Escuela de Ingeniería Introducción a la Mecánica Analítica

UNIVERSIDAD
Escuela
DE
de
CONCEPCION
Ingeniería
I n t r o d u c c i ó n a la
Mecánica Analítica
Dr. Ing. ANTONIO CAMURRI R.
Profesor Titular de Mecánica Racional de la
Universidad de Concepción
APUNTES
EDITORIAL
DE
CLASES
UNIVERSITARIA,
S.
A.
U N I V E R S I D A D DE C O N C E P C I O N
E S C U E L A
D E
I N G E N I E R I A
I N T R O D U C C I O N
A
LA
M E C A N I C A
A N A L I T I C A
Dr. Ing.
ANTONIO CAMURRI
R.
Profesor Titular de Mecánica Racional en la
Universidad de Concepción
1 9 5 9
EDITORIAL UNIVERSITARIA S. A.
Ricardo Santa Cruz 747 - C a s i l l a 10220 - T e l é f o n o 36252 - Santiago
PREFACIO
El objeto
que me indujo a escribir
el de explicar
en forma esencial
fundamentales
de la Mecánica
Analítica
de la Mecánica
en relieve
Clásica,
problemas
precisamente
Analítica
que sirve solamente
al lector
que desee
en el campo de la Mecánica
del Cálculo
Concepción
finalidad
Infinitesimal
funda-
y deseo por lo tanto
formarse
a un
poner
estudio
de satisfacer
una cultura
en
completa
Superior.
el conocimiento
(Chile),
ilustrando
con la
como introducción
Para una buena comprensión
ne en el lector
principios
los elementos
ulterior de este ramo, sin tener la pretensión
si mismo
y
fué
materia.
El libro contiene
mentales
páginas,
las ecuaciones
cada tema por medio de algunos
de aclarar más la
estas
de la materia se
presupon
de los conceptos
y de la Mecánica
Racional.
Dr. Ing. Antonio
Camurri
básicos
R.
1959.
5
INDICE
Págs.
CAPITULO
I
1.) Consideraciones preliminares
2.) El Principio ¿ e D'Alembert y la ecuación
simbólica de la Dinámica
10
3.) Ecuaciones de Lagrange
4.) Ecuaciones de Hamilton
14
23
CAPITULO
9
II
1.) Nociones de c á l c u l o de l a s v a r i a c i o n e s
33
2.) Principio de Hamilton o de la mínima acción
3.) Ecuación de J a c o b i
4.) Deducción de la ecuación de Schrodinger
por medio de la ecuación de Jacobi
39
44
50
CAPITULO
CONSIDERACIONES
I
PRELIMINARES
Se sabe que el problema fundamental de la dinámica
c o n s i s t e en la determinación del movimiento de .un sistema material cualquiera sometido a la acción de f u e r z a s conocidas.
Considerando el sistema material como formado por n
partículas y aplicando a cada uno el 2 a principio fundamental de
la dinámica se obtienen l a s n e c u a c i o n e s
(1)
maas
= FB
(s = 1.
2.....П)
donde ma, cfs, Fa indican respectivamente la masa, la a c e l e r a ción y la fuerza resultante correspondientes a la partícula de
índice s .
La ecuación (1) equivale a l a s t r e s e c u a c i o n e s e s c a l a r e s
(2)
m a x«
s = Xв
m s v Hs = Уs
m s zs!i
= Z3
donde Xa, Ya, Zg indican l a s proyecciones de la fuerza F s sobre los e j e s de referencias Ox, Oy, Oz.
En el c a s o de sistemas materiales libres, como p . e . son
los cuerpos c e l e s t e s , s e conocen l a s f u e r z a s P a a p l i c a d a s y por
consiguiente la integración de l a s ecuaciones (2) permite determinar el movimiento de todo el sistema»
Sin embargo, en la mayoría de los c a s o s , los s i s t e m a s
materiales e s t á n vinculados, e s decir, sobre cada partícula a c túan en general fuerzas a c t i v a s y r e a c c i o n e s vinculares. P e r o
mientras que l a s f u e r z a s a c t i v a s se conocen, l a s r e a c c i o n e s
vinculares son incógnitas.
L a s ecuaciones (2) constituyen; por lo tanto un plánteamiento provisorio en la determinación del movimiento de un
sistema vinculado.
Se impuso por lo tanto la necesidad de investigar procedimientos que permitieran eliminar l a s r e a c c i o n e s , y encontrar
e c u a c i o n e s diferenciales dependientes solamente de los d a t o s
del problema mecánico.
9
Veremos en l a s páginas siguientes que combinando el
principio de los trabajos virtuales con aquel de D'Alembert, es
posible obtener ecuaciones del movimiento en que intervienen
solamente l a s fuerzas activas, e s decir datos del problema.
2.) EL PRINCIPIO
Y LA ECUACION
DE
SIMBOLICA
D'ALEMBERT
DE LA
DINAMICA
Consideremos un sistema material vinculado con vínculos
sin roce e indiquemos por Fs у ф 8 la fuerza activa y la reacción
vincular aplicada a la partícula PB de masa ma .
Aplicando la ecuación (1) tenemos:
(3)
maaa=Fa
+ Фв
de donde
(4)
(F
- ma a s ) + ¥
= 0
Ahora bien se llama con el nombre de fuerza perdida la cantidad
(Ра — та ~ав) y si se compara_la (4) con la condición de equilibrio
de un punto material F г Ф а = 0, podemos decir que "durante
el movimiento de un sistema, las fuerzas perdidas quedan equilibradas continuamente
por las reacciones
vinculares".
En la proposición enunciada anteriormente, c o n s i s t e el
principio de D'Alemberto
Suponiendo ahora que l a s reacciones vinculares s e comportan en dinámica como en e s t á t i c a desde el punto de v i s t a de
su dirección, e s lícito aplicar el principio de los trabajos virtuales y decir que el trabajo virtual de l a s reacciones vinculares
será nulo en correspondencia de desplazamientos virtuales invertibles, y positivo o nulo en correspondencia de desplazamientos no invertibles, e s decir
n
(5)
S Фв--дРа
8=1
La relación (5) e s t á condicionada sin embargo a una precisación del concepto de desplazamiento virtual»
L o s vínculos son en general invariables en función del
10
tiempo, pero en dinámica se presentan a v e c e s vínculos variables Por ejemplo un plano inclinado durante la caída de un
cuerpo, puede cambiar de inclinación. El cable del cual cuelga
un cuerpo puede cambiar de longitud durante la oscilación del
cuerpo mismo
Consideremos, para fijar las ideas, un punto material
que cae a lo largo de un plano inclinado liso, cuya inclinación
oc disminuye en función del tiempo. En e s t e caso el vínculo hace desplazar el punto material en el tiempo dt en un sentido tal
que el trabajo de la reacción vincular resulta negativo, contrariamente a lo que dice la (5). Esta dificultad puede ser eliminada considerando como desplazamientos virtuales del sistema material en el instante t, los desplazamientos infinitesimales compatibles con los vínculos supuestos fijos en la posición que han
asumido en el instante t mismo.
En otros términos, cuando se consideran desplazamientos virtuales en el instante í, los vínculos deben suponerse fijos desde dicho instante.
En base a esta consideración la (5) puede ser aplicada
también a sistemas vinculados con vínculos variables.
Queremos poner en relieve que cuando los vínculos dependen del tiempo, un punto cualquiera P a del sistema mecánico
dependerá de un cierto número m de parámetros lagrangianos q t
y explícitamente del tiempo t, es decir
P
=
P (9t.
9m. 0
L o s parámetros lagrangianos o coordinadas generalizadas
q. indican, como e s sabido, los grados de libertad del sistema.
