universidad autónoma de yucatán facultad de matemáticas

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Predicción y modelación matemática. Características de un
punto de encuentro
TESIS INDIVIDUAL
Presentado por:
Geovany Ariel Moguel Pardío
Asesor de tesis:
M. en C. Eddie Aparicio Landa
Para obtener el título de
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Mérida, Yucatán, México
Julio, 2011
Agradecimientos
Es muy grato para mi agradecer ante todo a Dios, por haberme dado la oportunidad de
compartir este logro con mis seres queridos, pero sobre todo por guiarme en este camino que
hoy da fin a un ciclo de mi vida.
Gracias a mis padres que tanta esperanza y esfuerzo pusieron en mí y que sin dudar en
ningún momento me dieron la mano para levantarme. Muchas gracias papá por forjar en mí
ese carácter fuerte y a mi mamá por darme ese aliento, cariño y valor para luchar contra
todo.
De igual forma, muchas gracias hermanos por estar ahí día con día, Jimmy con su
responsabilidad de ayudar a los demás y asimismo y Fernando siempre siendo el mejor con su
esfuerzo y dedicación.
Quiero agradecer también a mis maestros que guiaron mi interés, entusiasmo y potencial
junto con otras cualidades y actitudes. Eddie gracias por alentarme a seguir y despertar mi
interés hacia el estudio de la Matemática Educativa, fue muy grato para mi trabajar el
proyecto de tesis con usted.
Muchas gracias a mis amigos que estuvieron ahí siempre alentándome a seguir a pesar de las
adversidades, por alegrarme en los momentos difíciles y más que nada por entenderme
siempre. Elizabeth gracias por tu apoyo incondicional, por la oportunidad de ser tu amigo y
por todo lo que en nuestro camino aprendí de ti. Leslie gracias por ser una gran amiga, por
enseñarme con tu carácter a luchar por lo que uno quiere y más aún a tener una meta.
Gracias de igual forma a todas las personas que estuvieron a mi lado en este ciclo de mi vida,
en especial a la persona que en este cierre de ciclo me ha apoyado y alentado, y sé que
siempre lo hará, gracias Reina.
Índice
Introducción ............................................................................................................................. i
Capítulo 1 - Antecedentes y planteamiento del problema de estudio ........................................ 1
1.1
La ciencia y las matemáticas en el desarrollo histórico de la sociedad ....................... 1
1.2
La modelación en la matematización de los fenómenos naturales .............................. 3
1.3
La construcción de conocimiento matemático del Cálculo ......................................... 6
1.4
Tratamiento escolar de los conceptos del Cálculo y algunas implicaciones ................ 9
Capítulo 2 - Justificación y objetivo de estudio ..................................................................... 12
2.1
La predicción y modelación en el desarrollo de la ciencia ....................................... 12
2.2
La predicción y la modelación matemática .............................................................. 14
2.3
El Praediciere (La noción de predicción) ................................................................. 15
2.4
El Praediciere en situación escolar .......................................................................... 15
Capítulo 3 - Consideraciones teóricas y metodológicas ......................................................... 16
3.1
La Socioepistemología ............................................................................................ 16
3.2
Práctica Social: Predicción ...................................................................................... 17
3.3
Niveles de la noción de predicción .......................................................................... 19
Capítulo 4 - Método de estudio ............................................................................................. 20
4.1
Análisis preliminar .................................................................................................. 20
4.2
Diseño del instrumento y experimentación .............................................................. 25
Capítulo 5 - Análisis y resultados de la experimentación ....................................................... 29
5.1
Análisis de datos de la experimentación .................................................................. 29
5.2
Resultados de la experimentación ........................................................................... 62
Capítulo 6 - Conclusión y discusión ...................................................................................... 66
6.1
Conclusión .............................................................................................................. 66
6.2
Discusión ................................................................................................................ 67
Bibliografía ........................................................................................................................... 70
Anexos.................................................................................................................................. 75
Introducción
En el proceso de construcción de conocimiento matemático en situación escolar, se hace
necesario que los estudiantes experimenten, conjeturen, analicen datos numéricos, justifiquen
y formulen modelos que les permitan predecir cómo sucede la situación o fenómeno, para
generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de
naturaleza sociocultural.
El presente trabajo de investigación enmarca esta problemática, y centra su atención en
identificar la naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo
estudiantes de distintos niveles educativos ante actividades específicas de predicción; y a su
vez, precisar el estatus que guarda la noción de predicción, identificables en dichas
actividades, con base en la estructura por niveles de la noción de predicción (El Praediciere)
propuesto por Cantoral (2001).
La idea de predecir yace en la interacción de las personas con su entorno sociocultural, y es El
Praediciere (su noción de predicción) la que se construye socialmente a partir de las vivencias
y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la necesidad de predecir
(Cantoral, 2001).
Por ello, se toma como fundamento la aproximación teórica Socioepistemológica que ofrece
una forma de articular esta actividad humana con el conocimiento matemático, incorporando
el estudio de las interacciones entre la epistemología del conocimiento, su dimensión
sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía
la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2002). Asimismo, en la aproximación teórica epistemológica
se buscan las bases elementales de significación para el rediseño del discurso matemático
escolar y también, investigación de corte experimental que enfatice en actividades de
“simulación y modelación”, con la intención de que los estudiantes construyan conocimiento a
través de la resignificaciones que se reproducen en dichas actividades (Camacho, 2006).
Este documento presenta en el primer capítulo la descripción y justificación de los tipos de
problemas, sus relaciones y las ideas relacionadas con la posibilidad de predecir, calcular y la
naturaleza de los problemas (variacionales) que se plantearon en los siglos VXII y XVIII.
i
Asimismo, se plantean algunos aspectos relacionados con la modelación como un proceso de
matematización de la naturaleza (construcción de modelos matemáticos) y las aportaciones
que vislumbran algunas investigaciones en Matemática Educativa de la construcción de
conocimiento matemático.
En el segundo capítulo se justifican elementos esenciales para el desarrollo de prácticas
escolares más acordes a necesidades cotidianas y reales, como el modelar o predecir el entorno
natural. De igual forma, se discute sobre como la predicción y la modelación pudiera ser una
forma de estudiar y explicar la construcción de conocimiento matemático.
Las consideraciones teóricas y metodológicas se justifican en el tercer capítulo. En este se
plantea el marco teórico, y de igual forma se describen los niveles que determinan el status
que guarda la noción de predicción, propuestos por Cantoral (2001).
En el cuarto capítulo se presentan los análisis preliminares, el diseño y la experimentación del
instrumento. En este capítulo, se presenta una descripción del instrumento aplicado en los
niveles educativos básico, medio y superior, así como los supuestos que encamaran su
aplicación.
El análisis de datos de la experimentación y los resultados obtenidos, se presentan en el
capítulo cinco. En este capítulo, se muestran las respuestas y explicaciones escritas por los
estudiantes de cada nivel educativo, y asimismo, se presentan las anotaciones realizadas por el
observador y los resultados obtenidos.
Por último, en el sexto capítulo se presenta la conclusión y discusión que ofrece la
investigación, los cuales exhiben características esenciales para rediseño del discurso
matemático escolar, particularmente, del cálculo y el análisis.
ii
Capítulo 1
Antecedentes y planteamiento del problema de estudio
1.1 La ciencia y las matemáticas en el desarrollo histórico de la sociedad
La ciencia al igual que las matemáticas forman parte específica de la conciencia social, siendo
de esta manera más que un resultado de intercambio de conocimiento, teorías y métodos
(Wussing, 1998). A su vez, es importante rescatar que a lo largo de la historia se identifica una
estrecha relación entre la ciencia y las matemáticas, siendo esta última la que ha impulsado el
desarrollo de una sociedad científica y tecnológica (Marcolini y Perales, 2005). Asimismo,
ambas se han convertido, por ello, en participes de importantes decisiones políticas,
económicas y sociales, apoyadas en el desarrollo de investigaciones sólidamente
fundamentadas y con objetivos claros (Wussing, 1998).
Por supuesto, esta visión de la ciencia y las matemáticas permite notar su función
conformadora en las sociedades, esto es, que de modo directo y múltiple han influido en el
progreso social, en cuanto a la producción, la economía, el profesionalismo, la educación, la
formación ideológica y el desarrollo tecnológico. Al mismo tiempo, en una reflexión
epistemológica de la ciencia y las matemáticas, se ve reflejado su impacto sociocultural en las
investigaciones desarrolladas en diferentes áreas de conocimiento como la física, la
astronomía, la ingeniería y la mecánica, por mencionar algunas.
Este hecho actuó objetivamente como una importante necesidad social, la cual se orienta hacia
la búsqueda de la comprensión del sistema que regula los fenómenos en la naturaleza. Así, por
ejemplo, la influencia de los astros en la vida terrestre y el destino individual fueron aspectos
claves en el estudio de las estrellas, el movimiento planetario y del universo; los viajes
marítimos, la fabricación de barcos, el diseño de canales y la construcción de puertos y presas,
motivaron el entendimiento de la dinámica de los fluidos; la artillería por su parte, planteó
cuestiones de balística, esto es, el estudio de las fuerzas, trayectorias y rotaciones de los
disparos; al igual en la música se discutieron las causas que regulan la armonía producida en el
sonido en los instrumentos de cuerda, permitiendo de esta forma el análisis de las relaciones
armónicas, el movimiento de las cuerdas y sus oscilaciones.
1
Por consiguiente, estas ideas de estudiar los fenómenos en la naturaleza, estaban presentes en
los diversos trabajos que se discutieron desde los siglos dieciséis hasta principios del siglo
diecinueve. Es así que se realizaron diversos estudios en torno al movimiento de proyectiles,
cabe destacar las investigaciones del científico Galileo (1564-1642), quien prescindió algunos
de sus trabajos en “revelar la forma de la trayectoria seguida por los graves al caer después de
rodar a través de un plano inclinado” (Naylor, 1974, citado en Álvarez y Posadas, 2003).
Por otra parte, en la fenomenología del movimiento del universo, los estudios de Newton
(1643-1727) plantearon la búsqueda de la causa que provoca este movimiento, proponiendo el
problema que consiste en determinar “cuál debía ser la curva descrita por un planeta sometido
a la acción de una fuerza atractiva dirigida hacia el Sol, y cuya magnitud fuera inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos” (Torroja, 1998).
En el estudio de las relaciones armónicas se enfatizaron los problemas que hondaron en
determinar el movimiento de una cuerda tensa y encontrar el tiempo de vibración propuestos
por Taylor (Guzmán, 1983). De igual manera, Bernoulli planteó el problema que consiste en
determinar “la oscilación de una cuerda homogénea flexible pesada suspendida de un
extremo” (Luzin, 2003).
Del mismo modo, se puede encontrar en los trabajos de Euler (1707-1783) sobre la dinámica
de fluidos, un planteamiento equivalente que consiste en “determinar las ecuaciones del flujo,
sea este comprensible o incomprensible” (Cantoral, 1990). Y también, este tipo de problemas
se reconocen en las investigaciones realizadas por Fourier al problema de determinar “la
relación que guarda la acción del calor con el sistema del mundo” (Cantoral, 2001).
Así, se reconoce que las situaciones o fenómenos antes mencionados forman parte de un
escenario sociocultural específico, que exigían de su comprensión, estableciendo de esta forma
el reconocimiento de la necesidad de explicar su evolución mediante el descubrimiento de
leyes que regulen el comportamiento de éstas (Cantoral, 2001), al mismo tiempo, resultó
natural la consideración de estudiar los fenómenos en la naturaleza, en particular, los de
variación continua, permitiendo con su entendimiento el desarrollo de avances científicos y
tecnológicos, y a su vez de la construcción de conocimiento matemático.
2
1.2 La modelación en la matematización de los fenómenos naturales
Los estudios que se realizaron en torno al entendimiento de la variación en fenómenos de la
naturaleza, planteó la necesidad esencial de explicar su comportamiento, lo que implica
conocer sus elementos y funcionalidad; reconociendo el cómo sucede, para así controlar de
algún modo las condiciones en que se producirá tal fenómeno y predecir bajo qué condiciones
se podrían producirse acontecimientos futuros.
Evidentemente, este propósito que busca “modelar”, “anticipar” y “predecir” los fenómenos
en la naturaleza con el respaldo matemático, surge como una necesidad del funcionamiento del
tejido social y está dirigida en dar cientificidad a tal tratamiento, pues modelar el mundo real,
construir modelos válidos y procesos reales, constituyen el objeto de estudio en la
construcción de conocimiento científico (Hestenes, 1992, citado en Gutiérrez, 2002).
Por ello, se buscan “modelos” que incorporen el reconocimiento de una serie de relaciones
funcionales que serán construidas mediante la observación de una serie de experiencias
elementales, con las cuales se obtiene una colección de datos que permitirán explicar y
predecir el fenómeno estudiado a partir de su análisis (Cantoral, 2001), esto es, la
matematización de los fenómenos en la naturaleza.
Este proceso de matematización descansa en las propias producciones científicas que se
desarrollaron en las diferentes esferas del conocimiento, como se mencionó anteriormente.
Galileo estudió el movimiento de proyectiles y demostró “que el movimiento del proyectil
podía considerarse, en el caso de elevación nula, como resultado de la composición de dos
movimientos independientes, que no interfieren entre sí: un movimiento horizontal uniforme
y un movimiento vertical uniformemente acelerado” (Sorge, Ramírez y Otero, 2007), que
describe en su trayectoria una línea curva parabólica. A continuación, se presenta los detalles
esenciales del folio 152r, en donde Galileo busca la relación entre espacios y las velocidades.
3
[Suponer que] AB es a AD como AD es a AC. Sea
BE el grado de velocidad en B [y] CF el grado de
velocidad en C. [Si] AB es a AD como BE es a CF,
[entonces] AD es a AC como BE es a CF. Se sigue
que los cuadrados [de estas últimas cantidades] son
iguales entre sí y que AD es a AC como BE
es a CF. Y siendo esta misma razón [similar a la
primera], entonces BD es a CF como AB es
a AC.
Ilustración 1. Detalles esenciales del folio 152r, en donde Galileo busca la
relación entre espacios y las velocidades.
Asimismo, en la resolución que presentó Newton sobre el estudio del movimiento del
universo, se menciona que la curva que describe ese movimiento tiene una trayectoria elíptica,
y en su exposición literaria se presenta que “el movimiento real del planeta se descompone en
un par de movimientos simples, ambos rectilíneos, uno inercial sobre la trayectoria tangente a
la trayectoria elíptica y otro de caída libre desde la posición imaginariamente inercial”
(Cantoral, 2001), proponiendo en su resolución un “modelo” que determina la fuerza que
ejerce un objeto con masa
sobre otro con masa
⃗
(Torroja, 1998).
⃗⃗
Respecto a la matematización del fenómeno de la cuerda vibrante, Taylor obtuvo la “ecuación
diferencial” de la cuerda, con la cual estableció que el movimiento de un punto arbitrario es el
de un péndulo simple, determinando su tiempo de vibración y su periodo (Guzmán, 1983). Por
su parte, Bernoulli obtiene la resolución al problema de las vibraciones de una cuerda flexible
pesada en la forma:
(⁄ )
es la abscisa de un punto de la cuerda,
es la desviación de la posición de equilibrio, y
, donde a se determina por la condición
, donde
es la longitud de la cuerda (Luzin, 2003, p. 417).
4
En el estudio de la dinámica de los fluidos, Euler constituye un sistema de ecuaciones que
“describen los movimiento de fluidos ideales incomprensibles de densidad constante
,
sometidos a la fuerza gravitatoria caracterizada por la aceleración ” (Liñán, 2009).
Ecuación de continuidad
(
)
(
)
(
)
También se reconoce en la investigación que realiza Fourier al problema de la conducción del
calor en un cuerpo sólido, la resolución a través de la “ecuación”
(
)
que describe la distribución del calor o variaciones de la temperatura en una región conforme
transcurre el tiempo (Cantoral, 2001).
