Unidad 3 - S3 amazonaws com

Valor numérico de una expresión algebraica con una variable
Olimpiadas.
Los griegos crearon los juegos olímpicos, que se celebraban cada 4 años. Así duraron más de 10 siglos,
hasta que fueron cancelados por Teodosio en 394. Los griegos medían su tiempo con los juegos atléticos, por
lo que el tiempo transcurrido entre dos torneos constituía una olimpiada. Ser el ganador de estos torneos era
lo más alto que podía aspirar una persona. El anhelado premio era conseguir una corona de olivo.
Con Pierre de Coubertin (1863-1937) resurgieron los juegos olímpicos para estimular a la juventud deportiva
del mundo. En 1896 se realizó la primera Olimpiada en Atenas, le siguieron París, San Luis (EU), Londres y
Estocolmo. Después de Estocolmo hubo un receso debido a la Primera Guerra Mundial, y los Juegos
Olímpicos se reanudaron en 1920 en la Cuidad de Amberes. Después vinieron las de París, Ámsterdam, Los
Ángeles y Berlín. En 1940 y 1944 no hubo olimpiada, ya que fue la época de la Segunda Guerra Mundial. Las
olimpiadas se restablecieron en 1948 con sede en Londres, y continuaron en Helsinki, Melbourne, Roma,
Tokio, México, Munich, Montreal, Moscú, Los Ángeles, Seúl, Barcelona, Atlanta y Sydney. La más reciente
olimpiada se realizó en Atenas en el 2004, y el siguiente será en Beijing, en el 2008.
Intenta contestar las siguientes preguntas.
México fue anfitrión de los juegos olímpicos en 1968, lo que lo convirtió en el país sede número 16. ¿Si
históricamente no se hubieran interrumpido las olimpiadas, en qué año hubiera sido sede México? Antes de
escribir tu respuesta llena la siguiente tabla que contiene los años y el número de olimpiada que se realizó en
ese año.
En la historia de las Olimpiadas se observa que todos los años en que se han realizado son números pares.
Con la información anterior, estima si en el año 2018 se realizarán olimpiadas. Elige el inciso que consideres
correcto
Para hacer las cuentas más sencillas usaremos variables. Vamos a revisar qué es una variable:
Pero regresemos por unos momentos a nuestra historia de las olimpiadas. Nos surge una curiosidad; ¿si
conocemos el año en que se realizó una olimpiada, cómo podríamos determinar el año de la siguiente
olimpiada?
Primero consideramos algunos datos conocidos, como el número de olimpiada y el año en que se realizó. En
este caso elegimos la olimpiada número 23 que fue en Atlanta en 1996. Usando esta información
determinaremos en qué año se realizará la número 24. Para lograrlo haremos uso de una variable a la que
llamaremos X, la cual representará el año que estamos buscando. El subíndice (que es número en la parte
inferior derecha de la variable) indicará el número de olimpiada que corresponde. Por ejemplo, la expresión
X23=1996, significa que el año de la olimpiada número 23 es 1996.
X23 = 1 996
(la olimpiada número 23 se realizó en 1996)
X24 = X23 + 4
(la olimpiada número 24 será 1996 + 4)
Al sustituir los valores obtenemos:
X23 = 1996
X24 = 1996 + 4
Entonces X24 = 2000. Esto significa que la olimpiada número 24 se llevó a cabo en el año 2000. Hemos
terminado.
Al término X24 = X23 + 4, le llamaremos “expresión algebraica”, y está compuesta por variables y números. Las
variables indican que pueden asumir cualquier valor numérico.
Contestando a la pregunta; ¿cómo podríamos determinar el año siguiente de una olimpiada? Una manera es
usando una expresión algebraica. Es decir, una variable puede representar cualquier año olímpico, sin
importar si es en el pasado o en el futuro. Esto lo escribimos así:
Xn = xn - 1 + 4 donde n es el número de olimpiada que necesitamos saber y n-1 el número de olimpiada
anterior. Por ejemplo, si queremos encontrar el año de la olimpiada número 85, diremos que n es 85 y n-1 es
84 por lo tanto escribiremos la expresión:
X85 = X84 + 4
De esta manera indicamos que el año de la olimpiada 85 será el año de la olimpiada 84 más 4 años.
Ahora escribe una expresión algebraica que represente el año en que se realizarán los juegos olímpicos
número 51.
Hasta ahora todo ha salido de maravilla, pero qué tal si queremos calcular el año en que se celebrará
cualquier número de olimpiada. Busquemos si hay una manera de conocer el año en que se realizarán otras
olimpiadas, utilizando la información que conocemos. Pensemos en encontrar el año en que se realizarán las
olimpiadas número 26, si conocemos el año en que se realizó la olimpiada número 23.
Hasta ahora sabemos lo siguiente:
1. En 1996 se realizó la olimpiada número 23
2. Quiero saber en que año se organizará la olimpiada número 26 (es decir, 3 olimpiadas más adelante)
3. Entre cada una hay 4 años
Con esta información encontramos la siguiente expresión:
X26 = X23 + 4 + 4 + 4
La expresión anterior significa que el año en que se realizará la olimpiada número 26, es el año en que se
realizó la olimpiada número 23 más 3 veces 4 años (recuerda que 3 es el número de olimpiadas transcurridas
entre 23 y 26). Además como 4 + 4 + 4 es lo mismo que escribir 3 (4), podemos escribir nuestra expresión un
poco mas sencilla:
X26 = X23+ 3 (4)
Ahora veamos si es cierto que el resultado es 2008. Primero sustituimos:
X23 = 1996
X26 = 1996 + 3 (4)
X26 = 1996 + 12
X26 = 2008
¡Muy bien!, hemos llegado al resultado correcto. Pero, ¿funcionará para cualquier caso? Ayúdame a
verificarlo.
Modifiquemos los datos para ver si funciona ahora:
1. La olimpiada número 16 se realizó en 1968 en la Ciudad de México.
2. Quiero saber el año en que se realizará la olimpiada número 26 (supongamos que no conocemos que
es 2008; sólo para verificar que nuestra expresión es correcta).
3. Después de la olimpiada 16, celebrarán 10 olimpiadas para que se realice la olimpiada número 26.
4. La distancia entre cada olimpiada es de 4 años.
5. Como la olimpiada número 25 se realizó en 2004, encuentra la expresión que me indique en qué año
se realizarán los juegos olímpicos número 30.
Escribe una expresión que determine el año en que realizará la olimpiada número 26.
Hemos terminado con las olimpiadas, ahora platicaremos del año bisiesto y del cumpleaños de Manuel.
Un suceso similar al de las olimpiadas es el de los años bisiestos. ¿Alguna vez has oído hablar de ellos?
Resulta que en un año bisiesto el mes de febrero tiene un día más, es decir, 29. Este suceso se repite cada 4
años. Una manera de verificar cuándo es año bisiesto es fijándote en el día de tu cumpleaños. Supongamos
que el año pasado tu cumpleaños fue en lunes; entonces en este año será el martes. Pero, ¿qué pasaría si
este es un año bisiesto y además tu cumpleaños es después de febrero? Entonces tu cumpleaños se
recorrerá un día más, y por lo tanto, en esta ocasión, comeremos pastel hasta el miércoles.
Manuel nació el domingo 18 de noviembre de 1984. Nació en un año bisiesto. Cumplirá 26 años el 18 de
noviembre del 2010. ¿Podrías determinar en qué día de la semana festejará su cumpleaños número 26?
