
26. Un hexágono regular contiene 6 triángulos isósceles.
Dibújalos y halla la medida de los ángulos de cada uno.
- 127 -
Ejercicios
27. En un rombo, un ángulo mide 124º 32´54´´. Halla los otros
tres ángulos.
28. Contesta razonadamente:
a) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser equilátero?
b) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser isósceles?
c) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser escaleno?
29. Tenemos tres listones con longitudes las que se dan, y
queremos formar con ellos un triángulo. ¿En qué casos es
posible y en cuales no? Razona la respuesta.
a) 10, 8, 7
b) 10, 3, 5
c) 10, 5, 5
d) 10, 6, 6
30. Si sabemos dos lados de un triángulo y el ángulo que
forman esos dos lados, ¿podemos construir el triángulo?
Piénsalo con lados 3 y 5, y ángulo de 30º por ejemplo, y di
cómo lo harías.(  Sólo a criterio del profesor o profesora)
31. Si sabemos dos ángulos y el lado común a ambos, de un
triángulo, ¿podemos construirlo? Piénsalo con el lado 5 y los
ángulos 35º y 70º por ejemplo, y di cómo lo harías.
(  Sólo a criterio del profesor o profesora)
32. Si sabemos los lados y un ángulo que no es el que forman,
de un triángulo, ¿podemos construirlo? Piénsalo con los lados
3 y 4, y el ángulo de 60º, por ejemplo, y di cómo lo harías.
(  Sólo a criterio del profesor o profesora)
- 128 -
Ejercicios
33. Un triángulo isósceles tiene 14,25 cm de perímetro. Si su
lado desigual mide 6,10 cm ¿Cuánto miden los otros dos lados?
34. La altura de un triángulo mide el doble que su base. Si
ésta mide 18 cm, ¿cuántos m2 tiene su área?
35. Halla la base de un triángulo del que se conoce el área,
36 m2 y su altura, 900 cm.
36. Halla la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado (recuerda
que la diagonal de un polígono es la recta que une vértices no
consecutivos).
37. Halla la diagonal de un cuadrado de 25 cm2 de área.
38. Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
39. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
- 129 -
Ejercicios
40. Halla la longitud del lado de un rombo, si su diagonal
mayor mide 20 cm y la menor 16 cm.
41. Los lados de un triángulo miden 5 cm, 6 cm y 8 cm ¿Es
rectángulo?
42. Halla h en la figura:
6 m

8 m
 
h
12 m
6 m

43. Halla la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm ( la
apotema es la línea que une el centro de la figura con el
punto medio del lado).
Recuerda
CUADRILÁTEROS
 Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados. A la línea que une dos vértices no
consecutivos se la llama diagonal.
Diagonales
 La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es 360º.
- 130 -
Recuerda
 Clasificación:
1. Paralelogramos: lados paralelos dos a dos.
a
1.1. Cuadrado:
90º 90º
a
a
4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
90º 90º
a
1.2. Rectángulo:
Lados iguales dos a dos y 4 ángulos rectos.
a
1.3. Rombo:
4 lados iguales y ángulos iguales dos a dos.
b
90º
90º
90º
90º
a
b

 

1.4. Romboide:


Lados iguales dos a dos y ángulos iguales dos a dos. 

2. Trapecios: un par de lados paralelos.

2.1. Trapecio isósceles.



90º 
2.2. Trapecio rectángulo.
90º
2.3. Trapecio ( en general). b



a

d

c
3. Trapezoide: ningún par de lados paralelos.
a

b


c

d
PERÍMETROS Y ÁREAS
 El perímetro de cualquier polígono es la suma de las longitudes de los lados.
 Áreas:
Altura h
1. Rectángulo: b·h  (base por altura)
Base b
2. Cuadrado: a·a = a2  (lado por lado)
a
a
- 131 -
Recuerda
3. Rombo:
d
d
o también
D
D
DD
DD
Diagonal

D ·d
DD mayor · diagonal menor 


D
2
2
D


DD
DD
DD
4. Romboide: a·b D
D (base por altura)
DD
DD
Altura h
h
D
D
Base b
b
5. Trapecio:
a
ab
·c
2
b
c
b
a
d/2
D/2
d / 2 ·D / 2
4·
2

D ·d
2
 Base mayor  Base menor

· altura 

2


Si juntamos dos veces el mismo trapecio,
obtenemos un romboide de base (a+b) y altura c.
Nuestro trapecio es la mitad y su área, por
tanto, también.
6. Trapezoide: Descomponer en triángulos.
Ejercicios
44. ¿En qué cuadrilátero ocurre que
perpendiculares? ¿E iguales en medida?
las
45. Halla los ángulos que faltan en el rombo: A
diagonales
son
140º
C
B
46. ¿Cuántos grados suman entre dos ángulos consecutivos de un
rombo? ¿Y los de un romboide?
- 132 -
Ejercicios
47. Halla el área y el perímetro de la figura:
12 cm
3 cm
19 cm
7 cm
48. Halla el área del romboide:
4 cm
6 cm
49. Halla el área de la figura:
31 cm
9 cm
30 cm
9 cm
50. Halla el área de los polígonos regulares:
a)
b)
4,5 cm
6,4 cm
4,8 cm
4,5 cm
2 cm 2 cm
51. Halla el perímetro y el área de las figuras siguientes:
a) Cuadrado
b) Rectángulo
3 m
3 m
5 m
c) Rombo
d) Rombo
5 m
3 m
8 m
4 m
- 133 -
Ejercicios
52. Halla el perímetro y el área de las figuras siguientes:
a) Romboide
7 m
b) Romboide
120 cm
4 m
30 cm
50 cm
10 m
c) Trapecio isósceles
d) Trapecio rectángulo
2 m
3 m
5 m
4 m
4 m
8 m
8 m
53. De una cartulina de 50x40 cm cortamos dos cuadrados de 15
cm de lado, y un rectángulo de 20 cm de base y 15 cm de altura
¿Cuánta cartulina hemos cortado? ¿Cuánta nos queda?
54. Una finca de forma rectangular, que tiene de largo 200 m y
de ancho 80 m, se siembra de patatas. Sabemos que cada 500 m2
producen 2 Tm. ¿Cuántos Kg produce la finca?
55. Queremos poner el suelo de una habitación de 3,5x4,25 m de
parqué. Las tablas de parqué son de forma rectangular y miden
5x20 cm ¿Cuántas tablas necesitamos?
56. Vamos introduciendo un cuadrado dentro de otro, tal y como
indica la figura. Si el primer cuadrado tiene un área de 1 m 2,
¿cuál es la suma de las áreas de los 5 primeros cuadrados del
proceso?
1 m
1 m
- 134 -
57. Halla el área de las zonas rayadas:
a)
b)
1 m
1 m
1 m
1 m
Recuerda
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
 Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están
todos, a la misma distancia de otro interior, llamado centro.
 Radio: Segmento que une el centro con un
punto cualquiera. Su longitud es la
distancia citada.
Cuerda
Radio
Arco
 Cuerda: Segmento que une dos puntos de la
circunferencia. A lo que pasa por el centro,
se le llama diámetro.
Centro
Diámetro

Arco:
Parte
de
la
circunferencia
comprendida entre dos puntos de la misma.
Si es igual a media circunferencia, se llama
semicircunferencia.
 Posición relativa recta-circunferencia:
Recta Secante
 Recta secante: Corta en dos puntos.
 Recta tangente: Un punto común con la
circunferencia.
 Exterior: Ningún punto en común con la
circunferencia.
Recta Tangente
Recta Exterior
- 135 -
Recuerda
 Posición relativa de dos circunferencias:
Secantes
Exteriores
Tangentes
Exteriores
Interiores
Tangentes
interiores
Concéntricas
(mismo centro)
 Si tienes una circunferencia y su diámetro, y cortas una cuerda de longitud,
ese diámetro, verás que la puedes poner sobre la circunferencia, tres veces y
un poco más. Esto sucede para todas las circunferencias.
Dicho de otra forma: si dividimos la longitud L, de una circunferencia, entre
su diámetro d, obtenemos un número constante, algo mayor que 3, al que
llamamos “pi”, y se escribe :
L
=  = 3,141592654…
d
Este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas, y cuantas más
tomemos, más precisos seremos. Nos conformamos aquí con 3,14.
 Según esto, la longitud L, de una circunferencia, conocido su radio R, es:
L = 2·  ·R
Y la longitud de un arco de circunferencia podemos obtenerla mediante regla
de tres, pues el arco y el ángulo que determina, son magnitudes
proporcionales:
L ___________ 360º
x ___________ 

x
- 136 -
Recuerda
CÍRCULO
 El círculo es la circunferencia y la parte del plano que contiene.
Segmento
Circular
Corona
Circular
Concéntricas
(mismo centro)
Sector
Circular
 El área del círculo se obtiene así: A = ·R2 ( en la página siguiente hay una
forma de ver por qué es así).
 El área de un sector circular se puede obtener por regla de tres, pues el área
y el ángulo comprendido, son magnitudes proporcionales:
A círculo __________ 360º
A sector __________ 

 El área de un segmento circular, la puedes obtener, restando el área de un
vector y el área de un triángulo (piensa cómo).
 El área de una corona circular, puedes hallarla, restando las áreas de las dos
circunferencias que la forman.
- 137 -
Recuerda
El área del círculo. Veamos las de los polígonos regulares:
4
h
l
4·l ·h P ·h

2
2
2
P = Perímetro
Acuadrado = 4·
h
l
5
h l
Apentágono = 5·
h
l
l
6
h
Ahexágono = 6·
h
l ·h
l ·h
2
l ·h
2


5·l ·h P ·h

2
2

6·l ·h P ·h

2
2

16·l ·h P ·h

2
2
l
l
h
16
Apolígono regular 16 lados = 16·
h
l ·h
2
l
Si vamos aumentando el número de lados, cada vez nos acercamos más a la
circunferencia, y su área será:
Círculo =
P ·h
2

2· ·R ·R
  ·R 2
2
Ejercicios
58. La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 50 cm
¿Cuántas vueltas da, cuando recorre 1 km?
59. Calcula la longitud del arco de circunferencia de radio
4,8 m, correspondiente a un ángulo de 60º.
- 138 -
Ejercicios
60. El diámetro de una circunferencia mide 43,56 m. halla la
longitud del arco correspondiente a 80º.
61. Calcula mentalmente:
a) Si una circunferencia mide 12 m, ¿cuánto mide el arco
correspondiente a 90º?
b) ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 8 m de
diámetro?
62. Halla el área de las zonas rayadas:
a)
b)
240º
12
20
20
concéntricas
c)
d)
270º
270º
20
20
63. Halla el área de un sector circular de una circunferencia
de radio 2,5 cm y amplitud 150º.
64. Halla el área del segmento circular de la figura:
5 m
60º
- 139 -
Ejercicios
65. Queremos hacer un jardín en forma de corona circular. El
radio de la circunferencia mayor debe medir 9,4 m, y el de la
menor, la mitad. Halla el área del jardín.
66. Con un tablero cuadrado de 2 m de lado, queremos hacer el
mayor círculo posible. Halla el área del tablero desechado.
67. En una circunferencia de 7 cm de radio, inscribimos un
cuadrado. Halla el área comprendida entre un lado del
cuadrado, y el arco que determina ( un polígono inscrito en
una circunferencia es aquel que tiene sus vértices sobre
ella).
68. En una circunferencia de 7 cm de radio, circunscribimos un
cuadrado. Halla el área de la región del cuadrado que no
pertenece a la circunferencia (un polígono circunscrito a una
circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la
circunferencia).
- 140 -
Recuerda
3ª Parte: GEOMETRÍA DEL ESPACIO
CUERPOS EN EL ESPACIO
Son muchos los cuerpos de posible estudio. Aquí sólo estudiaremos unos pocos,
por su importancia y sencillez.
 Prisma recto: Es un cuerpo limitado por caras poligonales, con dos polígonos
paralelos iguales (bases), y caras laterales el resto:
altura
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
 Pirámide: Es un cuerpo limitado por caras poligonales, con un polígono por
base, y caras laterales triangulares, con un vértice común.
 Cilindro: Un bote de conservas.
 Cono: Un cucurucho.
 Esfera: Una bola de billar.
Generatriz
o
altura
Cilindro
Cono
Esfera
Para poder utilizar cosas que conocemos, centraremos nuestro estudio en los
prismas rectos y en el cilindro, y hallaremos el área del material necesario para
construirlos (su área) y el volumen o capacidad que tienen.
- 141 -
Recuerda
 Área de prismas rectos y cilindro:
Basta ver que se pueden desarrollar en figuras de las que conocemos el
área:
Área de dos triángulos
más
área de tres rectángulos
Área de dos rectángulos más área de cuatro rectángulos
Y de la misma manera, muchos más.
Área de dos círculos más
área de un rectángulo
- 142 -
Recuerda
 Volumen de prismas rectos y cilindro:

Sabemos hallar el área de un rectángulo.
Si sobre el borde de un rectángulo construimos una pared de 1 m de
altura:
El volumen o capacidad de esta
balsa será x·y m3.
ym
1m
xm

Si levantamos una pared de z m de altura:
z
y
x

El volumen será ahora: V = x·y·z m3
Si recortamos el rectángulo y repegamos los trozos, dando otra forma
a su superficie, al levantar un tabique por el borde, de z metros de
altura, tendremos la misma capacidad.
V
y
z
x
y
x

Y así con cualquier forma que demos a la base, incluido el círculo. Por
tanto, el volumen de un prisma recto y del cilindro es el siguiente:
V = (área de la base) x (altura)
Siendo la base un polígono o un círculo, de los que conocemos el área.
- 143 -
Recuerda
 Poliedros:
 Los poliedros son cuerpos limitados por caras poligonales.
 Sus elementos son:
Caras: Polígonos que lo limitan.
Aristas: Lados de las caras.
Vértices: Puntos de intersección de tres o más aristas. El orden de un
vértice es el número de caras que concurren en el vértice.
Angulo diedro: El formado por dos caras con arista común.
Diagonales de una cara: Las de los polígonos que las forman.
Diagonales del poliedro: Segmentos que unen dos vértices de distintas
caras.
Desarrollo plano: Figura formada al cortar el poliedro por el suficiente
número de aristas para que quede una pieza plana.
Vértice de orden 3
Diagonal
cara
Angulo diedro
arista
Diagonal de una cara
Desarrollo plano
 Clasificación:
Regulares: Todas las caras son polígonos regulares iguales
y los vértices son del mismo orden.
x
x
Irregulares: No regulares.
Convexos: Todos sus ángulos diedros son menores de 180º.
Cóncavos: Alguno de los ángulos diedros es mayor de 180º.
- 144 -
x
Recuerda
 Teorema de Euler: Se puede demostrar que, en todo poliedro convexo se
cumple:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2
(Comprueba tú que se cumple con algún ejemplo)
 Poliedros regulares: son cinco, cuyos nombres, área y volumen te doy.
a
a
TETRAEDRO
(4 triángulos equiláteros)
A = 3 · a2
2 3
V=
·a
12
HEXAEDRO O CUBO
(6 cuadrados)
A =6· a2
V = a3
a
OCTAEDRO
(8 triángulos equiláteros)
A = 2 3 · a2
2 3
V=
·a
3
a
a
ICOSAEDRO
(20 triángulos equiláteros)
A = 5 3 · a2
5(3  5 ) 3
V=
·a
12
DODECAEDRO
(12 pentágonos regulares)
A = 3 25  10 5 · a2
V=
15  7 5 3
·a
4
- 145 -
Recuerda
 Prismas.
 Un prisma es un poliedro que tiene por bases dos polígonos
paralelos iguales, y sus caras laterales son paralelogramos. Si
tiene por caras laterales rectángulos, se dice recto, y en caso
contrario, oblicuo.
Recto
 Prisma regular es el prisma recto cuyas bases son polígonos
regulares.
Oblicuo
 Altura del prisma es la distancia entre las bases. Si es recto, la altura
coincide con la longitud de la arista lateral.
 Se denominan según el polígono que forma las bases:
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
 Sobre su desarrollo plano, vale lo dicho para poliedros.
 Sobre el área y el volumen de prismas rectos, tienes más información en la
página 104 y siguientes.
Cuando el prisma es oblicuo:
El área se calcula hallando el área de todas las caras
y sumándolas.
El volumen sigue siendo el área de la base por la altura.
- 146 -
Recuerda
 Un prisma frecuente es el ortoedro o paralelepípedo (recto rectangular)
(una caja de cerillas):
S = 2·(ab+ac+bc)
c
a
b
V = a·b·c
 Pirámides.
 Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono, y sus caras
laterales son triángulos con vértice común.
 Pirámide recta es la que tiene por caras laterales, triángulos isósceles. Si
no es recta, se dice oblicua.
Una pirámide recta cuya base es un polígono regular, se dice regular.
 Altura de una pirámide es la distancia entre la base y el vértice opuesto.
En pirámides regulares, se llama apotema a la altura de los triángulos de las
caras laterales. La apotema de la base, la de la pirámide y su altura forman
un triángulo rectángulo.
a
b
Pirámide
a
a
a
a
a
b
Pirámide recta
Pirámide oblicua
Apotema
Altura
a
a
Pirámide regular
- 147 -
Recuerda
 Las pirámides se clasifican según el polígono que forma la base:
Triangular
etc.
Pentagonal
Cuadrangular
 El área de una pirámide se halla sumando la de los polígonos que la forman:
A1
Pentagonal
A2
A3
A4
A5
A6
A = A1+A2+A3+A4+A5+A6
 Se puede demostrar que el volumen de una pirámide es:
V=
1
(Área de la base)· Altura
3
 Un tronco de pirámide es el poliedro que se obtiene al cortar una pirámide
por un plano paralelo a la base.
- 148 -
Ejercicios
69. El metro cuadrado de cartón para construir envases de
leche cuesta 0,8 €. Las medidas de un cartón de leche son 9,5
cm, 6,4 cm y 16,5 cm ¿Cuánto cuesta cada envase?
70. Un silo para guardar trigo tiene forma de prisma recto,
con base un cuadrado. La base tiene por lado 5 m, y la altura
del silo es 8 m. Si 1 dm3 de trigo vale 0,3 €, ¿cuánto vale el
trigo del silo lleno?
71. Halla el área y el volumen de los prismas rectos y del
cilindro:
b)
a)
7 m
7 m
4 m
4 m
3 m
4 m
c)
d)
4 m
8 m
8 m
6 m
6 m
6 m
72. Un bote de refresco contiene 333 cc. Si el radio de la
base es de 4 cm, ¿cuánto mide su altura?
- 149 -
Ejercicios
73. Halla el área de las pirámides:
a)
b)
6
6 6
4
4
7 m
6 m
7 m
7 m
6 m 6 m
4
6 m
4
Recuerda
CUERPOS REDONDOS EN EL ESPACIO
 Cilindro.
 Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando el
rectángulo gira sobre uno de sus lados.
Sus elementos están representados sobre el dibujo de abajo.
Radio
Altura
Generatriz
 Un cilindro oblicuo es el resultado de cortar un cilindro por dos planos
paralelos no perpendiculares a su altura.
- 150 -
Recuerda
 Cono.
 Un cono recto es el cuerpo de revolución que se obtiene cuando un
triángulo rectángulo gira sobre uno de sus catetos. Sus elementos están en
el dibujo:
Generatriz
Altura
Base
Radio
 Se puede demostrar que el área del cono es:
G
A = AL+AB
AL = RG
R
AB = R2
 Se puede demostrar que el volumen de un cono es:
V=
1
AB· (Altura)
3
 Un tronco de cono recto es el cuerpo que se obtiene al cortar un cono
recto por un plano paralelo a la base:
- 151 -
Recuerda
 Esfera.
 Una esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene cuando un
semicírculo gira sobre su diámetro.
Centro Radio
R
 Se puede demostrar que el área de una esfera es el área de cuatro
círculos máximos de ella:
A = 4·  ·R2
 Se puede demostrar que el volumen de una esfera es:
V=
4
·  ·R3
3
 La esfera no tiene desarrollo. Es imposible cortarla y desplegarla para que
quede plana. Este es el motivo de que los planisferios o mapas terrestres no
se ajusten nunca a la realidad y siempre se deformen los elementos de la
superficie terrestre que representan. Lo mismo ocurre con planos de
grandes trozos de la superficie terrestre.
Ejercicios
74. Halla la altura del cono del dibujo:
G=5 m
H
3 m
75. Halla el radio de la base del cono:
10 m
8 m
R
- 152 -
Ejercicios
76. Halla el área exterior y el volumen (considerar  = 3’14)
a)
4 m
8 m
b)
8 m
4 m
c)
7 m
77. Halla la superficie y el volumen aproximado de la Tierra
sabiendo que es prácticamente una esfera de radio 6370 km.
78. Halla el volumen del depósito cilíndrico del dibujo
sabiendo que el envoltorio exterior es un cubo de lado 16 m y
que dentro de éste cabrían 4 depósitos iguales.
- 153 -
Ejercicios
79. Halla el área y el perímetro de la zona rayada de la
figura:
10 cm
10 cm
5 cm
5 cm
80. Halla el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado.
81. Halla la longitud de la valla necesaria para cercar el
terreno de la figura:
132 m
90º
99 m
82. Obtén el perímetro y el área del triángulo isósceles de la
figura:
12 m
18 m
83. Encuentra el área y el perímetro del paralelogramo de la
figura:
16 cm
15 cm
25 cm
84. Calcula el perímetro del cuadrado, y la longitud de la
circunferencia de la figura:
4 m
- 154 -
Ejercicios
85. Halla el lado de un cuadrado que tenga la misma área que
un circulo de radio 10 cm. Toma  = 3,14.
86. Las ruedas de un coche tienen 30 cm de radio. ¿Cuántas
vueltas tiene que dar cada rueda para completar una vuelta a
la Tierra (aprox. 40000 km)? Toma  = 3,14.
87. Halla el área de la zona sombreada de la figura, sabiendo
que todo son circunferencias. Toma  = 3,14.
10 cm
7 cm
88. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Imagina la Tierra como una esfera perfecta de radio
6000 km. Queremos rodearla por el ecuador
con un aro.
¿Cuál será la longitud?
b) Imagina también una moneda de 1 cm de radio. Queremos
rodearla con otro aro. ¿Cuál será su longitud?
c) Ahora queremos, en ambos casos, que el aro que rodea a
la Tierra y a la moneda esté separado del ecuador y del
borde de la moneda 1 m, para lo cual tenemos que añadir un
trozo a los aros anteriores. ¿En qué caso tendremos que
añadir más trozo, y cuánto?
- 155 -
Ejercicios
89. Calcula los volúmenes siguientes:
a) De un cubo de 8 m de lado.
b) De una caja de cerillas de 8 cm de largo, 4 cm de ancho
y 2 cm de alto.
c) De un bote de conservas cilíndrico, cuyo radio de la
base es de 5 cm y la altura es de 10 cm. Toma  =3,14.
90. Si un brick de 1 litro de leche tiene base rectangular de
9,3 x 6,3 cm, ¿cuál es su altura?
91. Los brick de zumos de 200 cc tienen base rectangular de
4,8 x 3,7 cm. ¿Qué altura tienen?
92. Una lata de refresco de cola es un cilindro. Normalmente
contienen un tercio de litro. Si el círculo de la base tiene
radio 3,5cm, ¿cuál es su altura?
93. ¿Cuánto material se necesita para fabricar un brick como
el del ejercicio 90?
94. ¿Cuánto aluminio se precisa
refresco como la del problema 92?
- 156 -
para
hacer
una
lata
de
4ª Parte: SEMEJANZAS
Recuerda
EN EL PLANO
 En el plano trabajamos con:
Puntos  Imagínalos como granos de arena tan pequeños que no tienen
grosor.
Rectas  Imagínalas como hilos tensos infinitamente largos, sin principio
ni fin y sin grosor.
Curvas  Imagínalas como hilos como el anterior, alguno con principio o fin,
pero sin tensar.
Llamamos:
Semirrecta  Es cada una de las mitades en que se divide una recta por un
punto. Tiene principio pero no tiene fin.
Segmento  Trozo de recta comprendida entre dos puntos a los que se
llama extremos.
Sabemos que:
 Por un punto pasan infinitas rectas.
 Por dos puntos pasa una sola recta.
Punto
Semirrecta
Recta
Segmento
 Posición relativa de dos rectas en el plano:
r
s
Secantes: tienen un punto en común.
Paralelas: No tienen ningún punto en
común.
 Segmentos proporcionales:
 La razón entre dos segmentos es el cociente de la longitud del primero
entre la del segundo (en la misma unidad):
B
C
A
D
b
a
- 157 -
Razón =
a
b
Recuerda
 Dos pares de segmentos son proporcionales cuando sus razones son
iguales.
a
c
b
a c
  0,5
b d
d
a,b y c,d proporcionales
 Esto lo podemos utilizar para dividir un segmento en cualquier número de
partes iguales, con regla y compás:
Vamos a dividir el
segmento AB en 5
partes iguales.
A
Semirrecta cualquiera
B
A
B
a = longitud cualquiera
Y
X
A
A R
B
S
T
U
V
B
Trazamos paralelas en
el orden indicado
Los pares de segmentos R, X y S, Y son proporcionales.
X Y
Luego
y como X = Y, tenemos R = S. Razonando así: R=S=T=U=V, con

R S
lo que hemos dividido el segmento en 5 partes iguales.
 También podemos usarlo para dividir un segmento en dos trozos
proporcionales a dos longitudes dadas. Por ejemplo, para dividir un segmento
AB en dos trozos proporcionales a las longitudes 3 y 5, haremos:
5
8
3
Paralelas
A R
S
B
- 158 -
Los segmentos R y S cumplen
la condición dada.
Recuerda
 Este mismo principio se conoce como el teorema de Thales:
a
b
r Si tres o más paralelas (r, s, t, u) son
C
A
cortadas por dos transversales (a, b),
s
A
entonces dos segmentos de una de estas
(A, B) son proporcionales a los segmentos
correspondientes de la otra (C, D):
A B

C D
D
B
t
u
 Figuras semejantes: Dos figuras son semejantes si los segmentos que se
corresponden son proporcionales, y los ángulos son iguales (es decir, tienen la
misma forma pero distinto tamaño: una es fotocopia ampliada de la otra).
b 
c
a

B

Semejantes
A
0
C
a b c
   razón de semejanza
A B C

 Es fácil ver que si dos figuras semejantes tienen por razón de semejanza
un número R, sus perímetros tienen la misma razón de semejanza R. En el
ejemplo:
a b c
a bc
  
