Dpto. de Matemáticas
Anuncio
Luis Gonzalo Revelo Pabón 88 Dpto. de Matemáticas - Goretti El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto. -Galileo Galilei- HISTORIAS MATEMATICAS La palabra Geometría se deriva del antiguo griego y significa “medida de la Tierra”. Esto nos hace pensar que en sus comienzos era muy práctica. Parecen que fueron algunos egipcios los primeros en trabajar y desarrollar esta ciencia. Hay pruebas tales como las inscripciones y registros en donde se ve que los egipcios utilizaron principios de geometría para describir y delinear la superficie de un terreno. Hoy sabemos que no fueron los griegos los que empezaron con la geometría, pero llegaron a conocerla gracias a la relación que guardaban con el pueblo egipcio, quienes parece fueron los primeros en trabajar y desarrollar esta ciencia. Recordemos que los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria para el deslinde de terrenos y la medición de edificios, simplemente como operación de tipo práctico de recuento y medición. GEOMETRÍA PLANA: Es una rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría Euclidiana, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no Euclidiana en el siglo XIX. FIGURAS PLANAS: Son todas aquellas figuras que carecen de grosor o espesor están formadas por líneas rectas o curvas cerradas. Estas además se clasifican en cuatro grupos: Polígonos Regulares, Triángulos, Cuadriláteros, y Figuras Circulares. LÍNEAS POLIGONALES Definición: Una línea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados, donde cada segmento empieza donde acaba el segmento anterior. La Línea Polinomial puede ser: abiertas o cerradas. La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono. POLIGONO Definición: Un polígono es una figura plana y cerrada que resulta de unir tres o más segmentos rectilíneos. Los polígonos pueden ser: Convexo y Cóncavo. POLIGONO CONVEXO Definición: Un Polígono es Convexo cuando todos los ángulos interiores del polígono son menores de 180º. POLIGONO CONCAVO Definición: Un Polígono es Cóncavo C u a n d o uno o más de sus ángulos interiores d e l p o l í g o n o son mayores de 180º. Luis Gonzalo Revelo Pabón 89 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ejemplo: Indicar en cada uno de los siguientes polígonos sí son convexos o cóncavos: a) Convexo: todos sus ángulos interiores son menores de 180º. b) Cóncavo: el ángulo F es mayor de 180º. c) Cóncavo: los ángulos A y D son mayores de 180º. d) Convexo: todos sus ángulos interiores son menores de 180º. Los polígonos se pueden dividir en: Polígonos irregulares y Polígonos regulares. POLIGONO IRREGULAR Definición: Un polígono irregular es aquél cuyos lados no tienen la misma magnitud y cuyos ángulos NO tienen la misma magnitud. POLÍGONO REGULAR Definición: Un polígono regular es aquél cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS REGULARES SEGÚN SUS LADOS Según el número de lados que tenga un polígono éste recibe su nombre. El número de lados puede ser cualquier número natural mayor o igual a tres. En la siguiente tabla aparecen algunos de ellos. Numero de lados del polígono Tres lados Cuatro lados Cinco lados Seis lados Siete lados Ocho lados Nueve lados Diez lados Once lados Doce lados Trece lados Catorce lados Quince lados Dieciséis lados Diecisiete lados Dieciocho lados Diecinueve lados Veinte lados Nombre del polígono Triangulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono Tridecágono tetra decágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono Icoságono Luis Gonzalo Revelo Pabón 90 Dpto. de Matemáticas - Goretti Los polígonos superiores a 12 lados se los nombran indicando el número de lados que lo forman, por ejemplo: polígono de trece lados, polígono de catorce lados, etc., a excepción del polígono de veinte lados que se llama icoságono. 1. TRIÁNGULO: Es un polígono de tres lados, determinado por tres rectas que se cortan de dos en dos en tres puntos diferentes. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman a un ángulo interior del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices. Los elementos característicos de un triangulo son: lados, base, altura, vértices y ángulos. BASE DE UN TRIÁNGULO: La base de un triángulo es uno cualquiera de sus lados. ALTURA DE UN TRIÁNGULO (h): La altura de un triángulo es el segmento perpendicular bajada desde un vértice del triangulo a su lado-base opuesto o a la prolongación del lado- base. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos. CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS: Según sus lados se clasifican en: Equiláteros: Sí los tres lados son iguales. Isósceles: Cuando dos lados son iguales y un su lado es longitud diferente. Escalenos: Cuando los tres lados sus longitudes son diferente. CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS: Los triángulos se pueden clasificar según sus ángulos en: Acutángulo: Sí los tres ángulos son agudos. Rectángulo: Sí un ángulo es recto y dos ángulos son agudos. Obtusángulo: Sí un ángulo obtuso y dos agudos. Luis Gonzalo Revelo Pabón 91 Dpto. de Matemáticas - Goretti 2. CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. La notación de un cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices. PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en común. Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común. Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los ángulos iguales. La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°). Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°. Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio. CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides. 2.1 PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tienen los lados paralelos dos a dos, cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí. Los Paralelogramos se clasifican en: Cuadrados, Rectángulos, Rombos y Romboides -Cuadrado: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Sus diagonales son iguales y perpendiculares. -Rectángulo: Tiene los lados iguales d e dos en dos y sus cuatro ángulos son rectos. -Rombo: Tiene los cuatro lados iguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos. Sus diagonales son desiguales y perpendiculares. -Romboide: Tiene los lados vecinos o contiguos desiguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos. Sus diagonales son desiguales y oblicuas. 2.2 TRAPECIO: Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos lados no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, s e l l a m a altura. El trapecio puede ser: Trapecio Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos Trapecio Escaleno: No tiene ningún lado igual ni ángulo recto Trapecio Isósceles: Tiene dos lados no paralelos de igual longitud. 2.2 TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no tiene ningún lado de igual longitud y no tiene lados paralelos 3. POLÍGONO REGULAR: Polígono regular es aquel que tiene todos sus lados de igual longitud, y sus vértices están circunscritos (encerrados, contenidos) en una circunferencia. Se clasifican en: Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, Cuadrado: polígono regular de 4 lados, Pentágono regular: polígono regular de 5 lados Hexágono regular: polígono regular de 6 lados, Heptágono regular: polígono regular de 7 lados, Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente. Luis Gonzalo Revelo Pabón 92 Dpto. de Matemáticas - Goretti Elementos de un polígono regular Los elementos característicos de un polígono regular son: Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro: P: es igual a la suma de las magnitudes de todos los lados del polígono. 4. CÍRCULO: Es superficie plana que está definida por una circunferencia. (Es superficie sombreada). Luis Gonzalo Revelo Pabón 93 Dpto. de Matemáticas - Goretti ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. Circunferencia.- Se llama circunferencia a la línea, formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto llamado centro. Círculo.- Se llama círculo a la superficie plana que está limitada por la circunferencia. Es importante no confundir la circunferencia, que es una línea, con el círculo, que es una superficie. Arco es la parte de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Radio es un segmento que une el centro de la circunferencia con uno de sus puntos. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Mide el doble que el radio. Un diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicírcunferencias. FIGURAS CIRCULARES POSICION DE UNA RECTA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA Una recta puede ocupar tres posiciones respecto de una circunferencia. Luis Gonzalo Revelo Pabón 94 Dpto. de Matemáticas - Goretti UNIDADES DE ÁREA O SUPERFICIE: Las unidades de área o superficie salen siempre de multiplicar dos unidades de longitud, y por ello, el resultado será una unidad de longitud elevada al cuadrado. Dichas unidades son, de mayor a menor: Unidades De área o superficie Potencias con base 10 Potencias con base 10 ( ( Para convertir una Unidad de Superficie que nos hayan dado (USD), a una Unidad de Superficie pedida (USP), se aplica la siguiente expresión algebraica .n*USD= =n*USP Ejemplo: Convertir a dm2 = 2,34x106 dm2 = 2340000 dm2 2 2,34 Hm = Ejemplo: Convertir a m2 = 543.267x10-4 m2= 54,3267m2 2 543.267 cm = Ejemplo: Convertir 2 4 2 dm = 234,25x10 dm = 2342500 dm 234,25 Dm = Ejemplo: Convertir 2 3.462.967.455 mm = TALLER 1. ¿Cuántos 2. ¿Cuántos 3. ¿Cuántos 4. ¿Cuántos 5. ¿Cuántos 6. ¿Cuántos 7. ¿Cuántos 8. ¿Cuántos 9. ¿Cuántos 10. ¿Cuántos 11. ¿Cuántos 12. ¿Cuántos 13. ¿Cuántos a 2 2 a 2 -8 2 Dm = 3.462.967.455x10 Dm = 34,62 Dm son 40 ? Solución: 400.000 son 5.000.000 ? Solución: 5 son 7 ? Solución: 70.000 son 0.000125 ? Solución: 1.250.000 . son 97 ? Solución: 9.700.000 . son 0.000005 ? Solución: 50.000 . son 2 ? Solución: 20000000000 . son 256 ? Solución: 256.000.000 . son 250.000 ? Solución: 0,25 . son 6 ? Solución: 600 . son 1423.000.000.000 ? Solución: 14,3 . son 8.000.000.000 ? Solución: 0,8 . son 1.500.000 ? Solución: 150 . 2 Luis Gonzalo Revelo Pabón 95 Dpto. de Matemáticas - Goretti PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS: Antes de ver todas y cada una de las fórmulas que nos permiten averiguar el área de cualquier figura plana, es conveniente tener conocimientos sobre qué es el perímetro y el área de un polígono, así como las unidades en las que los podemos medir. Perímetro (P): Es igual a la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono. Área (A): Es la superficie que queda limitada por el perímetro. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes Ecuaciones matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes (con regla podemos "leer" directamente la longitud de un segmento). Para mediar las áreas o superficies de las figuras planas, hay que utilizar las unidades de “superficie” del Sistema Métrico Decimal, las cuales son las mismas que las de longitud, pero elevadas al cuadrado. ECUACIONES DE ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS: Cada uno de los polígonos tiene su Ecuación correspondiente que permite calcular su área. Siempre y cuando sean figuras conocidas, lo primero que se escribe siempre es la Ecuación específica del polígono a estudiar, luego se sustituye los datos, se realiza las operaciones indicadas en la ecuación, y finalmente se escribe el resultado con la unidad de área pertinente. Dichas ecuaciones, las cuales habrá que aprender son las siguientes: Luis Gonzalo Revelo Pabón 96 Dpto. de Matemáticas - Goretti MEDIDA INDIRECTA: El Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras dice que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. Es decir: Representación Grafica. Los casos posibles que nos encontramos para el teorema de Pitágoras son dos. 1. Que en un problema conozcamos los dos catetos y nos pidan la hipotenusa. 2. Que en un problema conozcamos un cateto y la hipotenusa y nos pidan el otro cateto. Ejemplo. En un triángulo rectángulo los catetos miden 8 cmts y 6 cmts. Hallar la hipotenusa. .a=8 cmts (cateto) .b=6 cmts (cateto) .a=? (Hipotenusa) √ √ Ejemplo. En un triángulo rectángulo un cateto mide 12 cmts y la hipotenusa mide 20cmts. Cuánto mide el otro cateto. .b=12 cmts (cateto) .a= 20 cmts (hipotenusa) .c=? (Cateto) Luis Gonzalo Revelo Pabón 97 Dpto. de Matemáticas - Goretti √ √ ÁREA Y PERIMETRO DEL TRIANGULO TRIÁNGULO: Es un polígono de tres lados. BASE DE UN TRIÁNGULO (b): La base de un triángulo es uno cualquiera de sus lados. ALTURA DE UN