Lezione 11 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Analisi
Numerica II
D. Lera
LEZIONE 11
Analisi Numerica II
Daniela Lera
Università degli Studi di Cagliari
Dipartimento di Matematica e Informatica
A.A. 2008-2009
ODE
Analisi
Numerica II
Analisi dei metodi monostep
D. Lera
LEZIONE 11
In generale un metodo esplicito monostep si può scrivere
nella forma
ηi+1 = ηi + hΦ(xi , ηi , fi ; h), η0 = y0
dove Φ() è detta funzione di incremento, ed fi = f (xi , ηi ).
Analogamente si può scrivere
yi+1 = yi + hΦ(xi , yi , f (xi , yi ); h) + εi+1
dove yi = y(xi ) e εi indica il residuo che si ha nel punto xi se
si pretende di "far verificare" alla soluzione esatta lo schema
numerico.
ODE
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Numerica II
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Errori nei metodi monostep
LEZIONE 11
Risulta
εi+1 = yi+1 − yi − hΦ() := ti+1 (h)
Se indichiamo
ti+1 (h) = hτi+1 (h)
τi+1 (h) è detto errore di discretizzazione locale (nel nodo
xi+1 ).
ti+1 (h) viene detto errore di troncamento locale.
ODE
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LEZIONE 11
Errori nei metodi monostep
Si definisce errore di discretizzazione sull’intervallo:
τ (h) =
max |τi+1 (h)|
0≤i≤N−1
dove N è il numero totale dei nodi nell’intervallo considerato,
N = N(h).
Si noti che τ (h) dipende dalla funzione y, soluzione del
problema di Cauchy.
ODE
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Errori nei metodi monostep
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LEZIONE 11
Chiariamo meglio il concetto di errore di discretizzazione
locale. La soluzione esatta y(x) soddisfa:
yi+1 = yi + hΦ(xi , yi , f (xi , yi ); h) + hτ (xi , yi ; h)
(1)
Inoltre, applicando un passo del metodo supponendo di
conoscere yi vale la:
∗
ηi+1
= yi + hΦ(xi , yi , f (xi , yi ); h)
Dalle (1), (2) si ha:
∗
yi+1 − ηi+1
= hτ (xi , yi ; h)
(2)
ODE
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ODE
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LEZIONE 11
Errori nei metodi monostep
Si definisce errore globale di discretizzazione nel
generico nodo xi+1 la quantità
ei+1 = yi+1 − ηi+1 ,
i = 0, 1, 2, ...
E’ possibile scomporre l’errore in due componenti:
∗
∗
ei+1 = (yi+1 − ηi+1
) + (ηi+1
− ηi+1 )
ODE
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LEZIONE 11
Errori nei metodi monostep
La prima componente è il l’ errore di troncamento locale e
tiene conto dell’errore introdotto al passo i + 1 dalla sola
discretizzazione delle derivata prima.
La seconda componente, detta errore di propagazione,
contiene l’accumulo di tutti gli errori commessi ai passi
precedenti all’(i + 1)-esimo.
ODE
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Convergenza
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LEZIONE 11
Definizione
Un metodo si dice convergente se è tale che:
max |ηi − y(xi )| → 0 per h → 0
0≤i≤N
Il metodo si dice convergente di ordine p se esiste c > 0
tale che
max |ηi − y(xi )| ≤ chp
0≤i≤N
.
ODE
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LEZIONE 11
Convergenza
Il tendere a zero del solo errore locale è una condizione
necessaria alla convergenza, ma non sufficiente.
Vediamo più in dettaglio le condizioni di convergenza per i
metodi monostep.
ODE
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Analisi dei metodi monostep
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LEZIONE 11
Uno schema esplicito monostep è completamente
caratterizzato dalla sua funzione di incremento Φ.
Esempio 1
Nel metodo di Eulero-Cauchy si ha:
Φ(xi , yi , f (xi , yi ); h) = f (xi , yi )
Esempio 2
Nel metodo di Heun si ha:
Φ(xi , yi , f (xi , yi ); h) =
1
[f (xi , yi ) + f (xi + h, yi + hf (xi , yi ))]
2
ODE
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Numerica II
Consistenza
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τi+1 =
yi+1 − yi
− Φ(xi , yi , f (xi , yi ); h)
h
In tutti gli schemi numerici considerati si ha:
lim Φ(xi , yi , f (xi , yi ); h) = f (xi , yi ),
h→0
∀xi ≥ x0
.