A B C ABC
 Sin embargo, no ocurre así con las áreas:
6
3
4
2
Al doblar el lado, el área
se cuadruplica.
9
3
3
1
Al multiplicar por 3 el lado, el área se multiplica por 9 = 3 2.
- 159 -
Recuerda
 Proyecciones sobre una recta. La idea es la siguiente:
P
90º
B
B
A
r
P’
P´ es la proyección
de P sobre r
r
90º
A
90º
A’
B’
El segmento A´B´ es
la
proyección
del
segmento AB sobre r
r
90º
90º
A’
B’
El segmento A´B´ es
la proyección de la
curva C sobre r
 Mapas y planos. Ya has visto algo sobre este tema.
Aquí matizaremos algunas cosas.
 Diferencia entre mapa y plano: Mapa es una representación de toda la
superficie terrestre o de parte de ella, en la que la escala es inferior
1:10000. Siempre se representa poniendo el Norte en la parte superior.
Plano es una representación de un edificio, un terreno, una pieza, etc. hecho
a escala superior a 1:10000.
 Ya sabes qué es una escala: el cociente entre una longitud medida en el
dibujo, y la longitud medida en la realidad. Lo que quizá no sepas es que no
tienen porqué ser menores que la unidad. Pueden ser de tres tipos:
Reducción: cuando el dibujo es más pequeño que lo que representa: 1:100
Naturales: dibujo igual a la realidad: 1:1.
Ampliación: dibujo mayor que lo representado: 10:1 (usada para planos de
piezas pequeñas).
 En algunos tipos de mapas aparecen las llamadas curvas de nivel: son las
líneas que unen los puntos del terreno con
la
misma altura sobre el nivel del mar.
30
Cuanto más juntas están, mayor es la
60
pendiente.
50
40
- 160 -
Recuerda
ESCALAS
 El estudio de las figuras se hace para entender mejor la realidad.
En particular, los mapas y los planos representan la realidad.
 Para interpretarlos bien, es necesario conocer bien la escala a que están
hechos. La escala son dos números separados por “:”, que dan la relación entre
las medidas en el plano o mapa, y en la realidad. Por ejemplo, la escala 1:2000,
indica que 1 cm en el mapa, son 2000 cm en la realidad.
 A veces se usa la llamada escala gráfica, que es un segmento graduado en m o
km, con lo que se puede medir directamente la distancia en una
representación gráfica (mapa o plano):
0
2
4
6
8
10 Km
2 cm
EN EL ESPACIO
 El plano tenía dos dimensiones: largo y ancho. El espacio tiene tres: largo,
ancho y alto.
 En el espacio trabajamos con:
 Punto: Podemos imaginarlo como un grano de arena sin grosor.
 Recta: Podemos imaginarla como un hilo tenso sin principio, ni fin, ni
grosor.
 Plano: Podemos imaginarlo como una plancha de metal sin principio ni fin,
en ninguna dirección, y sin grosor.
 Posiciones relativas en el espacio:
 Dos rectas:
Secantes
Paralelas
Se cruzan
 Dos planos:
Secantes
Paralelos
- 161 -
Recuerda
 Recta y plano:
Secantes
Recta contenida
en el plano
Paralelos
 El equivalente a los planos y mapas en el espacio son las maquetas:
reproducciones, a escala reducida, de un edificio, coche, monumento, máquina,
etc. considerando las tres dimensiones. Las escalas significan lo mismo que en
el plano.
 Figuras semejantes. La idea es la misma que en el plano pero teniendo en
cuenta las tres dimensiones.
4
2
3
1
2
6
Observa en los dibujos que al duplicar las dimensiones de la figura de la
izquierda, su volumen ha pasado a ser:
3·1·2 = 6  6·2·4 = 48 = 6·23
Ejercicios
95. Si dos rectángulos son semejantes, uno tiene base 5 m y
altura 2 m, y el otro tiene perímetro 28, halla la base y la
altura del segundo.
96. Dos rectángulos son semejantes, uno tiene base 5 m y
altura 2 m, y el otro tiene área 40 m2. Halla la base y la
altura de este último.
97. Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 3 y 4
metros. Halla la hipotenusa de otro triángulo semejante al
anterior de área 24 m2.
- 162 -
Ejercicios
98. A cierta hora, una persona de 150 cm de altura, proyecta
una sombra de 2 m. ¿Cuál es la altura de un árbol que, a la
misma hora, proyecta una sombra de 18 m?
99. Expresa en una escala numérica:
a) 1 cm en el plano representa 10 m en la realidad.
b) 1 cm en el plano representa 10 km en la realidad.
c) 1 cm en el plano representa 25 km en la realidad.
100. ¿A qué escala está dibujado un mapa si sabemos que a 1 cm
corresponden 10 km en la realidad?
101. La distancia entre dos poblaciones es de 75 km. ¿Qué
distancia les separa en un mapa a escala 1:1000000?
102. En un mapa, la distancia entre dos poblaciones es de 4
cm. Si en realidad está separadas por 40 km, ¿cuál es la
escala del mapa?
103. Indica cuánto deben medir los segmentos representados por
cada una de las letras:
a)
x
b)
2 cm
3 cm
1 cm
a cm
2,5 cm
3,2 cm
3,2cm
104. Halla la altura de una torre que, por la mañana, proyecta
una sombra de 10 m si, en ese mismo momento, una farola que
mide 2,5 m proyecta una sombra de 2 m.
105. Para calcular la altura de un árbol, un chico ve la copa
reflejada en un charco con las medidas del dibujo. Hállala tú.
162 cm
m
1,2 m
m
4 m
- 163 -
Ejercicios
106. La razón de semejanza de dos triángulos es 3/4. Las
longitudes de los lados del pequeño son 3,2 cm, 2 cm y 4,1 cm.
Halla la longitud de los lados del otro.
107. Dadas dos figuras semejantes:
a) ¿Cuál es la razón entre sus áreas?
b) ¿Cuál es la razón entre sus volúmenes?
108. El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado
desigual mide 14 m. Calcula el área de otro triángulo
semejante al dado, de perímetro 96 m.
109. ¿Qué relación hay entre las alturas de dos triángulos
semejantes?
110. La razón de semejanza de dos figuras es 4. Si el área de
la pequeña mide 10 cm2, ¿cuál es el área de la grande?
111. El área de un cuadrado es 36 cm2. Calcula la longitud del
lado de otro semejante a él, sabiendo que la razón de
semejanza es 9.
112. El volumen de una esfera es 100 cm3. Calcula el volumen de
otra semejante en la que se duplique el radio.
113. Una goma para regar el jardín tiene de radio 1,2 cm.
Queremos comprar otra que eche exactamente el doble de agua.
Calcula el radio que debe tener.
114. Si el área de un círculo es 5 cm2 y aumentamos el radio el
doble, ¿cuál será el área del nuevo círculo?
115. Si el volumen de una esfera es 10 cm3 y aumentamos el
radio el doble, ¿cuál será el volumen de la nueva esfera?
- 164 -
Soluciones
TEMA 7:
1.
2.
3.
4.
5.
2 km
a)30 m
b)270 m
94608·1012
8,33
63072·104
6.
7.
8.
283824·1012
1000
a)0,006mm; 0,0006cm b)0,3m
9.
a)3,428 b)0,003428 c)0,000003428 d)0,000000003428
10.
a)0,001 b)0,000003 c)0,07
d)6000
e)450000000000
f)0,000000001 g)94608000000000000000
h)94608000000000000000000
11.
a)10-3 b)3·10-6 c)7·10-2 d)6·103 e)45·1010 f)10-9 g)94608·1015 h)94608·1018
12.
a)0,004578
b)890000
c)481000000
d)0,00005
e)34000
f)1
13.
14.
15.
8653 dm2 < 573 m2 < 6 Dam2 < 5,1 km2
51
22,5 €
16.
17.
18.
Le devuelven 200 €
20,7
780 kg
19.
a)0,85
b)34
c)Aproximadamente 1176,47 l
20.
21.
a)3000
b)8000000
c)4,578
d)450
e)0,000038467
f)6
4320
22.
a)1 b)37,037 l c)22,96 kg aproximadamente d)0,051 l aproximadamente
23.
24.
a)360º b)360º
c)180º d)360º e)540º f)720º
a)90º
b)80º
c)120º
25.
26.
27.
72º y 54º
60º
124º 32´ 54´´ y 55º 27´ 6´´
28.
a)No. Equilátero tiene los ángulos de 60º.
b)Sí x
c)Sí
x
29.
Posible si la suma de 2 lados supera al tercero. a) Sí b)No c)No d)Sí
30.
31.
Sí. Ver en clase
Sí. Ver en clase
32.
Se complica ¿verdad? Para que veas que no se han agotado todas las
posibilidades. Ver en clase
33.
34.
35.
4,075 cm cada uno
0,0324
8 m
36.
37.
38.
39.
aproximadamente
7,07
cm
50
48 6,9 cm
4 48 27,6 cm2
40.
41.
164 12,8 cm
42.
No
43.
32 5,6 m
45.
44.
27 5,18 cm
Perpendiculares: cuadrado y rombo.
A=40º=C; B=140º
Iguales en medida: cuadrado y rectángulo.
46.
47.
48.
En ambos casos 180º.
P=68 cm; A=249 cm2
24 cm2
49.
50.
1156,92 cm2
a)144 cm2 b)57,6 cm2
- 165 -
Soluciones
51.
a)P=12 cm; A=9 cm2 b)P=16 m; A=15 m2 c)P=20 cm; A=24 cm2 d)P=20 cm; A=24 cm2
52.
a)P=30 m; A=40 m2 b)P=400 cm; A=6000 cm2 c)P=20 m; A=20 m2 d)P=22 m; A=26m2
53.
54.
55.
Cortada 750 cm2, queda 1250 cm2
64000 kg
1488
56.
57.
31/16= 1,9375m2
a)1/2=0,5 m2
b)1/4=0,25 m2
58.
59.
60.
61.
636,94…
5,024 m
30,3952 m
a)3 m
b)4 m
62.
63.
64.

2
2,258 m2
a)803,84 u2
b) 418,6 u2 c)314 u2 d)114 u2 8,177..... cm
65.
66.
67.
68.
208,0878 m2
0,86 m2
13,965 cm2
42,14 cm2
69.
70.
0,051704
60000 €
71.
a)Área=144 m2, Vol=112 m3
b)A=122 m2, V=84 m3
2
3
c)A175,17 m , V124,70 m
d)A301,59 m2, V402,12 m3
72.
73.
a)61,12 m2 aproximadamente
b)72,5 m2 aproximadamente
6,62 cm
74. 75.
76.
a)A = 301,44 m2, V = 401,92 m3
4 m
6 m
b)A = 162,52 m2, V = 133,97 m3
c)A = 615,44 m2, V = 1436,02 m3
77.
78.
A = 509645864 km2, V = 1082148051226,66 km3
803,84 m3.
79.
80.
81.
82.
A=50 cm2, P=28,28 cm
27,71 cm2
318,31 m
P=48 cm, A=108 cm2
83.
84.
85.
P=80 cm, A=300 cm2
17,72 cm
P=16 cm, Long=4  12,57
86.
87.
21220659 aproximadamente
439,8 cm2
88.
a)37699 km
b)0,0628 m
c) El mismo: 6,28 aproximadamente
89.
a)512 m3
b)64 cm3
c)785,4 cm3
90.
91.
92.
93.
94.
17,07 cm
11,26 cm
8,65 cm
0,065 m2
0,027 m2
95.
96.
97.
98.
10 y 4
10 y 4
10 m
13,5 m
99.
100.
a)1:1000
b)1:1000000
c)1:2500000
1:1000000
101.
102.
103.
104.
105.
7,5 cm
1:1000000
a)x = 4,5 cm
b)a = 2,5 cm
12,5 m
5,4 m
106.
107.



a) El cuadrado de la razón de semejanza.
4,26 cm ; 2,6 cm ; 5,46 cm
b) El cubo de la razón de semejanza.
108.
109.
110.
111.
378 m2
La razón de semejanza.
160 cm2
54 cm
112.
113.
114.
115.
800 cm3
20 cm2
80 cm3
1,2· 2 cm 1,7 cm
- 166 -
TEMA 8: TRIGONOMETRÍA BÁSICA
Observa
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
La trigonometría se ocupa de hallar las relaciones entre los lados y los ángulos de
un triángulo; es decir de “medir” un triángulo. La utilidad de esto es clara, pues
todo polígono cerrado de lados rectos se puede
descomponer en triángulos, y si sabemos medir estos,
sabemos medir aquel.
Como todo triángulo podemos descomponerlo en dos triángulos rectángulos,
empezaremos estudiando estos.
B
a

C
A
b
S
t
r
T

s
R
Dados dos triángulos rectángulos semejantes (como los
de la figura), sabemos que:
c a b
(recuerda el tema de semejanza).
 
t r s
Es decir, operando:
c t b s c t
 ,
 ,

a r a r b s
Esto nos permite definir:
Seno de  : sen 
c cateto opuesto a 

a
hipotenusa
Coseno de  : cos  
b cateto contiguo a 

a
hipotenusa
Tangente de  : tg  
Cosecante de  :
c cateto opuesto a  sen


b cateto contiguo a  cos 
cos ec  
Secante de  : sec  
hipotenusa
a
1


c cateto opuesto a  sen
hipotenusa
a
1


b cateto contiguo a  cos 
Cotangente de  : cotg 
b cateto contiguo a  cos 
1



c cateto opuesto a  sen tg
Razones trigonométricas del ángulo 
(que por supuesto dependen de  )
- 167 -
Observa
Es importante que recuerdes:
2
c2 b2 c2 b2
a2
c  b 

 2 1
sen   cos   sen   cos          2  2 
a
a
a
a2
a 
a 
2
2
2
2
2
Teorema de Pitágoras
En resumen, dado un triángulo rectángulo, sabemos:
a 2  b 2  c 2 (Teorema de Pitágoras)
B
a
C

B = 90º- 
c
90º
sen  =
A
b
c
a
cos  =
b
a
tg  =
c
b
Los senos, cosenos y tangentes de un ángulo se pueden obtener de la calculadora
o a partir de algún dato que nos den.
Amplía
Sin embargo, hay algunos ángulos especiales de los que podemos deducir las
razones:
 45º
l 2  l 2 =l · 2
l
1
2


sen 45º =
2
l 2
2
l
l
45º
45º
l
l
cos 45º =
tg 45º =
Cuadrado
 30º
l
l 2
l
1
l
l
l
l
30º
60º
60º
l
l2 
l2
4

l
60º
l/2
3l 2
3

l
4
2
- 168 -
1
2

2
2
21
l
2
l 3
2  3
cos 30º =
l
2
l
2  1
tg 30º =
l 3
3
2
sen 30º =
60º
l

Amplía
 60º
3
2
1
cos 60º =
2
tg 60º = 3
sen 60º =
60º
30º
l
30º
60º
3
l
2
l/2
Nota: Pídele al profesor que te explique cómo hallar las razones trigonométricas
de un ángulo con la calculadora y cómo hallar un ángulo a partir de sus razones
trigonométricas.
Ejercicios
Para todos los problemas de este tema, salvo que se diga lo
contrario, no se pueden tocar las teclas trigonométricas de
la calculadora.
1. En un triángulo rectángulo, los catetos CA y AB miden,
respectivamente, 6 m y 8 m. Calcula todas las razones
trigonométricas del ángulo de vértice B.
2. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo  ,
si se sabe:
a)sen  =0,27
d)cos  =0,6
b)cos  =0,8
e)sen  =4/5
c)tg  =1,65
f)tg  =2
3. Utiliza la calculadora como quieras, para hallar el ángulo
que cumple:
a)sen  =0,27
d)sec  =10,6
g)sen  =2
b)cos  =0,8
e)cosec  =0,8
h)cos  =1,5
c)tg  =1,65
f)cotg  =3
i)tg  =1000
4. Resuelve el triángulo rectángulo del que se sabe:
a) Ángulo 30º y cateto opuesto 48 cm. Dato: sen30º=0,5
b) Hipotenusa 30 cm y ángulo 36º. Dato: sen36º=0,59
c) Ángulo 66º38´ y cateto opuesto 32,8 m.
Dato: sen(66º38´)=0,92
Nota: Resolver un triángulo es averiguar las medidas de todos
sus ángulos y de todos sus lados.
- 169 -
Ejercicios
5. Con los datos de la figura, halla la altura de la torre.
Dato: sen30º=0,5.
30º
20 m
6. Antonio está haciendo volar una cometa con una cuerda de 12
metros que sujeta con la mano a una altura de 1 m del suelo.
Si el ángulo que forma la cometa con la horizontal es de 60º,
¿a qué altura del suelo está la cometa? Dato: cos60º=0,5.
7. Se desea construir una escalera que en 4 m suba 3 m. ¿Cuál
debe ser la longitud del barandal? ¿Qué ángulo forma el
barandal con el suelo? Puedes usar la calculadora como
quieras.
8. El piloto de un aeroplano que vuela a 1000 m sobre el nivel
del mar descubre una isla. Calcula la anchura de la isla con
2
los datos de la figura. Datos: sen45º=
, sen30º=0,5.
2
45º
30º
9. Un topógrafo observa la cima de una montaña con un ángulo
de 38º sobre la horizontal. Se aleja de la montaña 200 m y
observa entonces la cima con un ángulo de 29º. ¿Cuál
es la
altura de la montaña? Datos: sen38º=0,62, cos29º=0,87
10. Una estatua sobre un pedestal se observa a 24 m de su pie.
La parte superior de la estatua se ve con un ángulo de 45º
sobre la horizontal y la parte superior del pedestal con un
ángulo de 30º sobre la horizontal. ¿Cuál el la altura de la
estatua si el ojo del observador se halla a 1 m del suelo?
2
3
Datos: sen45º=
, cos30º=
2
2
- 170 -
Ejercicios
11. Un observador se encuentra en la parte superior de una
estructura que dista 430 m de otra. Desde dicho punto, observa
el extremo superior del otro edificio con un ángulo de 18º
sobre la horizontal y el extremo inferior con un ángulo de 25º
bajo la horizontal. (Datos: sen18º=0,31; cos25º=0,91)
a) ¿Qué altura tiene el edificio de enfrente?
b) ¿Qué altura tiene el edificio del observador?
12. Dado el triángulo isósceles de la figura, calcula los
lados iguales, la altura y el área. Dato: sen48º= 0,74.
48º
20,4 m
48º
13. Un piloto de avión situado a una altura de 2345 m sobre el
nivel del suelo, observa la luz del aeropuerto con un ángulo
de 30º bajo la horizontal. ¿A qué distancia está el aeropuerto
en línea recta? Dato: sen30º=0,5.
14. De un triángulo isósceles conocemos la altura, 33 cm, y
que el ángulo que forma ésta con uno de los lados es 58º.
Halla sus lados. Dato: sen 58º=0,85.
15. Nuestra casa dista del pie de un árbol 100 m y lo vemos
con un ángulo de 25º sobre la horizontal. ¿A qué distancia
estamos del árbol cuando lo vemos con un ángulo de 13º sobre
la horizontal? Datos: sen25º=0,42; cos13º=0,97.
16. Una persona de 169 cm de altura proyecta una sombra de 112
cm. Calcula la altura del sol en ese instante. (Se llama
altura de un astro al ángulo al que está sobre el horizonte).
Puedes usar la calculadora como quieras.
- 171 -
Ejercicios
17. Un triángulo equilátero tiene de lado 16,7 m. Halla su
altura y su área. Dato: sen30º= 0,5.
18. El lado de un pentágono regular es 8,6 m. Halla el radio
de la circunferencia circunscrita. Dato: sen 36º= 0,59.
19. Halla los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases
miden 83 m y 51 m y cuya altura mide 61 m. Puedes usar la
calculadora como quieras.
Soluciones
TEMA 8:
Ten en cuenta que el uso de la calculadora que hagas y los decimales que
cojas influirán en el resultado, que puede diferir ligeramente de estos.
1.
sen =0,6; cos =0,8; tg =0,75; cotg =1,33…; sec =1,25; cosec =1,66…
2.
a)cos =0,96; tag =0,28
b)sen =0,6; tg =0,75
c)cos =0,51; sen =0,86
d)sen =0,8; tg =1,33…
e)cos =0,6; tg =1,33…
f)cos =0,45; sen =0,9
3.
a)15,66º
b)36,87º
c)58,78º
d)84,59º
e)Imposible
f)18,43º
g)Imposible
h)Imposible
i)89,94º
4.
a)A=90º, B=30º, C=60º, a=96, b=48, c=83,14
b)B=36º, C=54º, a=30, b=17,7, c=24,22
c)B=23º22´, C=66º38´, a=35,65, b=13,97, c=32,8
5.
6.
7.
8.
9.
11,55m
11,39m
5m; 36,87º
725m aprox.
373m aprox.
10.
11.
10,14 m aproximadamente a)340 m aproximadamente b)202,5 m aproximadamente
12.
Lado=15,22 m, altura=11,32 m, Sup= 115,5 m2 aproximadamente
13.
14.
4690 m
Lados iguales=62,27;
el otro = 105,6 aprox.
15.
16.
17.
202 m aprox.
56,5º aprox.
h=14,4 m aprox. A=120,7 m2 aprox.
18.
19.
7,3 m aproximadamente.
75,3º y 104,7º aproximadamente
- 172 -
TEMA 9: VECTORES Y GEOMETRÍA AFÍN DEL PLANO
Observa
 Hay magnitudes (peso, temperatura, etc) que sólo precisan de un número y
una unidad para estar determinadas. Éstas se llaman magnitudes escalares.
Hay otras magnitudes que con un número no están determinadas: un
desplazamiento, una fuerza, una velocidad. A estas magnitudes se las denomina
vectoriales, y la mejor forma de determinarlas es con una flecha:

v
Por ejemplo, el desplazamiento desde el punto A al B se
determina por la flecha v (con origen en A y extremo en B).
B
A
 Estas flechas, que llamamos vectores fijos, se caracterizan por:
1º) Dirección: recta determinada por la flecha. Más bien, la dirección de
todas las rectas paralelas a la flecha.
2º) Sentido: Hacia donde va dirigida la flecha. Toda dirección tiene dos
sentidos.
3º) Módulo: Se representa v y es la longitud de la flecha.
 Son muchas ( infinitas) las flechas que tienen el mismo módulo, dirección y
sentido (de la misma forma que hay infinitas fracciones que representan el
1 2 3
mismo número:   …)
2 4 6
Cuando ocurre esto, decimos que son equipolentes (de la misma forma que
hablamos de fracciones equivalentes) y representan al mismo “vector libre” o
“vector” sin más.
Dicho de otra forma, un vector es una flecha que nosotros aplicamos donde
queramos (sin girarla), conservando la dirección, el sentido y la longitud.
- 173 -
Observa
OPERACIONES CON VECTORES
Para entender mejor el porqué de estas operaciones, puedes interpretar un
vector como un desplazamiento desde su origen hasta su extremo.
 Suma de vectores:
b

a
a
b
(a +b )
(un desplazamiento a continuación del otro).
 Producto de un número por un vector:
 Si el número es positivo: se produce el desplazamiento tantas veces
seguidas como indica el número.
5
a
2
a
2a
1,5 a
 Si el número es cero: Cero veces un desplazamiento es no moverse.
Representaremos por 0 la falta de desplazamiento.
0·a  0
 Estarás de acuerdo con el resto del mundo en que si al desplazamiento 
le sumamos el desplazamiento  tenemos 0 . Según esto, si el
desplazamiento  se llama a , convendrá llamar (- a ) al desplazamiento .
-a
a
Dicho de otra forma: Un signo (-) delante de una flecha indica cambio de
sentido.
 Si el número es negativo: se produce el desplazamiento tantas veces
seguidas como indica el valor absoluto del número y se le cambia el sentido.
a
-2 a
1,5 a
Con lo cual queda resuelta la “resta” de vectores, que no es una operación
como tal:
a  b  a  (b )
- 174 -
Ejercicios
Puedes interpretar una fuerza como si fuera un desplazamiento
a efectos prácticos. Lo mismo ocurre con cualquier magnitud
vectorial.
1. Supongamos que sobre el punto A se aplican las fuerzas que
se indican. ¿Cuál es la fuerza resultante en cada caso?
a)
d)
3 u

F1

F2
3 u

F1
b)

F2
3 u
3 u 
F1

F2

F1
c)
5 u
3 u
3 u
7 u
3 u
e)

F2

F1

F2
7 u
f) 
F2

F1
3 u
2 u
2. Supongamos que sobre el punto A se aplica F1.
Representa la fuerza que se indica aplicada al punto A:
A F1





2 
3 u
b) F1
a)3 F1
c)– F1
d)-2 F1
e)- F1 +3 F1
3

3 u
a

3. Dados los vectores:
4 u
b

3 u
2 u
c
4 u
Representa:
a) a  b
b) a  c
c) a  b  c
f)  2a  b
g) 2a  3b
h)
1
a  b
2
4. En Física, se usan los vectores
Representa los vectores:
a) 2i  3j
b)  i  2j
c) 2i
d) a  b
i) b 

i
1 u
j

j
1
a
2
e)
 a  b
j) 0·a
1 u
d) 3i  4j
e)  i  j
5. Halla la resultante de dos fuerzas F1 y F2 de igual
intensidad, y aplicadas en el mismo punto, cuando tienen:
a) Misma dirección y sentido.
b) Misma dirección y sentido opuesto.
c) Forman ángulo recto.
6. Una lancha zarpa de un punto O situado a la orilla de un
río, en dirección perpendicular a las orillas, a una velocidad
de 80 m/min. Al mismo tiempo, la corriente empuja a la lancha
aguas abajo a una velocidad de 60 m/min. Se pide:
a) Dibuja la trayectoria de la lancha hasta la otra orilla.
b) Si el río tiene 400 m de anchura, calcula la longitud de
la trayectoria y el tiempo que tarda en llegar.
- 175 -
Ejercicios
7. Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado, ¿cuántos
vectores fijos y cuántos libres determinan?
8. Si A, B, C, D, E y F son los seis vértices de un hexágono
regular, ¿cuántos vectores fijos y cuántos libres determinan?
C
9. Dado el triángulo isósceles ABC del dibujo,


si P es el punto medio del segmento AB,
b
a 
expresa m en función de a y b .
m
A
B

c
Observa
COMPONENTES DE UN VECTOR
 Trabajaremos en el plano, y recurriremos a los ejes cartesianos. Ya sabemos
que esto nos permite asignarle a todo punto dos coordenadas: A= (1,2).
También nos permite asignarle a cada vector dos componentes:
c
a  5 u derecha, 3 u abajo  a = (5,-3)
b  2 u derecha, 1 u arriba  b = (2,1)
c  2 u izquierda, 1 u abajo  c = (-2,-1)

v  v = (v1,v2)
b
a
 Esto nos permite no tener que andar con reglas, cartabones, ni semicírculos
graduados para trabajar con vectores. Veámoslo (ten en cuenta lo que es un
desplazamiento y que lo horizontal y lo vertical no se mezclan):
OPERACIONES CON VECTORES
 Suma:
v  w = (v1,v2)+(w1,w2)= (v1+w1,v2+w2)
Ejemplo: (3,-4)+(-1,2) = (3-1,-4+2) = (2,-2)
 Producto de un número por un vector:
 ·v   ·(v1,v2) = (  v1,  v2)
Ejemplo: -5(3,-2) = (-5·3,-5(-2)) = (-15,10)
(piensa que cambiar el sentido es cambiar izquierda por derecha,
derecha por izquierda, arriba por abajo y abajo por arriba).
- 176 -
Observa
ORIGEN Y EXTREMO DE UN VECTOR.
CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.
A(a1,a2)
Y
Intuitivamente

OA  AB  OB :
AB  OB  OA

v  AB  (v1,v2)
X
O(0,0)
OB  AB  OA
A v  B
v  B A
B v  A
(1)
(2)
(3)
B(b1,b2)
Extremo-Origen = Desplazamiento
(a1,a2) + (v1,v2) = (b1,b2)
(v1,v2) = (b1,b2) - (a1,a2)
(b1,b2)- (v1,v2) = (a1,a2)
En componentes
(1)
(2)
(3)
 Módulo de un vector: si v = (v1,v2), por el teorema de Pitágoras: v  v 12  v 22
Ejercicios
10. Halla las componentes del vector AB , si A=(4,-1) y B=(0,3)
11. Halla el extremo del vector CD si sabes
componentes son (3,-1) y su origen es C=(-2,4).
que
sus
12. Las coordenadas de un vector son (1,5) y las de su extremo
son (4,-2). Calcula su origen A.
13. Dados los puntos A(1,0), B(2,-1), C(9,9). Halla el punto D
que cumple AB  CD .
14.
Halla
los
puntos
D
y
E
sabiendo
que
 2  1,
C   ,