TRIÁNGULO (h): La altura de un triángulo es el segmento perpendicular bajada desde un vértice del triangulo a su lado opuesto o a su l prolongación del lado- base. PERÍMETRO (P): Es igual a la suma de todos sus lados. SEMIPERIMETRO (S): Es igual al perímetro dividido entre dos. ÁREA (A): Es igual al producto de la base por la altura, sobre dos Ejemplo: En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar su perímetro, Semiperímetro, y área. Por el teorema de Pitágoras tenemos que: √ √ Por lo tanto, el perímetro será igual a: Ahora el Semiperímetro será igual a: ⁄ Calculemos al área del triangulo: ⁄ ⁄ Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón: √ √ Luis Gonzalo Revelo Pabón 98 Dpto. de Matemáticas - Goretti √ √ Ejemplo: En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 8,5 cmts y 3 cmts respectivamente. Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. Por el teorema de Pitágoras tenemos que: √ √ Por lo tanto, el perímetro será igual a: Ahora el Semiperímetro será igual a: ⁄ Calculemos al área del triangulo: ⁄ ⁄ Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón √ √ √ √ Ejemplo: En un triangulo escaleno la base tiene una longitud de 14 mts y una altura de 8 mts... Encontrar el valor del área. ⁄ ⁄ Ejemplo: En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 10 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área Por el teorema de Pitágoras tenemos que: Luis Gonzalo Revelo Pabón 99 Dpto. de Matemáticas - Goretti √ √ Por lo tanto, el perímetro será igual a: Ahora el Semiperímetro será igual a: ⁄ Calculemos al área del triangulo: ⁄ ⁄ Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón √ √ √ √ Ejemplo: En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 26 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área Por el teorema de Pitágoras tenemos que: √ √ Por lo tanto, el perímetro será igual a: Ahora el Semiperímetro será igual a: ⁄ Calculemos al área del primer triangulo rectángulo: ⁄ ⁄ Calculemos al área del segundo triangulo rectángulo: ⁄ ⁄ Luis Gonzalo Revelo Pabón 100 Dpto. de Matemáticas - Goretti Por la tanto el área total de los dos triángulos es igual a: Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón √ √ √ √ TALLER 1. En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar su perímetro, Semiperímetro, y área. 2. En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 12 mts y 12 mts respectivamente. Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. 3. En un triangulo escaleno la base tiene una longitud de 13 mts y una altura de 5 mts... Encontrar el valor del área 4. En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 20 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. 5. En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 48 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área 2 6. Calcular la base de un triángulo isósceles, que tiene un área de 14 cm y una altura de 4 cm. 2 7. Calcular la altura de un triángulo isósceles, que tiene un área de 735 cm y una base de 42 cm. Luis Gonzalo Revelo Pabón 101 Dpto. de Matemáticas - Goretti ÁREA DE CUADRILATEROS Paralelogramos (Tiene los lados paralelos de Dos en Dos) Figura Geométrica Ecuación del área de la figura geométrica Cuadrado Rectángulo Rombo Trapecios (Tiene DOS lados paralelos) Romboide Trapecio Rectángulo Trapecio Isósceles Trapecio Escaleno Trapezoide no tiene ningún lado de igual longitud y no tiene lados paralelos Cuadriláteros Nombre Se divide al trapezoide en dos triángulos, se calcular sus áreas y se suman sus áreas Luis Gonzalo Revelo Pabón 102 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ejemplo: calcular el área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 4 cmts. Ejemplo: Calcular el área de un rectángulo que tiene 4 mts de largo (base) y 3 mts de ancho (altura) Ejemplo: Calcular el área de un romboide que tiene 15 mts de largo (base) y 4 mts de altura Ejemplo: Calcular el área de un rombo cuyas diagonales tienen una longitud de 9 mts y 6 mts respectivamente. Ejemplo: calcular el área de un trapecio Isósceles cuya altura es de 5 mts y las longitudes de sus bases son de 13 mts y 9 mts respectivamente. Ejemplo: Calcular la longitud de