CAPÍTULO 3. MARCO TEÓRICO

3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
CAPÍTULO 3. MARCO TEÓRICO
La formulación de una metodología que permita el diseño óptimo de la red de monitoreo de
parámetros de calidad de agua en un río, centrándose en la localización de las estaciones de
muestreo, requiere el desarrollo de un marco teórico en el cual la propuesta metodológica
encuentre el sustento adecuado de cada una de sus componentes, en este capítulo, se presentan los
cuatro elementos sobre los cuales se fundamenta la metodología de localización de puntos de
muestreo propuesta, siendo estos:
ƒ
Una herramienta de optimización, que en este caso es un algoritmo genético simple.
ƒ
Una metodología de análisis multiobjetivo, escogiéndose el método de los promedios
ponderados.
ƒ
Algunos elementos de análisis espacial de información usando campos continuos, mediante
sistemas de información geográfica.
ƒ
Un modelo unidimensional de calidad del agua en estado permanente (modelo QUAL2K )
Los pormenores de cada uno de los elementos antes expuestos, se presentan a continuación.
3.1
ALGORITMOS GENÉTICOS
De forma general, un algoritmo genético es un sistema de búsqueda a través de un espacio de
decisión, usando un proceso análogo al de la teoría de la “selección natural” de Darwin, que
busca la supervivencia, en mayor número, de los individuos más aptos. Las variables de decisión
asociadas con el proceso de optimización se codifican como 0 ó 1, en cadenas llamadas
cromosomas. El sistema de optimización se basa en la aplicación de una serie de operadores
genéticos (selección, cruce y mutación) que modelan el mecanismo de búsqueda (Reed et al,
2000). Dado que los algoritmos genéticos emplean una representación binaria y unos operadores
de variación independientes del problema, se consideran un método muy robusto, puesto que
pueden aplicarse a gran variedad de casos sin tener que adaptarse a cada problema en concreto
(Sánchez, 2002).
3-1
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
3.1.1 Conceptos básicos
3.1.1.1 Definición
Sea AG un algoritmo genético, éste está definido por un conjunto de ocho elementos (octupla,
ecuación 3.1) (Reyes, 2002) como:
AG = (I , φ , λ , μ , Ω,ψ , s, i )
(3.1)
donde:
I es el espacio de individuos.
φ : I → ℜ denota una función de aptitud que asigna valores reales a los individuos.
λ y μ son enteros positivos; λ ≠ μ está permitido.
Ω es un conjunto de funciones aleatorias ω : I μ → I λ , llamadas “operadores genéticos”, que
obtienen
λ individuos a partir de μ .
Cada elemento ω ∈ Ω está controlado por algún
parámetro φ ∈ ℜ .
s : I λ → I μ denota el operador de selección que obtiene μ individuos a partir de λ .
La función de transición ψ : I μ → I μ describe el proceso de transformación completo de una
población P mediante la aplicación de los operadores genéticos y la selección, por ejemplo, para
n fijo:
ψ (P ) = s (ω1 (...(ω n (P ))))
(3.2)
i : I μ → { falso, cierto} es un criterio de terminación para el algoritmo genético.
Generalmente la función de aptitud φ corresponde a la función objetivo del problema en
cuestión. Por otra parte, mientras los operadores genéticos son siempre probabilísticos, la
selección puede ser probabilística o completamente determinística. El criterio de terminación
puede variar desde algo arbitrariamente complejo, hasta algo tan simple como complementar un
cierto número preestablecido de generaciones.
3-2
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
3.1.1.2 Fundamentos biológicos
Todo ser vivo está conformado por ADN (Ácido Desoxirribunocléico). Dentro las células existen
cadenas de ADN que son responsables de la transmisión genética de ciertas características desde
los padres hacia su descendencia, estas cadenas se denominan cromosomas. Un gen es una
sección de ADN que codifica una cierta función, y solo puede ocupar un lugar determinado
dentro del cromosoma. A los distintos valores que puede tomar un gen se les denomina alelos. El
conjunto de genes de un organismo determinado se conoce como genoma.
La reproducción consiste de forma general en la recombinación o cruce de los genes de uno
(asexual) o dos (sexual) padres, para dar lugar a genoma de un individuo nuevo. Durante este
proceso, eventualmente, ocurren errores de copiado conocidos como mutaciones.
Un individuo es el elemento básico de una población. Así, una población es un conjunto de
individuos con la capacidad de relacionarse e interactuar entre sí. Cada individuo está
determinado por su composición genética, la cual recibe el nombre de genotipo, el cual da lugar
a los rasgos específicos u observables del individuo, los cuales reciben el nombre de fenotipo. Un
individuo se desarrolla dentro de cierto ambiente, y este último a su vez actúa sobre el individuo
alterando su capacidad de reproducirse, mejor conocida como aptitud. Con base en la aptitud de
cada individuo, el proceso de selección determinará cuáles son los individuos que se reproducirán
y avanzarán a la siguiente generación (Sánchez, 2002).
3.1.2 Estructura de un algoritmo genético
Aunque los detalles de implementación varían entre diferentes algoritmos genéticos simples,
todos comparten en general la estructura que se presenta en la Figura 3-1 (Hernández, 2004);
cada uno de los elementos que ahí se exponen se describen en los numerales siguientes.