En estos problemas se advierte el planteamiento de un objetivo, el estudiar un cierto fenómeno
de naturaleza variacional para describir su evolución, es decir, un fenómeno de naturaleza
variacional-predictiva, sea caída libre o movimiento uniforme y uniformemente acelerado de
los cuerpos, fuerza de atracción entre cuerpos, variaciones de la temperatura en los cuerpos
sólidos, dinámica de los fluidos, vibraciones de un sistema, entre otros; para luego plantear en
su resolución un sistema de relaciones de dependencia entre las variables y la cuantificación
de los parámetros asociados al fenómeno estudiado, es decir, un modelo matemático.
5
1.3 La construcción de conocimiento matemático del Cálculo
La matematización de los fenómenos de naturaleza variacional-predictiva posibilitó el pasaje
de un esquema pre-científico del saber, al paradigma propio de la ciencia moderna, en la cual
se vislumbra la evolución del conocimiento científico y tecnológico; y el desarrollo de los
fundamentos de la matemática, en particular, la matemática de la variación y el cambio. Y es
en este momento histórico que se precisa el reconocimiento de la construcción de “objetos
matemáticos” en las producciones originales de los científicos.
El hecho de modelar estos fenómenos, incorporando una serie de relaciones de dependencia
entre las variables involucradas, planteó cuestiones en torno al concepto función, generando
nociones como por ejemplo, la función como curva, como expresión analítica, como
representación gráfica, como serie de potencias infinitas y serie de senos y cosenos.
Asimismo, el comportamiento continuo, discontinuo y repetitivo de las funciones que
modelaban estos fenómenos hizo evidente el estudio de la continuidad puntual (Aparicio y
Cantoral, 2006), las funciones por partes (Yam y Aparicio, 2009) y lo periódico en las
funciones trigonométricas (Buendía, 2004).
También se desarrollaron simultáneamente ideas simbólicas para representar la variación y el
cambio en diferentes contextos, tales como los métodos geométricos, métodos numéricos y los
métodos analíticos. Sin duda, esto posibilitó la evolución de las herramientas y estrategias para
la modelización de la naturaleza, permitiendo resolver los problemas que se planteaban en esa
época, como el cálculo de longitudes de curvas, áreas bajo curvas, la determinación de rectas
tangentes a curvas dadas o la cuadratura y curvatura de ciertos objetos geométricos; así como
el estudio de la velocidad y máximos y mínimos como procesos de variación (Cantoral, 2003).
Además, se reconoce el ingenio y el avance de las ideas que surgieron para el tratamiento de
los problemas de la dinámica en particular y de la variación de las magnitudes variables en
general, por ejemplo, los procesos infinitos se reconocen en los procesos infinitesimales en el
cálculo de Leibniz, quien parte de considerar los problemas de esa época con una visión
geométrico-euclidiana, concibiendo el continuo geométrico formado por segmentos
infinitesimales y la recta tangente como aquella que une dos puntos infinitamente próximos.
Al mismo tiempo, la idea de Leibniz a cerca de los infinitesimales, fue la de aceptar tales
6
cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes, pensándolas como entes ideales,
del estilo de los números imaginarios que debían ser gobernados por las mismas leyes que los
números ordinarios (Ruiz y Martínez, 2005).
Por su parte, Newton (1642-1717) con su concepto fundamental del cálculo, el de fluxión,
parte de una visión cinemática del análisis, y afirma en su De quadratura curvarum:
“No considero las magnitudes matemáticas como formadas por partes de
todo lo pequeñas que se quieran, sino como descritas por un movimiento
continuo. Las líneas son descritas y engendradas, no por yuxtaposición de
sus partes, sino por el movimiento continuo de sus puntos; las superficies,
por movimiento de líneas; los sólidos, por movimiento de superficies; los
ángulos, por la rotación de sus lados; los tiempos, por un flujo continuo; y
así sucesivamente” (Ortega y Sierra, 1998, p. 89).
De ahí determinó que las cantidades variables a cuerpos en movimiento, son cantidades que
van fluyendo (fluentes), según la velocidad de variación con la que cada una crece (fluxiones),
las que a su vez varían (fluxión de las fluxiones) y así sucesivamente. Asimismo, establece la
teoría de las llamadas “razones primera y última”, refiriéndose a la razón primera de los
incrementos nacientes (nociones infinitesimales) o la razón última de incrementos
evanescentes (límites) (Ortega y Sierra, 1998).
Una aplicación concreta de las ideas de Newton se vislumbra en la síntesis newtoniana, que
involucra el estudio del movimiento del universo mencionado en el apartado anterior, en la
cual “unifica en una sola teoría las primeras leyes matemáticas que describen el movimiento
celeste de Kepler, con las leyes del movimiento terrestre elaboradas por Galileo, auxiliándose
para ello de las nociones de infinitesimales y de límites (primeras y últimas razones)”
(Cantoral y Farfán, 2004).
A su vez, las ideas de Newton a cerca del cálculo de fluxiones, permitió la predicción de los
fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, generando modelos que atendían la evolución
de un sistema que regula el comportamiento del fenómeno. Es así, por ejemplo, que para
ciertas situaciones en las que se necesita conocer el valor que tomará una magnitud
con el
7
paso del tiempo, la que a su vez depende de una magnitud
precisará el valor que tomará
que fluye incesantemente, se
antes de que transcurra el tiempo, antes de que
transite de un
estado a otro, reconociendo los valores de B y de P en un momento dado, de la forma en la que
P y B cambian, de la forma en la que cambian sus cambios, y así sucesivamente. De modo que
el objetivo central de estudio, es identificar cómo será
, una vez conocido el inicio de P,
el cambio que sufre P, el cambio del cambio de P, etc.
En estas situaciones se precisa de la “predicción” de los fenómenos en la naturaleza, es decir,
la posibilidad de anunciar, anticipar y determinar el estado final del fenómeno estudiado. Este
hecho, evocó un programa de matematización emergente de aquella época, con el que se
buscaba “modelar”, anticipar, “predecir” fenómenos naturales con el respaldo matemático, el
objeto matemático “Binomio de Newton” (Cantoral y Farfán, 1998).
Como es evidente, la necesidad de explicar la evolución de los fenómenos de naturaleza
variacional-predictiva, generó la construcción de herramientas matemáticas adecuadas para
calcular y predecir, tal es el caso de los programas de matematización: Leibniziano y el
Newtoniano, los cuales representan las primeras nociones del concepto función derivada. A su
vez, al presentar la resolución a estos problemas, se reconoce que el problema de las
cuadraturas y el de las rectificaciones eran problemas inversos, generalizando la idea de que la
derivación y la integración eran procesos inversos; obteniendo lo que hoy día conocemos
como Teorema Fundamental del Cálculo.
Asimismo, la resolución de estos problemas, sean mecánicos, geométricos o de otra índole que
dieron origen a los conceptos de derivada e integral, no requerían necesariamente de encontrar
una primitiva o una derivada, sino en determinar una función desconocida a partir de la
relación que guarda con sus variaciones y sus cambios, es decir, determinar las soluciones de
una ecuación diferencial. Es por ello que Euler en el tratamiento analítico de los problemas de
la Mecánica, presenta como objeto fundamental del cálculo el estudio de las funciones y las
operaciones realizadas sobre ellas, convirtiendo el Cálculo en una rama más amplia de las
Matemáticas denominada Análisis (Sanz, 2009; Bombal, 2009).
8
1.4 Tratamiento escolar de los conceptos del Cálculo y algunas implicaciones
Las producciones científicas así entendidas, han planteado procesos de modelación
matemática asociados a situaciones que precisan de la predicción de los fenómenos de flujo
continuo, en la necesidad de saber cómo será su estado con el paso del tiempo. A su vez, los
avances científicos y tecnológicos que se desarrollaron en torno a estas producciones en
distintas épocas y culturas, las han reconocido como objetos para su estudio y difusión, ya que
permitieron resolver problemas de las matemáticas, de las ciencias naturales, sociales y
humanas. Por ello, en un esfuerzo por ser objetos de enseñanza, se han hecho aportes que han
permitido los cambios y el refinamiento necesario para introducirlos como “objetos
matemáticos” (puro, aplicado y a enseñar) al sistema educativo, en formas organizadas con
nombres tales como Cálculo, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Matemático. Por ejemplo en
los cursos de Cálculo se identifica el estudio de los conceptos función, límite, derivada,
integral, el Teorema Fundamental de Cálculo, el Binomio de Newton, etc.
La incorporación de estos objetos matemáticos al discurso matemático escolar, obliga a
otorgar un tratamiento que reduce el conocimiento matemático y su significado estrictamente
formal, a objetos matemáticos concretos, hechos e inmutables, es decir, se les exhibe como un
resultado de naturaleza teórica (propia de la Matemática), que requiere de principios, axiomas,
conjunto de postulados, definiciones y reglas de inferencia deductiva, las cuales son necesarias
y suficientes para su demostración (Martínez, 2001). Así por ejemplo, el objeto matemático
límite de una función se presenta como:
Por ello, Azcárate hace énfasis en que “el carácter de los programas vigentes, así como la
propia estructura de estudios, ha inducido una enseñanza de las matemáticas en la que se ha
descuidado su papel como instrumento de conocimiento” (Azcárate, citado en Marcolini,
Perales, 2005), planteando en el ámbito escolar, prácticas tradicionales que inician desde la
organización de la estructura curricular en las escuelas, así como en la cultura de la enseñanza,
en cuya producción y reproducción participan activamente profesores, estudiantes y
administradores (Cuba, 1984, citado en Gregg, 1995). Esta práctica resulta ser una instrucción
en la que el discurso matemático escolar es propiamente formal y descontextualizado, basado
9
en la memorización de conceptos que plantea el profesor; resolución de problemas
descontextualizados; la aplicación de procedimientos y algoritmos para una única solución del
problema; y la reproducción de procedimientos en varios ejercicios similares para la
validación del conocimiento adquirido (Gómez, 1991). Por ello, tradicionalmente los cursos de
Cálculo y Análisis se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos
provenientes esencialmente del Álgebra y de la Geometría Analítica; donde por ejemplo, el
estudio del concepto función se introduce de una manera muy simplista, presentándose como
un procedimiento que se aplica a unos ciertos objetos llamados números; que posteriormente,
deviene a ser objeto al ser operado bajo otro proceso como la diferenciación, la integración o
como parte de un conjunto de soluciones en las ecuaciones diferenciales (Cantoral y Farfán,
1998).
Ante esta tendencia en la enseñanza del Cálculo y el Análisis, se puede reconocer las
dificultades de diferente naturaleza en el aprendizaje del conocimiento matemático,
principalmente, el soslaye del “significado” de tales objetos. Se puede mencionar, las
discusiones que surgen para superar los modos de pensamiento numérico y algebraico previas
al estudio del Cálculo y el Análisis, puesto que estos incorporan nuevas ideas como la
variación y el cambio, y el tratamiento a través de procesos infinitos, lo que Cantoral y Farfán
(1998) denominan pensamiento y lenguaje variacional.
Por otra parte, la adquisición del conocimiento matemático a través de la enseñanza
tradicionalista, limita la “funcionalidad” de este conocimiento en situaciones cotidianas, esto
se hace evidente en numerosos estudios en los últimos años, los cuales muestran que las
personas utilizan procesos diferentes para estas situaciones (Torbay, 1999), en general
alejados de los que se aprenden en la escuela. Esto permite enfatizar la falta de transferencia
de conocimiento por parte de los estudiantes a escenarios escolarizados y no escolarizados,
haciéndose carente en ellos la competencia cognitiva general y, en concreto, la posibilidad de
llevar a cabo razonamientos lógicos formales asociados al pensamiento científico. Una clara
evidencia se puede encontrar en un estudio realizado por Acosta y Castro (2006), en la que
estudiantes de secundaria y primeros semestres universitarios no fueron capaces de
argumentar hacia donde gira la tierra.
10
De esta forma se concluye que los tipos de razonamientos que favorecen en los estudiantes el
poder experimentar, explorar, observar, conjeturar, justificar y argumentar para obtener una
solución a un problema planteado, no se propician en la formación escolar, identificándose de
esta forma lo señalado por Cajas (2001):
“la mayoría de los miembros de nuestras sociedades, entienden muy poco
acerca de la naturaleza de la ciencia y la tecnología… En lo que respecta a
tecnología (como parte del desarrollo de la ciencia), esto no es ninguna
sorpresa, pues en ningún momento en su trayectoria escolar nuestros
estudiantes reciben una educación explícita en tecnología. En los programas
escolares muy pocas veces se estudia la interacción entre la ciencia,
tecnología y sociedad…” (Cajas, 2001, p.243).
En definitiva, el tema de importancia en las sociedades contemporáneas, el cual ha sido
considerado desde hace décadas, es el proceso de la culturización científica-tecnológica de sus
miembros. Algunas investigaciones (Gil, 1998; Silvio, 1998; Cajas, 2000) confirman el bajo
nivel de alfabetización científica y tecnológica en los miembros de nuestra sociedad, con lo
que se reconoce la necesidad de implementar modificaciones educativas apoyadas en la
postura clásica positivista1, particularmente, en el discurso matemático escolar (Cantoral y
Farfán, 2003).
1
Postura concerniente a la determinación del qué enseñar, no del cómo enseñar (Marcolini y Perales, 2005)
11
Capítulo 2
Justificación y objetivo de estudio
2.1 La predicción y modelación en el desarrollo de la ciencia
El hombre siempre ha tratado de entender el mundo sobre la base de su inteligencia
imperfecta, construyendo un mundo artificial que le permita alcanzar una reconstrucción
conceptual, esto es, un creciente cuerpo de ideas llamado "ciencia" (Bunge, 1968). La ciencia
como actividad (investigación), pertenece a la vida social, en cuanto se le aplica a la mejora de
nuestro medio, a la invención y manufactura de bienes (tecnología) y al desarrollo de sí
misma.
Esta actividad que se genera en el quehacer científico durante la construcción de
conocimiento, plantea realizar observaciones y experimentos de los fenómenos naturales, para
determinar si el mundo de nuestras hipótesis corresponde al mundo real. Por ejemplo, se
construyen datos empíricos, llevando registros metódicamente por períodos razonables de
tiempo, de los cuales se deriva información empírica; para finalmente crear y defender un
modelo exacto de los fenómenos observados (Slater, 1994, citado por Gutiérrez, 2002).
Con ello, se reconoce que la tarea de la ciencia, en su parte teórica es la explicación, en el
sentido de que no se conforma con describir cómo es el mundo sino que intenta dar cuenta de
las razones por las cuales las situaciones o fenómenos se comportan del modo en qué lo hacen,
esto a través de un modelo que represente la realidad observable; y en su parte práctica es la
predicción, puesto que todas las situaciones o fenómenos requieren de principios que sean
predictivos de los efectos particulares que ocurrían si efectuamos ciertos cambios específicos
en un sistema dado (Popper, 1983, citado Verdugo, 2005; Gutiérrez, 2002). Esto es, se trata de
dos aspectos diferentes y la misma actividad, tal como menciona Cantoral (2001):
“[…] con el reconocimiento de la necesidad de explicar mediante el
descubrimiento de leyes que regulan el comportamiento de los fenómenos; se
buscan modelos que predigan el desarrollo ulterior de lo observable.” (p. 58).
12
Asimismo, entre las actividades que se desarrollan en el quehacer científico, se reconoce
conceptos tales como:
Predecir (DEO2, RAE 3): Anunciar por revelación, ciencia o conjetura, algo que ha de
suceder.
Predecir (DLE 4 ): Conjeturar, suponer, admitir por hipótesis, significar, representar,
demostrar, indicar.
Modelo (RAE): Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o
de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para
facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.
Modelo (DEO): Reproducción ideal y concreta de un objeto o de un fenómeno con
fines de estudio y experimentación.
