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FLUJOS EXTERNOS
José Agüera Soriano 2012
1
FLUJOS EXTERNOS
• CAPA LÍMITE
• RESISTENCIA DE SUPERFICIE
• RESISTENCIA DE FORMA
• RESISTENCIA TOTAL
• VELOCIDADES SUPERSÓNICAS
José Agüera Soriano 2012
2
INTRODUCCIÓN
Cuando un contorno se mueve en el seno de un fluido,
podemos imaginarlo fijo y el fluido moviéndose en sentido
contrario. Es lo mismo a todos los efectos.
Aunque el flujo externo de un avión y el flujo interno,
en una tubería por ejemplo, parecen fenómenos muy
diferentes, pueden estudiarse bajo criterios comunes, desde
que Ludwig Prandtl introdujo en 1904 el concepto de capa
límite.
José Agüera Soriano 2012
3
Fuerza de sustentación
El ala del avión ha de diseñarse de manera que el flujo de aire
por encima resulte convergente para que aumente su velocidad;
ello implicaría una disminución de la presión, que sería
menor que la de debajo. Queda pues una fuerza F ascendente.
L
p
u
u
p
F (sustentación)
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4
Concepto de capa límite
Si un cuerpo se moviera en el vacío o en un fluido no-viscoso
se desplazaría sin esfuerzo (   0). Siendo el aire y el agua fluidos
muy poco viscosos no se entendía
A
cómo ofrecían tanta resistencia; u
a menos que el gradiente de
velocidad en la pared fuera
y
enorme:
u
 dv 
o    
 dy  y 0
frontera capa
límite
capa límite
y
v = 0,99 ·u
v
v
v
o
A
José Agüera Soriano 2012
punto A
5
Concepto de capa límite
 dv 
o    
 dy  y 0
A
u
y
u
frontera capa
Para ello tiene que existir una
límite
capa d que a veces es de micras,
v = 0,99 ·u
v
en la que la velocidad v de las
capa límite
v
distintas láminas pasan de valer
v
y
cero en la pared a adquirir la
A
punto A
velocidad u (0,99·u) del flujo;
por lo que no era posible obtener el
perfil de velocidades mediante un tubo de Pitot. Prandtl
fue capaz de imaginar esta capa a la que llamó capa límite.
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o
6
La teoría de la capa límite,
1904, revolucionó la
aeronáutica.
Prandtl es el fundador de
la Mecánica de Fluidos
moderna. Es la aportación
más importante en la
historia de esta ciencia.
Ludwig Prandtl
(Alemania 1875-1953)
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7
Desarrollo de la capa límite
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
borde muy
afilado
u
v
u
v
v
v
u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
v
0,99·u
C
o
s
transición
B
subcapa
laminar
turbulento
o
superficie
plana lisa
o
x
xc
L
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8
Capa límite laminar
Por ser el borde A afilado, el flujo no sufre perturbación al entrar
y sería laminar en sus comienzos. A medida que avanza, el espesor d de la capa aumenta y el perfil de velocidades varía (compárese 1 y 2): en 2, el esfuerzo cortante o en la pared es menor que
en 1; llega a disminuir tanto, que no puede controlar la turbulencia (viscosidad de turbulencia), y la capa deja de ser laminar.
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
v
v
u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
v
0,99·u
C
o
s
transición
subcapa
laminar
B
turbulento
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9
Capa límite turbulenta
Al pasar a la zona turbulenta, el espesor d de la capa aumenta
bruscamente. La turbulencia homogeniza las velocidades de las
distintas láminas y el perfil ya no resulta parabólico sino más bien
de tipo potencial (punto 3); la velocidad pasa a valer cero muy
rápidamente en la pared: el esfuerzo cortante o puede resultar
muy grande. A lo largo de la superficie, d aumenta y o disminuye,
hasta anularse en el infinito si la superficie es plana.
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
v
v
u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
v
0,99·u
C
o
s
transición
subcapa
laminar
B
turbulento
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frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
u
v
v
v
0,99·u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
v
2
3
o
x
longitud
xc crítica
transición
laminar
C
o
s
B
subcapa
laminar
turbulento
o
o
x
longitud crítica
xc
L
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Subcapa laminar
En la capa turbulenta, hay pegando a la pared una subcapa
laminar, ya que el intercambio de cantidad de movimiento
entre láminas no es posible con la lámina que moja la pared.
