Tema 2: Leyes del Movimento

Tema 2: Leyes del Movimento
Introducción
Empezamos estudiando Mecánica: estudio de los movimientos de los cuerpos materiales y sus
causas, es decir las fuerzas.
La Cinemática, parte de la mecánica que describe el movimiento.
Continuaremos con la Dinámica que relaciona el movimiento con sus causas ⇒ el concepto
de fuerza.
Vamos a considerar los cuerpos materiales idealizados como partículas puntuales.
Movimiento de los cuerpos (cinemática)
Movimiento en 1, 2 y 3 dimensiones
El movimiento más simple que podemos describir: un cuerpo (partícula puntual) moviéndose
a lo largo de una línea recta.
Para estudiar este movimiento y otros más complejos (movimiento en el plano y en el espacio)
necesitamos introducir los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración. y representan
como veremos magnitudes vectoriales. .
1. Vector de posición de una partícula ~r = x~i + y~j + z~k. Define el punto exacto del espacio en el
que está situado una partícula en un instante de tiempo t ⇒ movimiento a lo largo del eje X
se tiene ~r = x~i.
37
r
z
k
O
x
j
y
k
j
i
x
O
i
r
2. Vector desplazamiento de la partícula ∆~r. Si en t1 partícula en ~r1 y en t2 > t1 la partícula en
~r2 ⇒ vector desplazamiento durante ∆t = t2 − t1
∆~r = ~r2 − ~r1
∆s
k
O
i
∆r
r1
∆ s=∆x
j
r2=r1+ ∆r
k
j
O
i
r1
r2=r1+ ∆r
∆~r es la resta de dos vectores y es un vector secante a la trayectoria del
movimiento. En el caso de movimiento a lo largo del eje X (movimiento rectilíneo), se
tiene ~r1 = x1~i y ~r2 = x2~i, de donde
∆~r = (x2 − x1)~i ≡ ∆x~i
38
En general el espacio recorrido a lo largo de la trayectoria ∆s NO es igual al módulo del
vector desplazamiento |∆~r|. En el caso del movimiento rectilíneo SI ∆s = |∆~r| = |∆x|.
3. Velocidad media e instantánea ~vm e ~v :
Velocidad media de la partícula en ∆~r durante ∆t :
~vm ≡
∆~r
∆x~ ∆y~ ∆z ~
i+
j+
k
=
∆t
∆t
∆t
∆t
Donde hemos usado que ~i, ~j, ~k son constantes. ~vm es un vector que tiene la misma dirección
~ | = 1 |∆~r|. En el caso del
y sentido que ∆~r (secante a la trayectoria). Su módulo es |v
m
∆t
movimiento rectilíneo se tiene
∆x~
~vm =
i
∆t
∆s
∆r
r +∆r
r
k
O
i
vm
∆ s= ∆x
j
k
j
O
i
r
vm
r +∆r
⇒ La velocidad media depende de ∆t. Para evitar esto se define la velocidad instantánea ~v .
Se define la velocidad instantánea ~v como
dy
dz
∆~r
d~r
dx
=
= ~i + ~j + ~k = ~r˙
~v = lı́m
∆t→0 ∆t
dt
dt
dt
dt
39
(7)
Se tiene por tando que las componentes cartesianas de la velocidad son
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
vm
v
vz =
vm
uT
dz
dt
vm
∆r
~v es un vector tangente a la trayectoria del movimiento. Define la forma en el
vector desplazamiento varía (en módulo dirección y sentido) con el tiempo. En el caso
general, usando que ∆s → 0 cuando ∆t → 0 se tiene
∆~r ∆s
ds
∆s
∆~r
= lı́m
lı́m
=
~uT ≡ v ~uT
∆t→0 ∆t ∆s
∆t→0 ∆t ∆s→0 ∆s
dt
~v = lı́m
• ds/dt = v es el módulo de la velocidad instantánea o celeridad
• Hemos usado la definición general de vector ∆~r = |∆~r|~u∆~r y el hecho que cuando
~ ≈ ∆s y ~u∆~r ≈ ~uT (dándose la igualdad justo en el límite).
∆s → 0 se tiene que |∆r|
En el caso del movimiento rectilíneo a lo largo del eje X,
~v =
dx~ ds~
i = i =⇒ ~uT = ~i.
dt
dt
40
4. Aceleración media e instantánea, ~am y ~a.
En cada punto de la trayectoria ~v puede cambiar tanto de módulo como de dirección:
• El módulo cambiará si cambia la celeridad (que en definitiva no es más que el módulo).
• La dirección cambia debido a que ~v es tangente a la trayectoria y ésta, en general, no
es rectilínea. La dirección de ~v sólo es constante en el caso del mov. rectilíneo.
Definimos la aceleración como la magnitud física que mide el cambio del vector
velocidad con el tiempo. Al igual que la velocidad es una magnitud vectorial.
Aceleración media ~am : Si en t1 una partícula tiene ~v1 = ~v y t2 = t1 + ∆t la partícula tiene
~v2 = ~v + ∆~v (notad que es una suma de dos vectores) ⇒
∆~v
~am =
∆t
v
k
O
i
am
v + ∆v
j
a
k
j
v
v + ∆v
v + ∆v
O
i
v
a
∆v
• ~vm es un vector paralelo a ∆~v(ver dibujo) y como éste dependerá de ∆t.
~
~
• Movimiento rectilíneo⇒ ~v = dx
dt i = vx i y trivialmente
~am =
∆vx~
v2x − v1x
i
=
t2 − t1
∆t
41
Aceleración instatánea ~a: Se define para evitar la dependencia en ∆t como:
d2x~ d2y ~ d2z ~
d2~r ¨
d~v
dvx~ dvy ~ dvz ~
∆~v
˙
i+
j+
k = ~v = 2 i + 2 j + 2 k = 2 = ~r
=
=
~a = lı́m
∆t→0 ∆t
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
• Hemos usado la notación
d2 f
dt2
=
d
dt
= dvdtx =
dv
= dty =
= dvdtz =
df
dt .
ax
ay
az
d2 x
dt2
d2 y
dt2
d2 z
dt2
• ~a tiene la misma dirección que el cambio instantáneo en ~v . Como ~v cambia en la
dirección en que la trayectoria se curva ⇒ ~a siempre apunta hacia la concavidad de la
curva (no es ni tangente ni normal (perpendicular) a la trayectoria).