Modelo (Ríos, 1995): Es un objeto, concepto o conjunto de relaciones, que se utiliza
para representar y estudiar de forma simple y comprensible una porción de la realidad
empírica.
De este modo, se justifican elementos esenciales para el desarrollo de prácticas escolares más
acordes a necesidades cotidianas y reales, los cuales posibilitan que los estudiantes construyan
sus conocimientos matemáticos como herramienta para realizar su actividad, y al mismo
tiempo, establezcan versiones del fenómeno que las constituyan como parte de su
conocimiento científico (Arrieta, 2003). Se enfatiza con esto, el estudio del entorno natural
con el objeto de predecir cómo sucede una situación o fenómeno y generar a través de un
modelo, un mundo artificial que represente de forma objetiva la realidad observable, a fin de
generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de
naturaleza sociocultural.
2
DEO. Diccionario Enciclopédico Océano.
RAE. Real Academia Española 22ª Edición.
4
DEL. Diccionario Larousse Escolar.
3
13
2.2 La predicción y la modelación matemática
La matemática en tanto ciencia deductiva de una estructura abstracta y “formal”, incorpora a
la modelación matemática como herramienta para realizar la precisa reconstrucción de las
complejas relaciones que se encuentran en cada una de las situaciones o fenómenos que se
necesitan explicar y predecir.
Cantoral (2001) menciona que en la idea de “predicción”, se reconoce al estudio de los
fenómenos en la naturaleza como el asunto de mayor importancia, puesto que plantea el
problema de determinar aquellas magnitudes que describan con exactitud, el aspecto del
fenómeno en un estado dado, a fin de encontrar la ecuación que constituya una descripción de
las leyes que gobiernan los cambios de dichas magnitudes, y plantear con su resolución, un
“modelo” que describa satisfactoriamente el fenómeno estudiado. Por ejemplo, el objeto
matemático Binomio de Newton, es un programa emergente del siglo XVI y XVII que
buscaba anticipar el cómo suceden algunos fenómenos en la naturaleza, particularmente los de
flujo continuo, y plantea su resolución a través de la cuantificación de los cambios, de los
cambios de los cambios y así sucesivamente (Cantoral y Farfán, 1998).
Por otra parte, la modelación matemática es entendida como el “proceso” de describir en
términos matemáticos, un fenómeno real, lo que permite generar la construcción de
conocimiento matemático y la evaluación e interpretación de este en la situación real,
explicando el cómo sucede y prediciendo bajo qué condiciones se producirían acontecimientos
futuros.
Por tanto, se enfatiza que la construcción de conocimiento matemático se realiza en plena
interacción de las personas con situaciones del mundo real, y que esta construcción no está
tanto en la predicción y la modelación como expresiones matemáticas de una situación
fenomenológica, sino en los procesos que subyacen en las actividades humanas, las tareas,
acciones y habilidades que las personas (estudiantes) llevan a cabo, al plantearles una
necesidad sociocultural de saber cómo será su estado (del fenómeno) con el paso del tiempo.
14
2.3 El Praediciere (La noción de predicción)
La idea de predecir yace en la interacción de las personas con su entorno sociocultural, y es El
Praediciere (su noción de predicción) la que se construye socialmente a partir de las vivencias
y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la necesidad de predecir
(Cantoral, 2001).
Es así que la noción de predicción ha mostrado ser una idea motriz en el desarrollo de los
conceptos del cálculo, además de ser esta idea, la que se relaciona con el estudio de la
variación, pues para predecir un estado futuro correspondiente a un sistema dado, es necesario
cuantificar y analizar los cambios de sus causas y efectos (estudiar la variación).
2.4 El Praediciere en situación escolar
En el proceso de construcción de conocimiento matemático en situación escolar, se hace
necesario que los estudiantes experimenten, conjeturen, analicen datos numéricos, justifiquen
y formulen modelos que les permitan predecir cómo sucede la situación o fenómeno, para
generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de
naturaleza sociocultural.
Bajo la hipótesis de que la formulación de modelos matemáticos es una actividad asociada a la
necesidad de predecir una situación o fenómeno (en esencia de naturaleza variacional), la
pregunta de investigación que guía el presente estudio es la siguiente, ¿qué niveles de
predicción son identificables en un proceso de modelación matemática llevado a cabo por
estudiantes de distintos niveles educativos en situaciones variacionales específicas?
Los objetivos de la investigación son los siguientes:
1. Identificar la naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo
estudiantes de distintos niveles educativos ante actividades específicas de predicción.
2. Precisar el estatus que guarda la noción de predicción, identificables en dichas
actividades, con base en la estructura por niveles de la noción de predicción (El
Praediciere) propuesto por Cantoral (2001).
15
Capítulo 3
Consideraciones teóricas y metodológicas
3.1 La Socioepistemología
El conocimiento matemático se construye y reconstruye en el contexto mismo en que las
personas llevan a cabo determinadas prácticas con carácter intencional. El acercamiento
socioepistemológico ofrece una forma de articular esta actividad humana con el conocimiento
matemático, incorporando el estudio de las interacciones entre la epistemología del
conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos
de institucionalización vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2003); y centrar la atención no en
los conceptos matemáticos sino en las actividades humanas que generan este conocimiento, la
práctica social.
Es así como lo socioepistemológico debe significar el reflejo de cualquier actividad humana
haciendo matemáticas, enfatizando de igual manera lo señalado por Cordero (2001):
“[…] el funcionamiento mental que atañe a una aproximación sociocultural
a la mente debe estar en correspondencia con la modelación y el uso de la
matemática, es decir, con el lenguaje de herramientas que resulta de la
actividad humana.” (p. 111).
Por ello, en la aproximación socioepistemológica se buscan las bases elementales de
significación para el rediseño del discurso matemático escolar y también, investigación de
corte experimental que enfatice en actividades de “simulación y modelación”, con la intención
de que los estudiantes construyan conocimiento a través de la resignificaciones que se
reproducen en dichas actividades (Camacho, 2006), esto es, estudiar los fenómenos, los
problemas, las circunstancias, los procesos y las herramientas asociadas a dicha construcción
de conocimiento, pues “el conocimiento se produce no sólo porque hay una interacción de las
personas con el mundo físico, sino porque esa interacción se da en el marco de un contexto
social con un sentido cultural […]” (Gómez, 1991, p. 20).
16
De esta forma, la aproximación teórica pone énfasis en las “prácticas sociales”, las cuales son
entendidas como normativas de la actividad humana, es decir, como un conjunto de
“acciones” voluntarias que, intencionalmente desarrolla el individuo para construir
conocimiento (Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez y Suárez, 2003).
Asimismo, Godino y Batanero (1994) citado en Camacho (2006), mencionan como “práctica”,
a toda acción o manifestación que lleva a cabo un sujeto para resolver problemas, comunicar
una solución a otros sujetos, así como validar y generalizar la solución a otros contextos y
problemas, por ejemplo, la mención de objetos matemáticos; el reconocimiento de ciertos
objetos en el contexto; el discurso; la relación establecida entre objetos y procesos
matemáticos; y la exploración, indagación, síntesis y justificación de contenidos matemáticos
(Planas e Iranzo, 2009).
3.2 Práctica Social: Predicción
Las personas siempre han participado en el mundo construyendo sus conocimientos, sus
realidades y sus herramientas, en una necesidad del funcionamiento del tejido social y al
interactuar intencionalmente con el entorno. Y es así, como la imposibilidad de controlar el
tiempo a voluntad, obliga a los grupos sociales a predecir, a anticipar los eventos con cierta
racionalidad (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005), reconociendo en la naturaleza del problema,
aquello que siendo intrínseco, nos permitirá garantizar con certeza lo que sucederá.
Estudios más centrados en identificar el proceso de construcción de conocimiento matemático
en las producciones originales de los científicos de otros siglos, se hace evidente la práctica de
predicción, como la práctica social que norma el quehacer de los científicos y tecnólogos de la
época (Cantoral y Farfán, 1998). Por ejemplo, en el estudio de las situaciones y problemas
planteados en la Teoría de Calor de Fourier, en la Ley de Gravitación Universal de Newton y
el problema de la cuerda vibrante de la cual se generó la ecuación de onda estudiada por
D'Alembert, Euler, Bernoulli y Lagrange, se identifican procesos de modelación matemática
propia de las ciencias experimentales, en los cuales se tienen la intención de precisar el
comportamiento de lo que fluye, fuese el calor, flujo del agua, el movimiento o los flujos
eléctricos.
17
De este modo, se puede reconocer que en ciertas situaciones, se necesita conocer el estado
final en la que se encontrará un fenómeno a partir de un estado inicial o viceversa, esto es,
adelantarse a los acontecimientos, revelar lo que habrá de suceder, sin embargo, el problema
queda resuelto solo hasta que se precise “la predicción” y de la forma en que la conjetura sea
válida (Cantoral, 2001).
Con ello, se establece como predicción al anuncio por ciencia o conjetura, de algo que ha de
suceder; la práctica de predicción, aquello que regula y norma dicha actividad humana; y la
noción de predicción, son las ideas primitivas que permite predecir y anteceden a dicha
actividad y práctica. Es así, como la noción de predicción se construye socialmente a partir de
las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la
necesidad de predecir. Por ejemplo, ¿cómo una persona decide que la diferencia o en su caso
la razón entre estados, ayuda a predecir comportamientos y modelar?
𝐸𝑓
Modelo diferencia (diferencia entre estados)
𝐸𝑖
En este modelo se presentan estados, que establecen la medida de una cierta magnitud
asociada a un cierto objeto en un instante de tiempo; comparaciones que expresan la
diferencia entre dos estados; y variaciones, que constituyen el cambio de un estado con
el paso del tiempo.
Modelo razón (razón entre estados)
𝐸𝑓
𝐸𝑖
En este modelo se presenta de igual forma estados; comparaciones que expresan la
razón entre estados; y una escala de variación, que representa la relación entre el
estado inicial y el estado final.
Estos modelos son dispositivos medidores que permiten obtener información de los cambios
entre los estados. De ahí, es donde yace la noción de predicción, que precisa el estudio de la
cuantificación de las formas variables en la naturaleza, es decir, la cuantificación de los
cambios en las variables involucradas en el fenómeno, en una necesidad planteada que indaga
en el comportamiento del estado vecino sobre la base de datos que aporta el estado hecho
(Cantoral, 1990).
18
3.3 Niveles de la noción de predicción
La noción de predicción se sitúa en la actividad misma de predecir y en su práctica, de las
cuales, se retoman elementos esenciales que determinan el estatus que guarda dicha noción,
reconociendo así, tres niveles propuestos por Cantoral (2001) en los que tal noción se expresa
o significa. Estos niveles se retoman para el análisis de resultado con el objeto de determinar
el estatus de nivel de predicción que vive en situación escolar.
El primer nivel se le denomina esquema, este deviene en su forma elemental, y se manifiesta
en la representación inmediata de lo observado y referido solo a aquello que se observa. En
este nivel, se considera un estudio del fenómeno de carácter informal, en el que se realizan
análisis de tipo cualitativo, que se expresan y significan con un lenguaje natural. A su vez, en
este estudio no se establece un modelo analítico o numérico; sin embargo, se perciben
patrones de regularidad en el comportamiento del fenómeno, los cuales “se pueden” asociar a
un modelo gráfico-visual.
Un segundo nivel de significación denominado modelo, se encuentra sobre la base interior,
acrecentando el estudio de corte cualitativo y cuantitativo, asociado a los pseudo-momentos de
formalización. A su vez, se identifica la estructuración de modelos numéricos y gráficos, como
son una colección finita de registros en tablas (para la interpolación y extrapolación), así como
las representaciones gráfico-visuales. En este nivel, se construyen dispositivos cuantificadores
que permiten el estudio de patrones de regularidad en el comportamiento del fenómeno, los
cuales permiten una descripción detallada del comportamiento del sistema.
En el tercer y último contexto, se revela la presencia de un marco teórico que se exterioriza en
la medida en que los resultados anteriores encuentren un marco racional de organización (no
se incluyen nuevos resultados matemáticos sino más bien nuevas presentaciones de las viejas
ideas). Este nivel se le denomina teoría, el cual establece momentos de formalismo
matemático, y en consecuencia análisis estructurados de tipo cualitativo y cuantitativo. Con
esto, se reformulan los modelos anteriores, obteniendo con ello conceptos claves que se
concretan en modelos teóricos-analíticos. Y de igual forma, se significan los dispositivos
cuantificadores como instrumentos para el estudio de la “cuantificación” de las formas
variables en la naturaleza.
19
Capítulo 4
Método de estudio
Como se mencionó en el capítulo anterior, la aproximación Socioepistemológica se toma
como base para el sustento teórico del instrumento, adecuando el diseño y su estructura, a las
prácticas sociales que se identifican en la construcción de conocimiento matemático, en
particular, conocimiento del Cálculo y el Análisis, donde es “la práctica de predicción” la que
se reconoce como tal. Asimismo, se toman los principios que marca la ingeniería didáctica
para el diseño y validación del instrumento, retomando en este método los siguientes análisis.
4.1 Análisis preliminar
Este análisis comprende un estudio en tres dimensiones: epistemológico, didáctico y
cognitivo; en torno a la actividad de predicción y su práctica, en particular, de las actividades
que suscitan la noción de predicción y de las funciones (derivadas) usadas para cuantificar la
variación de las formas variables en la naturaleza.
El estudio de dimensión epistemológica se sostiene en las investigaciones realizadas por los
científicos de otras épocas en la necesidad de predecir, algunas de éstas se presentan a detalle
en el primer capítulo. En síntesis, se identifica como objeto de estudio la cuantificación de la
variación en la naturaleza, en la necesidad de predecir cómo será su estado (del fenómeno) con
el paso del tiempo, por ejemplo, en el estudio de Newton (Ley de la gravitación universal),
Cantoral (2001) menciona que “en ese contexto resultó natural la consideración de estudiar a
las variables en conjunción con su velocidad de variación, y así también, el estudio de los
estados vecinos a la luz de los estados de hechos” (Cantoral, 2001).
El estudio de dimensión didáctica se llevó a cabo analizando algunos libros de texto que tienen
uso frecuente en las escuelas, y que se utilizan como material de apoyo para maestros y
alumnos en los diferentes niveles educativos: básico, medio y superior. El objeto de este
análisis es vislumbrar cómo se suscita la actividad misma de predecir en situación escolar y
con ello, identificar las funciones (derivadas) generadas en torno a esta noción. A continuación
se presentan algunas actividades.
20
Nivel Básico - Block y García (2008). Fractal 1. Matemáticas (p. 195).
 Las gráficas de la derecha muestran las relaciones entre la distancia recorrida y la cantidad
de gasolina que consume cada automóvil; analízalas y contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué
automóvil
tiene
mayor
rendimiento de gasolina?
b) ¿Cómo lo sabes?
c) ¿Qué significa en este caso que la
gráfica este más “inclinada”?
d) Estas
dos
relaciones
son
de
proporcionalidad.
Da al menos una prueba de ello.
e) Escribe los datos que faltan en las tablas
y escribe las reglas de correspondencia.
Representa la distancia recorrida con la
letra d y la cantidad de gasolina
consumida con la letra c.
Automóvil A
Gasolina (l) Distancia (Km)
1
2
5
10
15
20
Automóvil B
Gasolina (l) Distancia (Km)
1
2
5
10
15
20
21
Nivel medio - Quijano y Navarrete (2004). pág. 92
 Una infección viral se propaga en cierta población de manera tal que
personas contraen el virus en semanas. ¿A qué velocidad se propaga el contagio al final
de 4 semanas?
Nivel medio - Stewart, Redlin y Watson. (2001). pág. 380
 La población de California fue
en
y
en
. Suponga que
la población crece en forma exponencial.
a) Encuentre una función que modele la población años después de 1950
b) Determine el tiempo requerido para que se duplique la población
c) Use la información para predecir la población de California en el año 2000.
