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Tema 5. Análisis dinámico con dos grados de libertad.
Objetivo
Obtener las dos componentes de la posición, velocidad y aceleración de un punto.
Representar gráficamente esas magnitudes de diferentes maneras.
Contenidos
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Trayectorias
Componentes de la velocidad y de la aceleración
Fundamento
Como continuación del tema anterior, analizaremos el movimiento en cada uno de los
ejes del plano de la película.
Experimentos
Tomaremos como ejemplo el experimento de “Choque inelástico: caída sobre una
superficie inclinada” que se encuentra en la página 19 del documento fichas.pdf.
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Procedimiento
Tomar las posiciones desde la película
1. Iniciar la aplicación Video Point 2.5.
2. Abrir el archivo “Open Movie”. Se localiza la carpeta fisica_1\pelota y
se abre el archivo incl_1.avi.
3. Escoger el número de objetos a localizar en la imagen: 1.
4. Tomar la posición del centro de la pelota en cada fotograma.
5. Llevar el origen de coordenadas al borde del plano inclinado.
6. Girar los ejes hasta conseguir que el eje x sea paralelo al plano con el que choca
la bola.
7. Ajustar la escala utilizando dos puntos lo más separados posible de una de las
reglas que aparecen en el fondo.
8. Pinchando en la ventana “Coordinate Systems” sobre la primera columna de la
fila correspondiente a la posición de la bola “Point S1” se abre una ventana con
las propiedades de la serie donde puede introducirse la masa, en esta caso 13.8 g
(ver archivo fisica_1\pelota\pelota.avi).
9. Salvar los datos.
Representar gráficamente la trayectoria
1. Se selecciona “New Graph” dentro del menú “View”, o simplemente Ctrl-G.
Para el eje horizontal se selecciona “Point S1” en lugar del tiempo y se elige la
componente x de la posición. En el eje vertical se elige la coordenada y de la
posición.
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Aparecerá la trayectoria de la pelota que tiene dos ramas. La primera es una línea recta
y corresponde al movimiento de caída libre. La segunda es una parábola que
corresponde al movimiento después del choque con el plano inclinado.
Los ocho primeros puntos pertenecen claramente a la recta y los cuatro últimos a la
parábola. La duda surge en el punto del noveno fotograma. Si uno se fija en la distancia
entre los puntos del tramo recto (que crece con el tiempo) se ve que la distancia 7-8 es
mayor que la 8-9 por lo que el punto 9 está después de chocar con la mesa.
Determinar la ecuación de la trayectoria
Para determinar las trayectorias se puede recurrir al método de superponer un modelo o
al más exacto del ajuste por mínimos cuadrados.
Si utilizamos el modelo pinchamos el botón
y elegimos una ecuación lineal para la
recta. Introducimos los valores de A y B y los vamos afinando para que la recta se
aproxime lo más posible a los puntos.
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Para la parábola podemos elegir una función cuadrática o elegir la opción
“Enter a Equation”. Si elegimos esta última podremos introducir la ecuación de la
parábola en la forma siguiente
y = y0 + a ( x − x0 )
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que es más fácil de tantear.
Si queremos realizar los ajustes por mínimos cuadrados pinchamos el botón . Para
ajustar la primera rama de la trayectoria eliminamos de la tabla (marcar y tecla “Supr”)
los 5 últimos puntos (previamente habremos salvado el análisis con todos los datos).
Para ajustar la segunda rama cerramos la ventana con la película Ctrl-W sin guardar los
cambios y volvemos a recuperar los datos con “Open Saved Data”. Eliminamos los 8
primeros y ajustamos a una parábola.
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Determinar intersección de dos trayectorias
En este caso tenemos las trayectoria divida en dos tramos una recta antes del choque y
una parábola después. Las ecuaciones de esas dos curvas, obtenidas del ajuste por
mínimos cuadrados, son:
yrecta = 2.27 x − 0.355
y parabola = −9.11x 2 − 0.386 x + 0.321
Restándolas se obtiene una ecuación de segundo grado con dos soluciones, una de ellas
corresponde a tiempos negativos, y la otra es el punto de intersección x0=0.163 m,
y0=0.015 m.
Otra forma de determinar el punto de intersección es representar la componente y de la
posición frente al tiempo. En el momento que rebota se produce un cambio de
pendiente.
Ajustando cada rama a una parábola se obtienen las ecuaciones:
yantes = −4.60t 2 − 0.00525t + 0.458
ydespues = −4.59t 2 + 5.52t − 1.27
La diferencia conduce a una ecuación de segundo grado con una de las raíces negativas,
la otra es el tiempo en el choca la bola con la mesa, t0 = 0.3126 s. Sustituyendo en
cualquiera de las anteriores se obtiene y0 = 0.007 m.