6 
3
5

F    3,  y que CD  EF   4,0 .
2

15. Calcula m y n para que se cumpla que u  v
vectores u  3  m,3n y v  6,4  n .
siendo los
16. Si u = (3,1), v = (-4,3), w = (3,6), r = (-2,-4), calcula:
a) u + v
b) w + r
c)2 u
d)3 v
e)-u
f)3 v - u
g) w - r
h)3 r +u
i)-1/2 r
j)1/2 r -1/3 w
- 177 -
Ejercicios
17. Sabiendo que A(-1,-1), B(0,1), C(1,1), D(2,3), halla el
vector AB  2CD .
18. Halla el punto medio del segmento AB si A(3,5), B(6,-8).
19. Encuentra un método general para hallar el punto medio del
segmento AB si A(a1,a2) y B(b1,b2).
20. Halla los puntos que dividen al segmento de extremos (3,5)
y (6,-8) en: a)Dos partes iguales.
b)Tres partes iguales.
21. Halla las componentes y el módulo del vector que tiene el
origen en A(-3,5) y el extremo en (0,-8).
22. Un vector tiene componentes (-5,7) y el origen en (3,-3).
Halla el extremo y el módulo del vector.
23. Calcula el vértice que falta en el paralelogramo ABCD
sabiendo que tres vértices consecutivos son A(1,2), B(5,-1) y
C(6,3).
24. Calcula el vector c  3a  2b ,siendo a =(2,2),
Represéntalo.
b = (0,3).
25. Halla el punto P que cumple: 3PQ  2QR  O siendo Q=(3,2) y
R=(-1,5).
26. Un vector se dice unitario cuando su módulo es uno.
Sabiendo esto calcula los vectores unitarios con la misma
dirección que: a)(2,7)
b)(5,-1)
c)(-7,3)
d)(8,2)
27. ¿Qué condición deben cumplir los vectores v = (v1,v2) y
= (w1,w2) para ser paralelos?
w
28. ¿Están alineados los puntos A(4,-1), B(-2,5) y C(6,-6)?
29. Si u  (2,1) y v  (6, m), halla m para que u
paralelos.
y
v
sean
30. Determina las componentes de un vector que sea paralelo a
(-2,1), tenga sentido contrario al suyo y tenga módulo 5.
31. Si P es el punto medio del segmento AB , también se dice
que A es el simétrico de B respecto de P y que B es el
simétrico de A respecto de P. Halla el simétrico de (3,-5)
respecto de (4,-20).
32. Halla los puntos que dividen al segmento AB en tres partes
iguales, siendo A(-3,7) y B(12,-2).
- 178 -
Ejercicios
33. Si A = (2,-5) y B = (11,10), halla el punto del segmento
AB cuya distancia a B es 4/5 de su distancia a A.
34. Halla los extremos de un segmento del que se sabe que los
puntos (3,8) y (7,1) lo dividen en tres partes iguales.
35. Si a = (3,4) y b = (1,1), calcula:
a) a
b) b
c) 2a
d)  3b
e) a  b
36. Halla la distancia entre los puntos (3,4) y (6,9).
37. Si A(3,-2), B(2,5), C(4,3) son tres vértices consecutivos
de un paralelogramo, halla el vértice que falta y el punto
donde se cortan las diagonales.
38. El centro de un paralelogramo es (-1,0), y dos vértices
consecutivos son A(1,-2) y B(0,1). Halla los vértices que
faltan.
39. a) ¿Qué puedes decir de a  b respecto de a y b .
b) ¿Cuándo a  b = a  b ?
c) ¿Cuándo a  b  0 ?
40. A(1,3) es el vértice de un triángulo. Si el punto medio
del lado AB es M(-1/2,0) y el punto medio del lado BC es
N(1/2,-3/2). Halla B y C.
41. Halla los tres vértices de un triángulo sabiendo que los
puntos medios de los lados son (0,0), (3,1) y (-1,4).
42. Halla los cuatro vértices de un paralelogramo ABCD,
sabiendo que A=(-3,-3) y que los puntos medios de AB y CD son,
respectivamente, (2,-1) y (-2,3).
43. De un hexágono regular conocemos dos vértices consecutivos
A(5,0), B(6, 3 ) y el centro O(4, 3 ). Halla los vértices que
faltan.
VECTORES EN EL ESPACIO
Todo lo visto se puede ampliar al espacio teniendo en cuenta que un punto tiene
tres coordenadas A=(a1,a2,a3) y todo vector tres componentes v =(v1,v2,v3).
Por lo demás, piensa que no hay grandes variaciones.
- 179 -
Observa
ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO
Puntos A = (a1,a2)
 Estamos en el plano, y vamos a trabajar con
Vectores v = (v1 ,v2)
 Una recta en el plano viene determinada por dos puntos por los que pasa, A y
B o por uno de ellos A y el vector que los une v  AB (vector director de
la recta).
Supongamos que A = (a1,a2) es un punto de la recta que nos interesa y que el
vector v =(v1,v2) es su vector director.
Y
r
A
Si P = (x,y) es un punto cualquiera de la recta,
v
debe cumplirse:
AP  ·v ,  un número real
X
O
P
Es decir: (x,y)- (a1,a2) =  (v1,v2) 
En los recuadros coloreados, se realizará un ejemplo para todos los tipos posibles
de ecuaciones de la recta usando en todos los casos el mismo punto A=(1,2) y el
mismo vector v =(3,4). Debes identificar y reconocer en cada ecuación cuáles son
las coordenadas del punto y cuáles las componentes del vector.
Ejemplo: Ecuación vectorial  (x,y) = (1,2)+  (3,4)
(x,y)=(a1,a2)+ (v1,v2) Ecuación vectorial
x  a1  v 1 
Separando las componentes 

y  a2  v 2 
Eliminando el parámetro  e igualando:
x  a1
y  a2
Ecuación continua

v1
v2
Ejemplo:
x  1  3 

y  2  4 
Ecuaciones
paramétricas
Ejemplo:
x 1

y 2
3
4
(Cuando alguna de las componentes del vector es 0, ésta igualdad se entiende
como una expresión formal, no como cociente)
v2x-v2a1 = v1y-v1a2
Operando en la ecuación continua
Ejemplo:
4x-3y+2 = 0
v2x-v1y-v2a1+v1a2 = 0
Ecuación implícita, general o cartesiana
Ax+By+C=0
Comparando las expresiones: A = v2, B = v1  v = (-B,A)
A
C
Despejando y: y 
x   y = mx+k Ecuación Explícita
B
B
v
m = pendiente de la recta  m  2  tg
v1

k = ordenada en el origen.
- 180 -
Ejemplo:
4
2
y  x
3
3
Ejercicios
44. Justifica que si A=(a1,a2) y v =(v1,v2) determinan una recta,
cualquier punto (x,y) de esa recta verifica la igualdad
y  a2
 m (m = pendiente de la recta). Esta forma de escribir
x  a1
una recta es la forma punto-pendiente.
45. Justifica que si una recta corta al eje de abscisas en el
punto (a,0) y al de ordenadas en (0,b), podemos escribir su
x
y
ecuación como:
(forma canónica).

 1
a
b
46. Calcula el vector director y la pendiente de las rectas:
a) y = 2x+5
x  1  2
c) 
 y  5  3
b) 4x-10y+1 = 0
x 6
d)
 y 1
2
47. Halla la ecuación general de la recta que:
a)Pasa por (2,-1) y tiene por vector director (2,2).
b)Pasa por (3,0) y (1,4).
c)Pasa por (1,-2) y forma un ángulo de 45º con el eje de
abscisas.
d)Pasa por (0,3) y es paralela a la bisectriz del 2º
cuadrante.
e)Es paralela a x-y+1 = 0 y su ordenada en el origen es 5.
f)Pasa por (4,-3) y es paralela al eje de ordenadas.
g)Pasa por (-1,5) y es paralela al eje de abscisas.
h)Pasa por (-3,7) y el segmento que determina sobre el eje
OX mide el doble que el que determina sobre el eje OY.
x  1  4
i)Pasa por (2,-3) y tiene la misma pendiente que 
y  2  2
48. Determina
alineados.
si
los
puntos
(1,1),
(3,4),
y
(4,6)
están
49. Dada la recta 2x+y-3 = 0, ¿son P(1,1), Q(3,-2), R(-1,-2)
puntos de ella?
50. Dada la recta x+y-1 = 0, halla tres puntos que pasen por
ella y tres vectores directores.
51. Dadas las rectas 5x-4y+7 = 0, -4x+7y-16 = 0, ¿Para qué
valor de x tienen las dos rectas ordenadas iguales?
52. Halla cinco puntos y tres vectores directores de la recta
que pasa por (5,-8) y tiene por vector director (-7,3).
Dibújala.
53. ¿Pertenecen los puntos (-39´5 ,18) y (48,-20) a la recta
que pasa por (-2,3) y tienen por vector director (5,-2)?
- 181 -
Ejercicios
54. Si los puntos (15,a), (-12,b), (c,-7), (d,-5) pertenecen a
x  3
y  7
la recta
, halla a, b, c, d.

6
11
55. ¿Qué particularidad tienen
explícita de las rectas que
coordenadas?
las ecuaciones
pasan por el
general y
origen de
56. Escribe, en todas sus formas, las rectas:
a)(x,y)=(2,1)+ (3,2)
d) 5x+3y-2 = 0
x  5  3
b) 
y  2  
e) y = 2x-2
c)
x 1
y  3

2
1
f)
x
y

 1
2
1
57. Una recta pasa por el punto (3,3/4) y determina con los
ejes de coordenadas un triángulo de área 6 u2. Halla la recta.
(Pista: usa la ecuación canónica)
58. Ecuación explícita de la bisectriz
del 1º/3º cuadrante.
59. Ecuación explícita de la bisectriz
del 2º/4º cuadrante.
60. Ecuación de los ejes de coordenadas.
61. Ecuaciones
coordenadas.
de
las
rectas
paralelas
a
los
ejes
de
Observa
mplía
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
 Dadas dos rectas r:Ax+By+C = 0, s:A´x+B´y+C´= 0 en el plano, pueden estar
de las siguientes formas:
a) r y s se cortan
b) r y s son paralelas
r
c) r y s son coincidentes
r
P
s
s
s
A continuación estudiaremos cada caso por separado.
- 182 -
r
Amplía
a) r y s se cortan en el punto P.
r
P
s
Para que esto ocurra, los vectores directores de r ( v r ) y
de s ( v s ) no deben ser proporcionales.
A
B
Como v r = (-B,A) y v s = (-B´,A´), debe cumplirse

A´ B ´
Si deseamos hallar el punto de corte P, como éste debe verificar las
ecuaciones de r y s, deberá ser solución del sistema:
Ax  By  C  0 

A´x  B ´y  C ´ 0
Por ejemplo: r x-y+1 = 0, s 2x+y-3 = 0. Como
x  y  1 
  x = 2/3 , y = 5/3
2x  y  3

1 1
 Se cortan.

2
1
Se cortan en el punto P(2/3,5/3)
b) r y s son paralelas.
Para que esto ocurra, los vectores directores deben ser
B 
A
proporcionales 

 y no deben tener puntos en
 A´ B ´
común ( si no, serían la misma recta). Para que ocurra esto:
A
B
C


A´ B ´ C ´
r
s
Por ejemplo: r2x-y+5 = 0, s4x-2y+7 = 0. Como
c) r y s son coincidentes.
s
r
2 1 5

  Son paralelas.
4 2 7
Para que esto ocurra, las ecuaciones de ambas
deben verificarse para los mismos puntos:
A
B
C


A´ B ´ C ´
Por ejemplo: r 2x-y+5 = 0, s 4x-2y+10 = 0
2 1
5
Como se cumple que

Son coincidentes.


4  2 10
 Observa que todo se reduce a discutir el sistema de ecuaciones:
Ax  By  C  0 

A´x  B ´y  C ´ 0
Una solución  Se cortan
Ninguna solución  Paralelas
Infinitas soluciones  Coincidentes
con lo que tienes una interpretación geométrica del sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
- 183 -
Ejercicios
62. Calcula
a y b para que las rectas ax+2y+4=0, 10x+by-2=0
se corten en (-2,-2).
63. Halla m
coincidentes.
y
p
para
que
mx+3y+5=0,
2x+6y-p=0
sean
64. Halla a para que 4x-2y+1=0, x-ay+4=0 sean paralelas.
65. Halla el punto de corte de las rectas:
a) 3x+2y-8=0, 5x-y-9=0
b) y=2x+1, x-2y-4=0
66. Halla m para que las tres rectas siguientes tengan un
punto en común: mx+y-11=0, x-5y+7=0, x-y-1=0
67. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de
rectas:
a) 2x+y-3=0, 4x-2y+1=0
b) x-3y+2=0, 5x-15y+3=0
c) x-3y+2 =0, 2x-6y+4=0
d) x-1=0, x=5
68. ¿Son concurrentes las ternas de rectas siguientes?
a) 4x-2y-14=0, x+2y+4=0, 3x+3y+3=0
b) x-y-6=0, 3x-y-10=0, x+y-6=0
69. Halla m para que sean paralelas: 2mx+(m-5)y=m, 9x-my=-8
70. Halla m y n para que sean coincidentes las siguientes
rectas:
15x-10y+m=0, nx+4y+8=0
71. Halla h y k para que sean paralelas: 3x-hy=2, kx+4y=5 si
sabemos que la primera de ellas pasa por (2,-2).
72. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de
coordenadas y es paralela a la determinada por los siguientes
puntos (1,1), (-3,6).
73. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de
rectas y, cuando sea posible, halla el punto de corte:
a) (x,y)=(3,-2)+ (4,-5); x-2y+7=0
b) (x,y)=(5-3t,-4t); 4x-3y+2=0
c) 3x-5y+9=0; 2x+5y-8=0
9
4
d) y=2x- ; y=- x+5
5
2
e) 3x-5y+9=0; -6x+10y+1=0
f) 3x-5y+9=0; -6x+10y-18=0
74. Halla m y n sabiendo que 8x+ny=5 pasa por (1,3) y es
paralela a mx+3y-2=0
- 184 -
Ejercicios
75. Halla la ecuación de la recta paralela a 5x-7y+9=0 que
pasa por el punto (-4,6).
76. ¿Son paralelas las rectas: 8x-12y+7=0, -6x+9y+8=0?
77. Interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
a)
2x  y  3

x  y  5
b)
x  y  1  0 

 x  y  1  0
c)
x  y  1  0 

3x  3y  2  0
El rincón matemático
¡AQUÍ HAY TOMATE!
El descubrimiento, a principios del siglo XVI, de la fórmula que da la solución de las
ecuaciones de tercer grado desencadenó una de las polémicas más famosas de toda la
historia de las matemáticas.
 A finales del siglo XV, ya se conocía la fórmula de las soluciones de la ecuación de 2º grado
utilizando un lenguaje parecido al que usamos hoy.
 El primero en descubrir cómo resolver la ecuación de tercer grado de cierto tipo fue, a
principios del XVI, Escipión del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia, pero sólo confió
el secreto a su discípulo Antonio de Fior. En aquella época era normal que los matemáticos, si
querían subsistir o adquirir prestigio, se retaran a competiciones públicas; así las cosas, al
morir del Ferro, su discípulo retó públicamente al matemático Niccolo Fontana (Recibió el
sobrenombre de Tartaglia (tartamudo) por un defecto en el habla a consecuencia de una
herida durante el saqueo de su ciudad natal) a resolver en un tiempo determinado 30
problemas que llevaban a ecuaciones reducidas de tercer grado. Pero éste contraatacó
proponiendo otros tantos problemas que conducían a ecuaciones reducidas de otro tipo, para
las que él había descubierto ya una fórmula.
 El resultado fue que Tartaglia consiguió descubrir también la primera fórmula en el tiempo
previsto y ganó por 30 a 0, lo cual le lanzó a la fama. Enterado de ello Cardano, se puso en
contacto con Tartaglia y le pidió que le dijera la fórmula; además de jurar no divulgarla, a
cambio él le presentaría a un personaje que patrocinaría sus proyectos. Aunque con alguna
resistencia, Tartaglia accedió.
 Poco después, Ferrari descubrió un método para resolver la ecuación de 4º grado, y Cardano
dio con la fórmula para resolver la ecuación general de tercer grado, aunque el proceso que
utilizaba se basaba en la fórmula de Tartaglia. Sin embargo, por entonces, ambos tuvieron
acceso a los los trabajos de del Ferro. La fórmula de éste resultaba ser la misma que la de
Tartaglia, pero ellos consideraron que era anterior y, por lo tanto, dedujeron que ello liberaba
a Cardano de la obligación de cumplir su juramento y optaron por incluirla en su libro de
álgebra Ars magna.
 Aunque Cardano reconocía en el libro su deuda con Tartaglia, éste se sintió ultrajado y le
acusó públicamente de cuervo que se alimentaba del trabajo de otros. Curiosamente, a estas
acusaciones respondió Ferrari, y este nuevo conflicto acabó en un reto entre ambos que ganó
claramente Ferrari. La guerra entre ellos continuó realmente hasta la muerte de Tartaglia.
 El primogénito de Cardano fue ajusticiado por haber envenenado a su esposa, y el propio
Cardano fue encarcelado en 1570 acusado de hereje al haber publicado un horóscopo de
Jesucristo (se consideraba herejía por deducirse que Dios dependía de las estrellas), pero se
le liberó tras retractarse; hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el
día de su muerte y que se sintió obligado a suicidarse para que su predicción fuera cierta.
- 185 -
Soluciones
TEMA 9:
1.
a)6u derecha
b) 0
c)4u izquierda
d)3u derecha, 3u abajo
e)5u derecha, 3u abajo
f)5u derecha, 3u abajo
2.
a)9u derecha
b)2u derecha
c)3u izquierda
d)6u izquierda
e)6u derecha
3.
a)8u derecha, 3u arriba
b)7u derecha, 2u abajo
c)11u derecha, 1u arriba
d)3u abajo
e)3u arriba
f)4u izquierda, 3u arriba
g)20u derecha, 9u arriba
h)6u derecha, 3u arriba
i)2u derecha, 3u arriba
j) 0
4.
a)2u derecha, 3u abajo
b)1u izquierda, 2u arriba
c)2u derecha, 1u abajo
d)3u derecha, 4u arriba
e)1u izquierda, 1u abajo
5.
a) Misma dirección y sentido. Intensidad doble.
b) 0
c) Dirección y sentido formando un ángulo de 45º con el sentido de F1 y F2.
Intensidad: 2 ·(Intensidad de F1).
6.
a)Vector de orilla a orilla que por cada 4u derecha tiene 3u abajo.
b)500 m, 5 min.
7.
8.
9.
10.
1
16 fijos, 9 libres
36 fijos, 19 libres
(-4,4)
m 
a  b
2
11.
12.
13.
14.
15.
(1,3)
(3,-7)
(10,8)
D=(-10/3,-1/6), E=(1, 5/2)
m=-3, n=1
16.
a)(-1,4)
b)(1,2)
c)(6,2)
d)(-12,9)
e)(-3,-1)
f)(-15,8)
g)(5,10)
h)(-3,-11)
I)(1,2) j)(-2,-4)
17.
18.
19.
20.
21.

(-1,-2)
(9/2,-3/2)
 a1  b1 a2  b2 
,


2
2


22.
23.
Ext=(-2,4), v 
26.
27.
(2,6)
74

a)(9/2,-3/2)
b)(4,2/3) y (5,-11/3)
v =(3,-13)
24.
(6,0) (6 u derecha)
25.
(17/3,0)
v = 178
 2
 2
7 
 7
 y 

,
,
a) 
53 
53 
 53
 53
 5
5
1
1 
 y 

,
,
b) 
26 
26 
 26
 26
 7
7
 3
3 
 y 

,
,
c) 
58 
58 
 58
 58
 8
  8  2
2 
 y 

,
,
d) 
68 
68 
 68
 68
28.
29.
30.


31.
32.
v1·w2= v2·w1
No
m= -3
(5,-35)
(2,4) y (7,1)
2 5, 5
33.
34.
35.
(6,5/3)
(-1,15) y (11,-6)
a)5
b) 2
c)10
d) 3 2 e) 41
36.
37.
38.
D(5,-4), M(7/2,1/2)
(-3,2) y (-2,-1)
34
39.
a) 0  a  b  a  b
b) a y b misma dirección y sentido.
c) a y b misma dirección y sentido opuesto.
40.
41.
42.
B(-2,-3) C(3,0)
(4,-3), (2,5), (-4,3)
(-3,-3), (7,1), (-11,5) y (-21,1)
- 186 -
Soluciones
43.
44.
Basta ver cual es el vector director.
(5,2 3 ),(3,0), (2, 3 ), (3,2 3 )
45.
Basta comprobar que pasa por los puntos dados.
46.
a) (1,2), 2
b) (5,2), 0’4
c) (2,-3), -1’5
d) (-2,1), -0’5
47.
a) x-y-3=0
b) 2x+y-6=0
c) x-y-3=0
d) x+y-3=0
e) x-y+5=0
f) x=4
g) y=5
h) x-2y-11=0
i)x+2y+4=0
48.
49.
No
P si, Q no, R no
50.
Puntos que verifiquen la ecuación, vectores múltiplos de (1,-1)
51.
52.
Puntos: dar valores a  en (5,-8)+  (-7,3).
x= 15/19 Vectores proporcionales a (-7,3).
Para dibujar ésta y cualquier otra recta, basta tener dos puntos
de ella y situarlos en el plano.
53.
54.
El primero sí, el segundo no.
a=15, b=-69/2, c=3, d=45/11.
55.
Término independiente y ordenada en el origen 0.
56.
a) General: 2x-3y-1=0
b) General: x+3y-11=0
c) General: x-2y-7=0
d) Vectorial: (x,y)=(1,-1)+(-3,5)
e) Vectorial: (x,y)=(1,0)+(1,2)
f) Vectorial: (x,y)=(2,0)+(2,1)
57.
58.
59.
x
x
y
y=x
y=-x
 y  1

 1,
Dos soluciones:
12
4
3
60.
61.
Vertical: x=0, horizontal: y=0
Verticales: x=cte, horizontales: y=cte.
62.
63.
64.
65.
66.
a=0, b=-11
m=1, p=-10
a=1/2
a) (2,1) b) (-2,-3)
m=3
67.
a) Se cortan
b) Paralelas
c) Coincidentes
d) Paralelas
68.
69.
70.
71.
72.
a) Si, en (2,-3) b) No m=3 o m=-15/2 m=-20 , n=-6 h=-2, k=6 5x+4y = 0
73.
a) Se cortan en (-1,3)
b) Paralelas
c) Se cortan en (-1/5,42/25)
d) Se cortan en (95/28,16/7)
e) Paralelas
f) Coincidentes
74.
75.
76.
m=-24, n=-1
5x-7y+62=0
Si
77.
a) Dos rectas en el plano que se cortan en el punto (8/3,7/3)
b) Dos rectas coincidentes en el plano
c) Dos rectas paralelas en el plano.
- 187 -
TEMA 10: FUNCIONES
Recuerda
EL CONCEPTO DE FUNCIÓN
Son muchos los aspectos de la vida diaria donde encontramos dos o más
cantidades relacionadas entre sí de forma que unas dependen de otras. Por
ejemplo, la longitud de un muelle depende del peso que le colguemos, la presión de
una olla depende de la temperatura que alcance, la balanza de pagos de un país
depende de las importaciones y las exportaciones.
Una función es el concepto matemático que expresa estas relaciones. Nosotros
nos limitaremos a estudiar aquellos casos en que se relacionan números reales con
números reales (funciones reales de variable real).
Básicamente tenemos, pues, un conjunto de partida (a cuyos elementos
llamaremos variable independiente), un conjunto de llegada (variable
dependiente) y algo que me permite asignarle a cada elemento del conjunto de
partida, como máximo un elemento del conjunto de llegada (función):
A
(conjunto partida)
f
(función)
B
(conjunto llegada)
Si a (de A) está relacionado con b (de B), escribiremos f(a) = b, y diremos que b
es la imagen de a, o que a es el original o la antiimagen de b. Esta relación se
escribe f(a) = b o f-1(b) = a .
Una función puede venir dada de varias formas:
a) Por una tabla de valores. Por ejemplo, la temperatura máxima alcanzada en una
ciudad (T) los siete primeros días del mes de agosto (D):
D
T
1
28º
2
30º
3
33º
4
31º
5
29º
6
30º
7
29º
b) Por una expresión analítica. Fórmula que nos da la relación entre las variables.
Por ejemplo f(x) = 2x es la función que a cada número real le asigna su doble,
es decir, f(3) = 6, f(-1) = -2, f(0,3) = 0,6 etc.
- 188 -
Recuerda
c) Cualquier norma que deje bien claro cuál es la imagen de un elemento del
conjunto de partida. Por ejemplo:
asigna a los números negativos su doble
2x , si x  0

f (x )   1
el 0 no tiene imagen y asigna a cada número positivo su inverso
 x , si x  0
d) Representación gráfica. Aprovechando que podemos poner en el eje horizontal
(del sistema de referencia cartesiano) el conjunto de partida y en el vertical
el de llegada, se pone un punto para indicar que dos números están
relacionados. En los ejemplos de los apartados anteriores sería:
T
a)
b)
y=f(x)
c)
y
33
x
30
x
28
1 2
3
4
5
6
7
Ejercicios
1. Sabiendo que el espacio recorrido e en km por un coche en 5
horas viene dado por la siguiente gráfica, se pide:
a)¿Cuándo ha estado parado?
b)¿Cuándo ha retrocedido?
c)¿Cuál ha sido su velocidad media?
d)¿Cuándo ha llevado velocidad constante?
e)¿Cuántos kilómetros ha recorrido en total?
e
100
80
60
40
20
t
1
2
3
4
5
2. A continuación siguen las gráficas que corresponden al
nivel que alcanza el agua en las botellas de la derecha que se
van llenando con un grifo que gotea de forma constante.
a) Relaciona cada gráfica con su botella.
Altura
1
2
3
A
B
D
C
4
b) Inventa una botella cuya gráfica sea:
- 189 -
Tiempo
Ejercicios
3. Cierta empresa ofrece diariamente un recorrido turístico
para un grupo de 12 personas como máximo. El precio de la
visita, por persona, depende del tamaño del grupo: 20 € en
grupos de menos de 4 personas, 10 € en grupos de 4 a 7
personas y 6 € en grupos mayores. Sea f(x) la función que
describe el dinero que ingresa la empresa con un grupo de x
personas. Representa gráficamente f(x).
4. Los pájaros de cierta especie emigran de la zona A a la B
que distan 1000 km entre sí. Suponemos que la zona A
corresponde al km 0 de la ruta, y la B al km 1000. Al
principio y al final de la ruta se encuentran diversas fuentes
de alimentación, pero a lo largo de la ruta, los pájaros sólo
encuentran alimento en el km 400.
a) Representa gráficamente la función
distancia del km. x del recorrido
alimentación más cercana.
que describe
a la fuente
la
de
b) ¿En qué km. del recorrido se alcanza la máxima distancia
al alimento?
c) Da la forma analítica (fórmula) de la función.
5. Dadas las funciones siguientes, halla para cada una de
ellas: a)f(0) b)f(-4)
c)f(1)
d)f-1(1)
e)f-1(0)
f)f-1(3)
Funciones:
5.1) y
5.2)
y
x
x
17/4
6,5
Recuerda
5.3)
f(x)=5
5.4)
f(x)=3x-2
5.5)
f(x)=x2-5x+6
5.6)
f(x)= x
5.7)
f(x)=1/x
5.8)
f(x)=x3
DOMINIO Y RECORRIDO
Se llama dominio de definición o campo de existencia de una función al conjunto
de valores de x (conjunto de partida) para los que existe una función o está
1
definida. Por ejemplo, y =
no existe cuando x=1, luego su dominio es todos
x 1
los números reales excepto el 1.
Se llama recorrido de una función al conjunto de valores y (conjunto de llegada)
que están relacionados por ella con algún valor del dominio. Por ejemplo, y = x 2,
cuando y = 1 está relacionado con x = 1 y x = -1, luego está en el recorrido; sin
embargo, no hay ningún número que elevado al cuadrado nos dé -1, luego y = -1 no
está en el recorrido.
- 190 -
Ejercicios
6. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a)
y
b)
y
y
c)
x
x
x
f)y=x2-6x+9
g)y= x
1
h)y=1/x
i)y= x  1
j)y=
k)y= x  2
x 1
7. Halla el recorrido de las funciones del problema 6.
8. Halla el dominio de las siguientes funciones:
d)y=5
e)y=2x+1
2x 2  3
b)y= 2
x  x  2
x 2  3x  2
c)y= 3
x  5x 2  x  3
d)y= x 2  3x  5
e)y=  x 2  4
f)y= x 2  1
g)y= x 2  5x  6
h)y=
a)y=
x3
1
 x2  2
1
x  1
2
i)y=
1
 x
2
 4
9. Halla el dominio de:
a)y=
x  1
x  2
b)y=
x 2  5x  6
x 2  2x  1
c)y=
d)y=
x  1
x2  1
e)y=
x2  4
x  1
x  22
f)y=
x  33
x 2  5x  6
x2  1
Recuerda
No confundas nunca el dominio de una función con el conjunto de valores para los
que tiene sentido en un problema concreto.
Por ejemplo, en el problema: “A un cuadrado de lado 30 cm. se le
recortan 4 cuadrados de lado x en las esquinas para formar un
prisma como el de la figura, halla el área y el volumen del prisma
en función de x”
La solución sería:
A = 302-4x2 = 900-4x2
V = x(30-2x)2 = 900x-120x2+4x3
x
x
30
x
x
30
x
x
x
x
x
x
30-x
30-x
En ambos casos, las funciones tienen por dominio R, pero en el problema concreto
que resuelven, x toma valores sólo entre 0 y 15: 0<x<15 ( si no, no habría caja).
- 191 -
- 192 -
- 193 -
- 194 -
- 195 -
- 196 -
- 197 -
Observa
FUNCIONES MÁS USUALES
Hay una serie de funciones que, por su importancia y utilidad, interesa tener en
cuenta y recordar su gráfica. Veámoslas:
1ª) La recta  y = mx+k
(bastan dos valores para representarla)
Si m > 0, la recta es creciente
Si m < 0, la recta es decreciente
A mayor m mayor inclinación de la recta.
m = pendiente
K = ordenada en el origen.
k
 k 
→ 
,0 
m
 m 
Con el eje OY → x = 0 → y = k → (0,k)
Con el eje OX → y = 0 → x =
Cortes con los ejes
2ª) La parábola  y = ax2+bx+c, a ≠ 0.
Si a > 0 Cóncava
 b
 b 
Vértice: V =  
, sustituirx por  
 
