CT_M2_unidade 4 - Xunta de Galicia
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Educación secundaria para personas adultas Ámbito científico tecnológico Educación a distancia semipresencial Módulo 2 Unidad didáctica 4 Luz y sonido. Ecuaciones Página 1 de 53 Índice 1. Introducción...............................................................................................................3 1.1 1.2 1.3 2. Descripción de la unidad didáctica................................................................................ 3 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 Objetivos....................................................................................................................... 3 Secuencia de contenidos y actividades [ciencias de la naturaleza].....................5 2.1 La luz y el sonido .......................................................................................................... 5 2.1.1 2.1.2 2.2 Contaminación acústica y luminosa ............................................................................ 15 2.2.1 2.2.2 3. El sonido.............................................................................................................................................................6 La luz................................................................................................................................................................10 Contaminación acústica ...................................................................................................................................15 Contaminación luminosa ..................................................................................................................................16 Secuencia de contenidos y actividades [matemáticas].......................................18 3.1 Significado de una ecuación: elementos principales ................................................... 18 3.1.1 3.1.2 3.2 Identidades y ecuaciones.................................................................................................................................18 Ecuaciones: elementos y nomenclatura...........................................................................................................19 Reglas de transposición. Resolución de ecuaciones .................................................. 20 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Resolución de ecuaciones de primer grado.....................................................................................................21 Resolución de ecuaciones con denominadores...............................................................................................22 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado ............................................................................24 4. Resumen de contenidos .........................................................................................27 5. Actividades complementarias................................................................................28 6. Ejercicios de autoevaluación .................................................................................33 7. Solucionarios...........................................................................................................36 7.1 7.2 7.3 Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 36 Soluciones de las actividades complementarias ......................................................... 38 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 48 8. Glosario....................................................................................................................51 9. Bibliografía y recursos............................................................................................53 Página 2 de 53 1. Introducción 1.1 Descripción de la unidad didáctica Se estudian el origen, la naturaleza y la propagación de la luz y del sonido, y sus propiedades comunes por ser ambos fenómenos de naturaleza ondulatoria, realizándose experiencias con espejos y lentes, para analizar hechos como la reflexión y la refracción de la luz. La unidad se completa con la aplicación de las ecuaciones de primer grado a la resolución de problemas, así como otros métodos no algebraicos de aproximación al resultado de un problema. Se inicia también el estudio del lenguaje algebraico y su empleo en la formulación de problemas, así como la resolución de sencillas ecuaciones de primer grado con una incógnita. 1.2 Conocimientos previos Para el estudio de esta unidad hará falta repasar algunos conocimientos de la unidad I como: Energía radiante (luminosa). Energía sonora. Energía solar. Propagación del calor por radiación. También convendría repasar los contenidos de matemáticas de la unidad 3 del módulo 2 relativos a las operaciones con monomios, polinomios, extracción y factor común, así como los contenidos de matemáticas de la unidad 4 del módulo 1 relativos a las fracciones. 1.3 Objetivos Identificar fenómenos de naturaleza ondulatoria y, en particular, la luz y el sonido. Explicar hechos como la reflexión y la refracción de la luz o la reflexión del sonido a la luz de su naturaleza ondulatoria. Interpretar el resultado de experiencias de propagación de la luz en que se utilicen espejos y lentes. Reconocer la luz blanca como la suma de los colores que la componen. Relacionar luz y sonido con el funcionamiento de los órganos de la visión y del oído. Diferenciar las cualidades de varios tipos de sonido. Interpretar el resultado de experiencias de propagación y reflexión del sonido. Conocer las principales aplicaciones prácticas relacionadas con la luz y el sonido para la sociedad: instrumentos ópticos, luminosos, sonoros, etc. Valorar problemas derivados de la contaminación acústica y luminosa y sus soluciones. Saber utilizar letras para simbolizar cantidades desconocidas y traducir expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Página 3 de 53 Interpretar el significado de las ecuaciones y de las soluciones de una ecuación. Resolver ecuaciones de 1º grado por transformación de las ecuaciones en otras equivalentes. Página 4 de 53 2. Secuencia de contenidos y actividades [ciencias de la naturaleza] 2.1 La luz y el sonido En unidades didácticas anteriores vimos que el sonido y la luz son formas de la energía. En esta unidad veremos con más detalle otros aspectos interesantes de la luz y del sonido, como su propagación, la velocidad, la reflexión, la refracción... Tanto el sonido como la luz son fenómenos ondulatorios, es decir, son ondas. Por eso vamos a describir primero lo que son las ondas y después entraremos ya a estudiar la luz y el sonido. El foco Habrá visto alguna vez que cuando dejamos caer una piedra en un estanque con agua en reposo se forman unas ondas circulares que avanzan apartándose del punto central donde cayó la piedra. Ese punto central de donde salen las ondas es el foco. Al caer, la piedra empuja el agua hacia abajo y, a continuación, este agua sube y después baja, y vuelve a subir, y así unas cuantas veces; a este movimiento de vaivén se le llama movimiento oscilatorio o, si es muy rápido, movimiento vibratorio. Este movimiento oscilatorio del foco se transmite al agua vecina, y desde esta a la porción de agua siguiente, y así sucesivamente, de modo que la perturbación producida por la piedra en el foco se transmite al resto de la superficie del estanque: se forman ondas, que es justo lo que vemos. Cuando la onda llega a un punto cualquiera de la superficie del estanque, el agua en ese punto comienza a subir y bajar. Lo puede comprobar colocando en ese punto del agua una pequeña hoja o cualquier cosa pequeña que flote; verá como, al llegar la onda, subirá y bajará unas cuantas veces. Observe entonces que el agua no se mueve en la dirección en que avanza la onda, no se aparta del centro; lo único que avanza es la perturbación, es decir, avanza la onda. Puede hacer esta otra experiencia: ate el extremo de una cuerda o de un tubo de goma a una pared o anclaje fijo, ténsela y mueva arriba y abajo una vez el otro extremo de la cuerda. Observe cómo el pulso generado en el foco va avanzando por la cuerda adelante; cuando la onda llega al punto P, inicialmente en reposo, sube y baja igual que lo hizo antes el foco; observe también que la cuerda está siempre en el mismo sitio, no se mueve hacia la derecha: lo que avanza es la perturbación, es decir, la onda. Una onda transmite energía, ya que pone en movimiento (energía cinética) puntos del cuerpo (cuerda, agua del estanque) que estaban en reposo antes de ser alcanzados por la onda. Esta es una de las propiedades más importantes de las ondas: transportan energía sin transportar masa. Llamamos movimiento vibratorio u oscilatorio al que tiene lugar en torno a una posición central, de modo que hay igual desplazamiento a ambos lados de esta. Una onda es la transmisión de un movimiento oscilatorio o vibratorio y