Laboratorio 2 - Módulo de Young de un alambre sometido a tracción

Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
Laboratorio 2: Determinación del módulo de Young de un alambre
delgado sometido a tracción.
Introducción.
Un cuerpo que puede modelarse como partícula está en equilibrio, siempre que
la resultante de las fuerzas que actúan sobre él sea cero. No obstante, si actúan fuerzas
en diferentes puntos de un cuerpo extendido, se debe satisfacer un requisito adicional
para asegurar que el cuerpo esté en equilibrio: la suma de los torques alrededor de
cualquier punto debe ser cero (no tenga tendencia a girar).
Los cuerpos rígidos ideales no se doblan, estiran ni aplastan cuando actúan
fuerzas sobre ellos. El cuerpo rígido es un modelo idealizado útil, pero en muchos casos
el estiramiento, el aplastamiento y las torsiones de los cuerpos reales cuando se les
aplican fuerzas son demasiado importantes para despreciarse. En cierto grado todos los
materiales reales son elásticos y se deforman. Las propiedades elásticas de los
materiales tienen enorme importancia. Queremos que las alas de un avión sean capaces
de flexionarse un poco, pero preferimos que no se rompan. El armazón de acero de un
edificio que resiste los terremotos debe flexionarse, aunque no demasiado. El correcto
funcionamiento de muchos objetos cotidianos, desde las bandas de hule hasta los
puentes colgantes, dependen de las propiedades elásticas de los materiales.
Para cada clase de alteración de la forma, se introduce una magnitud llamada
esfuerzo o fuerza extensora (F) que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan
el cambio de forma, generalmente con base en la “fuerza por unidad de área”. Otra
magnitud, la deformación, describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la
deformación son pequeños, es común que sean directamente proporcionales, y
llamamos a la constante de proporcionalidad módulo de elasticidad. Si tiramos con
mayor fuerza de algo, se estirará más; si lo aplastamos con mayor fuerza, sé comprimirá
más. La proporcionalidad del esfuerzo y la deformación (en ciertas condiciones) se
denomina ley de Hooke, en honor a Robert Hooke (1635-1703), un contemporáneo de
Newton. La forma general puede formularse de la siguiente manera:
(1)
Ya se ha usado una forma de ley de Hooke
anteriormente: el alargamiento de un resorte ideal es
proporcional a la fuerza que lo estira. Hay que Recordar
que ésta no es realmente una ley general, sino un
resultado experimental válido sólo dentro de un rango
de estiramiento limitado.
El comportamiento elástico más fácil de
entender es el estiramiento de una barra, una varilla o
un alambre, cuando se tira de sus extremos. La figura 1
muestra un objeto que inicialmente tiene un área de
sección transversal uniforme A y una longitud l0. Ahora
aplicamos fuerzas de igual magnitud F pero
direcciones opuestas a los extremos (esto garantiza que
el objeto no tenderá a moverse a la izquierda ni a la
derecha). Decimos que el objeto está en tensión o
traccionado. El subíndice  indica que las fuerzas
Figura 1. Objeto bajo la acción
de esfuerzo de tensión
1
Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
actúan en dirección perpendicular a la sección transversal. Definimos el esfuerzo de
tensión en la sección transversal como el cociente de la fuerza F y el área de la sección
transversal A:
(2)
Ésta es una cantidad escalar ya que F es la magnitud de la fuerza. El objeto de la
figura se estira hasta una longitud l = l0 + Δl cuando se lo somete a tensión. El
alargamiento Δl no se da sólo en los extremos; todas las partes de la barra se estiran en
la misma proporción. La deformación por tensión del objeto es igual al cambio
fraccionario de longitud, que es el cociente del alargamiento Δl y la longitud original l0
(3)
La deformación por tensión es el estiramiento por unidad de longitud; es el
cociente de dos longitudes medidas siempre en las mismas unidades, de modo que es un
número puro (adimensional) sin unidades.
A partir de la ley de Hooke en una dimensión podemos escribir la siguiente
ecuación:
F = M . Δl ,
(4)
donde M es la “constante elástica” y Δl es la elongación del alambre. Para el caso
particular de alambres largos, delgados, de diámetro d y longitud inicial l0, se puede
demostrar que M está relacionada al módulo de Young Γ por la expresión:
M= Γ π d2/4l0
(5)
Las unidades del módulo de Young son
las de esfuerzo: fuerza por unidad de área. En
la tabla 1 se dan valores representativos. Un
material con un valor grande de Γ no se estira
mucho, se requiere un esfuerzo grande para una
deformación dada. Por ejemplo, el valor de Y
para el acero colado (2x1011 Pa) es mucho
mayor que para el hule (5x108 Pa).