• Movimiento rectilíneo ⇒
∆vx~ dvx~ d2x~
~a = lı́m
i=
i= 2i
∆t→0 ∆t
dt
dt
Componentes intrínsecas de la aceleración: Dada una partícula que se mueve en el espacio
⇒ ~v es tangente en cada punto a la trayectoria y se puede poner
~v = v ~uT
derivando respecto de t tenemos entonces
~a =
d~v
dv
d~uT
=
~ut + v
dt
dt
dt
42
uT
es perpendicular al versor tangente ~uT : Demostración: dtd (~uT · ~uT ) = 0
• El vector d~dt
uT
uT
= 0 ⇒ ~uT ⊥ d~dt
(son perpendiculares).
pues ~uT es unitario ⇒ derivando 2~uT · d~dt
ds
uT
uN
dθ du T
u’T
dr
ρ
ρ
dθ
• |d~uT | = |~uT |dθ = dθ y además la relación entre el espacio infinitesimal recorrido sobre
uT
es
la trayectoria ds y el radio de curvatura ρ es ds = ρdθ ⇒ el módulo de d~dt
d~uT 1 ds v
dt = ρ dt = ρ
y su dirección y sentido viene dado por el del versor ~uN ⊥~uT (ver dibujo).
• ~a se puede poner como suma de dos componentes (componentes intrínsecas, mutuamente perpendiculares), una tangencial (cambio de la celeridad o módulo de la velocidad)
y otra normal a la trayectoria en ese punto (cambio de la dirección de la velocidad y
por tanto la curvatura de la trayectoria, ya que ~v siempre es tangente a la trayectoria):
~a = aT ~uT + aN ~uN
v2
;
a
=
aT = dv
N
dt
ρ
Movimiento rectilíneo, la curvatura no cambia (⇐⇒ ρ = ∞) y la dirección de ~v es
constante y por tanto aN = 0.
43
5. Movimiento Uniforme: Es aquel en el que ~v = ~v0 = constante (en módulo, dirección y sentido).
r
Entonces ~a = 0 e integrando la relación ~v = d~
entre t0 = 0 y un tiempo t > t0 se tiene
dt
(8)
~r = ~r0 + ~v0t
v0
r0
v0
r= r0 + v0t
O
donde ~r0 es una constante de integración y representa la posición inicial de la partícula. La
expresión anterior nos da la posición de la partícula en cualquier tiempo, y es la ecuación
vectorial de una recta (⇒ movimiento es rectilíneo en el espacio). La relación (8) que es una
relación vectorial implica tres relaciones escalares entre las 3 componentes cartesianas de cada
vector,
x = x0 + v0x t
y = y0 + v0y t
z = z0 + v0z t
Si el movimiento es a lo largo del eje X se tiene trivialmente
x~i = x0~i + v0t~i ⇒ x = x0 + v0t.
44
(9)
v
6. Movimiento uniformemente acelerado: Es aquel en el que ~a = ~a0 = constante. De ~a = d~
dt se
llega fácilmente a la relación
~v = ~v0 + ~a0 t
(10)
~v0 es una constante de integración (velocidad inicial de la partícula) ⇒ tres relaciones escalares
vx = v0x + a0x t
vy = v0y + a0y t
vz = v0z + a0z t
Si el movimiento es rectilíneo a lo largo del eje X se tendría
v~i = v0~i + a0 t~i ⇒ v = v0 + a0 t
En el caso general, teniendo en cuenta que ~v =
d~r
dt
(11)
e integrando de nuevo se llega a
1
~r = ~r0 + ~v0 t + ~a0 t2 ⇒
2
(12)
que implica tres relaciones escalares:
x = x0 + v0x t + 12 a0x t2
y = y0 + v0y t + 21 a0y t2
z = z0 + v0z t + 12 a0z t2
Si ~v0 y ~a0 tienen la misma dirección ⇒ trayectoria rectilínea y el movimiento será rectilíneo
uniformemente acelerado o retardado (sentidos de ambos vectores iguales u opuestos)
45
Si ~v0 = 0 ⇒ ~r − ~r0 = 21~a0 t2 y la trayectoria es rectilínea (pues el vector aceleracion es el
mismo en el punto inicial y final y su diferencia entre estos dos vectores es precisamente
el vector aceleracion multiplicado por un escalar) y el sentido del movimiento es el de ~a0 .
En el caso más general ~v0 y ~a0 tienen direcciones diferentes y el movimiento está restringido
al plano que forman los vectores ~v0 y ~a0
En el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje X
1
1
x~i = x0~i + v0t~i + a0 t2~i ⇒ x = x0 + v0 t + a0 t2
2
2
(13)
En este caso, despejando el tiempo en (11) y sustituyendo en (13) se llega a
v 2 = v02 + 2a0(x − x0)
7. Movimiento de caída libre
Ejemplo más familiar de movimiento con aceleración (casi) constante, cuerpo que cae bajo
la acción de la atracción gravitatoria.
Se creía (Aristóteles) que cuerpos más pesados caían más rápidos que los más ligeros.
Galileo ⇒ todos los cuerpos, independientemente de su peso, caen con la misma ~a.
Ideas confirmadas por experimentos (minimizando efectos frenado aire) → todos los cuerpos situados a la misma altura caen con la misma aceleración idependientemente del tamaño o peso del objeto.