de energía sin transporte de materia. Página 5 de 53 Las ondas que necesitan una sustancia por la que propagarse, por la que avanzar (agua, aire, cuerda...) son ondas mecánicas. Pero las ondas electromagnéticas no precisan ninguna sustancia para avanzar, y de hecho pueden transmitirse a través del vacío. Por otro lado, las ondas pueden ser transversales y longitudinales. Ondas transversales: en ellas las partículas de la sustancia se mueven en dirección perpendicular a la dirección del avance de la onda. Ejemplos de ondas transversales son los ya comentados de la cuerda y del estanque. Ondas longitudinales: en ellas los puntos del medio que vibra se mueven en la misma dirección que la del avance de la onda. Un ejemplo fácil de ver se consigue comprimiendo y estirando varias veces seguidas el extremo de un resorte largo. Cuando una onda llega a un punto P, este se mueve hacia adelante y hacia atrás: es una onda longitudinal. Otro ejemplo importante de onda longitudinal es el sonido. La luz y el sonido poseen características comunes, pues ambos fenómenos se propagan mediante ondas. Con todo, presentan aspectos que los diferencian: El sonido: se origina al producirse un movimiento ondulatorio (vibración) en un foco sonoro y para transmitirse requiere de un medio material, como el aire o el agua. El sonido no se propaga en el vacío. La luz: es un conjunto de ondas eléctricas y magnéticas (electromagnéticas) que transportan energía luminosa originada en un foco, por ejemplo el Sol, se propagan en medios materiales, como el aire y el agua, y también en el vacío. Actividades propuestas S1. ¿Qué es una onda? S2. ¿Transportan energía las ondas? ¿Y materia? S3. ¿Qué diferencia hay entre las ondas mecánicas y las electromagnéticas? S4. ¿Qué diferencia hay entre las ondas longitudinales y las transversales? S5. Características comunes y diferencias entre sonido y luz. 2.1.1 El sonido Es la propagación de vibraciones y energía que se transmite de forma longitudinal a través de las moléculas de un medio, como puede ser el aire, desde la fuente de sonido hasta el receptor. Son fuentes sonoras todos los aparatos, instrumentos o elementos de la naturaleza que generan sonido. Todas las fuentes sonoras generan vibraciones en algún medio material. Por ejemplo, nuestra voz surge de las vibraciones de las cuerdas vocálicas, las notas que emite una guitarra las producen las vibraciones de sus cuerdas; estas vibraciones empujan a las moléculas del aire más próximas y estas a las siguientes, produciéndose las ondas sonoras que se propagan en forma de esferas concéntricas alrededor de la fuente sonora. Página 6 de 53 Transmisión del sonido El sonido necesita un medio material para su propagación. La velocidad de propagación del sonido es siempre la misma en un mismo medio, pero varía de unos medios a otros, así es mayor en los sólidos que en los líquidos, y en estos que en los gases. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, en el agua, de 1.500 m/s y en el hierro, de unos 5130 m/s. El sonido no se propaga en el vacío. Se puede verificar fácilmente dejando sin aire la campana que cubre un despertador, ya que no se oirá ningún sonido cuando funcione. Reflexión del sonido El sonido, como se transmite en línea recta, encuentra obstáculos, como una pared que no puede atravesar y vuelve reflejado en sentido opuesto. Dos fenómenos debidos a la reflexión del sonido son el eco y la reverberación. El eco: consiste en la doble percepción de un sonido, el original y el reflejado, después de chocar con un obstáculo. Se produce si la distancia entre el foco emisor y el obstáculo es mayor de 17 metros y el tiempo que tiene que transcurrir para que el oído humano perciba el doble sonido es mayor o igual a 0,1segundos. La reverberación. Si entre el sonido emitido y el reflejado transcurre menos de una décima de segundo, el oído mezcla ambos sonidos, lo que produce una audición ininteligible y molesta. Es lo que ocurre en salas de cine y habitaciones grandes. En este caso se dice que la habitación tiene mala acústica. Las paredes deben recubrirse con materiales que eviten la reflexión del sonido, como madera, corteza o fibra de vidrio. Onda reflejada al chocar con un obstáculo Reflexión del sonido y eco Página 7 de 53 Algunos animales, como los murciélagos y los delfines, se orientan gracias a la reflexión de los sonidos que emiten. Estos sonidos, que no son audibles por el oído humano (ultrasonidos), se reflejan en paredes, insectos, redes de pescar…, y así pueden detectarlos. De este modo, estos animales se defienden, se protegen y se alimentan. Características del sonido Los sonidos se caracterizan por su intensidad, su tono y su timbre. Intensidad: fuerza o volumen con que se percibe un sonido. Se debe a la energía que transporta la onda. Se mide en decibelios y puede ser fuerte (volumen alto) o débil (volumen bajo). Tono: número de vibraciones que se producen por segundo. Si el número de vibraciones es pequeño, el sonido es grave (motor de un camión); si hay muchas vibraciones, el sonido es agudo. Timbre: característica que permite distinguir dos sonidos del mismo tono y de la misma intensidad. Por el timbre de voz, por ejemplo, distinguimos qué persona es la que habla o qué instrumento emite la misma nota. Sonido y audición La audición es la percepción de las ondas sonoras propagadas por el espacio, que son captadas primero por las orejas, que las transmiten por los conductos auditivos externos hasta que llegan al tímpano y lo hacen vibrar. Estas vibraciones generan movimientos en la cadena de huesos del oído medio (martillo, yunque y estribo) para después llegar a la cóclea o caracol. Aquí las ondas mueven las células nerviosas del Órgano de Corti que, a su vez estimulan el nervio auditivo. Así es que en el órgano de Corti las vibraciones se transforman en impulsos nerviosos que finalmente llegan a la corteza cerebral, donde son interpretadas como sensaciones auditivas. Aplicaciones prácticas En la actualidad usamos distintos aparatos basados en la producción de ultrasonidos. Los ultrasonidos son ondas sonoras cuya frecuencia está por encima del espectro audible del oído humano. Se emplean en los siguientes aparatos: Sónar. Es un instrumento que usan los barcos para detectar la profundidad del fondo marino u objetos, o bancos de peces. Emite ultrasonidos que se reflejan en el fondo o en el obstáculo. Por el tiempo que tarda en captar el eco se puede determinar la distanPágina 8 de 53 cia que separa el sónar del obstáculo. Se usa para estudios oceanográficos, barcos de pesca y militares (detección de submarinos), estudio geológico del suelo, etc. Ecografía. Consiste en registrar los ecos ultrasónicos producidos por los órganos del cuerpo. Los ultrasonidos inciden en una zona del cuerpo y después son reflejados y recogidos en un aparato electrónico que analiza la posición de los tejidos y se visualizan en un monitor. Se usa en medicina, por ejemplo, para el seguimiento de los embarazos y para ver muchas zonas internas del cuerpo sin producir daños. Litotricia. Consiste en utilizar ultrasonidos de alta energía y corta duración (ondas de choque) para fragmentar cálculos renales y biliares, evitando la intervención quirúrgica. Ecografía de feto de 14 semanas Exploración con sónar Actividades propuestas S6. ¿Qué tiene que ocurrir para que se produzca el sonido? S7. Cite fuentes sonoras naturales y artificiales. S8. ¿Qué es el sonido? S9. ¿Cuánto recorre el sonido en 10 segundos en una atmosfera de CO2 (v= 260 m/s)? S10. ¿Por qué decimos que el sonido transporta energía? S11. ¿Qué fenómenos se producen como consecuencia de la reflexión del sonido? Explíquelos. S12. Señale la propiedad que nos permite distinguir el sonido de una guitarra del sonido de un piano, o la voz del profesor de la de un compañero de la clase. S13. ¿Qué son los ultrasonidos? ¿Qué aplicaciones prácticas tienen? Página 9 de 53 2.1.2 La luz Es un fenómeno que se genera en procesos en los que se emite energía; por ejemplo, la luz que nos llega del sol y de las estrellas es un efecto de las reacciones de fusión, la que da una vela es un efecto que se produce por una combustión. Prueba de que la luz es energía está en que todas las fuentes de luz dan calor. Por otra parte, sabemos que la luz se propaga por el vacío, lo que significa que no se apoya en partículas materiales para trasladarse, por eso decimos que es una radiación. Se puede definir la luz como la energía que se propaga en forma de radiación moviéndose en línea recta y en todas las direcciones. La luz también es una onda, un tipo de onda llamada electromagnética, que se propaga en todas direcciones y transmite energía sin transporte de materia. Propagación de la luz La luz se propaga como un movimiento ondulatorio, con la diferencia de que no necesita ningún soporte material, aunque también lo puede hacer a través de la materia. Los cuerpos que permiten su paso se llaman