Semana 9 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Movimiento rectilíneo uniformemente variado
Semana
Semana 8
(parte 1) 9
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
¡Empecemos!
Apreciado participante, necesitamos que tengas una actitud
de éxito y disposición de llegar
hasta el final, aún en medio de
las dificultades, por ello ¡persevera siempre! Y es que precisamente la perseverancia te invita
a no desistir en la búsqueda de
la solución a los problemas que
se pueden presentar en tu vida
académica y personal.
Durante esta semana nos dedicaremos a resolver problemas del MRUV. Verás
que las fórmulas son útiles para resolverlos, pero lo más importante es comprenderlos, antes de aplicarlas. La idea es que justifiques las acciones asumidas en la
resolución de problemas, mediante argumentos convincentes, es decir, fundamentados en el conocimiento científico.
¿Qué sabes de...?
Exploremos las ideas previas, justifica tus respuestas. ¿Qué significa que la aceleración de un cuerpo sea de -3m/s2? Da un ejemplo de algo que se mueva con una
rapidez constante y, al mismo tiempo, tenga una velocidad variable.
El reto es...
Alejandro es un estudiante universitario. Se dirige a la parada a tomar el autobús de la universidad; sin embargo, va un poco tarde, y observa desde lo lejos que
el autobús está detenido, por lo cual comienza a correr a una velocidad constante
de 6 m/s, a fin de alcanzarlo. Cuando Alejandro se encuentra a 25m del autobús,
éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1 m/s². En estas condiciones ¿alcanzará Alejandro el autobús?
219
Semana 9
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
Vamos al grano
Reforcemos el concepto de aceleración mediante los siguientes ejemplos.
1. Un ciclista parte del reposo (v=0m/s) y posee una aceleración de 3m/s2.
¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 4s?
Si su aceleración es de 3m/s2 esto indica que su velocidad va a aumentar
3m/s cada segundo y como parte del reposo, se tiene que:
En 1s, su velocidad es 0+3m/s =3m/s; a los 2s, su velocidad es de 3m/
s+3m/s=6m/s; a los 3s su velocidad es 9m/s y finalmente en 4s su velocidad es de 12m/s. ¿Qué harías para hallar la velocidad a los 5s? Como
has podido observar, la velocidad final se puede obtener multiplicando
la aceleración por el tiempo: v=a.t. Si la velocidad con la cual se inicia el
movimiento es diferente de cero habrá que sumarla a esta fórmula. Por
ejemplo, si la velocidad inicial es de 10m/s, ¿cuál será su velocidad al
cabo de 4s?
2. Un automóvil tarda 10s en pasar de v=0m/s a v=50 m/s con una aceleración constante. ¿Cuál es el valor de ésta?
Si tarda 10s en obtener una velocidad de 50m/s, partiendo del reposo,
significa que en cada segundo aumentaba su velocidad 5m/s, esto es la
aceleración, a=5m/s2
3. Qué tiene mayor aceleración ¿un avión que cambia su velocidad de
980km/h a 990km/h en 10s o una bicicleta que pasa de 0 a 10km/h en
un segundo? Piensa bien la respuesta… Es importante que diferencies
velocidad y aceleración. Generalmente asumimos que si un cuerpo tiene mayor velocidad que otro, también debe tener una mayor aceleración. Puedes ver que ambos aumentan su rapidez en 10km/h. Sin embargo, la bicicleta emplea 1s para ese aumento, mientras que el avión
emplea 10 veces ese tiempo; en consecuencia, la aceleración es menor
en el avión, por ser de 1km/h cada segundo; mientras que en la bicicleta
es de 10km/h cada segundo.
Resolución de problemas de MRUV
1. ¿Qué distancia recorrerá un auto que avanza con una velocidad de 40m/s
si desacelera a 4m/s2 hasta detenerse?
Datos:
220
La vo=40m/s, como el auto se detendrá v=0, y como desacelera a= - 4m/
s2 (¿Por qué este valor es negativo?).
a · t2
Para calcular la distancia usamos x = vo · t +
2
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
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Semana 9
Observa que nos falta calcular el tiempo. Y puedes hacerlo empleando las
fórmulas mostradas en el cuadro de la semana anterior pero, en este caso,
es bien sencillito calcularlo sin fórmula. Sabemos que su velocidad inicial
es de 40m/s y su velocidad disminuye 4m/s cada segundo hasta detenerse; esto le tomará exactamente 10s. Halla el tiempo empleando la fórmula
para que te asegures de que los resultados son iguales.
Una vez calculado el tiempo que tarda en detenerse, sustituimos los datos
en la ecuación de la distancia:
x = vo · t +
a·t
2
2
3m
3m
- 2
2
s
s
30m
= 100s2
=
· 10s + · (10s)2 = 300m 2
2
s
-
300m
= 300m -
= 150m
2
Ahora veremos problemas donde intervienen dos móviles. Algunas recomendaciones que pueden facilitarte el trabajo son las siguientes:
ü Realiza una ilustración de la situación, ésta ayudará a organizar las
ideas.