Si las fuerzas en los extremos de una
barra comprimen en vez de traccionar, la barra
Tabla 1. Valores de Módulo de
está en compresión, y el esfuerzo es un
Young para diferentes materiales
esfuerzo de compresión. La deformación por
compresión de un objeto en compresión se
define del mismo modo que la deformación por tensión, pero Δl tiene signo negativo.
La ley de Hooke y las ecuaciones que hemos planteado son válidas también para la
compresión si el esfuerzo no es muy grande. El módulo de Young de muchos materiales
tiene el mismo valor para esfuerzos de tensión y de compresión; los materiales
compuestos como el concreto u hormigón son una excepción. Pueden soportar esfuerzo
de compresión pero fallan bajo un esfuerzo de tensión comparable. Originalmente en las
antiguas civilizaciones como Babilonia, Asiria y Roma, la piedra fue el principal
material utilizado en sus estructuras, de modo que éstas tuvieron que diseñarse para
2
Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
evitar esfuerzo de tensión. Esto explica el porqué tales culturas utilizaron mucho los
arcos en entradas y puentes, donde el peso del material que yace encima comprime la
piedra y el arco juntos, y no los pone bajo tensión.
La ley de Hooke tiene un intervalo de
validez limitado. Se ha mencionado que “si las
fuerzas son tan pequeñas que se obedece la ley
de Hooke”. ¿Cuáles son exactamente las
limitaciones de la ley de Hooke? Sabemos que
si tiramos de de un cuerpo, la aplastamos o la
torcemos lo suficiente, se doblará o romperá.
¿Podemos ser más precisos que eso?
Supongamos que graficamos el
esfuerzo en función de la deformación. Si se
obedece la ley de Hooke, la gráfica será una
recta con pendiente proporcional al módulo de
Young. La figura muestra una gráfica
esfuerzo-deformación típica de un metal como
cobre o hierro blando. La deformación se muestra como porcentaje de alargamiento. En
la primera parte de la curva, hasta una deformación menor que el 1%, se observa una
relación lineal, que indica un comportamiento de ley de Hooke con el esfuerzo
directamente proporcional a la deformación. Esta porción rectilínea termina en el punto
a; el esfuerzo en este punto se denomina límite proporcional. Desde a hasta b, el
esfuerzo y la deformación ya no son proporcionales, y no se obedece la ley de Hooke. Si
la carga se retira gradualmente, partiendo de cualquier punto entre O y b, la curva se
sigue a la inversa hasta que el material recupera su longitud original. La deformación es
reversible, y las fuerzas son conservativas; la energía introducida en el material para
causar la deformación se recupera cuando se elimina el esfuerzo. En la región Ob
decimos que el material tiene comportamiento elástico. El punto b, donde termina esta
región, es el punto de relajamiento; el esfuerzo en este punto se denomina límite
elástico.
Si aumentamos el esfuerzo más allá del punto b, la deformación sigue
aumentando. Pero si retiramos la carga en un punto más allá de b (por ejemplo c) el
material no recupera su longitud original, sino que sigue la línea roja de la figura. La
longitud con cero esfuerzo ahora es mayor que la original; el material sufrió una
deformación irreversible y adquirió un ajuste permanente. Un aumento de la carga más
allá de c produce un aumento grande en la deformación con un incremento
relativamente pequeño del esfuerzo, hasta llegar a un punto d en el que se presenta la
fractura. El comportamiento del material entre b y d se denomina flujo plástico o
deformación plástica. Una deformación plástica es irreversible; si se elimina el
esfuerzo, el material no vuelve a su estado original.
En algunos materiales, se presenta una deformación plástica considerable entre
el límite elástico y el punto de fractura. Tales materiales son dúctiles. En cambio, si la
fractura se presenta poco después de rebasarse el límite elástico el material es
quebradizo. Un alambre de hierro blando que puede sufrir un estiramiento permanente
considerable sin romperse es dúctil; una cuerda de acero de piano que se rompe poco
después de alcanzar su límite elástico es quebradiza.
Desarrollo experimental (*)
Muchos laboratorios de enseñanza de la Física usan resortes para demostrar la
ley de Hooke y se ha escrito mucho sobre cómo éstos pueden ser usados como modelo
3
Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
para describir las características elásticas de materiales a nivel molecular o atómico. En
los últimos años, la evolución de la computación y de sensores muy precisos ha
permitido el desarrollo de nuevos tipos de experimentos de forma sencilla en una escala
pequeña sin la necesidad de comprar o fabricar equipos especiales. Esta guía describe
un experimento que usa estos nuevos recursos para determinar la elongación de un
alambre muy delgado como función de una fuerza tensora. A partir de los resultados, y
sobre todo de la representación gráfica de los mismos es posible demostrar claramente
el rango de validez de la ley de Hooke y el comienzo de la deformación plástica sin
llegar a la deformación irreversible del alambre.