 2a  
 2a
Si a < 0 Convexa
A mayor a más cerrada.
OX
Cortes con los ejes
y
→
=
0
x
→
=
 b  b  4ac
2a
OY → x = 0 → y = c
2
3ª) Función exponencial
Se llama función exponencial a y = ax, con a>0 un número fijo y xR, x variable.
Puedes ayudarte de una tabla de valores para dibujar las gráficas de:
a) y = 2x
b) y = 3x
c) y = 5x
d) y = (1/2)x
e) y = (1/3)x
y llegarás a las siguientes conclusiones:
y
Si a>1
Si a<1
y
1
f) y = (1/5)x
1
x
x
b>a>1
y=ax
y=bx
y
y=bx
y=b
y=ax
1
x
x
y=ax
y
a<b<1
1
y=bx
y=ax
- 198 -
x
Puedes preguntarte cómo se calculan, por ejemplo 2 2 , 2 y otras potencias de
exponente irracional. Piensa que como podemos aproximar el exponente tanto
como queramos, bastará hacer lo siguiente:
1,4
21,4
2,6390…
1,41
21,41
2,6573…
1,414
21,414
2,6647…
4ª) Función logarítmica:
Si a>1
a>0
1,4142
21,4142
2,6651…
1,41421
21,41421
2,665137562
y = loga x
y
y
x
1
…
…
2
2
2
Si a<1
1
x
Compruébalo, mirando las gráficas de la función exponencial que has hecho
anteriormente y saca conclusiones.
5ª) Hipérbola equilátera  Función de proporcionalidad inversa y =
y
x
6ª) y =
1
x
Para representar la función realiza una
tabla de valores.
x
y
Para representar la función realiza una
tabla de valores.
x
7ª) Función parte entera y = E[x]
3
Recuerda que la parte entera de un
número real es el número entero
más alto que es menor o igual al
dado. Así, por ejemplo:
2
1
-4
E[0,7] = 0,
E[-0,7] = -1,
E[3] = 3
E[-3] = -3
-3
-2
-1
-1
-2
-3
- 199 -
1
2
3
Ejercicios
22.Contesta
a las siguientes cuestiones:
1
a)Dominio de y=logx
b)Dom de y=
x
23. Empareja las gráficas siguientes con sus correspondientes
expresiones analíticas, sabiendo que no sobra ninguna gráfica
ni ninguna expresión.
a)y=7x
b)y=(0,6)x
c)y=(3,2)x
d)y=1x
e)y=(4,6)x
f)y= (0,8)x
g)y=(3/4)x
1
y
2
3
4
5
6
7
x
24.
Empareja
las
seis
gráficas
con
sus
correspondientes, sabiendo que no sobra ninguna.
y
a)y= log2 x
b)y= log0,5 x
c)y= log 1 x
funciones
1
2
3
3
d)y= log7,2 x
e)y= log5 x
f)y= log0,4 x
x
4
5
6
25. Dada la recta y = 3x-5, di por cuales de los siguientes
puntos pasa y por cuales no:
a)(0,-5)
b)(1,-2)
c)(1,2)
d)(2,5)
e)(2,1)
f)(1/3,-4)
26. Halla el valor de a y de b para que los puntos siguientes
pertenezcan a la recta y = 2x-1:
a)(a,1)
b)(1,b)
c)(a,3)
d)(3,b)
e)(b,-1)
f)(-1,a)
27. Halla tres puntos de cada una de las rectas siguientes, y
otros tres por los que no pasen:
1
a)y=x+1
b)y=-3x+2
c)y= x-2
d)y=-3x
e)y=x
2
28. Dibuja, de la forma más rápida posible, las rectas:
a) y = 3x+1
b) y = -2x+3
- 200 -
Ejercicios
29. Halla la ecuación de cada recta, con los datos que se dan
en cada caso:
a)Tiene pendiente 5 y ordenada en el origen -1.
b)Tiene pendiente -1 y ordenada en el origen 5.
c)Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,2).
d)Tiene pendiente -1 y pasa por el punto (1/2,2).
e)Es paralela a la recta y = 3x y pasa por (1,2).
x
f)Es paralela a la recta y = +1 y pasa por (0,0).
4
g)Tiene ordenada en el origen 4 y pasa por (1,2).
h)Tiene ordenada en el origen 7 y pasa por (10,3).
i)Pasa por los puntos (1,2) y (2,3).
j)Pasa por los puntos (3,1) y (1,3).
k)
y
x
l)Corta al eje de abscisas en 2 y al de ordenadas en -3.
30. ¿Cuál será la pendiente de una recta horizontal?
31. Empareja cada relación de la izquierda con su gráfica
correspondiente de la derecha:
2
y
7
6
4
a)y = x+2
3
1
b)y = -x/2
c)y = 3x
9
d)y = x
e)y = 2x
X
f)y = -x
g)y = -2x
5
h)y = 2x-3
i)y = 2
8
32. Halla el punto de corte con el eje de abscisas de las
siguientes rectas:
a)y = x+1
b)y = -3x+2
c)y = 1/2x+2
d)y = -3x
33. Halla el punto de corte con el eje de ordenadas de las
rectas del problema anterior.
34. Encuentra el punto de corte de los siguientes pares de
rectas:
a) y = x+3
y = 2x-5
b) y = -x
y = x+6
c) y = -x-1
y = x-2
- 201 -
d) 3x-y = 2
-6x+2y = 14
Ejercicios
35. Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen la
misma forma que y = x2 y que tienen el vértice en el punto:
a)(2,3)
b)(-5,4)
c)(1,-5)
d)(-4,-6)
e)(5,4)
f)(6,-4)
36. Halla el vértice de las parábolas siguientes:
a)y=x2-2x+5
b)y=x2+4x-3
c)y=x2-8x+4
d)y=x2+6x-1
e)y=-x2+4x+5
f)y=-x2+2x-3
g)y=-x2-8x-3
h)y=2x2+4x-6
37. Halla el valor de b sabiendo que la parábola
ecuación es y=x2+bx+3 tiene el vértice en (2,-1).
cuya
38. Para las siguientes parábolas se pide que halles el
vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y que
dibujes su gráfica aproximada:
a)y = x2-5x+6
b)y = x2-4x+3
c)y = 2x2-2x-5/2
d)y = 1/2x2-2
e)y = x2-5x+4
f)y = x2-4x+4
g)y = x2-x+4
h)y = x2+3
i)y = x2-6x
j)y = x2-8x+12
k)y = 2x2-10x+8
l)y = 6x2+5x+1
El rincón matemático
Cuatro piezas iguales
Muestra cómo puede dividirse esta figura en cuatro piezas iguales.
- 202 -
Soluciones
TEMA 10:
1.
a)1 a 2
2.
b)3 a 4
c)20 km/h
d)0 a 1, 1 a 2 y 3 a 4
e)140
3.

a)(A,1), (B,2), (C,4), (D,3)
b)
Nº pers.
10
4.
y
300
a)
200
b)Máximo km 700
100
100
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
a)1
a)2
a)5
a)-2
5.5.
a)6
700
x


x, 0  x  200

c) f(x)   400  x, 200  x  400
x  400, 400  x  700

1000  x, , 700  x  1000
b)-2
c)No existe
d)[-3,1[
e)17/4
f)5
b)0
c)No existe
d)-1 y 6,5
e)-4 y 6
f)8
b)5
c)5
d)No existe
e)No existe
f)No existe
b)-14
c)1
d)1
e)2/3
f)5/3
5  5
5  5
y
e)2 y 3
2
2
a)0
b)No existe
c)1
d)1
e)0
f)9
a)No existe
b)-1/4
c)1
d)1
e)No existe
a)0 b)-64
c)1
d)1
e)0
f) 3 3
b)42
c)2
d)
f)
5 
13
2
y
5 
13
2
5.6.
5.7.
f)1/3
5.8.
6.
a)Todos los números reales (R) excepto [1,2[
b)Todos los números reales excepto x=-4 y ]-1,2[
c)R excepto ]-6,-4[ y ]0,2]
d)R
e)R
f)R
g)[0,+[ h)R excepto el 0
i)Todos los números desde el 1 en adelante, incluido el 1 j)R excepto 1
k)Desde -2 incluido, en adelante
7.
a)R excepto [-3,-2[ b)Los números superiores o iguales a -3 excepto ]1,2[
c)Números superiores o iguales a –2
d)5
e)R
f)Números positivos y 0
g)Números positivos y 0
h)R excepto el 0
i)Números positivos y 0
j)R excepto el 0
k)Números positivos y 0
8.
a)R excepto 1
b)R excepto -2 y 1
c)R excepto 1, 2+ 7 , 2- 7
d)R
e)No tiene (conjunto vacío)
f)R
g)R excepto ]2,3[
h)R
i)R
9.
a)]-,-1] y ]2,+] b)]-,1[ y ]1,2] y [3,+[
c)]-,-1[ y ]1,2] y [3,+[
d)[-1,+[
e)]1,+[
f)]3,+[
10.
1.1.
a)3 b)1 c)No existe d)3 e)No existe f)2
g)-1
h)2
1.2.
a)1 b)1 c)2
d)2 e)+
f)-
g)2
1.3.
a)No existe b)No existe c)2 d)0 e)-1 f)3 g)-1 h)No existe
1.4.
a)0
b)+
c)0
d)-
e)-
f)-2
- 203 -
Soluciones
11.
Por ejemplo:
y
a)
b)
2
y
c)
e)
x
x
x
y
d)
1
1
1
y
y
2
12.
a)101
x
x
b)+
c)-
d)+
e)1/3
f)0
g)+ 
h)3
13.
a)2 b)2 c)2 d)+ e)- f)2 g)0 h)0 i)31/82 j)2 k)- l)0
14.
15.
a)+ b)0 c)0 d)1/3 e)1 f)0 a)+ b)0 c)2 d)0,5 e)e f)e3 g)9/4 h)1
16.
a)x=-2 salto, x=1 evitable, x=3 esencial, x=4 evitable, x=5 esencial
b)x=-4 esencial, x=-2 esencial, x=0 evitable, x=2 salto, x=5 evitable
c)x=-4 evitable, x=-2 salto, x=2 esencial, x=4 salto d)No hay
e)No hay
f)x=0 esencial
g)Continua en [0,+[ h)x=-1 esencial
i)x=  2 esenciales
j)No hay
k)x=0 esencial
l)x=  1 esenciales
m)Continua en [1,+[
17.
a)No existe
b)2
c)Discontinuidad Evitable
d)No existe
e)5
f)Discontinuidad salto g)No existe h)No existe i)Discontinuidad esencial
18.
19.
a)R excepto 2
b)+
a)R excepto  2
b)-
c)+
d)+
c)-
d)esencial
e)-
f)0
g)0 h)x=  2 esenciales
20.
m=-3; discontinuidades: x=1 esencial, x=2 evitable
21.
m=5, n=0; discontinuidades: x=-7 esencial, x=0 evitable, x=2 evitable.
22.
a)]0, +[
b)R excepto 0
23.
24.
(1,b),(2,g),(3,f),(4,a),(5,e),(6,c),(7,d) (3,d),(2,e),(1,a),(4,c),(5,f),(6,b)
25.
26.
a)si b)si c)no d)no e)si f)si
a)1 b)1 c)2 d)5 e)0 f)-3
27.
Pasan por los que verifican la igualdad y no por los que no la verifican.
28.
a)
Basta obtener dos puntos en cada caso:
Puntos (1,4) y (0,1)
b)Puntos (0,3) y (1,1)
29.
a)y=5x-1
b)y=-x+5
c)y=3x-1
d)y=-x+5/2
e)y=3x-1
f)y=-x/4
g)y=-2x+4
h)y=-2/5x+7
i)y=x+1
j)y=-x+4
k)y=1/3x+1
l)y=3/2x-3
30.
31.
m=0
(a,2) (b,5) (c,6) (d,1) (e,7) (f,3) (g,4) (h,8) (i,9)
32.
33.
a)(-1,0) b)(2/3,0) c)(-4,0) d)(0,0)
a)(0,1) b)(0,2) c)(0,2) d)(0,0)
34.
a)(8,11) b)(-3,3) c)(1/2,-3/2) d)No hay.
35.
a)y = (x-2)2+3
b)y = (x+5)2+4
c)y = (x-1)2-5
d)y = (x+4)2-6
e)y = (x-5)2+4
f)y = (x-6)2-4
36.
37.
a)(1,4) b)(-2,-7) c)(4,-12) d)(-3,-10)
b=-4
e)(2,9) f)(1,-2)
g)(-4,13) h) (-1,-8)
38.
- 204 -
Soluciones
5  1
a)V=  ,

4 
2
(0,6),(2,0),(3,0)
b)V=(2,-1)
(0,3),(1,0), (3,0)
c)V=(1/2,-3)
(0,-5/2),(1/2,  6 / 2 )
6
5
6
5
4
10
4
9
3
8
3
7
2
2
6
1
1
5
0
4
0
-1
3
-2
0
1
2
3
4
-1
0
5
1
2
3
-1
-1
2
-2
1
-2
0
-1
0
1
2
3
4
5
-3
6
-1
-4
d)V=(0,-2)
(0,-2),(2,0),(-2,0)
e)V=(5/2,-9/4)
(0,4),(1,0),(4,0)
1,5
8
1
7
f)V=(2,0)
(0,4), (2,0)
7
6
6
0,5
5
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0,5
4
4
3
3
-1
2
-1,5
1
2
1
0
-2
-2
0
2
4
6
0
-1
-1
-2,5
0
-2
1
2
3
4
5
-1
-3
g)V=(1/2,15/4);
(0,4)
h)V=(0,3); (0,3)
i)V=(3,-9); (0,0),(6,0)
8
4
7
9
2
6
8
5
0
7
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4
6
-2
3
5
-4
2
4
1
3
-6
0
-3
2
-2
-1
0
1
2
3
-8
1
-10
0
-2
-1
0
1
2
3
j)V=(4,-4);
(0,12),(6,0),(2,0)
k)V=(5/2,-9/2);
(0,8),(1,0),(4,0)
20
25
15
20
10
15
5
10
l)V=(-5/12,-1/24);
(0,1),(-1/2,0),(-1/3,0)
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0
-2
0
2
4
6
8
5
10
0,6
0,4
-5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0,2
-10
-5
0
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-0,2
-10
Cuatro piezas iguales
- 205 -
0,2
TEMA 11: DERIVADAS
Observa
LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Es muy frecuente describir, mediante una tabla, la dependencia entre
cantidades. En muchos casos interesa estudiar la variación de unas cantidades
respecto de otras. Al cociente de estas variaciones se le llama Tasa de
Variación Media (TVM).
Ejemplo 1
Un atleta está controlando sus entrenamientos. Los espacios recorridos en los
distintos tiempos de su carrera se recogen en la siguiente tabla:
Tiempo t (seg)
Distancia d (m)
0
0
1
8
2
16
3
24
4
32
5
40
6
48
...
...
Una forma de estudiar su carrera es calcular la TVM del espacio respecto al
tiempo:
24  16
 En el intervalo [2,3]:
= 8 m/s  TVM([2,3]) = 8
32
40  8
 En el intervalo [1,5]:
= 8 m/s  TVM([1,5]) = 8
5 1
En este caso, todas las TVM valen 8 m/s. Esto indica al corredor que su velocidad
media es constante (8 m/s).
La TVM, cuando las variables son espacio y tiempo, se llama velocidad media.
Ejemplo 2
Un fabricante tiene un artículo en fase de lanzamiento. Los gastos de producción
y publicidad son muy elevados. Tratando de analizar costos encuentra la siguiente
relación entre el costo del artículo y la cantidad vendida:
Coste c (miles €)
Producto vendido q (millares)
21
0
27,8 36,2 46,2 57,8
2
4
6
8
- 206 -
71
10
85,8
12
Observa
Una manera de analizar su negocio es calcular su TVM:
27,8  21
 En [0,2] 
= 3,4  3400 €/1000 productos vendidos.
20
57,8  46,2
 En [6,8] 
= 5,8  5800 €/1000 productos vendidos.
86
85,8  71
 En [10,12] 
= 7,4  7400 €/1000 productos vendidos.
12  10
Estas TVM, junto con la gráfica, muestran:
c
100
90
a) Que hay algún costo aunque la venta es 0.
80
70
b) Que el costo total aumenta con la venta.
60
50
40
c) Que el costo aumenta en proporción creciente
al aumentar la venta.
30
20
q
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Ejemplo 3
Se quiere estudiar la potencia de frenado de un automóvil. La velocidad
disminuye según la tabla siguiente:
Velocidad v (km/h)
Tiempo t (seg)
120
0
78
2
44
4
18
6
0
8
La tabla y la gráfica indican claramente que la velocidad disminuye. Las TVM
indicarán cómo es esa disminución:
 En [0,2] 
 En [4,6] 
 En [6,8] 
78  120
= -21
20
18  44
= -13
64
0  18
= -9
86
140
v
120
100
80
60
En un segundo su velocidad ha
disminuido en 9 km/h en el
intervalo de 6 a 8 seg.
40
20
t
0
0
2
4
6
8
10
Según esto, la capacidad de los frenos para aminorar la velocidad va
disminuyendo con el tiempo (siempre hablando en la misma frenada). Además, las
TVM son negativas porque la velocidad decrece.
- 207 -
Observa
LA TVM PARA FUNCIONES. LA TASA INSTANTÁNEA.
En matemáticas, la dependencia entre cantidades se puede describir mediante
funciones. Al conocimiento de una función puede llegarse de muchas formas.
Entre ellas está una tabla de valores obtenida a través de un experimento.
Así, es posible que un estudio en profundidad de los tres ejemplos anteriores nos
lleve a la conclusión de que las funciones que rigen las tablas de valores son,
respectivamente:
Ejemplo 1 
Ejemplo 2 
Ejemplo 3 
d=8·t
c = 0,2 · q2+3 · q+21
v = t2-23 · t+120
Puede aplicarse el concepto de TVM a una función y = f(x) en un intervalo [a,b] de
forma análoga:
f(b)  f( a)
TVM (f,[a,b]) =
ba
Ejemplo 4
TVM de f(x) = 2x+1 en los intervalos que se indican:
f( 4)  f(3) 9  7

=2
4 3
1
f(3,5)  f(3) 8  7
[3,3’5] 
=2

3,5  3
0,5
f(3,1)  f(3) 7,2  7
[3,3’1] 
=2

3,1  3
0,1
f(3,01)  f(3) 7,02  7
[3,3’01] 
=2

3,01  3
0,01
Siempre igual a la pendiente. ¿Puede generalizarse este resultado para cualquier
recta?
[3,4] 
Ejemplo 5
TVM de f(x) = 0,2x2+1,5x+7 en los intervalos que se indican:
8,7
= 2,9
Parece que, si b2, la TVM en [2,b] se acerca
3
al valor 2,3, es decir:
2,5
[2,3] 
= 2,5
f(b)  f(2)
1
= 2,3
lim
b2
b 2
1,2
[2,2´5] 
= 2,4
Se habla entonces de Tasa instantánea en x = 2.
0,5
0,232
[2,2´1] 
= 2,32
0,1
0,02302
[2,2´01] 
= 2,302
0,01
[2,5] 
- 208 -
Observa
Posibles interpretaciones:
 En el ejemplo 5. Si f(x) representa el espacio recorrido por un móvil en el
instante x, las TVM representan las velocidades medias y el número 2,3 es la
velocidad instantánea en x=2. Es la velocidad que debe marcar el
cuentakilómetros del coche en ese instante.
 En el ejemplo 2. Si f(x) representa el coste de x unidades de producto, las
TVM son los costes medios adicionales y el número 2,3 sería el llamado costo
marginal cuando x = 2.
En Economía, este concepto es importante a la hora de aumentar o disminuir
la producción y el precio de venta. Además, en este caso, la variable no es el
tiempo y la producción se puede estabilizar.
 En el ejemplo 5. Si f(x) representa la velocidad de un móvil en el instante x,
el número 2,3 es la aceleración instantánea en x = 2.
Si en lugar de x = 2, tomamos un punto cualquiera x = a, la tasa instantánea se
define como:
f(b)  f( a)
lim
b a
ba
DEFINICIÓN DE DERIVADA
Se llama derivada de la función f(x) en x = a al límite (si existe):
f´(a) = lim
xa
f(x)  f( a)
f( a  h)  f( a)
= lim
h0
h
xa
si h = x-a, a+h = x, xa equivale a h0
Por ejemplo, si f(x) = x2+2 y a=5:
lim
x 5
f(x)  f(5)
(x 2  2)  (5 2  2)
(x  5)( x  5)
x 2  25
= lim
= lim
= lim
=
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x5
indeterminación 0/0
= lim(x+5) = 10 
x 5
f´(5) = 10
- 209 -
Observa
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO. TANGENCIA
y
f(a+h) )
B
y
)
sy=mx+k
B
II
B’
I
B’’
y=f(a+h)-f(a)
f(a)
C

