Operación de la máquina sincrónica considerando la saturación

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DEPTO. DE CONVERSIÓN Y TRANSPORTE DE ENERGÍA
CT-4311
CONVERSIÓN DE ENERGÍA IV
Tarea #2
Operación de la máquina sincrónica considerando la
saturación
Guillermo López 08-10629.
Profesor:
José Manuel Aller
Sartenejas
Junio, 2012.
El enunciado de la tarea es el siguiente:
Una máquina sincrónica de polos salientes de 50 MVA de potencia nominal, 5 kV, fp
nominal 0.85, 3 pares de polos, 60 Hz, corriente de campo nominal 100 A, tiene una
reactancia de cortocircuito de 1,0 pu y la de cuadratura es 0.6 pu. La reactancia de
dispersión es de 0.2 pu. La característica de vacío se puede representar mediante la
siguiente función en matlab:
%
%
%
%
Lm0: Inductancia no saturada
(2 pu)
Lmsat: Inductancia saturada
(.2 pu)
PsiT: Flujo de transición
(.93 pu)
fT: Anchura de la transición
(1 pu)
function plsaturation(Lm0, Lmsat, PsiT, fT)
iT = 1/Lm0*PsiT;
Psimax = 4*iT*Lmsat+PsiT
Psim = [0:0.002:1]*Psimax;
tauT = fT / PsiT * Lm0/Lmsat;
Mf = 1/Lmsat;
Mi = (1/Lm0 - 1/Lmsat*(.5-atan(tauT*PsiT)/pi))/(.5+atan(tauT*PsiT)/pi);
im = (Mf-Mi)/pi*(((Psim-PsiT).*atan(tauT*(Psim-PsiT)) - PsiT*atan(tauT*PsiT))+
.5/tauT*(log(1+(tauT*PsiT)^2) - log(1+tauT^2*(Psim-PsiT).^2)) ) + Psim.*(Mf+Mi)/2;
plot(im,Psim);
ylabel('\Psi_m');
xlabel('i_m');
grid on;
1. Calcule la máxima potencia reactiva que puede entregar la máquina como
condensador sincrónico
2. La corriente de campo máxima
3. La corriente de campo mínima para potencia activa nominal
4. El punto de operación a potencia nominal y factor de potencia unitario
5. El punto de operación a potencia de 30 MW y corriente de campo máxima
6. El punto de operación a potencia de -40 MW y corriente de campo nominal
7. Suponiendo que desconoce las reactancias Xd y Xq, determine estos parámetros
utilizando el punto nominal y los resultados de la primera pregunta (Asuma
conocida la reactancia de dispersión)
8. Suponiendo que desconoce las reactancias Xd y Xq, determine estos parámetros
utilizando los resultados obtenidos en las pregunas 5 y 6 (Asuma conocida la
reactancia de dispersión)
Solución:
Al graficar la curva de vacío de la máquina utilizando el código de Matlab
obtenemos la Figura 1.
Figura 1. Curva de vacío de la máquina.
1. Cálculo de la máxima potencia reactiva que puede entregar la máquina como
condensador sincrónico.
Para obtener la característica lineal de la curva trazamos una recta tangente a la
característica de vacío. Esto se observa en la Figura 2.
La ecuación del ajuste resultante es:
Luego con la característica lineal podremos obtener las corrientes de campo lineales.
Se observa que el valor de la pendiente encontrada es el mismo que el valor de la
constante Lm0, ya que este parámetro es el que define la pendiente de la característica
lineal.
Figura 2. Característica de lineal y saturada.
Para poder encontrar la máxima potencia reactiva que puede entregar la máquina, es
necesario conocer el valor de la corriente de campo máxima
, por otra parte
también tendremos que
La corriente de campo máxima se puede determinar a través del punto nominal de la
máquina:
(
)
( )
(
)
(
)
De la característica lineal tenemos que:
Luego en la característica de saturada encontramos el
grado de saturación nominal:
para luego calcular el
Para el grado de saturación nominal ajustamos el valor de la reactancia del eje
cuadratura para poder hallar el
. Una vez conocido el
se puede calcular
cual es el valor de la corriente de campo máxima.
(
)
(
)
De la característica de carga se tiene que:
Finalmente en valores reales la corriente máxima de campo resulta:
Una vez conocida la corriente de campo, se puede determinar la potencia máxima
como condensador sincrónico, esto asumiendo inicialmente un grado de saturación,
luego se ajusta la reactancia del eje directo, se determina la potencia reactiva, la
corriente de armadura y luego el
que fija el grado de saturación. Este proceso
culmina cuando el grado de saturación supuesto al inicio sea el mismo al obtenido al
final de los cálculos. Realizando este procedimiento se elaboró la Tabla 1.