Vamos ahora a multiplicar escalarmente ambos miembros
de (4) por 8Pa , obteniendo
(Fв -m a as ) .8P а + Фа . 8Pв = 0
de donde
£ (F - ms as ) . SP + 2 Фs . SP'
s = 0
„1 8
• 3=1
y en base a la (5)
n
••
(6)
2(P
-m
a) . SPs 5 0
„ s
s s
11
es decir en cada instante, el trabajo virtual de l a s fuerzas perdid a s es nulo en correspondencia de los desplazamientos virtuales
invertibles y negativos o a lo sumo nulo para los desplazamientos virtuales no invertibles.
En otros términos, "durante el movimiento de un sistema
mecánico vinculado con vínculos lisos, las fuerzas perdidas satisfacen el principio de los trabajos
virtuales
La (6) toma el nombre de "ecuación fundamental o simbólica de la
dinámica".
Ejemplos:
1.) Determinan la ecuación del movimiento de una masa
pendular, utilizando el principio de D'Alembert. F i g . 1.
Aplicando la ecuación (4) en la
forma (F - т а) + Ф - 0 y observando que la reacción Ф está dirigida como el cable de
suspensión, se deduce que la
fuerza perdida debe tener componente tangencial nulo, e s decir
" i/
— m p sen flfj—m
dt2
= n0
que es la conocida ecuación
de l a s o s c i l a c i o n e s pendulares>
Figura 1
2.) Determinar el movimiento de dos masas mlt m2 cooligadas entre s i por un cable enrollado en la garganta de una garrucha. Fig. 2.
Suponiendo mx > m2 y considerando el e j e de referencia
Oz vertical dirigido hacia abajo, podemos indicar la aceleración
de m t por
, la de m2 por - -
y la ecuación simbólica (6) asume la forma
imtё
e s decir
12
-{mg
+ m2^r)Sz
= 0
Figura 2
(7)
Figura 3
d z
* dt2
g
mx
~mi
+ m2
La (7) nos dice que la masa m í b a j a con la aceleración
constante
2
g m,1 - m,
P a r a fijar l a s ideas f s i la masa m2 = - ~ - m í t
tenemos
cPz_ _ _l_
dt2
3 8 '
e s decir la masa m1 baja con una aceleración igual a — de la de
gravedad r
3.) Determinar la reacción vincular para un punto material que se mueve sobre una curva material por e f e c t o de su p e s o .
Fig. 3.
Si e l punto estuviera en reposo debería verificarse la relación conocida F + Ф = 0, que proyectada sobre la normal и a l a
curva, nos daría
(8)
Ф„ = —Fn
e s decir la relación vincular normal sería igual y contraria a la
componente normal de la fuerza activa.
13
Sin embargo, dado que el cuerpo e s t á en movimiento, tenemos que aplicar la (4), bastando proyectarla sobre la normal, siendo Ф, = 0 por la hipótesis del vínculo liso y tenemos
4Í F
n
- m~pv—n)' + Фn = 0
de donde
(9)
Фn = -F, n +
mVlñ
p
Comparando (8) con (9), se deduce que las reacciones en
dinámica son en general distintas qüe en e s t á t i c a , manteniendo
sin embargo las direcciones y los sentidos iguales, lo que s e dijo a propósito del principio de D'Alembert.
3.) ECUACIONES
DE
LAGRANGE
Consideremos un sistema mecánico cualquiera, vinculado
con vínculos sin roce y un punto Pg , siendo
P
s
=
P
s
s
Чт> 0
• •. °'
=
1
<.2'
'••,n
У 4i> Чг> ° • ° • 4m
parámetros lagrangianos
Observemos que Ps puede depender explícitamente del
tiempo t y e s t o ocurre cuando los vínculos son v a r i a b l e s .
Si sobre el sistema actúan fuerzas a c t i v a s , el trabajo virtual efectuado por dichas f u e r z a s será
(10)
dr = Í I
. 8Pa
Recordando que los desplazamientos virtuales se refieren
por hipótesis a vínculos supuestos f i j o s a partir del instante / c o n siderado, tenemos
ir = l f u . 8Pa = 1FS
S=1
S=Í
" ~
f)P
dql
(11)
14
8r = Q,8q%
. ф Sqi +
óqi
сlq3
" ~
-1
A q
Óqm
дР
n
dq2
«-•»
+
Qjqm
~
r)P
dqm
m
)
donde
-
Q.
dP,
-
дР
Qi> 62» "" Q m toman el nombre de f u e r z a s generalizadas y dependen de l a s fuerzas a p l i c a d a s y de los parámetros lagrangiános q¡
Combinando la (10) con la (11) tenemos:
(12)
dr=
2Fa.
B—l
SPa = 1 Q,8q,
1-1
Consideremos ahora la expresión
mв aв . 8Pв
donde т в indica la masa del punto material donde e s t á aplicada
la Fe у aa su aceleración.
Se tiene:
lmsas
3=1
. 8PS = Zma —
s~i
dt
2таав.8Рв
o (— 8qt + —Sq2+...
dqx
dq2
= 8qiSma
"=1
dt
Л
dv.
dPa
='
Л
dqm
с
8
+—
dqm
.MjL+8q22ma*3L
8=1
dq,
dt
.
SqJ
+
dq2
es decir:
(13)
lmaaa.
8=1
8PS
¡=1
ш А
e=i dt
^
aqi
Observese ahoraque:
™
. l(v
*
dt
dq.
dt
.
dq.
í A
dt
dq.
Además se tiene
=
dq\
РОГ SCr
-
OEl
dq.
dPe
dPs
dP.
dPs
,
dP„
15
у рог e l teorema de Schwarz
л <
d ^
dt
dqi
dPs
dt>
\
dv\
dq¡
dqj
Reemplazando en (14) l a s expresiones encontradas para
У
H
dt[dqJ
s e tiene
ÍÍK
=
dt
dq.
dt
" dq\
"
dq.
e s decir
dv
a_
dP
e_ _
dt ' dq.
1 d d v'
/
в\
1
dv2
s
2 dt
2
dq.
dq\
Reemplazando en la (13) esta última expresión tenemos:
2 ms aa . SPa = F 8q¡ 1 m [—
s=i *
a
в
4i
*=i
o también
n
m
a~l
f=i
1*1 • dq¡
,
dt
' 2 dt
-
dq'{
A<1A\-±(ÍüL)-i
K
dq\'
2 * dq¡
- n
2
2
Observando que
1 «
"T
2 meve2
¿
a*=l
e s la energía c i n é t i c a T , s e obtiene
" »
16
l»-'.- к
-
-
$
И
Consideremos ahora la relación (4) del párrafo 2.)
( F8
- от8 a 3J + Ф¡8 = 0
donde Ф® indica la reacción vjincular normal, dado que hemos supuesto sin roce el sistema mecánico considerado.
Multiplicando ambos miembros por SPs , tenemos:
(Ps
SPs
:
.8PS
= 0
de donde
í(Fa
S=1
~msae).SPs
+ £ Ф, . SPs = 0
8=1
Sabemos qüe el término,
s ф . SPs
а= 1 в
expresa el trabajo virtual efectuado por las r e a c c i o n e s vinculares normales, trabajo que e s nulo en correspondencia de los d e s plazamientos virtuales invertibles y positivo o nufo en correspondencia de los desplazamientos virtuales no invertibles.
De la proposición anterior se deduce, como ya vimos en
el párrafo 2.% la ecuación simbólica (6) de la dinámica.