Si altura de caída pequeña comparada con Radio Tierra e ignorando pequeños efectos
debido a la rotación, dicha aceleración es constante (aceleración de la gravedad g)
46
Mov. caída libre ⇒ mov. rectilíneo en el eje Z, unifórmemente acelerado con ~v0 = 0~k y
~a = −g~k
g = 9,8m/s2
(g siempre es positivo)
8. Movimiento en un círculo
Partícula se mueve, en general, siguiendo una trayectoria que no es recta ⇒ la dirección
de su velocidad cambia (aunque el módulo sea constante).
Partícula moviéndose en un trayectoria circular con módulo velocidad constante ⇒ movimiento circular uniforme. Como ya vimos antes para el caso general (no uniforme) tenemos
ds
uT
dr
u’T
uN
R
dθ
con ~a = aT ~uT + aN ~uN donde
du T
dθ
R
dv
v2
;
aN =
dt q
R
2
2
a = aT + aN
aT =
pero como v = cte entonces aT = 0 luego
2
~a ≡ ~arad = vR ~uN
a = arad = aN
47
Propiedades:
a) ~arad ⊥~v
b) ~arad apunta hacia el centro del círculo siguiendo el radio (aceleración centrípeta)
c) T (periodo) tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta al círculo ⇒ v =
arad
e
t
=
2πR
T
y
4π 2R
=
T2
d) Definimos ω, celeridad angular media, como el ángulo recorrido dividido por la unidad de
tiempo ω = ∆θ
∆t , de donde definimos la cerelidad instantánea como
ω=
como (ver dibujo) sin( dθ
2)≈
ds/2
R
dθ
dt
⇒ dθ ≈ ds/R ⇒ ω =
1 ds
R dt
=
v
R
arad = ω 2R
e) Vector velocidad angular ~ω vector perpendicular al plano del movimiento circular, con
módulo |~ω | = ω = Rv y sentido dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.
Velocidad relativa
El movimiento es un concepto relativo: debe referirse a un sistema de referencia escogido por
el observador (nuestro conjunto de ejes coordenados).
48
Diferentes observadores pueden usar sistemas de referencia distintos ⇒ importante conocer
como se relacionan las observaciones realizadas por cada observador.
Concepto de velocidad y aceleración relativas entre dos objetos que se mueven indipendientemente (ver figura):
vA
vB
rBA
A
B
rA
rB
O
v BA
vA
vB
Sean dos partículas A y B que en t ~rA y ~rB respecto observador O (Ver figura) y velocidades
~vA =
d~rA
dt
~vB =
d~rB
dt
Posición de A respecto de B ~rAB = ~rA − ~rB y la B respecto a A ~rBA = ~rB − ~rA = −~rAB , ⇒
~vAB =
d~rAB
= ~vA − ~vB
dt
~vBA =
d~rBA
= ~vB − ~vA
dt
Velocidades relativas
Iguales en módulo y de signo opuesto ⇒ diferencia de los vectores velocidad respecto de un
mismo observador.
Aceleraciones:
~aAB =
d~vAB
= ~aA − ~aB
dt
49
~aBA =
d~vBA
= ~aB − ~aA
dt
Podemos también medir la velocidad y aceleración de un mismo punto respecto a dos sistemas
de referencia distintos (ver figura) ⇒ la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia:
v PA
P
rPB
rPA
v BA
v PB
OB
OA
rBA
Se tiene que trivialmente que
~rP A = ~rP B + ~rBA
de donde se tienen la relación entre velocidades
~vP A = ~vP B + ~vBA
exprexión que se conoce como transformación de Galileo de las velocidades.
Derivando respecto del tiempo tenemos la relación entre aceleraciones:
~aP A = ~aP B + ~aBA
50
Concepto de fuerza, equilibrio de fuerzas: primera ley de Newton
Hemos visto diferentes movimientos en una, dos o tres dimensiones, sin atender a sus causas.
La dinámica es la parte de la física que estudia los movimientos con relación a las causas que los
producen ⇒ dos nuevos conceptos, fuerza y masa, para analizar los principios de la dinámica.
Plasmados por Sir Isaac Newton (1642-1727), 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural) ⇒ 3 leyes de Newton del movimiento.
1ª ley establece que cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es cero su estado de movimiento
no cambia. La 2ª ley relaciona fuerza con aceleración cuando la fuerza no es cero. La 3º ley es
una relación entre las fuerzas que dos cuerpos interactuando se ejercen entre sí.
Surgieron después de experimentos e ideas sobre el movimiento de los cuerpos realizados por
Copérnico, Brahe, Kepler y Galileo. Son leyes fundamentales, no pueden ser derivadas de otros
principios (válidas salvo para velocidades cercanas a la luz y a escalas subatómicas.)
F
F
51
Concepto de fuerza.
Concepto de fuerza ⇔ interacción influencia que se ejercen entre sí los cuerpos, o entre el
entorno y un cuerpo ⇒ reponsable del cambio del estado de movimiento de ese cuerpo.
Interacciones descritas mediante magnitud vectorial (F~ ) y que denominamos fuerza.
Su módulo mide la intensidad de la fuerza y su unidad en el S.I. Newton (N).
1N = 1Kg × m/s2
[F~ ] = MLT −2
Tipos de fuerzas:
R
N
R
T
R
w
52
N
En el sistema c.g.s, la unidad de fuerza es la dina 1 dina = 1g × 1cm/s2 = 10−5N.
~ ): la ejerce un objeto sobre la superficicie sobre la que está. Dirección siempre
Fuerza normal (N
perpendicular a la superficie de contacto (independientemente del ángulo)
~ la ejerce la superficie sobre el objeto en la dirección paralela a la
Fuerza de rozamiento (R):
superficie y de sentido contrario al del movimiento (se opone al movimiento).
Tensión (T~ ): Es la fuerza que ejerce una cuerda unida al objeto y que tira de él.
Peso (w):Las
~
anteriores son fuerzas de contacto. Hay fuerzas, que son ejercidas por un cuerpo
sobre otro separado a cierta distancia (interacción de largo alcance) como la fuerza entre imanes
o la fuerza gravitatoria; la tierra ejerce sobre los cuerpos una fuerza que se denomina peso.