3.1.2.1 Representación
En la solución de un problema mediante algoritmos genéticos, un cromosoma se representa con
una estructura de datos que codifica los parámetros de una posible solución de dicho problema.
Cada cromosoma corresponde a un individuo de la población. Los cromosomas usualmente se
representan por cadenas binarias conformadas por genes, y un gen es una subsección de un
3-3
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
cromosoma que codifica el valor de un solo parámetro. De esta manera, el genotipo corresponde
a la codificación (la cual puede ser o no binaria) del cromosoma, y el fenotipo es la
decodificación de este.
Los alelos son los posibles valores que puede tomar cada posición genética. La aptitud de un
individuo es un valor que se le asigna y que denota la calidad de éste con respecto a los demás,
esta corresponde en la solución de un problema, a la función objetivo.
INICIO
POBLACIÓN
INICIAL
Generación=0
Evaluación
Generación=Generación+1
Selección
Criterio
finalización?
Cruce
NO
Mutación
SI
FIN
Figura 3-1. Esquema general algoritmo genético simple (adaptado de Hernández, 2004)
Se llamará generación a la creación de una nueva población a partir de la existente, previo
cálculo de aptitudes (Sánchez, 2002).
3.1.2.2 Población inicial
La población P en un algoritmo genético está conformada por J individuos, donde el número
J (tamaño de la población) es un parámetro de entrada del algoritmo. Para obtener la población
inicial t se deben generar J individuos, los cuales se crean típicamente de manera aleatoria a
partir de funciones que generan números distribuidos uniformemente; estos generadores de
números aleatorios requieren de la entrada de un valor semilla, que determina la secuencia de los
3-4
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
números generados (Osyczka, 2002). Dado que estos números no son realmente aleatorios
(números seudoaleatorios), el papel del valor semilla en la calidad de la solución final ha sido
ampliamente discutido en la literatura especializada, encontrándose en estudios recientes (Ng y
Perera, 2003) que dicho valor semilla no juega un papel primordial en el buen desempeño de los
algoritmos genéticos.
3.1.2.3 Función de adecuación o de aptitud, y manejo de restricciones
La escogencia de una adecuada función de aptitud es vital en el desempeño del algoritmo
genético durante el proceso de optimización; ya que es la única conexión entre el problema a
solucionar y el método de optimización seleccionado para resolverlo. La función de aptitud o
función objetivo del problema, se emplea en cada generación t para determinar que tan “apto”
es un individuo para proseguir a la próxima generación t + 1 (supervivencia de los individuos
más fuertes o aptos).
En general, los problemas de optimización tienen restricciones impuestas por el entorno físico y
económico en que se desarrollan, estas restricciones describen la dependencia entre las variables
de decisión y los parámetros estudiados (Osyczka, 2002); por lo deben incluirse como parte
fundamental del proceso de optimización, puesto que acotan el espacio de soluciones factibles a
explorar. Así mismo, la dinámica del método de optimización puede ocasionar soluciones o
individuos no factibles, que violen total o parcialmente las restricciones del problema; para
afrontar este problema, se han introducido en la evaluación de la función de aptitud una serie de
propuestas que permiten manejar dichas restricciones al interior de los problemas de
optimización con algoritmos genéticos. Estas propuestas se pueden clasificar dentro de los
siguientes grupos (Pulgarín A., 2001):
Métodos basados en funciones de penalización.
Métodos basados en la memoria del comportamiento.
Métodos basados en algoritmos de reparación.
Técnicas basadas en optimización multiobjetivo.
3-5
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
Dentro del grupo anterior, las funciones de penalización son las más empleadas, estas a su vez se
pueden dividir en dos tipos:
Penalización estática: donde la penalización es función del grado de violación de las
restricciones.
Penalización dinámica: donde la penalización es función tanto del grado de violación de las
restricciones, así como del número de la generación.
La forma de la penalización no es trivial y depende del problema, pero autores como Osyczka
(2002) reportan que la penalización constante es menos efectiva que la penalización dinámica o
variable. Diversos autores han centrado sus estudios en generar propuestas generales para aplicar
la penalización variable, las cuales se basan en las violaciones de la cadena no factible respecto a
cada restricción, dichas propuestas se tratan con mayor detalle en Smith et al (2000) y Pulgarín
(2001) y Osyczka (2002).
3.1.2.4 Operadores de variación
El objetivo de los operadores de variación es el de guiar a la población de una forma
probabilística hacia la solución óptima del problema, de forma que las soluciones de la población
en la generación última se encuentren, en su conjunto, más “cerca” de la solución óptima que las
soluciones de la generación anterior. En un esquema básico de funcionamiento, el proceso de
optimización se guía por los siguientes tres operadores de variación (u operadores genéticos)
como reglas de transición probabilísticas.
