w - INTI

EJEMPLO 6.
Determinar la sección de armadura traccionada necesaria en una viga placa de
sección transversal T sujeta a flexión simple; sin armadura de compresión.
Dadas las dimensiones de la sección T, sujeta al momento flexor mayorado Mu ,
determinar la sección de armadura necesaria.
Datos:
f´c = 25 MPa
Resistencia especificada a la compresión del hormigón.
β 1 = 0,85
Se adopta dicho valor para β1 puesto que f´c es menor que 30 MPa,
de acuerdo con lo especificado en el artículo 10.2.7.3.
fy = 420 MPa
Tensión de fluencia especificada de la armadura.
E s = 200 000 MPa
Módulo de elasticidad del acero, según lo establecido en el artículo
8.5.2.
Mu = 900 kNm
Momento requerido obtenido por la combinación de los momentos
externos mayorados, de acuerdo con lo establecido en el artículo
9.2.1 (Ver Introducción General).
φ = 0,90
M
Mn = u
φ
Factor de reducción de resistencia, especificado en el artículo 9.3.2.
Momento nominal requerido de la viga placa.
(Ver Introducción General)
Mnreq = 1000 kNm
b w = 35 cm
Ancho del alma de la viga placa.
b = 80 cm
Ancho del ala de la viga placa.
h f = 8 cm
Altura del ala de la viga placa.
h = 75 cm
Altura total de la viga placa.
c c = 3 cm
Recubrimiento de hormigón de la armadura principal, de acuerdo con
lo establecido en el artículo 7.7.1.(c) del Reglamento. Se verifica
además el recubrimiento mínimo de los estribos.
dt
Distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el acero más
traccionado.
d ≡ dt = h − c c −
d ≡ dt = 71 cm
db
2
Altura efectiva de cálculo de la viga placa. El valor d b / 2 se adopta al
inicio del cálculo aproximadamente igual a 1 cm , dado que es un
valor estimativo de la mitad del valor del diámetro de la barra
longitudinal. Ver Ejemplo 1.-1, Diseño a Flexión.
Incógnitas:
As
Sección de la armadura principal a tracción.
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 1
Esquema del Ejemplo:
b = 80 cm
hf = 8 cm
d ≡ dt = 71 cm
h = 75 cm
As = ?
bw = 35 cm
c c + (≅ )
db
= 4 cm
2
Antes de continuar con el desarrollo del Ejemplo distinguiremos dos situaciones que se pueden
presentar en la viga placa sometida a momento flexor simple.
La magnitud de la variable a puede ser tal que:
A) se localice dentro del ala de la viga placa, o
B) se localice dentro del alma de la viga placa.
“Siendo a la distancia, limitada entre la fibra comprimida con deformación máxima y por una
línea recta paralela al eje neutro, donde la tensión en el hormigón, igual a 0 ,85 . f ´ c será
uniformemente distribuida en una zona de compresión equivalente.” (artículo 10.2.7.1)
Esta distinción que hemos hecho radica en la forma geométrica que adquirirá la zona
comprimida del hormigón. Por cuanto:
•
•
La situación (A) es similar a lo hasta aquí analizado, ya que la zona comprimida será
rectangular, mientras que,
La situación (B) adquirirá la forma de T.
Ante esta última situación se dividirá el análisis en dos partes:
Se determinará la sección de acero, que denominaremos Asf , que estará en equilibrio con
el hormigón sobresaliente del ala de la viga placa.
Se determinará la sección de acero, que denominaremos Asw , que estará en equilibrio
con el hormigón comprimido del alma de la viga placa.
Por lo tanto la sección de acero total traccionado será la suma de ambas secciones:
Asf + Asw
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 2
Cálculos mediante el desarrollo Analítico
Planteamos las condiciones de equilibrio estático y de compatibilidad de deformaciones
en un plano de rotura genérico, basándonos en las hipótesis establecidas en los artículos
10.2.2 a 10.2.7: (Ver Ejemplo 1.-2, Diseño a Flexión)
Suponemos en primera instancia que la altura a no supera la altura del ala de la viga, de esta
manera la viga placa T puede tratarse como una viga rectangular.
Equilibrio de las fuerzas:
C =T
(1)
0 ,85 . f ' c . b . a = As . fy
(2)
Equilibrio de los momentos:
Mn = C . z = T . z
(3)


a
a
M n = 0 ,85 . f ' c . b . a .  d t −  = As . fy .  d t − 
2
2


(4)
Determinamos la magnitud de la variable a , quien nos permitirá reconocer si la zona
comprimida adquirirá la forma de “T o rectangular”.
Reemplazando la variable a, de la ecuación (4), por ka . dt y ordenando obtenemos:

a
M n = 0 ,85 . f ' c . b . a .  d t − 
2


k .d
M n = 0 ,85 . f ' c . b . k a . d t .  d t − a t
2


k 
2
M n = 0 ,85 . f ´c . b . d t . k a . 1 − a 
2 

denominando:
nos queda:
µ =
µ =



Mn
0 ,85 . f ´ c . b . d t

k 
= k a .  1 − a 
2 

Mn
0 ,85 . f ´ c . b . d t
2
2
(5)
la magnitud de µ será:
µ=
Mn
0 ,85 . f ´c . b . d t
2
=
1 MNm
0 ,85 . 25 MPa . 0 ,80 m . (0 ,71 m )
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
2
µ = 0 ,117
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 3
Hallada la variable µ determinamos ka :
ka = 1 ±
(1 − 2 . µ )
Dado que la expresión indicada es una cuadrática, proporcionará la obtención de dos
valores de ka . A continuación se expresa la ecuación valedera de la variable ka , omitiendo
la otra por motivos de incompatibilidad.
ka = 1 −
(1 − 2 . µ ) = 1 − (1 − 2 . 0 ,117 )
Por lo tanto a será:
k a = 0 ,125
a = ka . d t
a = 0 ,125 . 71 cm
a ≅ 9 cm
Dado que el valor de a supera la altura del ala de la viga placa hf , la zona comprimida será
con forma de T.
Planteamos las condiciones de equilibrio estático y de compatibilidad de deformaciones
Es conveniente dividir en dos partes la totalidad del acero traccionado. La primera parte, Asf ,
representa el área de acero que al estar sometida a un esfuerzo igual a fy , se requiere para
balancear la fuerza a compresión longitudinal de las porciones sobresalientes del ala que están
sometidas a un esfuerzo uniforme de 0,85.fc . El área restante de acero, Asw , sometida a un
esfuerzo igual a fy , está balanceada por la compresión en la porción rectangular de la viga.
b
0,85 . f’c
εc
Cf
hf
Mn
c
a
Cw
eje neutro
h
zf
dt
zw
As
εt
fy
T
bw
Equilibrio de las fuerzas:
Cf + Cw = T
0 ,85 . f ' c . hf . (b − bw ) + 0 ,85 . f ' c . a . b = As . fy = As f . fy + As w . fy
donde:
(6)
(7)
Cf = 0 ,85 . f ' c . hf . (b − bw ) = As f . fy
(8)
Cw = 0 ,85 . f ' c . a . b = As w . fy
(9)
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 4
Equilibrio de los momentos:
M n = M n f + M n w = Cf . z f + Cw . z w

h
M n = 0 ,85 . f ´c . hf (b − bw )  d t − f
2

(10)


a
 + 0 ,85 . f ´c . a . b .  d t − 
2


(11)
Calculamos la sección de armadura principal necesaria.
As = As f + As w
•
Determinamos Asf utilizando la ecuación (8):
Cf = 0 ,85 . f ' c . hf . (b − bw ) = As f . fy
As f = 0 ,85 .
As f = 0 ,85 .
f 'c
fy
. hf . (b − bw )
25 MPa
420 MPa
. 8 cm . (80 cm − 35 cm )
As f = 18 ,21 cm 2
•
Determinamos Asw :
Primeramente determinamos la variable kaw , para ello utilizamos la ecuación (5) pero
reemplazando Mn por Mnw y b por bw :
µw =
Mn w
0 ,85 . f ´ c . bw . d t
2
ka

