Ondas-P2

Ondas – IPA
Repartido 2
Ecuación de onda: Modos normales de sistemas continuos.
1. Obtenga los datos necesarios y calcule un valor aproximado de la velocidad del sonido para
ondas longitudinales en:
1. Acero
2. Aluminio
3. Hormigón
2. Determine la frecuencia fundamental de una barra de acero de 0.5m de longitud.
3. Una cuerda uniforme de 2.5m de longitud y 0.01 kg de masa se somete a una tensión de 10
N.
a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas y la frecuencia de su modo fundamental?
b) Si se pulsa transversalmente la cuerda y luego se la toca en un punto a 0.5 m de su extremo,
¿qué frecuencias persistirán?
4. La cuerda de la figura tiene masa m = 0.36 g, está unida a un soporte rígido en su extremo
izquierdo y es tensada por la acción de un peso de masa M = 400g que cuelga de su extremo
derecho pasando la cuerda por una polea fija que dista L = 1.2m del extremo izquierdo. La
cuerda vibra en modo estacionario con la forma indicada en la figura, con elongación máxima
de 2 cm.
L
M
a) Exprese matemáticamente la configuración de la cuerda para la forma dada en el dibujo
como una superposición de dos ondas viajando en sentidos opuestos:
y ( x, t ) = y1 ( x − vt ) + y2 ( x + vt ) .
b) Escriba la solución en un instante arbitrario, sabiendo que en t = 0 no estaba deformada.
c) ¿Qué deformación posee el punto situado a 10 cm del extremo izquierdo en el instante t =
1.2 ms?
d) En ese instante, ¿cuánto vale la deformación máxima y dónde ocurre?
e) ¿Cuál es la energía total de la cuerda?
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5. a) Halle la energía total de vibración de una cuerda de longitud L que oscila en su enésimo
modo normal con una amplitud A. La tensión de la cuerda es T y su masa total es M.
b) Calcule la energía total de vibración de la misma cuerda, si está vibrando en la siguiente
superposición de modos normales:
πx
3π x
π
y ( x, t ) = A1 sen( ) cos(ω1t ) + A3 sen(
) cos(ω3t − )
L
L
4
Compruebe que la energía total es la suma de las energías de los modos tomados por
separado.
6. Se tiene una cuerda de longitud L sometida a una tensión T, dispuesta de modo tal que sus
extremos deslizan sin fricción sobre dos guías perpendiculares al eje x indicado.
0
x
L
a) Encuentre la condición para la derivada
∂y
evaluada en los extremos libres de la cuerda.
∂x
b) Halle las frecuencias normales ω n de oscilación y los modos normales de esta cuerda
y n ( x, t ) .
c) ¿Qué cantidad de longitudes de onda caben en la longitud L si la cuerda está vibrando en el
modo normal n?
7. Una cuerda de longitud L está terminada en uno de sus extremos con dos resortes como
muestra la figura, mientras que el otro extremo permanece fijo. Si la cuerda está sometida a
una tensión T:
a) Exprese el cumplimiento de la ecuación de Newton en ese extremo en términos de la
función de onda y ( x, t ) .
b) Deduzca cuáles son las frecuencias normales de oscilación de esta cuerda.
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8. Una cuerda homogénea de longitud 2L y densidad lineal de masa µ posee extremos fijos y
está sometida a una tensión T. En el punto medio se le ha agregado una pequeña masa m.
m
x=-L
x=0
x=L
a) Plantee soluciones de modos normales para los lados 1 y 2 (a la izquierda y derecha de m)
de la forma: y ( x, t ) = [α sen(kx) + β cos(kx)] cos(ω t + φ )
b) Imponiendo las condiciones de borde halle las frecuencias propias del sistema, observando
que hay dos familias de modos normales.
Sistemas con otras ecuaciones de onda:
9. Un cable atado en ambos extremos (x = 0 y x = L) y bajo la acción de su peso no podrá
permanecer horizontal, sino que se combará hacia abajo. Una deducción análoga al caso sin
peso (se puede intentar) da la ecuación de ondas:
∂2 y 1 ∂2 y g
=
+
∂x 2 c 2 ∂t 2 c 2
Sustituyendo, pruebe que la función:
1
g
y ( x, t ) = φ ( x) + [ψ ( x − vt ) +ψ ( x + vt )] , con: φ ( x) = 2 x( x − L)
2
2c
Es solución de la ecuación de ondas.
10. Una cuerda de longitud L con sus extremos fijos está sometida a una tensión T y a una
fuerza de viscosa debida al aire proporcional a su velocidad. La ecuación de movimiento en
ese caso es:
∂2 y 1 ⎛ ∂2 y
∂y ⎞
= 2 ⎜⎜ 2 + b ⎟⎟
2
∂t ⎠
∂x
c ⎝ ∂t
Planteando una solución de la forma: y ( x, t ) = Re[( Aeα x + Be −α x ) e Ωt ] y determinando las
constantes:
a) Demuestre que los modos normales de vibración están dados por:
y n = An e
1
− bt
2
sen(
n 2π 2 c 2 b 2
nπ
− .
x) cos(qt + φ n ) , donde: q 2 =
4
L
L2
b) y que la energía total de vibración es:
1
1
⎡
⎤
E (t ) = µ L An2 e −bt ⎢q 2 + bq sen(qt + φ n ) cos(qt + φ n ) + b 2 cos 2 (qt + φ n )⎥
4
2
⎣
⎦
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