ƒ
Selección:
El papel de la selección dentro del proceso de optimización es el de escoger los mejores
individuos de la población actual para continuar en el proceso de optimización. Las técnicas de
selección empleadas en algoritmos genéticos son de tipo probabilístico (de acuerdo con la aptitud
de cada individuo, como la rueda de ruleta, el sobrante estocástico y el método universal
3-6
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
estocástico), de tipo torneo (comparaciones directas de individuos, como la selección por torneo),
y de tipo estado uniforme (se usa en los algoritmos genéticos en los cuales solo unos cuantos
individuos se reemplazan en cada generación). A continuación se hará mención especial de la
selección tipo torneo, ya que fue el método escogido en las aplicaciones realizadas en esta tesis
y, además, se reporta como el método más eficiente y menos propenso a convergencias
prematuras (Goldberg y Deb, 1991).
La selección tipo torneo consiste en escoger los mejores individuos mediante una competencia
entre ellos (dos o más individuos), competencia de la cual se escoge el mejor (según la función
objetivo evaluada). Para ello la población se divide en subgrupos, y el mejor individuo de cada
subgrupo se escoge para la próxima generación. Los subgrupos pueden contener 2, 3 o más
individuos siendo el método más popular el llamado torneo binario, en el cual dos individuos
escogidos aleatoriamente se comparan entre si y el mejor pasa a la siguiente generación.
En la selección por torneo binario hay dos posibles esquemas para escoger las soluciones que
pasarán desde la generación t a la generación t + 1 (Osyczka, 2002).
Esquema 1:
Paso 1. Seleccionar j = 1 , donde j es el número de un cromosoma.
Paso 2. Generar dos números enteros aleatorios a y b tal que 1 ≤ a ≤ J y 1 ≤ b ≤ J , donde J es
el tamaño de la población.
Paso 3. Comparar los cromosomas a y b de la generación t . Si el cromosoma a es mejor que
el cromosoma b , colocar el cromosoma a en el lugar del j -ésimo cromosoma en la generación
t + 1 . En caso contrario se colocará el cromosoma b .
Paso 4. Hacer j = j + 1 y si j ≤ J volver al paso 2
Esquema 2:
Paso 1. Seleccionar j = 1 , donde j es el número de un cromosoma.
Paso 2. Generar un número entero aleatorio a tal que 1 ≤ a ≤ J .
3-7
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
Paso 3. Comparar el cromosoma j con el cromosoma a desde la generación t .
Si el
cromosoma j es mejor que el cromosoma a reemplazar el cromosoma j en el j -ésimo
cromosoma en la generación t + 1 ; en caso contrario colocar el cromosoma a en dicho lugar.
Paso 4. Hacer j = j + 1 y si j ≤ J volver al paso 2.
Contrario al primer esquema, el segundo asegura que el mejor individuo de la generación
considerada será copiado por lo menos una vez en la generación siguiente, atribuyendo con esto
un carácter elitista al segundo esquema.
La selección por torneo se considera el método más efectivo cuando se resuelven problemas de
programación no lineal restringidos, además, presenta una menor sensibilidad a la escogencia de
la función de penalización, así, en la mayoría de los casos, el uso del método de la penalización
constante junto con un valor grande del coeficiente de penalización proporciona buenos
resultados. Por las razones antes expuestas, se eligió la selección por torneo empleando el
esquema 2; como el método de selección a implementarse en esta tesis.
ƒ
Cruce
El cruce es el principal operador en los algoritmos genéticos, y se aplica sobre la población actual
t ya seleccionada, este forma un nuevo individuo combinando los cromosomas de dos padres. El
parámetro que controla este operador de variación es la probabilidad de cruce ( Pcruce ), este es uno
de los parámetros de entrada que usa un algoritmo genético y proporciona el número esperado de
individuos (Pcruce × J ) a los cuales se les aplicaría el operador de cruce en cada generación. El
esquema de selección de los individuos sobre los cuales se aplicará el cruce es:
Paso 1. Generar un número real aleatorio α ∈ [0,1]
Paso 2. Si α < Pcruce entonces seleccionar dicho individuo para el cruce.
Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 para los J individuos de la generación t .
Existen varias metodologías para realizar el cruce entre los individuos seleccionados, el cruce
uniforme (los padres aportan cada uno de sus alelos con una probabilidad dada para dar lugar a
3-8
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
una nueva cadena), y el cruce en n puntos (los padres intercambian parte de su cadena
cromosómica para generar una nueva alternándose según los puntos de cruce). El esquema de
cruce en un único punto ( n = 1 ) el más empleado (Sastry, Goldberg y Kendall, 2005).
ƒ
Mutación
El operador mutación produce cambios aleatorios espontáneos en varios cromosomas,
introduciendo alguna variabilidad extra en la población con el principal objetivo de escapar a
óptimos locales. El parámetro que controla dichos cambios es la probabilidad de mutación
(Pmutación ) ,
este es un parámetro de entrada del algoritmo genético que proporciona el número
esperado de genes a ser mutados.
Entre los esquemas de mutación existentes cabe mencionar la mutación binaria no uniforme
(llamada también mutación dinámica) y la mutación uniforme (o mutación aleatoria simple),
siendo esta última el método más empleado y se describe de la siguiente manera (Sastry et al,
2005):
Para cada individuo j de la población en la generación t
Paso 1. Generar un número real aleatorio α ∈ [0,1]
Paso 2. Si α < Pmutación , entonces mutar dicho gen.