= k aw .  1 − w
2





siendo:
Mn w = Mn − Mn f

h
Mn w = Mn − As f . fy .  d t − f
2

Mn w = 1 000 kNm −



0 ,08 m 
18 ,21 cm2
kN 

. 420 MPa .1000
.  0 ,71 m −
2
cm
MN
2


10 000
2
m
M n w = 487 ,57 kNm
tenemos:
µw =
Mn w
0 ,85 . f ´c . bw . d t
2
=
0 ,48757 MNm
0 ,85 . 25 MPa . 0 ,35 m . (0 ,71 m )
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
2
µ w = 0 ,13
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 5
Hallada la variable µw determinamos kaw :
k aw = 1 ±
(1 − 2 . µ w )
Dado que la expresión indicada es una cuadrática, proporcionará la obtención de dos
valores de kaw. A continuación se expresa la ecuación valedera de la variable kaw ,
omitiendo la otra por motivos de incompatibilidad.
k aw = 1 −
(1 − 2 . µ w ) = 1 − (1 − 2 . 0 ,13 )
k aw = 0 ,14
Evaluamos si es o no necesaria la incorporación de armadura comprimida en la viga
placa.
k cw =
La variable kcw será:
k aw
β1
=
0 ,14
0 ,85
k cw = 0 ,165
La máxima magnitud de kc , donde la rotura del elemento está controlada por tracción
(φ = 0,90), será cuando εc = 0,003 y εt = 0,005 , entonces:
k c máx =
εc
εc + εt
dado que:
=
0 ,003
0 ,003 + 0 ,005
k cw < k c máx
k c máx = 0 ,375
entonces, no se requiere armadura comprimida.
La sección de armadura Asw , utilizando la ecuación (2) y reemplazando la variable a
por kaw . dt y b por bw , será:
As w . fy = 0 ,85 . f ´c . k aw . d t . bw
As w = 0 ,85 .
As w = 0 ,85 .
f ´c
fy
. k aw . bw . d t
25 MPa
420 MPa
. 0 ,14 . 35 cm . 71 cm
As w = 17 ,6 cm 2
Por lo tanto la sección de acero total a tracción será:
As = As f + As w
As = 18 ,21 cm 2 + 17 ,6 cm 2
As = 35 ,81 cm 2
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 6
Cálculos realizados por Tablas
Las Tablas a las que haremos referencia pertenecen a la publicación CIRSOC “Tablas para el
Diseño de Elementos Estructurales de Hormigón”.
Primeramente obtenemos el valor de la variable kd cuya expresión es la siguiente:
d
kd =
Las unidades con que se debe acceder a la misma son:
Mn
d ≡ d t [m]
(en este Ejemplo)
b
Mn
b
kd =
[MN m]
[m]
0 ,71 m
kd = 0 ,635
1 MNm
0 ,8 m
m
MN
La Tabla que utilizaremos pertenece a las “Tablas para el Diseño de elementos flexores con
zona comprimida rectangular”, su elección requiere del conocimiento de los valores de f’c y fy
De acuerdo con los datos proporcionados (f’c = 25 MPa y fy = 420 MPa) se determina que
utilizaremos la Tabla FLEXION 3.
Ingresando el valor de kd debemos obtener el valor de kc quien nos permitirá determinar la
magnitud de la variable a , tal como veremos a continuación. La obtención de dicha variable a
nos permite reconocer si la zona comprimida adquirirá la forma de “T o rectangular”.
k c = 0 ,148
c = k c . d t = 0 ,148 . 71 cm
c = 10 ,51 cm
a = β1 . c = 0 ,85 . 10 ,51 cm
a = 8 ,93 cm
Dado que el valor de a supera la altura del ala de la viga placa hf , la zona comprimida será
con forma de T.
Recalculamos la variable kd , pero utilizando el momento nominal Mnw y el ancho bw , ambos
correspondientes al alma de la viga.
siendo:
M n = M nw + M n f
donde:

h
M nf = 0 ,85 . f ´c . hf . (b − bw ) .  d t − f
2





0 ,08 m 

M nf = 0 ,85 . 25 MPa . 0 ,08 m . (0 ,8 m − 0 ,35 m ) .  0 ,71 m −
2 

M nf = 0 ,513 MNm = 513 kNm
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 7
tenemos:
M nw = M n − M nf = 1 000 kNm − 513 kNm
M nw = 487 kNm
kd =
entonces:
dt
kd =
Mnw
0 ,71 m
0 ,487 MNm
kd = 0 ,602
m
MN
0 ,35 m
bw
Dado que la magnitud hallada de la variable kd es mayor a la ubicada en el último renglón de
la Tabla FLEXIÓN 3 e igual a: 0 ,419 m / MN , no será necesaria la incorporación de
armadura comprimida en la viga placa.
Esto último se origina en que la variable kd pertenece a un plano de rotura cuya generación
está dada por el empleo de una cuantía de acero inferior a la máxima que debe presentar el
elemento, para que el mismo genere el comportamiento de rotura controlado por tracción bajo
la condición φ=0,90.
Por lo tanto como no se requiere armadura comprimida continuamos utilizando, para el
desarrollo del Ejemplo, la Tabla FLEXION 3.
Ingresando el valor de kd y trasladándonos horizontalmente a la columna de ke obtenemos la
magnitud de esta última variable, quien nos permite determinar la sección de armadura
necesaria As .
Dado que los valores de la Tabla corresponden a un número limitado de planos de
deformación, de los infinitos que existen en la realidad, es posible que tanto kd , y como
consecuencia ke , sean valores intermedios entre los dados en la Tabla.
Ante esta última situación se acepta la interpolación lineal para alcanzar el valor deseado o, si
el cálculo no necesita ser riguroso, se admite adoptar el menor valor de kd ya que origina la
obtención de un valor de ke mayor, sobredimensionando así la sección de acero.
k e = 25 ,602
cm 2
MN
La sección de armadura necesaria será:
As =
As =
M nw
dt
. ke +
M nf

h
fy .  d t − f
2

0 ,487 MNm
0 ,71 m
. 25 ,602



. 10 000
cm 2
MN
+
cm 2
m2
0 ,513 MNm
cm 2
. 10 000

0 ,08 m 
m2

420 MPa .  0 ,71 m −
2 

As = 35 ,80 cm 2
Conclusión:
Si comparamos la sección de acero hallada con la obtenida en la primera parte del Ejemplo,
vemos que la diferencia relativa es despreciable.
Ejemplos de Aplicación del Proyecto CIRSOC 201.
Diseño a Flexión. Ejemplo 6. - 8