Superposición de fuerzas:
Hecho experimental: F~1 y F~2 actúan al mismo tiempo sobre un punto A de un cuerpo ⇒ su
efecto es el mismo que el que ejercería una única fuerza F~ = F~1 + F~2 actuando sobre el punto
A ⇒ principio de superposición de fuerzas
“Cualquier número de fuerzas aplicadas sobre un mismo punto de un cuerpo tienen el mismo
efecto que una sóla fuerza (fuerza neta o resultatante) igual al vector suma de todas ellas”
53
F
F1
A
F2
F
Fy
A
Fx
Fy
A
Fx
Permite reemplazar F~ actuando sobre A por sus componentes (en un determinado sistema de
referencia) actuando sobre el mismo A. Para n fuerzas actuando sobre un punto ⇒
~ = F~1 + F~2 + ... = P F~i
R
i
P
Rx = i Fix
P
Ry = i Fiy
P
R
=
z
i Fiz
q
R = Rx2 + Ry2 + Rz2
Una definición cualitativa de fuerza es todo agente o interacción capaz de modificar el estado
de movimiento de un cuerpo ⇒ enunciamos la 1ª ley de Newton:
Primera Ley de Newton
Primera Ley de Newton (ley de inercia): “Todo cuerpo permanece en un estado de reposo o en
movimiento rectilíneo y uniforme (con velocidad constante y aceleración nula), si la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo es cero. Cualquier desviación de este estado será
debido a la acción de una fuerza neta no nula actuando sobre dicho cuerpo.”
54
inercia: tendencia a permanecer en movimiento o en reposo (disco de hockey, donde la fricción
es casi nula, libro sobre una mesa en reposo). También asumiendo la fricción despreciable:
Movimiento
N
F
v
w
Reposo
N
−F
F
w
Una fuerza neta igual a cero ⇔ no tener ninguna fuerza actuando sobre el cuerpo.
X
~ = ~0
F~ + (−F~ ) + m~g + N
~ = −m~g (en este caso). Cuando un cuerpo está en reposo o en movimiento
La normal N
uniforme con ~v constante (en línea recta) decimos que el cuerpo está en equilibrio,
X
X
X
X
~
~
F =0⇒
Fx = 0;
Fy = 0;
Fz = 0 ⇒ cuerpo en equilibrio
Sistemas de referencia inerciales.
Son aquellos respecto a los cuales el movimiento de la partícula libre de fuerzas tiene velocidad
constante (incluida la velocidad 0) ⇒ no están acelerados ⇒ son aquellos sistemas en los que
se cumple la 1ª ley de Newton.
55
• Pasajero con patines en el vagón de un tren acelerando desde el reposo con ~a. ⇒ El pasajero
se movería hacia atrás con aceleración −~a. Respecto a la tierra, el pasajero no se movería
⇒ El vagón del tren no sería un sistema de referencia inercial mientras que la tierra sí.
• Tren moviéndose con ~v =constante empieza a frenar ⇒ el pasajero inicialmente en reposo
(vagón) empieza a moverse hacia delante. Respecto a la tierra el pasajero se está moviendo
con velocidad ~v y cuando frena el tren sigue moviéndose con velocidad ~v , nada cambia,
el sistema de referencia “Tierra” es inercial. Respecto al vagón el estado de movimiento
del pasajero cambia sin que aparentemente haya ninguna fuerza actuándo sobre él, no se
verifica entonces la primera ley de Newton, el sistema de referencia vagón no es inercial.
• Lo mismo ocurre en un coche moviéndose a ~v =constante en línea recta que toma una curva
⇒ no cambia su aceleración tangencial, sí cambia la normal (pasa de 0 a v 2 /R) ⇒ Los
pasajeros respecto del sistema de referencia inercial “Tierra” tienden a seguir en el mismo
estado de movimiento (trayectoria recta); el coche (sistema de referencia no inercial) los
pasajeros inicialmente estaban en reposo tienden a moverse hacia fuera de la curva.
v
−v
v
56
an
Este tipo de experiencias demuestran que un sistema inercial es aquel que no lleva aceleración6
En mecánica newtoniana, la tierra puede considerarse como un sistema de referencia inercial
(aunque esto no es del todo cierto pues tiene un movimiento de rotación y de traslación).
Un sistema de ref. inercial ⇒ un segundo sistema de ref. moviéndose será también inercial si
se mueve a ~v =constante (sin aceleración) respecto del primero. No podemos distinguir cual de
ellos está en reposo y cual en movimiento ⇒ principio de relatividad de Galileo. ⇒ Todos
los sistemas de referencia inerciales son equivalentes respecto de la primera ley de Newton.
Segunda ley de Newton
1ª ley de Newton: Un cuerpo es sometido a una fuerza neta cero se mueve con velocidad
constante y aceleración nula. Qué ocurre cuando la fuerza neta no es nula? Cuerpo sometido a
P
una fuerza F~ = i F~i 6= 0 ⇒ se mueve con una ~a que tiene el mismo sentido que F~ .
m1<m 2
F
m1
F
m2
6
Así como el movimiento de un cuerpo es relativo (depende del sistema de referencia elegido) la aceleración se puede determinar
independientemente del sistema de referencia elegido
57
El más pequeño se moverá más rápido. Los dos cumplen la ley de la inercia ⇒ La tendencia
del más grande a estar en reposo es mayor que la del pequeño → tiene mayor inercia. Esta
propiedad se mide con una magnitud escalar denomina masa inercial m.
Segunda Ley de Newton: “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es
no nula, el cuerpo se mueve con una aceleración, cuya dirección es la misma que la fuerza
neta resultante de tal forma que el producto de la masa ( inercial) del cuerpo por el vector
aceleración es igual al vector fuerza neta resultante.”