3.1.2.5 Criterios de finalización
Como lo muestra la Figura 3-1; el proceso de optimización llevado a cabo por un algoritmo
genético es iterativo; entre los criterios reportados en la literatura para terminar el proceso se
tienen:
– Número máximo de generaciones (Osyczka, 2002)
– Dominio de una solución en la nueva población, se determinada la finalización del proceso
iterativo cuando un porcentaje de los individuos que conforman la nueva población tienen
los mismos genes de la solución dominante (Reed P et. al, 2000).
3-9
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
3.1.2.6 Parámetros de entrada
Los parámetros de entrada más significativos que el algoritmo genético utiliza son los siguientes:
– Tamaño de la población ( J )
– Número de generaciones (N generaciones )
– Probabilidad de cruce (Pcruce )
– Probabilidad de mutación (Pmutación )
La correcta combinación de los parámetros anteriores guiará al algoritmo genético en la
consecución de soluciones de alta calidad cercanas al óptimo global buscado. Para obtener los
valores de los parámetros más adecuados, se reportan básicamente dos procedimientos:
ƒ
Mediante experimentación.
Consta de un análisis de sensibilidad del desempeño de la función objetivo ante la variación del
grupo de parámetros antes expuesto; basándose en resultados obtenidos empíricamente como los
encontrados por De Jong en 1975 y Schaffer en 1989, y reportados por Lobo (2000). De Jong
encontró un funcionamiento aceptable del algoritmo genético por él evaluado con una Pcruce de
0.6, un J entre 50-100, y una Pmutación del orden de 0.001. Schaffer por su lado encontró como
parámetros óptimos una Pcruce entre 0.75-0.95, un J entre 20-30, y una Pmutación entre 0.005-0.01.
Además, se deben tener en cuenta algunos criterios fundamentales como (Reyes, 2002):
– Tamaños de población grandes aseguran un buen rendimiento del algoritmo, ya que
convergen de una mejor manera debido a la mayor diversidad que se logra en la población.
– El número de generaciones está condicionado principalmente por el tiempo de cálculo
necesario para realizar el proceso de optimización, especialmente si este se emplea como
criterio principal de finalización.
– La probabilidad de cruce es el parámetro que más presión ejerce sobre la optimización, ya
que es la encargada de guiar la exploración del campo de soluciones factibles mediante
pequeños movimientos en dirección de las soluciones más promisorias. Porcentajes
3-10
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
demasiado elevados ocasionan fluctuaciones en la optimización y convergencia prematura a
una solución no óptima o la no convergencia.
– La probabilidad de mutación es tal vez el parámetro que menor impacto reviste en el
funcionamiento de los algoritmos genéticos, su valor comparado con la probabilidad de
cruce es bastante bajo pero de necesaria inclusión, ya que ocasiona que el algoritmo de
saltos hacia regiones tal ves no exploradas, escapando con ello a posibles óptimos locales.
ƒ
Relaciones teóricas
Dependiendo del caso; el procedimiento anterior puede ser demorado, convirtiendo el método en
poco atractivo para la solución de algunos problemas. Para obviar esta dificultad, diversos autores
han trabajado en los llamados algoritmos genéticos competentes; los cuales buscan mediante la
implementación de relaciones teóricas, acercar a los algoritmos genéticos de la teoría a la
práctica, disminuyendo las iteraciones necesarias para estimar la combinación más adecuada de
los operadores genéticos (Sastry, Goldberg y Kendall, 2005), tanto para algoritmos genéticos
multiobjetivo (Lobo, 2000), como para algoritmos genéticos simples (Reed et al., 2000).
La
teoría de los algoritmos genéticos competentes se basa en la conservación de los llamados
bloques constituyentes, los cuales se definen como fragmentos de información de los mejores
individuos de la población que deben tratar de conservarse para lograr un procedimiento de
optimización que converja a un punto cercano al óptimo global del problema (Lobo, 2000). En
esta tesis se implementó el esquema de diseño de un algoritmo genético competente simple
desarrollado por Reed et al (2000), el cual fue empleado de manera satisfactoria en el diseño de
redes de monitoreo en aguas subterráneas. El método parte de la evaluación de la siguiente
expresión:
(
J ≥ −2 K −1 ln(β ) σ bb π (m − 1) / d
)
(3.3)
donde K es el orden de los bloques constituyentes el cual representa el número mínimo de
dígitos binarios que tienen significado físico en la solución del problema; dado que en este caso
cada dígito binario representa una posición factible de muestreo, y que el mínimo número de
estaciones posibles para constituir una red de muestreo es 1, el orden de los bloques
constituyentes puede considerarse como K = 1 . El parámetro J representa el tamaño de la
población inicial, β representa la probabilidad de falla de no encontrar el óptimo, que por lo
3-11
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
general se toma menor o igual a 5%; σ bb representa la desviación estándar del comportamiento
de los bloques constituyentes medido en términos de la función objetivo; d es la diferencia entre
el mejor y el segundo mejor bloque de trabajo; y m representa el máximo número de bloques
constituyentes en un cromosoma. Para aplicaciones prácticas el término σ bb π (m − 1) de la
ecuación (3.3) puede aproximarse de la siguiente forma.
