sistema binario, octal y hexadecimal

El sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema de
numeración posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y
el “1”. Por lo tanto para poder representar mayor número de información al tener
menos símbolos tendremos que utilizar más cifras:
Bit: 0 ó 1
Cuarteto: Número formado por 4 bits
Byte: 8 bits
Kilobyte: 1024 bytes
Megabyte: 1024 kilobytes
Gigabyte: 1025 megabytes
Es un sistema de base 8, es decir, con sólo ocho símbolos distintos 0,1,2,3,4,5,6,7
.
Por ejemplo:
40712 8
es un número en base 8 y representa el número:
\large 4 \times 8^4 + 0 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 1 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 4
\times 4094 + 0 \times 512 + 7 \times 64 + 1 \times 8 + 2 \times 1 = 16384 + 0 +
448 + 8 + 2 = 16842
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando
cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y
obteniendo su valor decimal.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo
agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es
112.
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal.
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos.
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal,
por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los
pulgares. Esto explicaría porqué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo
(novus). Podría tener el significado de número nuevo. [editar]
Fracciones
La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar
con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2.
El sistema de numeración más utilizado actualmente en computación es el
hexadecimal o base 16, el cual consta de 16 dígitos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, A, B, C, D, E y F . El sistema hexadecimal un sistema de numeración
vinculado a la informática, ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de
programación en bytes, que están compuestos de ocho dígitos. A medida de que
los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento,
funcionan con múltiplos de ocho, como 16 o 32. Por este motivo, el sistema
hexadecimal, de 16 dígitos, es un estándar en la informática.
Como nuestro sistema de numeración sólo dispone de diez dígitos, debemos
incluir seis letras para completar el sistema.
Estas letras y su valor en decimal son: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F =
15.
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numérico asociado a cada
signo depende de su posición en el número, y es proporcional a las diferentes
potencias de la base del sistema que en este caso es 16.
Veamos un ejemplo numérico: 3E0,A (16) = ( 3×16
) + ( E×16¹ ) + ( 0×160 ) + ( A×16–1 ) = ( 3×256 ) + ( 14×16 ) + ( 0×1 ) + (
10×0,0625 ) = 992,625
La utilización del sistema hexadecimal en los ordenadores, se debe a que un
dígito hexadecimal representa a cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble), por tanto
dos dígitos hexadecimales representaran a ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte)
que como es sabido es la unidad básica de almacenamiento de información. Por
ejemplo:
2A703 16
es un número en base 16 y representa el número:
{$ 2 * 16^4 + 10 * 16^3 + 7 * 8^2 + 0 * 16^1 + 3 * 16^0 = 2 * 65536 + 10 * 1096 + 7
* 256 + 0 * 16 + 3 * 1 = 16384 + 10960 + 1792 + 0 + 3 = 29139
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1
Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011
En sistema binario, 131 se escribe 10000011
Transformar el número decimal 100 en binario.
100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1|1 --> (100)10 = (1100100)2
20= 1|1
21= 2|1
22= 4|1
23= 8|0
24= 16|1
25= 32|0
26= 64|0
27= 128|1
128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2
0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 · 2 = 0,625 => 0
0,625 · 2 = 1,25 => 1
0,25 · 2 = 0,5 => 0
0,5
·2=1
=> 1
En orden: 0101
0,1 · 2 = 0,2 ==> 0
0,2 · 2 = 0,4 ==> 0
0,4 · 2 = 0,8 ==> 0
-> 0,0101 (binario)
0,8 · 2 = 1,6 ==> 1
0,6 · 2 = 1,2 ==> 1
0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente
0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 <0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 <0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 <- ...
En orden: 0 0011 0011 ...
El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar
de la siguiente manera:
entonces se suman los números 64, 16 y 2:
Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual,
salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a
la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:
0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:
1 · 2 elevado a -1 = 0,5
0 · 2 elevado a -2 = 0
1 · 2 elevado a -3 = 0,125
0 · 2 elevado a -4 = 0
0 · 2 elevado a -5 = 0
1 · 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,640625
0.110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:
1 · 2 elevado a -1 = 0,5
1 · 2 elevado a -2 = 0,25
0 · 2 elevado a -3 = 0
1 · 2 elevado a -4 = 0,0625
1 · 2 elevado a -5 = 0,03125
1 · 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,859375
1
10011000
+ 00010101
———————————
10101101
247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits
es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario
será 010100111