Elabora una tabla con los siguientes datos: el número de cumpleaños, el año y el día de la semana. Usa D, L,
M, Mi, J, V y S, para simplificar la tabla.
Imagina que estamos en 1999. En este año, Manuel celebró su cumpleaños en jueves, él sabe que el año
2000 es un año bisiesto, pero aún tiene confusión en saber si su cumpleaños será el viernes o sábado.
¿Podrías ayudarlo? Escribe una expresión algebraica que le indique a Manuel cómo saber el día en que será
su cumpleaños, si sabemos que el próximo año es bisiesto. Utiliza la variable d para indicar el día en que será
el cumpleaños el próximo año, y j para indicar el día jueves de este año (utiliza minúsculas para escribir tu
respuesta).
A Manuel le ha gustado la expresión que le escribiste, así que se fue a planear la siguiente fiesta. Mientras
tanto viajemos hasta las pirámides egipcias.
Las pirámides egipcias fueron la tumba de algunos faraones del Imperio Antiguo. Eran inmensas y complejas,
por lo que su construcción tardaba muchos años. La pirámide más grande medía 147 m. de altura y en su
edificación se emplearon dos millones de bloques de piedra, de unas dos toneladas cada uno, y algunos
hasta de 14 toneladas. Estaba cubierta de piedra caliza pulida que brillaba al sol. Cincuenta mil personas
tardaron 20 años en completarla.
Las pirámides egipcias tienen una forma geométrica, compuesta por 4 triángulos equiláteros con altura de
177 m cada uno y un cuadrado en la base. De acuerdo a la forma geométrica, expresa el área de la superficie
de la pirámide. Fíjate que x representa el valor de los lados de los triángulos y también cada lado del
cuadrado.
Bien. Hasta ahora hemos resuelto con eficacia cada reto que nos han puesto en el camino; así que es hora
de que reflexionemos acerca de las estrategias que utilizamos para resolver cada uno de los retos anteriores:
• Al escribir tablas, tenemos la oportunidad de organizar la información conocida, para tener visión general
del comportamiento de los datos, o sea, determinar si hay regularidades en los mismos.
• El uso de expresiones algebraicas es de vital importancia, porque con una expresión podemos representar
cualquier situación, e incluso generalizar un resultado.
• Para determinar una expresión matemática podemos comenzar con datos particulares e ir hacia la
generalización.
• Las variables son el alma de las expresiones algebraicas. Con ellas podemos representar cualquier valor
conocido e incluso desconocido.
Los dados
Es difícil deducir el surgimiento de los dados. En realidad se han encontrado vestigios de dados en todas las
culturas antiguas, incluyendo tribus africanas, esquimales, indígenas de Norteamérica, Aztecas, Mayas, Incas
y hasta en la Polinesia. Es casi seguro que antes de ser considerados como artefactos de juego, fueran
empleados como utensilios mágicos para adivinar el futuro. Así podemos ver dados de todas las formas y
confecciones imaginables: desde dos caras, como una tabla; hasta los dodecaedros (doce caras), pasando
por todos los intermedios. También los hay hechos con toda clase de materia prima: semillas, piedras
comunes, huesos, madera, marfil, bronce, ágata, mármol, cristal de roca, alabastro y porcelana, entre muchos
otros materiales. En sus caras se han visto esculpidas, labradas o pintadas, toda suerte de imágenes, figuras
y símbolos.
Los dados cúbicos, o sea de seis caras, como los conocemos hoy día, se han usado desde tiempos antiguos
en juegos. Las siguientes figuras son una representación de las caras de un dado.
Hagamos un juego usando los dados virtuales. El juego consiste en proporcionarte el número de puntos de la
cara de un dado, una operación aritmética (es decir, suma, resta, multiplicación o división), y un resultado. Tú
deberás encontrar el número faltante para obtener el resultado.
Ejemplo. La suma de los puntos de los dados es 9. El primer dado tiene 6 puntos. ¿Cuántos tiene el
segundo?,
(arrastra la cara del dado que da el resultado)
Practiquemos un poco
Para indicar tu respuesta, arrastra la cara del dado que elijas. Después deberás escribir una expresión
algebraica que represente cada uno de los enunciados. Utiliza la variable x al escribir el valor desconocido y
escribir la expresión algebraica.
Ahora modificaremos el juego. En esta ocasión, el dato que se proporcionará será la operación aritmética y el
resultado de la operación. De manera que tú deberás encontrar los dos números de las caras de los dados.
Además, tienes que escribir una expresión algebraica que describa la operación que estás resolviendo. Como
ahora hay dos valores que no conoces, es necesario utilizar dos variables para escribir la expresión
algebraica. Usa a y b como variables de tu expresión algebraica.
Para indicar cuál es tu resultado, arrastra el dado que elijas a los cuadrados con signos de
interrogación. Si te equivocas, puedes borrar apretando el recuadro que dice borrar. Puede haber más
de una combinación correcta. Sólo aporta una solución para cada problema. Utiliza a para referirte al
primer término y b para el segundo, también usa paréntesis ( ) para indicar que estamos
multiplicando.
Seguramente te sucedió que al intentar colocar los puntos encontrabas diferentes resultados, ya que hay
fichas distintas que nos dan el mismo resultado. En ocasiones eso crea un poco de confusión, ya que te hace
pensar si la elección que hiciste es correcta, aún cuando el resultado solicitado sí coincide. Efectivamente,
podemos resolver una operación algebraica de diferentes maneras, por eso es de gran ayuda usar variables.
Vamos a ver un ejemplo para explicar el uso de las variables. Pero antes, hagamos un viaje a tu niñez, ¿te
acuerdas? No importa cuánto hace que fuiste pequeño(a), seguramente te acordarás cuando tu profesora de
primaria te explicaba cómo hacer las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además de enseñarnos
cómo realizar las operaciones, siempre había una comprobación de operaciones para verificar que los
resultados encontrados eran correctos.
Como podrás observar, para realizar la comprobación de las operaciones aritméticas, requerimos de otra
operación aritmética. Para la suma necesitamos la resta; para la resta, la suma; para la multiplicación
utilizamos la división; para la divsión la multiplicación. Justamente este principio de operaciones es lo que nos
ayudará a encontrar valores que en esta ocasión están representados por variables.
Con esta información, generaremos un ejemplo usando los dados.
Al tirar dos dados vemos que la suma de los puntos que cayeron es 6.
Como ya sabes, la expresión algebraica que describe este enunciado es: a+b = 6. Ya que la operación que
estamos haciendo es una suma, utilizaremos la comprobación de la suma para encontrar uno de los valores.
Es decir, si a más b es igual a 6, se debe cumplir que 6 menos a es igual a b. ¿Estás de acuerdo? Piénsalo
por favor por un momento.
Con esto, encontramos que hay 5 formas diferentes de acomodar los dados, de manera que cualquiera de
ellas genere el resultado correcto.
Utilizando los principios de comprobación de operaciones aritméticas, encuentra una expresión algebraica
para determinar el valor de b, cuando a cambia. Lo que es lo mismo despeja b.
Vamos a dejar los dados atrás y enterémonos de la aventura de Juan.
¡Qué se quema el pan!
Juan se encuentra en el patio de su casa, y su mamá le encargó el pan tostado. Él debe llegar a la cocina de
la manera más rápida posible porque si no, se le quemará el pan y su mamá se pondrá muy enojada. Ayuda a
Juan a llegar pronto a la cocina para que no lo regañe su mamá. Ve llenando los espacios en blanco y cada
vez que lo hagas seguirás avanzando una casilla más.