P ~
a
i Fi = m~
m=
P ~
i Fi
~a
P
Pi Fix = max
F = may
Pi iy
i Fiz = maz
(14)
Lo anterior constituye la ecuación fundamental de la dinámica. Partícula no sometida a fuerzas
o la resultante de todas las fuerzas es cero ⇒ ~a = 0 (está en reposo o en movimiento rectilíneo
uniforme). La 2ª ley de Newton sólo es válida en sistemas de referencia inerciales (que se
mueven con velocidad constante)7.
La segunda expresion de (14) ⇒ relación entre la F~ neta aplicada a un cuerpo y la ~a en él
producida que se conoce como masa inercial o simplemente masa (m medida cuantitativa de
la inercia).
7
En el caso se sistemas de referencia no inerciales aparecerían otras fuerzas, fuerzas ficticias que habría que tener en cuenta.
58
Cuanto mayor es m mayor es la resistencia de un cuerpo a ser movido por el efecto de una
fuerza. La unidad de masa inercial S.I. kilogramo.
La unidad de fuerza es el Newton “Un Newton es la cantidad de fuerza neta que produce una
aceleración de 1 metro por segundo al cuadrado a un cuerpo de masa 1 kilogramo”.
1N = 1kg · m/s2
Fuerza centrípeta y dinámica del movimiento circular
Movimiento circular uniforme ⇒ aceleración “centrípeta” normal a la trayectoria de la partícula
y que apunta hacia el centro del círculo
~arad
v2
= ~uN
R
Siempre está acelerando la partícula hacia el centro del círculo. Al igual que cualquier otro
P
movimiento, está gobernado por la segunda ley de Newton ⇒ F~ = i F~i que está acelerando
la partícula hacia el centro debe apuntar también hacia el centro del círculo
2
v
F~ = m~a ⇒ F~rad = m ~uN
R
Fuerza centrípeta y siempre apunta hacia el centro del círculo. Si F~rad = 0 ⇒ ~arad = 0 y la
partícula continua moviéndose con ~v = cte siguiendo una trayectoria recta (ver dibujo).
59
uT
uN
F rad
uN
v
F rad
R
uT
v
R
Fuerzas de inercia (ficticias)
Sistema de ref. inercial O, y otro O’ no inercial moviéndose con V~ y aceleración ~aO′ O =
respecto de O:
~
dV
dt
F
Fi
P
r
R
O
r’
O’
aO’O
Partícula P moviéndose en el espacio sometida a la acción de una fuerza F~ . Si ~r y ~r′ vectores
~ es el vector del sistema O’ respecto de O, ⇒
de posición de P respecto de O y O’ y R
~ + ~r′
~r = R
60
~ y derivando respecto del tiempo ~v ′ = ~v − V~ , donde ~v y ~v ′ son las velocidades
Tenemos ~r′ = ~r − R
de la partícula respecto de los sistemas de referencia O y O’. Derivando otra vez
~a′ = ~a − ~aO′ O
Multiplicando ahora por la masa de la partícula tenemos
m~a′ = m~a − m~aO′ O =⇒ F~ ′ = F~ − m~aO′ O
⇒ en el sistema acelerado se mide una fuerza (que no es la verdadera) F~ ′ que es igual a la
fuerza real F~ más el factor −m~aO′ O . Éste último representa una fuerza, que llamamos fuerza
de inercia, F~i = −m~aO′ O que no es medida de ninguna interacción real. Sólo aparece cuando
el sistema de referencia O’ está acelerado respecto a O, y sólo es observable desde O’ ⇒
F~ ′ = F~ + F~i
F~i fuerza ficticia que tiene que ser introducida en la 2ª ley de Newton para que sea válida en
sistema de ref. no inercial.
Masa y peso
El peso es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre todos los cuerpos, incluso sobre otros
planetas y objetos celestes.
masa y peso son dos magntitudes que son fundamentalmente diferentes.
61
Masa caracteriza las propiedades inerciales de los cuerpos. Cuanto mayor es la masa de un
cuerpo mayor es la fuerza que se tiene que ejercer para producir una aceleración en dicho
P
cuerpo, relación descrita por la 2ª ley de Newton i F~i = m~a.
El peso es la fuerza ejercida por la Tierra sobre los cuerpos. Masa y peso, están relacionados:
los cuerpos que tienen mayor masa tienen también mayor peso: por ejemplo una roca es dificil
de acelerar (tiene mucha masa) y también cuesta mucho levantarla (pesa mucho).
Consideremos un cuerpo de masa m en movimiento de caida libre ⇒ está siendo acelerado con
~a = −g~k ≡ ~g
g = 9,8m/s2.
8
La 2ª ley de Newton ⇒ la fuerza necesaria para lograr esta aceleración es
F~ = m~a = −mg~k = m~g
que se conoce con el nombre de peso y se denota por w.
~ Así un cuerpo de masa m = 1kg tiene
un peso de módulo |w|
~ = 1kg × 9,8m/s² = 9,8N. Entonces tenemos
w
~ = m~g
La masa m es una magnitud escalar y el peso w
~ es una fuerza ⇒ magnitud vectorial.
|w|
~ ∝ m ⇒ la forma de medir la masa de un cuerpo es midiendo su peso. Como g varía con
la posición respecto del centro de la tierra (y otros factores como el movimiento de rotación y
traslación) solo podemos comparar pesos de objetos que estén situados en posiciones cercanas.
8
El valor de g no es constante sobre toda la superficie de la tierra y también varía con la distancia al centro de la tierra ⇒ el peso
de un cuerpo puede variar según su posición respecto al centro de la tierra pero su masa no.
62
Masa en Mecánica: 1º El peso de un cuerpo (la fuerza gravitatoria actuando sobre él) es
proporcional a su masa (masa gravitatoria). 2º Llamamos a la propiedad inercial que aparece
en la segunda Ley de Newton masa inercial. Experimentos muy precisos han establecido que
las dos son iguales con una precision del orden de 10−12.
El concepto de peso sirve para introducir la unidad de fuerza en el llamado sistema técnico de
unidades (m ó cm,kp,s), que es el kilogramo fuerza (kgf) o kilopondio (kp), definido peso que
tiene un cuerpo de 1 kilogramo de masa (SI) en condiciones terrestres de gravedad normal (g
= 9,80665 m/s2); ⇒ esta unidad es invariable y no depende de la gravedad local.