Tabla 1
Iteración
1
2
3
4
δ
1
2,622
2,629
2,63
3,3829
1,2902
1,2868
1,2863
1
0,505
0,504
0,504
2,3829
0,5747
0,5691
0,5681
1,4766
1,1149
1,1138
1,1136
4,2444
2,6359
2,6301
2,63
Por lo que vemos que la potencia reactiva máxima que la máquina puede entregar
como condensador sincrónico es:
2. La corriente de campo máxima.
De la pregunta 1, para poder hallar la potencia reactiva máxima como condensador
sincrónico se obtuvo el valor de la corriente máxima de campo:
En valores reales la corriente máxima de campo resulta:
3. La corriente de campo mínima para potencia activa nominal.
En este caso se tiene que
, y se desea que la corriente de campo sea la
mínima posible, para lograr esto se elaboró un código de Matlab que para las posibles
corrientes de armadura realizara el gráfico
.
Para este punto de operación la corriente de armadura sólo puede estar en la siguiente
región:
Dónde:
Al graficar
para
para
Figura 3.
obtenemos la Figura 3.
Al graficar
para
para
obtenemos la Figura 4.
Figura 4.
De la Figura 3 observamos que con la
la máxima potencia activa que se
puede entregar es la nominal, por lo que esta corriente de campo será la mínima
requerida, en cambio viendo la Figura 4, esta corriente de campo no permite entregar tal
potencia, por lo que vemos que para el punto de operación la potencia reactiva será
negativa, es decir la máquina entregará reactivos a la red.
Para el punto de operación determinaremos la potencia reactiva, el ángulo de carga y
el factor de potencia. El procedimiento utilizado es un proceso iterativo, este
procedimiento se explica con mayor detalle en otras preguntas.
Conocido
Iteración
1
2
3
4
y
, asumiremos inicialmente
:
δ
1
1,481
1,46
1,457
1,3520
0,9127
0,9264
0,928
1
0,740
0,748
0,749
0,0908
-0,44
-0,417
-0,4146
0,9906
0,8464
0,8535
0,8542
1,9627
1,4378
1,4532
1,4544
Vemos que para la mínima corriente de campo para entregar potencia activa nominal
se tiene:
( )
4. El punto de operación a potencia nominal y factor de potencia unitario.
Para este punto de operación tenemos que en por unidad
(
y la corriente será:
)
( )
(
)
(
)
De la característica lineal:
Luego de obtener , evaluando nuevamente en la característica de vacío de la
máquina podemos hallar la corriente de campo
.
El grado de saturación para este punto de operación será:
Al ajustar la reactancia del eje directo podemos hallar el
con el cual podemos
calcular la corriente de campo del punto de operación y verificar con las ecuaciones de
potencia activa y reactiva que estemos en el punto de operación indicado.
( )
(
en valores reales,
De las ecuaciones de P y Q obtenemos:
)
(
)
(
(
(
)
) )
5. El punto de operación a potencia de 30 MW y corriente de campo máxima.
En la pregunta 1, se obtuvo que:
Como no podemos obtener la corriente del estator, debemos suponer un grado de
saturación y realizar un proceso iterativo hasta llegar a la solución.
Inicialmente supongamos que para el punto de operación
tendremos
y
De la ecuación de potencia activa tendremos:
(
)
Evaluando en la ecuación de potencia reactiva:
La corriente del estator en este caso sería:
Ahora si podemos hallar el grado de saturación:
(
)
(
)
(
De la característica de vacío para
)
se tiene:
, en consecuencia
Por lo que el grado de saturación nos queda definido como:
De esta forma tendremos que corregir el valor de la reactancia del eje directo y
recalcular nuevamente el
, hasta que el valor
supuesto al inicio del cálculo sea
muy cercano al obtenido después de realizar la metodología anterior.
Realizando este procedimiento en repetidas oportunidades se obtuvo la Tabla 2, en
donde los grados de saturación iniciales son el promedio de los grados de saturación
iniciales y finales de la iteración anterior, esto con el fin de que se logre la convergencia
con el menor número de iteraciones posibles.
Tabla 2
Iteración
1
2
3
δ
1
2,606
2,57
3,383
1,2982
1,3164
1
0,507
0,511
2,3308
0,5182
0,5495
En la 3ra iteración ya vemos como la diferencia entre el
por lo que tenemos que para el punto de operación:
1,4677
1,096
1,1027
y el
4,2124
2,5339
2,5703
es muy pequeña,
( )
6. El punto de operación a potencia de -40 MW y corriente de campo nominal.
De forma similar que la pregunta anterior al desconocer la corriente de armadura de
la máquina debemos suponer inicialmente un grado de saturación y realizar un proceso
iterativo hasta llegar a la solución. En este punto de operación tendremos:
Inicialmente supongamos que para el punto de operación
tendremos
y
ya que
, en consecuencia
Realizando el proceso iterativo similar al de la pregunta anterior se elaboró la Tabla
3.
Tabla 3
Iteración
1
2
3
4
δ
1
1,126
1,92
1,815
2
1,7769
1,0417
1,1019
1
0,911
0,617
0,641
-0,8442
0,6906
-0,1338
-0,0378
Finalmente en el punto de operación tenemos:
0,7074
1,1292
0,9368
0,9613
1,2511
2,7124
1,71
1,818
( )
7. Suponiendo que desconoce las reactancias Xd y Xq, determine estos parámetros
utilizando el punto nominal y los resultados de la primera pregunta (Asuma
conocida la reactancia de dispersión)
De la pregunta 1, se determinó la potencia reactiva máxima como condensador
sincrónico, la corriente de campo máxima y se conoce la reactancia de dispersión
En la operación como condensador sincrónico como
corriente de armadura y sabemos también que
podemos determinar la
Luego,
(
Al tener
)
sabemos de la característica lineal que:
De la característica saturada obtenemos la corriente de campo saturada y luego
hallamos el grado de saturación del punto de operación:
Posteriormente podemos determinar de la característica de carga el
el máximo ya que no estamos en el punto nominal de operación.