El juego consiste en llenar los cuadros vacíos de manera que puedas seguir avanzando hacia las siguientes
casillas. Si te equivocas en un camino, ya no podrás avanzar por él y tendrás que elegir otro camino.
Selecciona el número con el que desees comenzar.
Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Medir temperaturas tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo para la conservación de alimentos, el clima, la
conservación de un motor, la temperatura del cuerpo humano y muchas más; por eso es necesario medir la
temperatura.
En ocasiones puedes encontrar datos de temperatura diferentes a Celsius (°C) también conocido como
grados centígrados, que es el sistema que utilizamos en México. En Estados Unidos se utilizan los grados
Fahrenheit (°F). Imagina que compras un instrumento para medir temperaturas y fue hecho en EU y tú vives
en México. Si sólo conoces el uso en °C. ¿Cómo podr ías hacerle para encontrar su equivalencia?
Existe una fórmula que nos proporciona la equivalencia. A esta representación también le llamamos ecuación.
La letra F representa los grados Fahrenheit y C los grados Celsius. Supongamos que necesitamos saber a
cuánto equivale un 1 grado centígrado. Tendríamos que sustituir 1 en C y realizar la operación:
Por lo tanto 1 grado Celsius es igual a 33.8 grados Fahrenheit. Pero, ¿qué tal si nos encontramos en la
situación inversa, es decir que conocemos cuánto vale una temperatura en °F y queremos saber su
equivalencia en °C? Para resolver esto necesitamos despejar los grados Celsius.
¿Alguna vez has escuchado el término despejar? Por ejemplo, cuando sucede un accidente y hay una
persona herida, la gente se amontona para ver qué pasó. Al llegar los paramédicos, dicen: “¡despejen el área,
déjenlo respirar!” Lo que los paramédicos quieren decir, es que lo dejen solo, que no estorben.
En Matemáticas también existe el término despejar, y se aplica a expresiones algebraicas que contienen
variables. Es decir, despejar una variable significa eliminar todo lo que hay alrededor de ella, para que
la variable se quede sola.
Para despejar una variable, son necesarias dos propiedades importantes:
1.- Inverso aditivo, ¿te acuerdas? Dice que al sumar todo número diferente de 0, con su inverso aditivo, da
por resultado 0.
Por ejemplo 5 + (-5) = 0. Esto lo podemos representar como a + (-a) = 0, siendo a cualquier número diferente
de 0.
2.- Inverso multiplicativo, que dice que al multiplicar todo número diferente de 0 por su inverso multiplicativo
tenemos como resultado 1. Por ejemplo
donde a es cualquier número diferente de 0.
También lo podemos escribir como:
Para resolver el problema anterior, debemos despejar la variable C. Tengamos presente que una ecuación
es una igualdad; lo que quiero decir es, que el término de la izquierda es igual al término de la derecha.
Cuando nosotros realizamos operaciones sobre una ecuación debemos tener cuidado de no alterar esa
igualdad.
Para que una balanza quede equilibrada, necesitamos colocar la misma cantidad de material en cada lado.
En Matemáticas colocamos expresiones algebraicas para lograr el equilibrio.
¿Cómo vamos a lograrlo? Para cualquier operación en la parte izquierda de la ecuación, debemos realizar la
misma en la parte derecha de la ecuación. Esto quedará más claro cuando desarrollemos el problema para
obtener grados centígrados de un termómetro en grados Fahrenheit.
Comencemos: si observamos la parte derecha de la ecuación en donde se encuentra C, la variable que
vamos a despejar, hay un 32 que está sumando, y la manera de eliminarlo es usando la propiedad del inverso
aditivo. El inverso aditivo de 32 es -32, así que lo aplicaremos en ambos lados de la ecuación.
Simplificamos:
Ahora el único término que se encuentra del lado de la C es
. Como
la propiedad del inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de
es
está multiplicando a C, aplicaremos
.
Te preguntarás: ¿por qué 5/9? Recordemos que para las operaciones con números racionales al multiplicar
dos fracciones, necesitamos multiplicar numerador con numerador y denominador por denominador, como se
muestra a continuación.
Ahora sí, sigamos con el despeje de C aplicando el inverso multiplicativo de 9/5, (o sea 5/9).
Observa que al multiplicar el lado izquierdo de la ecuación por 5/9, se colocaron unos paréntesis. Eso indica
que 5/9multiplicará todo lo que se encuentra dentro del paréntesis.
Por comodidad al calcular podemos escribir la expresión, intercambiando sus miembros: podemos pasar lo
que se encontraba a la izquierda hacia la derecha y viceversa.
Ahora ya conocemos la expresión. Verifiquemos si es correcta. Como recordarás, habíamos encontrado que
1ºC era igual a 33.8ºF. Ahora utilizaremos esta información para comprobar si C nos da como resultado 1.
Comenzaremos sustituyendo el valor de ºF por 33.8.
Efectivamente hemos llegado al resultado. Eso significa que nuestra expresión es correcta. Recuerda que la
Matemática es exacta y siempre podemos corroborar los resultados.
Sigamos verificando nuestra ecuación. Con ayuda de una calculadora, encuentra cuántos grados ºF equivalen
a:
Escribe dentro del recuadro amarillo tus respuestas.
Confirma el resultado que obtuviste, utilizando la fórmula de °C.
¿Cuántos tuviste correctos? Acuérdate que, por jerarquía de operaciones, primero debes resolver lo que está
dentro del paréntesis y luego multiplicas el resultado por el numerador, para finalmente dividirlo entre el
denominador.
Hablando de temperaturas, ¿te acuerdas de cuando a Juan se le estaba quemando el pan? ¡Qué salvada!
¿Verdad? Bueno, resulta que Juan es novio de Hilda, y ahora ella es la que tiene un dilema. Te cuento a ver
si podemos ayudarle.
Hilda fue al supermercado como cada semana. Pero esta vez notó algo raro en su recibo. Resulta que
compró 5 bolsas de arroz y según sus cálculos ella pagaría menos, pero al llegar a la caja le cobraron las 5
bolsas más $7.50 pesos de Impuesto al Valor Agregado (IVA). En total ella pagó $57.50 pesos, ¿podrías
ayudarle a descubrir cuánto costó cada bolsa de arroz?
Comencemos asignando variables, llamemos T al total en pesos que pagó Hilda. Diremos que C es el costo
de cada bolsa de arroz. Sabemos que compró 5 bolsas; por lo tanto, debemos multiplicar por 5 el costo de la
bolsa de arroz, además debemos sumar los $7.50 pesos que pagó por el IVA (para simplificar, quitamos el 0
de 7.50, ya que no tiene valor cuando está en la última cifra de números decimales).
T=5C+7.5
El asunto es encontrar el valor de C (recuerda que para despejar debes utilizar el inverso aditivo, cuando se
trate de una suma o resta; y el inverso multiplicativo cuando se trate de una multiplicación o división).
También es necesario sustituir T.
A continuación escribe tu repuesta dentro del recuadro amarillo.
Ahora sí, cada vez que Hilda vaya de compras se fijará bien en el precio antes de pasar a la caja y llevarse
sorpresas como le sucedió con el arroz. Pero los que sí se llevaron una grata sorpresa fueron Eduardo y
Pamela, cuando se dieron cuenta que les gustaba el mismo tipo de música, y no sólo eso, sino que son
seguidores del mismo grupo musical.