Nivel superior - Stewart (2001). pág.64
 Un isótopo del sodio, 24Na, tiene una vida media de 15 horas. Una muestra de este isótopo
tiene una masa de 2 g.
a) Encuentra la cantidad que queda después de 60 horas.
b) Halle cuánto queda después de horas.
c) Estime la cantidad que queda después de 4 días.
d) Use una gráfica para estimar el tiempo requerido para que la masa se reduzca a
g.
22
Con la evidencia establecida se puede observar que los ejercicios presentados en cada nivel
educativo tienen la intención implícita de “predecir” un estado final, pero a su vez, soslayan la
misma actividad. Se reconoce en el nivel medio y superior una estructura similar, al presentar
un problema en el que se establece un modelo analítico o en su caso, el comportamiento del
fenómeno, resultando ser así un problema en la que el estudiante determine la resolución con
solo sustituir el valor necesario o recurrir a un modelo estudiado previamente, por ejemplo, en
el primer problema del nivel medio, se plantea la relación de la velocidad de propagación del
virus respecto al tiempo.
En el caso del nivel básico, es importante destacar que se reconocen planteamientos
subsecuentes que guían al estudiante a realizar ciertos procesos de modelación matemática,
como son: el estudio gráfico-visual del fenómeno, la recolección de estados iniciales (a través
del tránsito entre registros de representación), y la determinación de una regla de
correspondencia (modelo teórico-analítico). Esto vislumbra algunos elementos significativos
que permiten a los estudiantes estudiar el fenómeno (modelos gráficos y numéricos), analizar
la variación y plantear una resolución. Aunque por otra parte, se sigue una estructura rígida de
proceder, reduciendo la oportunidad de que los estudiantes planteen sus propias ideas
(hipótesis), identifiquen las variables en conjunción, analicen la variación y generen sus
propias estrategias para cuantificar la variación; y plantear con ello, sus resultados y
conclusiones a cerca del fenómeno.
Por último, el estudio de dimensión cognitiva enfatiza el análisis retomando algunos
resultados de las investigaciones realizadas por Gómez (1991), Cantoral (1993), Cantoral y
Farfán (1998) y Ester (2003). Estos centran su atención en aspectos significativos para el
estudio del Cálculo, como son: las competencias cognitivas, los estilos de pensamiento, la
visualización (en ambientes computacionales), las estrategias en la resolución de problemas y
la interacción entre el sujeto y el contexto sociocultural organizado.
En estas investigaciones, se reconoce que a diferencia de la matemática escolar previa al
Cálculo, en estos se incorporan nuevas ideas como el cambio y la variación, la cuantificación
de las formas variables, la variación instantánea y los procesos infinitos (Cantoral y Farfán,
1998). En este sentido se pone de manifiesto el aspecto constructivo del conocimiento y el
hecho de que los estudiantes desarrollen ideas propias de carácter intuitivo, esto es, se
23
requieren de nuevos símbolos, estrategias y concepciones. Ello, sustenta retomar elementos
significativos del estudio realizado por Gómez (1991), en el que se menciona que las personas
poseen competencias cognitivas potentes de manera precoz y universal; que el conocimiento
se construye a través de la interacción entre el sujeto y las situaciones (contextos
socioculturalmente organizados); y que las mismas personas que no parecen poseer una
determinada habilidad en un contexto pueden ser capaces de demostrarla en otro.
Esto, se suma a la importancia de la visualización en la enseñanza, aprendizaje y construcción
de conocimiento matemático, con el uso de ambientes computacionales que favorecen un
abordaje más experimental en el aprendizaje matemático, que permiten a los estudiantes
formular, verificar o rechazar y reformular hipótesis, identificar patrones de comportamiento,
anticipar resultados y combinar esto con los registros de representación gráfico, numérico y
analítico (Borba, 1995a; Capuzzo Dolcetta et al., 1988, citado en Ester, 2003).
A su vez, en estas investigaciones se reconoce la presencia de diferentes estilos cognitivos en
el pensamiento de los que aprenden, esto es, hay quienes tienden a reconocer un resultado a
través de la visualización, mientras que otros utilizan argumentos numéricos y aún más,
quienes se apoyan de estos estilos para transitar de un registro a otro y con ello, llevar un
problema planteado a un contexto, resolverlo en éste y regresarlo al primero para interpretar su
solución (Cantoral, 1993); por ejemplo, predecir el tiempo en que tardará una vela en
derretirse por completo, un estudiante puede analizar el problema visualizando el fenómeno;
otro puede representar el fenómeno en una gráfica; o en su caso puede llevar registros del
fenómeno en periodos de tiempo determinando.
En concreto, se identifica que aprender matemáticas es construir instrumentos propios de
conocimiento matemático, posibilitando en los estudiantes el desarrollo de los propios estilos
cognitivos, la visualización a través de ambientes computacionales, el razonamiento bajo
hipótesis, estrategias en la resolución de problemas (como la estimación numérica, la
representación gráfico-visual, etc.) y los métodos e ideas del cálculo en la modelación
matemática (Cantoral, 1993).
24
4.2 Diseño del instrumento y experimentación
Del análisis preliminar realizado en torno a la noción de predicción y de funciones (derivadas),
se dispuso de tres actividades de naturaleza predictiva en el que se sigue un tratamiento
gráfico, numérico y visual de situaciones de variación y cambio. Las actividades se aplicaron a
tres estudiantes de cada nivel educativo: básico, medio y superior; dos hombres y una mujer o
viceversa, en periodos de tiempo definidos para cada actividad. En el caso del nivel medio, se
recurrieron a estudiantes que habían tomado por lo menos un curso básico de cálculo, y para el
nivel superior a estudiantes de los primeros semestres de la Facultad de Matemáticas de la
Universidad Autónoma de Yucatán.
En este instrumento se tuvo la finalidad de recabar los datos necesarios para identificar la
naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo estudiantes de
distintos niveles educativos ante actividades específicas; y precisar el status que guarda la
noción de predicción, identificables en dichas actividades, con base en la estructura por
niveles de la noción de predicción (El Praediciere) propuesto por Cantoral (2001).
Actividad 1 - Tratamiento gráfico-visual (15 minutos)
En la primera actividad se plantó la situación del derretimiento de velas que tienen diferente
forma, elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones
ambientales. Esta situación se simula en un ambiente computacional (The Geometer's
Sketchpad), el cual se construyó a través de las funciones que modelan el derretimiento de
cada una de estas velas. La simulación representa el fenómeno de derretimiento en un periodo
de tiempo determinado, pero antes de que se consuma la vela por completo.
Ilustración 2. Las 5 velas A, B, C, D y E antes de
iniciar la simulación de derretimiento.
25
En esta actividad se planteó a los estudiantes un estudio de la situación de variación y cambio
con un tratamiento gráfico-visual, el cual tiene como objeto determinar cuál de las siguientes
gráficas representa el derretimiento de las velas en la simulación.
Grafica 1
Grafica 2
Grafica 3
Grafica 4
Grafica 5
Ello, supone que los estudiantes visualicen la situación y el fenómeno, para así plantear sus
hipótesis que guiarán el estudio. Se conjetura que los estudiantes realicen un análisis visual y
gráfico del comportamiento del fenómeno, con la expectativa de que ellos analicen la
variación y el cambio de manera cualitativa. Asimismo, se espera que los estudiantes
determinen las variables significativas del fenómeno y establezcan una relación entre las
variables en conjunción.
26
Actividad 2 - Tratamiento numérico (20 minutos)
En esta actividad, la situación es el derretimiento de “otras” velas de diferente forma,
elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones ambientales.
En este caso, el fenómeno a estudiar se representa a través de tablas que muestran los registros
del derretimiento de estas velas en periodos de tiempo diferentes y antes de que se consuman
por completo. Estos registros se toman de las funciones modeladas por el derretimiento de
cada una de ellas.
En esta actividad, se pretendía que el estudiante realizara un estudio de la situación de
variación y cambio con un tratamiento numérico, con el objeto de determinar qué par de velas
tardará más tiempo en consumirse por completo, las velas A y B o velas C y D. Si las velas A
y C se encienden al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se enciende la vela
B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D.
Se conjetura que los estudiantes analicen las tablas con los registros numéricos, de tal forma
que se identifique la situación y el fenómeno, para así plantear sus hipótesis que guiarán el
estudio. De igual manera, se espera que los estudiantes analicen el comportamiento de cada
una de las velas, cuantificando la variación y cambio de cada una de estas. Asimismo, se
supone que los estudiantes generen dispositivos cuantificadores de variación y cambio, que no
solo utilizarán para la cuantificación de los estados de hechos, sino que les permitirá el estudio
de los estados vecinos, es decir, la predicción buscada.
27
Actividad 3 - Tratamiento numérico-visual (20 minutos)
En la última actividad, se presentó la simulación del derretimiento de una vela con forma
esférica en un periodo de tiempo determinado, antes de que se consuma por completo. En esta
simulación se indicaba la medida de la altura y el tiempo en que se iba consumiendo la vela,
las cuales se toman de los datos obtenidos de la función que modela este fenómeno.
Ilustración 3. Vela con forma esférica antes de iniciar la simulación
de derretimiento.
En esta actividad se pretendía que el estudiante realizara el estudio de la situación de variación
y cambio con un tratamiento numérico-visual, con el objeto de estimar el tiempo que tardará la
vela en consumirse por completo.
Ello, plantea la suposición de que los estudiantes visualicen la situación y el fenómeno a
estudiar, para así establecer sus conjeturas que guiarán el estudio. De igual manera, se espera
que los estudiantes construyan tablas de registros numéricos, una representación gráfica o
ambas, para el estudio del fenómeno. Igualmente, se tiene la expectativa de que los estudiantes
analicen el comportamiento del fenómeno a través de los diferentes registros de
representación, de tal forma que se generen dispositivos cuantificadores de variación y
cambio, que permitirán estimar es tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.
28
Capítulo 5
Análisis y resultados de la experimentación
5.1 Análisis de datos de la experimentación
Los argumentos presentados a continuación, corresponden a la transcripción fiel de las
respuestas y explicaciones dadas por los estudiantes en las hojas de trabajo y del dialogo
recabado a través de la videograbación.
Para identificar la participación de cada uno de los estudiantes de los diferentes niveles, se
utilizará el siguiente código “E#_Nivel”, el cual hace referencia al número asignado al
estudiante y el nivel educativo, por ejemplo, E2_Sec hace referencia al estudiante dos de
secundaria, y de igual manera E1_Pre y E3_Uni se referirá al estudiante uno de preparatoria y
al estudiante tres de universidad, respectivamente.
Actividad 1
Determinar la gráfica que modele el derretimiento de cada una de las velas de diferente forma,
visualizando mediante una simulación el derretimiento de cada una.
Momento cero
Momento dos
Momento uno
Momento tres
Ilustración 4. Momentos del derretimiento de las 5 velas A, B, C, D y E.
29
Las siguientes gráficas representan el derretimiento de las velas de la simulación, conforme va
transcurriendo el tiempo.
Gráfica 1
Gráfica 2
Gráfica 3
Gráfica 4
Gráfica 5
30
Respuesta y explicación escrita - Nivel básico
Vela
A
B
E1_Sec
E2_Sec
E3_Sec
Gráfica 4.
(1 corrección)
Gráfica 4.
(1 corrección)
Gráfica 4.
(1 corrección)
Por el ángulo que forma la La forma en que esta vela
gráfica.
se calienta, va haciendo
que se vaya derritiendo y
su forma delgada lo hace
más rápido.
Gráfica 2.
Gráfica 2.
(1 corrección)
(1 corrección)
Porque su forma es recta y La forma es igual y hace Al ser de una misma forma
está angosta y esto haría que
no
siga
una la vela “B”, tiene una
que se derrita más rápido.
aceleración en alguna velocidad de derretimiento
parte.
igual todo el tiempo.
Gráfica 3.
(1 corrección)
C
D
E
Por las dos formas de la
vela “A”, en la primera
parte es más rápida, pero al
llegar a las 2da parte, el
derretimiento es más lento.
Gráfica 2.
(1 corrección)
Gráfica 3.
Gráfica 3.
Cada vez va cambiando su Era la más lenta de todas
Porque se derretiría en forma, está siendo más en cuestión derretimiento.
menor tiempo por su delgada y hace que vaya
forma.
tardando
menos
en
derretirse.
Gráfica 5.
Gráfica 5.
Gráfica 5.
(1 corrección)
(1 corrección)
Se derretía a una velocidad
Porque tarda menos tiempo Está constituido por dos mayor que la vela “C”.
en derretirse que la vela E. partes gruesas y el centro
delgado, lo que hace que
después de un tiempo su
centro
acelera
el
calentamiento.
Gráfica 1.
Gráfica 1.
Gráfica 1.
(2 correcciones)
(2 correcciones)
(1 corrección)
Porque la vela E es recta y Su forma es igual en su Por ser una sola forma,
es gorda y se derretiría en estructura y como es pero al ser gruesa, su
menor tiempo que la B.
gruesa su derretimiento es velocidad se ve mermada.
lento.
31
Argumentos acerca de sus respuestas
I: ¿Qué me puedes comentar de tus respuestas?
E3_Sec: Pues, la vela A se derretía más rápido que las demás y se derrite más que
todas.
I: Entonces la vela A ¿qué gráfica le corresponde?
E3_Sec: La gráfica 2, porque es la que más abarca altura, en medición de la altura en el
Vela A
tiempo.
I: ¿Tu qué consideraste?
E2_Sec: Gráfica 2.
I: Para la A, la dos ¿por qué?
E2_Sec: Por el tiempo, pues por acá fue disminuyendo, mientras el tiempo se va.
I: ¿Y tú?
E1_Sec: Yo puse la vela A, la gráfica 3.
I: La gráfica tres, ¿por qué sería la gráfica 3?
E1_Sec: Por el tiempo.
E1_Sec: O sea, que se derretía en más tiempo, ¡no! en menor tiempo.
Anotaciones del observador
En esta actividad, los estudiantes reconocen el fenómeno a estudiar, en este caso, el
derretimiento de las velas de diferente forma, elaboradas con el mismo material y puestas a
prueba bajo las mismas condiciones ambientales. Al iniciar la simulación, cada uno de los
estudiantes visualiza y analiza detenidamente este fenómeno, para identificar la situación que
se presenta, esto es, que las velas se consumen solo en un periodo de tiempo determinado.
Con ello, se establece la hipótesis que guía el problema de estudio, esto es, el estudio del todo
a través de sus partes. Para luego, identificar las variables involucradas, como son el
calentamiento de la vela, la altura, la forma, el grosor y el tiempo de derretimiento; y así,
reconocer las variables significativas, discriminando las que son constantes (primer nivel de
Constantificación).
32
A su vez, los estudiantes registran de manera implícita la altura de las velas, el tiempo que
transcurre y la cantidad de material que se consume, principalmente de las velas que se
consume en mayor y menor cantidad. Después de recolectar esta información, los estudiantes
visualizan las gráficas que modelan el derretimiento de las velas (relación entre la altura variables significativas - tiempo), para luego analizar el comportamiento local del fenómeno;
estudiar las sucesivas variaciones de las variables como son la rapidez, la velocidad y la
aceleración; y asignar a alguna de estas variaciones el estado constante o cuasi-constante
(segundo nivel de Constantificación).
Posteriormente, se plantea la resolución al problema con base en la hipótesis planteada y las
condiciones iniciales, esto es, predecir la evolución del sistema y así, formular la ley que
gobierna el fenómeno estudiado, lo cual, permite identificar las gráficas que modelan el
derretimiento de cada una de las velas.
Argumentos acerca de sus respuestas
I: Entonces, a la vela D ¿qué gráfica le corresponde?
E3_Sec: La 5, porque es la que va representando, por el principio va normal, después
va en medio, aquí más lentamente y después más, más rápida y después allá otra vez
Vela D
lenta (señalando las partes en la gráfica).
I: ¿Tú con cuál te quedaste entonces?