σ bb π (m −1) ≈ σ ajuste
(3.4)
donde el valor de σ ajuste se estima como la desviación estándar del valor de la función objetivo
de un grupo de individuos de la población inicial (1000 individuos generalmente). El parámetro
d se evalúa como el menor valor de la diferencia de funciones objetivos entre individuos que
compitan en el algoritmo genético. Con estas simplificaciones se completan los elementos
necesarios para resolver la expresión (3.3) y estimar de esa forma un tamaño adecuado de la
población inicial.
El número de generaciones necesaria para lograr una convergencia hacia un óptimo cercano al
global se puede aproximar mediante la expresión (3.5).
N generaciones ≈ 2 × l
(3.5)
donde N generaciones es el número de generaciones definidos por el usuario (criterio de parada), y l
es número de estaciones factibles de muestreo. La ecuación (3.5) fue diseñada para evitar el
efecto “dominó” en un proceso de optimización, el cual sucede cuando diferentes bloques
constituyentes convergen secuencialmente y no al mismo tiempo, lo que ocasiona la caída en
óptimos locales.
Para la selección por torneo, la probabilidad de cruce se estima a partir de la expresión (3.6):
Pcruce ≤
(s − 1)
s
(3.6)
3-12
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
donde el parámetro s representa el número total de individuos que compiten en la selección por
torneo, para torneo binario s = 2, y por lo tanto Pcruce ≤ 0.5 (50%).
La probabilidad de mutación se estima mediante la ecuación (3.7), donde J es el tamaño de la
población inicial:
Pmutación ≈
1
J
(3.7)
A manera de chequeo de los parámetros antes estimados, se realiza un control de la llamada
“deriva genética”, la cual se refiere a la fluctuación de la solución sin encontrar convergencia al
verdadero óptimo debida a una combinación poco adecuada de los parámetros del algoritmo
genético, en especial la probabilidad de cruce y de mutación. En la expresión (3.8) se calcula el
parámetro de control como:
N deriva ≈ 1.4 × J
(3.8)
donde N deriva representa el número de generaciones a la cual se presentaría deriva genética, para
un tamaño de población inicial J determinado. Se dice que la deriva genética no afecta el
proceso de optimización cuando se cumple la condición expuesta en la ecuación (3.9).
N generaciones < N deriva
(3.9)
Las expresiones (3.8) y (3.9) se emplean para refinar la estimación del tamaño de la población
inicial obtenido de la ecuación (3.3).
3.2
MÉTODO DE LOS PROMEDIOS PONDERADOS
El método de los promedios ponderados es uno de los métodos discretos de análisis multiobjetivo
más simple y difundido (Smith, Espinal y Aristizabal, 2004). Consiste básicamente en considerar
3-13
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
funciones de valor indiferente para todos los objetivos y una regla de agregación tipo sumatoria.
Dado que los criterios a emplear pueden tener escalas y unidades diferentes, el primer paso es
llevar los datos involucrados a una escala común, para ello se normalizan cada uno de los
criterios u objetivos, de manera que todos queden expresados en términos del porcentaje del
logro, asignándose así el 100% del logro al mayor valor del criterio u objetivo, y 0% al menor
valor (la escala transformada queda representada por valores entre 0 y 1), mediante el uso de
expresiones como la (3.10):
'
kz =
k z − Min z
Max z − Min z
(3.10)
'
Donde k z es el valor transformado del parámetro z , k z el valor a escalar del parámetro z ,
Min z el valor mínimo del parámetro z y Max z el valor máximo del parámetro z .
Las preferencias del decisor se asignan mediante factores de ponderación a cada criterio, luego la
función de valor o de criterio de decisión puede expresarse como:
⎡ NP w z
⎤
k ' g,z ⎥
U g = ⎢∑
⎣ z =1 wtotal
⎦
(3.11)
Donde wz es el peso de importancia del parámetro z , wtotal la sumatoria de los wk , y NP el
número de parámetros o criterios considerados.
La determinación de los pesos de importancia (o factores de ponderación) significan de manera
general, que si wz1 es el peso asignado por el decisor al objetivo z1 , y wz 2 es el peso asignado
por el decisor al objetivo z 2 , podría decirse que z1 es wz1
wz 2
veces más importante que z 2
(Smith et al, 2000).
Por lo general, los parámetros empleados dentro de un proceso de decisión provienen del
desempeño de distintas disciplinas, por lo que seleccionar los valores más adecuados de los pesos
3-14
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
de importancia de cada parámetro no es una labor trivial. Diversas metodologías han sido
desarrolladas para tal fin, algunas con un planteamiento simple como el método de clasificación
(solicita al decisor ordenar, de acuerdo con sus preferencias, los diferentes criterios), o el método
de valoración (solicita al decisor asignar valores numéricos a los pesos de importancia en una
escala definida ) presentados por Smith et al (2000), y otros métodos más elaborados que
emplean un análisis mediante programación por metas para extraer los pesos de preferencia a
partir de un grupo de cuestionarios diligenciados por un grupo de expertos (Ning y Chang, 2002).
3.3
ANÁLISIS ESPACIAL DE INFORMACIÓN USANDO CAMPOS CONTINUOS
Un campo continuo es una representación conceptual simple de un espacio geográfico en
términos de coordenadas cartesianas continuas en dos o tres dimensiones (o cuatro si se incluye el
tiempo), el cual tiene asociado un atributo que se asume varía usualmente de forma suave y
continua en el espacio.