Ahora que Eduardo y Pamela saben de su afición por la música, Eduardo quiere comprarse el mismo disco
que se acaba de comprar Pamela. Eduardo tiene el costo del disco más $5.00 pesos, Pamela tenía $35.00
pesos, menos lo que se gastó en el disco. Además, Eduardo y Pamela tienen en este momento la misma
cantidad de dinero. ¿Cuánto vale el disco? (digamos que x es el costo del disco)
Escribe las respuestas dentro del recuadro amarillo:
x+5 = 35-x
Encuentra el valor de k de la siguiente ecuación:
5k+15 = 4k+45
¿Cuánto vale p?
p - 42 = 258 - 2p
Observa que todas las ecuaciones que resolvimos en esta unidad, tienen variables con exponente 1. Este tipo
de ecuaciones se conoce como ecuaciones lineales. Existe solamente un valor que satisface la ecuación,
porque sólo hay un número que, al ser usado en lugar de la variable, permite que la ecuación sea válida, es
decir, que la expresión a la izquierda del igual (=), sea equivalente a la expresión de la derecha. Se llaman
lineales porque su representación gráfica es una línea. Por ejemplo:
Operaciones con polinomios
Una persona se encuentra en un edificio de 24 metros de altura. La persona lanza hacia arriba y hacia
delante una piedra a una velocidad de 20 metros por segundo. La piedra sigue una trayectoria como la que se
muestra en la figura:
Te presentamos este ejemplo para que hablemos de los componentes de la expresión matemática.
Analizaremos el primer término de la expresión (-4t2) y veremos cada uno de los elementos.
Un monomio es un término conformado por un valor constante llamado coeficiente (por ejemplo, -4, valor que
puede ser negativo o positivo) y está multiplicado por una variable t, es decir, una letra que puede tener
diferentes valores; y esta variable puede ser multiplicada por sí misma varias veces, dependiendo del grado
del exponente que en este caso es un valor entero positivo (por ejemplo el 2).
Otro ejemplo sería el siguiente:
Antes de continuar, recuerda que, como viste en aritmética, el símbolo paréntesis () y dos variables juntas
representan multiplicación. Por ejemplo, 20t = 20(t). Las dos formas son correctas, y se interpreta como la
multiplicación de 20 por t.
También podemos escribir el monomio -4t2, como -4tt. Es decir, el coeficiente por la variable, multiplicada por
sí misma dos veces. Ahora, representamos la expresión que describe la trayectoria de la piedra.
Trayectoria =-4t2+20t+24
De la expresión inicial, veamos los siguientes dos términos; éstos son más sencillos. Para el segundo término
el coeficiente es 20, la variable es t, y el grado es 1 (nota que, aunque no haya número como exponente, se
entiende que el exponente es 1 y no hay necesidad de escribirlo).
El tercer y último término tiene coeficiente igual a 24. La variable es t, pero no se visualiza porque el
exponente es 0. Cuando una variable distinta de cero tiene exponente 0 es igual a 1. Es como si
escribiéramos 24(1)=24 o 24x(t0)=24.
Entonces cualquier variable (distinta de cero) elevada a la 0 tiene como resultado 1. Usa tu calculadora
científica para verificar este resultado. En lugar de usar una variable, escribiremos un número: ¿qué tal 35?
Para escribir el exponente, busca la tecla ^ o la tecla Xy, después de pulsar la tecla del exponente, escribe 0.
El resultado debe ser 1. Si quieres prueba con cualquier otro número distinto de cero.
Bien, ya que observamos cada uno de los términos por separado, ahora pensemos en el conjunto de los
términos, es decir, toda la expresión matemática. A esta expresión la llamaremos polinomio, o sea, un
conjunto de dos o más monomios relacionados por medio de operaciones aritméticas (suma o resta).
Los polinomios se clasifican de acuerdo a su grado. El grado de un polinomio se obtiene encontrando el
mayor exponente de los términos que lo componen. Para el caso de nuestra expresión, vemos que el mayor
exponente es 2. Por lo tanto el grado del polinomio es 2.
Trayectoria =-4t2+20t+24 (polinomio de grado 2)
Dejemos la expresión anterior que describía una trayectoria parabólica y veamos otro tipo de polinomio.
P = 3a3b5 + 4a2 b2 - 5ab ¿Grado del polinomio?
Como te podrás dar cuenta, hay dos variables (a y b) en cada término de la expresión. Ahora, ¿cómo
sabremos el grado del polinomio? Sólo necesitas sumar los exponentes de las variables para encontrarlo.
Pero hay que analizar cada uno de los términos del polinomio, para determinar cuál es el mayor exponente.
En 3a3b5, sumamos 3 + 5. El grado de este monomio es 8.
En 4a2 b2, sumamos 2 + 2. El grado de este monomio es 4.
En 5ab, sumamos 1 + 1. El grado de este monomio es 2.
Como el grado lo da el término de mayor exponente sumado, el grado del polinomio es 8.
Ahora determina el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
¡Muy bien! Te estás volviendo un experto para encontrar el grado de un polinomio, por eso te pido que me
ayudes a orientar a Elena.
Elena compró una nueva casa, pero antes de cambiarse quiere pintar la fachada. El problema es que no tiene
las medidas de la fachada, pero sí tiene algunos datos. La casa tiene forma de un cuadrado, 3 ventanas
iguales y una puerta. Además, sabe que las ventanas son cuadradas y que la puerta tiene forma de
rectángulo. El ancho de la puerta es igual al ancho de las ventanas y la altura es dos veces el ancho de la
puerta. Veamos la forma de la casa.
Una forma de encontrar las dimensiones de la fachada es asignando variables, al fin que las variables pueden
asumir cualquier valor. De acuerdo a la forma geométrica de la casa de Elena asignaremos las variables.
Ahora utilizaremos los conocimientos de áreas de cuadrados y rectángulos para determinar el área de la
fachada de la casa. Con esta información Elena tendrá idea de la cantidad de pintura que necesita comprar.
Empecemos con el área de la fachada de la casa. Como es un cuadrado, su área es igual a lado por lado, y
como cada lado mide y, entonces el área de la fachada es y(y) = y2. Por otro lado, las ventanas son iguales, y
además tienen forma de cuadrados, así que el área de cada una de las ventanas es x(x) = x2. Por último el
área de la puerta, que es un rectángulo, y que se calcula multiplicando base por altura, es x(2x) = 2x2.
¿Te diste cuenta que al multiplicar dos variables iguales se sumaron los exponentes? Esta es una propiedad
de los exponentes. Debes tener cuidado, porque esto sólo aplica cuando las variables son iguales. El
resultado de la multiplicación debe ser la misma variable y su exponente será la suma de los exponentes de
las variables, como sucedió al multiplicar x(x) = x2: el exponente de la x es 1 en los dos casos 1+1=2.
Entonces el exponente de la x resultante es 2.
El área de la fachada debe ser el área del cuadrado con lado y, pero como las ventanas y la puerta no se
pintan debemos restar esas partes para obtener el área total de la fachada. Esto lo podemos representar con
un polinomio.
Área de la fachada = y2-x2- x2- x2-2x2
Esto es, el área del cuadrado de la casa, menos el área de la primera ventana, menos el área de la segunda
ventana, menos el área de la tercera ventana, menos el área de la puerta. Fíjate que hay términos iguales,
por ejemplo, las 3 ventanas; además la puerta tiene dimensiones parecidas a las ventanas. Eso significa que
podemos simplificar nuestra expresión.