x=h
a
)
C
f(a)
x
)
a+h
B’’’
a
)
ty=px+q

x
)
Observando las figuras, tenemos:
1. En ambas se representa la función y=f(x) y se considera el punto C de
coordenadas (a,f(a)).
2. En (I) se incrementa la variable desde a hasta (a+h) y entonces el valor de la
función pasa de f(a) a f(a+h). Se ha pasado del punto C al B.
3. La recta secante que pasa por C y B tiene por ecuación y=mx+b y forma un
ángulo α con el sentido positivo del eje horizontal (que se llama inclinación de s).
Además la tgα es la pendiente de la recta s: tg α = m. Ten en cuenta que:
tg α =
y
y
f( a  h)  f( a)
=
=
h
x
h
4. Si Δx = h  0, el punto B tiende a confundirse con C (pasa a ser B´, B´´ y así
sucesivamente) y la recta secante tiende a ser tangente a la función f(x) en C. El
ángulo α tiende a ser el ángulo β, luego:
tg β = lim
h0
y
f( a  h)  f( a)
= lim
= f´(a)
h0
h
h
Como tg β es la pendiente de la recta de ecuación y = px+q tenemos:
f´(a) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
y=f(x) en el punto de coordenadas (a,f(a)).
Por ejemplo, si f(x) = x2+2 y a = 5, sabemos que f(a) = 27 y f´(a)=10, luego la
recta tangente a esta función en (5,27) es:
y  27
= 10  y-27 = 10x-50  y = 10x-23
x 5
- 210 -
Observa
CÁLCULO DE DERIVADAS
Calcular derivadas plantea un problema: hay que hallar un límite indeterminado
del tipo 0/0 y esto no siempre es fácil.
Veamos un ejemplo: Supongamos que deseamos obtener la derivada de la función
y= x en x=4. Lo podemos realizar de dos formas.
 Aplicando la definición:
f´(4) = lim
x4
( x  2)
x 4
= lim
= lim
x  4 ( x  2)( x  2)
x4
x4
1
= 1/4
x 2
0/0
 En lugar de hallar la derivada en un punto concreto (x=4), lo podemos hacer
en un punto cualquiera (x = a):
f´(a) = lim
xa
1
1
x a
x a
= lim
= lim
=
xa ( x 
xa
2 a
a )( x  a ) xa x  a
0/0
Con esto, sustituyendo a por 4: f´(4) =
1
= 1/4
2 4
Tenemos así, dada la función f(x)= x , hemos obtenido otra función f´(x)=
1
(función derivada de la primera) que nos sirve para hallar la derivada de
2 x
la función original en cualquier punto sin más que sustituir este punto en
f´(x).
Bastará con que alguien se encargue de hallar la función derivada de las
funciones más usuales para que nosotros podamos utilizarlas, y eso haremos a
continuación.
- 211 -
Observa
Y “ese alguien” nos ha dicho:
Ejemplo
Caso general
y = constante  y´= 0
y = xn  y´= n·xn-1, n fracción
y = 3  y´= 0
y = π  y´= 0
y = 7  y´= 0
y = x7  y´= 7x6
7
1
y = 7 = x-7  y´= -7x-8 = 8
x
x
3
3
y = 5 x 3 = x3/5  y´= x-2/5 =
5
55 x 2
y=
1
7
y=
x4
= x-4/7  y´ = -4/7x-11/7 =
x  y´=
1
2 x
y = 2x  y´= ln 2· 2x
y = ax  y´= ln a ·ax
y = (0,5)x  y´= ln(0,5)·(0,5)x
y = ex  y´= ex
y = log a x  y´=
1
x·ln a
1
x ln 2
1
y = log x  y´=
x ln 10
y = ln x  y´= 1/x
y = log2 x  y´=
y = k·f  y´= k·f´, k = cte
y = 3·ln x  y´= 3/x
y = f+g  y´= f´+g´
y = x4+ln x  y´= 4x3+1/x
y = f-g  y´= f´-g´
y = x4-ln x  y´= 4x3-1/x
y = f·g  y´= f´·g+f·g´
1
y = x4·ln x  y´= 4x3 ln x+x4. /x
y = f/g  y´=
f´·g  f·g´
g2
4x 3 ·1/x  x 4 ·ln x
x4
ln 2 x
lnx
y=
 y´=
- 212 -
4
7 7 x 11
Ejercicios
1. Calcula las derivadas de las funciones siguientes:
1.1) y=4
1.2) y=2x+6
1.3) y=(1/2)x+1
1.4) y=1/4(x+1)
1.5) y=(x+1)/2
1.6) y=x2+2
1.7) y=x2+x
1.8) y=x2+x+1
1.9) y=x2+2x+3
1.10) y=2x2+3x+4
1.11) y=(x+1)·(x+2)
1.12) y=(x-1)·(x-2)
1.13) y=(x-1)2
1.14) y=(2x+1)2
1.15) y=1/2(x+1)2
1.16) y=x·(x2+1)
1.17) y=2x·(x2-4)
1.18) y=x2·(7-x)
1.19) y=-x·(x2-2x+3)
1.20) y=x·(x+1)·(x+2)
1.21) y=x·(3x2-4)+5
1.22) y=(x2-1)(x+5)
1.23) y=(x+1)(x+2)(x+3)
1.24) y=5/x
1.25) y=7/x3
7
3x 2
1.29) y= x
1.27) y=7x-3
1.32) y= 4 x2
1.35) y=x2/5
1.33) y= 5 x
1.38) y=1/ x
1
1.41) y=
5
x2
2x 2  1
1.44) y= 2
x  2
x  3
1.47) y=
x
3
1.50) y= 2
x  1
x  2
1.53) y=
x  2
x  2
1.56) y=
x  2
1.39) y=1/ 3 x
3
1.42) y=
5
x3
2x  3
1.45) y=
3x  1
x2  1
1.48) y= 2
x  1
x2  2
1.51) y=
x  3
x  3
1.54) y=
x  3
x  3
1.57) y=
x  3
1.26) y=
1.28) y=2x-2
1.31) y= 4 x
1.34) y= 5 x2
1.37) y=1/2 x-1/2
3
1.40) y= 4
x
2
x  1
1.43) y=
x
x  1
1.46) y=
x
2
x  1
1.49) y= 2
x  4
x  1
1.52) y=
x  1
x  1
1.55) y=
x  1
1.30) y= 3 x
1.36) y=- x
Soluciones
TEMA 11:
1.
1)0
2)2
3)1/2
4)1/4
5)1/2
6)2x
7)2x+1
8)2x+1
9)2x+2
10)4x+3
11)2x+3 12)2x-3
13)2x-2
14)8x+4
15)x+1
16)3x2+1
17)6x2-8
18)14x-3x2
19)-3x2+4x-3
20)3x2+6x+2
21)9x2-4 22)3x2+10x-1
23)3x2+12x+11
24)-5/x2
25)-21/x4
26)-14/3x3
27)-21/x4
28)-4/x3
29)1/(2
3
x)
30)1/(3 x2 )
34)2/(5 x3 )
35)2/(5 x3 )
5
5
4
31)1/(4 x3 )
32)1/(2 x )
36)-1/(2 x )
37)-1/(4x x )
5
5
5
33)1/(5 x4 )
38)-1/(2x x )
39)-
40)-3/(4x 4 x )
41)-2/(5x x 2 )
42)-9/(5x x3 )
43)(x2+1)/x2 44)6x/(x2-2)2
45)11/(3x+1)2
46)-1/x2
47)-3/x2
48)-4x/(x2-1)2
49)-6x/(x2-4)2
50)-6x/(x2+1)2
51)(x2+6x-2)/(x+3)2
2
2
2
52)2/(x+1)
53)4/(x+2)
54)6/(x+3)
55)-2/(x-1)2
56)-4/(x-2)2
57)-6/(x-3)2
58)xsenx
59)xcosx 60)x2senx 61)x2cosx 62)-2xsenx
63)3xcosx
64)xex
65)x2ex
66)(x2/2)ex
67)exsenx
68)excosx
69)1+xcosx
70)1-xsenx
71)e-x
72)xe-x
73)x2e-x
74)-2xe-x
75)-3x2e-x
1/(3x 3 x )
- 213 -
TEMA 12: ESTADÍSTICA
Recuerda
INTRODUCCIÓN
 La estadística es la ciencia que se encarga de recoger datos, describirlos y
sacar conclusiones a partir de ellos. Se distinguen dos ramas.
1ª) Estadística descriptiva. Se ocupa de la recogida de datos, ordenación
en tablas, su representación gráfica y su descripción por medio de
números que resumen la totalidad de los datos.
2ª) Estadística inferencial. Se ocupa de la obtención de conclusiones a
partir de los datos recogidos y estudiados y su extensión a una población.
 En un estudio estadístico, se llama población al conjunto de personas,
animales o cosas que se desea investigar. De esta población (de cada uno de
sus individuos, más bien) interesa conocer una característica concreta a la
que llamaremos variable estadística. Las hay de dos tipos:
1ª) Cualitativas. Aquellas cuyos valores no son expresables en forma numérica
(por ejemplo: color de ojos de una población).
2ª) Cuantitativas. Aquellas con valores numéricos.
2.a) Discretas. Aquellas que sólo pueden tomar valores en un conjunto
finito de números (por ejemplo, el número de hermanos de los individuos de
la misma población).
2.b) Continuas. Aquellas que pueden tomar valores en un conjunto infinito
de números que forman intervalos (por ejemplo, la altura de los mismos
individuos de antes).
Hay ocasiones en las que aunque la variable sea discreta formalmente, los
valores de la variable son tan numerosos que interesa agruparlos en lo que
llamamos clases (por ejemplo las edades de la población de un país) y se
trata la variable como si fuera continua.
- 214 -
Recuerda
 En ocasiones se puede saber lo que se desea de todos los individuos de una
población (cuando son pocos o cuando hay un censo donde se puede consultar
la variable). Hay otras en las que esto no es posible, práctico o rentable (por
ejemplo, conocer la altura de los españoles al alcanzar la mayoría de edad). En
estos casos se extrae una muestra de la población y se estudia la variable en
los individuos de la muestra. De cómo se elige una muestra representativa de
una población se ocupa la Teoría del muestreo, y de cómo se extienden
conclusiones de ella a toda la población se ocupa la estadística inferencial.
 Los tipos de muestreo más importantes son:
1º) Muestreo aleatorio simple. Donde se eligen los individuos al azar y que se
utiliza cuando la población es homogénea, sin grandes diferencias entre los
individuos. Por ejemplo, en una fábrica de cervezas interesa saber si el
contenido de los botellines se ajusta al que debe ser (200 cc). La experiencia
no puede realizarse con toda la producción por problemas de coste (habría
que abrir toda la producción), por lo que se decide inspeccionar una muestra
de 50 botellines elegidos al azar. Tendríamos que sortear, de alguna manera,
las 50 botellas que vamos a observar.
Este sorteo al azar puede hacerse de diversas formas, y una de las más
usadas es el uso de las llamadas tablas de números aleatorios, que aparecen
en libros completos y que son listas de cifras de 0 a 9 obtenidas al azar, como
la de la página 159.
Estas tablas deben usarse eligiendo una página al azar, empezando por un
dígito al azar y ajustando una regla que nos permita simular el experimento
que nos interesa. En el ejemplo (empezaremos por el primer dígito para evitar
confusiones), si se fabrican 300 cajas de 50 botellines diariamente, podemos
elegir la primera botella de cada caja, y la caja seleccionada obtenerla así:
como los dígitos vienen en grupos de cinco, cogemos el número que forman los
tres primeros dígitos de cada grupo (346 el primero), al que restaremos 300
si está entre 301 y 600, 600 si está entre 601 y 900, e ignoraremos si pasa
de 900 o es 000. Así sólo obtenemos números entre 1 y 300, y los 50
primeros nos darán las cajas elegidas (si alguna se repite se obvia): 46, 191,
191 (como se repite, se obvia), 130 …
- 215 -
Recuerda
Tabla de Número Aleatorios
Renglón
1
2
3
4
5
1
34600
96207
51148
54813
70505
2
19108
18877
73026
56856
06395
3
79151
69812
70523
43306
24316
4
13078
93480
29690
89484
70468
5
92494
01872
65191
44458
33330
6
97825
84469
57359
99242
19093
7
44852
58734
83906
24408
35456
8
06858
08516
06881
36527
39595
9
97467
81140
37704
22936
60414
10
69926
89296
20133
49856
94913
6
7
8
9
10
97607
60337
98035
02435
03465
04230
14292
63712
72480
49651
54808
04812
12704
25899
99308
57036
88937
08359
61025
66631
90027
30697
96641
36120
35983
08372
44518
22579
29596
46596
80101
60331
57792
73721
67888
48435
18044
97046
31921
93498
87653
18237
08728
99380
35923
32716
87670
03094
17005
14615
11
12
13
14
15
30846
40883
67961
95378
76236
55406
03776
65714
01544
27897
90558
22689
70218
61082
76192
38744
88659
24572
75324
69697
17864
11275
83363
67326
85711
56993
83301
17664
26462
68100
59199
98537
68761
88351
87248
36711
72231
46051
55077
17841
74984
03279
67671
17313
07062
72836
15780
08649
89765
17763
16
17
18
19
20
00076
60613
42740
84149
72580
37890
60318
57149
79121
53039
17142
69373
05146
95722
41425
49988
83061
02800
26655
91820
29253
96564
32370
19752
74689
70416
96447
43278
28685
06488
91197
17232
51142
45683
28588
62429
38553
19597
63873
43556
87067
68027
21685
99371
88430
78185
21201
22376
57461
66485
21
22
23
24
25
20036
06903
37566
54177
34315
00612
21488
74944
23443
22973
43441
19257
50694
20588
68713
98578
63458
63228
98308
40962
04102
54184
57497
23797
44238
66022
45921
08098
55052
95669
39904
43084
65127
74158
95424
89072
52345
01318
72297
98332
66010
54856
42530
68949
49124
50637
41955
13834
48418
66002
26
27
28
29
30
74466
32001
17194
73503
73369
36981
79866
75596
97694
85440
71948
62140
31301
56225
68497
22061
54336
48747
48613
94423
66760
65262
98307
93177
19599
59066
45078
84174
34517
79610
78727
51208
31623
31450
05604
90871
26809
68896
67320
90547
30624
08582
54870
05562
24019
05323
59089
28032
69511
93067
31
32
33
34
35
62705
09378
14561
42903
90253
87371
90060
27064
39980
64489
79052
27786
82564
20533
98344
64426
60655
32916
91217
59800
77042
81519
04768
71102
63644
31204
48547
28167
81222
53458
92857
27133
52989
89910
74533
14367
25775
10767
73654
11621
38651
89222
26464
44335
39125
89649
76064
74715
37239
08345
36
37
38
39
40
39975
58472
43323
64544
62728
01336
38563
68349
75657
78882
09105
42007
80929
46162
73059
40317
40047
47058
58002
29497
29486
53059
74764
12195
87133
71233
66560
97880
90969
02449
40351
82725
58615
77927
31013
58349
70760
33807
89534
97111
10693
24415
91582
68385
77898
96972
34840
39506
92748
23641
Fuente: R Development Core Team (2008). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.
- 216 -
Recuerda
2º) Muestreo estratificado. Donde se divide la población en grupos con
iguales características, estratos, y dentro de cada estrato se obtiene una
muestra aleatoria de forma proporcional al tamaño del estrato respecto de la
muestra total. Es adecuado cuando la población es heterogénea. Por ejemplo,
en la misma fábrica del ejemplo anterior, supongamos que el envasado lo
realizan tres máquinas A, B, C, cada una de las cuales envasa,
respectivamente, el 20%, el 30% y el 50% de la producción. Sabiendo esto
nos interesará coger 10 botellas envasadas por A, 15 por B y 25 por C.
 Hay que tener en cuenta, que la recogida de datos no siempre consiste en
efectuar mediciones. A veces se recogen opiniones o datos que se pueden
falsear (preguntemos, por ejemplo, a los alumnos de una clase quién copia en
los exámenes). En tales casos es muy difícil elegir una muestra y además hay
que tener cuidado con las preguntas que se hacen y en qué momento (puede
haber testigos que impidan la sinceridad, etc.).
 Observa que la teoría del muestreo es complicada y no es sólo matemáticas.
Hace falta saber psicología, sociología y alguna otra cosa. Y esto sin hablar de
la fiabilidad que podemos dar a la extensión de las conclusiones obtenidas a
toda la población (recuerdo que los sondeos electorales a veces reflejan
perfectamente los resultados pero otras no).
Ejercicios
1. En 1936, poco antes de las elecciones presidenciales en
EEUU, una prestigiosa revista protagonizó una de las más
sonadas pifias de la historia de la predicción estadística:
Realizó una encuesta entre sus suscriptores, completada con
consultas hechas por teléfono, consiguiendo conocer la
intención de voto de casi 10 millones de ciudadanos respecto
de los dos candidatos, el republicano Landon y el demócrata
Roosevelt. Como resultado de la encuesta, se predijo que
ganaría el primero por más del doble de votos. La realidad fue
que Roosevelt ganó las elecciones por un escaso margen de
votos. ¿A qué pudo deberse el error de predicción?
2. Para estudiar la opinión de los alumnos de un centro
escolar sobre las actividades a realizar en unas jornadas
culturales, se decida tomar una muestra al azar constituida
por el 18% de alumnos.
a)Si el centro
entrevistar?
tiene
450
alumnos,
¿a
cuántos
hay
que
b)Si en el centro hay 150 alumnos de primero, 120 de
segundo, 100 de tercero y 80 de cuarto y estos últimos
piden ser los que respondan a la encuesta, ¿se ajusta esto
a los objetivos del estudio? ¿Cómo, si no, tendrán que
distribuirse las encuestas?
- 217 -
Ejercicios
3. En las siguientes formas de escoger una muestra se cometen
errores. Di en qué consiste el error, cómo podría distorsionar
los resultados y qué podría cambiarse para mejorar el proceso
de recogida de datos:
a)Para hacer un control de calidad de las piezas producidas
en una nave de fabricación de bombillas, se cogen 100
bombillas producidas por una de las 7 máquinas que hay en
la nave.
b)Para recoger opiniones de tipo político,
realiza una encuesta entre sus suscriptores.
un
periódico
c)Para estudiar la opinión política de los valencianos, se
entrevista durante todo el día a los usuarios del metro.
d)Para hacer una encuesta sobre los hábitos de lectura de los
habitantes de una población, un grupo de 30 encuestadores
sortean 30 calles de la misma y 5 viviendas en cada calle,
y una mañana, en horario de oficina, pasan la encuesta a
todos los mayores de 12 años que se encuentran en las
viviendas elegidas.
4. Se quiere realizar un estudio estadístico entre los
habitantes de una ciudad y se decide tomar una muestra formada
por el 2,5% de sus habitantes mayores de 16 años, distribuidos
por edades. Resulta que se ha de entrevistar a 1120 personas
que tienen entre 16 y 20 años, 1550 entre 21 y 30, 1430 entre
31 y 40, 1250 entre 41 y 50, 970 entre 51 y 60 y 885 con más
de 60 años. ¿Qué se deduce de estos datos sobre el número de
habitantes de la ciudad (mayores de 16 años) y su distribución
por edades?
5. Clasifica las variables:
a) Temperatura registrada cada hora del día, a la hora en
punto.
b) Número de alumnos por grupo en un centro de enseñanza.
c) Conjunto musical preferido por los alumnos de un centro
escolar.
d) Dinero disponible al mes por cada alumno de un instituto.
e) Lugar preferido para hacer un viaje por los alumnos de un
colegio.
f) Opinión de los españoles sobre una decisión política.
g) Duración de las llamadas telefónicas hechas desde una
cabina.
6. Dí cual es la población estudiada en cada caso del problema
anterior (problema 5) y en qué casos conviene elegir una
muestra y porqué.
- 218 -
Observa
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
 Tablas. Una vez recogidos los datos suelen presentarse en tablas que los
resumen y facilitan su manejo. Haremos unos ejemplos para variables de cada
tipo para que se entienda mejor como se confeccionan:
1º) Variable Estadística Cuantitativa discreta. Supongamos que las notas
obtenidas por los 40 alumnos de un curso de matemáticas han sido:
2,5,8,6,7,3,6,1,9,7,4,6,6,
0 , 2 , 3, 4 , 4 , 7 , 0 , 4 , 10 , 5 , 8 , 4 , 7 ,
3 ,4 , 2 , 8 , 4 , 9 , 5 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 6 , 3.
La tabla sería:
Notas
(valores
variable)
Frecuencias
absolutas
Frecuencias
relativas
Porcentajes
Frecuencias
absolutas
acumuladas
Frecuencias
relativas
acumuladas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Suma
2
1
4
5
8
4
6
4
3
2
1
40
0,05=2/40
0,025
0,1
0,125
0,2
0,1
0,15
0,1
0,075
0,05
0,025
1
5=0,05·100
2,5
10
12,5
20
10
15
10
7,5
5
2,5
100%
2
3
7
12
20
24
30
34
37
39
40
0,05
0,075
0,175
0,3
0,5
0,6
0,75
0,85
0,925
0,975
1
Los valores de la variable se ordenan siempre que es posible (en v. e.
cuantitativas, en las cualitativas no lo es).

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada valor de la
variable.

Las frecuencias relativas se obtienen dividiendo las absolutas por el
número total de valores. Al conjunto formado por los valores de la variable
y sus frecuencias relativas se le denomina distribución de frecuencias.

Los porcentajes se obtienen multiplicando por 100 las frecuencias
relativas.

Las frecuencias acumuladas son, para cada valor de la variable, la suma de
las frecuencias de los valores de la variable menores o iguales al que se
está tratando. Evidentemente, no tienen sentido para v. e. cualitativas.
- 219 -
Observa
2º) Variable Estadística Cuantitativa continua o de valores agrupados.
Supongamos que las notas anteriores se agrupan para su calificación así:
MD  [0,3[
I  [3,5[
S  [5,6[
B  [6,7[
N  [7,9[
E  [9,10[
La tabla sería entonces:
Notas
(valores
variable)
Marca
de
clase
Frecuencias
absolutas
Frecuencias
relativas
Porcentajes
[0,3[
[3,5[
[5,6[
[6,7[
[7,9[
[9,10]
1,5
4
5,5
6,5
8
9,5
7
13
4
6
7
3
0,175=7/40
0,325
0,1
0,15
0,175
0,075
17,5*
32,5
10
15
17,5
7,5
40
1
100
suma
Frecuencias
absolutas
acumuladas
Frecuencias
relativas
acumuladas
7
20
24
30
37
40
0,175
0,5
0,6
0,75
0,925
1
* 17,5=0,175·100




Vale todo lo dicho para las v. e. c. discretas.
Para hacer las clases no hay un criterio único.
La marca de clase es el punto central de la clase.
Se toma como punto o valor representativo.
Hay que tener en cuenta que aquí cada dato pierde su valor, la información
que nos proporciona es su pertenencia a una clase, y dentro de cada clase
suponemos los valores repartidos de forma uniforme.
3º) Variable Estadística Cualitativa. Supongamos que el color de ojos de los
mismos alumnos del ejemplo anterior ha sido 18 castaños, 12 azules y 10
verdes. La tabla sería:
Notas
(valores de
la variable)
Castaño
Azules
Verdes
Suma
Frecuencias
absolutas
18
12
10
40
Frecuencias
relativas
0,45=18/40
0,3
0,25
1
Porcentajes
45=0,45·100
30
25
100
Como no están ordenados los valores de la variable, no tienen sentido las
frecuencias acumuladas.
- 220 -
Observa
 Gráficos estadísticos. Representan gráficamente los datos de la tabla para
visualizar la distribución y realzar los aspectos más llamativos. Veremos los
más utilizados apoyándonos en los ejemplos que ya hemos visto, para cada tipo
de variable.
1º) V. e. c. Discreta.
Diagrama de barras
0,25
0,2
Frecuencias relativas
0,25
Frecuencia relativa
Polígono de frecuencias
0,2
0,15
0,1
0,05
0,15
0,1
0,05
0
1
0
2
1
3
2
4
5
6
7
8
3Valores
4
5variable
6
7
9
8
10
9
11
0
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valores variable
Polígono
ualdas
Polígonode
defrecuencias
frecuenciasacum
acumuladas
1
0,9
Fr. Rel. acumulada
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valores variable

El diagrama de barras consiste en levantar barras para cada valor de la
variable, de altura proporcional a la frecuencia de cada uno.

El polígono de frecuencias se obtiene uniendo por segmentos los extremos
de las barras anteriores. Son útiles para comparar dos poblaciones.

El polígono de frecuencias acumuladas es parecido al anterior pero
tomando las frecuencias acumuladas. Son líneas poligonales que se parecen
tanto más a una curva cuantos más valores toma la variable estudiada. Por
eso se llaman, a veces, curvas de frecuencias.
- 221 -
Observa
2º) V. e. c. Contínua o de valores agrupados.
Histograma de frecuencias

1r rectángulo: Base 3, Área 7  Altura 2,3
6
5
2º rectángulo: Base 2, Área 13  Altura 6,5
4
3r rectángulo: Base 1, Área 4  Altura 4
3
4o rectángulo: Base 1, Área 6  Altura 6
2
o
5 rectángulo: Base 2, Área 7  Altura 3,5
1
6o rectángulo: Base 1, Área 3  Altura 3
Polígono de frecuencias
6
0
2
3
4
5
6
7 8 9
10
Valores variable
Polígono de frecuencias acumuladas u ojiva
0,925
5
1
1
0,75
4
0,6
3
0,5
2
0,325
1
0,175
0
1
2
3
4
5
6
0
7 8 9
10
Valores variable
1
2
3
4
5
6
7 8 9
10
Valores variable

El histograma está formado por rectángulos de base el intervalo de clase y
área proporcional a la frecuencia.

El polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de la parte
superior de los rectángulos del histograma. Cuantos más valores toma la
variable, más se parece a una curva (curva de densidad).

El polígono de frecuencias acumuladas se hace igual que para v. e. discretas,
sólo que ahora cada rampa empieza al comienzo de un intervalo y acaba con él.
3º) V. e. Cualitativa.
Diagrama de sectores.
V
A
90º
108º
Castaños: 45%  162º
Azules: 30%  108º
Verdes: 25%  90º
162º
C
Consiste en dividir un círculo en sectores de área proporcional a la frecuencia.
- 222 -
Observa

Parámetros estadísticos. Son números que tratan de reunir en una cantidad
de aspectos más relevantes de la distribución de datos. La mayoría sólo tiene
sentido para v. e. cuantitativas. Los hay de varios tipos:
A) De Localización. Pretenden reflejar en torno a qué valores se agrupan los
datos observados.
1º) Moda. Mo. Es el valor de la variable más frecuente. El único parámetro
aplicable a variables cualitativas. Si todos los valores de la variable tienen
la misma frecuencia, no hay moda. Si hay dos o más valores con la
frecuencia máxima, se habla de dos o más modas. Cuando tenemos datos
agrupados por intervalos, al más repetido (o más repetidos) se le llama
clase modal.
En nuestros ejemplos, sería:
v. e. c. discreta  Mo = 4
v. e. c. continua  Mo = [3,5[
v. e. cualitativa  Mo = Color Castaño.
Es de fácil cálculo, pero tiene el inconveniente en datos agrupados de que
según hagamos los intervalos, cambia la moda.
2º) Mediana. M. Ordenados los valores de la variable, es el valor que ocupa
la posición central (deja a su izquierda y a su derecha el 50% de la
población). A veces también se escribirá Me para la mediana.
En variables discretas se procede de la siguiente forma:
Nº par de valores  1 2 3 4 6 7 9 9
M =
5
46
=
2
Nº impar de valores  1 2 3 4 6 6 7
M=4
En variables continuas se localiza primero el intervalo donde está la
mediana. En nuestro ejemplo, al haber 40 observaciones, sería el valor 20
aproximadamente, que está en el intervalo [5,6[, pues se pasa del 20 al 24.
- 223 -
Observa
Una vez localizado el intervalo, para afinar más, se procede de la siguiente
forma:
Frecuencia acumulada en b  Fb
Frecuencia correspondiente al 50% de la población  F
Frecuencia acumulada en a  Fa
M
Valor inferior
intervalo a
Valor superior
intervalo b
Por triángulos semejantes:
Fb  Fa F  Fa
=
ba Ma
La mediana es adecuada cuando la obtención de valores de la variable es
costosa, pues basta observar la mitad de ellos, (por ejemplo al medir el
tiempo que un grupo de muchos individuos tardan en hacer algo).
3º) Media aritmética  x .Es el centro de gravedad de la distribución; el
valor que tendrían todos los individuos de la población o muestra si todos
tuvieran el mismo valor de la variable.
En distribuciones con valores agrupados por intervalos se calcula como en v. e.
discretas, tomando la marca de clase como valor de la variable.
Se calcula así: x1, x2, ….xn todos los valores de la variable.
x =
x1  x2  .....  xn
n
En nuestros ejemplos:
v. discreta  x =
0  2  1  1  2  4  3  5  4  8  5  4  6  6  7  4  8  3  9  2  10
40
v. continua  x =
1,5·7  4·13  5,5·4  6,5·6  8·7  9,5·3
= 5,2
40
Tiene el inconveniente de que unos pocos valores anormalmente pequeños o
grandes de la variable, influyen mucho sobre ella. Cuanto más simétrica es una
población, más próximos están los valores de Mo, M y x .
- 224 -
Observa
La media tiene un par de propiedades interesantes:
a) Si a todos los valores de la variable les sumamos o restamos un mismo
número, la media aumenta (o disminuye) en esa cantidad:
x  x2  .....  xn
Valor de la variable  x1, ….xn
Media  x = 1
n
Sumamos   x1 + , ….xn+ ,
 cualquiera.
Nueva media 
(x1  )  .......  (xn  ) x1  x2  .....  xn  n
=
=
n
n
x  x2  .....  xn
= 1
+= x +
n
b) Si a todos los valores los multiplicamos o dividimos por el mismo número, la
media se multiplica (o se divide) por ese mismo número:
Multiplicamos por   x1, x2, …. xn
Nueva media
 cualquiera.
(x1 )  .......  (xn )
(x1  x2  .....  xn )
=
=
n
n
x  x2  .....  xn
= 1
· =  · x
n
Por ejemplo:
123 45
=3
5
para -1, 0, 1, 2, 3  x = 3-2 = 1
1 3
para 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2  x = 3· =
2 2
para 1, 2, 3, 4, 5  x =
B) De dispersión. Reflejan cuan dispersos o agrupados están los valores de la
variable.
1º) Rango o recorrido. Es la diferencia entre los valores mayor y menor de
la distribución. En datos agrupados por intervalos se trabaja con las
marcas de clase, como si la variable fuese discreta. En nuestros ejemplos:
v. e. discreta  rango 10-0 = 10
v. e. continua  rango 9,5-1,5 = 8
- 225 -
Observa
2º) Desviación media  DM. Mide lo lejanos que están los valores
respecto de la media. En datos agrupados se trabaja, como si la variable
fuera discreta, con las marcas de clase. Se calcula de la siguiente manera:
Valores de la variable x1, ….xn  DM =
x1  x  x2  x  .....  xn  x
n
En nuestro ejemplo de datos agrupados:
DM=
1,5  5,2 ·7  4  5,2 ·13  5,5  5,2 ·4  6,5  5,2 ·6  8  5,2 ·7  9,5  5,2 ·3
40
3º) Varianza y desviación típica. Para que los valores que se desvían mucho
de la media pesen más, se usa la varianza:
2
2
Varianza   = s =
x
1
 x   x2  x   ......  xn  x 
n
2
Desviación típica   = s =
2
Varianza
Su cálculo se puede simplificar:
2
2
2
2
x 2  x  2x1 x  x22  x  2x2 x  ......  xn 2  x  2xn x
 = 1
=
n
2
x12  x22  .....  xn 2  nx  2x(x1  ........  xn ) x12  .......  xn 2
2
2
=
=
+ x  2x =
n
n
2
2
x  ......  xn
2
= 1
- x
n
2

x12  .......  xn 2
2
 x 
n
En nuestro ejemplo de intervalos:
2 =
=
1,52 ·7  42 ·13  5,52 ·4  6,52 ·6  82 ·7  9,52 ·3
- (5,2)2 = 5,885
40
5,885 = 2,4259
La desviación típica, junto con la media, permite determinar un intervalo
de valores de la variable en que ocurre lo siguiente:


En x  , x   está aproximadamente el 63% de la población.
- 226 -
Observa
La varianza y la desviación típica tienen un par de propiedades que interesa
conocer. Las vemos para  y para  2 basta elevar al cuadrado.
a) Si a todos los valores de la variable se les suma (o resta) el mismo
número,  no varía (  2 tampoco).
Valores de la variable: x1 …….. xn
 x , 
Sumamos   x1 + , …….. xn + 
 x+ 
Nueva  =
x1   2  ......  xn   2  x   2 =
n


=
x12  2  2x1   .....  xn 2   2  2xn 
2
 x  2  2x =
n
=
x12  ......  xn 2 n2
x  ......  xn
2

 2 1
 x  2  2x =
n
n
n
=
x12  ....  xn 2
2
 2  2x  x  2  2x =
n
=
x12  .....  xn 2
2
x
n
b) Si todos los valores de la variable se multiplican (o dividen) por el mismo
número,  se multiplica por el valor absoluto de ese número, y  2 por su
cuadrado.
Multiplicamos por    x1,  x2, ……..  xn
Nueva
 =
x1 2  ......  xn  2  x 2 =
n
x12  ....  xn 2 2
2
  x 2 =
n
 x 2  ...  xn 2
2
 2  1
 x  =   
n


Por ejemplo:
Para 1, 2, 3, 4, 5   
12  22  32  42  52
 32 = 1,4142
5
Para 4, 5, 6, 7, 8   = 1,4142
Para -2, -4, -6, -8, -10   = 2 · 1,4142 = 2,8284
- 227 -

x12  2  .....  xn 2  2
2
 x 2
n

=
Observa
C) De posición. Cuantiles, que dan una idea de la distribución de los valores de la
variable. Hay de tres tipos:
1º) Cuartiles. Son tres valores de la variable: Q 1, Q2, Q3 que dejan a su
izquierda el 25%, el 50% y el 75% de la población, respectivamente. Se
obtienen igual que la mediana (por cierto, M = Q2).
Por ejemplo, en el caso que estamos viendo de datos agrupados:
Q1 
25% de 40 observaciones 
20
3
Q1
5
10
7
13
2
Q1-3
3
Intervalo [3,5[
13
2
 Q1 = 3+

