Guía de Ejercicios Nº 3

66.75 Procesos Estocásticos
Abril, 2010
Guı́a de Ejercicios 3
Ejercicio 1
El circuito RC de la figura es excitado por una señal de ruido blanco con densidad
espectral de potencia constante e igual a N0 /2.
R
w(t)
C
v(t)
Calcule y grafique la densidad espectral de potencia de la salida del filtro y el
valor de potencia total.
Ejercicio 2
Sea X(t) = A cos(ω0 t + φ) + N (t), donde A y ω0 son constantes, la entrada a un
filtro pasabanda ideal cuya banda de paso está en las frecuencias |ω − ω0 | ≤ W/2.
Suponga que φ se encuentra uniformemente distribuida en [0, 2π) y que N (t) es
ruido blanco de densidad espectral de potencia N0 /2. Encuentre la relación entre
potencias de señal y de ruido a la salida del filtro.
Ejercicio 3
La entrada a un filtro pasabajos de primer orden con transferencia
H(ω) =
1
1 + ω/ωc
es X(t) = A cos(ω0 t+φ)+N (t), donde A y ω0 son constantes. Obtenga la frecuencia
de corte ωc del filtro para que la relación señal/ruido a la salida sea máxima.
Ejercicio 4
Considere el siguiente sistema LTI,
W (n)
h(n)
X(n)
Y (n)
donde X(n) y W (n) son procesos ESA descorrelacionados entre sı́. La varianza de
W (n) es σw2 y la de X(n) es σx2 .
1
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1. Hallar la función de autocorrelación del proceso Y (n).
2. Definiendo a el error E(n) = Y (n) − X(n) determine la autocorrelación de
E(n).
3. Si h(n) = α δ(n), elija el valor de α que minimice la varianza de E(n).
Ejercicio 5
Sea un proceso X(n) obtenido como la suma de dos procesos independientes
entre sı́, es decir,
X(n) = V (n) + N (n).
El proceso V (n) es un proceso AR1 con parámetro α, media nula y varianza unitaria,
es decir,
V (n) = αV (n − 1) + W (n),
donde W (n) es ruido blanco. Por otro lado, N (n) es ruido blanco de media nula y
varianza σn2 , independiente de W (n). Calcular Rx (k) y discutir la influencia de σn2
sobre la densidad espectral de potencia de X(n).
Ejercicio 6
Se simula numéricamente con Matlab/Octave, un proceso autoregresivo de primer
orden
X(n) = αX(n − 1) + W (n)
3
3
2
2
1
1
Xa (n)
W (n)
excitado por un ruido blanco de media nula y varianza unitaria. Se realizan tres
simulaciones diferentes mostradas en la figura utilizando los siguientes valores del
parametro α:
α1 = 0,95 α2 = 0,1 α3 = −0,95
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
0
10
20
30
40
50
n
60
70
80
90
−3
100
4
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
50
60
70
80
90
100
n
4
3
2
1
Xc (n)
Xb (n)
2
0
0
−2
−1
−2
−4
−3
−6
−4
−5
0
10
20
30
40
50
n
60
70
80
90
−8
100
2
n
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1. Asigne el coeficiente α que corresponde a cada una de las figuras.
2. Grafique la autocorrelación del proceso X(n) en cada caso.
Ejercicio 7
Se desea simular la realización de un proceso AR1
X(n) = aX(n − 1) + W (n)
1. Elija un valor del parámetro a y genere una secuencia de longitud N cuando
el ruido de excitación W (n) es blanco, distribuido uniformemente entre −1 y
1.
a) Estime y grafique la autocorrelación del proceso. Superponga la gráfica
de la función de autocorrelación teórica y compare.
b) Estime y grafique la densidad espectral de potencia del proceso. Superponga la gráfica de la densidad espectral de potencia teórica y compárelas.
2. Para el mismo valor de a, repita los puntos anteriores si el ruido de excitación
2
W (n) es blanco, Gaussiano, de media nula y σW
= 1/3.
3. Compare los dos procesos generados en 1. y 2. e indique dónde nota la diferencia entre ellos.
Ejercicio 8
El modelo del proceso AR2, X(n) es:
X(n) = a1 X(n − 1) + a2 X(n − 2) + W (n)
donde W (n) es una secuencia de ruido blanco y a1 y a2 son coeficientes reales.
1. Expresar la función de transferencia H(z) del sistema lineal que, excitado por
la secuencia de ruido blanco, entrega como salida el proceso AR2.
2. Obtener y resolver la ecuación en diferencias que debe satisfacer la secuencia
de autocorrelación.
3. Verifique analı́ticamente las siguientes propiedades:
a) En el caso de polos reales y distintos, la secuencia de autocorrelación
decae exponencialmente. Analizar el caso en que ambos polos son positivos, ambos negativos y uno positivo y otro negativo.
b) En el caso de polos complejos conjugados, la secuencia de autocorrelación
es pseudoperiódica.