Observa que los coeficientes de las x2 son negativos, lo que significa que estamos sumando números
negativos. Por esa razón, al simplificar el polinomio, el coeficiente resultante también será negativo.
Área de la fachada = y2-5x2
Hablando de simplificación del polinomio, podrás darte cuenta que sólo hicimos operaciones con los
coeficientes, o sea que sumamos los coeficientes de las x², pero, la variable x² quedó exactamente igual.
Esta es otra propiedad de las operaciones con polinomios. Podemos sumar o restar términos de un polinomio,
siempre y cuando los términos tengan las mismas variables y los mismos exponentes. Las variables y los
exponentes no se modifican; es decir, se escriben igual.
Ahora sí, es más sencilla la expresión. Ahora Elena sólo tendrá que realizar dos mediciones. Una es la del
ancho de la casa, representado con y, la otra el ancho de una ventana, representado con x. Bueno, dijimos el
ancho, pero también podría ser la altura, en realidad eso no importa, porque sabemos que un cuadrado tiene
lados iguales.
¿Qué te parece? Podemos solucionar un problema que parecía muy grande, encontrando sólo 2 valores.
¡Qué maravilla! ¿No crees? Es una de las ventajas de utilizar variables al resolver problemas.
Pon atención en las siguientes figuras. Hay varios rectángulos y cuadrados con altura b y bases a, b y c
respectivamente. Determina el polinomio que describe la suma de las áreas de todos los cuadriláteros.
Coloca la expresión del área dentro de cada rectángulo usando las variables a, b y c. Después, en la línea de
abajo escribe la suma de las áreas que encontraste. Escribe en orden las expresiones para considerarlas
correctas.
De las figuras anteriores, existen algunas iguales, lo que indica que podemos simplificar nuestra expresión.
Ahora escribe el polinomio simplificado.
Escribe el polinomio que representan las siguientes figuras. Observa que ahora tenemos cuadrados con
coeficiente negativo. Éstos tienen un color diferente. Ello significa que al desarrollar el polinomio deberás
tener cuidado al escribir el coeficiente negativo.
Paquetes de dulces
Una maestra de primaria está preparando paquetes de dulces para regalarles a sus alumnos el día del niño.
Ella tiene 45 alumnos y en cada paquete de dulces colocará 2 paletas, 5 chicles y 3 tamarindos. Pero se
pregunta cuántos dulces debe comprar en total. Ella cree que debe contar 2 paletas 45 veces, más 5 chicles
45 veces, más 3 tamarindos 45 veces. Tiene razón pero, ¿te imaginas contar tantísimas veces 45? Podemos
ayudarle escribiendo una expresión que use la propiedad distributiva.
¿Te acuerdas de ella? Es la que dice:
a(b+c+d) = ab + ac + ad
Veamos si es cierta esta igualdad, utilizando los datos de los dulces de la maestra. Digamos que a es el
número de alumnos, b el número de paletas en un paquete de dulces, c el número de chicles en un paquete
de dulces, y d, el número de tamarindos. Por lo tanto a=45 b=2, c=5 y d=3.
Si lo que queremos conocer es el número de dulces en total, utilizaremos la parte izquierda de la expresión
anterior.
45 (2 + 5 + 3)= 45(10) = 450
Hemos terminado. En total debe comprar 450 dulces. ¡Ah!, pero ¿qué tal si necesita saber cuántas paletas,
chicles y tamarindos debe comprar? Entonces debemos utilizar la otra parte de la expresión. Y verificaremos
si es cierto que la expresión del lado derecho vale 450, como la parte izquierda.
45 (2 + 5 + 3)= 45(2) + 45(5) + 45(3)= 90 + 225 + 135
Multiplicamos 45 por cada uno de los elementos del paréntesis, y lo que obtuvimos es que serán 90 paletas,
225 chicles y 135 tamarindos. Si sumamos 90+225+135 resulta 450. ¡Listo! ¡Problema resuelto!
Ahora la maestra ya que sabe que el problema de los dulces lo puede resolver con la propiedad distributiva.
Analicemos otro caso.
Queremos encontrar el área de un rectángulo con las siguientes dimensiones:
Antes de resolver esto, debes saber que la propiedad distributiva también funciona para cualquier agrupación
de variables que quieras. Es decir, puedo escribir un paréntesis con la suma de 2 ó más variables y
multiplicarla por otro paréntesis que contenga 2 ó más variables. Fíjate bien:
Bien, ahora regresemos al problema del rectángulo. Sabemos que el área de un rectángulo es igual a base
por altura. Podemos representarla como:
A = (x+4) (y-5)
No podemos determinar el área del rectángulo numéricamente, pero la podemos dejar indicada utilizando las
variables. Aplicando la propiedad distributiva tenemos:
A = (x+4) (y-5)
A = x (y-5) + 4(y-5)
A = xy -5x + 4y -20
Ahora lo único que falta es simplificar el polinomio, pero como en esta ocasión no encontramos términos con
variables y exponentes iguales, la expresión queda de la misma forma.
Hemos terminado y como podrás observar, el área que obtuvimos es un polinomio. Fíjate que hay términos
con coeficientes negativos. Estos coeficientes fueron el resultado de multiplicar un número o variable positiva
con uno negativo (ley de signos). Ten cuidado al realizar multiplicaciones, ya que el signo del coeficiente es
importante.
Recapitulando lo que hemos hecho hasta este punto debes tener en cuenta que:
• Cuando el resultado sea un polinomio, siempre hay que simplificar. La única forma de simplificar es
haciendo operaciones con los coeficientes de los términos que tengan la misma variable y el mismo
exponente.
• Al realizar la suma de términos semejantes, las variables no se modifican. Se escriben igual. Ten cuidado
con los signos de los coeficientes.
• No te olvides que al multiplicar dos variables IGUALES, el resultado será la misma variable y su
exponente es la suma de los exponentes de las variables que estamos multiplicando. Por ejemplo:
(a)(a5)=a6. Pero no podemos hacerlo con (a5) (b). El resultado es a5b.
• Cuando aplicamos la propiedad distributiva en dos paréntesis de más de un término, debemos multiplicar
el primer término del primer paréntesis por cada uno de los términos del segundo paréntesis, y así
sucesivamente hasta que terminemos todos los elementos del primer paréntesis.
Continuemos realizando operaciones
Encuentra el polinomio que resulta al calcular el área de un rectángulo con base igual a x+6 y altura igual a x10.
Ecuaciones cuadráticas
Me imagino que alguna vez has visto las competencias de clavados en la televisión: ¡cómo se lanzan los
clavadistas, desafiando las alturas y a la gravedad! Es un verdadero espectáculo. ¿Sabes? Algunos clavados
describen formas que pueden ser definidas matemáticamente. Presiona el botón Ver para que observes la
trayectoria del clavadista.
La trayectoria de la persona se puede representar gráficamente colocando un eje coordenado como se
muestra a continuación, además de encontrar la expresión matemática que la describe.
Si observamos la trayectoria del clavadista, podemos decir que la persona toca el agua en t =2 segundos.
Pero ¿qué tal si no tenemos la figura y tampoco sabemos si la figura está representada correctamente? Así,
debemos buscar una forma para encontrar el valor de t que nos indique en qué momento el clavadista toca el
agua. Para este esquema t es el tiempo en segundos y m es la distancia que recorre el atleta al lanzarse del
trampolín.