3
Q1  3
6
13
2º) Deciles. Son los nueve valores de la variable: D1, D2, …, D9 que dejan a
su izquierda el 10%, 20%, …, 90% de la población, respectivamente. Se
calculan igual que los cuartiles.
3º) Percentiles. Son los 99 valores de la variable: P 1, P2, …, P99 que dejan a
su izquierda el 1%, 2%, …., 99% de la población, respectivamente. Su
cálculo es análogo a los cuartiles. Evidentemente, todo esto tiene sentido
para poblaciones o muestras muy grandes.
Hemos hablado del rango como parámetro de dispersión. Cuando los valores
extremos de la variable están muy alejados del resto, este parámetro se
suele sustituir por el rango intercuartílico Q3-Q1.
D) De comparación. Sirven para comparar distintas distribuciones.
1º) Cuando tenemos dos distribuciones que deseamos comparar, y, por
ejemplo, trabajamos con distintas unidades en una y en otra, podemos no
saber qué hacer con la media y la desviación típica (no es lo mismo 1, 2, 3

que 6, 8, 10) y en este caso se usa el coeficiente de variación
que da la
x
relación entre  y x y cuanto mayor es, mayor desviación relativa hay.
- 228 -
Observa
2º) Si tenemos dos distribuciones distintas y un valor de la variable de
ValorVariable  x
cada una de ellas que deseamos comparar, usamos
para

ello. Con un ejemplo se entenderá mejor: Si el precio de las patatas en los
puestos del mercado es de xp =1 €, p= 0,05 € y el precio de la carne en
los
mismos
puestos
es
xc =6
€,
c=1
€,
¿qué
será
más
caro
proporcionalmente, un kg de patatas a 1,1 € o un kg de carne a 6,7 €?
1,1  1
0,1

=2
0,05 0,05
6,7  6 0,7
Carne 
= 0,7

1
1
Patatas 

Son más caras las patatas.
No debemos confundir, nunca, muestra con población. La media y desviación
típica, así como las gráficas de una muestra sólo son una aproximación de lo
que ocurre con el total de la población. Si aumentamos el tamaño de la
muestra, podremos decir que la media y desviación típica muestral se
aproximan cada vez más a la media y desviación típica poblacional, así como
los histogramas se aproximan a la curva de densidad poblacional.
Ejercicios
7. Calcula la media y la mediana de los datos de la tabla
adjunta que resume las observaciones hechas a 30 niños de edad
(en meses) en la que empiezan a andar:
Meses
Frecuencia
9
1
10
2
11
4
12
13
13
6
14
3
15
1
8. Explica qué es un gráfico de sectores. En 1988, el
presupuesto del fondo nacional de investigación ascendió a
130,43 millones de euros y se distribuyó así: 32% para
proyectos de investigación concertados con empresas, 28% para
proyectos de investigación, 20% para formación del personal
investigador, 16% para infraestructuras y 4% para gastos.
Dibuja el gráfico de sectores.
9. Explica qué es la media m y la desviación típica s de una
distribución discreta. Si todos los datos de la distribución
se aumentasen en una cantidad, ¿cómo se modifican m y s?
- 229 -
Ejercicios
10. A cada alumno de un curso se le pregunta cuántos hermanos
son en casa. Los resultados de la encuesta son:
3,2,4,5,4
1,3,3,5,2
3,6,2,4,5
3,3,4,2,4
3,4,3,3,4
2,2,4,2,2
2,4,2,7,5
4,4,3,5,4
a) Alumnos que hay. Respuestas distintas que se dan.
Número de alumnos que da cada respuesta.
b) Tabla de frecuencias y diagrama de barras.
11. A los mismos alumnos del problema anterior
pesado , obteniéndose los pesos siguientes, en kg:
60,60,65,55,63
50,59,54,52,56
48,45,38,47,65
57,48,49,50,50
36,47,62,63,47
61,59,58,45,49
se
les
ha
52,76,74,65,50
52,52,52,48,48
a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los resultados
en los intervalos:
[35’5,42’5[
[56’5,63’5[
[42’5,49’5[
[63’5,70’5[
[49’5,56’5[
[70’5,77’5[
Halla las marcas de clase.
b) Representa los datos en un histograma.
12. Se ha lanzado un dado 120 veces y cada resultado ha
aparecido las veces que se indican:
1
18
2
22
3
19
4
18
5
23
6
20
Haz la tabla de frecuencias y construye, a partir de ella, un
diagrama de barras..
13. Se han lanzado dos dados 120 veces y, en cada ocasión, se
ha anotado la suma de puntos. Haz lo mismo con estos datos que
en el problema anterior:
2
3
3
8
4
9
5
11
6
20
7
19
8
16
9
13
10
11
11
6
12
4
14. La extensión en miles de km2 de varios países es la
siguiente: Portugal 92, España 505, Francia 551, Italia 301,
Suiza 41, Bélgica 30, Holanda 32.
Representa la extensión
diagrama de sectores.
relativa
- 230 -
de
estos
países
en
un
Ejercicios
15. Medimos la estatura de todos los alumnos de 3º de ESO de
un centro escolar y obtenemos:
Estatura (cm)
Nº alumnos
[140,146[
3
[146,152[
17
[152,158[
39
[158,164[
41
Estatura (cm)
Nº alumnos
[164,170[
32
[170,176[
13
[176,182[
5
[182,188[
1
Se pide:
a) Dibuja el histograma correspondiente.
b) ¿Cuántos alumnos miden menos de 164 cm? ¿Qué porcentaje
del total son?
c) Porcentaje de los que miden entre 152 y 170 cm.
d) Porcentaje de los que miden menos de 190 cm.
16. Los precios, por kg, de unos productos son:
40, 45, 50, 45, 55, 60, 45, 50, 65, 45, 50, 65, 65, 50, 55
45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55, 45, 50, 50, 65
Expresa estos resultados en un diagrama de barras y después,
agrupándolos en los intervalos [40,45], ]45,65[, [65,70] haz
el histograma.
17. Las edades de los miembros de una familia son:
50, 48, 25, 23, 20, 18, 15 años.
Se pide:
a) Media, mediana y moda.
b) Desviación media, varianza y desviación típica.
18. Un pinche de cocina que desgranaba guisantes se entretuvo
en contar cuántos encontraba en cada vaina y anotó:
7, 6, 6, 4, 5, 8, 5, 7, 6, 8, 7, 6, 5, 6, 8, 4, 9, 7, 7, 6.
Halla la moda, media, mediana y desviación típica.
19. Para los siguientes conjuntos de datos, halla la media,
mediana, moda, desviación típica y desviación media:
a) 3, 4, 8, 25, 40
b) 8, 8, 8, 21, 35
c) 14, 15, 16, 17, 18
20. He aquí la contratación de acciones en la Bolsa de Madrid
en millones de € durante los días de agosto de 2006 indicados:
16
6845,4
17
8432,4
20
5305,5
21
7875,1
22
8584,8
23
9263,9
Halla la contratación media, la mediana y la desviación típica
en este periodo.
- 231 -
Ejercicios
21. He aquí el cambio medio del dólar USA frente a la peseta
en los años que se indican:
1981
93,2
1982
109,9
1983
143,4
1984
160,8
1985
170,1
1986
140,0
1987
125,5
1988
116,5
1989
118,4
Halla el cambio medio, el mediano y la desviación típica en
este periodo. Si un euro equivale a 166,6 pts de entonces,
halla la media, mediana y desviación típica del dólar frente
al euro.
22. Una prueba realizada a 260 aspirantes a un puesto de
trabajo consiste en escribir a máquina. En ella se valora el
número de pulsaciones por minuto y se ha obtenido:
Pulsaciones
Nº aspirantes
Pulsaciones
Nº aspirantes
[110,120[
25
[120,130[
40
[130,140[
74
[140,150[
86
[150,160[
23
[160,200[
12
Halla la media, la desviación típica, la clase modal y la
clase mediana.
23. Las estaturas de los 40 alumnos de un curso vienen dadas
por:
Intervalos
[148,153[
[153,158[
[158,163[
Nº alumnos
1
5
11
Intervalos
Nº alumnos
[163,168[
14
[168,173[
6
[173,178[
3
Haz la tabla de frecuencias sustituyendo cada intervalo por su
marca de clase y calcula la estatura media, la mediana, la
moda y la desviación típica.
24. Las notas de dos alumnos de la misma clase en cierta
asignatura han sido:
Alumno 1º: 3, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 3, 3, 7
Alumno 2º: 2, 2, 7, 9, 5, 3, 3, 2, 6, 8
a) Halla, para ambos alumnos, la media de sus notas.
b) Halla, para ambos alumnos, la desviación típica de sus
notas.
c) Si tuvieras que aprobar sólo a uno de los alumnos, ¿a
cuál sería y por qué?
25. Un instituto tiene dos grupos de 1º de bachillerato; el A,
de 30 alumnos, ha obtenido en matemáticas una nota media de
6,5 y el B, de 40 alumnos, una media de 5. ¿Cuál es la nota
media de todos los alumnos de 1º de bachillerato?
- 232 -
Ejercicios
26. Un jugador ha obtenido las ganancias que se muestran en la
tabla siguiente. Calcula la media, la mediana y la moda.
Ganancias
Nº de veces
-3
1
-1
1
0
4
2
1
3
2
4
4
5
2
27. La siguiente serie da el número de espectadores y días en
un cine a lo largo del año:
Nº espectadores
Nº días
[150,170[ [170,190[ [190,210[ [210,230[
12
30
88
135
Nº espectadores
Nº días
[230,250[ [250,270[ [270,290[
63
17
20
Se pide:
a) Histograma y polígono de frecuencias.
b) Moda, mediana y media.
c) Cuartiles, varianza y desviación típica.
28. La siguiente serie da el montante de los talones abonados
por un banco y el número de ellos (el montante en miles de €).
Montante
Nº talones
[0,0´08[
8
[0´08,0´12[ [0´12,0´16[ [0´16,0´2[
9
10
8
Montante
Nº talones
[0´2,0´24[
5
[0´24,0´32[
6
[0´32,0´4[
4
Se pide lo mismo que en el problema anterior.
29. Las notas obtenidas por 4 alumnos A, B, C, D en 7 pruebas
de una misma materia han sido:
A
B
C
D
→
→
→
→
2,
4,
5,
3,
6,
9,
5,
8,
3,
1,
1,
4,
4,
5,
4,
3,
7,
5,
6,
8,
5,
5,
7,
4,
5
4
4
3
a) Halla, para cada alumno, la media, mediana, moda y
desviación típica. Utiliza el coeficiente de variación
para decir qué alumno es el único que ha suspendido.
b) ¿Cuál es la nota media de cada alumno, si las tres
últimas notas tienen doble valor que las otras?
30. La media de ciertas cantidades es 5 con una desviación
típica de 2. Se pide la mediana y la desviación típica de las
cantidades obtenidas a partir de las anteriores que se
obtienen:
a)
b)
c)
d)
Restándoles 3.
Multiplicándolas por 4.
Multiplicándolas por 4 y luego sumándoles 3.
Sumándoles 3 y luego multiplicando el resultado por 4.
- 233 -
Ejercicios
31. Para la fabricación de ciertas piezas nos ofrecen dos
máquinas A y B. No sabiendo cuál elegir, hacemos producir a
cada una 8 piezas de longitud teórica 100 mm. Se miden éstas
con instrumentos de precisión y se obtienen las longitudes en
mm que siguen:
A → 99,7 99,9 100,0 99,8 100,2 100,3
B → 100,1 100,0 99,8 100,2 99,8 99,8
100,1
100,2
99,7
99,8
Di qué máquina conviene escoger y por qué.
32. Inventa seis números enteros comprendidos entre 0 y 10
cuya media sea 5 y cuya desviación típica sea:
a) La menor posible.
b) La mayor posible.
33. Inventa seis números enteros distintos comprendidos entre
0 y 10 cuya media sea 5 y cuya desviación típica sea:
a) La menor posible.
b) La mayor posible.
34. En un mismo examen de una asignatura, pasado a dos clases
diferentes de 40 alumnos cada una, se han registrado las
siguientes calificaciones:
2
8
7
6
3
4
4
5
7
3
8
8
5
7
5
4
Grupo A
4 6 7
5 6 9
6 5 7
2 5 4
5
5
8
5
6
7
5
6
7
2
3
7
2
8
10
2
5
3
9
8
3
5
4
6
4
8
8
7
Grupo B
7 9
7 9
6 9
3 6
2
2
3
7
7
4
7
4
4
1
1
8
5
3
3
9
Realiza un estudio estadístico de las calificaciones en cada
clase. Di qué conclusiones puedes sacar de dicho estudio. ¿Son
ambas clases muy similares por lo que respecta a esta variable
o no?
- 234 -
El rincón matemático
SACANDO CONCLUSIONES
Los ejemplos que se muestran a continuación, subrayan la importancia de no
lanzarse a sacar implicaciones de tipo causal tan pronto se tiene noticia de una
correlación estadística.

Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se
producen entre vehículos que ruedan a velocidad moderada. Muy pocos
ocurren a más de 150 Km. por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro
conducir a gran velocidad?
No, de ninguna manera. Con frecuencia, las correlaciones estadísticas no
reflejan causas y efectos. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y
como es natural, la mayoría de los accidentes se producen a estas
velocidades.

Un reciente estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pie grande
saben leer mejor que los de pie pequeño. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la
capacidad de lectura de los niños?
No, desde luego. El estudio se hizo sobre escolares que están en crecimiento.
Todo cuanto se demostró en él es que los niños mayorcitos, cuyos pies son
más grandes, leen mejor que los pequeñines.

Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren cerca de
casa. ¿Significa esto que viajar por carretera, a muchos kilómetros de
nuestra ciudad, es menos peligroso que callejear por nuestro barrio?
No. Las estadísticas reflejan, sencillamente, que se usa el coche por los
alrededores de nuestra residencia más que por carreteras alejadas.

Un estudio hizo ver que en cierta población europea se produjo un fuerte
crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidos de
cigüeñas. ¿No es esto demostración de que son las cigüeñas quiénes traen a
los niños al mundo?
No. Refleja el hecho de que al aumentar el número de edificios las cigüeñas
dispusieron de más sitios donde anidar. Las parejas recién casadas suelen irse
a vivir a casas nuevas, donde no hay nidos de cigüeñas.
- 235 -
El rincón matemático
CURIOSIDADES SOBRE ESTADÍSTICAS
¿Para qué sirven las estadísticas? - Para discutir y cabrearse.
Si se reúnen suficientes datos, se puede demostrar cualquier cosa con ayuda de
la estadística. (Ley de Williams y Holland)
1.
GENTE OBESA. Según acaba de publicar una reciente estadística, más del
80% de los hombres obesos del mundo están gordos.
2.
EL 50% DE LOS MADRILEÑOS. Según una determinada estadística, el 50%
de la población de Madrid son: ¡Dígalo Vd.!
3.
EL 50% DE LOS CASADOS. Según una determinada estadística, el 50% de
las personas casados por la iglesia son: ¡Dígalo Vd.!
4.
DE CADA TRES, DOS. Según las últimas estadísticas, de cada tres niños
que nacen en el mundo dos son chinos. Menos en China que son los tres.
5.
TODO SE HEREDA. Paco, según las estadísticas, si tus padres no han tenido
hijos, hay muchísimas probabilidades de que tú tampoco los tengas.
6.
LA MITAD DE LOS NIÑOS. Según la última estadística realizada por
SIGMA 2, de cada 10 niños del mundo, la mitad son: ¡Dígalo Vd.!
7.
CON FRANCO. Según las últimas estadísticas, con Franco éramos mucho
más ... ¿Sabe Vd. qué?
8.
LA ETERNA JUVENTUD. Según la últimas estadísticas, tomando medio litro
de leche todas las mañanas durante 1200 meses se consigue vivir más de
100 años.
9.
PADRES ESPAÑOLES. Según las últimas estadísticas un alto porcentaje de
españoles son padres. Lo que es seguro es que el 100% son hijos.
10.
Paco, ¿has oído algún chiste de estadísticos? “Probablemente”.
11.
El 97,3% de las estadísticas han sido claramente inventadas.
12.
El tabaco no es tan malo como dicen las estadísticas, mi abuelo fuma como
un carretero, y ya tiene 90 años.
“Pues, si no fumara, tendría por lo menos 100”.
- 236 -
El rincón matemático
13.
Según recientes estadísticas, el 99% de los hombres le da una mala
reputación al resto.
14.
En cierta ocasión le preguntaron a un vendedor que como podía vender tan
baratos sus sandwiches de conejo, a lo que respondió "bueno, tengo que
admitir que hay un poco de carne de caballo. Pero la mezcla es solo 50:50;
uso el mismo numero de conejos que de caballos". (Darrel Huff, "Cómo
mentir con la estadística")
15.
Un hombre tenía miedo de coger un avión por aquello de los secuestros
aéreos. Mirando unas estadísticas, encontró que la probabilidad de que
hubiese una bomba en su vuelo era de 1 entre 1.000, mientras que la
probabilidad de que hubiesen dos era 1 entre 100.000. Por lo tanto, lo que
hizo fue tomar el avión llevando él mismo una bomba.
16.
Normalmente se piensa que los aviones con cuatro motores son más seguros
que los que solo tienen dos. Esto es totalmente falso, como se indica en la
página 14 de Air & Space, agosto y septiembre 1993: "Cuantos menos
motores, menor probabilidad de que alguno de ellos se estropee." Por tanto,
los aviones más seguros son los que tienen un solo motor.
17. Según las últimas estadísticas, las mujeres viven más que los hombres.
Especialmente las viudas.
18. Según las últimas estadísticas, la fórmula casi infalible para vivir hasta los
100 años es cuidarse mucho a los 99.
19. Entre vascos: Paxi, ¿sabías que según las últimas estadísticas, los vascos de
cada tres palabras que decimos, dos son tacos?
“Ostias, ¿no jodas?”
20. Entre vascos: Paxi, ¿sabías que según las últimas estadísticas las otras
culturas son más importantes que la nuestra?
“¿Sí? Y esas otras culturas, ¿qué levantan?”
21. Según recientes estadísticas, un español medio pierde alrededor de tres
calcetines al año. Si los multiplicamos por toda la población española, eso
supone un total de unos 120 millones de calcetines perdidos. ¿Donde están
esos 120 millones de calcetines?
- 237 -
El rincón matemático
22. Según recientes estadísticas, en los accidentes ferroviarios, el mayor
número de víctimas son del último vagón. Si esto es cierto, ¿por qué no lo
quitan?
23. Según recientes estadísticas, en Nueva York un hombre es atropellado cada
diez minutos. El pobre hombre tiene que estar hecho polvo.
24. Según las últimas estadísticas, las personas que viven más años son las que
con mayor frecuencia llegan a la vejez.
25. INSÓLITO. El 100% de las personas que realizaron una encuesta declaró
haber participado en dicha encuesta.
26. En un partido de fútbol, el equipo que pierde es casi siempre el que más
cambios ha realizado. Por lo tanto, los entrenadores deberían hacer los
menores cambios posibles por muy cansados que puedan estar sus
jugadores.
27. El 95% de los hombres las prefieren viudas, porque las viudas saben mucho
de los hombres y los hombres que saben mucho de las viudas están muertos.
Soluciones:
2. EL 50% DE LOS MADRILEÑOS. La mitad.
3. EL 50% DE LOS CASADOS. Hombres.
6. LA MITAD DE LOS NIÑOS. Cinco.
7. CON FRANCO. Más jóvenes.
http://www.makmakmak.com/6-CURiOSiDADES/LiNK.php?Id=126
- 238 -
Soluciones
TEMA 12:
1.
A preguntar a los suscriptores (misma opinión) y por teléfono.
(alto nivel económico, piensa en los años)
2.
a)81 b)No. Deberían tomarse los encuestados de forma proporcional a los
cursos: 27, 22, 18 y 14 de 1º, 2º, 3º y 4º respectivamente.
3.
a) Coger de las 7 máquinas proporcionalmente al número de bombillas
fabricadas por cada una.
b) Muestra de toda la población, estratificada.
c) Muestra de toda la población, estratificada.
d) Preguntar en horario donde estén todos los habitantes de las viviendas,
sobre todo los estudiantes.
4.
44800 entre 16 y 20, 62000 entre 21 y 30, 57200 entre 31 y 40, 50000 entre
41 y 50, 38800 entre 51 y 60, 35400 con más de 60, que hacen un total de
288200 habitantes.
5.
a)Cuantitativa discreta.
b)Cuantitativa discreta.
c)Cualitativa.
d)Cuantitativa continua o de datos agrupados.
e)Cualitativa.
f)Cualitativa.
g)Cuantitativa continua.
6.
a)Las 24h del día. Sin muestra.
b)Grupos del centro. Sin muestra.
c)Los alumnos. Si no hay muchos, sin muestra.
d)Igual que c.
e)Igual que c.
f)Todos los españoles. Con muestra.
g)Las llamadas. Si no son muchas, sin muestra.
7.
8.

x =12,1 3 , M=12 32%115º12´, 28%100º48´, 20%72º, 16%57º36´, 4%14º24´
9.
Por propiedades: nueva media m+1, y la desviación típica no cambia.
10.
a) 40; 7; 1→1, 2 →10, 3→10, 4→12, 5→5, 6→1, 7→1
b)
x
Fr. Absolutas
Fr. relativas
1
1
0,025
2
10
0,25
3
10
0,25
4
12
0,3
5
5
0,125
6
1
0,025
7
1
0,025
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Fr. rel
1
2
3
4
5
11.
a)
39
46
53
60
67
74
Marcas de clase
2
11
12
10
3
2
Fr. Absolutas
0,05
0,275
0,3
0,25
0,075
0,05
Fr. relativas
b) Bases iguales y alturas proporcionales a la frecuencia, por tanto:
y
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
32
39
46
53
60
67
74
- 239 -
6
7
x
Soluciones
12.
x
Frec. Absolutas
Frec. relativas
1
18
0,15
2
22

0,18 3
0,25
3
19

0,158 3
4
18
0,15
5
23

0,191 6
6
20

0,1 6
Frec.
0,2
0,15
0,1
0,05
x
0
1
2
3
4
5
6
13.
x
Fr. Absolutas
Fr. relativas
2
3
0,025
x
Fr. Absolutas
Fr. relativas
7
19

0,158 3
3
8

0,0 6
8
16
9
13

0,1 3
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
4
9
0,075
5
11

0,091 6
10
11

0,108 3
6
20

0,1 6
11
6
0,05

0,091 6
12
4

0,0 3
Frec.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14.
Total: 1552 km.
Portugal:5,92%, 21,3º; España:32,5%, 117,13%;
Francia:35,5%, 127,8º; Italia:19,39%, 69,8º;
Suiza:2,64%, 9,51º; Bélgica:1,93%, 6,95º;
Holanda:2%, 7,42º
S BH
P
I
Esp
Fr
15.
a)
b) 100 alumnos: 66,225 %
h
8
c) 74,172 %
7
6
d) 100 %
5
4
3
2
1
x
0
137
143
149
155
161
167
173
179
- 240 -
185
Soluciones
16.
0,2 Fr.
2
0,15
1,5
0,1
1
0,05
0
0,5
x
40
1
45
2
50
3
55
4
60
5
65
6
0
70
7
35
40
45
50
55
x
60
65
70
75
17.
a) x =28,4286, M =23, Mo=No hay
b) DM=11,4694,
2=178,53, =13,36
18.
Mo=6, Me=6, x =6,35, =1,3143
19.
20.
=14,38
a) x =16,
Me=8,
b) x =16,
c) x =16,
21.
Me = 8, Mo=8, DM = 9,6, =19,276
Me=16, Mo=No hay, DM = 1,2, =1,4142
Mo=No hay,
DM = 11,2,
x = 7717,85
Me = 8153,75
=1307,5284
x = 130,86667
Me = 125,5
=23,3921 con la peseta.
x = 0,7856
Me = 0,7533
=0,14 con el euro.
x = 138,6923
Me =[130,140[
22.
=14,2175
Mo=[140,150[
23.
x
Frec. Absolutas
Frec. relativas
x =164
150,5
155,5
1
5
0,025
0,125
Me =164,07
160,5
165,5
11
14
0,275
0,35
Mo=165,5
170,5
6
0,15
=5,831
175,5
3
0,075
24.
a)1º→ x =4,5; 2º→ x =4,7 b)1º→ =1,2845; 2º→ =2,5317 c)1º por regularidad
25. 26.
27.
a) Las alturas de los rectángulos son las frecuencias
x =2
(bases iguales).
5,64
M=3
b) Me=217,77, x =218,52, Mo=[210,230[
Modas=0 y 4
c) Q1=201,19, Q2=217,77, Q3=232,77, 2 =684,93, =26,17
28.
a) Alturas rectángulos. 4, 9, 10, 8, 5, 3, 2 respectivamente.
b) M=152, x =165,6, Mo=[120,160[
c) Q1=100; Q2=152; Q3=220; =91,39; 2=8352,64
29.
a) Medias: 4,57; 4,71; 4,57; 4,71; Desv. Típ: 1,59; 2,18; 1,76; 2,11,
Medianas: 5,5,5,4,
Modas: 5,5,4’5,3,
Coef. Var.: 0’348, 0’462, 0’385, 0’448 respectivamente. Suspende B.
b) 4,7 ;
4,7 ;
4,9 ;
4,8
30.
a) x =2, =2
b) x =20,
=8
c) x = 23, =8
d) x =32,
=8
31.
x A = x B = 99,9625, A=0,21, B=0,17 → Elegir B.
32.
33.
a) 5,5,5,5,5,5
b) 0,0,0,10,10,10
a) 4,6,3,7,2,8
b) 0,10,1,9,2,8
34.
x A =5,45,
A =1,774
x B =5,45, B =2,578
- 241 -
La B más dispersa.
TEMA 13: CORRELACIÓN LINEAL
Observa
DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES

En una misma población o muestra, cabe la posibilidad de que se estudien dos
o más variables estadísticas. Normalmente, este estudio se hace para
averiguar si existe alguna relación entre las variables estudiadas que permita
predecir teóricamente el comportamiento de una, conocida la otra.
Por ejemplo, parece razonable pensar que, si estudiamos en los niños nacidos
en un hospital la altura y el peso, ambas variables estarán relacionadas; pero
si estudiamos el peso y la edad del padre de esos niños, no debe haber
relación, aparentemente.