Esto va a tener una gran importancia cuando la pared es rugosa
en lugar de lisa.
subcapa laminar
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
u
v
v
v
0,99·u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
C
o
s
transición
subcapa
laminar
B
turbulento
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12
zona turbulenta
 dv 
o    
 dy  y 0
 dv 

 dy  y 0
 o  (  )  
pared lisa
pared rugosa
subcapa laminar
subcapa laminar
subcapa laminar
(a)
(b)
(c)
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Si el borde A es no es afilado, la capa límite podría ser turbulenta
desde el principio. En el punto C, (dv/dy)y=0 es ahora mayor. Si la
pared fuera rugosa, intervendría además la viscosidad de turbulencia , y o aumentaría por el doble motivo:
 dv 
 o  (  )   
 dy  y 0
pa límite
a
c
a
r
e
t
n
fro
mite
front
u
0,99·u
to
n
le
u
rb
tu
o(turbulento) >>>o(laminar)
0,99·u
perfil de velocidades turbulento
nar
i
m
la
A
a lí
p
a
c
era
perfil de velocidades laminar
C
xc
o
subcapa laminar
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14
0,99 ·u
0,99 ·u
v
v
v
v
v
v
y
perfil de velocidades laminar
y
perfil de velocidades turbulento
 dv 
 dv 
  (turbulento) >>>   (laminar)
 dy  y 0
 dy  y 0
o(turbulento) >>>o(laminar)
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Desprendimiento de la capa límite
Cuando el flujo es divergente (BCD), el gradiente de velocidad
en la pared va disminuyendo, y con él el esfuerzo cortante o .
Puede ocurrir incluso que llegue a anularse; en tal caso, el flujo
se separaría de la pared (desprendimiento de capa límite),
formándose una estela aguas debajo de C.
(a)
B
A
punto de
separación
C
o= 0
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estela
D
v
16
(a)
B
punto de
separación
A
C
estela
o= 0
D
v
frontera capa
límite
v
v
v
(b)
estela
A
xc
B
C
desarrollo de la curva ABCD
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D
17
D
v
frontera capa
límite
v
v
v
(b)
estela
A
xc
B
C
desarrollo de la curva ABCD
D
o
o=
o
(c)
(x
)
o= 0
A
B
C
x
xc
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18
estela
José Agüera Soriano 2012
19
ensayo en un túnel de viento
estela
J.Agüera, 2/2012
20
CÁLCULO DE LA CAPA LÍMITE
Espesores de la capa límite
d  d ( x, u,  ,  )
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
u
v
v
v
0,99·u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
C
o
s
transición
subcapa
laminar
B
turbulento
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21
CÁLCULO DE LA CAPA LÍMITE
Espesores de la capa límite
d  d ( x, u,  ,  )
Con cinco variables físicas y tres magnitudes básicas
(masa, longitud y tiempo), el problema queda reducido
a dos variables adimensionales:
  x u x u
Re x 



y como intervienen dos longitudes, d y x, el otro
adimensional es el cociente entre ambas:
d
x
 f (Re x )
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capa turbulenta
capa laminar
1
d 
log      log Re x  log 4,91
2
x
d
x
/x

1
d 
log      log Re x  log 0,377
5
x
d
4,91
Re 1x 2
0,377

x Re 1x 5
capa límite laminar
longitud crítica
0,04
Re c 
capa límite turbulenta
0,016
xc  u

 5 105
xc  5 10 
5
(tg
5·10 5
0,004 5
10
10 6
10 7
(tg
= 1/2)
10 8
10 9
u
= 1/5)
10 10
escala logarítmica
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
Rex
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Esfuerzo cortante en la pared
o 
 o   o ( x, u,  ,  )
2
u 2
  (Re x )  c f
en función de los adimensionales correspondientes. El término
cf se denomina coeficiente de fricción local.
frontera capa límite
0,99·u
v
u
0,99·u
u
u
v
u
v
u
v
v
v
0,99·u
u
1
u
A
0,99 ·u
v
v
2
3
o
x
xc
laminar
v
C
o
s
transición
subcapa
laminar
B
turbulento
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v
u
0,99·u
u
v
En función
del valor medio de ov para una longitud L:
u
v
v
u
u o   o ( L , u ,0,99·u
, )
u
1
u
A
0,99 ·u
2
 o v
2
u v2
  (Re L )  C f
3
o
x
xc
laminar
v
C
s
o
v
B
subcapa
laminar
Cf se llama coeficiente de fricción medio, o simplemente
transición
turbulento
coeficiente de fricción.