ü Identifica datos y condiciones; puedes preguntarte si las magnitudes que intervienen (tiempo, distancia…) son iguales o diferentes
para ambos móviles.
ü Indica el tipo de movimiento de cada uno y escribe las ecuaciones
correspondientes.
2. Un automóvil en una carretera lleva una velocidad de 120km/h (33,3m/s)
y rebasa a un camión cuando aparece en sentido contrario otro automóvil a 100km/h (27,8m/s). Los dos conductores frenan simultáneamente
y frenan ambos autos con una aceleración constante de 5m/s2. ¿Cuál
debe ser la distancia mínima entre los autos, al inicio de la frenada, para
que no choquen entre sí?
Auto 1
Auto 2
Figura 34. Problemas de autos
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Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
Semana 9
Puedes observar en la ilustración que la distancia mínima corresponde a la
distancia x. Dado que cada uno debe recorrer una distancia mientras están desacelerando, la distancia mínima estará dada por la suma de cada una de esas
distancias.
Datos
Auto 1
Auto 2
vo1 = 120 km/h (33,3m/s)
vo2 = 100 km/h (27,8m/s)
a = -5m/s2
a = -5m/s2
v =0 (va a detenerse)
v =0 (va a detenerse)
x1 = ?
x2 = ?
Las velocidades son distintas y el tiempo que transcurre hasta que se detienen
es el mismo, por tanto, la distancia es diferente para cada automóvil.
en este problema no es recomendable utilizarla,
La fórmula x = vo · t + a ·2t
puesto que tendríamos dos incógnitas. Puedes usar la fórmula vf 2 = vo 2 + 2·a·x
Observa que tienes todos los valores a excepción de la distancia, que es precisamente lo que debes despejar; tenemos así:
2
vf 2 - vo 2
vf2 - vo2 = 2·a·x Al despejar x se tiene: x = (justifica cada paso)
2a
Auto 1
x=
vf2 - vo2
2a
33,3m
0 s
=
5m
2 - s2
2
2
m2
-1108,9 s2
=
= 110,89m
-10m
s2
Auto 2.
x=
vf2 - vo2
2a
27,8m
0 s
=
5m
2 - s2
2
2
772,8m2
0 s2
=
m
-10 2
s
2
= 77,28m
Así que debe haber entre ellos una distancia mínima de xa+xb= 188,2 m para
evitar el choque.
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Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
El auto 1 se va a detener a 110,89m
Semana 9
El auto 2 se va a detener a 77,2m
Figura 35
3. Un conductor pasa frente a un inspector de tránsito, quien decide seguirlo porque el límite de velocidad era de 60km/h (16,7m/s) y el auto iba a
72km/h (20m/s). El inspector, partiendo del reposo, inicia la persecución
10s después que pasó el auto, a una aceleración constante. Se sabe que
el inspector alcanza al conductor a 3000m de donde partió. Determine
la velocidad del inspector de tránsito en ese momento.
El movimiento que realiza el conductor es un MRU, con velocidad constante
de 72km/h (su aceleración es cero), mientras que el inspector desarrolla un movimiento uniformemente acelerado. Además, el inspector lleva una desventaja
de 10s, es decir él tiene 10s menos que el otro para recorrer la misma distancia,
así que él debe desarrollar una velocidad mayor que la del conductor para poder
alcanzarlo.
Datos
Conductor (MRU)
Inspector (MRUV)
vcte = 20 m/s
v0 = 0
t1= ?
t2 = t1 -10s
x = 3000m
x =3000m
vf = ?
ü La distancia recorrida por el conductor: x = v · t, despejamos el tiempo
x
3000m
t=
=
t = 150s
v
20s
Luego el tiempo que empleará el inspector de tránsito será 150s-10s=140s
ü La distancia recorrida por el inspector de tránsito:
2
a · (150 - 10s)2 = 3000m
x = a · (t -10s) á (140s)2 = 6000m
2
2
a = 6000m2
19600s
= 0.31m
s2
Ahora para determinar la velocidad del motociclista, usamos la fórmula:
0.31m
v = vo + at = 0 + 2
s
· 140s = 43,4m/s
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Movimiento rectilíneo uniformemente variado
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Semana 9
Para saber más…
Considerando nuestro problema inicial, tenemos que Alejandro debe
alcanzar al autobús con una velocidad constante de 6m/s. Así que si el
estudiante pretende alcanzarlo deberá recorrer los 25m que el autobús
lleva de ventaja más lo que éste avance con un movimiento con aceleración constante.