En sistemas de información geográfica hay principalmente dos caminos para la representación de
campos continuos; el primero es el TIN (Triangular Irregular Network); y el segundo y más
común la Matriz de Altitud o el modelo de elevación digital del terreno en forma de grilla
(MDT), para este último camino el atributo asociado a cada celda puede ser además de la altura
media, algún otro atributo que varíe continuamente como los niveles de contaminante en el suelo,
la presión atmosférica, la precipitación anual, la densidad de población, entre otros (Burrough y
McDonnell, 1998).
A partir del modelo de elevación digital del terreno representado en forma de malla (con un
tamaño de celda uniforme en el dominio), es posible obtener información de gran utilidad en
campos como la hidrología, la geología y la geografía; mediante diversas operaciones básicas
como el álgebra de mapas, operaciones sobre puntos y operaciones espaciales (interpolación,
filtros espaciales, derivación de la red de drenaje, delineación de cuencas, entre otras); a
continuación se mencionan los elementos derivados del análisis espacial que se utilizaron en el
desarrollo de esta tesis, teniendo en cuenta que los mismos se emplearon en la evaluación de la
potencialidad a la contaminación de un punto sobre la red de drenaje por contaminantes
transportados por la escorrentía superficial. Los detalles numéricos de cómo se hallan parámetros
3-15
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
como la curvatura en planta y en perfil, la pendiente del terreno, la longitud de la trayectoria del
flujo y la acumulación del flujo, no se tratan en este texto, pues se da mayor importancia a sus
potenciales aplicaciones dentro del entorno de la tesis más que a los diversos métodos de cálculo,
estos detalles se pueden consultar en Burrough y McDonnell (1998) y en Meijerrink et al (1994).
3.3.1 Derivada de primer orden de una superficie continua
Bajo el supuesto que una superficie representada en forma de malla es matemáticamente
continua, es posible encontrar las derivadas matemáticas en cualquier localización de la misma.
Las derivadas de primer orden son la pendiente y el aspecto, y las derivadas de segundo orden
son la curvatura en perfil y la curvatura en planta.
3.3.1.1 Pendiente del terreno
La pendiente del terreno se define sobre un plano tangente a la superficie modelada con el MED
(Modelo de Elevación Digital) en un punto dado, y compromete dos componentes; el
GRADIENTE (tasa máxima de cambio de la elevación, calculada como la primera derivada de la
elevación con respecto a la distancia en cualquier dirección), y el ASPECTO (la dirección de la
máxima tasa de cambio); comúnmente se usa el término “pendiente” en lugar de “gradiente”
medio (Burrough y McDonnell, 1998), por lo que en adelante se conservará la notación antes
mencionada.
Este parámetro es de gran importancia en la estimación del potencial de
degradación del suelo, pues tiene un efecto directo sobre las tasas de flujo de sedimento y agua a
nivel superficial, flujo de agua a nivel subsuperficial y tipos de vegetación (Strobl et al, 2006);
indica en general, que en pendientes pronunciadas se incrementan el potencial de erosión y la
escorrentía superficial, y en bajas pendientes ocasionan el efecto contrario. La pendiente se mide
usualmente en porcentaje, grados, o radianes.
3.3.2 Derivadas de segundo orden de una superficie continua
3.3.2.1 Curvatura en perfil
La curvatura en perfil, para un punto sobre una superficie topográfica, es la segunda derivada de
la elevación con respecto a la distancia a lo largo de la línea de máxima pendiente. Ella muestra
3-16
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
la curvatura perpendicular a la dirección de la pendiente y visualmente describe la forma de la
pendiente en dirección hacia abajo (Burrough y McDonnell, 1998). Este atributo topográfico
posee una fuerte influencia sobre la escorrentía superficial, la erosión del suelo, y los procesos de
depositación de material arrastrado por la escorrentía, pues se relaciona con la aceleración y
desaceleración del flujo de agua superficial, así como en la presencia y tipo de vegetación en un
punto dado (Strobl et al, 2006); la curvatura es medida en grados por unidad de distancia (por
ejemplo grados por 100 metros).
3.3.2.2 Curvatura en planta
La curvatura en planta se define como la segunda derivada de la elevación con respecto a la
distancia perpendicular medida a la línea de máxima pendiente y describe la forma del relieve en
dicha dirección. Esta variable es la curvatura a lo largo del contorno y describe cómo son los
cambios en el aspecto (tasa de cambio del aspecto). La curvatura en planta es una medida de la
convergencia o divergencia topográfica y tiene gran influencia sobre la concentración del agua a
través de la superficie del terreno (Strobl et al, 2006).
3.3.3 Índices derivados de la topografía
Diversos parámetros se derivan matemáticamente a partir de atributos topográficos, con el fin de
estudiar algunos procesos del paisaje que dependen normalmente de la configuración del mismo.
Estos índices proporcionan un medio eficaz para medir o estimar la variabilidad espacial de
ciertas propiedades del suelo, que en su mayoría son de difícil o impráctica medición en grandes
extensiones de terreno (Strobl et al, 2006).