Acción y reacción: tercera ley de Newton
Una fuerza actuando sobre un cuerpo es siempre el resultado de su interacción con el otro
cuerpo ⇒ las fuerzas siempre actúan en pares. La tercera ley de Newton establece este hecho:
Tercera Ley de Newton: “Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (acción),
entonces el cuerpo B ejerce una fuerza sobre el cuerpo A (reacción) que tiene el mismo
módulo y dirección pero sentido contrario a la primera. Ambas fuerzas actúan sobre cuerpos
distintos.”
F~A sobre B = −F~B sobre A
FAB
63
F BA
Fuerza de rozamiento.
Si un cuerpo se mueve sobre otro ⇒ fuerzas entre los dos cuerpos (fuerzas de contacto) que se
oponen al movimiento, fuerzas de rozamiento, debido a que las superficies de contancto son rugosas:
m1
N
F
FR
w=mg
~ es la fuerza normal (siempre perpendicular a la superficie de apoyo). La F~R no es constante, es
N
variable:
Si F~ = 0 ⇒ la fuerza de rozamiento es cero.
Si aplicamosF~ tal que el cuerpo no se mueve ⇒ F~R = −F~
Si aplicamos F~ tal que el cuerpo empieza a moverse entonces F~ = −F~Rm (su valor máximo)
Si aplicamos una fuerza F~ aún mayor entonces F~ > −F~Rm (su valor máximo).
La fuerza de rozamiento varía entre 0 < |F~r |< |F~Rm |. Propiedades:
64
La F~Rm máxima es independiente del tamaño de las superficies en contacto
~ |,es decir
|F~Rm | máximo es directamente proporcional a |N
|F~Rm |
= cte ≡ µs .
~|
|N
µs (coeficiente de rozamiento estático) no tiene unidades, es un número adimensional.
La F~Rm máxima depende del pulimento de las superficies de contacto
~|
|F~Rm | = µs |N
0 < µs < 1
Cuando el cuerpo comienza a moverse con velocidad constante, la fuerza de rozamiento (fuerza
de rozamiento dinámica) se hace más pequeña |F~ dR | < |F~Rm | y se tiene
~
F~ dR = µd N
µd < µs
Mientras que 0 ≤ |F~R | ≤ |F~Rm | máximo, |F~Rd | siempre vale lo mismo es constante, no varía.
Resistencia en un fluido y velocidad límite: un cuerpo se mueve en un fluido a velocidad
v ⇒ ejerce sobre el fluido que va tocando una fuerza y éste ejerce sobre él (3ª ley Newton) la
misma fuerza (de rozamiento) en sentido contrario ⇒
• f~ = −k~v (velocidades pequeñas) es decir |f~| = k|~v |. Para ~v grande se tiene |f~| = D|~v |2 .
D depende de la forma y tamaño del cuerpo y de la densidad del aire.
65
• Podemos determinar cual es la velocidad límite que alcanza un objeto que cae partiendo
de (vz = 0 en t = 0) en el seno de un fluido suponiendo velocidades límites pequeñas:
P~
F = m~a
−mg + kvz = −maz = −m dvdtz
velocidad límite ⇒ que vz = vlim = cte ⇒
dvz
dt
=
dvlim
dt
= 0 ⇒ vlim = mg/k
Dinámica de un sistema de partículas
Tenemos dos tipos de fuerzas que actúan en un sistema de partículas
Fuerzas externas que actúan desde fuera del sistema
Fuerzas internas que son aquellas ejercidas dentro del sistema: fuerzas que ejercen unas partículas sobre otras y las correspondientes reacciones (en virtud de la tercera ley de Newton)
F~ij = −F~ji
Conocer la posición de cada una de las partículas en función del tiempo⇒ (2ª ley de Newton)
F~neta = m~a
F~ext,1 + F~int,1 = m1~a1
..
.
F~ext,n + F~int,n = mn~an
Problemas que tenemos:
66
1. No podemos calcular cual es el valor de las fuerzas internas
2. Complejidad matemática de sumar esas fuerzas y averiguar sus aceleraciones (n partículas).
Conveniente introducir los siguientes conceptos para estudiar el movimiento global del sistema:
Centro de masas de un sistema de partículas:
Rcdm
ri
O
Punto centro de masas (c.d.m.) de un sistema de n partículas ⇒ vector de posición
P
1 X
mi~ri
m
~
r
+
.
.
.
+
m
~
r
1
1
n
n
~ cdm =
= Pi
≡
mi~ri
R
m1 + . . . + mn
M
m
i
i
i
sólo depende de la posición de las partículas y de sus masas (M = m1 + . . . + mn ).
Velocidad y aceleración del centro de masas:
P
P
~
d~ri
1
V~cdm = dRdtcdm = M1
=
m
vi
i dt
i
i mi~
M
P
P
~
d~vi
1
~acdm = dVdtcdm = M1
ai
i mi dt = M
i mi~
67
Segunda ley de Newton para un sistema de n partículas:
F1
F12
ri
Rcdm
F21
F2
O
Supongamos primero dos partículas. Si F~i ≡ F~ext,i i = 1, 2 ⇒
F~neta = m~a = (m1 + m2 )~acdm
F~1 + F~2 + F~21 + F~12 = M~acdm
F~neta,ext = M~acdm
donde hemos utilizado F~12 = −F~21(ver dibujo). Este resultado se puede generalizar para n
partículas pues las fuerzas internas se anulan entre sí. La última expresión constituye la segunda
ley de Newton para un sistema de partículas. Sistema de partículas sometido a fuerzas exteriores
~ cdm y masa igual a la del sistema, sometida a
e interiores ⇔ una única partícula situada en R
una fuerza igual a la suma de todas las fuerzas exteriores.