Existen (o pueden construirse) aparatos sofisticados que usan un nivel óptico o
un dial calibrado [1-3] para realizar un experimento similar y, aún cuando son precisos,
tienden a estar circunscriptos a pequeños laboratorios bien equipados o laboratorios
intermedios y avanzados con sólo unos pocos equipos. En el presente experimento se
emplea un sensor de movimiento de rotación (RMS) y una computadora con un
software apropiado [4-5] para determinar la elongación del alambre. Del estudio de la
dependencia de la elongación del alambre en función de la fuerza tensora se puede
determinar el módulo de Young conocidos los parámetros físicos del alambre [5-6]. Los
resultados son precisos dentro de los límites de resolución impuestos por el RMS y, más
importante, verifican la validez de la ley de Hooke en una escala relativamente pequeña.
Para el desarrollo del experimento se aplica una fuerza extensora a un alambre
delgado sólido colgando pesas de uno de sus extremos, produciendo la elongación del
alambre. Se emplea un sensor de movimiento rotacional para determinar tal elongación.
El alambre bajo tensión es enrollado alrededor del eje de un RMS. El RMS está fijo en
una posición tal que define la longitud inicial del alambre. En el extremo libre del
alambre se coloca un platillo sobre el cual se agregan pesas de masas conocidas. De esta
forma el alambre se estira longitudinalmente, incluyendo el segmento enrollado
alrededor del eje del RMS. La fricción entre el alambre y el eje hace que éste gire
cuando el alambre se estira. El efecto de la rotación “traduce” en un cambio en la
longitud del alambre en la posición del eje. Variando las masas en el platillo de puede
estudiar (graficar) la elongación del alambre delgado en función de la fuerza tensora
aplicada. El módulo de Young Γ puede determinarse a partir de la pendiente de la región
lineal del gráfico usando las Ecs. (4) y (5). Se empleará en el experimento un alambre
de cobre de composición desconocida y longitud del orden de 1 m. Para determinar su
diámetro se deben realizar varias medidas en diferentes puntos del alambre y realizar el
correspondiente tratamiento estadístico de las mismas.
El alambre se cuelga de una barra horizontal usando un portabroca [7] sujeto a la
barra para mantener el alambre en su lugar. El extremo libre del alambre se sujeta
firmemente a un platillo para el agregado de las masas. El RMS se monta por debajo del
extremo fijo del alambre a una distancia que sea mucho mayor que el diámetro del eje
del sensor (60 a 100 cm es una distancia apropiada para este experimento, ver Figura 1
para los detalles). El alambre y el RMS deben ubicarse de modo que el alambre quede
vertical y apenas toque al eje. A continuación, se enrolla una vuelta de alambre
alrededor del eje [8]. La experiencia ha mostrado que el extremo fijo del alambre debe
estar colocado lo más cerca posible de la estructura vertical del soporte para prevenir la
flexión de la barra.
Para hacer una comparación del resultado obtenido para el módulo de Young se
debe usar el modo de alta resolución del RMS (0.25º) y medir el diámetro del eje del
RMS al menos con cuatro cifras significativas. Esto se traduce en un estiramiento
mínimo detectable de 14 micrones.
4
Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
Aunque el alambre usado en este experimento luce como cobre, la pureza del
material es desconocida. En consecuencia, a fines de comparación, el módulo de Young
fue determinado usando un sistema de nivel óptico (1). Para ello, 19 medidas
independientes dieron un valor promedio de referencia para la constante elástica del
alambre de (4.88 ± 0.06) x 103 N/m. Esto corresponde a un módulo de Young de (1.01 ±
0.05) x 1011 N/m2. (De la edición 70 del CRC, el módulo de Young del cobre es 1.2 x
1011 N/m2 ).
Figura 1. (a) Estructura de soporte portabrocas sujeto a una larga barra horizontal y el alambre
enrollado una vuelta alrededor del eje del RMS. La longitud total del alambre está entre 60 y
100 cm y su diámetro es aproximadamente 0.195 mm. Para esta configuración, y0 = 0.615 m (b)
Detalle del soporte portabrocas. c) Detalle del alambre enrollado alrededor del eje del RMS.