Para obtener la coordenada x del punto de intersección debemos ajustar los valores de la
componente x de la posición frente al tiempo a otra dos parábolas:
xantes = −1.805t 2 − 0.0680t + 0.360
xdespues = −1.930t 2 + 0.592t + 0.167
que se cortan para t0 = 0.3110 s en la posición x0 = 0.164 m.
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La diferencia de las coordenadas del punto de intersección obtenidas entre los dos
métodos es de unos 8 mm que no es demasiado grande si se compara con el tamaño de
las trayectorias.
Componentes de la velocidad y la aceleración
El programa VideoPoint® calcula las componentes de la velocidad y la aceleración a
partir de las coordenadas (x, y) de cada punto y el vector de tiempos. También calcula
las componentes de la cantidad de movimiento y de la fuerza multiplicando las
cantidades anteriores por la masa del punto. Para todas estas magnitudes y para la
posición también es posible obtener el valor del módulo. Sin embargo, el cálculo
solamente se lleva a cabo (y se muestra en la tabla) cuando los valores son necesarios
para realizar un gráfico.
Como ejemplo obtendremos las hodógrafas 1 de velocidades y aceleraciones de un
péndulo.
1. Abrir el archivo fisica_1\oscila\pendulo2.avi.
2. Escoger el número de objetos a localizar en la imagen: 1.
3. Tomar la posición de un punto del péndulo, puede ser el tornillo negro que
sujeta la masa dorada.
4. Llevar el origen de coordenadas al tornillo que se encuentra en el eje de giro.
5. Girar los ejes hasta conseguir que el eje y sea vertical y hacia abajo.
6. Ajustar el número de fotogramas por segundo a 12.5.
7. Salvar los datos.
8. Realizar el gráfico de la hodógrafa. Para ello se selecciona en el eje horizontal la
componente x de la velocidad de “Position S1”. En el eje vertical se elige la
componente y de la velocidad. Se obtienen dos circunferencias, una para cada
uno de los sentidos con que se recorre la trayectoria.
1
Hodógrafa, lugar geométrico de los extremos de los vectores velocidad de un punto que recorre una
trayectoria cualquiera, trasladados a un origen común.
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9. Realizar el gráfico de la hodógrafa de aceleraciones. Para ello se selecciona en el
eje horizontal la componente x de la aceleración y en el vertical la componente
y. Se obtiene una circunferencia.
10. Dibujar la órbita en el espacio de las fases. Para ello se selecciona en el eje
horizontal la posición angular y en el vertical la velocidad angular. Si el
movimiento fuese una oscilación armónica se obtendría una elipse perfecta. En
este caso es un sistema no lineal en el que la rigidez decrece con la deformación
y se obtiene la característica curva con forma de ojo.
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Ejercicios
Para los archivos fisica_1\pelota\incl_N.avi con N=1 y 5
1. Ajustar los valores de x e y, correspondientes a la bajada y a la subida, a una
parábola utilizando el método de mínimos cuadrados.
2. Con los coeficientes de las parábolas determinar el punto de intersección de las
mismas y las componentes de las velocidades antes y después del choque.
3. Determinar el ángulo que forma la pelota con el plano inclinado antes θ y
después del choque φ.
4. Determinar las energías cinéticas antes y después del choque y calcular la
energía cedida en la colisión (componente normal) y las pérdidas por rozamiento
(tangencial).
5. Calcular la energía cinética de rotación adquirida por la bola.
6. Determinar el valor del coeficiente de restitución dado por la expresión:
ε= -vyd/vya
Comparar los valores del coeficiente para el primer archivo (bola de goma) con
el del segundo (bola de acero).
Para el archivo fisica_1\pelota\mesa2.avi. La película contiene la trayectoria
de una bola de goma súper elástica que rebota entre dos mesas horizontales y debido al
efecto que adquiere en los rebotes es capaz de invertir su movimiento y salir por donde
entra.
1. Ajustar los valores de x e y, correspondientes a los cuatro tramos de la
trayectoria la bajada y a la subida, a una parábola utilizando el método de
mínimos cuadrados.
2. Con los coeficientes de las parábolas determinar el punto de intersección de las
mismas y las componentes de las velocidades antes y después del choque.
3. Determinar las energías cinéticas antes y después del choque y calcular la
energía cinética de traslación que se pierde en cada colisión. (Esa energía se
transforma en rotación que es la que finalmente logra invertir el movimiento).
4. Comprobar que a la salida la energía casi toma el valor inicial.
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