Sistema de referencia centro de masas
68
r’i
ri
CM
O
R cdm
~ cdm . Las ec. del cambio de sistema de ref.:
Sistema de ref. localizado en R
~ cdm + r~′ i
~ri = R
~cdm + v~′ i
~vi = V
~ai = ~acdm + a~′ i
Cantidad de movimiento e impulso mecánico
d(m~v )
v
~
2ª ley de Newton se escribe F~ = m~a = m d~
dt . Si la masa constante ⇒ F = dt . Por definición
p~ = m~v cantidad de movimiento o momento lineal. Unidades en el S.I. es 1kg × m/seg
y en el sistema c.g.s es 1gr × cm/seg y sus dimensiones son [~p] = MLT −1. la 2ª ley de Newton
d~p
F~ =
dt
Cualquier variación en la cantidad de movimiento ⇒ una fuerza actuando sobre dicho cuerpo.
Newton enunció su 2ª ley del movimiento así y es válida incluso si la masa varía:
69
v=cte
F
Al caer arena ~v disminuye ⇒ para mantenerla constante debemos hacer una fuerza que no está
produciendo ninguna aceleración, es decir F~ 6= m~a = 0. La fuerza para mantener ~v =contante
dm
F~ = ~v
dt
Aplicamos una fuerza mayor que produce una aceleración ~a ⇒
dm
dm
d~v
d~p
F~ = ~v
+ m~a = ~v
+m =
dt
dt
dt
dt
Impulso mecánico
p
2ª ley de Newton F~ = d~
p = F~ dt ⇒ El producto F~ dt ≡ dI~ impulso mecánico diferencial
dt ⇒ d~
o elemental. Podemos calcular el impulso mecánico en un intervalo (t1,t2 ),
Z t2
I~ =
F~ dt.
t1
~ = [~p] = N × seg en el
Dimensiones del impulso iguales a las de la cantidad de movimiento [I]
sistema internacional y dina × seg en el sistema c.g.s.
70
Impulso mecánico permite conocer la cantidad de movimiento de una partícula en un tiempo t
previo conocimiento de la cantidad de movimiento en un t inicial, es decir si t = t1 p~1 = m~v1 ⇒
cuál es la cantidad de movimiento en t2 > t1 ?
Z
Z
Z
Z v2
I~ = F~ dt = d~p = md~v = m
d~v = m~v2 − m~v1 = p~2 − p~1 ⇒ p~2 = I~ + p~1
v1
Impulso mecánico=variación de la cantidad de movimiento (Teorema impulso momento).
Conservación de la cantidad de movimiento
El concepto de momento lineal importante cuando los cuerpos interaccionan entre sí (choques)⇒
dos astronautas en el espacio (gravedad cero). Cada uno ejerce sobre el otro una fuerza con
el mismo módulo y dirección y sentidos contrarios (3ª ley de Newton) ⇒ los impulsos de esas
dos fuerzas son los mismos también en magnitud y dirección pero de sentidos contrarios, y lo
mismo ocurre con los cambios en la cantidad de movimiento respecto de cada uno.
A
B
FBA
FAB
d~pA
F~BA =
dt
d~pB
F~AB =
dt
71
Concepto de fuerzas internas ⇒ las que se ejercen cada partícula sobre la otra y fuerzas
externas la que ejerce un agente externo sobre dichas partículas (por ejemplo la gravedad). Si
no hay gravedad ⇒ no hay fuerzas externas ⇒ el sistema está aislado.
el momento de cada partícula cambia, pero F~BA = −F~AB , entonces
d(~pA + p~B )
d~pA d~pB
+
=
=0⇒
F~BA + F~AB =
dt
dt
dt
Momento total del sistema de dos partículas P~ = p~A + p~B ⇒ F~BA + F~AB =
dP~
dt
=0
Si no hay fuerzas externas o la resultante de todas las fuerzas externas es cero, el momento
total del sistema de dos partículas es constante, se conserva, incluso si los momentos de las
partículas individuales cambian. Si hubiera fuerzas externas ⇒ P~ no se conserva.
Generalización a un sistema n partículas interactuando sólo entre ellas ⇒ Momento total
X
X
~
mi~vi
P =
p~i =
i
i
Principio de conservación del momento lineal total de un sistema de n partículas
“Si el vector suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de n partículas
es cero, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva”
Notad que conservación de P~ ⇒ cada componente de P~ se tiene que conservar
Px = m1 v1x + m2 v2x + ... = cte
Py = m1 v1y + m2 v2y + ... = cte
Pz = m1 v1z + m2 v2z + ... = cte
72
Cantidad de movimiento de un sistema de partículas: Su conservación:
Para un sistema de n partículas el vector velocidad del centro de masas se escribe
1 X
1 X
~
mi~vi =
p~i
Vcdm =
M i
M i
Definimos cantidad de movimiento de todo el sistema P~
X
~
P =
p~i = M V~cdm
i
Derivando respecto del tiempo y suponiendo la masa constante
dV~cdm
dP~
=M
= M~acdm = F~ext
dt
dt
2ª ley de Newton para un sistema de partículas. ⇒ la variación de la cantidad de movimiento
de un sistema de partículas es igual a la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan
sobre el sistema. Se cumple también cuando la masa del sistema varía (como vimos para el
caso de una partícula).
Un sistema sobre el que no actúan fuerzas exteriores se llama sistema aislado ⇒ un sistema
aislado mantiene constante la velocidad de su centro de masas y la cantidad de movimiento
total del sistema se conserva.
En el sistema de referencia centro de masas
73
r’i
ri
CM
O
R cdm
en O se tiene P~ = M V~cdm
P
en CMP~CM = M × 0 = i mi v~′ iSR Centro de masas =sist. ref. de cantidad de movimiento 0.
Dinámica del sólido rígido:
Def. Sólido Rígido: Sistema de partículas cuyas distancias relativas permanecen fijas (esto es
una idealización). La ec. F~neta,ext = M~acdm sólo nos dice cómo se mueve el sistema en conjunto.