Se dice que existe correlación entre dos valores de la misma población, si los
cambios de valores de una de ellas son dependientes de los cambios de
valores de la otra. Esta dependencia es intermedia entre la dependencia
funcional (cuando hay una función o una fórmula que relaciona ambas
variables) y la independencia (aunque ésta pueda relacionarse con la
correlación nula). Para estudiar esto, podemos proceder como se ilustra en el
siguiente ejemplo; aunque en general se haría igual.
- 242 -
Observa

Ejemplo. Un colectivo de 120 alumnos de bachillerato ha realizado 5
exámenes de historia y 5 de matemáticas. Observamos para cada alumno el
número de exámenes de cada asignatura aprobados y tenemos 120 pares de
valores:
Var. X: Nº ex. Hª aprobados
Var. Y: Nº ex. Mat. aprobad.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
…
…
5
5
5
5
Siempre se empieza anotando conjuntamente los valores de la variable x e y
de cada individuo estudiado, quedando así cada observación identificada con
un par ordenado (x,y).
Estos datos quedan más claros en una tabla de doble entrada:
x
1
2
3
4
5
y →
1 2
3
4 5
7 4
0
1 2
3 10 8
9 2
4 7 12 12 1
2 3
6
8 4
1
2
8
2 2
17 26 34 32 11
El cuadro central nos da las
frecuencias conjuntas.
x ↓
14
32
36
23
15
120
La columna de la derecha nos da
las frecuencias de la variable x
considerada por separado.
La fila de abajo nos da las
frecuencias de la variable y.
Cuando hay muchos pares ordenados, conviene presentarlos en una tabla de
doble entrada o de contingencias, que resuma las observaciones.
También podemos presentar estos datos en una gráfica, llamada nube de
puntos:
y
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
La nube de puntos se realiza situando en el plano cartesiano los pares (x,y).
- 243 -
Observa
 La nube de puntos puede, por sí sola, dar indicios de si existe o no correlación
entre las variables: si los puntos parecen agruparse en torno a cierta línea, sí
habrá correlación.
Si esta línea es una recta, se habla de correlación lineal y si no lo es, de
correlación curvilínea.
Si al aumentar una variable aumenta la otra, se habla de correlación positiva,
y si al aumentar una, la otra disminuye, se habla de correlación negativa.
Se dice que la correlación es fuerte o débil (con graduaciones) según la nube
se ajuste mucho o poco a la línea citada.
Por ejemplo:
y
x
Correl. lineal
negativa fuerte
y
y
y
x
Correl. Curvilínea
positiva débil
x
Correl. lineal
positiva muy
fuerte
x
Correl. Curvilínea
negativa muy fuerte
 Puede ser arriesgado fiarse de la nube de puntos para decidir si hay
correlación.
Sin embargo, para variables cualitativas es todo lo que tenemos.
Para variables cuantitativas se puede profundizar más. De cualquier modo,
trataremos las continuas como discretas tomando como valor la marca de
clase.
- 244 -
Observa
CORRELACIÓN LINEAL
 El grado de correlación lineal entre dos variables podemos obtenerlo de una
forma más precisa. Para ello necesitamos algunas cosas.
 Covarianza de las variables x e y: xy o sxy .
Se calcula de la siguiente forma, que veremos con nuestro ejemplo:
x
14·1  32·2  36·3  23·4  15·5
=2,94
120
y
17 ·1  26·2  34·3  32·4  11·5
=2,95
120
xy =
7(1  2,94)(1  2,95)  4(1  2,94)(2  2,95)  ...  2(5  2,94)(5  2,95)
120
=0’352
Si los pares de ambas variables son (x 1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn), se define la
covarianza como sigue:
xy =
(x1  x)( y1  y)  (x2  x)( y2  y)  ...  (xn  x)( yn  y)
n
De alguna forma indica si la correlación es positiva o negativa: si x e y
aumentan (o disminuyen) a la vez, los sumandos están formados por
productos de números del mismo signo y xy será positiva, mientras que si
x aumenta e y disminuye (o al revés) los sumandos están formados por
productos de distinto signo y xy será negativa.
Y, de forma más sencilla:
xy =
7·1·1  4·1·2  ...  2·5·5
- 2,94·2,95 = 0,352
120
Pues:
(x1 y1  x1 y  y1 x  x y)  (x2 y2  x2 y  y2 x  x y)  ...  (xn yn  xn y  yn x  x y)
=
n
x y  x2 y2  ...  xn yn
y  y2  ...  yn
x  x2  ...  xn
nx y
= 1 1
- x 1
- y 1
+
=
n
n
n
n
x y  x2 y 2  ...  xn yn
x y  x2 y2  ...  xn yn
= 1 1
- x y  yx + x y = 1 1
- xy
n
n
xy=
- 245 -
Observa
 Coeficiente de correlación lineal. Es el número r que nos indica el grado de
correlación lineal entre las variables x e y.
 xy
Su cálculo es sencillo: r =
 x · y
donde
x = desviación típica de x
y = desviación típica de y
Se puede demostrar lo siguiente: -1  r  1
Si r es próximo a 1 hay correlación lineal fuerte y positiva, tanto mayor
cuanto más cerca esté r de 1 (r  0,85).
Si r es próximo a -1 hay correlación lineal fuerte y negativa, tanto mayor
cuanto más cerca esté r de -1 (r  -0,85).
Si r = ±1 hay dependencia funcional entre x e y: y = ax+b.
Si r se aleja de ±1 (-0,85<r<0,85) la correlación lineal es débil, tanto menor
cuanto más se acerque r a 0. Si r = 0, la correlación lineal es nula.
0,352
= 0,2483 por lo que la correlación
(1,1923)(1,1891 )
lineal es positiva pero muy débil, casi nula.
Así, en nuestro ejemplo, r =
REGRESIÓN LINEAL
 Una vez comprobado que hay correlación lineal entre dos variables x e y, cabe
plantearse cuál es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos (recta de
regresión lineal), y que nos puede servir para hacer estimaciones de una
variable, conocidos los valores de la otra (teniendo en cuenta las condiciones
del estudio que llevemos entre manos) con la fiabilidad que nos dé el valor del
coeficiente de correlación.
 En realidad, las rectas de regresión lineal son dos, y se obtienen de la
siguiente forma:
 xy
De y sobre x: y/x → y- y =
(x- x );
x2
 xy
De x sobre y: x/y → x- x =
(y- y )
y2
 xy
x2
y
 xy
y2
son los coeficientes de regresión.
- 246 -
Observa
En general, ambas rectas no coinciden, pero son tanto más próximas cuanto
mayor es el grado de correlación lineal. Si r = ±1, las rectas de regresión
coinciden y son función entre x e y. El criterio seguido para hallar las rectas
de regresión se conoce como principio de mínimos cuadrados, y consiste en
buscar la recta que hace mínima la expresión H:
y/x
ŷ3
y2
ŷ2
y3
ŷ1
y2
d3
d2
y3
d1
y1
x1
x3
H= d1  d2  d3  ...  dn
2
2
d3
y1
x2
2
x/y
d2
d1
x̂1
x1 x̂ x2
3
x̂2
x3
H= d1  d2  d3  ...  dn
2
2
2
2
2
Ejercicios
1. Empareja cada coeficiente de correlación con su nube de
puntos:
a) -0,98
b) 0,10
c) 0,35
d) 0,75
A) y
B) y
x
C)
y
x
D)
y
x
x
2. La tabla de abajo refleja la distribución conjunta de
tallas (en cm.) y pesos (en kg.) de 50 alumnos varones de
bachillerato.
Halla
el
coeficiente
de
correlación
e
interprétalo. ¿Qué peso cabe esperar para un estudiante que
mida 172 cm.?
peso
talla 150-160
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
2
3
2
1
160-170
1
6
6
2
2
170-180
180-190
190-200
2
3
4
3
2
4
2
2
3
- 247 -
Ejercicios
x
y
3. La tabla:
54 40 66 70 60 58 63
3
2
6
8
4
3
7
recoge las puntuaciones obtenidas por 7 estudiantes en un test
para cursar estudios de matemáticas (x) y sus notas medias en
el primer curso de carrera (y). Calcula las rectas de
regresión y el coeficiente de correlación lineal. ¿Qué nota
cabe esperar para un alumno que obtuvo 64 puntos en el test?
4. Las longitudes y (en cm.) de un resorte para distintos
pesos x (en kg.) se han indicado en la tabla:
x
y
10
20
30
40
50
60
8,1 10,1 12,3 13,9 15,7 17,1
Halla r e interprétalo.
5. El precio y en miles de € de un cierto modelo de coche
depende de su antigüedad en años x según la tabla que sigue:
x
y
1
69
2
60
3
52
4
45
5
39
6
34
7
30
Comprueba que existe correlación lineal entre x e y, y estima
el valor de un coche de 5,5 años.
6. A lo largo de 6 años un agricultor ha aumentado la
superficie de terreno dedicada al cultivo de patatas. El
número de hanegadas cultivadas y la producción obtenida en
cientos de Qm, se indican en la tabla:
x (nº hanegadas)
y (producción)
20
34
46
54
80
1,1 2,2 3,6 5,4 6
110
8
Determina qué producción cabe esperar que obtenga el próximo
año, si piensa dedicar 130 hanegadas al cultivo.
7. Dada la serie estadística bidimensional:
x
y
-2
-7
-1
-4
0
-1
Se pide:
a) Rectas de regresión.
b) r e interpretación.
- 248 -
1
2
2
5
3
8
Ejercicios
8. Dada la distribución bidimensional:
x
y
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
Se pide:
a) Nube de puntos.
b) r y rectas de regresión.
Interpreta los resultados.
9. Haz lo mismo que en el problema 8 pero ahora con la
siguiente tabla:
x
0 0
2 2
y
0 2
0 2
10. La distribución
personas es:
Edad x
Tensión y
30
11,5
28
11,3
de
35
12,5
edades
42
13,5
y
presión
51
14,6
42
13
arterial
63
16,6
32
12
de
70
16,9
10
67
17
a) Nube de puntos y coeficiente de correlación. ¿Se puede
proceder a un ajuste lineal?
b) Prever la tensión de una persona de 60 años.
11. La tabla adjunta nos da el índice de mortalidad y de una
muestra de población en función del consumo diario de
cigarrillos x:
x (nº cig.)
y (índ. mort.)
3
0,2
5
0,3
6
0,3
15
0,5
20
0,7
40
1,4
45
1,5
Determina el coeficiente de correlación lineal entre x e y.
Predice el índice de mortalidad para un consumidor de 60
cigarrillos.
12. Considerando el conjunto de datos:
x
y
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
de una distribución bidimensional, explica qué es la regresión
lineal. Supongamos que ŷ =a+bx es la recta de regresión de y
sobre x; indica la relación de los coeficientes a y b con la
expresión siguiente:
(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+…+(yn-a-bxn)2
- 249 -
Ejercicios
13. Una empresa dispone de los datos de la tabla que sigue.
Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores.
Indica el método empleado en el cálculo de la estimación y la
fiabilidad de ésta.
Nº vendedores
Nº pedidos
3
90
4
110
5
140
8
190
10
235
14. Una empresa tiene los datos de la tabla:
Cientos de miles de € en 1
2
publicidad
Cientos de miles de € en 15 16
ventas
3
4
5
6
7
8
14 18 21 19 19 21
Estima las ventas esperadas al invertir 1.000.000 € en
publicidad. Explica la fiabilidad de la estimación realizada.
El rincón matemático
Sir Francis Galton ( 16 de febrero de 1822 – 17 de enero de 1911)
La teorías de la correlación y la regresión son muy recientes, y su descubrimiento
se debe al médico inglés Sir Francis Galton.
Fue un polímata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo,
estadístico, psicólogo británico con un amplio espectro de intereses.
No tuvo cátedras universitarias y realizó la mayoría de sus investigaciones por su
cuenta. Sus múltiples contribuciones recibieron reconocimiento formal cuando, a
la edad de 87 años, se le concedió el título de Sir o caballero del Reino.
Galton contribuyó a diferentes áreas de la ciencia como la psicología, la biología,
la tecnología, la geografía, la estadística o meteorología. A menudo sus
investigaciones fueron continuadas dando lugar a nuevas disciplinas.
Primo segundo de Charles Darwin, aplicó sus principios a numerosos campos,
principalmente al estudio del ser humano y de las diferencias individuales.
- 250 -
Soluciones
TEMA 13:
1.
(a,C),(b,B),(c,D),(d,A)
2.
x =172, y =78,2,  x = 12,04,  y = 11,9,  xy =85,6 , r= 0,5974.
Baja correlación lineal, y(172)=78,2 kg
3.
x =58,71; y =4,71,  x =9,05 ;  y =2,12 ;  xy = 16,76 ; r=0,8735 ;
y/x → y=0,205x-7,30
x/y → x=3,729y+41,146, y(64)=5,82
4.
x =35, y =12,8666…,  x =17,08 ,  y =3,1 ,  xy =52,833… , r  1 (Ley de Hocke)
5.
x =4, y =47,  x =2 ,  y =13,115 ,  xy =-26 , r=-0,9912, y(5,5)=37,25
6.
x =57,33…,
7.
y =4,38,  x =29,9 ,  y = 2,34,  xy =67,88 , r=0,97 y(130)=9,897
x = y =0,5 ;  x =1,7078 ;  y =5,1235 ;  xy = 8,75
a) Ambas: y=3x-1
b) r=1 → Relación funcional (habría que tomar todos los decimales)
8.
a)
b) r=1, x/y= y/x → y=2x+1. Relación funcional.
a)
b) r=0, y=x=1, Relación nula.
Las rectas y/x y x/y son perpendiculares.
9.
10.
a)
x =46; y =13,89;  x =15,03;
 y =2,13;  xy =31,89;
r=0,996Sí procede el ajuste.
b) Tensión de 60 con y/x→15,866
11.
x =19,14 ; y =0,7,  x =15,83 ;  y =0,5 ;  xy =7,87 ; r=0,995.
Índice para 60 con y/x → 1,98
12.
Teoría. Se minimiza la expresión (es el método de los mínimos cuadrados)
13.
x=nº vendedores, y= nº pedidos, y/x → 20,26x+31,45
x =6, y =153,  x =2,61 ,  y =53,07 ,  xy =138 , r=0,996, y(9)=213,79,
r=0,996 → Alta fiabilidad.
14.
x=publicidad, y=ventas, y/x → y=0,89x+13,85
x =4,5 ; y =17,88,  x =2,29 ;  y =2,47 ;  xy =4,665 ;
r=0,8247 → Poca fiabilidad, y=0,89x+13,88.
- 251 -
y(10)  2277000;
TEMA 14: PROBABILIDAD
Observa
 El concepto de probabilidad. Trata de medir la mayor o menor facilidad con
que ocurrirá algo. Para poder hablar de esto, aquello que se estudia debe ser
un experimento donde, al realizarse de una forma concreta, puedan ocurrir
varias cosas (por ejemplo lanzar un dado y ver el número que sale). Estos
experimentos se llaman aleatorios; y aquellos en los que está prefijado por
leyes físicas o químicas lo que va a ocurrir, se llaman deterministas. En estos
últimos no tiene sentido hablar de probabilidad.
 Históricamente, el concepto de probabilidad ha sido controvertido. Más bien,
el tema de asignación de probabilidades. A veces hay razones de tipo
geométrico o por simetrías que permiten asignar la probabilidad de un suceso
a priori (por ejemplo, al lanzar un dado supuestamente bien construido,
decimos que la probabilidad de que salga 1 es 1/6). Otros piensan que esto es
mucho imaginar y que la probabilidad debe asignarse a posteriori después de
lanzar el dado N veces, contar el número de veces que sale el número 1 y si N
es suficientemente alto, asignarle al 1 la probabilidad:
n º de unos (Frecuencia absoluta )
n
=
= Frecuencia relativa.
N n º de realizaciones del exp erimento
 Dejando a un lado si se asigna la probabilidad a priori o a posteriori, quedaría
decidir cómo se hace esto. Una de las formas más usuales de hacerlo es la
llamada Probabilidad de Laplace:
P=
Nº de casos favorables al suceso que int eresa
Nº de casos posibles
El problema es cómo contar esos números de casos. De ello se ocupa la
combinatoria (al final del tema tienes algo sobre ella).
- 252 -
Observa
 Tratando de abarcar todas las posibilidades, se ha construido una teoría de la
probabilidad (axiomática) que sea aplicable a todos los casos. Para verla es
necesario dar antes unas definiciones.
 Experiencia aleatoria ε. Aquella que al repetirla en análogas
condiciones, pueda presentar distintos resultados. Por ejemplo:
“Lanzar un dado y ver lo que sale”.
 Espacio muestral  . Conjunto de resultados posibles al realizar ε.
En el ejemplo,  = {1,2,3,4,5,6} (o combinación de ellos).
 Suceso A, B, … Cualquier parte de Ω.
Por ejemplo: A= {sale 1}, B = {sale nº par} , C = {sale múltiplo de 3}.
 Suceso imposible . El que no ocurre nunca.
 Intersección de sucesos A∩B. Lo que ocurre cuando ocurren A y B
a la vez. En el ejemplo B∩C= {sale 6}.
 Unión de sucesos AUB. El que ocurre cuando ocurre A, o B o ambos.
En el ejemplo: BUC= {2,3,4,6}.
 Suceso contrario de A: A = Ac. El que ocurre cuando no ocurre A.
En el ejemplo: C = {1,2,4,5}
 Dos sucesos A y B se dicen incompatibles cuando A∩B= ϕ. En caso
contrario, se dicen compatibles. En el ejemplo, A y B son
incompatibles, B y C son compatibles.
Una probabilidad es una función p que asigna a cada suceso Ω un número p(A)
cumpliendo:
1º) 0  p(A)  1 para cualquier suceso A.
2º) p(Ω) =1
3º) Si A∩B =   p(AUB) = p(A)+p(B)
Por ejemplo, al lanzar el dado podemos asignar como probabilidades:
a) Si lo suponemos bien construido:
p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1/6
b) Si está trucado:
p(1) = 1/3, p(2) = p(3) = p(4) =1/6, p(5) = p(6) = 1/12
- 253 -
Observa
De esta definición se deducen una serie de propiedades, entre las que
destacamos:
P1. p() = 0
P2. p( A ) = 1-p(A)
P3. Si A  B  p(A)  p(B)
(si ocurre A ocurre B)
P4. p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
Veamos cómo se deducen de la definición:
P1. ∩Ω = 
(por P3)
P2. A∩ A = 
(por P3)
p(AU A ) = p(Ω) = 1 = p(A)+ p( A )
(por P3)
P3. A∩(B-A) = 
A
P4. A∩B-A = 
p(UΩ) = p(Ω) = 1 = p(Ω)+p() = 1+ p()
B-A
(por P3)
p(AU(B-A)) = p(B) = p(A)+p(B-A)
B
p(AU(B-A)) = p(A)+p(B-A)
A
B
P(AUB)
A∩B
(A∩B) ∩(B-A) = 
(por P3)
p((A∩B)U(B-A)) = p(A∩B)+ p(B-A)
p(B)
A
B
_
A∩B
Juntándolo sale.
- 254 -
Observa
 Cuando ocurre como en el lanzamiento del dado, que todos los sucesos
elementales tienen la misma probabilidad (cuando lo suponemos bien
construido), hablamos de espacios equiprobables.
 Lanzar un dado, una moneda, extraer una carta de la baraja, son
experimentos simples. Lanzar dos o más dados, varias monedas, son
experimentos compuestos. Estos últimos se describen con un diagrama de
árbol. Por ejemplo, al lanzar dos monedas tenemos:
1ª moneda
1/2
1/2
C
X
2ª moneda
1/2
C
1/2
X
p(Dos caras) =
1/2
C
p(Una cara y una cruz) =
1/2
X
1 1 1
· 
22 4
1 1 11 1
· 

2 2 22 2
Ejercicios
1. En la experiencia “lanzar cuatro monedas” se consideran los
sucesos A={Obtener 2 o 3 caras} y B={Obtener, al menos, tres
caras}. Se pide:
a) AUB
b) A∩B
c) A
d) A ∩ B
2. Si Ω = {a, b, c}, ¿cuáles de las siguientes funciones son
de probabilidad?
1
a) p(a)= p(b)= p(c)=
3
1
1
b) p(a)=
, p(b)= p(c)=
2
4
2
1
c) p(a)= p(b)=
, p(c)=3
3
3. Si p es una función de probabilidad de Ω = {a, b}, halla
p(a) y p(b) sabiendo que p(b) es doble que p(a).
4. Si p es una función de probabilidad de Ω = {a, b, c}, halla
p(a) si:
a)
b)
c)
d)
p(a)=
p(b)=
p(a)=
p(a)=
p(b)= p(c)
p(c)= 2 p(a)
p(b), p(c)=1/2
2 p(b)= 3 p(c)
- 255 -
Ejercicios
5. Un dado se carga de forma que la probabilidad de que salga
un número es proporcional a dicho número. Halla la función de
probabilidad.
6. Un grupo de estudiantes está compuesto por 4 de primer
curso, 5 de segundo y 6 de tercero. Escogemos un alumno al
azar. Calcula la probabilidad del suceso:
a) Es de primero.
b) No es de primero.
c) No es de primero ni de tercero.
7. En el mismo grupo de estudiantes del problema 6 se escogen
al azar dos estudiantes. Halla la probabilidad de:
a) Los dos son de primero.
b) Ninguno es de primero.
c) Uno de primero y otro de segundo.
8. Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de:
a) Obtener dos caras.
b) Obtener, al menos, dos caras.
c) No obtener ninguna cruz o ninguna cara.
9. Lanzamos un dado dos veces. Calcula la probabilidad de:
a) La suma de puntos es 7.
b) Obtener el mismo número.
c) El segundo número es mayor que el primero.
10. Una bolsa contiene 6 bolas blancas numeradas del 1 al 6 y
5 bolas negras numeradas del 1 al 5. Extraemos dos bolas al
azar. Calcula la probabilidad de obtener:
a)
b)
c)
d)
Dos
Dos
Dos
Una
bolas blancas.
bolas del mismo color.
números pares.
blanca impar y una negra par.
11. Si lanzamos una moneda y un dado, halla la probabilidad
de:
a) Sacar cara y 5.
b) Sacar cara y número impar.
c) Sacar cara y número par o cruz y cualquier número.
- 256 -
Ejercicios
12. Extraemos dos cartas de la baraja española de 48 cartas.
Calcula la probabilidad de:
a) Sacar dos espadas.
b) No sacar espadas.
c) Sacar el mismo número.
13. En un grupo de estudiantes, el 30% estudian matemáticas,
el 15% física y el 10% ambas materias. Se elige un estudiante
al azar y se quiere saber la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Estudie matemáticas.
Estudie matemáticas y física.
Estudie matemáticas pero no física.
No estudie ni matemáticas ni física.
14. En una población el 60% son morenos y el resto rubios.
Entre los morenos, el 90% tienen los ojos castaños y el 10%
azules. Entre los rubios, el 80% tiene los ojos azules y el
20% verdes. Se elige una persona al azar y se quiere saber la
probabilidad de que:
a) Sea morena.
c) Tenga ojos azules.
15.Dos
Halla:
sucesos
cumplen:
a) p(A)
b) Tenga ojos castaños.
d) Tenga ojos verdes o castaños.
P(AUB)=4/5,
b) p(B)
p(A∩B)=1/5,
p( A )=3/5.
c) p(A∩ B )
16. En una caja hay 4 bolas blancas y 3 rojas. Extraemos dos
bolas sin devolución. Halla la probabilidad de:
a)
b)
c)
d)
Que las dos
Que las dos
Que no sean
Cada una es
bolas sean blancas.
sean rojas.
las dos blancas.
de un color.
17. Repite el problema 16 si la extracción es con devolución.
18. Lanzamos dos monedas y un dado. Halla la probabilidad de
obtener:
a) Dos caras y número par.
b) Una cara, una cruz y número par.
c) Alguna cara y número par.
- 257 -
Ejercicios
19. En una determinada población, el 40% estudian catalán, el
30% gallego y el 25% euskera. El 14% estudian catalán y
gallego, el 11% catalán y euskera, el 13% gallego y euskera y
el 5% las tres lenguas. Elegimos una persona al azar y
queremos saber la probabilidad de que estudie:
a) Al menos una lengua.
b) Sólo catalán.
c) Gallego o euskera pero no catalán.
20. Si sabemos p(X)= 1/2, p( Y )=1/3, p(X∩Y)=1/3, calcula:
a) p(XUY)
b) p( X ∩ Y )
d) p( X U Y )
c) p(X∩ Y )
21. Sea S={a, b, c, d, e, f} un espacio muestral y p una
medida de probabilidad en S definida por p(e)=p(f)=1/4,
p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=1/8. Se consideran los sucesos A y B
siendo A={a, c, d, e}, B={d, c, f}. Calcula:
a) p(A)
b) p(B)
c) p(AUB)
d) p(A∩B)
22. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se
extraen sucesivamente dos bolas. Calcula la probabilidad de
que la suma de los puntos obtenidos sea múltiplo de 3 en cada
caso:
a) Con reemplazamiento.
b) Sin reemplazamiento.
23. La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es
0,6 y la de que apruebe lengua es 0,5 y de la que apruebe
ambas es 0,2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una
asignatura?
b) ¿Y la de que no apruebe ninguna?
c) ¿Y la de que apruebe matemáticas pero no lengua?
24. En una bolsa hay 4 bolas blancas y 3 negras. Calcula la
probabilidad de que al sacar tres bolas todas sean del mismo
color.
25. Para cada
probabilidad.
experimento
que
sigue,
halla
la
función
a) Extraer una carta de la baraja española y
mirar el palo.
b) Jugar a la ruleta (1) y mirar la puntuación.
c) Jugar a la ruleta (2) y mirar la puntuación.
d) Lanzar un dardo sobre la ruleta (1) y mirar la
puntuación.
e) Lanzar un dardo sobre la ruleta (2) y mirar la
puntuación.
- 258 -
4
de
1
2
3
4
1
3
2
Ejercicios
26. Se extrae una
probabilidad de:
ficha
del
dominó
al
azar.
Halla
la
a) Hay un 1 al menos.
b) Hay un 2 al menos.
c) Hay un 1 o un 2.
d) Suma de puntos 6.
e) Suma de puntos mayor de 10.
27.
a)Razona
que
incompatibles.
dos
sucesos
contrarios
son
siempre
b)¿Existen sucesos incompatibles que no sean contrarios?
28. Halla la probabilidad de que al elegir, al azar, un número
de 6 cifras, éste resulte ser capicúa (es decir, el número
empezará por 1, 2, 3…9).
29. En una urna hay 50 bolas entre blancas, verdes y negras.
a) ¿Cuántas hay de cada color si la probabilidad de sacar
una blanca al azar es 2/5 y la de sacar una negra es 1/10?
b) ¿Cuántas hay si la probabilidad de sacar blanca es 2/5 y
la de sacar negra es doble que la de sacar verde?
30. Se extrae una carta de la baraja española de 48 cartas. Se
consideran los sucesos: B={Obtener basto}, F={Obtener figura}
(figuras son: sota, caballo y rey).
Calcula:
a) p(B)
b) p(F)
c) p(B∩F)
d) p(BUF)
e) p( B )
f) p(B∩ F )
g) p( B ∩ F )
31. De una urna que contiene 5 bolas blancas y 7 negras se
extraen al azar todas las bolas menos una. ¿Probabilidad de
que quede una blanca?
32. De la misma urna del problema 31 se extraen todas las
bolas menos dos. ¿Probabilidad de que estas dos sean blancas?
33. El 65% de las alumnos de un centro ha aprobado
matemáticas, el 70% filosofía y el 53% ambas. Si se elige al
azar un estudiante:
a) Probabilidad de que haya suspendido ambas materias.
b) Probabilidad de que haya suspendido como mucho, una
materia.
34. Un 6% de los habitantes de una ciudad compra habitualmente
los dos periódicos que en ella se editan, y el 70% no compran
ninguno. El periódico de mayor aceptación vende el doble de
ejemplares que el otro. Calcula la probabilidad de que un
ciudadano elegido al azar compre el diario de mayor
aceptación.
- 259 -
Amplía
COMBINATORIA
EL PROBLEMA DE CONTAR
 En problemas de probabilidad se plantea la cuestión de contar el número de
veces que puede ocurrir algo. Por ejemplo, si queremos saber lo fácil que es
acertar una quiniela o una lotería primitiva, necesitamos saber cuántas
formas de rellenarla hay.
 Hay ocasiones en que éste problema tiene fácil solución (todos sabemos
contar de cuantas formas distintas puede presentarse el número de un dado
al lanzarse), pero otras no tanto, y se requieren unas estrategias que
faciliten el conteo. De esto se ocupa la combinatoria.
 En cualquier caso, verás que los diagramas de árbol son de gran ayuda para
contar en la mayoría de los casos.
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Problema 1. ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse en una jornada?
1º Partido
2º Partido
3º Partido
1
X
2
1
X
2
1
14º Partido
Solución:
314
1
X
2
1
X
2
X
2
Problema 2. El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos
formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado
por 8 dígitos, por ejemplo 00101101. ¿Cuántos bytes distintos hay?
1º Dígito
0
1
2º Dígito
0
1
0
3º Dígito
0
1
0
1
8º Dígito
Solución:
28
1
- 260 -
Amplía
 En estos dos problemas, y en muchos más, se aprecia la misma estructura: se
trata de rellenar un número de casillas (14 y 8 en los problemas 1 y 2
respectivamente) con una serie de símbolos u objetos (3 y 2 en los problemas
1 y 2 respectivamente) que pueden repetirse y donde el orden de colocación
es importante (pueden ponerse el mismo número de unos y ceros en dos bytes
distintos). Al número de formas de hacer esto se le conoce con el nombre de
variaciones con repetición:
VR3,14 = VR314 = 314 en problema 1, VR2,8 = VR28 = 28 en problema 2.
En general, para rellenar n casillas con m objetos que se pueden repetir y
donde el orden de colocación importa, el número total de colocación será:
VRm,n = VRmn = mn (variaciones con repetición de m y n)
Ejercicios
35. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse, aunque no
tengan sentido, con las letras de CARLOS?
36. Las matrículas antiguas sólo tenían un número de 6 cifras.
¿Cuántas distintas podían formarse en cada provincia?
37. Calcula: a) VR2,7
c) VR 43
b) VR5,2
d) VR 17
Amplía
VARIACIONES
Problema 1. En la final de los 800 m de una olimpiada participan 8 atletas. ¿De
cuántas maneras se pueden distribuir las medallas?
Oro
Dorsal
1
2
3
4
5
6
7
8
Plata
Dorsal
2
3
4
5
6
7
8
Bronce
Dorsal
3
4
5
6
7
8
Solución:
8·7·6=336
1
2
3
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
- 261 -
Amplía
Problema 2. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1,
2, 3, 4, sin que se repita ninguno?
Decenas
1
2
3
Unidades
2
3
4
1
3
4
1
2
4
Solución:
4·3=12
1
2
3
4
 En estos dos problemas la estructura es:
Se trata de rellenar casillas (3 y 2 en problema 1 y 2 respectivamente) con
objetos (8 y 4 en problema 1 y 2 respectivamente) que no se pueden repetir
y donde el orden de colocación es importante (no puede llevarse dos medallas
la misma persona y no es lo mismo que los dorsales 1, 2, 3 lleguen 1º, 2º y 3º
respectivamente o que lleguen 2º, 1º y 3º).
Al número de colocaciones de este tipo se les llama variaciones:
V8,3 = V83 = 8·7·6 en problema 1
V4,2 = V42 = 4·3 en problema 2.
En general, para rellenar m casillas con n objetos (m ≤ n) que no se pueden
repetir y donde el orden importa, el total de colocaciones posibles es:
Vm,n = Vmn = m·(m-1) ……
Variaciones de m y n.
n factores
 Cuando m=n tenemos todas las formas posibles de ordenar n objetos, y
hablamos de permutaciones de esos n objetos:
Pn = Vn,n = n·(n-1)·(n-2)·…….·1
 Dado un número natural, se llama factorial de ese número a n! y se calcula:
n! = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1
Por ejemplo: 5! = 5·4·3·2·1 = 120
m!
Tenemos entonces: Vm,n =
, Pn = n!
(m  n)!
m!
Según esto: Vm,m =
= Pm = m! → 0! = 1 por convenio.
0!
- 262 -
Ejercicios
38. Extraemos una carta de la baraja española de 40 cartas.
Después de dejarla sobre la mesa, extraemos una segunda que
colocamos junto a la anterior y una tercera a continuación.
¿De cuántas formas distintas puede ordenarse el trío de
cartas?
39. En un concurso literario participan 10 escritores y se
asignan tres premios de 5, 3 y 1 decenas de miles de euros.
¿De cuántas formas distintas pueden distribuirse los premios?
40. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las
cifras impares sin que se repita ninguna?
41. ¿Cuántos números del problema 40 serán mayores que el 400?
a) V73
42. Calcula:
b) V104
c) V97
43. Calcula n y k en:
a)Vn,3=Vn,4
b)Vn,4=4·Vn-1,3
c)Vn,k=6·5·4
d)Vn,k= 8·7·6·5·4
44. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Vx4 = 20 Vx2
d) V11,x = 7920
b) Vx,3 = 20 Vx,2
e) Vx,2 = 210
c) Vx,6 = 90 Vx-2,4
f) V5,x = 20
45. Diez amigos van en bicicleta en fila india. ¿de cuántas
formas distintas pueden ir ordenados en la fila?
46. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse tres personas
en tres asientos?
47. Una secretaria ha escrito cinco cartas distintas a cinco
personas diferentes. También ha escrito en cinco sobres los
nombres y direcciones de cada una de esas cinco personas y
mete al azar cada carta en uno de los sobres.
a) ¿Cuántas formas distintas hay de llenar los sobres así?
b) En cuántos de los casos anteriores, el señor Pérez, por
ejemplo, tendría su carta en su sobre?
48. a) Calcula: P5, P9, P6
b) Comprueba que Vm,n =
Pm
Pm  n
49. Calcula: 3!, 4!, 5!, 6!, 10!, 6!+1, 3!+2!, (3+2)!, (6-3)!
50. Halla x en:
a)x!=110(x-2)!
- 263 -
b)12x!+5(x+1)!=(x+2)!
Amplía
COMBINACIONES
Problema 1. De los 10 temas que debes estudiar para un examen, te van a salir
tres, extraídos por sorteo. ¿De cuántas formas distintas te puede salir el
examen?
Si en el examen hubiera que contestar en un orden concreto los temas, la
respuesta sería V10,3 = 10·9·8 = 720 exámenes posibles.
Como el orden no influye, debemos quitar los repetidos. Los temas 1, 2, 3
aparecen 3! veces (sus ordenaciones), lo mismo los temas 7, 5, 3 y así cualquier
tema, por tanto la solución del problema será:
V10,3
P3
=
10·9·8 720