Considerato inoltre che vale la:
yi+1 − yi
= y0 (xi ), ∀i ≥ 0
lim
h→0
h
segue che
ODE
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Consistenza
LEZIONE 11
lim τi (h) = 0,
h→0
0≤i≤N
Da cui si ricava
lim τ (h) = 0
h→0
che esprime la consistenza di un metodo.
ODE
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Consistenza
Definizione
Un metodo si dice consistente quando l’errore di
discretizzazione è infinitesimo rispetto ad h.
Un metodo ha ordine di consistenza p se
τ (h) = O(hp ), per h → 0
ODE
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Consistenza
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Esempio: metodo di Eulero-Cauchy
Consideriamo lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo
ordine:
h2
y(x + h) = y(x) + y0 (x)h + y”(ξ)
2
x<ξ <x+h
⇒
h
y(x + h) − y(x)
− y0 (x) = y”(ξ)
h
2
ODE
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Consistenza: metodo di Eulero-Cauchy
Ma y0 (x) = f (x, y(x)), quindi
τ (h) = y”(ξ)
|τ (h)| ≤
h
2
M
h
2
con M = maxx<ξ<x+h |y”(ξ)|.
Eulero-Cauchy è consistente del primo ordine
ODE
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La zero-stabilità
Consideriamo il metodo numerico:
ηi+1 = ηi + hΦ(xi , ηi , fi ; h)
(1)
Definizione
Il metodo numerico (1) per la risoluzione del problema di
Cauchy si dice zero-stabile se esistono h0 > 0 e C > 0 tali
che:
(h)
(h)
|zi − ηi | ≤ Cε
(2)
(h)
(h)
∀h ∈ (0, h0 ], con 0 ≤ i ≤ N, zi e ηi
soluzioni dei seguenti problemi:
rispettivamente
ODE
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La zero-stabilità
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(
(h)
(h)
(h)
(h)
zi+1 = zi + h[Φ(xi , zi , f (xi , zi ); h) + δi+1 ]
z0 = y0 + δ0
(
(h)
(h)
ηi+1 = ηi
η0 = y0
(h)
(h)
+ h[Φ(xi , ηi , f (xi , ηi ); h)
con 0 ≤ i ≤ N − 1 e
|δk | ≤ ε per ogni 0 ≤ k ≤ N
ODE
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LEZIONE 11
La zero-stabilità
La zero-stabilità richiede quindi che in un intervallo limitato
valga la (2) per ogni valore di h ≤ h0 .
La zero-stabilità riguarda in particolare il comportamento
del metodo numerico nel caso limite h → 0. E’ una proprietà
del metodo, e non del problema di Cauchy.
La (2) assicura che il metodo numerico sia poco sensibile
alle piccole perturbazioni e sia quindi stabile.
ODE
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LEZIONE 11
La zero-stabilità
Diremo che il metodo è instabile nel senso che le
perturbazioni, che risultano nella soluzione ηi , sono non
limitate se si considera il limite per h → 0.
N.B. La costante C nella (2) è indipendente da h (e quindi
da N), ma può dipendere dall’ampiezza dell’intervallo di
integrazione: potrebbe crescere al crescere dell’intervallo.
ODE
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LEZIONE 11
Teorema 1.(Zero-stabilità)
Si consideri il generico metodo esplicito monostep:
ηi+1 = ηi + hΦ(xi , ηi , fi ; h)
(1)
per la risoluzione del problema di Cauchy.
Si supponga che la funzione di incremento Φ sia
uniformemente lipschitziana di costante Λ rispetto al
secondo argomento, cioé:
|Φ(xj , zj , f (xj , zj ); h) − Φ(xj , ηj , f (xj , ηj ); h)| ≤ Λ|zj − ηj |
xj ∈ [x0 , x0 + T].
Allora il metodo numerico (1) è zero-stabile.
ODE
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Teorema 2.(Convergenza)
Nelle stesse ipotesi del Teorema 1 si ha:
|yi − ηi | ≤ (|y0 − η0 | + ihτ (h))eihΛ , 1 ≤ i ≤ N
Pertanto se il metodo è consistente e
|y0 − η0 | → 0, per h → 0, allora il metodo è convergente.
Inoltre se il metodo ha ordine di consistenza p e
|y0 − η0 | = O(hp ), allora converge con lo stesso ordine p.
ODE
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LEZIONE 11
Quindi dal Teorema 2 si ha
CONSISTENZA + ZERO-STABILITA’ = CONVERGENZA
Questa proprietà è nota come teorema di equivalenza.