un lado de un cuadrado cuya área es igual a 169 √ √ √ Ejemplo: calcular la base de un rectángulo que tiene 52 cmts. de área y su altura es igual a 4 Luis Gonzalo Revelo Pabón 103 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ejemplo: el área de un rombo es igual a 40 . Encontrar el valor de la longitud de la diagonal mayor, sabiendo que la diagonal menor tiene una longitud de 8 . ⁄ . Ejemplo: el área de un romboide es igual a 450 su base es igual a 30 mts. . Encontrar el valor de la altura sabiendo que ⁄ ⁄ Ejemplo: Calcular la altura de un trapecio, sabiendo que sus lados bases miden 18 mts y 38 mts y tiene una área de 196 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ AREAS DE FIGURAS COMPLEJAS Para hallar el área de figuras complejas hay que dividirlas en otras más sencillas, de las cuales sepamos calcular su área. Por ejemplo Luis Gonzalo Revelo Pabón 104 Dpto. de Matemáticas - Goretti Dividimos la figura a) en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: Ejemplo: Encontrar el área de la figura siguiente. Dividimos la figura en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: TALLER de Cuadrado y Rectángulo 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado a razón de 4500 pesos el metro lineal de alambrada? Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 15000 pesos. ¿A qué precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura? Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a 600 pesos el kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá? Un terreno mide 1000 metros cuadrados de superficie. Si el terreno ha costado 37.000.000 de pesos, ¿a qué precio se compro el metro cuadrado? ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el decímetro cuadrado vale 6250 pesos? ¿Cuánto cuesta un pequeño terreno cuadrado de 8 metros de lado a razón de 15.000.000 de pesos la hectárea ( ? ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un campo rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho? Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura, con tela Luis Gonzalo Revelo Pabón 105 Dpto. de Matemáticas - Goretti metálica. El metro lineal de valla cuesta 37500 pesos. Al mismo tiempo, es necesario abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea. a) Calcular la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el huerto. b) Calcular la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo. 9) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo y 3,36 m de ancho. ¿Cuántas baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se necesitan? 10) El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. PROBLEMAS DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Calcular el número de baldosas cuadradas que hay en un salón de forma rectangular cuyas dimensiones son de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si cada baldosa mide 30 cm de lado. 1. Calcular ¿cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el de tela cuesta 12.000 pesos? 2. Calcular el área del cuadrado A, de los rectángulos B y C y el triángulo D de la figura. 3. Calcular el número de árboles que se pueden plantar en un terreno que tiene una forma geométrica de un romboide cuyo lado –base (largo) tiene una longitud de 32 m y 30 m de ancho 2 (altura), sabiendo que cada árbol necesita para desarrollarse 4 m . 4. Calcular las longitudes de las diagonales de un rombo que se encuentra inscrito en un rectángulo. Sabiendo que el área del rectángulo es igual a 210 de área y tiene uno de sus lados una longitud de 30 cm. ¿Cuál es el área del rombo? 5. Calcular lo que costará sembrar césped en un jardín que tiene una forma geométrica de trapecio isósceles tal como se muestra en la figura, sabiendo que 1 de césped plantado cuesta 8000 pesos. Luis Gonzalo Revelo Pabón 106 Dpto. de Matemáticas - Goretti 6. Una piscina tiene 210 de área y tiene la forma geométrica de un rectángulo para uso exclusivo de adultos y una piscina en forma geométrica de un trapecio para uso de los niños. Observa el dibujo y calcular: a) El área para cada una de las piscinas. b) ¿Cuál es la longitud de la piscina de adultos? 