3.3.3.1 Índice topográfico de humedad
Este índice es una función de la pendiente y la intensidad del flujo (representada por el área
acumulada). Se relaciona con el tamaño y la distribución espacial de zonas de saturación para la
generación de escorrentía superficial (índice de retención de humedad), es un indicativo de la
predisposición de cada celda de la malla a generar escorrentía superficial (Strobl et al, 2006). Este
índice se define como:
3-17
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
⎛ A
ITH = ln⎜⎜ S
⎝ tan β
⎞
⎟⎟
⎠
(3.12)
donde ITH es el índice topográfico de humedad (adimensional); AS es el área contribuyente (m2)
(número de elementos o celdas aguas arriba multiplicado por el área de cada celda); y β es la
pendiente (grados) (Burrough y McDonnell, 1998).
3.3.3.2 Índice de potencia de la corriente
Este índice se calcula con base en la pendiente y la intensidad del flujo en cada celda del terreno
según la siguiente expresión:
ϖ = AS × tan β
(3.13)
donde ϖ es el índice de potencia de la corriente (menor que la unidad) y mide el poder erosivo
del flujo sobre el terreno. Este índice es proporcional a la potencia P̂ de la corriente expresada
comúnmente como:
Pˆ = ρgq tan β
(3.14)
donde ρ es la densidad del agua, g la aceleración debida a la gravedad, y q es el caudal del
flujo sobre el terreno por unidad de ancho (Burrough y McDonnell, 1998).
3.3.3.3 Índice de transporte de sedimentos
Este índice refleja especialmente el efecto de la topografía sobre la pérdida de suelo
ya que representa el proceso de erosión y depositación; y se escribe como
⎡ A ⎤
τ =⎢ S ⎥
⎣ 22.13 ⎦
0.6
⎡ senβ ⎤
×⎢
⎥
⎣ 0.0896 ⎦
1.3
(3.15)
3-18
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
donde τ es el índice de transporte de sedimento (adimensional); se asemeja a el factor longitud
pendiente (LS) de la Ecuación Universal de Pérdida de Suelo (USLE) pero es aplicable a
superficies tridimensionales (Burrough y McDonnell, 1998).
3.3.4 Otras variables y operadores de importancia
3.3.4.1 Operador acumulación del flujo
Este es un operador donde, dada una matriz de direcciones de drenaje y una matriz de pesos,
determina una matriz resultante donde cada elemento representa la suma de los pesos de todos los
elementos en la matriz que drenan a ese elemento, este operador es el fundamento en la
construcción de mapas como el de áreas acumuladas, u otros productos que requieran agregar
valores según el modelo de drenaje de la cuenca.
3.3.4.2 Longitud de la trayectoria del flujo
Se define como la distancia recorrida por una gota de lluvia desde el centro de una celda en una
cuenca rasterizada, hasta su punto de entrada en una corriente (Chisha, 2005). Una trayectoria
larga del flujo proporciona mayor oportunidad de retención y depositación de partículas y de
evaporación del agua superficial. Este es un parámetro importante cuando de fuentes no
puntuales de contaminación se trata, pues dependiendo del uso del suelo, las zonas mas próximas
a los cauces son las principales fuentes de contaminación no puntual (Strobl et al, 2006).
3.3.4.3 Uso del suelo y el número de curva (CN)
El uso del suelo en una cuenca juega un papel de primera mano en las características y magnitud
de las cargas contaminantes que potencialmente pueden llegar a una corriente mediante
escorrentía superficial. El impacto que puede ocasionar un uso específico del suelo depende tanto
de su localización espacial dentro de la cuenca, como de su pocisión relativa respecto a otros usos
del suelo, que puedan tener ciertos efectos de amortiguación ante la contaminación, como
praderas no cultivadas o bosques tupidos (Strobl et al, 2006). Así por ejemplo, uno de los
mayores efectos de la presencia de vegetación es la atenuación de sedimentos contaminados
desde fuentes no puntuales, los cuales son arrastrados por escorrentía superficial después de un
3-19
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
evento de lluvia, además, la vegetación puede actuar como un filtro que contribuye a la reducción
del momentum y del impacto del flujo sobre el terreno; disminuyendo ostensiblemente su poder
erosivo.
La escorrentía superficial es el medio de transporte que se ha tomado como el principal
mecanismo de acarreo del elemento contaminante desde su fuente hasta la red de drenaje, y como
se mencionó anteriormente, su efecto depende en gran medida del uso del suelo y por ende del
tipo de cobertura presente. Para cuantificar ese efecto sobre la escorrentía, se decidió emplear el
número de curva (CN) del método del SCS (U.S. Department of Agricultural Soil Conservation
Service).
En síntesis, el método del SCS calcula el exceso de profundidad de precipitación o escorrentía
directa ( Pe ) en función de la profundidad total de precipitación, de unas abstracciones iniciales o
pérdidas de lluvia antes del inicio de la escorrentía superficial ( I a ) (que incluye pérdidas por
intercepción, infiltración, y almacenamiento en depresiones), y una retención máxima posible del
terreno ( S ) que depende del tipo de suelo y del uso de la tierra. Con el estudio de gran cantidad
de cuencas experimentales, se encontró que I a es aproximadamente un 20% de S , con lo que el
método se transforma en un modelo de un solo parámetro (Chow et al, 1994). El SCS (ahora el
Natural Resources Conservartion Service o NRCS) condujo una investigación con el fin de
aproximar el valor de S para varios suelos y condiciones de cobertura; con el objeto de
presentar a los ingenieros tablas con un rango de coeficientes manejable, los valores originales de
S fueron reescalados mediante una relación inversa para que variaran entre 0 y 100 empleando el
llamado número de curva.