Ahora bien, s i todos los desplazamientos virtuales son
invertibles tenemos:
(16)
lFa
8=1
. SPa -Ímaaa
8--1
= 0
de donde reemplazando las expresiones (12) y (15), tenemos:
(17)
dt
dq\
dq¡
Si el sistema mecánico e s además olónomo, e s decir los
parámetros lagrangianos q¡ asumen variaciones independientes
entre si, la (17) vale cualquiera que sean l a s variaciones 8q¡ y
por lo tanto se reduce a:
(18)
A(
dt
(
_
-
)
<V,
n
.
t=
, ,
1, 2. .... m
dq,
17
L a s (18) son las ecuaciones de Lagrange,son t a n t a s cuantas son los parámetros lagrangianos, e s decir m y permiten determinar el movimiento del sistema mecánico, cuando se conozcan
l a s fuerzas activas Fa.
E s necesario observar a propósito que dichas ecuaciones
son diferenciales del 2й orden en las incógnitas q¡(t).
Resolviéndolas, se determinan los parámetros qi en función del tiempo y d,e 2m constantes arbitrarias, que se podrán calcular conociendo los datos iniciales del sistema, e s decir,
q¡(0), q"¡(0)
siendo i = 1, 2, ... , m
E s muy útil notar finalmente que si las fuerzas aplicadas
son conservativas, e s decir» dependen de un potencial
v
<9,'93
9 j
vale la relación
S r = 2 Q.Sq. = SU
1=1 ' '
de donde:
Q
= §JL
=
JLL
siendo V(qt , q2 , . . . , qm) la energía potencial del sistema
L a s ecuaciones (18) asumen en e s t e c a s o la forma
=
dt
dq\
dq.
0
dq.
Indicando por L, la función T-V y observando que la energía potencial V e s independiente de l a s q'., podemos escribir
(19)
±dt
ÉL.
dq\
-
¿JL = o
dq¡
i = 1,2
я
A la función L = Г - V se da el nombre de lagrangianadel
sistema mecánico y e s útil observar que depende de l a s variables
q., q', y del tiempo, e s decir
L = L (qt, q\ , t)
18
Ejemplos;
1.) Empleando las coordinadas polares, escribir l a s ecuaciones de Lagrange para una partícula que se mueve en un plano,
bajo la acción de una fuerza F„
Ante todo vamos a calcular la energia cinética T
T = ~rmv%
2
т •-= —m(p'2
2
= — m(v2 + v% )
2
P
&
+ p2e>2 )
Los parámetros lagrangianos son p , в.
Tenemos:
IX
др
=
=
трв'
2
Hдр'
0
Í2L =
дв%
дв
P—0
.
=
m
Calculemos ahora las fuerzas generalizadas Q f . Siendo
= p7 tenemos:
др
Q , = F. —
дв
P
= F.ph
=pF
Q
Por lo tanto las ecuaciones (18), asumen la forma
т(р"-рв'2)
= F
En particular, si la fuerza F fuera central, e s decir,
Fq = 0 , y además la F fuera de tipo newtoniano o coulombiano, encontraríamos, como e s sabido, una trayectoria e l í p t i c a , parabólica o hiperbólica según que valor inicial de la energía e s ,
E
= T (0) + V (0)
0
19
2.) Escribir l a s ecuaciones de Lagrange para el movimiento de una barra que tiene un extremo fijo y peso P . Fig. 4
La energía cinética de un punz
to Pa de masa ma y que d i s .i
ta pa v a l e :
T. =
m.
2
( p ^ ' + p W
de donde:
Л%2
n
2 то2
•- j ">
T =22
sen2 вф'
5,
^
•> У
-
2
rao22
Figura 4
e s decir
T = y ( 0 ' 2 + se« 2 0 < ¿ ' 2 )
siendo / el momento de inercia de la barra con respecto a l punto
0. Los parámetros lagrangianos son в, ф.
Aplicando las ecuaciones de Lagrange, tenemos:
г
/ sen В eos 0 ф*
dT
дв
дТ
дф
дТ
—=1$
дв'
=
дТ
дф'
0
О = И
=
¡sen
2
вф'
sen в
Luego,
I (вп-ф*5епвс05в)
1-^(ф^еп2в)
= —sen
2
в
= 0
En particular s i la velocidad inicial no tuviera componente horizontal se tendría ф' (t) - 0 y l a s ecuaciones del movimiento se reducirían a :
20
/ 0« = EL
2
sen
16¡ + —sen
в
в1 = O
siendo 6t = n - в
que, como es sabido, representa la ecuación del movimiento de
un péndulo f í s i c o y para o s c i l a c i o n e s pequeñas, в 1 varía con ley
sinusoidal.
3.) Determinar la ecuación del movimiento del sistema mecánico que aparece en la Fig. 5° La barra D С e s t á libre de d e s lizar dentro de un manguito
que puede girar libremente
alrededor de un punto fijo.
La barra A B, e s t á articulada en sus extremos А у В ,
^
permitiendo de e s t e modo a
X
>
la masa С de oscilar.
Observando la estructura del
sistema, se ve que tiene un
*
т(в
b
grado de libertad y tomaret
A
mos como coordinada generaС
/
V
lizada el ángulo ф. Supo ЧГ С \
niendo pequeñas l a s oscilaciones y la velocidad angul
A
lar de la barra D С, podemos
considerar pequeñas ya sea
Figura 5
el ángulo ф, ya sea ф'.
Si despreciamos l a s masas de l a s barras AB y DC teñe- *
mos que calcular solamente la energía cinética de la masa C. L a
velocidad de e s t a masa e s t á constituida de dos p a r t e s : la velocidad debida a la rotación de la barra D С alrededor de O y la
velocidad a lo largo de dicha barra debida al deslizamiento en el
manguito O. Llamando x a la d i s t a n c i a variable OB, obtenemos,
v2 =
+ (l + x)2xf/2
y la energía cinética e s
(20)
T = —
2g
+ (l+x)2
ф'2]
Refiriéndonos ahora al triángulo ABO, podemos escribir,
21
x eos ф + r eos ф - b
(21)
{
х sen ф =
гвепф
Siendo ф у ф ángulos pequeños por hipótesis,hacemos
ф2
eos ф == l —
эепф
cos^r = 1 -
= ф
-1ф2
sen ф = ф
Con e s t a s aproximaciones la primera de l a s ecuaciones
(21) r e s u l t a :
X - ±хф>
+ т-±тф2
= h
de donde
* = h -г
хф2 + -~тф2
Dado que la x del segundo miembro queda multiplicada
por la cantidad muy pequeña ф2, e s lícito sustituirla por h -тque
difiere de x por cantidades pequeñas del segundo orden y s e obtiene,
(22)
x = b _f
(h _г)ф2
+J_
гф2
De la segunda de l a s ecuaciones (21) tenemos,
ф = — ф = -—r
r
ф
r
y reemplazando en la (22)
-г)ф2
x = b - r + — (h
2r
y la correspondiente velocidad e s :
x' =
-уХЪ-^фф*
Dado que e s t a expresión contiene el producto de dos cantidades pequeñas, su cuadrado e s pequeño comparado con el segundo término en paréntesis de la (20) y puede ser despreciado.
En el término ( / + х)2ф,г podemos despreciar nuevamente l a s pequeñas cantidades de orden superior y reemplazar x por b - n
22
Se obtiene a s í la siguiente expresión simplificada de la energía
cinética,
T = -—(7 + ¿
*S
-г)2ф,г
La energía potencial del p e s o P con respecto a su posición inferior e s ,
V = Pircos
ф-
Icos ф -
(r-l)]
que con l a s aproximaciones anteriores s e reduce a ,
v - P U - ^ í l
r
2
L a s ecuaciones de Lagrange (18) se reducen a una s ó l a
que e s ,
— (I +b -г)2ф»
g
+
[1-<^-]ф
r
= 0
Suponiendo positiva la cantidad dél p a r é n t e s i s cuadrado,
se tiene un movimiento armónico simple, e s decir :
ф" + р2ф = 0
de donde
p*
=
V-(b-T)2/r]g
(l + b-r)2
Eligiendo dimensiones a d e c u a d a s podemos hacer p tan
pequeño como se quiera y obtener una frecuencia propia de o s cilación muy pequeña.
4.) ECUACIONES
DE
HAMILTON
L a s ecuaciones de Hamilton s e deducen de l a s de L a grange en el c a s o que los vínculos sean independientes del tiempo y l a s f u e r z a s aplicadas al sistema mecánico sean conservativas.
Si los vínculos no dependen del tiempo, la energía cinética T del sistema asume una expresión particular que vamos a hora a deducir.
En el c a s o general la energía cinética T e s t á expresada
por la fórmula;
23
1 "
Т = — £ m s av2
2 8*1
donde
г
. Ü
dt
dqt
»s22 = _ • _ =
dq2
,( <?P
^ S + , < dPÍ a
dqm
2
,
•••
+
dPs
+
dt
,
+
j<3P
t S ), 2
Desarrollemos el cuadrado del modo s i g u i e n t e :
,
»
, ÓP
=
ЭР
+
+ 2
+
,dPa
(9P„
\2
. ЭР,
dp„
+ — ? ' ) + 2 — 5 у + — ?' + .
2
2
<4n "
^
^
dps
дР
+
2
El término'del primer p a r é n t e s i s e s una función homogénea de segundo grado en l a s v a r i a b l e s q'¡t e l segundo p a r é n t e s i s
e s una función homogénea l i n e a l en l a s q'. y el último término e s
independiente de l a s q' . Reemplazando la expresión mencionada
en (23), s e o b t i e n e :
1
S
2 s=i
/<?PS »
dql 1
dPa
dq2
,
dPs
dqm
2
, .
'
дРа
dt
1
"
=i
,dPa .2
dt
Si s e h a c e n ahora l a s p o s i c i o n e s
т
_ v „ , d P a y2
T
_ 5
m
дРв
dPa
T
_ £
/ 5 Р . ч2
y s e indican por 7 \ y T 0 respectivamente el segundo y tercer
término d e l segundo miembro de (24) s e tiene
T
24
= у ( т „ «í + 2 ъ + . . .
+т
m<?;
2
) + Tj + т 0
es decir
1
m
T = -5- 2
T.k q\ q>
+ T, + T 0
Finalmente s i hacemos
tenemos
(26)
T = T 2 + T t + T0
que e s la expresión más general de la energía c i n é t i c a .
Sin embargo.^ si los vínculos no dependen del tiempo, se
anulan los términos 7\ y T0 y queda
T = т2 = -i-
£
que e s la expresión de la energía que necesitamos ahora.
Vamos a introducir ahora c a n t i d a d e s nuevas llamadas momentos o variables conjugadas a l a s q.} definidas por la fórmula
(27)
p - dT
'
<Ч'
que, en base a la expresión anterior de T = T 2 , resulta
m
(28)
P
^
f
U
к
Demostremos ahora que el determinante
T
Mi
T21
X
T
1J •. • .•
T22 .1 .' . '
T lm
T 2m
Д
T mi
Tm 2
Tш m
no e s nulo
En efecto, suponiendo la energía cinética nula, en b a s e
a l a s (27) y (28) podríamos construir el sistema lineal.
25
ТцЧ\
+Ы+...
+ Tlm q-m = О
Tní'i
+T2mq'm
Tmi
, <"7i l + T „ш2< "а
r i + . . . + Tmm"m
q'
=0
= 0
que en el c a s o de A = 0, admitiría soluciones no todas nulas para los
,
....
. Se deduciría entonces que en correspondencia de valores de q n o todos nulos, la energía cinética T=T 2
sería nula, lo que e s absurdo por el hecho que si T 2> e s nula, todas las q* deben ser nulas.
Por lo tanto el determinante A e s distinto de cero.
Volvamos ahora a l a s (28), que consideramos como un s i s tema de m ecuaciones l i n e a l e s en l a s incógnitas q\ ,
q'm
Dado que el determinante A de e s t e sistema no e s nulo,
será posible expresar l a s q'k(k = 1, 2, .... m) en función lineal de
l a s p{.
Reemplazando en la (27) a l a s q', l a s expresiones obtenid a s , tendremos la energía cinética como función homogénea de segundo grado en las p¡ y la indicaremos por T , para recordar que
depende de l a s q¡ y de l a s p¡, mientras que con T indicaremos,
como de costumbre, la energía cinética en función de l a s q. y q¡.
Será lógicamente,
(29)
T = T
Apliquemos ahora el teorema de Euler de l a s funciones
homogéneas a la función T ,
=
2 T
de donde, introduciendo los momentos р.,
Ü f t f i = 2T
i- 1
T = bpt
o también,
26
q¡-T
(зо)
т = s р
i ~1
- т
'
Diferenciando la (30) у recordando que T = T(q, q').
se
tiene,
m
m
_
¿ Г = 2 p dq' + 2
¡=i '
'
ш
q'dp
i =1 '
- 2
'
m
ЛТ
- 2 —
лт
—dq.
í=i da.
1
í=i dq'.
dq'
'
Dado que
=
AL
se anulan recíprocamente en la (31) el primer y cuarto término y
queda
_
(32)
dT
m
m
= 2 . q'dp
- 2
4f-dq.
1
i'l
> i=l dq¡
_Pero T depende de p y de q y por lo tanto su diferencial dT podrá expresarse también en la forma
(33)
d F
=
2
1=1 dq.
'
4?'dPi
dp.
'
L a s diferenciales (32) y (33) tienen que ser iguales entre si, cualquiera que sean los valores de dq. y de dp¡ , de donde se deduce:
(34)
= IX
dT _ _ dT
Vamos ahora a escribir las ecuaciones de Lagrange, recordando que l a s fuerzas dependen de un potencial y por lo tan-
A
(AL)
dt
de donde
(35)
ÍÍL
dt
dq¡
=
_
¿r
~ dq¡
+
_
dv
dq,
V)
d q¡
27
Sí se observa ahora que V no depende de las p , s e tie"*
Í £
.
«
»t,
y por consiguiente la primera ecuación (34) asume la forma también,
_
(36)
=
d(T + V)
dt
~
dpf
Ahora bien, se llama con el nombre de función de Hamilton o Hamiltoniana y se indica por H, la función T + V, e s decir
(37)
H = T +V
y las ecuaciones (35) y (36), asumen por lo tanto la forma
(38)
Í3l
dt
d
JL
=
dp¡
ih.
dt
=
_ §JL
dq¡
L a s (38) son las ecuaciones de Hamilton y constituyen
un sistema formado por 2m ecuaciones de primer orden en l a s incógnitas q. y p¡.
Resolviendo este sistema, se determinan l a s q.(t) y las
2m constantes arbitrarias, cuyos valores se obtienen conociendo
los datos iniciales del problema q^O), q2(0), ... , qm(0), p, (0),¡.
PJ°>> 1° 4 u e equivale a conocer, q1(0), q2(0),
qm(0), q\(0),
rjo).
E s interesante notar que l a s ecuaciones de Lagrange son
m del segundo orden en las q ¡(t), mientras que las de Hamilton
son 2m de primer orden en l a s q¡(t) y p¡ (t).
Vamos a demostrar ahora que l a s ecuaciones de Hamilton
valen también cuando los vínculos dependen del tiempo, manteniéndose l a s fuerzas conservativas. Los momentos p. quedan definidos en e s t e caso por
(2T)
dL
t, = —
дТ
= X7
.
, „
«=
2. .... m
donde L e s la función lagrangiana del sistema mecánico, que hemos definido en el 3.) del Cap. I
Dicha función dependerá ahora de q,, q'., y explícitamente del tiempo t, e s decir L = L(qt, q¡ , th Sin embargo, resolviendo el sistema de l a s m e c u a c i o n e s ,
28
con respecto a l a s incógnitas q' , s e r á posible expresarla en función de q, , p{ y del tiempo t, e s decir L = L(q¡t p., t)
Imaginemos ahora de mantener f i j a la variable t y de atribuir a las variables q. , q'{ los incrementos infinitésimos 8q. y
8q'¡ , De este modo la función L sufrirá la variación,
y observando en b a s e a la (19) que
(9Lr
pj = ——
t
s e obtiene
m
8L =
2
i «i
1
'
+ p1 . s ? ' )
*
m
sl
=
2
[/>;
s ^ j - * ' . ^ . ]
m
SL = d l ^ q r
i'1 dq'
m
r) í
8 4{ l ^ q '
i=i dq \
m
+ 2 {p;8q¡-
q¡SP¡)
¡"l
m
t
- - L ) =
S
i~i
WibPi-P'iW
Indicando ahora por H, la función del p a r é n t e s i s del prir
mer miembro, e s decir
(37')
H = 2 ÉL a* - L
«-i
tenemos
Ш
З Я = 2 (q¡8pt
-
p¡8q,)
1=1
Sin embargo, considerando H como función de qs{ y p{ ,
su variación 8H asume la expresión también
8H
™ , дН
= 2
i= i
—
dq t
дИ
+—
dpi
л
.
8pt)
Comparando entre s í l a s dos últimas igualdades, s e obtiene inmediatamente
29
(38')
=
Л
DP ¡
M
dp.
_
¿i
(9^,
L a s (38') son l a s ecuaciones de Hamilton que queríamos
encontrar y que coinciden formalmente con l a s (38).
La función H definida por la relación (37'). toma todavía
el nombre de hamiltoniana y se vé que en el c a s o particular de
fuerzas conservativas y de vínculos independientes del tiémpo,
coincide en b a s e a la (30), con la energía total T + V del s i s t e ma de la fórmula (37) '
Ejemplos:
1.) Calcular en coordinadas rectangulares la hamiltoniana de un punto material libre de masa m, que se mueve con velocidad v.
Tenemos:
T = -i- я f*'2 + y'2+
z'2)
donde x, y, z, indican los parámetros lagrangianos. Indicando
por px> Py > Pz l a s variables conjugadas a x, y, z, tenemos
Px
=
~~~ ~
дх'
mx>
Py
=
~ тУ'
dy'
p.=*L
= »zdz'
luego,
T = - i - (p2 + py2 + p1 )
2m *
*
Indicando ahora por V(x, y, z) la energía potencial del
punto material, se tiene
H
= F
+ V = - Í -
2m
(p2
+ p* + pl ) + V(x. y, z)
'
Si la fuerza que actúa sobre el punto fuera la de gravedad
y la partícula cayera verticalmente s tendríamos
H = -í— p2
2m
+ mgz
2.) En el problema anterior calcular la hamiltoniana, empleando coordinadas polares en el plano.
30
Tenemos
T =y
m(p*
р2в'2)
+
р у в son los parámetros lagrangianos y l a s variables conjugadas resultan
дТ
,
p =
= mp
P
<Jp'
дТ
- —
дв'
pfí
0
,
ад
= дар (9
Luego
T
' (p'
, „ 2 +.
v
P
=
Р
в s
p2 '
de donde
д=
f
y = J_
+
( /
£
2m
+Ц-)
+ У ( р > в
)
p2
P
Si la fuerza que actúa sobre el punto fuera en particular
elástica y central, tendríamos
= — KP3
2
v(P;e)
3.) Calcular la hamiltoniana en el problema 2 de la página 20» tratado anteriormente con las ecuaciones Lagrange:
Con referencia a la F i g . 4, vimos que s
т = j-(6'2+
sеп в
' Ф,2)
в у ф son los parámetros lagrangianos y las variables conjugad a s resultan
Рд
= — = /6>'
0
дв'
de donde
Рл=—
~
$
дф'
lsen2Q<b'
s2
-
J _
21
К1>в
'
sen26
luego
H = T +V =
- Ч Рв ' Й
21^
+
+
Р
Ф \
sen в- ')
— 2F
+
Meóse
31
CAPITULO II
1.) NOCIONES DE CALCULO
DE LAS
VARIACIONES
Consideremos la integral
(1)
I = ¡F(x,
a
y,
y')dx
donde F e s símbolo de función conocida de x, у (x), у' (x). а y b
son datos.
Queremos resolver el problema de determinar la función
y (x) en correspondencia de la cual la integral (1) resulta máxima
o mínima.
Para la resolución de este problema e s necesario imponer
a la función incógnita y (x) algunas condiciones, que c o n s i s t e n generalmente en obligarla a pasar por dos puntos dados que pueden
ser (а, m) y (b, n).
Supongamos ahora que y (x) sea una función que s a t i s f a ce a l a s condiciones mencionadas y en correspondencia de la
cual la integral I e s máxima o mínima. E s t o equivale a decir que
para cualquier curva y (x) "cercana* 1 a la y (x) y que p a s e por
los puntos (а, m) y (b, n) la integral
ь
f F(x, y, J')dx
ь
será respectivamente menor o mayor de la f F(x, y, y')dx
a
es decir,
(2)
a
ь
fF(Xj y, y')dx
Ь
•< IF(x,
a
y,
y')dx
Ahora bien una curva o función ^y(x) " c e r c a n a "
puede expresarse del siguiente modo
(3)
J(x)
a.lay(x)
= y (x) + cr¡(x)
siendo r¡(x) una función arbitraria que se anula en а y b e s decir rj(a) = r¡(b) = 0 y f un número positivo pequeño como se
quiera.
La diferencia У М - y (x) se llama la " v a r i a c i ó n " de la
33
función (x) y se indica por el símbolo Sy e s decir
Sy
= J(x) - y (x) = e7j(x)
Consideremos ahora la diferencia entre l a s integrales de
la (2) que vamos a indicar por SI e s decir,
ь
ь
(4)
SI = ¡F(x, y, y')dx - fF(x, y, y')dx
a
a
Dicha diferencia se llama "variación t o t a l " de I.
El primer término del segundo miembro de (4), en base a
(3), asume la expresión
ь
fF(x, y + er¡, y' + erj')dx
a
y a cálculo efectuado dependerá solamente de e e s decir
b
(5)
I ( f ) = fF(x, y + ет], y' + £7]')dx
a
Desarrollando en serie de Maclaurin la (5) tenemos
(6)
I(e) =
de
f=o
2
de
e=o
La diferencial / (e) — 1(0) representa la variación total
S i mencionada, mientras que los términos
^
de
ешо
de2
>e-o
etc., toman el nombre de "variación primera", " v a r i a c i ó n segund a " , e t c . , de I.
De (5) se deduce que donde / (e) tiene un máximo o mínimo, debe ser
dl(e)
de
=0
y si se impone además a dicha derivada de anularse para 6 = 0,
se obtiene la condición
(7)
( Í M ) = o
de
que debe cumplirse cuando la integral de partida I (0) e s máxima
o mínima.
34
En b a s e a la terminología adoptada en (6), podemos decir entonces que cuando / e s máxima o mínima su variación primera e s nula.
La mencionada condición de extremo implica que s e anula la diferencial de I(e)s para e = 0, e s decir empleando el símbolo de diferencial virtual se tiene,
0
Dado que e e s pequeño como se quiere 8 1
expresa
la diferencia I (e) — 1(0), que hemos llamado anteriormente la variación total de la integral de partida (1) y por lo tanto la condición de extremo anterior puede escribirse también b a j o la forma,
ь
8 f F(x, y, y')dx = 0
в
Aplicando la (7) a la (5), tenemos ante todo
ь
d l(e)
d
= Г
de
a de
dl(e)
_
de
F(x, y + erj, y'+ er)')dx
b
{ (dF
j
(
jj
a
dy
+
dF
л
—— rj'jdx
dy'
= 0
= 0
por ser y" = y + er¡ , ~y' = y' + erj'
de donde integrando por parte
dl(e)
de
ъ
.дF
,
= f—4*c+
a dy
, dF
* fb d dF .
I — V I - / ? — — dx
O? a a dx &f
=
0
El término
,dF
h
.
e s nulo por ser 17 (а) = r¡ (b) = 0 y si además imponemos a
d I (e)
de
de anularse para e = 0, y, y' se reducen a y, y' y se obtiene
!
r, dF
d dF .
{
T y - T x T y ^
d x
- °
35
Siendo 7/ una función cualquiera, se deduce finalmente
(8)
±
dx
** ду'
= 0
dy
La (8) e s una ecuación diferencial ordinaria, conocida bajo el nombre de ecuación de Euler, cuya solución nos otorga la
función y(x), en correspondencia de la cual, la integral ( l ) d e partida puede ser máxima o mínima.
En el c a s o general que la función integrada F de la (1)
contuviera varias funciones incógnitas yx , y¡, ...» ym , juntas
con s u s derivadas y\ , y\,
y' , se llegaría con un procedimiento análogo al anterior, a tantas ecuaciones del tipo (8),cuant a s son l a s funciones incógnitas, es decir:
d
dF
dF
dx
dy¡
dy¡
(8')
.
= 0
, „
Í = 1, 2,...,
m
Ejemplos:
1.) Determinar la curva de longitud mínima entre dos puntos de un plano
Dado que la longitud de una curva plana puede expresarse bajo la forma
ь
в
N i
+ У'2 dx
el problema dado consiste en " m i n i m i z a r " la integral anterior.
Aplicando la ecuación (8) de Euler, tenemos:
d
Tx
д
ДУ,
д
=
W
VI + y'2
=
=
V 7
y (x)
36
Constante
=
mx
Constante
Constante
У
y' de donde
°
+
n
La curva buscada e s por lo tanto la recta que p a s a por
los puntos dados
2.) En un plano vertical son dados dos puntos А у В siendo A a una altura superior а В.
Determinar la curva " b r a c h i s t o c r o n a " que debe recorrer
un cuerpo sometido a la gravedad para pasar de Л а В en un tiempo mínimo. La velocidad inicial se supone naturalmente nula.
Entonces, tomando el s i s t e ma de referencia de la F i g . l
O=A
tenemos por el principio de
conservación de la energía:
— и г - mg x
2
de donde
v = \¡2gx =
ds
dt
Debemos " m i n i m i z a r " la integral
j
o
A
=
/ — = f X L v í í -dx
o v
o \¡2gx
Figura 1
Aplicando la ecuación de Euler, tenemos
d
д
' 1 + y*
dx
dy'
2gx
d
'1
= 0
e s decir
+
_ Ü (constante arbitraria)
—У —
dy'
y'2
= а2х (1 + y'2)
y'2
= (1 - а2 x) = a2 x
/ а2х
У
=
/ а2х
/ V 1-а2х
dx
37
Resolviendo e s t a integral mediante la posición
, в
a'x
se obtienen inmediatamente l a s ecuaciones paramétricas:
У (в)
=
{
х(в) =
1
( @ — Sen 0) + К
2 а1
2 a1
K= constante arbitraria
(1 - eos в)
Utilizando los datos del problema, e s decir las coordinadas de los puntos A(0,0) y B(b, n ) , se deduce К = 0 y el valor de
а y por lo tanto
у (в) = г(в-
sen в)
(9)
x (в) = г (1 - eos в)
donde
=
J _
2аг
L a s ecuaciones obtenidas (9) indican que la curva de recorrido del cuerpo e s una cicloide que tiene una cúspide en A.
3.) Determinar la curva que pasa por dos puntos dados
A(a, m), B(b, n) y cuya superficie de revolución e s mínima.
Indicando por y(x) la ecuación de una curva, se sabe que
la superficie de revolución alrededor del e j e Ox, e s t á expresada
por la fórmula
ь
y
2n f y y / l +y'5 dx
a
Debemos por lo tanto "min i m i z a r " la integral susodicha y aplicando la ecuación (8) de Euler, tenemos
dx
dy'
dy
38
+ У' 1
«"
"
) ~
(y y/1 + y " ) = 0
• *
Figura 2
Multiplicando ahora ambos miembros por y' s e obtiene
y't-ír
que puede escribirse b a j o la forma
- f l y ' - г - . ( у УГПу%)-У
vTT^"] = o
dx
ay
de donde
y' -f— (y \¡l + y' 2 ) - y \Jl + y'1
ay
= Cx
Ct =
constante
e s decir
У' 2 У
- y Vi+y'J
=
V T +Y
CiOJ
y'2y-y-yy'2
= C1V77/1
De la ecuación
ec1
(9) se obtiene fácilmente,
dy
*
=
C , /
Vy2-cí
de donde
(11)
y = C¡ eos
* - C2
i———
Ci
siendo C 2 , C a c o n s t a n t e s arbitrarias.
La (11) representa una catenaria y por lo tanto e s t a e s
la curva que, rotando alrededor del eje Ox, engendra una superficie de revolución mínima. F i g . 2.
2.) PRINCIPIO
DE HAMILTION O DE LA
MINIMA ACCION
Vimos en el 3.), Cap. I-que'.las ecuaciones de Lagrange,
en el c a s o de sistemas conservatorios, asumen la forma:
(12)
dt dq\
- J k
dq¡
=
O
L a s ecuaciones (12) comparadas con las (8') del l,)»Cap.
39
II, permiten deducir que la integral
'2
JLdt
'i
siendo t , t2 dos instantes arbitrarios, puede asumir un valor extremo. Precisamente se puede demostrar por consideraciones más
completas que asume un valor mínimo,
A dicha integral se le dá el nombre de " a c c i ó n " y en base a lo susodicho, Hamilton enunció el principio siguiente: " El
movimiento de un sistema mecánico conservativo
se efectúa con
leyes tales que la acción asume un valor mínimo entre dos instan*
tes
cualquiera".
Dicho principio lleva el nombre de la mínima acción y ma»
temáticamente puede ser expresado por e l símbolo:
<2
(13)
SfLdt
=0
Ejemplos:
1.) Verificar el principio de la mínima acción, en el movimiento de una masa m que d e s l i z a sobre un plano horizontal, bajo la acción de un resorte. Fig. 3.
Indicando por x e l desplazamiento de la masa desde
su posición de equilibrio,
l a s energías potencial y cinética son,
mx
Kx2
T =
2
2
y e l principio de Hamilton,
que queremos verificar, resulta
Figura 3
(14)
SfLdt
= Sf(mx'2
- Kx2)dt
=0
siendo t1 y t2 dos instantes cualquiera.
Sabemos que el cuerpo, bajo la acción de la fuerza elástica del resorte, efectúa un movimiento armónico simple y la coordinada x e s t á representada en función del tiempo por una curva
sinusoidal.
Demos ahora a x un pequeño incremento Sx , tal q u e l a c u r 40
va sinusoidal arriba mencionada s e a levemente distorsionada,
pero manteniendo s u s ordenadas verdaderas para ( = l ¡ y para
t = t2. La velocidad x' de la masa variará en c o n s e c u e n c i a , h a s ta e l valor
*'+
8x)
dt
y e l primer miembro de (14) resulta
f[m(x>
h
- K(x + 8x)2]dt - f(mx'2
«i
+
d
*
-
Кx2)dt
Observando que
я
8x
d S x
y
-JT
son cantidades pequeñas, podemos despreciar los términos que
contienen los cuadrados de l a s mismas, obteniendo:
ta
(15)
f{mx'^--Kx8x)dt
íi
dt
La integral del primer término del p a r é n t e s i s puede hacerse por partes, y s e obtiene
(j
<2
tj
/ mx'~dt
= m | x' 8x | —
fmx"8xdt
dt
tl
tl
Dado que 8x se anula para t = t1 y para t = t2 la ecuación (15) se reduce a
<a
(16)
- f(mx"
+ Kx) 8xdt
h
Dado que e l paréntesis redondo y por lo tanto la integral
se anula para un desplazamiento x variable con la ley sinusoidal,
se deduce que una fuerza de tipo e l á s t i c o engendra un movimiento tal que la acción resulta mínima.
2.) Verificar el principio de la mínima acción en e l movimiento de caída libre vertical de un cuerpo de masa m.
Indicando por z un e j e vertical dirigido hacia arriba tenemos:
T = -j- m z'2
V = m gz
y por lo tanto e l principio de Hamilton, que nos proponemos verificar e s :
41
f
(17)
8
> 1
/(-5-
h
¿
m z'1 - m g z) dt = O
Sabemos que la coordenada z e s t á expresada por la función parabólica
~ — 1
*2
suponiendo e s p a c i o y velocidad iniciales nulos„
Como en el ejemplo anterior, tomemos un intervalo de
tiempo cualquiera desde tí h a s t a t2 y demos a 2 un pequeño incremento 8z, de modo tal que la parábola mencionada quede levemente variada, fuera que para i = tl y t - tr
La velocidad z' de la masa m variará h a s t a el valor
z' +
dt
y e l primer miembro de (17) asume la forma
fU- m (z' + Ц*).
t\ ¿
dt
- mg {.z + 8z) ] dt - f U m z ' 2 - m g z ) dt
2
Despreciando como en el ejemplo anterior los términos
que contienen los cuadrados de 8z y de
d8z
dt
obtenemos,
f\mz'4p
dt
-
mg8z)dt
e integrando por partes el primer término del paréntesis
h
(18)
- f(mz"
+ mg)Szdt
h
Ahora bien el paréntesis redondo se anula s i la caida se
verifica con aceleración constante g y de esto se deduce que la
fuerza peso, a la cual corresponde la aceleración g, engendra un
movimiento en que la acción e s mínima.
El principio de Hamilton queda por lo tanto verificado.
3.) Verificar e l principio de la mínima acción en e l movimiento del péndulo simple. F i g . 4.
42
Tomando el plano xy со»
mo referencia de la energía potencial, tenemos:
Г =
—т12в<2
2
V - mg 1(1 — eos 6)
y debemos demostrar que
/U-
ml26>2-mgl
(1Figura 4
-cos6)]dt
asume un valor mínimo cualquiera que s e a e l intervalo tí , t2 e s
decir
x
2
(19)
8 fÚml26'¡-mgl(l
- cos6)]dt
=0
Sabemos que 6(t) e s t á representada en función del tiempo por una curva sinusoidal. Como en los dos ejemplos anteriores, demos а 6 un pequeño incremento 8 6 en todo el intervalo
t1, t2, de modo tal que la sinusoide mencionada quede levemente modificada excluyendo que en los i n s t a n t e s tt , t2 .
La velocidad angular 6' variará por consiguiente h a s t a
el valor
dt
y el primer término de (19) resulta
4
2
_/{—
h
dt
1
2
2
mi2 в1 - mgl(l
-mgl[l
— cos (0+S0)]|
dt —
— eos 6) } dt
2
d
Despreciando los términos que contienen 8 в2 y (-§¡8 0)
y haciendo sen 86 = 86, eos 86 = 1, tenemos
(20)
d
f (m l26'-j—86
- mgl sen 686) dt
dt
Integrando por partes e l primer término del p a r é n t e s i s redondo y recordando que 8 6 e s nulo para t = t1 y t = t2, la (20)a43
sume la forma
'j
—mi f(l6"+
<1
gsen6)Sedt
Sabemos que el p a r é n t e s i s redondo se anula cuando 0S s u puesto pequeño, e s variable con ley s i n u s o i d a l y e s t o demuestra
que un péndulo, cuyo ángulo de oscilación в varía por naturaleza
con dicha ley, tiene una acción mínima durante el movimiento.
3.) ECUACIONES
DE
JACOBl
En e l 2.) Cap. II, hemos enunciado el principio de la mínima acción y s i indicamos por / la integral
h
fLdt
I
h
<i
podemos expresarlo escribiendo,
Si
=0
Dado que los instantes t1 y t2 son arbitrarios, e s posible
elegir í j = 0 y t2 = t (instante cualquiera) y si además expresamos la función lagrangiana L, mediante la (37*) Cap. I, tenemos
en b a s e a (27')
(21)
I = fLdt
o
= f \ l p . q' — И) dt
o
' '
Diferenciemos ambos miembros, obteniendo
di = p.dq.+p.dq^...
(22)
di
di
- pi »•;—~
d4,
dq2
+ pmdqm ~ Hdt
л
....
di
~=/>m,
dqm
di
dt
= - tt
Siendo la hamiltoníana H función de las variables q., р.,
t , obtenemos de las ecuaciones (22)
<23)
81
-5— +H(
+ Ha [qx,
dt
a q2,
81
—
dqs
31
» — , ..., tt ) -- 0U
dq2
La relación (23) se debe a Jacobi y e s muy importante notar que es una ecuación diferencial parcial del primer orden, cu44
ya función incógnita e s la / que figura dependiente d e l tiempo
y de l a s coordenadas q .
Pero dado que las ecuaciones de Lagrange, como las de
Hamilton nos enseñan que l a s qt dependen de 2m c o n s t a n t e s arbitrarias, se deduce que la I también, debe depender de l a s 2m
c o n s t a n t e s mencionadas.
Sin embargo si tomamos como valores de e s t a s c o n s t a n t e s las coordenadas iniciales correspondientes a 1 1 = 0 y l a s
finales correspondientes a un instante cualquiera 12 = t, se deduce en último a n á l i s i s que la función / dependerá del tiempo/,
de las coordenadas q. y de s u s valores i n i c i a l e s q. (0) que indicamos por
, e s decir
I = l(t,
qt ,
)
Ahora bien Jacobi demostró e l teorema siguiente que nos
limitamos a enunciar, sin demostrarlo.
Si I(t, q. , <x¡ ) e s integral completa de la (23). las ecuaciones del movimiento son
(24)
—
= b,
i = 1, 2,
m,
siendo l a s b ¿ c o n s t a n t e s .
L a s m ecuaciones (24) r e s u e l t a s con respecto a l a s qif
nos darán e s t a s cantidades en función del tiempo y de l a s 2m
c o n s t a n t e s <*;) b¡ .
En el c a s o que los vínculos s e a n independientes del
tiempo y las fuerzas sean c o n s e r v a t i v a s , sabemos que la función
H representa la energía total del s i s t e m a , e s decir
(25)
H(q¡,
p¡ ) = E
siendo E constante y la (21) asume la forma
t
t
/= f(2T — E)dt =
f2Tdt-Et
o
o
t
Si indicamos por S la integral f2Tdt , e s decir
o
t
t
(26)
S = / 2Tdt = f Z p d q
o
o
se tiene
(27)
I = S -Et
45
La función S se llama "acción de Maupertuis" y puede
ser considerada, en b a s e a (26), función de las coordenadas qf
y s u s derivadas parciales valen
(28)
dS
dS
dS
dq 2
dqm
= p,
Pl
d4l
= P
Reemplazando en (25) los valores (28) se tiene
(29)
H(qlt
q2, ....
, .... ,
dq,
dq2
= E
dqm
que e s otra forma de la ecuación de Jacobi y que debe ser interpretada como una ecuación diferencial parcial del primer orden
en la función incógnita S,
Haciendo el mismo razonamiento de la función I, s e deduce que la S va a depender de l a s coordenadas q y de m cons
tante, pero dado que E e s una constante,, se podrá expresar la
suso dicha función S en la forma
S = S (q, r «,,
«2 ,...,
«тш1 , E)
donde
... , « , , E son las m c o n s t a n t e s mencionadas.
m-2
Para la función S vale e l teorema de Jacobi,, que sobre
la base de (24), se aplica en la forma siguiente,
1
*
AL = Al = b
1
d«Cj ~ d«¡
AL Al -t -
дЕ
~ SE
1
"
0
t
i = 1, 2, ... , m-1
siendo las b.í 3y t.o c o n s t a n t e s .
Finalmente e s interesante observar que s en e l c a s o particular mencionado de fuerzas conservativas y vínculos independientes del tiempo, el principio de la mínima acción asume la
expresión siguiente. Siendo
8(T + V) = 8E = 0
de donde
8T = -8V
se obtiene
t
(31)
46
81 = 8 ¡(T-V)dt
o
t
= 8 f 2Tdt
o
= 0
La (31) expresa e l principio de Maupertuis y dice que para un sistema con vínculos independientes del tiempo, sometido
a f u e r z a s conservativas, la acción
S =
¡2Tdt
o
asume un valor mínimo, entre todos los valores correspondientes
a las trayectorias variadas.
Ejemplos;
1.) Determinar las ecuaciones del movimiento de un
cuerpo sometido a una fuerza de tipo central.
Ante todo hay que recordar que el movimiento e s plano y
por lo tanto emplearemos las coordenadas polares p , в con el polo en e l centro de la fuerza. V(p) indicará la energía potencial.
La ecuación de Jacobi (29) resulta
2
1
4
2
— (P
+
—
+ V(p) = E
y por l a s (28)
Dado que en (32) no figura explícitamente la variable в,
podemos buscar una integral de la forma
¿ = «0 + S,(p)
siendo °c una constante.
Reemplazando en (32) tenemos
1
r
a2
. dS,s2
+
] + V(p)
-
E
de donde
d S j d p = V2m(E - V ) St
= f^2m(E
«2/p2
-V)-«2/p2dp
Por lo tanto la integral completa de (32) e s
(33)
S = «0 +
J\/2m(E-V)-<*2/p2dp
47
Aplicando l a s (30) tenemos:
(34)
—
=
0-°c
f
^
(35)
=
p2V2m(E-V)~
d*
—
=
f
d
•^
9
=
t - t
\l2m(E-V)-«z/p2
дБ
60
(Constante)
«ay
0
(t0
constante)
que representan respectivamente la ecuación de la trayectoria y
e l tiempo / empleado por el cuerpo para llegar a un punto P prefijado de e s t a curva.
En e l c a s o particular de una fuerza atractiva de tiponewtoniano la energía potencial resulta
V
=
-
JL
P
siendo ¡i una constante y la (34) asume la forma
Q - вo -
d ( f )
- oc / \¡2m E + 2m fi/p — «Vp2
o también
- - /'
V2« E / « 2 + my/K*
~(l/p ~m
ц/«2)2
Haciendo
w/í/=c2
2m E¡ос2 + т2ц2/кк
= 1/p
=
e2/p2
tenemos
в-е0
= -/
d ( h
—
<Je2/p2-(l/p-
are eos p/e(l/
p-l/p)
l/p)2
de donde
(37)
p
1 + e eos (6 — 60 )
La (37) es la ecuación polar de una cónica de eccentricidad e. En la hipótesis de una trayectoria elíptica, debe ser
e < 1 y por (36)
(38)
48
2m E = -^-(e2
P
-1)
De (38) se deduce que la energía total Б del cuerpo debe ser negativa í si la trayectoria es una e l i p s e .
2.) Determinar el movimiento de un cuerpo libre de masa
m bajo la acción de la gravedad.
Sabemos que el movimiento e s plano y tomaremos como
e j e s de referencia un eje Ox horizontal y uno Oy vertical dirigido hacia abajo.
La energía potencial vale -mgy y la ecuación de Jacobi
(29) resulta
p * ) -
m g y
=
б
y por (28)
09)
M { ^ f
2m dx
+
( ^ f ] dy
m g y
= E
Dado que en (39) no figura explícitamente la variable x ,
podemos elegir una integral de la forma,
S = ocx +
S,(y)
siendo к una c o n s t a n t e .
Reemplazando en (39) tenemos
de donde
= 2m (mgy + E) - =<2
dS,
dy
- \2m(mgy
S
i ~ f\/2m(mgy
+ E) - <*2
+ E)-<x2dy
= —-—[ 2m(mgy +
E)-«2]2
3m2g
La integral completa de (39) será por lo tanto
1
Л
y por las (30) tenemos
49
(40)
dZ
>/2«<mgy +
(constante)
B)-.
dS
(41)
v2m(mgy + E)-<x2 = t~t0
ms
(t0 constante)
De la (40) se deduce inmediatamente
y(x) =
<* — 2mE
2
2m g
mzg ,
+— - x 0
2k2
)2
y se vé que la ecuación de la trayectoria e s una parábola con la
concavidad dirigida hacia abajo?
Combinando la (41) con la (40) se obtiene
.
t~t o = (*-*„>
m
—
ОС
E s t a relación expresa que la proyección del cuerpo sobre
el eje horizontal Ox tiene un movimiento uniforme.
4.) DEDUCCION DE LA ECUACION DE
SCHRODINGER POR MEDIO DE LA ECUACION DE JACOBI
Terminaremos este libro . explicando como s e a posible
deducir la ecuación fundamental de la mecánica cuántica debida a Schrodinger, partiendo de la de Jacobi (29) •
Aplicando dicha ecuación a una partícula de masa m,sometida a una fuerza conservativa tenemos,
H-E
= T(x, y, z.— 2 ,—,—>+
dx dy2 dz2
V(x,y,z)-E
=0
y en base a (28)
(42)
2m
(p2 + p2
x
y
+ p2 ) + V(x, y,z)-E
z
= 0
Ahora bien el método que permite deducir la ecuación de
Schrodinger consiste en reemplazar en (42) la variable p¡ , por
el operador,
50
b
2nj
д
dq¡
donde /' e s la unidad imaginária y A la constante de P l a n c k .
Con esta sustitución la función hamiltoniana H (q,, p,),
se transforma en el operador hamiltoniano,
и (
н(q
b
> z—r
д
\
д—)
2тт] a q¡
y la ecuación (42) resulta
W)
_ •_!!_ /
+
«тг2>я V <9*2
dy2
+
dz2
) + y - в = o
'
Aplicando el operador que figura en el primer miembro
de (43) a una
función xjj(x, y, z, t), s e obtiene,
(44)
donde
+^ - ( E
y
V
s
= 0
indica el operador laplaciano
a
_ <Э2
~ TT~
dx a
+
«9a
dy 5
A
<92
<?z'
La (44) es la ecuación de Schrodinger y la función,
ф(х,
y,z,t)
que la s a t i s f a c e , toma el nombre de "función de onda".
La mecánica cuántica enseña que el término,
W*dV
indica la probabilidad de encontrar en e l instante t , la partícula en el elemento de volumen dV.
La validez del procedimiento anterior, que nos ha permitido encontrar la ecuación de Schrodinger, queda demostrada a
posteriori por los resultados experimentales, que coinciden con
los teóricos que se deducen de la ecuación susodicha.
Nos limitamos a e s t a s breves nociones sin profundizar
más el tema, porque e s t á a l margen de la materia de e s t e libro.
51
Compuesto en Vari-Typer e Impreso en Multilith
en los T a l l e r e s de la
EDITORIAL
UNIVERSITARIA
S. A„
Ricardo Santa Cruz 747
1959