, éste no es
De la ecuación de la potencia reactiva podemos despejar el valor de la reactancia
saturada del eje directo:
(
Como
el término
(
)
(
) )
desaparece de la ecuación y obtenemos:
Usando la ecuación de la corrección de la reactancia del eje directo por saturación
hallamos el valor de la reactancia del eje directo lineal.
A través del punto nominal podemos determinar la reactancia del eje cuadratura:
Si suponemos un valor de
podemos calcular el ángulo de carga a partir del fasor
, luego podemos calcular el valor de
que define el valor del grado de saturación.
Una vez conocido el grado de saturación se ajusta el valor de la reactancia del eje
directo, luego se obtiene el valor de
, por último el valor correcto de
será el
que produzca el
que corresponde a
. Utilizando este procedimiento se
elaboró la Tabla 4.
Tabla 4
δ
0,4
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
1,1102
1,1019
1,0971
1,0921
1,0869
1,0815
Se observa en la Tabla 4 que el valor de
0,5064
0,5118
0,515
0,5184
0,5220
0,5259
1,336
1,3421
1,3444
1,3463
1,3479
1,3494
que cumple con el
1,741
1,7217
1,7072
1,6913
1,6744
1,6562
es:
8. Suponiendo que desconoce las reactancias Xd y Xq, determine estos parámetros
utilizando los resultados obtenidos en las preguntas 5 y 6 (Asuma conocida la
reactancia de dispersión)
En los resultados de las preguntas 5 y 6 tenemos:
Punto de Operación 1:
Punto de Operación 2:
Para el punto de Operación 1:
Determinamos la corriente de armadura y con ella se encuentra el valor de
ya que
se conocen la potencia activa, reactiva y el ángulo de carga, con éste podemos obtener
el valor de la saturación en el punto de operación, posteriormente ya que conocemos la
corriente de campo podemos hallar el valor de
. Ahora Desarrollando las expresiones
de P y Q tendremos lo siguiente:
[
]
[
]
Al ver las ecuaciones anteriores observamos que las únicas incógnitas son
este sistema de ecuaciones podemos escribirlo matricialmente de la forma:
⌈ ⌉
⌉ ⌈⌈
⌈
⌈
⌈
y
,
⌉
⌉
⌉
⌉
Al resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos los siguientes valores:
⌈
⌈
⌈
⌈
⌉
⌉
⌉
⌉
⌈
⌉
Donde obtenemos que
y
, al utilizar la expresión de
involucra a la reactancia de dispersión y el grado de saturación obtenemos que
que
Al desarrollar el mismo procedimiento para el segundo punto de operación se obtiene
los mismos resultados.
Nota: De no asumir los ángulos de carga conocidos se tendría un sistema de
ecuaciones de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, sin embargo al desconocer los ángulos de
carga el sistema no es tan trivial de resolver. Usando funciones en Matlab como fsolve
se puede resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo de esta forma los ángulos de
carga y las reactancias del eje directo y cuadratura.
Ejemplo para resolver el sistema usando la función en fsolve en Matlab:
function F = funcion(x)
P1=0.6; P2=-0.8; Q1=0.5495; Q2=-0.0378; Efs1=1.3164; Efs2=1.1019; V=1;
Xds=x(3);
Xq=x(4);
F=[((Efs1*V)/Xds)*sin(x(1))+((V^2/2)*((((1/Xq)(1/Xds))*sin(2*x(1)))))-P1;
((Efs2*V)/Xds)*sin(x(2))+((V^2/2)*((((1/Xq)(1/Xds))*sin(2*x(2)))))-P2;
((Efs1*V)/Xds)*cos(x(1))((V^2)/(Xds*Xq))*(Xq*cos(x(1))^2+Xds*sin(x(1))^2)-Q1;
((Efs2*V)/Xds)*cos(x(2))((V^2)/(Xds*Xq))*(Xq*cos(x(2))^2+Xds*sin(x(2))^2)-Q2];
end
x0=[0.26; -0.45; 0.5; 0.6];
[x,fval] = fsolve(@funcion,x0)
No solution found.
fsolve stopped because the problem appears regular as measured by the gradient,
but the vector of function values is not near zero as measured by the
default value of the function tolerance.
<stopping criteria details>
x=
0.2435
-0.4125
0.5359
0.5359
fval =
-0.0078
-0.0243
-0.0316
0.0555
Vemos que a pesar de que no se logró obtener la solución precisa,
se hallaron valores muy cercanos, x(1) y x(2) son prácticamente
los ángulos de carga en radianes y x(3) es casi el valor del Xds,
en x(4) que es el Xq es donde se encontró el mayor error (fval).