E2_Sec: La gráfica 5
I: ¿Qué consideraste?
E2_Sec: Empecé a verlo por su forma.
I: ¿Y tú?
E1_Sec: Sí, igual así.
Anotaciones del observador
En un primer momento, la mayoría de los alumnos identifican que la Gráfica 2 es la que
modela el derretimiento de la vela A, debido a que discriminan la forma de la vela. En este
caso el investigador interviene al cuestionarles cómo influye la forma de la vela en su
derretimiento, obteniendo de esta manera argumentos que llevaron a los estudiantes a obtener
una resolución adecuada a la situación.
33
Respuesta y explicación escrita - Nivel medio
Vela
A
B
C
E1_Pre
E2_Pre
E3_Pre
Gráfica 4.
Gráfica 4.
Gráfica 4.
Comienza a derretirse de
forma rápida, pero al llegar
a
la
altura
aproximadamente de 7 cm
comienza a disminuir un
poco la velocidad de
derretimiento
ya
que
aumenta el grosor de la
vela.
Esta gráfica representa
claramente el derretimiento
de la vela ya que fue la que
más se derritió, pero
también influyó la forma
en
la
representación
gráfica.
(1 corrección)
Porque es la que derritió
más rápido constantemente
y se derretía más rápido
porque la superficie de sus
lados no era uniforme.
Gráfica 2.
Gráfica 2.
Gráfica 2.
Como es de una forma de
rectángulo y su grosor
aumenta
un
poco,
representa un derretimiento
de forma lineal, ya que
maneja tiempos constantes.
Fue la que representa un
derretimiento uniforme en
la vela, pues como había
mencionado antes, influye
la forma, por lo tanto, no
hay cambio en la gráfica,
es
muy
directa
su
representación.
(1 corrección)
Porque era la segunda en
derretirse más rápido pero
no era constante. Se
derretía así porque sus
lados si eran uniformes.
Gráfica 3.
Gráfica 3.
Gráfica 3.
(2 correcciones)
(1 corrección)
Porque es la que más
resistió y se derretía más
lento. Se derretía de esta
manera porque la parte
superior era más ancha.
Debido a su grosor al De igual manera insisto en
comienzo, es la que más la forma, pero según la
tarda en consumirse.
simulación tarda más que
las otras dos, pero aun así y
en el mismo tiempo se
derritió más que la „D‟ y su
representación es más
directa.
34
Gráfica 5.
Gráfica 5.
(1 corrección)
D
E
He concluido que la forma
Debido a su uniformidad influye demasiado, ya que
gruesa al inicio y delgada el tiempo es el mismo, pero
al final, se derrite a la lo que se derrite no, ésta se
atrasa un poco ya que
mitad.
empezó desde lo más
grueso lo cual retrasó su
derretimiento tal y como lo
muestra la gráfica.
Gráfica 5.
Porque es la segunda que
se derretía más lento pero
no era constante. Se
derretía más rápido que la
vela “C” porque el grosor
disminuía más rápido.
Gráfica 1.
Gráfica 1.
Gráfica 1.
Al igual que la vela “B”,
posee
las
mismas
características
pero
a
diferencia de ésta, es que
su grosor aumenta un poco
haciendo que la vela tarde
en
consumirse,
pero
siguiendo
una
misma
trayectoria.
(1 corrección)
Porque
se
derretía,
normalmente era constante
y se quedó a la mitad, su
forma era regular y más
ancha.
He mencionado el grosor y
sí así es, pero los cambios
en cada gráfica representan
el cambio de grosor que
ocurre al derretirse. Y sí,
ésta es la que muestra más
ese
cambio
como
identifiqué en cada una.
Ilustración 5. Estudiantes de nivel medio
resolviendo la primera actividad.
35
Argumentos acerca de sus respuestas
I: ¿Qué gráficas le corresponde a cada una de las velas?
E3_Pre: La A, la gráfica número 2.
I: ¿Por qué consideraste que es la gráfica número 2?
E3_Pre: Porque es la que se derretía más rápido y era constante, porque su superficie
no era regular, la de arriba era más delgada, más pequeña.
E2_Pre: La A con 4
I: ¿La A con 4? ¿Por qué es diferente a la de ella?
Vela A
E2_Pre: Porque pues, yo primero comparé las dos gráficas, la 2 y la 4 que eran las que
resultaban en el mismo tiempo, lo mismo en la altura, pero yo siento que influye más la
forma, porque al ser más grueso obviamente va tardar más tiempo en derretirse.
Entonces, el cambio que muestra la gráfica es muy pequeña, pero sí lo muestra, le
corresponde la A ya que la B es más directo.
E1_Pre: La gráfica puse igual la 4, como de todas, fue la que más se empezó a derretir
rápido, fue en el menor tiempo, ya después hace el cambio cuando su grosor aumenta.
I: ¿Qué consideras?
E3_Pre: Como dicen ellos en la parte de arriba es más delgada y se derrite más rápido,
cuando llega a la base es más ancha, entonces ya no es constante sino cambia, el tiempo
en el que derrite, eso.
Ilustración 6. Estudiante de nivel medio explicando cómo
influye la forma de la vela en el tiempo de derretimiento.
36
Anotaciones del observador
Al igual que los estudiantes de nivel básico, los estudiantes de nivel medio visualizan y
analizan detenidamente la simulación del derretimiento de cada una de las velas, identificando
la situación que se presenta; y de igual manera, plantean la hipótesis que guía el problema de
estudio (el estudio del todo a través de sus partes). Identifican más variables que los
estudiantes de nivel básico, como son la forma de la vela, el grosor, la superficie, sus lados, la
resistencia, la altura y el tiempo de derretimiento, reconociendo las variables significativas del
fenómeno y discriminando las que son constantes (primer nivel de Constantificación).
Asimismo, registran de manera implícita la altura de las velas, el tiempo que transcurre y la
cantidad de material que se consume en este fenómeno, para luego, contrastar los datos
iniciales con los modelos gráficos propuestos (altura – tiempo – variables significativas), en
los cuales se analiza el comportamiento local del fenómeno. Con ello, los estudiantes analizan
las sucesivas variaciones de las variables como son la rapidez, la velocidad, la aceleración en
que se consume la vela, los cambios de grosor o los cambios en la estructura de la vela; y
asignan a alguna de estas variaciones el estado constante o cuasi-constante (segundo nivel de
Constantificación).
De igual manera, los estudiantes del nivel medio plantean la resolución al problema con base
en la hipótesis planteada y las condiciones iniciales, prediciendo la evolución del sistema; y
con ello, formular la ley que gobierna el fenómeno estudiado.
En un primer momento, al presentar la resolución de cada participante, el E3_Pre determina
que la Gráfica 2 es la que modela el derretimiento de la vela A, debido a que establece que la
primera variación (rapidez) se da de manera constante. Luego, los demás participantes
presentan su resolución y determinan que la Gráfica 4 es la que modela el derretimiento de la
vela A, ellos establecen que la primera variación (rapidez, primer cambio) varía al modificarse
la forma de la vela. Estos argumentos permiten que el E3_Pre corrobore si el modelo gráfico
establecido era el adecuado para la situación.
37
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Pre: Para la vela C puse la gráfica 5, como su grosor va de mayor a menor tamaño,
pues su tiempo iba ser el equivalente y lo comparé entre la 3 y fue la que más avanzó
porque su grosor va disminuyendo.
I: ¿Tú que consideraste?
E3_Pre: Yo había puesto la 3 porque, pues como es la que es más ancha, entonces va
tardar más tiempo en derretirse, pero como va cambiando el grosor entonces se va
Vela C
acelerando más la forma en que se derrite.
I: ¿Entonces cómo quedaron, todos con la tres?
E1_Pre: No, yo la 5 puse.
I: Y ustedes dos con la 3 quedaron. A ver, la 5 y la 3 son muy parecidas las gráficas ¿en
qué difieren cada una?
E1_Pre: Pues yo, todas se consumen en el mismo tiempo nada más que no todas en el
mismo tamaño, bueno eso da entender aquí, por ejemplo, creo que en los 45 (min.) se
consumen pero no todos llegan a derretirse a un cierto tamaño.
I: La misma altura.
E1_Pre: Ajá la misma altura, y pues la que se derritió más entre esas, creo que es la 3.
Anotaciones del observador
Posteriormente, se establece un debate al precisar el modelo que representa el derretimiento
de la vela C, el E1_Pre y el E3_Pre identifican y establecen adecuadamente las variables
significativas en el fenómeno, así como las sucesivas variaciones de las variables (rapidez,
velocidad, aceleración). También, analizan estas variaciones y reconocen la evolución que
representa el modelo, pero en el caso contrario del E1_Pre, no analiza adecuadamente las
variaciones, es decir, la cantidad de material que se derrite en un tiempo determinado,
generando una contradicción en sus argumentos. Esto se rectifica al momento de mirar
nuevamente la simulación, recabar los datos iniciales adecuados y contrastar los argumentos
establecidos anteriormente.
38
Respuesta y explicación escrita - Nivel superior
Vela
A
E1_Uni
E2_Uni
E3_Uni
Gráfica 4.
Gráfica 4.
Gráfica 4.
Por el tiempo en que se La parte delgada de la vela
derrite la vela
tiene el mismo grosor y
parece
derretirse
uniformemente
a
una
velocidad
considerable.
Luego, al llegar a la parte
donde la vela cambia de
grosor, a una mayor, la
velocidad a la que la altura
disminuye
es
mucho
menor.
Gráfica 2.
B
C
Gráfica 2.
Por la forma que tiene la Es la vela más delgada y
vela y el tiempo en que se tiene
longitud
derrite.
constantemente
disminuyendo. La altura
baja en un nivel más rápido
que en las demás velas.
(1 corrección)
Observo que tiene como un
movimiento constante, es
decir, se va derritiendo
como que periódicamente,
siguiendo un patrón y
como que llegando a su
final, dado que su grosor es
mayor, su derretimiento es
con más tiempo.
Gráfica 2.
(1 corrección)
Notar que su estructura es
uniforme y en comparación
a la gráfica E, su
derretimiento será más
rápido
Gráfica 3.
Gráfica 3.
Gráfica 3.
Porque al principio su
derretimiento es lento
además de la forma que
posee la vela.
Se puede apreciar que la
parte más alta de la vela es
también la más ancha, por
lo que el derretimiento es
más lento. Conforme más
tiempo pasa, el grosor de la
parte más elevada va
disminuyendo y la vela se
derrite a mayor velocidad.
Es una vela que dado que
su parte más alta por decir
es más gruesa, casi no se
va derritiendo.
39
Gráfica 5.
D
Gráfica 5.
Debido a la forma que Vemos que el grosor de la
posee la vela al principio vela en la parte más alta es
se.
mayor, por lo que la
velocidad a la que ésta se
derrite aumenta conforme
pasa el tiempo, aunque al
llegar al punto medio de la
vela,
la
velocidad
disminuye
nuevamente.
Esto se refleja en el cambio
de las alturas. La gráfica es
5.
Gráfica 1.
Por la forma de la vela.
E
Gráfica 5.
(1 corrección)
Notemos que por la
estructura que tiene la vela,
su parte media es un poco
más delgada por lo que
tenderá
Gráfica 1.
Gráfica 1.
Esta es otra vela con grosor
constante, así que la
velocidad en que se derrite,
también es
constante,
aunque más lento que para
la vela B. Es fácil ver que
su gráfica debe ser una
recta, pero una ya le fue
asignada a B, por lo que la
única restante debe ser la
de E (1).
(1 corrección)
Dado a que la B es más
delgada, esta se va
derritiendo cada vez menos
que la B.
Ilustración 7. Estudiantes de nivel superior
resolviendo la primera actividad.
40
Argumentos acerca de sus respuestas
E3_Uni: La primera vela, puse que es la gráfica 4, porque como que primeramente
observamos que su derretimiento va ser constante, cada minuto que tenga va ser como
que el mismo derretimiento, cada minuto que vaya pasando y su altura va ir
disminuyendo. Pero va llegar un momento ya casi en su parte final que su derretimiento
Vela A
va ser más lento ya que la parte de abajo es más gruesa.
E2_Uni: Lo mismo que la parte de arriba, la vela es más delgada y por lo tanto se
derrite más rápido y ¿cómo se llama? En la parte de abajo es más gruesa y se va derretir
de manera más lenta. Pero como las dos son del mismo grosor en esas partes, pues la
velocidad a la que se derriten va ser constante.
E1_Uni: Tomé en cuenta la forma de la vela, ¡que exacto! al principio como que está
más delgada y luego como que ya engrosa, entonces, va a tardar al principio menos
tiempo en derretirse y luego ya más tiempo.
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel superior identifican de igual forma en esta actividad, la situación y
fenómeno a estudiar. Al iniciar la simulación, ellos visualizan y analizan detenidamente el
derretimiento de cada una de las velas, para luego, establecer la hipótesis que guía el problema
de estudio. Después, ellos identifican las variables involucradas en el fenómeno, como son la
forma, el grosor, la altura, la longitud, estructura de la vela y el tiempo de derretimiento,
reconociendo cuales son las variables significativas del fenómeno y discriminando las que son
constantes (primer nivel de Constantificación).
Posteriormente, los estudiantes registran de manera implícita los datos iniciales (la altura, el
tiempo y la cantidad de material que se consume), para luego, visualizar cada uno de los
modelos gráficos (altura - tiempo – variables significativas), identificar la relación que se
establece en el modelo y analizar el comportamiento local del fenómeno. En este análisis se
estudian las sucesivas variaciones como la rapidez, la velocidad y aceleración en que se
consume la vela o los cambios en la estructura de la vela; y se asignan a alguna de estas
variaciones, el estado constante o cuasi-constante (segundo nivel de Constantificación).
41
Luego, los estudiantes plantean su resolución con base en la hipótesis y las condiciones
iniciales, prediciendo así la evolución del fenómeno, y estableciendo la ley que regula el
fenómeno.
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Uni: En la B, yo puse la gráfica 2, igual por la forma que tiene la vela, digamos que
está toda pareja y pues por el tiempo en que se derrite.
E2_Uni: Pues tomé en cuenta lo mismo, la vela es la más delgada de todas, entonces la
velocidad a la que se derrite debe ser la más rápida, y la más rápida y constante pues es
la 2.
Vela B
E3_Uni: Yo acá bueno, aquí entendí lo mismo pero creo que me revolví con las
gráficas, de hecho entre mis errores estaba entre la 1 y la 2; pero bueno, me decidí por
la 1, pues vi que es una vela uniforme en toda su estructura, porque tiene el mismo
grosor y su derretimiento va ser el mismo en cada minuto.
E2_Uni: La vela E es más gruesa que la vela B, entonces la velocidad a la que va
disminuyendo es menor y en el mismo tiempo la vela, la vela B debe estar a una altura
mucho menor que la vela E.
E3_Uni: Faltó considerar el grosor que tenía, porque va ir un poco, su derretimiento de
la última va ser menor que la segunda.
Anotaciones del observador
Los estudiantes del nivel superior plantearon de manera más sólida su resolución y
explicación. Aun así, se presenta una inconsistencia en una de las resoluciones, puesto que los
E1_Uni y E2_Uni determinan que la Gráfica 2 es la que modela el derretimiento de la vela B
y el E3_Uni que la Gráfica 1 es la que modela ese derretimiento, esto después de argumentar
el conflicto que tuvieron algunos. En los argumentos establecidos, los E1_Uni y E2_Uni
analizan las variaciones de las variables, esto es, la cantidad de material que se consumen en
intervalos de tiempo regulares, discerniendo cómo evoluciona el fenómeno en las velas 2 y 5.
Estos argumentos permiten que el E3_Uni reconsidere el modelo gráfico establecido para la
situación.
42
Actividad 2
Determinar cuáles dos velas tardarán más en consumirse, según los registros numéricos de
derretimiento de cada vela.