La persona se lanza desde una altura de 10 m, y necesitamos saber en qué momento toca el agua. Debemos
tomar el tiempo que se tarda desde que se lanza hasta que toca el agua. De acuerdo con la gráfica, cuando la
persona toca el agua es cuando llega al eje horizontal, es decir cuando m vale 0. Por lo tanto, necesitamos
saber en qué momento la trayectoria es igual a 0.
-5t2 +5t+10=0
Para resolver esta ecuación hay diferentes métodos. Utilizaremos la fórmula general, porque es el método
que funciona para cualquier tipo de ecuación cuadrática. ¿Te acuerdas? Así llamamos a las expresiones que
tienen exponente máximo igual a 2. Sólo necesitamos una ecuación de la forma: ax2+bx+c=0, y que cumpla
que a siempre sea diferente de 0 ( a≠0 ). La fórmula general es:
De la ecuación que define la trayectoria del clavadista -5t2+5t+10=0, debemos identificar los valores de a, que
es el coeficiente del término cuadrático (t2), b es el coeficiente de la variable con exponente 1 (t) y c es el
término independiente. De manera que a=-5 porque es el coeficiente de t 2 , b=5 que es el coeficiente de t, y
c=10 ya que es un término independiente. Ahora los sustituiremos en la fórmula general y la resolveremos.
¿Te acuerdas que procedemos de adentro hacia fuera? O sea, primero hacemos las operaciones en los
paréntesis.
Ahora, simplificamos los términos de adentro de la raíz.
Finalmente tenemos 2 valores, cuando 15 es positivo y cuando 15 es negativo:
t1 = -1
t2 = 2
Fíjate que ponemos subíndices para identificar cada uno de los valores. Ahora que ya encontramos dos
valores, tenemos que verificar que efectivamente ambos cumplan con la ecuación que describe la trayectoria
del clavadista, que es igual a 0. Para verificarlo, debemos sustituir los valores en la ecuación.
Ya hemos encontrado los dos valores que satisfacen la ecuación, pero como en esta ocasión estamos
hablando de tiempo, el resultado negativo no es válido como respuesta. Entonces podemos ignorarlo y saber
que hemos llegado a la solución que encontramos en la gráfica, t=2. Fíjate cómo no podemos sólo responder
mecánicamente, sino pensar en el problema concreto que enfrentamos para estar seguros de haber
contestado bien.
Con el eje coordenado como referencia, debemos encontrar el valor en que la ecuación cuadrática es igual a
0, ya que el eje horizontal está colocado sobre la superficie del agua.
Bien, ahora que ya sabemos los valores de a, b y c, debemos sustituirlos en la fórmula general y realizar los
cálculos en tu cuaderno para encontrar el valor donde el chorro de agua toca la superficie de la fuente.
Escribe los valores de a, b y c.
Como podrás observar en la fuente, el chorro de agua brota hacia la izquierda del eje coordenado, por esta
razón el resultado es -8, lo que significa que el chorro de agua toca a la superficie de la fuente 8 unidades a la
izquierda de donde sale, es decir, el origen. Además el otro valor nos dio 0, que justamente es el origen de
salida del chorro de agua. Esto indica que la ecuación describe los puntos donde comienza el chorro y donde
termina.
Intenta resolver la siguiente ecuación cuadrática utilizando la fórmula general. Escribe el procedimiento en tu
cuaderno. Antes de escribir los valores de x, verifica el resultado.
Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación,
tienen forma parabólica para así, concentrar las débiles señales que le llegan al foco (el foco, es el extremo
de la línea que se encuentra en el vértice).
Si observamos la antena de perfil, tiene forma parabólica, y de hecho así se denomina. Pero también estarás
de acuerdo que si observamos la antena de frente, es decir, desde arriba, la antena tiene forma de
circunferencia. Justamente fijándonos en esa circunferencia quisiéramos conocer el diámetro de la antena.
Podemos colocar la antena sobre un eje coordenado y establecer la ecuación cuadrática, para realizar
operaciones. Colocamos la línea de la antena sobre el eje y , de manera que los extremos de la antena
toquen el eje de la x. La expresión matemática que describe esta curva es:
y=4x2 -3600
Como lo que buscamos conocer es el diámetro de la antena parabólica, necesitamos identificar la distancia
entre los puntos que tocan el eje x. Para lograrlo, tenemos que encontrar esos puntos y medir la distancia
entre ellos. Por lo tanto, debemos encontrar para qué valores de la expresión anterior y es igual a 0, es decir,
4x2 -3 600=0.
Una forma de saber la distancia entre ambos puntos es usar la fórmula general. Sin embargo, intentemos otro
camino utilizando propiedades de los exponentes, que ya vimos anteriormente.
a) Si tenemos un término elevado a un exponente cualquiera, y además elevado a otro exponente, el
resultado es el mismo término y su exponente corresponde a la multiplicación del exponente por el número al
que se encuentra elevado: (yn) m= (y)n x m .Por ejemplo:[ (2k)3] 2= (2k3)2= 8k6 .
b) Podemos representar la raíz cuadrada como un exponente igual a 1/2.
. Aplicando esta
propiedad combinada con la propiedad anterior, resulta que: cuando lo que se encuentra dentro de la raíz
cuadrada está elevado al cuadrado, entonces, el resultado debe ser el término que se encuentra dentro de la
raíz, como se muestra a continuación:
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. Es decir, se llama raíz cuadrada de un
número al número que puede descomponerse en el producto de dos números iguales. Por lo tanto
escribiremos
, para indicar que existen los 2 valores, que al ser multiplicados por sí mismos,
dan por resultado 100, y que son 10 y -10.
Bien, ahora el procedimiento consiste en despejar el valor de x, utilizando las propiedades de inverso aditivo e
inverso multiplicativo. Pero antes me gustaría preguntarte ¿alguna vez haz escuchado decir, lo que está
sumando pasa restando y lo que esta restando pasa sumando? Justamente estas frases son el resultado de
la aplicación del inverso aditivo; es una forma de recordarlo. Asimismo surge la frase, lo que está
multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando, haciendo referencia al inverso
multiplicativo. Sólo debes tener cuidado al aplicar inverso multiplicativo, pues los signos no cambian.
Tenemos 4x2 - 3 600 = 0. Como 3 600 está restando lo pasaremos del otro lado sumando. Entonces:
4x2 = 3 600 . Ahora, como el 4 esta multiplicando a la x2 entonces lo pasaremos dividiendo del otro lado, es
decir, después del igual. Realizamos las operaciones:
x2 = 3 600/4
x2 = 900.
Bien, ahora sólo nos queda quitar el cuadrado de la x. De acuerdo a las propiedades de los exponentes,
aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
√x2 = √900
(X)2/2 = √900 Como (30)(30)= 900 y (-30)(-30)= 900, entonces:
x = ± 30
Ahora sólo resta expresar con subíndices para indicar cada uno.
x1 = 30
x2 =-30
Retomemos la pregunta inicial: ¿cuál es el diámetro de la antena parabólica? Nos referimos a la distancia
entre los puntos que tocan al eje de las x si consideramos la figura. Lo que hasta ahora hemos encontrado
son los puntos donde la antena toca al eje de las x, de manera que el diámetro está dado por las unidades
que hay entre esos dos puntos.