o
o
x
longitud crítica
xc
L
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25
Coeficientes de fricción Cf para una longitud L
DIAGRAMA III
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
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10 9
aeronave vapor rápido
"Bremen"
26
Coeficientes de fricción Cf para una longitud L
capa límite laminar (ReL
< 5105)
DIAGRAMA III
1,328
Blasius: C f 
Re L1 2
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
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10 9
aeronave vapor rápido
"Bremen"
27
Toda la longitud L en capa turbutenta
Cuando ReL <
0,074
Kármán-Prandtl : C f 
Re1L 5
107
DIAGRAMA III
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
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10 9
aeronave vapor rápido
"Bremen"
28
Toda la longitud L en capa turbutenta
Cuando ReL >
0,455
H.Schichting: C f 
(log Re L ) 2,58
107
DIAGRAMA III
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
José Agüera Soriano 2012
10 9
aeronave vapor rápido
"Bremen"
29
Longitud L con capa límite inicialmente laminar
0,074 1700
5
7
Re L  5 10 10 . H.Schichting: C f  1 5 
Re L
Re L
DIAGRAMA III
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
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10 9
aeronave vapor rápido
"Bremen"
30
Longitud L con capa límite inicialmente laminar
Re L  10
0,455
1700

H.Schichting: C f 
2 , 58
Re L
(log Re L )
7
DIAGRAMA III
0,008
0,006
turbulento (ec. 5.8)
áreas planas
perfiles de ala
0,004
cuerpos de aeronave
(ec. 5.11)
Cf
transición
(ec. 5.10)
0,002
(ec. 5.9)
laminar (ec. 5.7)
0,001 5
10 2
5 10 6
túneles de viento
aterrizaje
10 7
aeroplanos
10 8
ReL = u·L / v
vuelo a alta
velocidad
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aeronave vapor rápido
"Bremen"
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v
u
0,99·u
u
v
Resistencia
de
superficie
v
u
o 
u
u 2
u
u 2
u
  (Re L )  C f
v
0,99 ·u
v
v
0,99·u
1
2
o
Fr A  A xo  dA
o  A
xc
laminar
v
2
u
o  C f   
2
v
v
2
u
o
C
Fr  C

A  subcapa

f
laminar2
3
s
transición
B
turbulento
o
o
x
longitud crítica
xc
L
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32
RESISTENCIA DE FORMA
Con determinadas formas y características del flujo puede
originarse el desprendimiento de la capa límite, con la
consiguiente estela, lo que va a originar una menor presión
por detrás; y, en consecuencia, una resistencia al avance,
llamada resistencia de forma.
L
B
D
C
D
A
estela
C
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33
RESISTENCIA DE FORMA
Si se quiere disminuir dicha resistencia, ha de diseñarse en
cada caso el contorno, de forma que la separación ocurra
muy hacia atrás, o que no tenga lugar (diseño aerodinámico).
L
B
D
C
D
A
estela
C
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34
José Agüera Soriano 2012
35
En ocasiones, el punto de separación tiene lugar en la capa
límite laminar; en tales casos, si ponemos en el frontal una
rugosidad adecuada, hacemos turbulenta la capa límite desde
sus comienzos; o aumenta a lo largo de ABC y tarda más en
anularse, con lo que el punto de separación (o = 0) se retrasa:
la estela se estrecha y la resistencia de forma disminuye.
L
B
D
C
D
A
estela
C
rugosidad frontal
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36
fontal rugoso
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37
resistencia de superficie
resistencia de forma (mil veces mayor)
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38
RESISTENCIA TOTAL
La resistencia al avance es pues la suma de la resistencia
de superficie y de la resistencia de forma. Haciendo el
análisis dimensional se obtiene igualmente,
u2
FD  C D  A   
2
CD es el adimensional que tiene en cuenta las dos fuerzas;
su determinación es experimental.
En cuerpos romos (esferas, cilindros, coches, misiles, proyectiles, torpedos), la resistencia de forma es predominante, y el
área A a considerar en la ecuación anterior es el área frontal
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39
1
L
8
en teoría:
L /D =
0,1 -1
10
1
10 2
10
10 3
10 4
A modo de ejercicio, estudiemos un flujo perpendicular a
sus generatrices.