transparentes (agua o vidrio) y los que impiden el paso de la luz se denominan opacos (madera o metal). Hay una serie de hechos que nos hacen pensar que la luz se propaga en línea recta como, por ejemplo, las sombras que proyectan los objetos opacos, cuando observamos cómo la luz del sol pasa a través de los agujeros de una persiana o entre las nubes, los contornos, los eclipses, etc. Para representar la propagación de la luz se utilizan rayos, que son rectas en la dirección de la propagación de la luz a partir de un foco luminoso. La luz se propaga en el vacío y en el aire casi a la misma velocidad, 300.000 km/s (es la máxima velocidad con que se podría mover cualquier cuerpo, se representa con la letra c). Cuando la luz atraviesa una sustancia transparente su velocidad es menor que en el vacío; por ejemplo, la velocidad de propagación de la luz en el agua es de 225.000 km/s. El índice de refracción de una sustancia es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad de la luz en esa sustancia: El índice de refracción es casi igual a 1 para el aire, y mayor que 1 para las demás sustancias transparentes. Es un número sin unidades. Puede comprobarlo en muchas situaciones cotidianas, como cuando la luz del sol pasa a través de los agujeros de una persiana, o entre las nubes. Reflexión y refracción de la luz La reflexión y la refracción de la luz son dos efectos que se explican a partir de la propagación rectilínea de la luz. Se trata de la desviación que sufren los rayos de la luz cuando esta rebota en un medio opaco o pasa a otro medio diferente. Reflexión. Es la desviación que sufren los rayos al encontrar una superficie opaca y volver reflejados al medio de procedencia. La reflexión hace que aparezca una imagen simétrica del objeto que se encuentre delante. Página 10 de 53 La semejanza entre el objeto y su imagen es mayor cuanto más lisa y pulida sea la superficie sobre la que se refleja. Donde mejor se aprecia es en los espejos o en el agua en reposo. Se distingue entre: – Reflexión especular: el objeto reflejado se aprecia claramente pues la superficie donde se refleja es lisa y pulida. Reflexión de la luz en el agua Reflexión de la luz en un espejo Luz láser reflejada en un espejo En la reflexión especular, los rayos de luz reflejados son paralelos entre sí, no se dispersan – Reflexión difusa: el objeto reflejado se ve difuso pues la superficie de reflexión es rugosa o poco pulida. Reflexión difusa Refracción. Además de reflejarse, cuando la luz llega a la superficie de separación entre dos sustancias transparentes, parte de la luz penetra en la segunda sustancia cambiando su dirección de avance. A este fenómeno se le llama refracción. El cambio de dirección se debe al cambio de velocidad de la luz al pasar de un medio transparente a otro; observe en la imagen un haz láser rojo cuando pasa del aire (arriba en la figura) al agua (abajo). Cuanto más diferentes son los índices de refracción de las dos sustancias transparentes, mayor es el ángulo de desviación del rayo refractado. Cuando usted introduce un lápiz en agua parece que se rompe; es debido a la refracción de la luz que sale de la parte del lápiz sumergida en el agua. Página 11 de 53 También es esta la causa de que los peces parezcan estar más cerca de la superficie del agua de lo que realmente están. Absorción Es un proceso muy ligado al color. El ojo humano solo es sensible a las radiaciones de un pequeño intervalo del espectro electromagnético: son los colores que mezclados forman la luz blanca. Su distribución espectral es: Tipo de radiación Longitudes de onda (nm) Violeta 380-436 Azul 436-495 Verde 495-566 Amarillo 566-589 Naranja 589-627 Rojo 627-770 Cuando la luz blanca choca con un objeto, una parte de los colores que la componen son absorbidos por la superficie y el resto son reflejados. Los componentes reflejados son los que determinan el color que percibimos. Si los refleja todos, el color es blanco y si los absorbe todos, el color percibido es el negro. Un objeto es rojo porque refleja la luz roja y absorbe los demás componentes de la luz blanca. Si iluminamos el mismo objeto con luz azul, lo veremos negro porque el cuerpo absorbe este componente. Luz y visión Gracias a la luz natural, emitida por el sol, o la artificial de una lámpara, se puede observar aquello que no es posible ver en su ausencia. Todos los cuerpos que emiten luz propia, como el Sol, las estrellas o las lámparas, reciben el nombre de fuentes de luz primaria o cuerpos luminosos, para distinguirlos de los cuerpos iluminados o fuentes de luz secundaria que solo reflejan la luz recibida de otras fuentes. Durante la noche podemos ver la Luna, aunque no tenga luz propia, porque refleja la luz que recibe del Sol. La Luna es, entonces, una fuente de luz secundaria. Los cuerpos iluminados se clasifican según la cantidad de luz que dejan pasar a través de ellos en: Opacos: impiden el paso total de la luz, como los metales. Transparentes: dejan pasar la luz, como los cristales o el agua. Translúcidos: los que permiten el paso parcial de la luz, como el papel de fumar o el cristal esmerilado, que deja pasar la luz pero distorsiona la imagen de los objetos. Página 12 de 53 Espectro de la luz Si sobre la cara de un prisma de cristal hacemos incidir un rayo de luz blanca, podemos observar que la luz es un conjunto de radiaciones de distinta frecuencia y magnitud de onda, y se descompone originando una serie de rayos de distintos colores. Este fenómeno se produce en la naturaleza, cuando después de llover aparece en el cielo el arco iris, debido a que las gotas de agua actúan coma pequeños prismas que refractan la luz y la dividen en un espectro de colores llamado espectro visible. La descomposición de la luz en diversos colores se conoce como dispersión de la luz. La luz que más se refracta o desvía es la violeta, y la que menos, la roja, ya que la velocidad de propagación va cambiado del violeta al rojo. Por eso se puede afirmar que la velocidad de propagación de la luz en todos los colores no es la misma. Arco iris. Observe el segundo arco, menos luminoso Dispersión de la luz blanca en un prisma de vidrio El arco iris se produce cuando la luz del sol entra en las gotas de agua de la lluvia, se refleja dentro de la gota y sale de ella de nuevo al aire. Aplicaciones prácticas Una de las aplicaciones más útiles de la refracción son las lentes y los aparatos que las utilizan: lentes para os ojos, objetivos de las cámaras fotográficas, vídeo y televisión, telescopios, microscopios, prismáticos. Una lente bien conocida es la lupa. Igual que ella, todas las lentes tienen dos superficies en las que se refracta la luz, desviando su camino. Las lentes son normalmente de vidrio, aunque pueden ser de otros materiales. Lentes convergentes y divergentes. Las lentes pueden ser convergentes y divergentes. Las lentes convergentes, como la lupa, tienden a juntar los rayos de luz que llegan a ella, mientras que las lentes divergentes tienden a separarlos; vea las fotografías siguientes: Página 13 de 53 Lente convergente Son más gruesas en la parte central que en los extremos. Lente divergente Son más estrechas en la parte central. Una de las aplicaciones más importantes de las lentes es la corrección de los defectos de visión del ojo, como la miopía y la hipermetropía. El ojo tiene su propia lente, el cristalino, que es una lente convergente. Los músculos del ojo aumentan o disminuyen el poder convergente del cristalino de modo que los rayos de luz que lo cruzan convergen en la retina, en el fondo del ojo. En un ojo miope (con miopía) el cristalino es demasiado convergente, y los rayos de luz se cruzan antes de llegar a la retina, con el resultado de que la visión es borrosa (un punto pequeño de un objeto se ve como un círculo). Este defecto se corrige poniendo delante del cristalino una lente divergente: Ojo con miopía Corrección de la miopía con una lente divergente Por el contrario, en el ojo hipermétrope los rayos de luz chocan contra la retina sin llegar a cruzarse; se corrige con lentes convergentes: Ojo con hipermetropía Corrección de la hipermetropía con una lente convergente Página 14 de 53 Actividades propuestas 2.2 S14. Un líquido transparente tiene un índice de refracción n = 1,40. ¿Cuál es la velocidad de la luz cuando pasa a través de él? S15. La reflexión de la luz, ¿se produce solo en los espejos? Contaminación acústica y luminosa 2.2.1 Contaminación acústica Uno de los muchos problemas que padecen las personas que viven en las ciudades y zonas industriales es el de la contaminación sonora, producida por el tráfico de coches, camiones y motos, máquinas industriales, aviones en las zonas próximas a los aeropuertos, discotecas, ferrocarriles... La legislación europea acepta como límite máximo 65 decibelios durante el día y 55 por la noche. Pero en las ciudades estos límites son superados ampliamente. Japón es el país que tiene un mayor porcentaje de la