Entonces, el diámetro de la parábola es de 60 cm.
Como el caso de las antenas parabólicas, hay una gran cantidad de objetos que pueden ser representados
matemáticamente.
Seguro sabrás que existe una Torre que se llama Eiffel y que se encuentra en París, Francia. Esta tiene una
altura de 320.75 metros, ¿altísima no? Esta altura incluye la antena de transmisión de radio y televisión que
se encuentra en la punta de la torre. Definitivamente es una torre impresionante.
La Torre Eiffel es una estructura de hierro que pesa 9 441 toneladas. Comenzó a construirse en 1887 y se
terminó en 1889. Fue creada para una exposición que tendría lugar en París a principios del siglo XX. Dicha
estructura fue elegida entre 700 propuestas y fue diseñada por el ingeniero francés Alejandro Gustavo Eiffel.
Si te fijas, en la base de la torre nos encontramos con formas parabólicas. En realidad, toda la estructura tiene
formas geométricas, aunque hoy solamente nos ocuparemos de la forma parabólica.
Lo que nos interesa conocer es la longitud de un lado de la torre. Como lo hemos hecho anteriormente
colocaremos un eje coordenado sobre la figura para ubicar los datos necesarios, además se sabe que la
parábola formada en la base de la torre se define por la siguiente expresión:
y = -5x2 + 11 520
Un dato que conocemos además de la expresión, es que la longitud de las bases de la torre es de 2.7 metros.
Fíjate en la figura: el eje x se encuentra sobre la base de la torre y el eje y está en la mitad de la base, de
manera que la distancia del eje y a la izquierda de la parábola, debe ser igual a la distancia a la derecha de la
parábola. El eje sobre la imagen está inclinado para indicar que se encuentra sobre una cara de la torre, y por
eso se coloca el otro eje para indicar la forma parabólica con la que vamos a trabajar.
Para resolver el problema debemos encontrar los puntos de la parábola que tocan el eje de las x . Por lo
tanto, debemos calcular cuando y=0 , es decir, cuando -5x2 + 11 520=0
Utiliza el procedimiento que desarrollamos en el problema de la antena parabólica y escribe los valores de x.
Recuerda que utilizamos los subíndices para indicar cada uno de los valores. Al resolver la ecuación
cuadrática obtendrás dos valores, uno positivo y el otro negativo. Escribe en x1 el valor positivo y en x2 el
resultado negativo.
Retomando la cuestión inicial, habíamos dicho que necesitábamos determinar la distancia entre los dos
puntos donde tocaba la parábola al eje x.
De manera que si la distancia del eje y hacia la derecha de la torre Eiffel es 48 + 2.7 m, ósea, 50.7 m,
entonces la longitud de la base de la torre es 50.7 m por dos, ya que la distancia hacia la izquierda es la
misma. Por lo tanto, la longitud total de un lado de la Torre Eiffel es de 101.4m.
Utilizar las Matemáticas para describir características de las cosas que nos rodean es fabuloso. ¿Te
imaginas? Si para conocer la longitud de uno de los lados de la Torre Eiffel tuviéramos que ir hasta París,
sería complicado, ya que Francia está un poco lejos, ¿no te parece?
Practiquemos un poco más este procedimiento, resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Escribe en tu cuaderno las operaciones y anota aquí solamente el resultado.
En esta unidad hemos trabajado con algunas expresiones matemáticas que describen el comportamiento de
ciertas cosas, como la antena, la torre, el clavadista, etc. ¿De casualidad no te preguntas cómo es que surgen
estas expresiones o si es cierto que verdaderamente describen los fenómenos?
En realidad hay algunas cosas que son más fáciles de describir que otras, pero eso no significa que sea
inmediato. Te mostraremos una forma de encontrar funciones cuadráticas a partir de una gráfica.
Observa la siguiente parábola que pasa por los puntos (-4 y0) y (5 y 0). El hecho de que una parábola pase
por el eje de las x, indica que para esos valores y = 0, por la posición de los ejes coordenados.
Sabemos que una parábola se representa con una ecuación cuadrática. Si y = a x2+ bx + c representa una
ecuación cuadrática y además y = 0, entonces:
x2 + bx + c = 0.
Por otro lado, cuando estudiamos factorización de polinomios encontramos un resultado como el siguiente:
(x + α )(x + β )= ax²+ bx + c, en donde a = 1, b era igual a la suma de α + β, y finalmente c era el resultado de
multiplicar ab, ¿te acuerdas?
Ahora si ax² + bx + c = 0, entonces puedo decir que (x+ α )(x+ β ) = 0. Para que este resultado sea 0,
entonces al menos uno de los paréntesis debe ser 0.
(x + α )(x + β ) = 0
(x + α ) = 0 ó (x + β ) = 0
x = -α ó x = -β
Si α = -4 y β = 5 sustituyendo los valores tenemos que:
x = -4 ó x = 5
Ahora si a=1, b= α+β y c= αβ entonces:
a=4
b= -4+5 = 1
c = (-4)(5) = -20
Utilizando estos valores los sustituimos en la ecuación cuadrática y hemos terminado.
y = x2+x-20
Como te podrás dar cuenta no es tan difícil, aunque sí es necesario tener en cuenta las características que
deben cumplir las expresiones.
Productos notables y factorización
Observa las siguientes cajas. En algunas, existen figuras que se repiten. Queremos colocar en la caja vacía
las figuras que se repiten en todas las cajas; ayúdanos a colocar las figuras. Para seleccionar una figura,
debes colocar el puntero sobre la misma y hacer clic.
Por ejemplo fíjate en la caja 1, hay un rombo de color morado, en la caja 2 no hay ningún rombo y en la caja 3
hay dos rombos, como en la caja 2 no hay rombos entonces no podemos seleccionar el rombo.
Como te podrás dar cuenta, en la caja vacía aparecieron todos los elementos que son comunes de las 3
cajas. Lo que hicimos fue agrupar las 3 cajas e identificar los elementos comunes en cada una de ellas. A
este procedimiento le vamos a llamar factorización.
En Matemáticas se utiliza el término factorización para identificar los elementos comunes que comparten un
conjunto de variables. Por ejemplo, en la expresión ax3 + bx2+ cx, observa que los 3 términos están
multiplicados por x. Como x es el factor común en los tres términos, entonces la elegiremos para factorizar la
expresión. Además, elegiremos la x que tenga el menor exponente. Para indicar la factorización utilizamos el
paréntesis.
ax3 + bx2 + cx = x (ax2 + bx + c)
¿Te parece conocida esta expresión?, la utilizamos al repasar la propiedad distributiva en la unidad anterior.
En este caso el término de la izquierda es la factorización del término de la derecha, de manera que al
multiplicar x por el paréntesis podamos obtener la expresión de la derecha.
Recordarás que al multiplicar dos variables iguales, el resultado es la variable con exponente igual a la suma
de los exponentes; como se muestra en la expresión anterior, al multiplicar x(ax2) = ax3. Como la variable a es
diferente de x, entonces a queda exactamente igual.