üDistancia recorrida por el estudiante (MRU): x1 = 6 · t
1· t2
t2
= 25 +
2
2
Para que Alejandro alcance el autobús, las distancias recorridas tanto por
él como por el autobús, deben ser iguales, es por ello que podemos igualar x1 = x2. En este caso, obtendremos una ecuación de segundo grado:
üDistancia recorrida por el autobús (MRUV): x2 = 25 +
6t = 25 +
t2
2
12t = t2 +50
t2 - 12t + 50 = 0
Se obtiene una ecuación cuadrática ¿cómo vas hallar su solución? Usamos para ello la fórmula general para la resolución de ecuaciones de
2do grado:
-b ± b2 - 4ac
2a
Sin embargo, recordarás que primero vemos si esta ecuación tiene solución real, esto lo hacemos empleando el discriminante:
b2 - 4 · a · c
=
(-12)2 - 4 · 1 · 50 =
144 - 200
=
-56 < 0
En este caso no hay soluciones reales. La ecuación anterior también puede
analizarse mediante el gráfico de la función cuadrática f(t) = t2 - 12 t + 50
Como vemos no corta al eje x, por lo cual no tiene solución real.
Función Distancia Vs. Tiempo
300
250
Distancia (m)
200
150
100
50
-15
224
-10
-5
0
0
5
Tiempo (s)
10
15
20
Figura 36. Gráfico distancia contra tiempo
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(parte 2)
Semana 9
¿Qué gráfico te sugieren las ecuaciones de distancia recorridas por Alejandro y por el autobús? Como puedes ver, Alejandro lleva un MRU, por
lo cual la distancia que recorre es una función lineal del tiempo, mientras que el autobús acelera a 1m/s2, por lo cual su movimiento es MRUV;
en este tipo de movimiento la distancia es una función cuadrática de
tiempo.
Cuando trabajamos con problemas de dos móviles y podemos establecer la distancia como una función del tiempo, los gráficos de dichas funciones pueden interceptarse o no, indicando si los autos se encontrarán
en algún lugar o sencillamente si uno nunca alcanzará al otro.
Las ecuaciones distancia-tiempo para el autobús y para Alejandro, se
muestran en la figura 37. Como puede apreciarse, no tienen puntos en común, por lo cual en ningún momento las distancias se igualarán, así que,
tal como mencionamos antes, Alejandro nunca alcanzará el autobús.
Gráfico que describe el movimiento del autobús
y el movimiento de Alejandro
350
300
Distancias recorridas (m)
Gráfica distancia tiempo para el autobús
250
200
150
100
50
Gráfica distancia tiempo para Alejandro
0
0
5
10
15
20
25
Tiempo (s)
Figura 37. Gráfico distancia contra tiempo
Revisa el DVD y encontrarás una serie de ejercicios y/o problemas resueltos para que complementes tus aprendizajes.
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Semana 9
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
Aplica tus saberes
Resuelve los siguientes problemas:
1. Se tienen dos cuerpos, uno cambia su velocidad de 25 km/h a 30 km/h
y el otro de 96 km/h a 100 km/h. Si los dos cambios suceden durante el
mismo intervalo de tiempo, ¿cuál tendrá mayor aceleración?
2. Un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desarrolla en el instante t=0 una velocidad inicial vo=5m/s y su aceleración
es de a=1,5m/s2
a) Calcula el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0
a 8s.
b) Halla la velocidad del cuerpo a los 8s.
c) Traza el diagrama v-t para el intervalo de tiempo considerado.
3. Un avión cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que
le generan una desaceleración de 20m/s2 y necesita 100m para detenerse. Calcular:
a) ¿Con qué velocidad toca la pista?
b) ¿Qué tiempo demoró en detenerse el avión?
4. Un automóvil está parado en un semáforo. En el momento en que la
luz se enciende, arranca con una aceleración constante de 2m/s2. En
ese momento, un autobús, que avanza a una velocidad constante de
60km/h, lo adelanta. Calcula:
a) ¿A qué distancia del semáforo el auto alcanza al autobús?
b) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que el auto alcanza al autobús?
c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante?
5. Dos autos circulan por el mismo carril, pero, en sentidos contrarios, con
velocidades de 90 km/h y 108 km/h. Cuando se divisan uno al otro están
a 100 m de distancia y los dos comienzan a frenar con una aceleración
de 5 m/s2. a) ¿Llegarán a chocar?, b) Si lo hacen, ¿en qué posición tendrá
lugar el impacto?
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Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(parte 2)
Semana 9
Comprobemos y demostremos que…
1. Formen pequeños grupos para socializar los problemas que previamente has intentado resolver.
2. Selecciona con una x en el recuadro las acciones que te ayudaron a consolidar los temas tratados en esta semana:
Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”.
He realizado la mayoría de los ejercicios y problemas propuestos.
Consulto mis dudas e inquietudes con los facilitadores.
He comparado mis resultados con los otros compañeros del grupo.
Otros:_________________________________________________
El trabajo del pensamiento se parece a la perforación de un pozo:
el agua es turbia al principio, mas luego se clarifica.
Proverbio chino
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