7. Lucía está haciéndose una bufanda de rayas trasversales de muchos colores. La bufanda mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja mide 8 cm de ancho. a) ¿Cuántas rayas de colores tiene la bufanda? b) Calcular el área de cada franja y el área total de la bufanda. 8. Las casillas cuadradas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcular cuánto tiene de longitud el lado y el área del tablero de ajedrez. Sabiendo que cada lado del tablero tiene 8 casillas cuadradas. 9. Observa la figura. a) ¿Cuál es el área del cuadrado? b) ¿Cuál es el área del trapecio? c) ¿Cuál es el área del rectángulo? d) ¿Cuál es el área total de la figura? 10. Eduardo y Marina están cada uno forrando sus libros. Cada uno tiene un rollo de plástico de 1,5 m de largo y 1 m de ancho. Para realizar su labor necesitan para cada libro un plástico de forma rectangular de 49 cm de largo y 34 cm de ancho. Observa en los dibujos cómo ha cortado cada niño los rectángulos. a) Calcular en cada caso cuántos de plástico les han sobrado b) ¿Quién ha aprovechado mejor el rollo de plástico para forrar libros? 11. Encontrar el área de la siguiente figura. Luis Gonzalo Revelo Pabón 107 Dpto. de Matemáticas - Goretti ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR Los ángulos que se encuentran en un polígono regular son los siguientes: Ángulo Central Ángulo Interior Ángulo Exterior. Ángulo central de un Polígono Regular ( ) El ángulo Central α está formado por dos radios consecutivos y su magnitud puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación: Ángulo interior de un Polígono regular ( ) El ángulo Interior , está formado por dos lados consecutivos. Para calcular la magnitud del ángulo interior de un polígono regular se tiene la siguiente expresión: O también: Para encontrar el valor de la suma de los ángulos Internos de un polígono reg ular e irregular se tiene la siguiente expresión: Luis Gonzalo Revelo Pabón 108 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ángulo exterior de un polígono regular El ángulo exterior , está formado por un lado del polígono regular y por la prolongación del lado consecutivo o vecino a esté. Para determinar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular, aplicamos la siguiente ecuación. De lo que se deduce que: La suma de los ángulos exteriores , de un polígono regular es: TALLER 1) En cada uno de los polígonos regulares, encontrar el valor del ángulo desconocido (x) 2) En cada uno de los polígonos irregulares, encontrar el valor del ángulo desconocido (x) Luis Gonzalo Revelo Pabón 109 Dpto. de Matemáticas - Goretti ECUACIONES DE AREA, APOTEMA, RADIO Y LADO DE UN POLIGONO REGULAR Del triangulo rectángulo, se deduce que: ( ) Entonces ( ) Entonces ( ) ( ) ( ) Ahora: el área de un polígono regular es igual a la semisuma del producto del perímetro (P) por la apotema (a). Es decir Pero: Al remplazar las ecuaciones (1) Y (2) en la ecuación (4), se obtiene. ( ) ( ) ( ) ( ) Pero: Pero: ( ) ( ) remplazamos remplazamos: Ahora de la ecuación número (3), se tiene que: ( ) Entonces ( ) Entonces ( ) Luis Gonzalo Revelo Pabón 110 Dpto. de Matemáticas - Goretti Al remplazar las ecuaciones (5) y (6), en la ecuación de área del polígono regular se tiene: Parte 1 ( )⁄ ( ) Parte 2: la ecuación de área del polígono regular es: ( ( ) ) Luis Gonzalo Revelo Pabón 111 Dpto. de Matemáticas - Goretti ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES POLÍGONO REGULAR: Es aquel que tiene todos sus lados de igual longitud. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular bajada desde el centro del polígono a un lado cualquiera del polígono. 1. Para calcular el área de un polígono regular cualquiera es igual al semiproducto del perímetro (P) por la apotema (a). Es decir: 2. Para calcular el área de un polígono regular, en función del radio (r) del círculo, se tiene la siguiente ecuación. 3. Para calcular el área de un polígono regular, en función de la longitud de la apotema (a), se tiene la siguiente ecuación. 4. Para calcular el área de un polígono regular, en función de la longitud del lado (l) del polígono se tiene la siguiente ecuación. 