¿Te acuerdas que dijimos que un coeficiente es un valor constante, que podía ser un número positivo o
negativo? Para el caso de la factorización, también podemos factorizar los coeficientes, si encontramos un
número que sea múltiplo de los otros coeficientes. Veamos un ejemplo:
3ax + 6a2y + 21a3z = 3a (x + 2ay + 7 a2z)
Si multiplicamos 3a por lo que se encuentra dentro del paréntesis encontraremos que:
3a (x) = 3ax
3a (2ay) = 6a2y
3a (7a2z) = 21a3z
Encuentra los factores comunes de los siguientes polinomios y factoriza la expresión:
Aquí encontramos dos resultados interesantes, observa con atención:
(w+4) (w-4) = w2 - 16
Binomios conjugados
Aquí tenemos un resultado interesante. Fíjate en el primer paréntesis. Tiene dos elementos. Uno es w y el
otro es 4. Ahora fíjate que los elementos del segundo paréntesis son iguales a los del primer paréntesis.
Observa los signos. Son diferentes: uno es positivo y el otro es negativo. A este resultado le llamaremos
binomios conjugados.
Diferencia de cuadrados
Por otro lado, el resultado es w2 -16, como el 16 es el resultado de multiplicar (4)(4), modificaremos el
resultado escribiéndolo: w2 -(4) 2 . Observa que tenemos 2 elementos (w y 4) que son los mismos que
encontramos en los paréntesis anteriores, aunque ahora se encuentran elevados al cuadrado. Además, el
signo entre ellos es negativo (-), lo que implica que la operación entre ellos es una resta, que fue el resultado
de multiplicar (+)(-). A este resultado le llamaremos " diferencia de cuadrados".
Los binomios conjugados son la factorización de una diferencia de cuadrados, es decir si tengo w2 - 16, a esta
expresión la puedo factorizar como (w + 4) (w - 4).
Ahora intenta hacerlo; factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. No se te olvide colocar los
paréntesis, porque si no te marcará error.
Ahora que ya sabes factorizar, ayudemos a la familia Rodríguez a solucionar un problema.
La familia Rodríguez compró un terreno en forma de cuadrado. Ellos quieren dividir el terreno de manera que
una parte sea para la construcción de la casa, en otra parte estará el estacionamiento, una sección será para
un gimnasio y finalmente el jardín, que ellos quieren que sea del mismo tamaño que el del estacionamiento,
como se muestra en la figura.
Sabemos que las dimensiones del terreno están representadas por las variables a y b. Lo que necesitan es
una expresión que represente el área de su terreno.
Una manera de hacerlo es fijándonos en el área de las figuras internas del terreno, y sumarlas todas, es
decir, el área de la casa + área del jardín + área del estacionamiento + área del gimnasio. Escribe las
expresiones en tu cuaderno y simplifica la expresión si hay términos comunes. Elige la opción
correspondiente a tus cálculos:
La otra forma de resolver este problema es considerando que el terreno tiene forma cuadrada y la longitud de
sus lados es a + b. Ahora calcula el área del terreno.
Esto implica que las dos expresiones deben ser iguales, por lo tanto:
(a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²
¿Te acuerdas que dijimos que al multiplicar x(x) = x²? Bueno, ahora pon atención, porque voy a suponer que
x = a + b. Si reemplazo el valor de x por a + b, resulta que al multiplicar (a+b) (a+b) = (a+b)². Lo que
obtuvimos se llama cuadrado de la suma, esto implica que tenemos el cuadrado de la suma de 2 elementos,
también llamado el binomio al cuadrado o el cuadrado de un binomio. Así que también puedo escribir lo
anterior como:
(a+b)² = (a +b) (a + b) = a² + 2ab + b²
A la expresión de la derecha le llamaremos trinomio cuadrado perfecto. El nombre de trinomio es porque de
la expresión resultante existen 3 términos. Lo de cuadrado perfecto es porque se obtiene del análisis de un
cuadrado (porque tiene raíz cuadrada exacta).
¿Te acuerdas de la casa de los Rodríguez? Roberto , que es uno de los hijos de la familia Rodríguez, se va a
casar. Él compró un terreno igual al de sus padres, con la intención de hacer su casa igual a la de ellos. Pero
resulta que al hacer el presupuesto, no le alcanzaba para pagar todo el terreno, así que decidió disminuir el
área del mismo, quitando el estacionamiento y el jardín, para que, de esta manera, quedara igual la casa y el
gimnasio.
El terreno es de forma cuadrada, sólo que Roberto no podrá construir, ni utilizar el área del estacionamiento y
del jardín. Ayúdale a encontrar una expresión que represente el área del terreno.
Comienza por analizar los cuadrados internos del terreno y suma las áreas de la casa y el gimnasio, y
después resta el área del estacionamiento y del jardín. Elige la opción que corresponda a tus cálculos:
Pensemos ahora en el cuadrado del terreno. Ahora la longitud del los lados será a-b. Con esta información
encuentra el área de construcción de la casa de Roberto. Elige la respuesta que consideres correcta.
Como los dos resultados son iguales, resulta que:
(a-b) (a-b) = a² - 2ab + b²
Este resultado es similar al que encontramos cuando calculamos el área de la casa de la familia Rodríguez,
¿te acuerdas?
Esta expresión es conocida como el cuadrado de la resta, y el resultado también es un trinomio cuadrado
perfecto. La diferencia entre el cuadrado de la suma y el cuadrado de la resta es el signo, que afecta el
segundo término del trinomio como se muestra en las siguientes expresiones:
Practiquemos lo que hemos aprendido. Encuentra el área del rectángulo que tiene lados w-9.
Hasta ahora lo has hecho de maravilla
Ahora veamos el área de un rectángulo con las siguientes dimensiones:
Analicemos el resultado por pasos: cuando calculaste el área lo que hiciste fue multiplicar (w+4) (w-2) y tu
resultado inicial fue:
Fíjate que los números que se encuentran dentro del paréntesis, determinan los últimos dos términos del
resultado. El segundo término es la suma de los números, y el tercer término es la multiplicación de esos
números. Es decir, -2 + 4 = 2 y (4) (-2) = - 8
Con esto escribimos el resultado completo:
(w + 4) (w - 2) = w² + 2 w -8
Este procedimiento es válido siempre que tengamos en común una variable, como en el ejemplo: los dos
términos que multiplicamos tienen w como variable común. Con esta información, podemos factorizar una
expresión con 3 términos haciendo el procedimiento inverso. Ahora queremos factorizar la siguiente
expresión:
g² -3g-10 = ?
Sé que debo encontrar dos números que al sumarse resulte -3 y que al multiplicarse dé -10. Comenzaremos
por buscar los números que se multiplican. Como el resultado de la multiplicación es negativo y sabemos que
al multiplicar dos números con signo diferente el resultado es negativo, significa que los números que estoy
buscando tienen signo diferente. Vamos a representar los números desconocidos con las variables a y b.
ab = -10
(10) (-1) =-10
(5) (-2) =-10
(1) (-10) =-10
(2) (-5) =-10
Ya encontré 4 posibles números que al multiplicarse sean -10, ahora utilizaré estas combinaciones de
números para encontrar aquellos que al ser sumados resulte -3.
a =10, b = -1 al sumar 10 + (-1) = 9. No son los números que estoy buscando.
a =5, b = -2 ;al sumar 5-2 = 3. No son los números que estoy buscando
a =-10, b = 1 al sumar; -10 + 1 = -9. No son los números que estoy buscando
a =-5, b = 2; al sumar -5 + 2 = -3. ¡Bien! Hemos encontrado los números.
Ahora escribiremos la expresión factorizada de la siguiente manera:
g² -3g-10 = (g-5) (g+2)
Ahora intenta encontrar la factorización de la siguiente expresión. Escribe el número mayor en la primera
factorización.