Vela A
0
9.4
17.5
29.8
42.8
56.7
59.3
Vela B
16.4
15.05
13.23
9.73
5.77
2.13
2.50
0
9.3
16.4
30.9
44.8
55
60.8
Vela C
0
6.5
9.3
29.8
45
53.6
59.3
Si las velas A y C se encienden
16.5
13.29
10.81
6.91
5.52
4.5
1.35
Vela D
15.7
0
17.0
14.66
6.3
14.96
14.21
17.5
11.62
10.93
30.9
8.13
8.5
42.8
5.48
7.12
56.7
2.92
2.50
60.8
1.35
al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se
enciende la vela B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D, ¿qué par de
velas tardará más en consumirse por completo?
Ilustración 8. Estudiantes de nivel básico
resolviendo la segunda actividad.
43
Respuesta y explicación escrita - Nivel básico
E1_Sec
Par de velas A y B
Porque la C se apagaría más rápido que la A, pues su medida es menor.
Par de velas A y B
E2_Sec
Por las alturas.
Par de velas A y B
Porque al medir al mismo tiempo la A y C, la A tiene menor altura, pero al medir A
E3_Sec
a los 42.8 tiene 5.77 mientras que al medir C a los 45 tiene 8.5.
Al medir B con D al minuto 30.9, D tiene más altura, pero en 12 minutos, A baja 3
cm, y B en 14 baja 1 cm.
Argumentos acerca de sus respuestas
I: ¿Qué tomaste en cuenta?
E3_Sec: Yo tomé aquí, si cargas con el mismo tiempo la A con la C (en el min. 29.8), la
A tiene menor altura. Y después de esto, acá la vela A en 42.8 minutos tiene 5.77 y acá
la C a comparación tiene solo 8, en el transcurso de los tres minutos, del lapso de 42.8
para C pienso que se derrite más vela de la C, ¡no! de la A.
E3_Sec
I: ¿Y en el caso de la vela B?
E3_Sec: Pues aquí, al checarlo en 30.9 tiene menor altura la B; y al buscar aquí a 42
tiene menor altura la D, pero en el lapso de los 12 minutos se derrite más la D.
I: Entonces, entre la vela A y la vela C ¿cuál se consume más rápido?
E3_Sec: La A.
I: ¿Y entre la vela C y la D?
E3_Sec: La vela D.
I: Y aun así considerando ese comportamiento que tienen la velas A y B, entonces son
las que tardarían más tiempo en consumirse.
E3_Sec: Sí.
44
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel básico reconocen en esta actividad la situación y fenómeno a estudiar,
en este caso, qué par de velas tardará más tiempo en consumirse, al determinar el tiempo de
derretimiento de cada una. Para esto, primeramente los estudiantes analizan los registros
numéricos de derretimiento de cada una de las velas e identifican como variables la altura y el
tiempo.
Luego, en particular, el E3_Sec analiza y cuantificar la variación y el cambio por intervalos de
tiempo, para la vela A, a través del modelo:
𝐸𝑓
Intervalos de tiempo
𝐸𝑖
Diferencia entre estados
Diferencia en alturas
Ilustración 9. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Sec.
Finalmente, se puede observar en la explicación y los argumentos presentados por el E3_Sec,
que el dispositivo cuantificador de variación y cambio permite el estudio de la variación de
las variables y necesariamente se aplica para el análisis de un intervalo próximo al instante que
se necesita predecir, y así, determinar qué vela tardará más tiempo en consumirse por
completo y plantear la resolución a la situación.
Ilustración 10. Estudiante de nivel
básico analizando las tablas de
registros numéricos.
45
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Sec
I: ¿Cuál es el par de velas que tarda más en consumirse por completo?
E1_Sec: La A y la B.
E1_Sec: Porque la C tiene menor altura que A y se apagaría en menos tiempo.
I: ¿Qué otra cosa tomaste en cuenta?
E1_Sec: Solo eso.
I: ¿Qué par de velas consideras tarda más tiempo en consumirse?
E2_Sec: Dice que par. Entonces, se tiene que terminar de acabar el tiempo, cuando
E2_Sec
termine ésta, es menor. La A y D terminan en el mismo tiempo.
I: ¿Terminan al mismo tiempo? Pero ¿qué consideraste?
E2_Sec : Si, en 56.7
I: Ya te diste cuenta ¿qué altura tiene en ese tiempo?, ¿ya se consumió por completo?
E2_Sec: Sí, así lo pensé.
I: Entonces ¿cuál fue tu respuesta?
E2_Sec: A - B.
Anotaciones del observador
La explicación y los argumentos presentados por los estudiantes E1_Sec y E2_Sec, dan
evidencia de la falta de análisis en la evolución del fenómeno. Por ello, determinan su
resolución solo a partir de la colección de datos iniciales, en este caso, las velas con más altura
y las velas que registran más tiempo de consumo.
Ilustración 11. Estudiante de nivel básico
explicando su resolución en la segunda actividad.
46
Respuesta y explicación escrita - Nivel medio
De acuerdo a la tabla, las velas “C” y “D” son las que más tardarán. Ya que la
primera vela “C”, aunque se ha consumido en el menor tiempo aún le faltan
E1_Pre
por consumirse y si un centímetro lo consumió en 8 minutos, aprox. tarda
más de
en consumirse esos
.
Y de acuerdo a su par, la vela “D” representa uno de los mayores tiempos y
comparándola con “A”, la vela “D” es a la que más le faltó.
La A y B, porque al sumar las alturas y las juntara como si fueran una, son la pareja
de velas que quedaría en todo caso, con una diferencia en la altura. No tomo en
E2_Pre cuenta los datos de tiempo porque solo son esos datos, que no influyen en la
aceleración del consumo de la vela, solo influye la altura como hemos visto antes y
esto aunque sea por muy pequeña la diferencia los va a retrasar.
E3_Pre
Yo creo que el primer grupo A y B tardarán más en derretirse que el segundo grupo
(C y D), porque aunque la C es más lenta, la vela D se consume muy rápido.
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Pre: Bueno, yo puse la vela C y D, porque me di cuenta de la última altura de la C,
cambió de 8.5 a 7.12, aproximadamente como 1 cm bajó en 8 minutos, pero le faltaba
E1_Pre
7.2, entonces me puse a imaginar, esos 7.2 se iban a consumir en, iba a disminuir un
centímetro, ¡el tiempo iba a aumentar!
E1_Pre: Ya la vela D tiene el mismo tiempo que la vela A, en consumirse, nada más
que a ésta le faltaba poco (vela A) y a esta la faltaba más (vela D), en cuanto a su altura.
E1_Pre: La vela C y D, puse que tardará más en consumirse, porque el tiempo de la A
lo tiene el mismo que la D, pero ésta tiene más altura.
47
E3_Pre: Yo puse que el grupo A y B tarda más en derretirse que el segundo grupo.
E3_Pre
La vela A se empieza a derretir más rápido, menos en el final que ya no, porque tarda
más en derretirse; y esta, la vela B pues no es tanta la diferencia entre los intervalos
de tiempo, o sea que ni va muy rápido ni va muy lento; en cambio la vela C empezó a
derretirse lento pero ya después empezó a derretirse rápido; y ya en la vela D si se
derretía más rápido, entonces es por lo que el grupo A y B tardará más en derretirse
que C y D.
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel medio, también reconocen la situación y fenómeno a estudiar.
Primeramente, los estudiantes analizan los registros numéricos de derretimiento de cada una
de las velas e identifican como variables la altura y el tiempo.
Luego, los estudiantes E1_Pre y E3_Pre analizan y cuantificar la variación y el cambio por
intervalos de tiempo, a través del modelo:
𝐸𝑓
𝐸𝑖
Diferencia entre estados
Diferencia en alturas
Ilustración 12. Análisis y cuantificación de las variables del E1_Pre.
Diferencia en alturas
Ilustración 13. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Pre.
48
Se puede observar en las explicaciones y los argumentos presentados por los estudiantes
E1_Pre y E3_pre, que el dispositivo cuantificador de variación y cambio propuesto permite el
estudio de la variación de las variables, en el caso del E3_Pre, hasta el de la segunda
variación. A su vez, se puede reconocer cómo este dispositivo se aplica para el análisis de los
intervalos de tiempo en cada vela y para el estudio de un intervalo próximo al instante que se
necesita predecir, y así, determinar el tiempo que tardará cada vela en consumirse por
completo.
Argumentos acerca de sus respuestas
E2_Pre
E2_Pre: Lo intenté todo, pero pues se me hizo difícil y al final solo terminé tomando
en cuenta la altura. Sumé las alturas, bueno las parejas, la A con la B y la C con la D,
y había una diferencia de .2, luego sume los tiempos que me daban al final de la tabla
y también había diferencia; entonces yo imaginé como si las dos fueron uno solo,
entonces ese .2 aunque sea muy pequeño pero atrasa, en consumirse, ¡digo se atrasa!
Anotaciones del observador
La explicación y los argumentos presentados por el estudiante E2_Pre, dan evidencia de la
falta de análisis en la evolución del fenómeno. Por ello, determinan su resolución solo a partir
de la colección de datos iniciales, en este caso, la suma de las alturas de las velas y el tiempo
de consumo.
Ilustración 14. Estudiantes de nivel medio analizando las
tablas de registros numéricos.
49
Respuesta y explicación escrita - Nivel superior
Si en el tiempo en que están iguales la vela A y la vela C
E1_Uni
Ilustración 15. Colección de datos del E1_Uni.
pero al final A disminuye más lento.
Se derrite primero el par de velas A y B. Tardará más en consumirse C y D.
La vela A es más rápida derritiéndose que la C.
Notemos que en los últimos lapsos de tiempo, la velocidad con la que se derrite
la vela A es mucho mayor a la de la vela C. La diferencia mínima que podría
haber en las distancias de las velas es de
, aunque los
tiempo en los que tomamos estas distancias no sean iguales.
la vela B
E2_Uni Se enciende la vela B antes que la D y notemos que a los
presenta un derretimiento más acelerado que la vela D. La velocidad en los
últimos lapsos de tiempo parece ser muy distinta, pero considerando la ventaja de
tiempo que tiene la vela A sobre la C, y la diferencia de distancias, concluimos
que la vela B se apagará antes que la D.
A y B se apagarán primero que C y D.
Es de observarse que tanto la vela A como la D, como que tienen el mismo
comportamiento.
E3_Uni Dado que el derretimiento de A es casi el mismo patrón que el de D y C, tarda
más en derretirse que B. El par de velas que tardarán más en consumirse por
completo será C y D.
50
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Uni: Yo me di cuenta, de que aquí, en la tabla presentaba dos tiempos que eran
E1_Uni
iguales, al comparar la A con la C, pero en esos tiempos la vela C estaba más alta.
Entonces, lo mismo hice con la otra, había dos tiempos iguales y vi que la vela D estaba
más alta en el tiempo
. Y luego ya me fijé en el comportamiento final de A y el
comportamiento final de B ¡digo de C!; y con base en eso, yo puse que se derrite
primero, o sea, que tardará más en derretirse la C y D.
E2_Uni: Pues fue lo mismo, me fijé en los mismos tiempos que ella y al final me di
cuenta de que la velocidad en que la vela A se consume, es mucho más grande que la
velocidad a la que se consume la vela D, era casi el doble. Acá después, me fije igual
E2_Uni
que acá (vela B y D) había dos tiempos que eran igual, y que ya para este tiempo (vela
A) y este (vela D), la distancia entre las dos velas era como de 5 cm; y ya acá (vela B y
vela C), la distancia entre estas dos velas era como de dos punto y algo. Entonces quiere
decir, que esta vela (vela B) se empezó a quemar antes, porque esta (vela A) terminó
antes, pues aunque esta (vela D) se consuma un poquito más rápido al final, esa ventaja
que tenía, pues lo compensa.
I: Entonces ¿Cuál es, el par de velas que tarda más tiempo en consumirse?
E2_Uni: La C y la D.
E3_Uni: Igual llegué a lo mismo, se apagarán de último C y D. Yo me fijé, bueno vi
que los valores que tiene A y D son casi los mismos, igual me fijé en los valores que
E3_Uni
tenían casi iguales los A y B, ¡A y C! perdón; y B y D. Entonces, ya que llegué a que la
gráfica que tiene A y la que tiene D, eran casi parecidas, entonces nada más chequé
cómo eran, cómo iban cambiando la vela B y la vela C. Y llegué a que la vela B, era la
que se iba a consumir primero que la vela C, pero como la vela A es la que se prendió
primero, entonces como dijo Lalo, lo compensa; se derrite primero la vela C; y llegué a
que la vela C y D son las que tardan más.
51
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel superior, reconocen la situación y fenómeno a estudiar.
Primeramente, analizan los registros numéricos de derretimiento de cada una de las velas,
identificando como variables significativas, la altura y el tiempo, en el caso del E3_Uni, se
puede reconocer que admite también como variable significativa, la forma de la vela.
En seguida, los estudiantes analizan y cuantificar la variación y el cambio por intervalos de
tiempo, a través del modelo:
𝐸𝑓
𝐸𝑖
Δ𝑥⁄
Δ𝑦
Intervalos de
tiempo
Diferencia entre estados
Razón de cambio
Diferencia en
alturas
Ilustración 16. Análisis y cuantificación de las variables del E1_Uni.
Razón
de cambio
Ilustración 17. Análisis y cuantificación de las variables del E2_Uni.
52
Diferencia en tiempos
Diferencia en alturas
Ilustración 18. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Uni.
En las justificaciones y los argumentos presentados por los estudiantes de nivel superior, se
puede observar, que el dispositivo cuantificador permite el estudio de la variación de las
variables, en este caso, hasta el de la segunda variación. Se puede reconocer también, que este
dispositivo se aplica para el análisis de los intervalos de tiempo en cada vela y para el estudio
del comportamiento final del fenómeno, lo cual, permite determinar qué vela tardará más
tiempo en consumirse por completo y plantear la resolución al problema. De igual manera, se
vislumbra el objeto matemático “la razón de cambio”, que se utiliza como dispositivo
cuantificador.
Ilustración 19. Estudiantes de nivel superior analizando las tablas de
registros numéricos.
53
Actividad 3
Estimar el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo, al visualizar la simulación
del derretimiento de una vela, en la que se indica la medida de su altura y el tiempo en que se
va consumiendo.
Momento cero
Momento uno
Momento dos
Momento tres
Ilustración 20. Momentos del derretimiento de la vela con forma esférica.
Ilustración 21. Imagen de la simulación del derretimiento de
la vela con forma esférica.
54
Respuesta y explicación escrita - Nivel básico
Tiempo Inicial = 0
Estatura Inicial = 15.933
“
“
E1_Sec
R= 69.84 min
porque en 34.92 min solo se consume la mitad.
Cuando llega a 35 minutos es la mitad y se reinicia, entonces al llegar a los 70
E2_Sec
minutos se termina.
×
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
78 minutos porque en 35 minutos baja 7.600
𝑚𝑖𝑛
E3_Sec
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
Argumentos acerca de sus respuestas
E3_Sec: Pues, según muestra esto, en 35 minutos baja 7.6 cm.
E3_Sec: Lo que hice fue restarle esos 7.6 a los 15 y me dio 8.333; se lo volví a restar al
E3_Sec
menor, 8.333 minutos y me dio .083; y de ahí calculé cuánto baja.
I: ¿Un aproximado?
E3_Sec: Si
I: ¿Cuándo llega acá, cuantos minutos me dijiste?
E3_Sec: 35
I: ¿Y tiene un altura de?
E3_Sec: 8.333 cm
55
E2_Sec
E2_Sec: Cuando llega a los 35 minutos está a la mitad, entonces lo multiplique por dos
y me da 70.
I: ¿Por qué estas tomando en cuenta que la otra mitad tardaría el mismo tiempo?
E1_Sec
E2_Sec: Por la forma.
I: ¿Qué pusiste?