población expuesta a altos niveles de ruido, seguido de España, donde más de nueve millones de personas soportan niveles de ruido superior a los 65 dB. La exposición continuada a ruidos intensos provoca la pérdida progresiva de la capacidad auditiva, de modo que cuando la notamos puede ser demasiado tarde. Además, dificulta o impide dormir bien, produciendo fatiga y alteraciones psíquicas; dificulta la concentración y la atención y puede provocar accidentes laborales. También produce irritabilidad, estrés, alteraciones en el ritmo cardíaco y molestias gastroduodenales. La sordera puede producirse por frecuentar ambientes ruidosos de 90 dB o más. La legislación española que regula la protección de los trabajadores contra los riesgos de la exposición a los ruidos está recogida en el Real Decreto 286/2006, del 10 de marzo. Página 15 de 53 Medidas contra la contaminación acústica Medidas pasivas Medidas activas No eliminan las fuentes sonoras emisoras de ruido, pero intentar amortiguar su impacto, utilizando cascos que protegen los oídos, pantallas acústicas para el ruido del tráfico, barreras verdes (vegetación), o aislamiento acústico de locales (discotecas, salas de conciertos)... Intentan eliminar los focos de ruido o disminuir su intensidad sonora, como los silenciadores de motos y coches, las campañas para utilizar el transporte colectivo (menos coches y motos en las calles), la prohibición de usar la bocina... 2.2.2 Contaminación luminosa Es la emisión de luz procedente de fuentes artificiales nocturnas con intensidades, direcciones o frecuencias excesivas para las actividades previstas en las zonas que se iluminan. Provocan a menudo una luminosidad artificial en los cielos nocturnos, sobre todo en las grandes ciudades. Como resultado, la obscuridad natural del cielo disminuye y desaparecen las luces de la Luna, estrellas y planetas. Por el contrario, aparece una capa de color gris o naranja encima de las ciudades; la abundancia de partículas en suspensión producidas por la contaminación química aumenta la dispersión de la luz, de modo que a más contaminación química más contaminación luminosa. En general es luz desaprovechada, ya que iluminar el cielo es malgastar energía. También dificulta mucho las observaciones astronómicas, obligando al traslado de los telescopios a zonas montañosas lejos de las ciudades, donde el cielo aún es obscuro y libre de luces artificiales. Conviene evitar el criterio de que cuanta más luz mejor, ya que eso no implica ni mayor seguridad ni mayor visibilidad. Podemos conseguir una menor contaminación luminosa del cielo empleando bien las lámparas y las luminarias, tanto en la calle como en el interior de nuestras viviendas. Observe los gráficos siguientes: Página 16 de 53 Página 17 de 53 3. Secuencia de contenidos y actividades [matemáticas] 3.1 Significado de una ecuación: elementos principales Las ecuaciones son igualdades algebraicas (con números y letras) que nos van a permitir establecer relaciones entre valores conocidos (los datos) y valores desconocidos (las incógnitas). Una ecuación expresa en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades, de las que no conocemos su valor: Ejemplo: la mitad de un número es igual a su quinta parte más seis unidades. Un número x Su mitad x/2 Su quinta parte x/5 Ecuación es la igualdad algebraica que nos permite establecer relaciones = +6 3.1.1 Identidades y ecuaciones Una igualdad es una expresión del tipo A = B, donde A y B son expresiones algebraicas. La igualdad indica que el valor de A es igual al valor de B. A es el primer miembro, B es el segundo miembro de la igualdad. Ejemplos de igualdades: a) (x+1)2 = x2+2x +1 b) 3x–7 = 3+2x Una igualdad puede ser de dos tipos: Identidad: cuando la igualdad es verdadera siempre para todos los valores que les demos a las letras. Así, (x + 1)2 = x2 + 2x +1 es una identidad, ya que si sustituimos el valor de x por cualquier valor numérico la igualdad se mantiene. Ecuación: cuando la igualdad solo es verdadera para algunos valores de las letras. Así, 3x–7 = 3+2x es una ecuación, ya que la igualdad es verdadera nada más que para el valor de x = 10, por lo que ese valor de x = 10 es la solución de la ecuación. Ejemplo: clasificamos las igualdades siguientes en identidades o ecuaciones: Igualdad ¿Identidad o ecuación? 2x - 1 = 19 – Ecuación; solo es verdadera si x vale 10. x2 + x = x(x + 1) – Igualdad, los dos miembros valen lo mismo sea cual sea el valor de x. Página 18 de 53 – Ecuación: los dos miembros valen lo mismo solamente si a vale 0 o si a vale -2. a2 + 2a = 0 3.1.2 Ecuaciones: elementos y nomenclatura En una ecuación podemos distinguir los siguientes elementos: Miembros de una ecuación: cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad. Términos: los sumandos que forman los miembros de la ecuación. Primer miembro Segundo miembro 3x – 7 = 3 + 2x Términos Incógnitas: son las letras que aparecen en la ecuación. Ejemplo: 3x + 2 = 10 – x Ecuación con una incógnita: x. 3x + 2y = y + 3 Ecuación con dos incógnitas: x e y. Soluciones: los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea verdadera. Ejemplo: x = 2 es solución, ya que 6·2+2 = 18-2·2 6x + 2 = 18 – 2x x = 1 no es solución, ya que 6·1+2 ≠ 18–2·1 Grado de una ecuación: el mayor de los grados de los monomios que forman los miembros de la ecuación. Ejemplo: 3x+1 = 9-x Es una ecuación de primer grado. 2 3x -9x+1 = 6x-5 Es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones equivalentes: dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones. Ejemplo: 6x+2 = 18-2x Son equivalentes: 8x+2 = 18 Las tres tienen la misma incógnita: x. 8x = 16 Las tres tienen la misma solución. En lo que sigue veremos solo ecuaciones con una única incógnita de primer grado. Página 19 de 53 3.2 Reglas de transposición. Resolución de ecuaciones Cuando resolvemos una ecuación, casi siempre tenemos que trasladar antes algún término. Regla 1 Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta el mismo número, la igualdad resultante es equivalente a la primera. Si en la igualdad 4+5 = 9 sumamos 10 (por ejemplo) a los dos miembros, tenemos 4+5+10=9+10, que sigue siendo verdadera. En una ecuación pasa lo mismo. Si en la ecuación x-8=15 sumamos 8 en los dos miembros, tenemos x-8+8=15+8 → x=23. Fíjese en que, en esta ecuación, sumar 8 en los dos miembros resulta equivalente a trasladar el -8 del primer miembro al segundo miembro cambiándolo de signo: x - 8 = 15 → x = 15 + 8 De aquí la conocida regla de que el que está sumando en un miembro pasa restando al otro. Y lo mismo si estaba restando: pasa al otro miembro sumando. Ejemplos: Ecuación original Ecuación equivalente resultante 3x + 5 = 12 3x = 12 - 5 -2 + x2 = 9 x2 = 9 + 2 3x2 - 5x + 6 = 9 3x2 =9 - 6 + 5x Regla 2 Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por el mismo número (distinto de cero), la ecuación resultante es equivalente. Entonces, si dividimos entre 2 los dos miembros de la ecuación 4x2+6x-4=50 resulta la ecuación 2x2+3x-2=25, que es equivalente a la anterior ya que las dos tienen la misma solución, x=3. De lo anterior se deduce que si un número o una letra están multiplicando todo un miembro, puede pasar dividiendo al otro miembro, y si estaba dividiendo, puede pasar multiplicando. Ejemplos: Ecuación original Ecuación equivalente resultante x= 3x = 6 x2 = 2 4x = 5x - 9 x+8 =5 6 6 3 5x – 9 4 x + 8 = 6⋅5 Página 20 de 53 Actividades resueltas Pasamos el término independiente del primer miembro al segundo en cada ecuación (recuerde que el término independiente es el que no tiene letras). Ecuación original Ecuación equivalente resultante -2x3 + 3 = x + 9 -2x3 =x + 9 - 3 5x + 6x2 – 6 = 8x 5x + 6x2 = 8x + 6 7x2 - 5x +3 = - 4 7x2 - 5x = -4 -3 Pasamos al segundo miembro los números o letras que se señalan en rojo en cada ecuación: Ecuación original Ecuación equivalente resultante 5 (x2 -9) = 4 x2 − 9 = 4x2 = 5x - 9 x2 = 4 5 5x − 9 4 x +8 =5 6 x + 8 = 6⋅5 -6x2 + 45 = 3x - 5 −6 x 2 = 3 x − 5 − 45 3z3 + 4z2 – 6 = 8z - 9 3z 3 + 4 z 2 = 8z − 9 + 6 3.2.1 Resolución de ecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación de este tipo tenemos que juntar en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro los que no la tengan, es decir, los términos independientes, aplicando las reglas anteriores. Observe cómo se resuelven las ecuaciones siguientes. Ejemplo 1: La solución de esta ecuación es x = 6. Lo comprobamos sustituyendo 6 en las x de la ecuación: Primer miembro: 5 · 6 + 3 = 33 Segundo miembro: 2 · 6 + 21 = 33 Los dos miembros valen lo mismo, entonces la igualdad es verdadera. Página 21 de 53 Ejemplo 2: Ejemplo 3: En el caso de que haya paréntesis se efectúan antes estos: Observe que el -2 está multiplicando la x (no está restando), así que pasa dividiendo el 10 en el segundo miembro del último paso. 3.2.2 Resolución de ecuaciones con denominadores Cuando hay denominadores numéricos transformamos las fracciones en otras equivalentes