Il viceversa: "un metodo convergente è zero-stabile" è
ovviamente vero.
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
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LEZIONE 11
Si consideri:
0
y = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0
ηi+1 = ηi + hf (xi , ηi )
η0 = y0
problema di cauchy
schema numerico
(1)
Applicando Eulero si opera la seguente approssimazione
yi+1 ≈ yi + hf (xi , yi )
ODE
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LEZIONE 11
Metodo di Eulero: convergenza
La soluzione esatta y(x) soddisfa:
yi+1 − yi
− f (xi , yi ) := τ (xi , yi ; h)
h
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) + hτ (xi , yi ; h)
(2)
Inoltre vale la:
∗
ηi+1
= yi + hf (xi , yi )
(3)
é il valore che si troverebbe applicando un passo di Eulero
supponendo di conoscere yi .
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
LEZIONE 11
Poniamo
ei+1 = yi+1 − ηi+1 ,
i = 0, 1, 2, ...
Errore nel nodo i cioé
∗
∗
ei+1 = (yi+1 − ηi+1
) + (ηi+1
− ηi+1 )
Dalle (1), (2) e (3) si ha:
∗
yi+1 − ηi+1
= hτ (xi , yi ; h)
∗
ηi+1
− ηi+1 = ei + h[f (xi , yi ) − f (xi , ηi )]
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
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LEZIONE 11
Supponiamo che f (x, y) sia lipschitziana, cioé:
|f (xi , yi ) − f (xi , ηi )| ≤ L|yi − ηi | = L|ei |
Quindi
|ei+1 | ≤ h|τ (xi , yi ; h)| + |ei | + h|f (xi , yi ) − f (xi , ηi )|
≤ hτ (h) + (1 + Lh)|ei |
dove
τ (h) = max |τ (xi , yi ; h)|
i
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
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LEZIONE 11
Si ha:
|e0 | = 0,
a = (1 + hL),
b = hτ (h)
a e b non dipendono da i.
|ei+1 | ≤ b + a|ei | ≤ b + a(b + a|ei−1 |) = b(1 + a) + a2 |ei−1 |
≤ b(1 + a) + a2 (b + a|ei−2 |) = b(1 + a + a2 ) + a3 |ei−2 | ≤ ...
b(1 + a + a2 + ... + ai ) + ai+1 |e0 | =
ai+1 − 1
b
a−1
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
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LEZIONE 11
Cioé
|ei+1 | ≤
(1 + hL)i+1 − 1
hτ (h)
hL
Siccome h(i + 1) = xi+1 − x0 e inoltre
1 + t ≤ et , ∀t > 0 ⇒ 1 + hL ≤ ehL
si ha che
(1 + hL)i+1 − 1 ≤ ehL(i+1) − 1 = eL(xi+1 −x0 ) − 1
≤ eL(xi+1 −x0 )
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
Infine:
|ei+1 | ≤ eL(xi+1 −x0 )
Con
τ (h) ≈
M
h,
2
τ (h)
L
M = max |y”(x)|
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
Quindi
l’errore globale ei+1 tende a zero per h → 0.
l’ordine dell’errore globale è pari all’ordine dell’errore
locale.
Il metodo di Eulero è convergente.
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
Teniamo ora conto degli errori di arrotondamento.
Siano ηei le quantità calcolate in presenza di errori di
arrotondamento. Lo schema di Eulero si può scrivere:
ηei+1 = ηei + hf (xi , ηei ) + ρi
ηe0 = y0 + ρ0
dove ρi rappresentano gli errori introdotti dal calcolo
numerico della quantità ηei + hf (xi , ηei ) (err. di
arrotondamento locali).
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
Si ponga:
ε 0 = ρ0 ,
εi = ηei − ηi
Con un procedimento analogo al precedente si ricava:
h
ρi
|εi+1 | ≤ eL(xi+1 −x0 ) |ρ0 | +
hL
con ρ = maxi |ρi |.
Tende all’∞ per h → 0 !!
ODE
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Metodo di Eulero: convergenza
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LEZIONE 11
Se definiamo come errore totale:
Ei := yi − ηei = (yi − ηi ) + (ηi − ηei ) = ei + εi
si ha:
|Ei+1 | ≤ |ei+1 | + |εi+1 |
1
ρ
L(xi+1 −x0 )
≤e
|ρ0 | +
τ (h) +
L
h
E’ necessario un compromesso nella scelta di h. Esiste un
h∗ = passo ottimale.
ODE
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Metodo di Eulero: errore totale