E1_Sec: Lo mismo
Anotaciones del observador
Los estudiantes reconocen el fenómeno a estudiar, esto es, el derretimiento de una vela de
forma esférica, para estimar el tiempo que tardará en consumirse por completo. Al iniciar la
simulación, cada uno de los estudiantes visualiza y analiza detenidamente este fenómeno para
identificar la situación que se presenta, la vela se consume poco “después” de la mitad.
Seguidamente, ellos identifican las variables significativas, como son la altura, la forma y el
tiempo de derretimiento, para así, establecer la hipótesis que guía el problema de estudio.
Posteriormente, los estudiantes van registrando determinados datos iniciales, los cuales
analizan para generar un modelo, plantear las condiciones iniciales y por último, determinar la
resolución al problema. También, se reconoce en estos registros, la relación funcional que se
establece entre la medida de la altura y el tiempo que transcurre.
A su vez, se pueden identificar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir el
tiempo que tardará la vela en consumirse por completo, por ejemplo, el E3_Sec registra que la
vela se consume hasta llegar a
cada
en
, y establece que altura de la vela bajará
(velocidad constante). Los estudiantes E2_Sec y E1_Sec, reconocen que
la forma esférica de la vela permite la obtención de los datos iniciales para predecir el tiempo
que tardará la vela en derretirse por completo, puesto que el tiempo que tarda la vela en
derretirse hasta la mitad, va ser el mismo que tardará en derretirse la otra mitad.
56
Respuesta y explicación escrita - Nivel medio
Ya que al dividir la altura total entre , me fue arrojando medias horas.
E1_Pre
Creo que tardaría
E2_Pre
y algo en derretirse, ya que según el video, poquito más
de la ⁄ hora, ya se gastó por décimas menos de la mitad.
Primero, la vela comenzó a consumirse muy rápido, pero después bajó la
intensidad de la velocidad. En mi opinión, la velocidad es importante a tomar, ya
que no es constante, sería la última, entre el intervalo del minuto
E3_Pre
su velocidad estima que es de
restantes entre los
unos
al
, pues
por minuto, así que, sí divido las
, me daría que la vela se consumiría por completo entre
minutos más.
Argumentos acerca de sus respuestas
E1_Pre
E1_Pre: Pues, dividí la cantidad de la altura entre tres y creo que me dio cinco punto y
algo, y lo fui restando y me daba
un tiempo aproximado de
. Luego, intenté encontrar esa altura y me dio
, entonces lo redondeé a
ser el doble seguir restándole, sería
E2_Pre: Vi que a los
E2_Pre
consumido
, y si eso hizo en eso, iba
.
, que es donde acababa el video y volvía a empezar, había
, un poquito menos de la mitad. Entonces, multipliqué ese tiempo por
dos, y me daba que a los
menos que entre los
ya iba transcurrir
. Entonces, estime más o
y la hora se iba acabar la vela.
I: ¿Por qué lo multiplicaste por ?
E2_Pre: Porque ya tenía los datos de la mitad y solo me faltaba la otra mitad.
57
E3_Pre: Unos
minutos más.
E3_Pre
E3_Pre: Empecé a tomar exactamente de minuto en minuto al principio y al final, al
principio como que es muy drástico, como que baja más rápido la velocidad y ya al
final no, como que las distancias son más cortas.
E3_Pre: Yo tomé las distancias entre el minuto
y
, y aproximadamente sería de
por minuto la distancia que hay, entonces si me queda nada más los
dividí entre eso y me quedo
, lo
.
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel medio, también reconocen el fenómeno a estudiar. Ellos, visualizan y
analizan detenidamente el fenómeno simulado, para así, identificar la situación que se
presenta, en este caso, la vela solo se consume poco “antes” de la mitad, caso contrario que en
los estudiantes de nivel básico. Se identifica de igual manera las mismas variables
significativas, la altura, la forma y el tiempo de derretimiento; para así, establecer la hipótesis
que guía el problema de estudio.
Luego, los estudiantes realizan una recolección de datos iniciales, es decir, registran la medida
de la altura de la vela en determinado tiempo. En estos registros numéricos, se identifica la
relación funcional entre la posición de la vela en el espacio (altura), el tiempo y las variables
significativas.
E1_Pre
E2_Pre
E3_Pre
58
Posteriormente, se formula un dispositivo cuantificador para realizar el estudio del
comportamiento local, particularmente, el análisis local de un intervalo próximo al instante
que se requiere predecir.
𝐸𝑓
𝐸𝑖
Diferencia entre estados
Asimismo, se realiza el estudio de la primera variación de las variables (velocidad), para luego
establecer las condiciones iniciales del fenómeno y predecir el tiempo que tardará la vela en
consumirse por completo.
Se puede identificar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir, por ejemplo, el
estudiante E3_Pre, estudia en comportamiento local del fenómeno en un intervalo próximo al
instante que necesita predecir a través del dispositivo propuesto, para así, determinar cómo
evolucionará el fenómeno después de ese intervalo. Es así, como establece que la vela se
derretirá a velocidad constante a partir del último instante que analizó y así estimar el tiempo
que tardará la vela en consumirse por completo.
En el caso de los estudiantes E1_Pre y E2_Pre, recolectan los datos iniciales, esto es, la altura
en un tiempo determinado y establecen que la vela se derretirá en un mismo intervalo de
tiempo, una determinada altura (velocidad constante), estimando de esta forma el tiempo que
tardará la vela en consumirse.
Ilustración 22. Estudiantes de nivel medio
cuantificando la variación de las variables.
59
Respuesta y explicación escrita - Nivel superior
Tenemos que la vela mide 15.933. A los
o 29.58. A los casi 9,
casi
E1_Uni
han pasado 29.17 aprox.
han pasado aprox.
, que es
de la vela. Ahora por la forma esférica de la vela de 0 a
tardará
casi lo mismo que de 10 a 15.
de esto aprox.
El tiempo es aproximadamente
Notemos que la vela tarda en consumirse desde
a
Dado
que la forma de la vela es esférica, este tiempo es el mismo que tardará en
consumirse la parte de la vela de
a
. Solamente debemos hacer una
estimación del tiempo en que se consumirán los
que le quedan a la
vela.
Analicemos algunos intervalos de tiempo cercanos al centro.
E2_Uni
Consideremos
𝑣
𝑣
es un aproximado de la velocidad en el lapso
la razón de cambio.
.
Hallemos
Por lo tanto, el tiempo sería
60
Anotaciones del observador
Los estudiantes de nivel superior, también reconocen el fenómeno a estudiar. Ellos, visualizan
y analizan detenidamente el fenómeno, identificando la situación, en este caso, se presentó la
misma situación que en el nivel medio. También, los estudiantes de nivel superior identifican
las variables significativas: la altura, la forma y el tiempo de derretimiento; para luego,
establecer la hipótesis.
De igual forma, los estudiantes realizan una recolección de datos iniciales, registrando la
medida de la altura y el tiempo que transcurre. En estos registros numéricos se identifica la
relación funcional entre la posición de la vela en el espacio (altura), el tiempo y las variables
significativas.
E1_Uni
E2_Uni
E3_Uni
Registros parciales
De igual forma, se formula un dispositivo cuantificador para realizar el estudio del
comportamiento local, particularmente, en un intervalo próximo al instante que se requiere
predecir.
𝐸𝑓
𝐸𝑓
𝐸𝑖
𝐸𝑖
Diferencia entre estados
Razón entre estados
Estos dispositivos permiten el estudio de la primera y segunda variación de las variables: la
velocidad y la aceleración; para luego, establecer las condiciones iniciales del fenómeno y
predecir el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.
61
Es importante resaltar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir, se reconoce
como el E2_Uni, analiza la situación y plantea la hipótesis de estudio. Posteriormente, realiza
una recolección de datos iniciales, para luego, estudiar el comportamiento global y local del
fenómeno. Se puede observar que se realiza el análisis de la primera variación a través de la
diferencia entre estados y la segunda variación con la razón entre estados.
En el caso del E1_Uni, se reconoce el análisis de la situación y la hipótesis de estudio que se
establece. Luego, se puede observar que se realiza una recolección parcial de datos iniciales
para analizar el comportamiento local de fenómeno y establecer las condiciones iniciales. El
E3_Uni realiza el análisis de la situación, establece la hipótesis de estudio, recolecta los datos
iniciales, pero al final, no encuentra cómo estudiar el comportamiento del fenómeno y
predecir.
5.2 Resultados de la experimentación
Una importante necesidad social, la cual se orienta hacia la búsqueda de la comprensión del
sistema que regula los fenómenos en la naturaleza, reconoce que en ciertas situaciones o
fenómenos que se manifiestan en nuestro entorno se hace necesario saber cómo será su estado
con el paso del tiempo.
Predicción y modelación matemática en situación escolar
Se vislumbra en los resultados obtenidos, que la noción de predicción se sitúa como una idea
primitiva que lleva consigo a realizar el estudio de las situaciones y fenómenos de naturaleza
variacional-predictiva, la cual establece para este análisis que las primeras informaciones
(estados iniciales o primitivos) permiten predecir la evolución del fenómeno, es decir, las
ideas de estudiar al todo a través de conocer a la parte (la hipótesis), pues el valor global de la
variación está impreso en un valor particular de la magnitud que fluye (Cantoral, 2001).
También, se puede observar cómo esta noción permite reconocer que de la gran cantidad de
variables vinculadas con el fenómeno, solo un subconjunto de ellas serán consideradas
variables y al resto, se les asumirá constantes, pues la ausencia de su variación no se considera
contribuya en la predicción buscada, esto es lo que Cantoral (2001) denomina, primer nivel de
Constantificación.
62
La noción de predicción retoma el hecho de que estas situaciones y fenómenos estudiados, son
susceptibles a observación mediante una serie de experiencias elementales, para así,
encaminar a la obtención de una colección finita de datos iniciales (estados iniciales) para la
interpolación y extrapolación, y que a su vez incorporan en una serie de relaciones
funcionales: posición en el espacio, tiempo y variables significativas; que serán construidas y
modeladas (formulación del modelo).
A su vez, esta noción evoca el estudio del comportamiento local, puntual o instantáneo del
fenómeno, para así, “construir estrategias” que permitan el estudio de la variación y el cambio
de las variables y con ello, asignar el estado constante o cuasi-constante, a alguna de las
sucesivas variaciones de las variables (condiciones iniciales), ya sea porque se considera
constantes en todo su dominio de definición o porque se le considere constante en cierto
estado transitorio, esto es un segundo nivel de Constantificación (Cantoral, 2001).
En ese sentido, se puede reconocer como los estudiantes analizan la evolución de un sistema
(el derretimiento de velas de diferente forma), cuantificando los cambios y la rapidez de esos
cambios, a través de los diferentes tratamientos (gráfico – numérico - visual); y cómo al
hacerles corresponder con sus propias ideas, herramientas y estrategias, se favorece la
predicción y la modelación matemática.
Estructura seguida en la modelación de situaciones o fenómenos de naturaleza variacional-predictiva.
63
Dispositivos cuantificadores de variación y cambio
En el estudio de la cuantificación de la variación en la naturaleza, en la necesidad de predecir
cómo será su estado (del fenómeno) con el paso del tiempo, se considera preciso estudiar a las
variables en conjunción, y de la misma forma, el diseño de dispositivos tanto teóricos como
empíricos para concebir, explicar, medir y modelar el flujo de la naturaleza de la variación
continua e instantánea. Con este propósito se reconoce en los estudiantes la construcción de
dispositivos cuantificadores de variación y cambio:
𝐸𝑓
Modelo diferencia (diferencia entre estados)
𝐸𝑖
En este modelo se presentan estados, que establecen la medida de una cierta magnitud
asociada a un cierto objeto en un instante de tiempo; comparaciones que expresan la
diferencia entre dos estados; y variaciones, que constituyen el cambio de un estado con
el paso del tiempo.
Modelo razón (razón entre estados)
𝐸𝑓
𝐸𝑖
Este modelo presenta de igual forma estados; comparaciones que expresan la razón
entre estados; y una escala de variación, que representa la relación entre el estado
inicial y el estado final.
Estos dispositivos yacen precisamente en la noción de predicción (ideas primitivas) presente
en los estudiantes y se exteriorizan de algún modo al realizar acciones que precisen la
predicción de situaciones o fenómenos de naturaleza variacional-predictiva, esto se reconoce
de igual forma en estudio realizado por López (2010).
Asimismo, los dispositivos generados en torno a esta noción, se reconocen como las primeras
aproximaciones de la función derivada, pero cabe rescatar que para consolidar estas
aproximaciones, faltaría reformular estos dispositivos para un análisis puntual o instantáneo de
las variaciones de las variables.
64
La noción de predicción en situación escolar
Asimismo, de los resultados obtenidos se determina el status que guarda la noción de
predicción en situación escolar en los diferentes niveles educativos. En el nivel básico, la
noción de predicción se significa en el nivel de esquema, pues se reconoce en los estudiantes
un estudio de corte informal, que se expresa con un lenguaje natural. A su vez, los estudiantes
de este nivel educativo perciben patrones de regularidad, lo que conlleva a realizar análisis de
tipo cualitativo del fenómeno.
En el nivel medio y superior, la noción de predicción se significa en el nivel de modelo, ya
que se vislumbra un estudio de corte más formal, lo que llamamos pseudo-momentos de
formalización, y aún con este tipo de estudio se reconocen análisis de tipo cualitativo y
cuantitativo, que se expresan igualmente con un lenguaje natural. A diferencia de los
estudiantes de nivel básico, los estudiantes de nivel medio y superior en su estudio de la
percepción de patrones de regularidad, incorporan modelos gráficos y numéricos, y a su vez el
diseñando de dispositivos cuantificadores de variación y cambio.
65
Capítulo 6
Conclusión y discusión
6.1 Conclusión
El presente estudio centró su atención en identificar la naturaleza de los procesos de
modelación matemática que llevan a cabo los estudiantes de distintos niveles educativos
(básico, medio y superior), ante actividades específicas de predicción; y a vez, precisar el
estatus que guarda la noción de predicción, identificable en dichas actividades.
Es así, como este estudio enmarcó características que se reconocen como un punto de
encuentro entre la predicción y modelación matemática, y en ello, se establece que la
construcción de conocimiento matemático se realiza en plena interacción de las personas con
situaciones del mundo real, y que esta construcción no está tanto en la predicción y la
modelación como expresiones matemáticas de una situación fenomenológica, sino en los
procesos que subyacen en las actividades humanas, las tareas, acciones y habilidades que las
personas (estudiantes) llevan a cabo.
Estos procesos que intervienen en la predicción y modelación matemática, se suscitan al
plantear una necesidad sociocultural de saber cómo será su estado (del fenómeno) con el paso
del tiempo, y posibilitan el pasaje de los estudiantes a construir sus herramientas y estrategias
para realizar su actividad, y al mismo tiempo, establecer versiones del fenómeno, generar
entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de naturaleza
sociocultural.
De ahí, es donde se reconoce que la noción de predicción se construye socialmente a partir de
las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la
necesidad de predecir (Cantoral, 2001), resultando ser la idea primitiva que se relaciona con el
estudio de la variación, pues para predecir un estado futuro correspondiente a un sistema dado,
es necesario cuantificar y analizar los cambios de sus causas y efectos (estudiar la variación),
esto es, generar dispositivos cuantificadores que yacen precisamente en la noción de
predicción (ideas primitivas) presente en los estudiantes y se exteriorizan de algún modo al
66
realizar acciones que precisen la predicción y la modelación matemática de situaciones o
fenómenos de naturaleza variacional-predictiva.
En concreto, se puede reconocer a la noción de predicción no solo como aquello que permite a
los estudiantes predecir, sino como aquello que hace que se prediga como se predice, esto es,
en la noción de predicción subyacen las ideas, estrategias, estilos de pensamiento y los
conocimientos matemáticos que se involucran en la predicción y modelación matemática, con
el objeto de entender nuestro entorno y al plantear la necesidad socio-cultural de saber cómo
será el estado del fenómeno con el paso del tiempo.