Resultados y Conclusiones
Las Figuras 2 y 3 muestran los gráficos típicos usados para determinar la
constante elástica. El comienzo de la deformación plástica es claramente visible por
encima de una fuerza de 1.50 N en la Figura 3. La Tabla 1 recoge las constantes
elásticas y los módulos de Young para nueve corridas experimentales diferentes, sobre
la misma muestra de alambre, usando el RMS.
La mayor fuente de error se debe al límite de resolución del RMS, que es
alrededor de un cuarto de grado o 4.36x10-3 rad, en el modo de alta resolución. El
sensor que se utilizará puede detectar elongaciones producidas por una masa de
aproximadamente 7 g. Cuando se usan incrementos de masa de 50 g el máximo error de
resolución es de alrededor del 14%.
Además, la estructura del soporte introduce un error de flexión significativo; es
importante entonces usar barras más grandes para aumentar la rigidez. En este arreglo,
una barra vertical de 19 mm. de diámetro con el alambre colgando a 5 cm. de su centro
sobre una barra horizontal del mismo diámetro introduce un error por flexión de
aproximadamente 2%, determinado usando el sistema de nivel óptico [1]. Pueden usarse
otros métodos de soporte para reducir el error, a expensas de un aumento de la
complejidad del arreglo experimental.
Otros errores pequeños surgen de las incertezas en los diámetros del eje del
RMS y del alambre. El error en la fuerza aplicada puede considerarse despreciable ya
que las masas fueron determinadas con una balanza analítica con resolución de 0.01g.
Los resultados muestran cuantitativamente la validez de la ley de Hooke a escala
microscópica. Además, el uso del sensor RMS permite disponer de un método simple y
rápido para investigar las propiedades elásticas de alambres de pequeño diámetro.
5
Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio II: Módulo de Young de un alambre.
Figura 2. Representación gráfica de la fuerza de
extensión vs la elongación de un alambre de “cobre”. Los
diámetros del alambre y del eje son, respectivamente,
0.195 mm y 6.332 mm. Los incrementos en la fuerza son
producidos por masas de 20 g. Los datos se muestran
como círculos y la ecuación de la recta de ajuste es F =
4.88 x 103 X + 1.22 x 10-2, donde F es la fuerza y X es la
elongación.
Figura 3. Representación gráfica de la fuerza de
extensión vs la elongación de un alambre de “cobre”.
Los diámetros del alambre y del eje son,
respectivamente, 0.195 mm y 6.332 mm. Los
incrementos en la fuerza son producidos por masas de
50 g. Los datos se muestran como círculos y la ecuación
de la recta de ajuste es F = 4.92 x 103 X - 1.44 x 10-4,
donde F es la fuerza y X es la elongación.
Tabla 2. Resultados experimentales típicos
Constante elástica
x103 (N/m)
4.73
4.88
4.92
5.22
4.94
4.92
4.92
4.73
4.73
Promedio
(4.89±0.16)x103
Módulo de Young
x1011 (N/m2)
1.01
1.04
1.05
1.11
1.05
1.05
1.05
1.01
1.01
Promedio
(1.04±0.03)x1011
Referencias.
Material didáctico preparado para uso de la materia Física Experimental II por el Prof. J. L.
Alessandrini y corregido por los Prof. L. Errico y J. M. Ramallo López.
[*] “A Simple Experiment for Determining the Elastic Constant of a Fine Wire”. W. Larry Freeman y
Ronald F. Freda. Phys. Teach. 45 (2007), 224- 227.
[1] R.H.Bacon, The Lloyd William Taylor Manual, Advanced Undergraduate Experiments in Physics,
editado por T.B.Brown (Addison-Wesley, Reading, MA, 1961), pp. 35-37
[2] A. Niculescu and R. Shumaker, “Apparatus for measuring Young´s modulus”, Phys. Teach. 41, 364367 (Sept. 2003).
[3] 3. T.B. Greendslade Jr and R. Wilcox, “An inexpensive Young’s modulus apparatus,” Phys. Teach.
31,116-117 (Feb 1993).
[4] PASCO scientific, Roseville, CA, Part: Rotary Motion Sensor, Model CI-6625 http://www.pasco.com.
[5] Vernier Sofware and Technology, Beaverton, OR,Part: LabPro and Logger Pro 3;
http://www.vernier.com.
[6] EasyPlotTM, Stuart Karon, Spiral Sofware, Norwich VT;
http://www.spiralsofware.com/ep/eplot.html
[7] McMaster Carr, Atlanta, GA, Part: 8455A16; http://www.mcmaster.com.
[8] Con esta restricción, ignorar la longitud de la vuelta del alambre alrededor del eje introduce un
pequeño error al largo original y0. Si se da más de una vuelta alrededor del eje, la circunferencia de la
vuelta puede llegar a ser significativa al determinar y0.
6