Los Fractales y la Música Fractal

Los Fractales y la Música Fractal
Antes de nada, es necesario aclarar el concepto de
fractal. Bien, un fractal es un objeto geométrico
compuesto de elementos, también geométricos, de
tamaño y orientación variable, pero de aspecto
similar. Los objetos fractales tienen la particularidad
de que al aumentar la escala de observación de dicho
objeto, los elementos que aparecen vuelven a tener
el mismo aspecto independientemente de cual sea la
escala que utilicemos, y formando parte, como en un
mosaico de los elementos mayores, es decir, estos elementos tienen una estructura
geométrica recursiva, propiedad conocida con el nombre de autosemejanza.
Arriba tenemos uno de los fractales más famosos, el Conjunto de Mandelbrot, del
que publicaciones tan prestigiosas como la Scientific American han dicho de él que,
hasta la fecha, es el objeto matemático más complicado creado por el hombre.
A la izquierda tenemos, el romanescu, un híbrido del brócoli y la coliflor, ejemplo
típico de estructura fractal natural.
A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen una
imagen de sí mismas en cada una de sus partes, se les llama fractales, y hace ya
más de una década que inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas
reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza. Su lenguaje
se permeó a campos increíblemente diversos de las ciencias naturales y sociales, y
ha hecho de las matemáticas un instrumento novedoso para las artes.
Las herramientas de la geometría fractal son, hoy día, elementos insustituibles en
el trabajo de muchos físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, economistas, etc., pues
les han permitido reformular viejos problemas en términos novedosos, y tratar
problemas complejos de forma muy simplificada. Las formas fractales, que durante
mucho tiempo se consideraron meras "monstruosidades" geométricas e inaplicables
divertimentos matemáticos, subyacen en fenómenos y estructuras tan variadas
como la distribución de las estrellas del Universo, la ramificación alveolar en los
pulmones, la frontera difusa de
una nube, las fluctuaciones de
precios en un mercado, y aún
en la frecuencia de repetición de
las palabras de este texto.
A la derecha tenemos otro
ejemplo de estructura fractal: la
hoja de un helecho vista a
diferentes escalas presenta un
aspecto semejante al de la vista
en la escala original.
Hay fractales en los depósitos y
agregados electroquímicos, y en
la trayectoria de las partículas
de polvo suspendidas en el aire.
Fractales escondidos en la
dinámica de crecimiento
poblacional de colonias de
bacterias, y detrás de todo flujo
turbulento. Fractales en todas
partes; fractales en una lista
interminable de objetos reales que son testigos mudos de una interminable
obsesión de la naturaleza.
Como entidades geométricas, los fractales tienen características peculiares.
Imaginar curvas de longitud infinita que no se extienden en todo el espacio, o
concebir un objeto con dimensión fraccional es el tipo de cosas que debemos estar
dispuestos a enfrentar. Si la realidad es así, lo que debería asustarnos es lo que
durante tanto tiempo concebimos como normal.
Los fractales han revolucionado la tecnología de la generación y reproducción de
imágenes. Hoy día no sólo se les utiliza para almacenar o trasmitir señales visuales,
sino también para simular paisajes. Hojas fractales para un árbol fractal en un
bosque, un planeta, una galaxia digna de la más refinada película de ciencia ficción.
Los fractales parecen encontrarse en esa frontera difusa que existe en este mundo
entre el caos y el orden; están ahí donde la imaginación apenas llega. De hecho,
muchas veces se utiliza el término Geometría del Caos como sinónimo de
Geometría fractal.
Música fractal
Beethoven, Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores. Pero,
curiosamente, lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que su música
presenta ciertas propiedades fractales.
La coral situada al final de (Kunst der Fuge) (1749) de Johann Sebastian Bach es
un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una
y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así,
por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz
principal (un motivo se repite por disminución a escalas menores).
Hay varios trabajos que analizan la manifestación de estructuras fractaliformes en
composiciones clásicas: por ejemplo, en algunos se estudia la analogía entre la
estructura del conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, así como
entre el triángulo de Sierpinski y el tercer movimiento de la sonata para piano
número 15, opus 28, también de Beethoven; en otros se analiza la autosemejanza
de las fugas de Bach.
La música fractal intenta establecer los potenciales usos de la recursión, la iteración
y las matemáticas complejas como una extensión de la composición musical. Así
llegamos a que los fractales proveen una inesperada conexión entre las artes
musicales y muchos procesos naturales, ya que mezclan cualidades deterministicas
y estocásticas para producir naturalmente un agradable y no-estético balance entre
predecibilidad y novedad. La estructura jerárquica del fractal autosemejante es
análoga a la repetición y desarrollo de motivos musicales usados para crear unidad
y coherencia en la música.
Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear música techno con bases
fractales. Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría
fractal como apoyo en sus composiciones. Una enorme cantidad de fractales puede
ser fácilmente creado con un computador para ser usado como fuente inagotable de
ideas musicales.
Texto extraído de un trabajo realizado para la asignatura Matemáticas en la Vida
Cotidiana
durante el curso 2005/06, por el autor de esta Web: Amir Al-Majdalawi Álvarez