Mov. del cuerpo =un movimiento de traslación pura del centro de masas + movimiento de
rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
ri
CM
74
Movimiento de traslación del centro de masas ya lo hemos caracterizado más arriba. Ahora
vamos a estudiar como es el movimiento de rotación en un sólido rígido.
Cada partícula del sólido (en mov. rotación) realiza un mov. circular alrededor del eje que pasa
por el C.M. (suponemos el eje Z). Medimos el ángulo de giro en radianes (relación entre la
longitud del arco girado y el radio o distancia de la partícula al centro de masas)
z
θ s
r
s
θ = (rad) ⇔ s = θr
r
un arco de s = 2πr ⇒ un ángulo de 360º θ = rs = 2πrad
Velocidad angular. Si sólido gira en t1 un ángulo θ1 y en t2 > t1 ha girado θ2 ⇒ la velocidad
−θ1
= ∆θ
angular promedio ωav = θt22 −t
∆t . Velocidad angular instantánea
1
∆θ
dθ
=
∆t→0 ∆t
dt
ω ≡ lı́m
(15)
vector velocidad angular ~ω : módulo es ω, dirección es la del eje z y sentido dado por regla de
la mano derecha. En el dibujo se tiene ~ω = ω~k Trivialmente se tiene
v = ωr
75
Además los vectores ~r (que sería el vector de posición de la partícula) ~v (la velocidad tangencial
de la partícula) y ~ω verifican
~v = ω
~ ∧ ~r
Aceleración angular: Supongamos que durante la rotación ω no es constante sino que varía
con el tiempo de forma que en un tiempo t1 el sistema tiene ω1 y en t2 > t1 tiene una ω2.
−ω1
. Análogamente podemos definir la
Se define la aceleración angular media como αav = ωt22 −t
1
acelración angular instantánea como
dω
d2 θ
∆ω
=
= 2
∆t→0 ∆t
dt
dt
α ≡ lı́m
(16)
• las expresiones (15-16) nos permiten encontrar todas las expresiones de la cinemática de
rotación del sólido rígido al igual que hicimos para el movimiento de traslación.
• Teniendo en cuenta la definición la componente tangencial de la aceleración en cualquier
punto del sólido rígido rotando se tiene
aT =
dv
dω
=r
= rα
dt
dt
• Por otra parte en el movimiento circular de cada punto del sólido rígido la componente
normal de la aceleración cumple
v2
aN =
= ω2r
r
76
Fuerzas fundamentales de la naturaleza
La comprensión actual de la naturaleza muestra que todas las fuerzas que en ella aparecen son
expresiones de 4 tipos de fuerzas fundamentales o interacciones entre partículas: la interacción
gravitatoria y la interacción electromagnética (mundo macroscópico), la interacción fuerte y la
interacción débil (mundo subatómico)
Fuerzas gravitatorias. Ley de Newton de la gravitación Universal
La interacción gravitatoria entre partículas hace que los cuerpos tengan peso (medida de la
atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos).
Esta interacción aparece entre partículas por el hecho de tener masa (materia) .
Newton formalizó esta atracción en su Ley de la Gravitación Universal (derivó a partir de sus
tres leyes del movimiento) ⇒ dos partículas de masas mA ,mB éstas se atraen entre si
mA mB
F~AB = −G
~ur
r2
y dirección la de la recta que une ambas partículas y sentido hacia la otra partícula (ver dibujo).
FAB
F BA
B
ur
A
r
77
G = constante de la gravitación universal y es en el S.I. lfuerza en N con que se atraen dos
partículas de 1kg situadas a 1m de distancia
G = 6,67 × 10−11N m2 /kg 2
Dicha ley unificaba en una única fuerza, la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos y la
fuerza con que los planetas y cuerpos celestes se atraen entre sí.
Teoría fue ampliada y generalizada por A. Einstein en su Teoría General de la Relatividad⇒
la interacción surge como consecuencia de la geometría del continuo espacio-tiempo alrededor
de los cuerpos con masa.
Interacciones electromagnéticas
Incluye las fuerzas eléctricas y magnéticas. Maxwell llevó a cabo la unificación de los campos
eléctricos y magnéticos, que antes eran considerados fenómenos independientes y diferentes.
Fuerzas eléctricas aparecen entre partículas debido a una propiedad que se conoce como carga
eléctrica: Partículas cargadas del mismo signo se repelen y de signo opuesto se atraen.
Muchas fuerzas de contacto son debidas a interacciones eléctricas (fuerza normal, la fuerza de
rozamiento o la fuerza de resistencia al movimiento en un fluido)
La fuerzas magnéticas como las que aparecen en materiales magnéticos son debidas a cargas
eléctricas en movimiento.
78
A escala atómica las interacciones gravitatorias son despreciables frente a las interacciones
electromagnéticas pero a escalas cosmológicas las gravitatorias son las más importantes, pues
al haber el mismo número de particulas con carga positiva y negativa, se cancelan.
Interacción fuerte
Mantiene la estabilidad del núcleo de los átomos (protones y neutrones juntos=núcleo)
Aunque las interacciones de repulsión entre partículas de carga positiva es muy fuerte en el
núcleo, sin embargo la interacción fuerte es mucho mayor y mantiene el núcleo unido.
Rango de interacción menor que la eléctrica pero dentro de su rango es mayor que ésta.
Interacción débil
Rango más pequeño que la interacción fuerte ⇒ ocurre a escalas del tamaño del núcleo o menor.
Responsable de la radiacción β : un neutron un núcleo radioactivo se transforma en protón
emitiendo un electrón y un antineutrino (masa casi cero).
En la década de los 60 del siglo pasado, los físicos desarrollaron la teoría electrodébil ⇒ la
interacción electromagnética y la interacción débil son dos aspectos de un solo tipo de fuerza,
la interacción electrodébil.
Los fisicos han intengado unificar las interacciones fuertes, débil y electromagnética (teoría de
gran unificación, GUT) ⇒ primeros pasos para encontrar la llamada Teoría del Todo.
79