D
10 5
ReD= u·D / v
100
u
u
punto de
separación
estela
10
u
ReD < 1
(a)
1
1 < ReD < 1000
L /D =
8
CD
(b)
punto de separación
punto de separación
L
u
u
en teoría:
L /D =
8
B
0,1 -1
10
A
1
C
10
10
2
estela
10
3
10
4
10
D
5
estela
10 6
ReD= u·D / v
1000 < ReD < 500000
(c)
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10 6
ReD > 500000
(d)
40
1
L
en teoría:
L /D =
8
100
0,1 -1
10
1
10
10 2
10 3
10 4
10 5
D
ReD= u·D / v
10
u
u
L /D =
CD
8
 Cuando ReD < 1,
el flujo
envuelve al
u
cilindro sin que la
capa límite se separe.
punto de
separación
estela
1
L
ReD < 1
en teoría:
L /D =
1 < ReD < 1000
8
(a)
0,1 -1
10
1
(b)
10 2
10
D
10 3
10 4
10 5
punto de separación
10 6
de separación
ReDpunto
= u·D / v
u
u
u
B
A
C
1000 < ReD < 500000
(c)
ReReD <
1
<1
10 6
José Agüera Soriano 2012
estela
estela
ReD > 500000
(d)
41
1
L
en teoría:
L /D =
8
100
0,1 -1
10
1
10
10 2
10 3
10 4
D
10
u
L /D =
8
u
CD
punto de
separación
ReD < 1
1 < ReD < 1000
(a)
1
(b)
10 2
10
D
10 3
10 4
10 5
punto de separación
de separación
ReDpunto
= u·D / v
B
u
A
C
estela
estela
punto de
separación
estela
1000 < ReD < 500000
ReD < 1
Re < 1
10 6
u
u
u
estela
1
0,1 -1
10
10 6
ReD= u·D / v
8
 Entre ReD = 1 y
ReD = 1000, el punto
de separación
se va
u
adelantando, hasta
alcanzar una posición
Lo
anterior a los 90
en teoría:
cuando ReD = 1000.
L /D =
10 5
(c)
1 < ReD < 1000
José Agüera Soriano 2012
ReD > 500000
(d)
42
1
L
en teoría:
L /D =
8
100
0,1 -1
10
1
10
10 2
10 3
10 4
10 5
D
ReD= u·D / v
10
u
u
L /D =
CD
punto de
separación
estela
1
ReD < 1
en teoría:
L /D =
1 < ReD < 1000
8
(a)
0,1 -1
10
D
8
 Entre ReD = 1000
y ReD = 500000, la
granu estela formada
se mantiene casi sin
variar, e igual le
L
ocurre a CD (CD  1).
1
(b)
10 2
10
punto de separación
10 3
10 4
10 5
punto de separación
10 6
de separación
/v
ReDpunto
= u·D
u
u
u
B
B
A
A
C
10 6
C
estela
estela
estela
1000 < ReD < 500000
(c)
ReD > 500000
(d)
1000 < ReD < 500000
José Agüera Soriano 2012
43
1
L
en teoría:
L /D =
 Entre ReD = 1000 y ReD = 500000, la capa límite en AB ha
sido laminar; pero xc va disminuyendo, hasta que xc = AB
cuando ReD = 500000. 10El esfuerzo cortante o aumenta en B,
tarda más en anularse
L /D =
y el punto de separa- C
ción (o = 0) se tras- 1
1
lada hacia atrás: CD
 0,3
C  0,3
se reduce de CD  1 a D
0,1 -1
CD  0,3.
10
1
10
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
8
100
0,1 -1
10
1
10
10 2
10 3
10 4
D
8
u
D
punto de
separación
ReD < 1
(b)
A
u
B
u
A
C
/v
ReD= u·D
punto de separación
punto de separación
punto de separación
u
B
estela
1 < ReD < 1000
(a)
punto de separación
10 6
ReD= u·D / v
u
u
10 5
C
estela
estela
estela
estela
1000 < ReD < 500000
(c)
1000 < ReD < 500000
ReD > 500000
(d)
ReD > 500000
José Agüera Soriano 2012
44
DIAGRAMA IV
CD
=
e
/R
24
C D (basado en el áera frontal)
ke
o
St
10 1
8
6
4
de
2
y
Le
10 2
8
6
4
disco
u
2
1
8
6
4
u
esfera
2
u
10 -1
8
6
4
10 -2 -1
2 ·10 4 6 8 1 2
elipsoide
1:0,75 u
D
elipsoide
1:1,8
u
D
CD  1
CD  0,20
D
2
D
D
CD  0,08
CD  0,04
casco de
aeronave
4 6 810 1 2
4 6 810 2 2
4 6 810 3 2
4 6 810 4 2
4 6 810 5 2 4 6 810 6
ReD= u·D / v
5
En casi todos los casos, ReD > 510
José Agüera Soriano 2012
45
Cuerpos bidimensionales (Re>105)
forma
CD
Cuerpos tridimensionales (Re>105)
CD
cuerpo
basado en el área forntal