5. Para encontrar la longitud del lado de un polígono regular, en función de la longitud de la apotema (a) se tiene la siguiente ecuación: 6. Para encontrar la longitud de la apotema (a) de un polígono regular, en función de la longitud del lado (l) del polígono, se tiene la siguiente ecuación: 7. Para encontrar la longitud de la apotema (a) de un polígono regular, en función de la longitud del radio (r), se tiene la siguiente ecuación: Luis Gonzalo Revelo Pabón 112 Dpto. de Matemáticas - Goretti 8. Para encontrar la longitud del lado (i) de un polígono regular, en función del radio (r), se tiene la siguiente ecuación: 9. Para encontrar la longitud del radio (r) del circulo, en función de la apotema (a) y de la longitud del lado (l) , se tiene la siguiente ecuación: √ Ejemplo: Calcular a) La longitud del lado (l) b) el perímetro c) La apotema (a) y d) el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Solución: a) La longitud del lado (l) de un polígono regular, en función del radio b) El perímetro se define Luis Gonzalo Revelo Pabón 113 Dpto. de Matemáticas - Goretti c) La apotema (a), de un polígono regular en función del radio (r), está definida por: d) El área del triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia es igual a: 1 forma: 2 forma: El área de un polígono regular, en función del radio está definido por: Ejemplo: Hallar a) La longitud del lado (l) b) el perímetro c) La apotema (a) y d) el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. Solución: a) La longitud del lado (l) de un polígono regular, en función del radio b) El perímetro se define c) La apotema (a), de un polígono regular en función del radio (r), está definida por: Luis Gonzalo Revelo Pabón 114 Dpto. de Matemáticas - Goretti d) El área del triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia es igual a: 1 forma: 2 forma: El área de un polígono regular, en función del radio está definido por: Ejemplo: Hallar a) el perímetro b) La apotema (a) y c) el área de un pentágono regular d) La longitud del radio. Sí los lados tienen una longitud de 6 cm. Solución: a) El perímetro del pentágono regular está definido por: b) La apotema (a) del polígono regular, en función de la longitud (i) del lado del polígono esta dado por la siguiente ecuación: c) El área del pentágono regular, es igual a: 1 forma: Luis Gonzalo Revelo Pabón 115 Dpto. de Matemáticas - Goretti 2 forma: El área de un polígono regular, en función del lado de un polígono está definido por: d) El radio (r) en función de la longitud del lado del polígono es igual a: ⁄ Ejemplo: Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia cuya apotema es igual a 4 cm . a) ¿Cuál es la longitud del lado del polígono (l)? (r) b ) ¿Cuál es el valor del perímetro (P)? c ) ¿Cuál es el valor del radio(r)? Solución: a) La longitud del lado de un polígono regular, en función de la apotema (a) está dado por la siguiente ecuación: Luis Gonzalo Revelo Pabón 116 Dpto. de Matemáticas - Goretti b) El valor del perímetro es igual a: c) El valor del radio (r), en función de la apotema (a) está dada por la siguiente ecuación: d) El área del hexágono regular, es igual a: 1 forma: 2 forma: El área de un polígono regular, en función de la longitud de la apotema (a) está definido por: TALLER DE POLIGONOS REGULARES 1) Hallar el área de un polígono de 7 lados inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. 2) Hallar el área de un polígono de 8 lados inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. 3) Calcular el área de un polígono de 9 lados equilátero inscrito en una circunf erencia de radio 6 cm. 4) Determinar el área de un polígono de 10 lados inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m. 5) En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cu adrado y el último círculo. 6) Calcular el perímetro y el área de un pentágono que tiene 6 cmts de apotema. 7) Calcular el perímetro y el área de un hexágono q u e t i e n e 3,46 m de apotema. 8) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 8 lados y 6 cmts de apotema. 9) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 12 lados y 3,46 m de apotema. 10) Calcular el perímetro y el área de un hexágono de 6 cm de lado. 11) Calcular el perímetro y el área de un pentágono que tiene 10 cmts de lado 12) Calcular el perímetro y el área de un hexágono q u e t i e n e 1 0 m t s d e l a d o . 13) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 8 lados y 16 cmts de lado. 14) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 12 lados y 3,46 m de lado. Calcular Luis Gonzalo Revelo Pabón 117 Dpto. de Matemáticas - Goretti el perímetro y el área de un pentágono de 8 metros de lado 15) y 6 de apotema. 16) Calcular el perímetro y el área de un hexágono de 4 metros de lado 17) y 3,46 m de apotema. 18) Calcular la apotema de un pentágono de 5 metros de lado 19) En una circunferencia de 6 cmts de diámetro se inscribe un cuadrado círculo y en este cuadrado se inscribe un círculo y en este círculo se inscribe un cuadrado. Hallar el área del último cuadrado (circulo sombreado). 20) Si el lado de un pentágono regular mide 7 cm y el radio de la circunferencia circunscrita es de 6 cm ¿cuánto medirá la apotema? Calcula el área del pentágono. Luis Gonzalo Revelo Pabón 118 Dpto. de Matemáticas - Goretti LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (PERIMETRO DEL CIRCULO) Y ÁREA DEL CÍRCULO Al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, siempre obtenemos el número , cuyo valor aproximado es igual a. La Longitud de la circunferencia o perímetro = diámetro x = Área del círculo = El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos que la forman. Ejemplo: Calcular el área y la longitud de una circunferencia que tiene 6 cm de radio. Por definición de perímetro o longitud de la circunferencia, tenemos que: Por definición de área del círculo, tenemos que: Ejemplo: Un disco compacto tiene un radio de 5 cm. ¿Cuál es la longitud de su borde exterior? ¿Cual es su área? Por definición de perímetro o longitud de la circunferencia, tenemos que: Por definición de área del círculo, tenemos que: Luis Gonzalo Revelo Pabón 119 Dpto. de Matemáticas - Goretti AREAS DE FIGURAS COMPLEJAS Ejemplo: Este es el plano del jardín de Nicolás. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para cubrir su perímetro? Calcular la superficie del jardín en . Para hallar el área de figuras complejas, como el presente grafico, la dividimos la figura en dos partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: Ejemplo: En un jardín cuadrado de 20 m de lado construimos una piscina de 6 m de radio. Calcular la zona verde que quedara. Ejemplo: En la pared del colegio se van a pintar de diferentes colores 6 coronas circulares iguales, con las dimensiones que se muestran en la figura siguiente. ¿Qué superficie de la pared se va a pintar? Luis Gonzalo Revelo Pabón 120 Dpto. de Matemáticas - Goretti TALLER del círculo, circunferencia y corona circular 1) Calcular el área y la longitud de un círculo de 2 metros de radio. 2) Calcular el área y la longitud de un círculo de 6 metros de diámetro. 3) Calcular el radio y el área de un círculo cuya longitud de la circunferencia mide 25,12 cm. 4) Calcular el radio y la longitud de un círculo cuya área mide 28,26 decímetros cuadrados. 5) Calcular el área de un círculo si su longitud de la circunferencia es de 628 m. 6) He rodeado con una cuerda un balón. A continuación he medido la longitud del trozo de cuerda que he utilizado para rodear el balón. ¿Cuál es el radio del balón, si el trozo de cuerda mide 94,20 cm de longitud? 7) Calcular el área de una corona circular que tiene de radio grande 7 mts y de radio pequeño 3 mts. 8) Calcular el área circular A y de las coronas circulares B, C de una diana, sabiendo que los radios de las tres circunferencias concéntricas son respectivamente 5 cm, 10 cm y 15 cm. 9) Calcular el área de un cristal de un ventanal como el que se muestra en la figura siguiente, que hay en la pared de una catedral. 10) Se quiere recortar de un cartón cuadrado que tiene 144 de área, el mayor círculo posible. a) ¿Cuánto medirá su ra- dio? b) ¿Cuál es su área? c) ¿Cuántos se desperdiciarán (sombreado)? 11) Encontrar el valor del área sombreada de la figura siguiente: de cartón Luis Gonzalo Revelo Pabón 121 Dpto. de Matemáticas - Goretti 12) Encontrar el valor del área de la figura siguiente: 13) Encontrar el valor del área de la figura siguiente:
