Conducción estacionaria en dos dimensiones

Conducción estacionaria en dos dimensiones
Hasta ahora hemos esbozado las principales soluciones para el caso
de conducción estacionaria en una dimensión. La incorporación de
una segunda dimensión determina que para el caso más sencillo; es
decir contemplando conductividad térmica constante y ausencia de
generación de calor. La ecuación a resolver en el caso de
coordenadas cartesianas, corresponde a la ecuación de Laplace:
2
2
T
2
T
X
2
T
Y
2
0
En general lo método para acometer la solución de esta ecuación
diferencial, los podemos distinguir entre métodos analíticos y
métodos numéricos. Dentro de los métodos analíticos, podemos
mencionar: el método de separación de variables y análisis de
Fourier, transformada de Laplace , entre otros. Las metodologí as
numéricas más empleadas corresponden al método de las
diferencias finitas , el método de los volúmenes finitos de control
y el método de los elementos finitos .
Invitamos al lector, a revisar el material que aparece en el libro de
texto relativo a las m etodologías analíticas.
A continuación, realizaremos la presentación del método de los
volúmenes finitos de control en 2 -D.
Método de los volúmenes finitos de control en 2 -D.
Ecuación:
k
x
dT
dx
k
y
dT
dy
S pT
Sc
0
x
x
N
y
y
E
P
W
y
S
y
x
x
multiplicando la ecuación por el di ferencial de área y procediendo a
integrar sobre el volumen finito e control mostrado en la figura.
n e
k
s w
x
T
e n
dxdy
x
k
w s
y
T
e n
dydx
y
S pT
S c dydx
0
w s
La discretización se prosigue de la manera siguiente, empezaremos
por el termino conductivo en x.
n e
k
s w
x
T
dxdy
ke
x
T
x
kw
e
T
x
y
w
esta primera integración es exacta, la aproximación se refiere a la
discretización de las derivadas mediante:
TE
T
x
x
e
Tp
T
x
TP
w
Tw
x
sustituyendo estas expresiones se obtiene:
n e
T
k
s w
x
dxdy
ke
x
TE
TP
TP
kw
x
TW
y
x
en forma similar se puede demostrar que el termino conductivo en la
dirección y, se puede discretizar mediante:
e n
k
w s
y
T
dydx
kn
y
TN
TP
ks
y
TP
TS
x
y
Finalmente, el termino de fuente puede ser discretizado con ayuda
del teorema del valor medio para una integral,
n e
S pT
S c dxdy
S PTP
Sc
x y
s w
Sustituyendo las expresiones discretizadas en la ecuación original se
obtiene:
ke
TE
TP
x
kw
TP
TW
y
x
kn
TN
TP
y
ks
TP
TS
x
y
que en forma canónica se puede expresar mediante:
a PTP
a N TN
a S TS
aN
aS
aE
aW
aP
aN
a ETE
aW T w
kn x
y
ks x
y
ke y
x
kw y
x
aS
aE
aW
b
Sc x y
SP x y
b
S PTP
Sc
x y
0
La metodología de los volúmenes finitos de control en el caso de dos
dimensiones puede ser acometida con el uso de las computadoras,
mediante el cálculo sistemático de los coeficientes de influencia, (a’s)
y la solución del sistema e cuaciones emergentes de ladiscretización.
Para el cálculo manual, cuando se trata de un número reducido de
volúmenes finitos de control, es preferible utilizar un procedimiento
alternativo, que se fundamenta en el balance de energía en cada uno
de los volúmenes finitos de control que se emplea en la
discretización. Este procedimiento alternativo es ilustrado mediante el
siguiente ejemplo.
Ejemplo. La sección mostrada en la figura es un componente básico
del aislamiento qu e se encuentra alrededor de un ducto cuadrado,
cuyas partes superior
izquierda e inferior derecha están
perfectamente aisladas. La superficie interna es isotérmica y se
encuentra a una temperatura, T h 20 C y la superficie externa es
isotérmica y se encuentra a una temperatura, T c 0 C . El diseño está
caracterizado por k 0 , 5 W / mK y L 20 cm . Empleando el método de
los volúmenes finitos de control, calcule la distribución de
temperaturas y la transf erencia de calor desde T h a T c .
a isla n te
D u c to
c u a d ra d o
a isla d o
L
2
L
Th
2
Th
L
Tc
a isla d o
Tc
L
Datos: T h
Solución:
20 C ,
Tc
0 C,
L
0 , 20 m ,
k
0 , 5 W / mK
A continuación se muestra
resolución del problema:
qa
la
discretización
qb
1
empleada
para
la
qg
qc
qd
qf
2
3
qh
qe
Sobre la discretización; aprovecharemos la simetr ía térmica que
presenta el problema, la cual determina que T1 T 3 .
Balance de energía sobre el Volumen de control 1
qa
qb
1
qc
El balance de energía sobre el volumel de control 1, establece:
qa
qb
qc
0
donde :
qa
kAa
(T c
T1 )
L
4
qb
k Ab
(T1
Th )
L
4
qc
kAc
(T1
T2 )
L
2
que al realizar la sustitución por los valores numéricos determina:
kA
0
T1
T1
0 , 05
20
T1
0 , 05
T2
0
0 ,1
Balance de energía sobre el Volumen de control 2
qc
qd
qf
2
qe
El balance de energía sobre el volumel de control 2, es tablece:
qc
qd
q
f
qe
0
donde :
qd
kAd
(T c
T2 )
L
4
qf
kA f
(T 2
T1 )
L
2
qe
kAe
(T 2
Tc )
L
4
que al realizar la sustitución por los valores numéricos determina:
kA
0
T2
T1
0 , 05
T2
0
0 ,1
T2
T2
0 , 05
T1
0
0 ,1
Resolviendo el sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas, se
obtiene:
T1
8 , 5714
C
T2
2 ,8571
C
El calor transferido entre T c y T h , se puede determinar mediante un
balance de calor global, el cual establece :
qc
4 qa
h
qd
qe
qh
o también, por:
qc
h
4 qb
qg
8qb
Es indudable que la última expresión, es más sencilla de evaluar, en
consecuencia;
qc
h
8qb
8 k Ab
( T1
Th )
L
4
8 0 , 5 0 ,10
8 , 5714
0 , 20
4
20
91 , 42 W / m