que tengan todas igual denominador, usando el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Observe cómo se hace en el ejemplo siguiente. Ponemos denominador 12 a todas las fracciones y compensamos los numeradores (números en rojo): Multiplicamos los dos miembros por 12 para eliminar los denominadores: La solución de la ecuación es x = 6. Lo podemos comprobar sustituyendo x = 6 en la ecuación original: Primer miembro: Segundo miembro: 6 – 7 = -1 Los dos miembros dan igual, entonces la ecuación está bien resuelta. Página 22 de 53 Actividades resueltas Resolvemos las ecuaciones siguientes: Hallamos la solución de las ecuaciones. Página 23 de 53 3.2.3 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado En la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado conviene que siga estos pasos: Lea el problema detenidamente e identificando lo que se pregunta (lo que se quiere saber); si no entiende alguna palabra busque el significado en un diccionario o en páginas web. Póngale un nombre (x, por ejemplo) a la incógnita del problema (una edad, un número, un tiempo, el precio de algún objeto…). Traduzca a lenguaje algebraico la información del problema, escribiendo una ecuación. Resuelva la ecuación. Compruebe que el resultado obtenido sea válido y la solución del problema. Ejemplo: si de los euros que tengo gasto la mitad y le añado la décima parte de los que tenía al principio, me quedan 480 euros. ¿Cuántos euros tenía inicialmente? [1] La incógnita del problema es los euros que tenía al comienzo; le llamamos x a esta cantidad. – Euros que tenía inicialmente: x – Gasté la mitad de lo que tenía: x 2 – Añado la décima parte de lo que tenía al principio: + x 10 [2] Escribimos en lenguaje algebraico la información suministrada por el enunciado: Dinero que tenía - dinero que gasté + añadir décima parte = dinero que me queda: x x x − + = 480 2 10 [3] Resolvemos la ecuación: La solución es que tenía inicialmente 800 euros. Ahora comprobamos que esta sea la solución del problema: si gasto la mitad me quedan 400 euros, y si le añado la décima parte de 800 euros, que son 80 euros, entonces me quedarán 480 euros; la solución es correcta. En el caso de que tenga que resolver un problema sobre figuras geométricas, es muy conveniente que haga un dibujo de estas, señalando en él la información que se proporcione (longitud de los lados, alturas, perímetros, diámetros, ángulos…). Página 24 de 53 Actividades resueltas Una madre tiene 64 años de edad y su hija 32. ¿Cuántos años pasaron desde que la edad de la madre era el triple de la edad de la hija? Solución La incógnita es: x = años que pasaron. Edad de la madre hace x años: 64 – x; edad de la hija = 32 – x. La ecuación que hay que escribir corresponde a: Edad de la madre hace x años = 3 veces la edad de la hija hace x años; traducimos esto a lenguaje algebraico: 64 – x = 3 (32 – x). Resolvemos la ecuación: 64 – x = 96 – 3x → - x + 3x = 96 – 64 → 2x = 32 → x = 16. Hace 16 años la edad de la madre era el triple de la edad de la hija; ¿puede comprobarlo? Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será cuatro veces mayor que la edad del hijo? Solución Incógnita: x = años que tienen que pasar. Ecuación que hay que escribir: edad del padre dentro de x años = 4 multiplicado por la edad del hijo hace x años; 35 + x = 4 (5 + x) → 35 + x = 20 + 4x → x – 4x = 20 – 35 → -3x = -15 → x = -15/-3 = 5 Dentro de 5 años el padre tendrá 40 años y el hijo 10 años, entonces la edad del padre será cuatro veces mayor que la del hijo; la solución es correcta. La base de un rectángulo mide 20 cm y la altura 10 cm. ¿Cuántos centímetros debe aumentar la base para que el área aumente en 100 cm2? Le llamamos x a lo que debe aumentar la base del rectángulo. El área del rectángulo inicial es 200 cm2. El área del nuevo rectángulo es (20 + x).10, y esto tiene que dar 200 + 100 = 300 cm2 ; así que escribimos la ecuación: (20+x)10 = 300 Solución Resolviendo la ecuación, resulta x = 10 cm. Tenemos 15 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas tenemos de cada clase si en total son 6 euros? La incógnita es x = número de monedas de 20 céntimos. Entonces, 15 – x es el número de monedas de 50 céntimos. Recuerde que 20 céntimos = 0,20 euros y que 50 céntimos = 0,50 euros, así trabajamos todo en euros. La ecuación que tenemos que escribir es, simplemente: dinero total = 5 euros. Traducimos esto a lenguaje algebraico: 0, 20 x + 0,50(15 − x) = 6 → 0,20 x + 7,5 − 0,5 x = 6 → 0,2 x − 0,5x = 6 − 7,5 → −0,3x = −1,5 → x = −1.5 =5 −0.3 Tenemos cinco monedas de 20 céntimos y diez de 50 céntimos, lo cual efectivamente hace seis euros. Página 25 de 53 El lado de un cuadrado es tres metros mayor que el doble del lado de otro cuadrado. Si el perímetro del primer cuadrado es 48 metros mayor que el del segundo, ¿cuál es la longitud de los lados de ambos cuadrados? (Haga un dibujo con los dos cuadrados y escriba ene ellos la información suministrada por el texto del ejercicio). Sea x la longitud del lado del cuadrado pequeño. Entonces la longitud del lado del cuadrado grande es 2x + 3. El perímetro del cuadrado grande es 4(2x + 3) = 8x + 12, mientras que el perímetro del cuadrado pequeño es 4x. Escribimos la ecuación: Perímetro grande = perímetro pequeño + 48 8 x + 12 = 4 x + 48 → 8 x − 4 x = 48 − 12 → 4 x = 36 → x = 36 =9 4 Comprobamos el resultado. El lado pequeño mide 9, el lado grande mide 2. 9 + 3 = 21; perímetro del cuadrado pequeño = 36; perímetro del cuadrado grande = 84; efectivamente se cumple que 84 es igual a 36 + 48. Página 26 de 53 4. Resumen de contenidos El movimiento vibratorio u oscilatorio es el que tiene lugar en torno a una posición central, con igual desplazamiento a ambos lados de esta. Una onda es la transmisión de un movimiento oscilatorio o vibratorio y de energía, pero sin transporte de materia. Hay ondas que necesitan de materia para propagarse y otras, las ondas electromagnéticas, no precisan de esta sustancia, se transmiten en el vacío. El sonido se transmite en forma de ondas y necesita de un medio para propagarse. La luz se transmite en forma de onda electromagnética y, por tanto, se propaga en el vacío. Son fuentes sonoras todos los aparatos, instrumentos o elementos de la naturaleza que generan sonido. El sonido se propaga en línea recta y, por tanto, se refleja cuando encuentra una superficie que impide su paso. Dos fenómenos debidos a la reflexión del sonido son el eco y la reverberación. Los diferentes sonidos se caracterizan por su intensidad, su tono y su timbre. El uso de ultrasonidos tiene aplicaciones prácticas muy importantes en la vida actual, como el uso del sónar o de los ecógrafos La luz es una onda que se propaga en línea recta en todas las direcciones del espacio. También es energía radiante. La desviación de la luz se debe a los efectos de reflexión o refracción que sufren los rayos luminosos a lo largo de su trayectoria. Las fuentes de luz pueden ser naturales y artificiales. La luz blanca contiene todos los colores del arco iris. Una de las aplicaciones más útiles de la refracción son las lentes y los aparatos que las utilizan: lentes para los ojos, objetivos de las cámaras fotográficas, vídeo y televisión, telescopios, microscopios y prismáticos. Una de las aplicaciones más importantes de las lentes es la corrección de los defectos de visión del ojo, como la miopía y la hipermetropía. La contaminación acústica y la luminosa son fenómenos que deben evitarse en pro del ahorro de energía y el bienestar. Identidad. Es una igualdad que siempre es verdadera, cualquiera que sean los valores de las letras. Ejemplo: a + a = 2a Ecuación. Es una igualdad que solo es verdadera para algunos valores de las letras. Ejemplo: a + a = 8. Cada monomio es un término; el grado de la ecuación es el mayor de los exponentes de la incógnita. El término independiente es el que no contiene la incógnita. Solución de una ecuación. Los valores numéricos de la incógnita que hacen verdadera la ecuación. Resolución de problemas mediante ecuaciones. Las ecuaciones son útiles para resolver problemas. Hay que identificar cuál es la incógnita, escribir una ecuación con la condición del problema en lenguaje algebraico, resolver la ecuación, y, finalmente, comprobar que la solución encontrada cumple las condiciones impuestas en el texto del problema. Página 27 de 53 5. Actividades complementarias Ciencias de la naturaleza S16. En la Luna no hay aire. Estando allí, si una persona está a 1 m de distancia y nos habla, ¿oiremos lo que dice? Y si a 20 m explota una bomba, ¿lo oiremos? Explíquelo. S17. La mínima distancia a la que debe estar una pared para que el sonido se refleje y se produzca eco es de 17 metros. Calcule el tiempo necesario para que se perciba el eco, tomando como dato la velocidad del sonido en el aire de 340 m/s. S18. Si llevásemos una enorme campana a la Luna, ¿a qué distancia de ella podríamos escuchar las campanadas? S19. ¿Se propaga el