basado en el área forntal
Cubo:
Placa:
1,07
2,0
Cilindro de sección cuadrada:
0,81
2,1
Cono de 60º:
0,5
1,6
Disco:
Semitubo:
1,17
1,2
Copa:
1,4
2,3
0,4
Semicilindro:
Paracaidas (baja porosidad):
1,2
1,2
Placa rectangular:
relación b / h
1
5
10
20
h
Triángulo equilátero:
b
h
1,6
Cilindro de sección lenticular:
2,0
Cilindro elíptico:
laminar
turbulento
d
L
1:1
1,2
0,3
2:1
0,6
0,2
4:1
0,35
0,15
8:1
0,25
0,1
Elipsoide:
d
L
José Agüera Soriano 2012
8
1,7
1,18
1,2
1,3
1,5
2,0
relación L/ d
0,5
1
2
4
8
1,15
0,9
0,85
0,87
0,99
relación L / d
0,75
1
2
4
8
laminar
0,5
0,47
0,27
0,25
0,2
turbulento
0,2
0,2
0,13
0,1
0,08
46
cuerpo
C D basado en el área forntal
Cubo:
1,07
0,81
Cono de 60º:
0,5
Disco:
1,17
Copa:
1,4
0,4
Paracaidas (baja porosidad):
1,2
Placa rectangular:
José Agüera Soriano 2012
relación b / h
1
1,18
47
EJERCICIO
CD = 0,3 en los coches actuales (antiguamente podía valer 0,9).
Si el área frontal es A = 2 m2, determínese la resistencia al aire y
la potencia consumida cuando circula a la velocidad,
a) u = 60 km/h
b) u = 120 km/h
c) u = 150 km/h.
Solución
Viscosidad y densidad del aire (tabla 5)
  1,46  10 5 m 2 s
  1,225 kg m 3
José Agüera Soriano 2012
48
Resistencia
u2
u2
FD  C D  A     0,3  2 1,225  
2
2
 0,3675  u 2
2
a) FD  0,3675  (60 3,6)  102 N
2
b) FD  0,3675  (120 3,6)  408 N
c) FD  0,3675  (150 3,6)  638 N
2
Potencia consumida
P  FD  u  0,3675  u 3
a) P  0,3675  (60 3,6) 3  1700 W  1,7 kW
b) P  0,3675  (120 3,6)  13600 W  13,6 kW
3
c) P  0,3675  (150 3,6)3  26600 W  26,6 kW
José Agüera Soriano 2012
49
Resistencia con velocidades supersónicas
Las perturbaciones originadas por un cuerpo que se mueve en el
seno de un fluido se propagan a la velocidad del sonido del medio
en cuestión. Cuando la velocidad es inferior a la del sonido, las
señales van por delante avisando que hay que abrir paso al cuerpo
que se avecina. En cambio, cuando la velocidad es supersónica el
cuerpo se echa encima sin previo aviso, creando un frente cónico
de presión, llamado onda de choque.
Cuanto más puntiagudo sea el cuerpo por delante, mejor se
“clavará” en el fluido y más agudo y pequeño será el cono de
fluido comprimido que se forma.
José Agüera Soriano 2012
50
Resistencia con velocidades supersónicas
velocidad supersónica
velocidad subsónica:
(aumenta la presión)
onda de choque
José Agüera Soriano 2012
51
Las fuerzas elásticas que comprimen el gas dentro del cono
aumentan considerablemente la resistencia.
Detrás del cuerpo aparece un cono de depresión, que viene a
aumentar más dicha resistencia; la presión allí puede llegar a ser
casi nula a partir de un cierto número de Mach, Ma  3,5.
cono de
depresión
José Agüera Soriano 2012
52
El adimensional CD sólo depende
•
del número de Mach:
CD = CD(Ma)
.
Su valor puede resultar unas 10
veces mayor que con velocidades
subsónicas: entonces teníamos,
0,6
a
b
c
0,4
CD
d
0,2
0,0
0
1
2
3
u
Ma = a
CD  0,04
y ahora,
CD  0,4
a
b
c
d
A partir de Ma  0,7 comienzan ya a
intervenir las fuerzas de compresibilidad en puntos en los que la
velocidad es supersónica (zona transónica), hasta llegar a todos
cuando Ma = 1: CD aumenta bruscamente; luego, va disminuyendo hasta alcanzar un valor constante cuando Ma  3,5.
José Agüera Soriano 2012
53
José Agüera Soriano 2012
54