6.2 Discusión
Es importante referir algunos elementos significativos para el rediseño del discurso
matemático escolar, particularmente, del cálculo y el análisis. Para ello, se discuten algunos
elementos significativos en el diseño del instrumento y también algunas de las acciones
realizadas por los estudiantes para el estudio de la variación en la naturaleza.
Un tratamiento gráfico- visual y numérico-visual
Como se menciona en diversos estudios, el tránsito entre los registros de representación
favorece la apropiación de conocimiento matemático. Y aun cuando el instrumento empleado
para recabar los datos, favorece la posibilidad de trabajar (no necesariamente transitar) en
distintos escenarios de representación, se pudo observar que los alumnos trabajan en dichos
escenarios de representación, tal es el caso del numérico-visual o el grafico-visual, empero en
ningún momento se distingue la habilidad para transitar de un escenario a otro. Esto se puede
notar en la Actividad 3 que, a pesar de presentar registros numéricos, en ninguno de los tres
niveles se realizó una representación gráfico-visual por parte de los participantes.
Se expresan en un lenguaje natural y gesticulan
Como se puede observar en el estudio, parte del contexto de significación se expresa en un
lenguaje natural, lo que permite a los alumnos establecer sus propias ideas, argumentar y
validar las hipótesis planteadas, definir en su propio lenguaje sus resultados y conclusiones, y
apropiarse del conocimiento en forma cultural. Esto, unificado al hecho de que no solo es la
67
forma verbal la que aporta todo esto, sino también, la gesticulación que se emplea para
ejemplificar o explicar lo que se piensa, permitiendo representar cierto comportamiento de la
situación (Torres, 2010).
Nivel básico
Nivel medio
Nivel superior
Ilustración 23. Estudiantes de diferentes niveles educativos expresando sus conclusiones
con un lenguaje natural y gesticulando.
En el marco anterior, la gesticulación entendida en el sentido de Aparicio y Cantoral (2006,
2007), viene a constituirse como un recurso cultural que permite y precede a la modelación
matemática. En efecto, las posturas corporales, lo visual, las expresiones faciales y el uso de
ademanes, favorecen el que las personas puedan anticipar (razonadamente) sus actos
matemáticos como el generar modelos matemáticos elementales o producir explicaciones
lógicas matemáticas ante situaciones específicas de predicción (por ser este el caso que nos
ocupa), donde la libertad para conducirse en la búsqueda de soluciones no está sujeta a
aspectos de temporalidad didáctica de contenido ni al uso “obligado” de conceptos explícitos
de enseñanza.
La visualización en ambientes computacionales
La visualización fue un elemento esencial para el diseño de las actividades, ya que como se
menciona en el capítulo 4, esto favoreció un abordaje más experimental en el aprendizaje
matemático, permitiendo en los estudiantes formular, verificar o rechazar y reformular
hipótesis, identificar patrones de comportamiento, anticipar resultados y combinar esto con los
68
registros de representación: gráfico, numérico y analítico (Borba, 1995a; Capuzzo Dolcetta et
al., 1988, citado en Ester, 2003). Por ello, se diseñó un ambiente computacional que simula el
derretimiento de velas con diferente forma, con el objeto de potencializar los estilos cognitivos
en el pensamiento de los que aprenden. Veamos algunos argumentos presentados por los
E3_Sec: Pues, según muestra esto, en 35 minutos baja 7.6 cm. Lo que hice fue restarle
esos 7.6 a los 15 y me dio 8.333; se lo volví a restar al menor, 8.333 minutos y me dio
Nivel medio
.083; y de ahí calculé cuanto baja.
E2_Pre: Vi que a los
Nivel superior
Nivel básico
alumnos en la Actividad 3.
E2_Uni: Notemos que la vela tarda en consumirse desde
consumido
, que es donde acababa el video y volvía a empezar, había
, un poquito menos de la mitad. Entonces, multipliqué ese tiempo por
dos, y me daba que a los
menos que entre los
ya iba transcurrir
. Entonces, estime más o
y la hora se iba acabar la vela.
a
Dado que la forma de la vela es esférica, este tiempo es el mismo que tardará en
consumirse la parte de la vela de
a
estimación del tiempo en que se consumirán los
. Solamente debemos hacer una
que le quedan a la vela.
La visualización en tanto proceso cognitivo que se hace acompañar de la componente visual
de las situaciones (fenómenos simulados mediante computadora), es una actividad presente en
los niveles de predicción. En efecto, en los episodios antes descritos se muestra como la
visualización permite mediar entre los pensamientos (o razonamientos espontáneos de las
personas) y la situación que se desea entender o modelar. Este tipo de actos consideramos, se
favorece en mayor medida con el trabajo de simulación mediante el uso de la computadora.
69
Bibliografía
Acosta, A. y Castro, C. (2006). ¿Hacia donde rota la terra? Evidencia del desinterés por el
conocimiento científico. Revista de la Sociedad Colombiana de Física, 38 (2), 657-660.
Álvarez, J. y Posadas, Y. (2003). La obra de Galileo y la confrontación del experimento en la
física. Revista Mexicana de Física, 49 (1), 61-73.
Aparicio, E. y Cantoral, R. (2007). La formazione della nozione di continuità puntuale presso
gli studenti dell'università. Un approccio socioepistemologico. La Matematica e la sua
Didattica. Pitagora Editrice Bologna, Italie. 21, n. 2. 163 - 196.
Aparicio, E. y Cantoral, R. (2006). Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de
continuidad puntual. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 9
(1), pp. 7-30.
Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula.
Tesis de doctorado no publicada. México: Cinvestav IPN.
Barrio, J. (2004). La calidad educativa y la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la
enseñanza secundaria. Revista Complutense de Educación, 15 (2), 621-646.
Bombal, F. (2009). El análisis infinitesimal en Euler. En: La Obra de Euler, Tricentenario del
Nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid, pp. 209-228.
Buendía, G. (2004). Una epistemología del aspecto periódico de las funciones en un marco de
prácticas sociales. Tesis de Doctorado no publicada, Cinvestav, México.
Bunge, M. (1968). La ciencia, su método y filosofía. Buenos Aires: Siglo XX.
Cajas, F. (2001). Alfabetización científica y tecnológica: La transposición didáctica del
conocimiento tecnológico. Enseñanza de las ciencias, 19(2), 246-254.
Camacho, A. (2006). Socioepistemología y práctica sociales. Educación Matemática, 18(1),
133-160.
70
Cantoral, R. (1990). El pensamiento físico en los siglos XVIII y XIX y su relevancia para una
didáctica del análisis. Cuadernos de Investigación. Núm. 13, Año 4, Parte 2, 1 – 6. PNFAPM
– SEP, México.
Cantoral, R. (1993). Hacia una didáctica del cálculo basada en la cognición. Memorias de la
séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e
Investigación en Matemática Educativa, 1, 397 – 410. Panamá, Panamá: Universidad de
Panamá.
Cantoral, R. (1995). Acerca de las contribuciones actuales de una didáctica de antaño: El caso
de la Serie de Taylor. Mathesis. Universidad Nacional Autónoma de México, México. 11 (1),
55 – 101.
Cantoral, R. (2001). Introducción: los contextos de significación. En Grepe, N. Matemática
Educativa. Un estudio de la formación social de la analiticidad. (pp. xvii-xix) México, D.F.,
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Cantoral, R. (2003). La aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática
educativa: una mirada emergente. [CD-ROM] XI Conferencia Interamericana de Educación
Matemática. Tema: Educación Matemática & Desafíos y Perspectivas. Blumenau, Brazil:
Universidade Regional de Blumenau.
Cantoral, R. y Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al
análisis. Épsilon 42, 353-369.
Cantoral, R. y Farfán, R. (2003). Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 6 (1), 27-40.
Cantoral, R. y Farfán, R. (2004). Desarrollo conceptual del cálculo. México: Thomson
Learning International.
Cantoral, R.; Molina, G. y Sánchez, M. (2005). Socioepistemología de la Predicción. Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, 18, 163-168.
71
Cordero, F. (1998). El entendimiento de algunas categorías del conocimiento del Cálculo y
Análisis: el caso del comportamiento tendencial de las funciones. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 1 (1), 57-74.
Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través
de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,
4 (2), 103-128.
Cordero, F. (2005). El rol de algunas categorías del conocimiento matemático en educación
superior. Una Socioepistemología de la integral. Revista Latinoamericana de Investigación en
Matemática Educativa, 8 (3), 265-286.
Ester, M. (2003). Pensamiento matemático, cálculo diferencial y computadoras. Educación
Matemática, 15 (1), 99-122.
Gil, D. (1998). El papel de la educación ante las transformaciones científico-tecnológicas.
Revista Iberoamericana de Educación, 18, 69-90.
Gómez, C. (1991). Cognición, contexto y enseñanza de las matemáticas. Comunicación,
Lenguaje y Educación, 11-12, 11-26.
Gorbea, S. (1998). Modelación matemática de la actividad bibliotecaria: una revisión.
Investigación Bibliotecología, 12 (24), 5-23.
Gregg, J. (1995). The tensions and contradictions of the school mathematics tradition. Journal
for Research in Mathematics Education, 26 (5), 442-446.
Greiner, W., Neise, L. y Stöcker, H. (s.f.). Desarrollo histórico de la teoría del calor.
Recuperado
el
03
de
diciembre
de
2009,
de:
www.fis.cinvestav.mx/~jmendez/JMMA/historia%20calor.pdf
Gutiérrez, M. (2002). El aprendizaje de la ciencia y de la información científica en la
educación superior. Anales de documentación, 5, 197-212.
Guzmán, M. (1983). Impactos del análisis armónico. Llull, 5, 27-63
72
Guzmán, M. (2007). Enseñanza de las ciencias y la matemática. Revista Iberoamericana de
Educación, 42, 19-58.
Liñán, A. (2009). Las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos. In: La obra de Euler:
tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid, pp.
151-177.
López, J. (2010). Análisis de recursos y herramientas matemáticas empleadas por estudiantes
en actividades predictivas. Tesis de licenciatura no publicada, Universidad Autónoma de
Yucatán, Mérida, Yucatán, México.
Luzin, N. (2003). Función. La Gaceta de la RSME, 6 (2), 413-436.
Martínez, A. (2001). La demostración en matemática. Una aproximación epistemológica y
didáctica. Servicio de publicaciones. Universidad de Córdoba. 29-43.
Montiel, G. (2005). Estudio socioepistemológico de la función trigonométrica. Tesis de
Doctorado no publicada. CICATA del IPN, México.
Ortega, T. y Sierra, M. (1998). El concepto de derivada: Algunas indicaciones para su
enseñanza. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 32, 87-115.
Planas, N. e Iranzo, N. (2009). Consideraciones metodológicas para la interpretación de
procesos de interacción en el aula de matemáticas. Revista Latinoamericana de Investigación
en Matemática Educativa, 12 (2), 179-213.
Ruiz, M. y Martínez, F. (2005). Infinitésimos. Ficciones útiles para el cálculo de tangentes y
cuadraturas. Recuperado el 14 de julio de 2010, de: http://163.10.1.179/Infinitesimos.pdf
Sanz, J. (2009). El método de Euler de integración numérica. En: La Obra de Euler,
Tricentenario del Nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid,
pp. 105-114.
Silvio, L. (1998). Ciencia, tecnología y sociedad: el estado de la cuestión en América Latina.
Revista Iberoamericana de Educación, 18, 13-40.
73
Sorge, W., Ramírez, F. y Otero, C. (2007). La composición de movimientos en la obra de
Galileo Galilei. Revista Universidad Católica de Oriente, 24, 87-97.
Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. (4). México D.F.,
México: Ed. Thomson Learning.
Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2001). Precálculo. (3). México: Thomson Learning
Torbay, A. (1999). El nivel de conocimiento de los alumnos al finalizar 8º EGB/1º Ciclo de la
ESO: un acercamiento constructivista. Universidad de La Laguna. Departamento de
Psicología Educativa, Evolutiva y Psicobiología, La Laguna, España.
Torres, L. (2010). La noción de predicción matemática. Un estudio de construcción de
discurso. Tesis de licenciatura no publicada, Universidad Autónoma de Yucatán, Mérida,
Yucatán, México.
Torroja, J. (1998). La gravitación universal y sus consecuencias. En Historia de la Matemática
en los siglos XVII y XVII. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Madrid,
España.
Trejo, J., Quijano, M. y Ávila, E. (2004). Precálculo. Mérida, Yucatán, México: Editorial
McGraw Hill.
Verdugo, C. (2005). Popper y la explicación científica. Revista de Filosofía, 30(1), 49-61.
Wussing, H. (1998). Lecciones de historia de las matemáticas. Español (1ª ed.). Madrid,
España: Siglo XXI de España Editores. S.A.
Yam, E. y Aparicio, E. (2009). Función definida por partes. Un análisis histórico-didáctico
referente a su tratamiento escolar. Tesis de Licenciatura publicada, Facultad de Matemáticas,
Universidad Autónoma de Yucatán.
74
Anexos
Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Matemáticas
Instrumento
Nombre de la escuela: ______________________________________________________
Grupo/Semestre: __________ Edad: _______ Genero: ___________ Fecha: ___________
Correo: __________________ Hora de inicio: __________ Hora de término: __________
Este instrumento pretende recabar datos para un proyecto de tesis, los datos que se registren
serán confidenciales, y de antemano se te agradece tu apoyo en este proyecto.
Indicaciones
A continuación se presenta una serie de actividades, lee cuidadosamente lo que se te
pide en cada caso y anota tus procedimientos y respuestas en las hojas de trabajo, de
preferencia usa bolígrafo y no taches tus intentos y respuestas fallidas, solo enciérralas.
Por ejemplo, evita tachar o rayar de la siguiente forma
procedimiento o respuesta incorrecta
, solo encierra el
.
75
Actividad 1
En el archivo Actividad1.gsp se presenta la simulación del derretimiento de velas de diferente
forma, elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones
ambientales. Analiza la simulación y responde lo que se te pide. No olvides anotar tus
respuestas y procedimientos en la hoja de trabajo.
Las siguientes gráficas representan el derretimiento de las velas de la simulación, conforme va
transcurriendo el tiempo.
Grafica 1
Grafica 2
Grafica 3
Grafica 4
Grafica 5
76
En la siguiente tabla indica el número de la gráfica que modele el derretimiento de cada vela.
Si es posible justifica tu respuesta.
Hoja de trabajo 1
Vela
Gráfica
Justificación
A
B
C
D
E
77
Actividad 2
En las siguientes tablas se muestran los registros del derretimiento de otros tipos de velas.
Analiza los datos y responde lo siguiente. No olvides anotar tus respuestas y procedimientos
en la hoja de trabajo.
Vela A
0
9.4
17.5
29.8
42.8
56.7
59.3
Vela B
16.4
15.05
13.23
9.73
5.77
2.13
2.50
0
9.3
16.4
30.9
44.8
55
60.8
Vela C
0
6.5
9.3
29.8
45
53.6
59.3
16.5
13.29
10.81
6.91
5.52
4.5
1.35
Vela D
15.7
14.66
14.21
10.93
8.5
7.12
2.50
0
6.3
17.5
30.9
42.8
56.7
60.8
17.0
14.96
11.62
8.13
5.48
2.92
1.35
Si las velas A y C se encienden al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se
enciende la vela B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D, ¿qué par de
velas tardará más en consumirse por completo? Si es posible justifica tu respuesta.
78
Actividad 3
En el archivo Actividad3.gsp se presenta la simulación del derretimiento de una vela, en la que
se indica la medida de su altura y el tiempo en que se va consumiendo. Oprime “Iniciar” para
activar la simulación y pausarla. Analízala y realiza lo siguiente. No olvides anotar tus
respuestas y procedimientos en la hoja de trabajo. (Nota: El botón “Reiniciar” es para empezar
de nuevo la simulación).
Estima el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.
79