 120 posibles exámenes.
3·2·1
6
Problema 2. ¿De cuántas formas distintas se puede rellenar un boleto de la
lotería primitiva?
Como en el problema anterior, tenemos que elegir 6 números entre 49 posibles
sin que importe el orden. Razonando de forma análoga tendremos:
V49,6
P6

49·48·47·46·45·44
 13983816 boletos.
6·5·4·3·2·1
En ambos problemas se trata de rellenar casillas (3 en el problema 1 y 6 en el
problema 2) que no se pueden repetir y donde no influye el orden. Al número de
colocaciones posibles de esta forma se las llama combinaciones de m elementos
tomadas de n en n: C49,6 en problema 2.
En general: n < m

 m  Vm,n
m!
Cm,n =   =
=
n! (m  n)!
Pn
n 
Ejercicios
51. De las 30 preguntas de que consta un test se debe
contestar a 20. ¿De cuántos modos distintos se pueden elegir
las 20 preguntas?
52. Una fábrica de helados tiene 12 sabores. ¿Cuántos helados
de tres gustos se pueden fabricar?
- 264 -
Ejercicios
53. ¿Cuántos equipos de baloncesto pueden formarse con los 35
alumnos de una clase?
54. Calcula:
3
a) C12
b) C95
c) C413
55. Una chica tiene 6 blusas, 4 pantalones y 3 pares de
zapatillas. ¿Entre cuántas indumentarias distintas puede
escoger?
56. ¿De cuántas formas distintas pueden tres chicos repartirse
3 polos diferentes comiéndose un polo cada uno?
57. Tres chicas van a una heladería en la que hay cuatro tipos
distintos de polos. ¿De cuántas formas distintas pueden hacer
la elección si cada una compra un polo?
58. Cuatro chicos echan una carrera. ¿De cuántas formas pueden
llegar a la meta si no hay empates?
59. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los
dígitos 1, 5, 8, 9?
60. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los
dígitos 1, 5, 8, 9 sin que se repita ninguno?
61. ¿Cuántos números capicúas de dos cifras se pueden formar?
62. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras se pueden formar?
63. ¿De cuántas
distintos?
formas
se
pueden
ordenar
tres
libros
64. ¿Cuántos menús distintos se pueden confeccionar eligiendo
entre dos primeros platos, tres segundos y dos postres?
65. ¿Cuántos vocablos de dos letras se pueden formar con las
letras de la palabra MAR?
66. ¿Cuántos vocablos de dos letras se pueden formar con las
letras de la palabra MAR si las letras deben ser distintas?
- 265 -
Ejercicios
67. ¿Cuántos productos de dos números elegidos entre 2, 3, 5
se pueden hacer?
68. ¿Cuántos productos de dos números elegidos entre 2, 3, 5
se pueden hacer si los factores deben ser distintos?
69. Cinco amigos se encuentran y todos se estrechan la mano.
¿Cuántos apretones de mano hay en total?
70. Nos han regalado 8 novelas y 5 libros de poesía y queremos
elegir tres novelas y dos libros de poesía. ¿De cuántas formas
se puede hacer?
71. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con los vértices
de un hexágono regular?
72. Una familia formada por los padres y tres hijos van al
cine y se sientan en 5 butacas consecutivas.
a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse?
b) ¿Y si los padres se sientan en los extremos?
c) ¿Y si los padres deciden no sentarse en los extremos?
73. ¿Cuántas letras de 5 signos se pueden
alfabeto Morse usando tres rallas y dos puntos?
formar
en
el
74. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con las
cifras 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ninguna y siendo el resultado
impar?
75. Un barco tiene 8 banderas diferentes para hacer señales y
cada señal se forma colocando tres banderas en un mástil en un
determinado orden. ¿Cuántas señales distintas se pueden hacer
desde el barco?
76. A un congreso médico asisten 50 personas de las cuales 30
sólo hablan inglés y 20 sólo hablan francés. ¿Cuántos diálogos
pueden establecerse sin intérprete?
77. ¿Cuántos números
dígitos 1, 2 y 3?
de
8
cifras
- 266 -
puedes
escribir
con
los
Amplía
NÚMEROS COMBINATORIOS
m
 Los números que aparecen al contar combinaciones Cmn =   m>n se llaman
n 
números combinatorios y tienen propiedades interesantes:
m
1ª    =
0
m
  = 1
m
m
2ª    =
m
 m 
m
 m 
m!
m!

 pues   =

=
= 
(m  n)! n!  m  n 
m  n
 m  n! (m  n)!
pues
m
m
m!
1
  =
=   =
=1
0! m!  m  1·1
0
m  1 m  1
(m  1)!
(m  1)!
 + 
 =
3ª  
=

 n  1   n  (n  1)! (m  n)! n! (m  n  1)!
m
(m  1)! n (m  1)! (m  n)
(m  1)! (n  m  n)
m!
=
=
=  

n! (m  n)!
n! (m  n)!
n! (m  n)!
n! (m  n)!
n 
 Con estas propiedades, tenemos una forma cómoda de disponer estos
números:
1
 
0
2
2
 
 
0
1
3
  +
0
4
4
 
 
0
 
1
5
 
0
5
 
1
3
 
1
4
 
2
5
 
2
1 
 
1 
1
2
+  
2
3
3
 
 
2
3
4
4
  +  
3
4
5
5
5
 
 
 
3
4
5
1
2 + 1
1 + 3
3
1
1
1
4
5
1
6
4 + 1
10 10
5
1
Triángulo de Tartaglia
m m m
m
4ª    +   +   + … +   = 2m, pues cada fila del triángulo
0  1  2
m
es doble de la anterior y la primera suma 2.
- 267 -
Amplía
 Una utilidad de esto es el binomio de Newton. Se puede comprobar lo
siguiente (piensa por qué):
n 
 n  2 n-2  n  1 n-1  n  0 n
n 
n 
 a b + 
 a b +   a b
(a+b)n =   an b0+   an-1 b1+   an-2 b2+ …+ 
0
n  2 
n  1 
1 
2
n 
y de aquí, como (a-b) = (a+(-b)), se tiene:
n 
n 
n 
(a-b)n =   an b0 -   an-1 b1 +   an-2 b2 - … + (-1)n-2
0
1 
2
 n  1 n-1
n 
 a b + (-1)n   a0 bn
+ (-1)n-1 
n  1 
n 
 n  2 n-2

 a b +
n  2 
Veamos un par de ejemplos:
Ejemplo 1  (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Ejemplo 2  (x-y)4 = x4-4x3y+6x2y2-4xy3+y4
Ejercicios
78. Resuelve las siguientes ecuaciones:
 39 
 39 
  

a) 
 5  2x 
 2x  2
 8  8 
9 
b)        
 3  x 
 4
11
11
12
c)        
3
y
3
17
 17 

d)    
x
 x  1
x
x
10
e)        
4
5
5
 38 
 38
  
f) 
 5  2x 
 3x 
79. Calcula:
 2000 

a) 
 1998 
 5001 

b) 
4999 
1000000 

c) 
 999998 
- 268 -


2
Ejercicios
80. Resuelve las ecuaciones:
x
x x
a) 2   = 2   -  
4
 3  2
x
2 x
 
b)   
3  6 
5
x
51  x 
 
c)   
2  2 
4
 39
 39 

d)    
x
 x  5
 x
 x  1
 x  2
  
 = 136
e)    
 2
 2 
 2 
81. Calcula:
 2
 2
 2
a)        
 0
1
 2
 5
 5
 5
 5
 5
 5
b)                 
 0
1
 2
 3
 4
 5
82. Desarrolla:
a) (a+b)3
5
1

e)   2x 
2

b) (a-b)3
4
1

f)  x  
x

c) (2-x)8
g) (2x+1)6
d) (x+3)5
4
1

h)   3x 
3

83. Calcula el cuarto término del desarrollo de (a-5)7.
9
y

84. Calcula el quinto término del desarrollo de  2x   .
2

85. Halla el coeficiente del cuarto término del desarrollo del
6
x

polinomio   3 .
3

8
86. Halla el coeficiente de x
7
 x2
3
en el desarrollo de 
  .
x
 2
87. Encuentra el término en el que el exponente de x es 28 en
20
x

el desarrollo de  x 2   .
2

88. Calcula el término que no tiene x en el desarrollo del
11
1 

polinomio  x x  4  .
x 

- 269 -
Observa
PROBABILIDAD CONDICIONADA
 En su momento planteábamos el siguiente problema:
En una población el 60% son morenos y el resto rubios. Entre los morenos, el
90% tienen los ojos castaños y el 10% azules. Entre los rubios, el 80% tienen
los ojos azules y el 20% verdes. Se elige una persona al azar y se quiere
saber la probabilidad de que:
a) Sea morena.
c) Tenga ojos azules.
b) Tenga ojos castaños.
d) Tenga ojos verdes o castaños.
Lo resolvíamos así:
90
100
M
60
100
40
100
R
10
100
80
100
20
100
C
A
A
V
a) P(M) =
60
= 0,6
100
b) P(C) =
60 90
·
= 0,54
100 100
c) P(A) =
60 10
40 80
·
+
·
= 0,38
100 100 100 100
d) P(VC) =
0,62
60
90
40
20
·
+
·
=
100 100
100 100
Fijémonos en algunos aspectos interesantes:
Sabemos que el 90% de los morenos tienen los ojos castaños. Es una
información del tipo: Si una persona es morena, la probabilidad de que
tenga los ojos castaños es 0,9.
A esto se le llama probabilidad condicionada: P(C/M) = 0,9.
* Dados los sucesos A y B, se llama P(A/B) a la probabilidad de que ocurra A
si ha ocurrido B.
Para obtener la probabilidad de que una persona tenga los ojos castaños,
multiplicamos P(M) = 0,6 por P(C/M) = 0,9 y obtenemos P(M∩C) = 0,54.
P(A  B)
P(B)
* Operando aquí tenemos el Teorema de la Multiplicación:
* Se define P(A/B) =
P(A∩B) = P(B)· P(A/B) = P(A)·P(B/A)
- 270 -
Observa
 Supongamos ahora que extraemos una carta de la baraja española de 48
cartas y consideramos los siguientes sucesos A={Sale As}, O={Sale Oro},
I={Sale nº impar}. Tenemos lo siguiente:
P(O)=12/48=1/4
P(A/O)=
1 48
12 48

P(I)=24/48=1/2
1
= P(A)
12
P(A)=4/48=1/12
P(A/I)=
4 48 1
  P(A)
24 48 6
Se dice entonces que los sucesos A y O son independientes y que los sucesos
A e I son dependientes.
* Si P(A/B) = P(A), se dice que A y B son independientes.
Si P(A/B) ≠ P(A), se dice que A y B son dependientes.
* A la vista del Teorema de la Multiplicación:
A y B independientes ↔ P(A∩B) = P(A) · P(B)
A y B dependientes
↔
P(A∩B) ≠ P(A) · P(B)
 Volviendo al primer problema del que hablábamos:
 P(A) = P(M∩A) + P(R∩A) =
= P(M) · P(A/M) + P(R) · P(A/R) =
=0,6·0,1+0,4·0,8 = 0,38

M
A
R
Esto que se ha usado se conoce como fórmula de la probabilidad total.
*Si tenemos Ω = A1 U … U An con Ai∩Aj =  , i≠j,
y tenemos un suceso B, tenemos:
P(B) = P(A1∩B) + … + P(An∩B) =
= P(A1) · P(B/A1) + … + P(An) · (B/An)
A2
A1
A8
A3
B
A7
A6
A4
A5
Fórmula de la probabilidad total
 P(R/A) =
P(R  A) P(R)·P(A / R) 0,4·0,8
=
=
= 16/19
0,38
P(A)
P(A)
Que se conoce como fórmula de Bayes.
* En las mismas condiciones que el resultado de la probabilidad total tenemos:
P(Ai/B) =
P(Ai )·P(B / Ai )
P(Ai  B) P(Ai )·P(B / Ai )
=
=
P(B)
P(B)
P(A1 )P(B / A1 )  ...  P(An )P(B / An )
Fórmula de Bayes.
- 271 -
Ejercicios
89. Si P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(AUB)=1/2, calcula:
a) P(A/B)
b) P(B/A)
c) P(A B )
d) P(A/ B )
90. Un dado se lanza dos veces. Sean los sucesos A y B donde
A={En el primer lanzamiento, el nº obtenido es menor o igual
que 2} y B={En el segundo lanzamiento, el nº obtenido es, al
menos, 5}. Se pide:
a) P(AUB)
b) P(A/B)
c) ¿Son A y B independientes?
91. Tenemos tres bolsas B1, B2, B3. B1 contiene una bola blanca
y 4 negras, B2 contiene 2 blancas y 3 negras y B3 contiene 3
blancas y 2 negras. Elegimos una bolsa al azar y extraemos una
bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca. Si la bola ha
sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de B3?
92. Un curso consta de tres grupos. El grupo A tiene
alumnos de los que 5 han suspendido, el B tiene 15 alumnos
los que 3 han suspendido y el C tiene 10 de los que 1
suspendido. Si se elige un alumno al azar, calcula
probabilidad de:
25
de
ha
la
a) Que pertenezca al grupo A.
b) Que sea del B y haya suspendido.
c) Que haya suspendido.
93. Una fábrica produce cerraduras en 4 pabellones. El primero
produce el 40% de las mismas con un 5% de defectuosas. El
segundo produce el 30% con un 4% de defectuosas. El tercero un
20% con un 3% de defectuosas y el cuarto el 10% con un 2% de
defectuosas. Elegimos una cerradura al azar y queremos saber:
a) Si es defectuosa, probabilidad de que venga del primer
pabellón.
b) Si no es defectuosa, probabilidad de que venga del
cuarto pabellón.
94. Una caja contiene dos monedas. Una es normal y la otra
tiene dos caras. Se extrae una moneda al azar y se lanza.
Halla la probabilidad:
a) De obtener cara.
b) De obtener cara y ser la moneda defectuosa.
c) Si ha salido cara, de que la moneda sea la defectuosa.
95. Una clase está formada por 25 chicos y 15 chicas. 10
chicos y 5 chicas han suspendido Matemáticas. Si elegimos un
alumno al azar, calcula las probabilidades de:
a) Que sea chico
c) Que haya suspendido
b) Que sea chico y haya suspendido
d) Si ha suspendido, que sea chica
- 272 -
Ejercicios
96. Tenemos tres monedas, una normal, una con dos caras, y
otra con dos cruces. Elegimos una moneda al azar y la
lanzamos. Halla:
a) Probabilidad de obtener cara.
b) Si ha salido cara, probabilidad de que sea una moneda
defectuosa.
c) Si ha salido cruz, probabilidad de que sea la moneda
normal.
97. Cierta enfermedad la sufren, en una determinada población,
el 4% de sus habitantes. Un análisis da positivo en el 95% de
los enfermos y en el 3% de los sanos. Analizamos una persona
al azar y queremos saber la probabilidad de:
a) Que la persona esté sana y el análisis dé positivo.
b) Si el análisis da positivo, que la persona esté sana.
c) Si el análisis da negativo, que la persona esté enferma.
98. Una caja contiene dos bolas blancas, dos negras y dos
rojas. Extraemos 3 bolas y queremos saber la probabilidad de:
a) La tercera bola es blanca si las dos primeras han sido
negras.
b) La segunda es blanca, si la primera y la tercera son
negras.
99. Un coche posee alarma antirrobo. La probabilidad de que
determinado día se produzca un robo es 0,2. La probabilidad de
que la alarma funcione cuando hay robo es 0,9 y si no hay robo
es de 0,05. Calcula la probabilidad de que:
a) No hay robo cuando ha funcionado la alarma.
b) Hay robo sin que haya funcionado la alarma.
100. En una Universidad en la que sólo hay estudiantes de
Arquitectura, de Ciencias y de Letras, terminan la carrera el
5% en Arquitectura, el 10% en Ciencias y el 20% en Letras. Se
sabe que el 20% de todos los alumnos estudian Arquitectura y
el 30% Ciencias. Elegimos un alumno al azar y queremos saber
la probabilidad:
a) De que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera.
b) Si ha terminado la carrera, de que sea de Arquitectura.
101. Se dispone de dos cañones con probabilidades 0,1 y 0,3 de
hacer blanco respectivamente. Hacemos un disparo con cada
cañón. Halla:
a) Probabilidad de fallar los dos.
b) Probabilidad de acertar uno de ellos.
c) Si se ha hecho un solo blanco, probabilidad de que haya
acertado el primero.
- 273 -
Ejercicios
102. Se extrae una carta de la baraja francesa de 52 cartas y
nos dicen que es roja. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una figura.
b) Un corazón.
Di si estos sucesos son independientes o no, del suceso “Ser
roja”.
103. Se lanzan dos dados y nos dicen que se ha obtenido suma
par.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea superior a 7?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos de los dos dados
coincidan?
104. El 60% de los españoles y el 70% de las españolas viven
75 años o más. Si un hombre y una mujer se casan a los 25
años, ¿cuál es la probabilidad de que, divorciados o no,
celebren sus bodas de oro?
105. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas
blancas marcadas, 125 negras sin marcar y 175 negras marcadas.
Se extrae al azar una bola y se pide:
a) Probabilidad de que sea blanca.
b) Si está marcada, probabilidad de que sea blanca.
Soluciones
TEMA 14:
1.
a) Dos, tres o cuatro caras.
c) Cero, una o cuatro caras.
2.
3.
b) Tres caras.
d) Cero o una caras.
4.
1
3
p(a)= , p(b)=
a)Sí
b)Sí
c)No
a)
2
3
1
3
b)
1
5
c)
1
4
d)
6
11
5.
p(1)=
1
,
21
p(2)=
2
,
21
p(3)=
3
,
21
p(4)=
4
,
21
p(5)=
5
,
21
p(6)=
6
21
6.
7.
8.
a)4/15 b)11/15 c)1/3 a)2/35 b)11/21 c)4/21
a)3/8 b)1/2 c)3/4
9.
10.
11.
a)1/6 b)1/6
a)3/11 b)5/11 c)2/11
a)1/12 b)1/4 c)3/4
c)5/12
3/22
12.
13.
a)11/188
b)9/47
c)3/47
a)3/10
b)1/10
c)1/5
d)13/20
14.
15.
16.
a)0,6 b)0,54 c)0,38
a)2/5 b)3/5
a)2/7 b)1/7 c)5/7
d)0,62
c)1/5
d)4/7
17.
18.
19.
a)16/49 b)9/49 c)33/49
a)1/8 b)1/4
a)0,62 b)0,2 c)0,22
d)24/49
c)3/8
20.
21.
a)5/6 b)1/6 c)1/6 d)2/3
a)5/8 b)1/2 c)7/8 d)1/4
- 274 -
Soluciones
22.
a)33/100
b)1/3
a)0,9
23.
b)0,1
25.
24.
c)0,4
1/7
26.
a)p(0)=p(c)=p(e)=p(b)=1/4 b)p(1)=1/8, p(2)=3/8,
a)1/4 b)1/4
p(3)=p(4)=1/4
c)13/28
c)p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=1/4 d)p(1)=1/8, p(2)=3/8,
d)1/7 e)1/14
p(3)=p(4)=1/4 e)p(1)=p(3)=1/6, p(2)=p(4)=1/3
27.
a) Por la definición.
b) Sí, por ejemplo, al lanzar un dado “salir par” y “salir 5”
28.
29.
0,00 a)25 verdes, 5 negras, 20 blancas b)20 blancas, 20 negras, 10
1
verdes
30.
31.
32.
a)1/4 b)1/4 c)1/16 d)7/16 e)3/4 f)3/16
5/12
5/33
g)9/16
33.
34.
35.
36. 37.
38.
a)0,18
a)128
b)25
c)81
0,20 VR6,5 VR 610
40·39·38=59280
b)0,82
d)1
39.
40.
41.
42.
10·9·8=720
5·4·3=60
3·4·3=36
a)210 b)5040 c)181440
43.
44.
a)n=4
b)n=4
a)x=7
b)x=22
c)x=10
c)n=6, k=3
d)n=8, k=5
d)x=4
e)x=15
f)x=2
45.
46.
47.
48.
10!=362880
a)
3!=6
a) P5=120, P9=362880, P6=720
0
P5=120
b) Basta poner los factoriales.
b) P4=24
49.
50.
Por orden: 6, 24, 120, 720, 3628800, 721, 8, 120, 6
a) x=11 b) x=5
51.
52.
53.
54.
55.
 30
12
 35
a)220 b)126
  =220
  =30045015
  =324632
6·4·3=72
c)715
3
20
5
 
 
 
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
P3 =6
43 =64
P4 =24
43 =64
4·3·2=24
10
100
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
6
12
9
6
9
6
10
70.
71.
72.
73.
74.
 8  5 
6 
5
a)120=P5
b)12=2·P3
560=  · 
15=  
10=  
72=3·4!
c)36=3·2·P
3
2
4
3
  
 
 3
75.
76.
77.
78.
 30
 20
a)x=9 b)x=4 c)y=2
625=     
336=8·7·6
6561=38
d)x=8 e)x=9 f)x=7
2
2
 
 
79.
80.
81.
a)x=5,
x=4
a)1999000
b)12502500
b)x=14
a)4
c)499999500000
c)x=20
d)x=17 b)32
e)x=11
82.
- 275 -
Soluciones
a) a3+3a2b+3ab2+b3
b) a3-3a2b+3ab2-b3
2
3
4
c) 256-1024x+1792x -1792x +1120x -448x5+112x6-16x7+x8
d) x5+15x4+90x3+270x2+405x+243
e)
(1/32)+(5/8)x+5x2+20x3+40x4+32x5
f) x4+4x2+6+
4
1
 4
x2
x
g)
64x6+192x5+240x4+160x3+60x2+12x+1
h) (1/81)-(4/9)x+6x2-36x3+81x4
83.
84.
85.
-4375 a4
252x5y4
20
86.
87.
-189/4
 20 16 x12
 x
212
 12
88.


3
8 1 
11
11 11·10·9·8
  x x  4  =   =
=11·10·3=330
4
4·3·2
x   4 
 
89.
90.
91.
a)1/3
b)1/4
c)1/4 a)5/9
b)1/3 P(Blanca)=2/5,
d)1/3
c)Si
(B3/Blanca)=1/2
92.
93.
94.
a)1/2 b)3/50 c)9/50 a)0,5 b)49/480=0,102083
a)3/4 b)1/2 c)2/3
95.
96.
a)5/8 b)1/4 c)3/8 d)1/3
a)1/2
b)2/3
c)1/3
97.
98.
a)0,0288 b)72/167=0,4311 c)5/2333=0,002143
a)1/2 b)1/2
99.
100.
101.
102.
a)2/11=0,1818 a)0,01
a)0,63 b)0,34
a)4/13 independiente
b)1/39=0,025
b)1/14=0,0714 c)7/34=0,2058
b)1/2 dependiente
103.
104.
105.
a)1/2
b)1/3
0,42
a)1/4 b)3/10
- 276 -