sonido en todos los materiales? ¿Se propaga en un bloque de plastilina? S20. Para localizar sus presas, los murciélagos emiten ultrasonidos y reciben su eco. ¿Cómo saben a que distancia están las presas? S21. Las palabras de la izquierda están relacionadas con las de la derecha, pero están desordenadas. Relaciónelas por parejas colocando cada letra en el lugar adecuado: A Intensidad Sonido B Frecuencia Reflexión C Movimiento Decibelios D Eco Refracción E Espejo Energía F Lente Tono G Luz Reflexión Página 28 de 53 S22. ¿Qué sensación sonora produce un ruido de 120 dB? S23. Si cae un rayo y se escucha un trueno tras siete segundos, ¿a qué distancia está la tormenta? S24. ¿Cómo veríamos una habitación en la que todos los objetos absorbiesen completamente la luz? S25. Se dice que una persona que tenga muchas dificultades de audición puede oír el piano apoyando el extremo de un bastón en el piano y el otro extremo en su oreja o entre los dientes. ¿Podría ser cierto esto? ¿Por qué? S26. En los estudios de acústica (ciencia que estudia el sonido) se usa a veces una sala anecoide (o anecoica). ¿Qué es? ¿Cómo se consigue? S27. ¿Cuál es el índice de refracción del alcohol sabiendo que la luz se mueve a través de él con una velocidad de 220.588 km/s? S28. Calcule a qué distancia se encuentra el fondo de un valle si tardamos en oír nuestro eco 0,8 segundos. S29. Calcule a qué distancia está un banco de peces que localizó el sónar de un barco, sabiendo que el tiempo transcurrido desde la emisión del sonido hasta la recepción del eco es de 0,3 segundos (velocidad del sonido en el agua = 1500 m/s). S30. ¿Por qué se rompen los cristales próximos al lugar en que se produce una explosión? Matemáticas S31. Escriba una ecuación para cada enunciado: El triple de un número es igual a 36. La mitad de un número vale 50. El doble de un número más 20 es igual a 16. La cuarta parte de un número menos 22 da 12. La diferencia entre el cuádruple de un número y su mitad es 8. S32. Indique si estas igualdades algebraicas son verdaderas cuando x = 2: Página 29 de 53 S33. Diga cuáles de las identidades siguientes son igualdades y cuáles ecuaciones: S34. Resuelva las ecuaciones siguientes. S35. Resuelva las ecuaciones de primer grado: Página 30 de 53 S36. Si al triple de un número se le quitan 12, quedan 48. ¿Cuál es el número? S37. Si a cierta cantidad le resta su tercera parte y después le suma su quinta parte, tiene 13 como resultado. ¿Cuál es esa cantidad? S38. La suma de un número más el doble de ese número da 45. ¿Cuál es el número? S39. El perímetro de un rectángulo es 400 m. Calcule la longitud de sus lados, sabiendo que la base es 2 m mayor que la altura. S40. La suma de dos números consecutivos es 113. ¿Cuáles son esos números? S41. Un kilogramo de manzanas cuesta 0,50 euros más que uno de naranjas. Edelmira compró tres kilogramos de naranjas y uno de manzanas por 5,30 euros. ¿A cómo están las naranjas? ¿Y las manzanas? S42. Aurora tiene 200 euros de paga semanal y gasta 150 euros cada semana. Quiere comprar una pantalla de televisión LCD que cuesta 600 euros. ¿Cuántas semanas tardará en poder comprarla? S43. Por cada día de retraso en el pago de una sanción de tráfico hay que pagar tres euros de recarga. Xulio tiene una multa por adelantar en línea continua. ¿Cuántos días se atrasó en el pago si pagó 156 euros en vez de 105 euros? S44. Ana tiene 25 años menos que su padre, y 26 años más que su hijo; entre los tres suman 98 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? S45. Se necesitan 210 m de alambre para cercar una parcela rectangular que es el doble de largo que de ancho. ¿Cuánto miden los lados de la parcela? S46. Busque un número cuyo doble más cinco unidades sea igual a su triple menos diez unidades. S47. La suma de dos números es 100, y su diferencia es 44. ¿Cuáles son los dos números? S48. En la selva hay doble número de tigres que de leones. Si en total hay 159 animales, ¿cuántos leones y cuántos tigres hay? S49. La suma de tres números consecutivos es 141. Halle esos números. S50. Si a la cuarta parte de un cierto número se le restan tres unidades, se obtiene su quinta parte. ¿Cuál es ese número? S51. Un repollo cuesta diez céntimos más que una lechuga. Tres lechugas y cuatro repollos cuestan seis euros. ¿Cuánto cuesta un repollo? ¿Y una lechuga? S52. La suma de dos números es 50, y uno de ellos es la cuarta parte del otro. Determine cuáles son esos dos números. Página 31 de 53 S53. Tres personas A, B y C ganaron 3201 euros, que se van a repartir así: A llevará 200 euros más que B, y B 200 euros más que C. ¿Cuánto dinero lleva cada una? S54. En una clase los 3/7 del alumnado son mujeres y hay 16 hombres. ¿Cuántas mujeres hay? S55. Una persona hace la cuarta parte de su viaje en coche, la sexta parte en autobús, tres octavas partes en bicicleta y los últimos 40 km caminando. ¿Cuál es la longitud del viaje completo? ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en autobús? S56. Xaquín compró dos pantalones y tres camisas, y pagó 195 euros. Cada pantalón cuesta vez y media lo que cuesta una camisa. Calcule el precio de un pantalón y el de una camisa. S57. Reparta 360 euros entre tres personas, de modo que la primera reciba el triple que la segunda, y esta el doble que la tercera. S58. Luís se entrena aumentando el recorrido, de modo que cada día camina 1 km más que el día anterior. En 7 días recorrió un total de 42 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió el último día? Página 32 de 53 6. Ejercicios de autoevaluación 1. Clasifique los fenómenos siguientes como ondulatorios o no ondulatorios: El movimiento de un balón de fútbol. El sonido de un violín. La luz procedente de una naranja. El movimiento de un columpio. 2. Cuando la luz del Sol llega a la piel de una persona: Se absorbe una parte de la luz. Se refleja una parte de la luz. Se refracta una parte de la luz. Se absorbe toda la luz. 3. La reflexión especular y la reflexión difusa se distinguen: En la dirección de los rayos de luz incidentes. En la dirección de los rayos reflejados. En la dirección de los rayos refractados. No se distinguen en nada, es el mismo fenómeno. 4. El funcionamiento de un radar se basa: En la reflexión de las ondas sonoras. En la reflexión de las ondas electromagnéticas En la refracción de las ondas sonoras. En la refracción de las ondas electromagnéticas. 5. La luz reflejada por una hoja de papel que vemos blanca: Contiene todos los colores visibles. Solo contiene luz de una única frecuencia. Proviene de una refracción difusa (no especular). Todas las respuestas anteriores son falsas. Página 33 de 53 6. La zona del ojo donde son desviados los rayos de luz es: La retina. El cristalino. La córnea. El nervio óptico. 7. Si tocamos una guitarra en la Luna: No oiremos nada porque no hay aire. Si tocamos ligeramente con el dedo la caja de madera de la guitarra notaremos que vibra. Si la tocamos ligeramente no notaremos que vibra porque en la Luna no hay aire. 8. Respecto de las cualidades del sonido: El timbre está relacionado con la intensidad de la onda. El tono está relacionado con la longitud de onda. El tono está relacionado con la frecuencia de la onda. Los decibelios miden la intensidad de la onda sonora. 9. La luz se mueve por el aire con una velocidad aproximada de: 340 m/s. 320 m/s. 340 km/h. 300.000 km/h. 300.000 km/s. 10. La solución de la ecuación x x–6 –3= + 6 – x es: 2 5 x = -6 x=6 x = -2 x=0 Página 34 de 53 11. Los valores x1 = -2 y x2 = 5 son soluciones de la ecuación: x2 + 2x - 5 = 0 x2 - 3x - 10 = 0 x2 - 2x + 5 = 0 x2 + 3x - 10 = 0 12. La solución de la ecuación x+4 x – 1 = – x es: 5 2 2/7 7/2 -7 -2 13. Un padre tiene el doble de edad que su hija. Dentro de 10 años la suma de las edades de los dos será de 80 años. La edad de la hija hoy es de: 10 años. 15 años. 20 años. 30 años. 14. Yo gano el doble que Xiana, y esta, vez y media más que Antía. Entre los tres ganamos 2.200 euros. El sueldo de Antía es de: 1.200 euros. 600 euros. 400 euros. 