4. Generar distintas realizaciones de un proceso AR2, variando los valores de
los coeficientes del sistema, para lograr todas las variantes posibles. En cada
caso, obtenga la función de autocorrelación experimental y grafı́quela superpuesta a la teórica.
5. Obtenga y grafique las densidades espectrales de potencia.
6. Interpretar los resultados, relacionando las realizaciones del proceso con las
funciones de autocorrelación y los espectros correspondientes.
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Ejercicio 9
Dado el siguiente diagrama en bloques
W (n)
-
AR1
X(n)
-
?
Y (n)
-
donde W (n) es ruido blanco Gaussiano de media nula y varianza unitaria y el primer
filtro es un autoregresivo de primer orden de parámetro a. El objetivo de este ejercicio
es diseñar el segundo filtro.
1. ¿Cómo debe ser el filtro ? para que a la salida Y (n) sea igual a W (n)?
2. Calcule RXY (k), es decir, la función de correlación cruzada entre X(n) e
Y (n).
Ejercicio 10
En el siguiente diagrama en bloques,
W (n)
-
AR1
X(n)
-
AR1
Y (n)
-
donde W (n) es ruido blanco Gaussiano de media nula y varianza unitaria y el
sistema es una cascada de dos filtros autoregresivos de primer orden.
1. ¿La dependencia entre las señales Y (n) y W (n) responde a un sistema AR2?
¿Por qué?
2. Calcular la media de Y (n).
3. Calcular la función de autocorrelación de Y (n).
4. ¿Es posible que el sistema oscile?
Ejercicio 11
Se desea analizar un filtro diferenciador en tiempo continuo. Sea X(t), un proceso
estacionario en sentido amplio en tiempo continuo cuya media es nula y su función
de autocorrelación es RX (τ ). La salida del filtro diferenciador está definida como
Y (t) = X(t + a) − X(t − a)
Obtener RY (τ ) y SY (ω).
Ejercicio 12
Encontrar la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia de
la salida del filtro definido en la ecuación más abajo para los dos casos de la entrada X(n). En ambos casos, simule una realización del proceso y estime la función
de autocorrelación. ¿Qué diferencias nota entre los procesos simulados en ambos
puntos?
Y (n) = X(n + 1) − X(n − 1)
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1. X(n) es ruido blanco uniformemente distribuido entre −1 y 1.
2. X(n) es ruido blanco Gaussiano de media nula y varianza 1/3.
Ejercicio 13
2
X(n) es ruido blanco de media nula y potencia σX
. La señal X(n) es filtrada por
una realización en serie de dos filtros.
Y (n) = 0,5 [X(n) + X(n − 1)]
Z(n) = Y (n) − Y (n − 1)
Calcular E[Z],
σZ2 ,
RZ (k) y SZ (ω).
Ejercicio 14
Considere el filtro lineal caracterizado por
y(n) =
q
X
bk x(n − k)
k=0
que es excitado por la secuencia ESA
X(n) = s + V (n)
en la cual, s es una constante desconocida y V (n) es una secuencia de ruido cuya
autocorrelación es
1
1
RV V (n) = δ(n − 1) + δ(n) + δ(n + 1)
2
2
Se quiere seleccionar los coeficientes bk del filtro de modo que su respuesta Y (n)
sea un estimador del parámetro desconocido s.
1. Para que E[Y (n)] = s, demuestre que los parámetros del filtro deben satisfacer b0 + b1 + . . . + bq = 1.
2. Para la clase de filtros que satisfacen la restricción anterior, encuentre uno
que minimice la varianza de la respuesta.
3. ¿Cómo depende la varianza de la respuesta en función de la longitud q del
filtro?
Ejercicio 15
Sea el pulso rectangular de altura A y duración T definido como
A 0≤t≤T
s(t) =
0 en otro lugar
El pulso está superpuesto a ruido blanco aditivo de media nula y densidad espectral
de potencia N0 /2. Se filtran señal y ruido con un filtro pasabajos RC con función de
transferencia
1
H(ω) =
1 + jω/ω0
donde ω0 = 1/RC es el ancho de banda de 3 dB del filtro.
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1. Demuestre que el valor óptimo de ω0 para el cual el filtro RC maximiza la
relación señal/ruido (o sea, potencia de pico de señal/potencia media de ruido)
a la salida es ω0 = 1,26/T .
2. Demuestre que la máxima relación señal/ruido a la salida del filtro es
ρmax = 0,816
2A2 T
N0
3. ¿En cuántos dB se debe incrementar la energı́a de la señal para lograr la
misma relación señal/ruido que con un filtro adaptado?
Sugerencia: recordar que la respuesta de un filtro pasabajos RC a un escalón unitario
u(t) es
y(t) = 1 − e−t/RC u(t)
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