El número de curva ha sido tabulado como una función del tipo de suelo, del uso de la tierra y de
las condiciones hidrológicas de la cuenca de drenaje, así, para superficies impermeables y
superficies de agua CN = 100, y para superficies naturales se tienen valores en el rango de 30 a
98 (Haestad Methods, 2002). De forma general, valores altos de CN conllevan a valores
elevados de escorrentía superficial ante un evento de lluvia determinado, y viceversa para el caso
contrario.
3-20
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
3.4
MODELO UNIDIMENSIONAL DE SIMULACIÓN DE LA CALIDAD DEL AGUA
QUAL2K
El modelo QUAL2KW (desarrollado por el Departamento de Ecología del Estado de Washington
y el Departamento de ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de Tufts en el 2004) es una
versión mejorada del modelo QUAL2E desarrollado en 1987 por la EPA (U.S Environmental
Protection Agency), y simula, mediante un esquema de diferencias finitas, el transporte y destino
de contaminantes convencionales (no tóxicos) en ríos, representando la corriente como un canal
unidimensional con flujo permanente. El modelo introduce el impacto, tanto de fuentes puntuales
de contaminación como no puntuales, y simula cambios en el ciclo diario con un paso de tiempo
no menor a 1 hora. Entre los elementos que simula el modelo se tiene la temperatura, la demanda
bioquímica de oxígeno carbonacea, el oxígeno disuelto, y diversas formas de fósforo y nitrógeno;
como se muestra en la Tabla 3-1 (Pelletier et al, 2005).
El modelo QUAL2KW está implementado en Microsoft Excel, el código fuente es de acceso
libre programado en Visual Basic para Aplicaciones (VBA) y puede descargarse libremente vía
Internet, desde la dirección http://www.ecy.wa.gov/programs/eap/models/. El ambiente Excel se
usa como interfaz gráfica para el usuario, como modo de entrada de los datos, como medio para
correr el modelo, y como herramienta para la visualización de los resultados finales.
Tabla 3-1. Variables de estado en el QUAL2KW
VARIABLE
Temperatura
Conductividad
Sólidos suspendidos inorgánicos
UNIDAD
°C
μmhos
mg D/l
Oxígeno disuelto
mg O2/l
DBO carbonácea de reacción lenta
DBO carbonácea de reacción
rápida
Nitrógeno orgánico
Nitrógeno amoniacal
Fósforo orgánico
Fósforo inorgánico
Fitoplanton
Detritos
Patógenos
mg O2/l
Alcalinidad
mg O2/l
μg N/l
μg N/l
μg P/l
μg P/l
μg A/l
μg D/l
cfu/100 ml
mg CaCO3/l
3-21
3.
MARCO TEÓRICO
______________________________________________________________________________
Carbono inorgánico total
mole/l
Biomasa de las algas del fondo
g D/m2
Nitrógeno de las algas del fondo
mg N/m3
Fósforo de las algas del fondo
mg P/m4
3
* mg/l =g/m , D=peso seco. A=clorofila
La integración numérica de las ecuaciones del modelo se hace mediante un programa compilado
en Fortran 95, corrido por el programa de VBA en Excel. La versión QUAL2KW posee la
capacidad de calibrar automáticamente los parámetros cinéticos de las reacciones químicas
implementadas mediante un algoritmo genético denominado PIKAIA, el cual busca maximizar el
ajuste de los resultados del modelo a los datos observados en campo (Pelletier y Chapra, 2004b).
Las principales características del modelo son (Pelletier y Chapra, 2004a):
a)
Es un modelo unidimensional que supone que el canal es bien mezclado vertical y
lateralmente.
b) Considera las condiciones hidráulicas en estado permanente.
c) Emplea un esquema de diferencias finitas, la malla del modelo puede ser irregular, y las
entradas de masa y calor se simulan como cargas puntuales, no puntuales y abstracciones.
d) Los flujos de calor y temperatura se simulan como una función de la meteorología, a una
escala de tiempo diaria.
e) Todas las variables de calidad del agua se simulan a una escala temporal diaria.
f) Múltiples cargas y abstracciones pueden ser implementadas en cualquier tramo.
g) El modelo simula algas que se encuentren en el fondo del cauce.
h)
Incluye la simulación de la zona hiporréica (lugar bajo la columna de agua donde los
procesos biológicos y químicos ocurren sobre la superficie y en el interior de los sedimentos).
i) El modelo no simula sistemas ramificados, y no incluye un componente para determinar la
incertidumbre (como si lo hace el QUAL2E).
El detalle de las ecuaciones de los procesos incluidos en el modelo de computador se pueden
consultar en Pelletier G. y Chapra S. (2004 a, 2004 b).
3-22