2.200 euros. Página 35 de 53 7. Solucionarios 7.1 Soluciones de las actividades propuestas S1. Una onda es la transmisión de un movimiento oscilatorio o vibratorio y de energía, sin transporte de materia. S2. Las ondas transportan energía; así, por ejemplo, la onda expansiva de un estampido hace que se rompan cristales alrededor, lo que quiere decir que la onda del estampido tiene energía cinética. Las ondas no transportan materia. S3. Las ondas mecánicas necesitan de una sustancia por la que propagarse y avanzar (agua, aire, cuerda, etc.) y las ondas electromagnéticas para avanzar no precisan una sustancia material, pues pueden transmitirse en el vacío. S4. En las ondas transversales las partículas de la sustancia se mueven en dirección perpendicular a la dirección del avance de la onda, por ejemplo las ondas que se producen al caer una piedra en el agua de un estanque. En las ondas longitudinales, los puntos del medio que vibra se mueven en la misma dirección que la del avance de la onda, por ejemplo un resorte que se comprime y estira varias veces, en el que cuando la onda llega a un punto, este se mueve hacia adelante y hacia atrás. S5. Tanto la luz como el sonido son fenómenos que se propagan mediante ondas. Las ondas del sonido requieren de un medio material para propagarse, como el aire o el agua. Sin embargo, las ondas de la luz (electromagnéticas) pueden propagarse tanto en un medio material como en el vacío. S6. Que exista una fuente sonora natural o artificial que genere el sonido, y que esta fuente sonora que produce las vibraciones no se encuentre en el vacío. S7. Fuentes sonoras naturales: la voz humana, el canto de un pájaro, el ruido de la tormenta. Fuentes sonoras artificiales: el timbre de la puerta, las notas de un instrumento musical, un altavoz. Página 36 de 53 S8. El sonido es la propagación de vibraciones y energía que se transmite de modo longitudinal a través de las moléculas de un medio como puede ser el aire, desde la fuente de sonido hasta el receptor. S9. Sabemos que el sonido en el CO2 va a una velocidad de 260m/s. Si aplicamos la ecuación y= v.t, tenemos: y = 260.10 = 2600m. S10. Para que las partículas del aire, del agua… vibren y transmitan el sonido, deben moverse. Para eso reciben y transmiten energía cinética, que es la energía asociada al movimiento. La rotura de cristales producida por una explosión muestra que las ondas sonoras tienen energía. S11. El eco: efecto por el que oímos dos o más veces el mismo sonido desde el punto donde se produjo. Para producirse el sonido tiene que reflejarse en un obstáculo situado a una distancia mínima de 17 metros del emisor. La reverberación: efecto que se produce cuando, entre el emisor y el obstáculo donde se refleja el sonido, hay menos de 17 m de distancia. El sonido emitido se mezcla con el reflejado y se produce un resultado sonoro incómodo, que es la reverberación. S12. El timbre, la intensidad y el tono de cada uno de estos sonidos. S13. Son ondas sonoras cuya frecuencia está por encima del espectro audible del oído humano. Se emplean en aparatos como el sónar y el ecógrafo. S14. Sabemos que: c = 300.000 km/s; entonces la velocidad será v = 300.000/1,40; v = 215.714,28 km/s. S15. Se produce cuando los rayos de luz encuentran una superficie opaca (no solo en los espejos) que refleja la luz y la devuelve al medio del que procede. Página 37 de 53 7.2 Soluciones de las actividades complementarias Ciencias de la naturaleza S16. No oiremos ni un sonido ni otro, ya que el sonido no se puede propagar en el vacío. S17. Sabemos que v = y/t y que t = y/v. Para percibir el eco, el sonido tiene que hacer un recorrido de 17 m de ida y otros 17 m de vuelta hasta el emisor, por lo que el espacio total será de 34 m, y así tenemos: t = 34 / 340 = 0,1 s. S18. No podríamos escuchar las campanadas a ninguna distancia, ya que el sonido no se transmite en el vacío. S19. El sonido viaja por el aire a 340 m/s. En medios materiales más densos que el aire alcanza velocidades superiores. En los medios sólidos es donde el sonido alcanza mayor velocidad, ya que sus partículas están más próximas que en los líquidos y en los gases, esta proximidad de las partículas facilita la transmisión de unas a otras. En los materiales elásticos los átomos están relativamente juntos y responden con prontitud a los movimientos de los demás, por lo que transmiten energía con pocas pérdidas. Este es el caso de la plastilina. S20. Porque emiten ultrasonidos que se reflejan en la presa y vuelven a ser captados por el murciélago, que así calcula la distancia a la que está la presa. S21. A Intensidad G Sonido B Frecuencia D Reflexión C Movimiento A Decibelios D Eco F Refracción E Espejo C energía F Lente B Tono G Luz E Reflexión Página 38 de 53 S22. El umbral del dolor corresponde a una intensidad de 120 dB. S23. Sabemos que y = v.t; entonces y = 340 m/s. 7 s = 2.380 m. S24. Negra. S25. Es cierto, ya que las vibraciones sonoras del piano pasan a las partículas del bastón y de ellas a las partículas óseas de la persona. Las vibraciones producidas por la fuente sonora (en este caso el piano) se transmiten hasta llegar a la persona. S26. Una cámara anecoica o anecoide es una sala especialmente diseñada para absorber el sonido que incide sobre las paredes, el suelo y el techo de la cámara, anulando los efectos del eco y la reverberación del sonido. La cámara anecoide se aísla del exterior con unas paredes recubiertas con cuñas en forma de pirámide con la base apoyada en la pared, construidas con materiales que absorben el sonido. Entre estos materiales están la fibra de vidrio y la espuma. S27. Sabemos que n = c/v; entonces, n = 300.000/220.558 = 1,36. S28. Sabemos que y = v.t; entonces, y = 340.0,8 = 272 m. 272m es la distancia de ida y vuelta que recorre el sonido; por tanto, la distancia al fondo del valle es 272/2 = 186 m. S29. Sabemos que y = v.t; entonces, y = 1500.0,3 = 450 m, que es la distancia de ida y vuelta que recorre el sonido; por tanto la distancia al fondo del mar es 450/2 = 225 m. S30. Debido a la energía que transportan las ondas del sonido, energía cinética, que es la asociada al movimiento. Página 39 de 53 Matemáticas S31. a) 3x = 36 b) x = 50 2 c) 2x + 20 =16 d) x − 22 = 12 4 y) 4 x − x =8 2 S32. S33. Antes efectuamos las operaciones en cada miembro por separado y vemos si dan exactamente igual o no: Página 40 de 53 S34. Página 41 de 53 S35. Página 42 de 53 S36. 3x − 12 = 48 → 3x = 12 + 48 → 3 x = 60 → x = 60 = 20 3 O número pedido é 20. S37. S38. x + 2 x = 45 → 3x = 45 → x = 45 = 15 3 O número pedido é 15. S39. Sea x la altura del rectángulo. La base mide entonces x + 2. Entonces el perímetro mide x + x + (x+2) + (x+2) = 4x + 4, y esto tiene que dar 400; entonces: 4 x + 4 = 400 → 4 x = 400 − 4 → 4 x = 396 → x = 396 = 99 metros 4 Los lados miden 99 m y 101 m, respectivamente. S40. Consecutivos significa “seguidos”, como 13 y 14, por ejemplo. Si uno de los números es x, el siguiente es x + 1; por tanto: S41. Un kilogramo de manzanas cuesta 0.50 euros más que uno de naranjas. Edelmira compró 3 kilogramos de naranjas y 1 de manzanas por 5.30 euros. ¿A cómo están las naranjas? ¿Y las manzanas? Sea x el precio de un kilogramo de naranjas; un kilogramo de manzanas cuesta entonces x + 0,50. El importe de la compra es: 3 x + 1( x + 0,50) = 5,30 euros → 3 x + x + 0,50 = 5,30 → 4 x = 5,30 − 0,5 → 4 x = 4,80 → x = 4,80 = 1, 20 euros 4 Página 43 de 53 Las naranjas cuestan 1,20 euros cada kilogramo, y las manzanas cuestan 1,70 euros cada kilogramo. Comprobación: 3 kg de naranjas cuestan: 3·1,20 = 3,60 EUR1 kg de manzanas cuesta: 1·1,70 = 1,70 EUR. Total compra = 5,30 EUR S42. Cada semana ahorra 50 euros. Sea x el número de semanas que tiene que ahorrar; entonces: 50 € ⋅ x = 600 → x = 600 = 12 semanas 50 S43. La multa son 105 euros. Sea x el número de días de atraso en pagar la multa; el recargo es 3·x, entonces el importe total de la multa será 105+3x: 105 + 3 x = 156 → 3 x = 156 − 105 → 3 x = 51 → x = 51 = 17 días 3 S44. S45. El perímetro de la parcela es la suma de sus cuatro lados: x +2x +x +2x = 6x, y esto tiene que ser 210 metros de alambre; por tanto: Los lados miden 35 m y 70 m respectivamente. S46. Número buscado: x. Entonces: Página 44 de 53 2 x + 5 = 3 x − 10 → 2 x − 3 x = −10 − 5 → − x = −15 → x = −15 = 15 −1 S47. Si un número es x, el otro tiene que ser 100–x, ya que entre los dos suman 100; ahora escribimos en lenguaje algebraico que su diferencia es 44: x − (100 − x ) = 44 → x − 100 + x = 44 → 2 x = 44 + 100 → x = 144 = 72 2 Un número es 72 y el otro es 28. S48. Número de leones: x; número de tigres: 2x (hay el doble). Escribimos la ecuación: 2 x + x = 159 → 3x = 159 → x = 159 = 53. 3 Hai 53 leóns e 106 tigres. S49. Los tres números consecutivos (seguidos) son x, x+1 y x+2. La suma de los tres números vale 141, entonces: x + ( x + 1) + ( x + 2) = 141 → 3 x + 3 = 141 → 3 x = 141 − 3 → 138 x= = 46. Os números son 46, 47 e 48. 