0 0 0 0 4 2 1 6 10 4 ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ +

INVESTIGACION OPERATIVA
TRABAJO PRACTICO Nº6
TEMA: PROBLEMA DUAL
Formular y resolver los problemas duales de los siguientes casos. Encontrar a partir del dual la
solución del primal.
1)
Max
z  4 x1  10 x 2  6 x 3  x 4
4)
Max
st
z  2 x1  x 2  x 3
st
x1  x 3  x 4  1
x1  x 2  1
x1  x 2  x 4  2
x1  2 x 2  x 3  2
x1  x 2  x 3  x 4  4
x1  0
x1  0
x2  0
x2  0
x3  0
x3  0
x4  0
5)
2)
Min
z  x1  x 2
st
2 x1  x 2  2
x1  2 x 2  2
6 x1  x 2  3
x1  0
x2  0
Max
z  60 x1  90 x 3
st
x1  2 x 2  2
x1  x 2  5
x3  x 4  4
x 3  2x 4  7
x1  0
x2  0
x3  0
x4  0
3)
Max
z  4 x1  x 3
st
x1  x 2  x 3  6
x1  x 2  x 3  10
x1  x 2  x 3  4
x1  0
x2  0
x3  0
6) Una empresa fabrica cuatro tipos de solventes, cuya producción será completamente
absorbida por el mercado. El proceso de producción incluye 3 etapas: calentamiento,
mezclado y envasado. La compañía emplea a 25 operarios en el departamento de
calentamiento, 35 en el departamento de mezclado y 15 en el de envasado. La fábrica
trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los
requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para los 4 productos.
MINUTOS POR UNIDAD
SOLVENTE CALENTAMIENTO MEZCLADO ENVASADO UTILIDADES
POR
UNIDAD ($)
1
20
70
12
2.5
2
60
60
4
1.7
3
30
20
6
3.2
4
25
60
8
4.4
Además por condiciones del mercado la producción del solvente 1 debe ser al menos las
dos terceras partes de la del solvente 3 y al menos la mitad de la del solvente 2, mientras
que la producción del solvente 2 debe ser al menos la tercera parte de la del solvente 4.
a) Formule el programa primal que maximice las utilidades semanales de la empresa.
b) Formule el programa dual.
c) Resuelva el programa dual y de esta solución encuentre la solución del primal.
d) ¿Cuál es el incremento en las utilidades por cada hora adicional en envasado? Y cuál
por hora adicional en el departamento de calentamiento?
e) ¿Cuál es el exceso de horas disponible semanalmente en los departamentos de
calentamiento, mezclado y envasado?
f) Mejorarían las utilidades si se destinan 12 operarios de calentamiento al
departamento de envasado? Después del cambio, habría exceso de personal en algún
departamento?
g) La opción de destinar 12 operarios de mezclado al departamento de envasado es
mejor que la anterior? Después del cambio, habría exceso de personal en algún
departamento?
7) Un fabricante de automóviles compra pintura a dos proveedores, X e Y. El fabricante
tiene dos plantas A y B, y requiere exactamente 6000 lts para la planta A y de
exactamente 4000 lt para la planta B. El proveedor X cobra $30 y $32 por litro de
pintura (incluyendo costos de transporte) a A y B respectivamente. Para estos precios, X
requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 2000 litros. Sin
embargo, X no puede proveer más de 4000 litros. El proveedor Y cobra $ 34 y $28 por
litro a A y a B respectivamente, y requiere una orden mínima de 6000 litros.
a) Formule el programa primal que permita al fabricante de automóviles hacer los
pedidos de pintura a fin de que su costo total sea mínimo.
b) Formule el programa dual.
h) Resuelva el programa dual y de esta solución encuentre la solución del primal.
c) ¿Cambiaría la programación del pedido del fabricante si el proveedor X hace un
descuento de $3 por litro de pintura producida en la planta B? Justifique sin resolver
nuevamente el problema.
d) Cuál debería ser el descuento ofrecido por el proveedor para que tenga influencia en la
solución? Justifique. Cuál sería el nuevo punto óptimo y los nuevos costos?
e) Como debería hacerse el pedido si por razones operativas el proveedor X no pudiera
ofrecer más de 3000 litros de pintura?
f) Determine el precio dual de las restricciones.
8) La empresa Date vende, en unidades fraccionables, cuatro tipos de productos. Los
recursos necesarios para producir una unidad de cada producto y el precio de venta para
cada producto se dan en la tabla. En la actualidad se dispone de 4563 unidades de
materia prima y 5020 horas de trabajo. Para cumplir con la demanda de los clientes se
deben producir exactamente 955 unidades de producto, en cualquier combinación,
siempre y cuando las unidades de producto tipo 4 sean como minimo de 436. Formule
y obtenga la solución óptima para maximizar el beneficio de este problema. Resuelva el
primal y dual y encuentre el precio dual para ambos programas y las soluciones
reciprocas.
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
Materia Prima
7
5
5
3
Horas de trabajo
5
3
2
3
Precio ($)
5
7
10
8
9) Una compañía metalúrgica desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio,
35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles en el mercado y
que tiene las siguientes propiedades.
Propiedad
% de aluminio
% de zinc
% de plomo
Costo ($/libra)
1
60
10
30
77
2
25
15
60
70
Aleación
3
45
45
10
88
4
20
50
30
84
5
50
40
10
94
a) Cuáles son las proporciones necesarias de estas aleaciones que deben mezclarse para
producir la aleación a un costo mínimo?
b) Resuelva el programa primal y determine el precio dual para todas las restricciones.
c) Resuelva el programa dual y determine el precio dual para todas las restricciones.
d) Compare los resultados y explique la correspondencia.