3 S50. S51. Precio de una lechuga: x; precio de un repollo: x+0,10 (recuerde que 10 céntimos de euro son 0,10 euros). Tres lechugas más cuatro repollos son seis euros; escribimos esto en lenguaje algebraico y resolvemos la ecuación: 3 x + 4( x + 0,10) = 6 → 3 x + 4 x + 0, 40 = 6 → 7 x = 6 − 0, 40 → 7 x = 5,60 → x = 5,60 = 0,80 que son 80 céntimos de euro. 7 La lechuga cuesta 80 céntimos y el repollo, 90 céntimos. S52. Un número es x; el otro es x/4. La suma de los dos números es 50; entonces: Página 45 de 53 Un número es 40; el otro es 10 (40:10) S53. Dinero que lleva C: x Dinero que lleva B = x+200 Dinero que lleva A = 200 + (x+200) La suma del dinero es 3.201 euros, con esto escribimos una ecuación: x + ( x + 200) + (200 + x + 200) = 3201 → 3 x + 600 = 3201 → 2601 3 x = 3201 − 600 → 3 x = 2601 → x = = 867 € 3 C leva 867 euros, B leva 1067 euros e A gaña 1267 euros. S54. Número total de alumnos: x. Hombres + mujeres = x, por lo tanto: 3 7 ⋅ 16 3 x 7 x mcm eliminamos → + = → 112 + 3 x = 7 x → x = x denominadores 7 7 7 7 −112 3 x − 7 x = −112 → − 4 x = −112 → x = = 28 −4 3 3 ⋅ 28 84 O número de mulleres é ⋅ 28 = = = 12 mulleres 7 7 7 16 + S55. Longitud completa del viaje = x x x 3 6 x 4 x 9 x 24 ⋅ 40 24 x m.c.m. (4, 6, 8) = 24 eliminamos + + x + 40 = x → + + + = → denominadores 4 6 8 24 24 24 24 24 6 x + 4 x + 9 x + 960 = 24 x → 6 x + 4 x + 9 x − 24 x = −960 → − 5 x = −960 → x= −960 = 192 km. −5 S56. Coste de una camisa: x; coste de un pantalón: 1,5x. 2 pantalones más 3 camisas = 195 euros; 2 ⋅ 1,5 x + 3x = 195 → 3x + 3x = 195 → 6 x = 195 → x = Unha camisa custa 32,5 € e un pantalón 32,5 ⋅ 1,5 = 48,75 €. Página 46 de 53 195 = 32,5 € 6 S57. Número de euros que recibe la tercera persona: x Número de euros que recibe la segunda persona: 2x Número de euros que recibe la primera persona: 3 ·(2x) = 6x 360 = 40 9 A terceira persoa percibe 40 euros, a segunda 80 euros e a primeira 240 €. x + 2 x + 6 x = 360 → 9 x = 360 → x = S58. Días Kilómetros recorridos 1º X 2º X+1 3º X+1+1 =X+2 4º X+3 5º X+4 6º X+5 7º X+6 Total 42 Entonces: Página 47 de 53 7.3 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación 1. Clasifique los fenómenos siguientes como ondulatorios o no ondulatorios: [NO] El movimiento de un balón de fútbol. [SÍ] El sonido de un violín. [SÍ] La luz procedente de una naranja. [SÍ] El movimiento de un columpio. 2. Cuando la luz del Sol llega a la piel de una persona: Se absorbe una parte de la luz. Se refleja una parte de la luz. Se refracta una parte de la luz Se absorbe toda la luz 3. La reflexión especular y la reflexión difusa se distingue: En la direcciones de los rayos de luz incidentes. En la dirección de los rayos reflejados En la dirección de los rayos refractados. No se distinguen en nada, es el mismo fenómeno. 4. El funcionamiento de un radar se basa: En la reflexión de las ondas sonoras. En la reflexión de las ondas electromagnéticas En la refracción de las ondas sonoras. En la refracción de las ondas electromagnéticas. 5. La luz reflejada por una hoja de papel que vemos blanca: Contiene todos los colores visibles. Solo contiene luz de una única frecuencia. Proviene de una refracción difusa (no especular). Todas las respuestas anteriores son falsas. Página 48 de 53 6. La zona del ojo donde son desviados los rayos de luz es: La retina. El cristalino. La córnea. El nervio óptico. 7. Si tocamos una guitarra en la Luna: No oiremos nada porque no hay aire. Si tocamos ligeramente con el dedo la caja de madera de la guitarra notaremos que vibra. Si la tocamos ligeramente no notaremos que vibra porque en la luna no hay aire. 8. Respecto de las cualidades del sonido: El timbre está relacionado con la intensidad de la onda. El tono está relacionado con la longitud de onda. El tono está relacionado con la frecuencia de la onda. Los decibelios miden la intensidad de la onda sonora. 9. La luz se mueve por el aire con una velocidad aproximada de: 340 m/s. 320 m/s. 340 km/h. 300.000 km/h. 300.000 km/s. 10. La solución de la ecuación x x–6 –3= + 6 – x es: 2 5 x = -6 x=6 x = -2 x=0 Página 49 de 53 11. Los valores x1 = -2 y x2 = 5 son soluciones de la ecuación: x2 + 2x - 5 = 0 x2 - 3x - 10 = 0 x2 - 2x + 5 = 0 x2 + 3x - 10 = 0 12. La solución de la ecuación x+4 x – 1 = – x es: 5 2 2/7 7/2 -7 -2 13. Un padre tiene el doble de edad que su hija. Dentro de 10 años la suma de las edades de los dos será de 80 años. La edad de la hija hoy es de: 10 años. 15 años. 20 años. 30 años. 14. Yo gano el doble que Xiana, y esta, vez y media más que Antía. Entre los tres ganamos 2.200 euros. El sueldo de Antía es de: 1.200 euros. 600 euros. 400 euros. 2.200 euros. Página 50 de 53 8. Glosario A Amplitud de onda Máxima distancia de separación de las partículas de la sustancia por la que avanza la onda mecánica medida desde su posición central de equilibrio. C Convergente (lente) En una lente convergente los rayos refractados tienden a juntarse, de modo que se cruzan en un punto llamado foco imagen. Las lentes convergentes son más largas en el centro que en los extremos. Unidad de medida de la intensidad subjetiva del sonido. Se calcula con la expresión Decibelio dB = 10log I , 10−12 donde I es la intensidad de la onda en W/m2. D Difusa (reflexión) Reflexión que se produce en una superficie rugosa (no lisa), de modo que los rayos reflejados no son paralelos, extendiéndose en todas las direcciones. Divergente (lente) En este tipo de lente los rayos emergentes tienden a separarse y no se cruzan en ningún punto . Las lentes divergentes son más estrechas en el centro que en los extremos. Eco Reflexión del sonido en un objeto lo suficientemente distante como para que nuestro oído lo perciba como diferente del sonido original. Especular (reflexión) Reflexión que se produce en una superficie muy lisa, de modo que, si los rayos incidentes son paralelos, los reflejados también son paralelos entre sí. Foco Lugar donde se produce la onda. Las ondas avanzan apartándose del foco. Frecuencia Número de veces que se repite un suceso cada segundo de tiempo. En las ondas, la frecuencia es el número de oscilaciones completas que se producen en un segundo. Se mide en hercios (Hz). Hercio (Hz) Unidad de frecuencia en el Sistema Internacional de Unidades. Un hercio corresponde a una frecuencia de una oscilación cada segundo. E F H Es el cociente entre las velocidades de una onda en dos sustancias o medios diferentes: n12 = Índice de refracción I v1 . v2 En el caso de la luz, el índice de refracción absoluto es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (300 000 km/s) y la velocidad de la luz en una sustancia: c 300000 km/s . n= = v v Intensidad sonora Energía transportada por el sonido cada segundo que atraviesa una superficie de un metro cuadrado.Se mide en W/m2 (vatios por metro cuadrado). La intensidad sonora subjetiva (la que percibe nuestro cerebro) se mide en decibelios. L Longitud de onda Distancia que avanza la onda mientras que efectúa una oscilación. También es la distancia entre dos máximos o dos mínimos de la onda consecutivos. O Onda electromagnética Onda producida por la oscilación de un campo eléctrico y uno magnético asocidados. No necesitan ningún medio material para poder propagarse. Página 51 de 53 Onda longitudinal En este tipo de ondas las partículas del medio se mueven adelante y atrás en la misma dirección que la del avance de la onda. Onda mecánica Onda producida por la oscilación de partículas con masa. Onda sonora Onda mecánica longitudinal. Los humanos percibimos (usualmente) las de frecuencias comprendidas entre 20 y 20 000 Hz. Onda transversal En este tipo de onda las partículas de la sustancia oscilan en dirección perpendicular a la del avance de la onda. Reflexión Cambio brusco en la dirección y en el sentido de avance de una onda que se produce cuando incide en la superficie de un cuerpo. La onda reflejada se propaga por el mismo medio que la onda incidente original. Refracción Cambio brusco en la dirección de avance de una onda cuando atraviesa la superficie de separación de dos medios diferentes. Está originado por la diferente velocidad de la onda en las dos sustancias. Reverberación Reflexión del sonido en un objeto próximo de modo que nuestro oído no percibe como distintos el sonido original y el reflejado. Timbre Cualidad del sonido relacionada con la forma particular de la onda sonora, como consecuencia de la superposición de ondas armónicas de diferentes frecuencias. Tono Cualidad del sonido relacionadoa con la frecuencia del sonido. Frecuencias diferentes tienen tonos distintos. Velocidad de onda Velocidad con la que la onda se propaga por el medio. O R T V Página 52 de 53 9. Bibliografía y recursos Bibliografía Ensinanza a distancia semipresencial. Ámbito científico-tecnolóxico. Módulo II. Ed. Xunta de Galicia (2009). Unidades 3 y 4. Ámbito Científico Tecnológico. Educación Secundaria para Personas Adultas. Nivel I. Ed. Safel (2010). Páx. 138, 144 y 218 a 221. Bios. Ciencias de la Naturaleza 2. Ed. Vicens Vives (2009). Páxinas 142 a 148 y 154 a 160. Sistema Física y Química. Ciencias de la Naturaleza. Educación Secundaria de Adultos. Ed. MAD, Colección Eduforma (2009). Páxinas 88 a 94. Diversos libros de ciencias de la naturaleza de 2º ESO. Matemáticas 2º ESO. Ed. Xerais (2008). Páginas 148 a 150. Matemáticas 2º ESO. Ed. Anaya (2010). Páginas 125 a 137. Enlaces de Internet [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html] [http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/ones/appletsol.htm] [http://www.fisicanet.com.ar/fisica/sonido/ap03_sonido.php] [http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ecograf%C3%ADas.12_semanas.jpg] [http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/y_y.html] [http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm] [http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Resolucion_geom etrica_ecuaciones/ecuacion.htm] Página 53 de 53
