Gravitación universal 1 - Universidad de Antioquia

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Gravitación universal 1
Contenidos del módulo
9.1 Descomposición de las fuerzas
9.2 Ley de la gravitación universal
9.3 Ecuaciones de un movimiento para fuerzas gravitatorias
9.4 Verificación de la ley de gravitación universal
Objetivos del módulo
Gravitación. La fuerza gravitacional que
ejerce la Tierra sobre los cuerpos situados
en su superficie o cerca de ella hace que
éstos tiendan a caer.
1. Presentar las leyes de Newton para el movimiento de los cuerpos.
2. Deducir la ley de gravitación universal.
3. Discutir la solución a la ecuación de movimiento bajo fuerzas gravitatorias.
4. Verificar la compatibilidad de la ley de gravitación universal con los descubrimientos de Galileo sobre caída de los cuerpos.
Preguntas básicas
1. ¿Por qué es posible afirmar que toda fuerza que actúa sobre un cuerpo tiene una
componente tangencial y otra perpendicular al movimiento?
2. ¿Por qué se puede calcular el valor de la aceleración en el movimiento circular uniforme a pesar de que la magnitud de la velocidad no cambia?
3. ¿Cuál es la importancia de poder expresar una ecuación de movimiento para un
cuerpo sobre el que actúa una fuerza?
4. Indique cuáles son los parámetros y las funciones que es preciso conocer para
poder determinar la trayectoria de un cuerpo sujeto a una determinada fuerza.
5. Explique por qué es tan importante el estudio del movimiento circular uniforme en
la determinación de la fuerza de gravitación universal, a pesar de que los planetas
no se mueven en órbitas circulares.
6. Explique por qué la fuerza de gravitación debe ser proporcional al producto de las
masas de los cuerpos que interactúan.
7. ¿Por qué se llama universal a la ley de gravitación de Newton?
8. Explique cuál es la validez de los descubrimientos de Galileo desde el punto de
vista de la teoría de Newton de la gravitación.
Introducción
A partir de las leyes para el movimiento de los cuerpos es posible plantear ecuaciones
de movimiento si se conoce la forma matemática de la fuerza. La solución a la ecuación de movimiento se conoce como trayectoria y está dada en términos de la
posición en función del tiempo. Para determinar las posibles trayectorias de un
cuerpo sujeto a la fuerza de gravitación es necesario determinar la forma matemática
de la fuerza y resolver la ecuación de movimiento que resulta. Los resultados obtenidos deben ser compatibles con resultados previamente validados de las teorías y
los modelos anteriores.
Vea el módulo 9 del
programa de
televisión Física
Conceptual
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
9.1 Descomposición de las fuerzas
Consideremos la trayectoria de un cuerpo sobre el que actúa una fuerza (figura 9.1).
Debido a su carácter vectorial, una fuerza se puede descomponer convenientemente en componentes perpendiculares; si una de las componentes es paralela instantáneamente a la velocidad del móvil, la otra será perpendicular a la primera, de modo
que si designamos por F la fuerza que actúa sobre el cuerpo, por Ft la fuerza tangencial
a la trayectoria y por Fc la fuerza perpendicular, se cumple que:
F = Ft + Fc
(9.1)
y
FT
m
FC
F
x
Figura 9.1. Diagrama de fuerzas y trayectorias
Consideremos la acción de una fuerza paralela al desplazamiento del cuerpo sobre el
que está actuando (figura 9.2). La dirección del movimiento permanece inalterada
pero la magnitud de la velocidad aumenta y la aceleración es positiva. Si la fuerza
paralela actúa en la dirección contraria al movimiento, la velocidad disminuye y la
aceleración es negativa. En consecuencia podemos decir que cuando la fuerza es
paralela al desplazamiento del cuerpo sólo cambia la magnitud de la velocidad, pero
deja la dirección inalterada.
v2
v1
FT
:
m
m
v1
v2
:
FT
m
m
Figura 9.2. Diagrama de fuerza y trayectoria paralela
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Módulo 9: Gravitación universal 1
Cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo es perpendicular a su trayectoria, la
dirección del movimiento cambia instantáneamente pero la magnitud de la velocidad permanece inalterada. Puesto que la velocidad tiene carácter vectorial, el mero
cambio de dirección implica que hay una aceleración, aunque la magnitud de la
velocidad no haya cambiado.
Consideremos el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza exclusivamente
perpendicular, como en el caso de un cuerpo atado por una cuerda que gira alrededor del punto O (figura 9.3).
v
FC
v
v
FC
FC
FC
v
constante
v
Figura 9.3. Cuerpo que gira atado a una cuerda
Puesto que la magnitud de la velocidad no cambia, el móvil recorre arcos iguales en
intervalos de tiempo iguales y realiza un movimiento que denominamos circular y
uniforme (figura 9.4). Consideremos dos puntos A y B muy próximos entre sí que
definen un arco 's que el móvil recorre en el tiempo 't , de modo que la magnitud
de la velocidad es:
v
's 't
(9.2)
La aceleración que experimenta el móvil se puede encontrar a partir de la relación
entre la diferencia vectorial entre las velocidades en A y en B y el tiempo t (figura
9.5). Observemos que los dos vectores velocidad vA y vB hacen un ángulo D
idéntico al ángulo que hacen los respectivos radios RA y RB. Observemos que si el
tiempo t se hace tan corto como se quiera, lo que se puede llamar un intervalo
infinitesimal de tiempo, el arco AB se aproxima a una línea recta y el sector circular
ABO se puede considerar un triángulo, que resulta semejante al triángulo formado
por las velocidades vA y vB y su diferencia 'v .
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
A
vA
B
RA
vB
RB
C
Figura 9.4. Circunferencia con dos radios y vectores tangenciales
vA
A
s
vA
B
a
v
R
vB
a
O
vA
=
vB
Figura 9.5. Sector esférico y triángulo de diferencia de velocidades
Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos se puede establecer la siguiente
relación:
'v v
's R
De (9.2) resulta que 's
a
'v 't , entonces 'v
a
100
v2 R
(9.3)
v 't y teniendo en cuenta que si la aceleración es
a 't , y reemplazando en (9.3) obtenemos:
(9.4)
Módulo 9: Gravitación universal 1
La expresión (9.4) corresponde a lo que vamos a denominar aceleración centrípeta,
puesto que en el límite en el que 't se hace infinitesimal y D tiende a cero, el vector
'v es perpendicular a la velocidad y paralelo al radio. En consecuencia podemos
decir que si un cuerpo de masa m describe un movimiento circular uniforme, la
fuerza centrípeta que actúa sobre él tiene la magnitud:
Fc
mv 2 R
(9.5)
9.2 Ley de la gravitación universal
El haber podido establecer la forma de la fuerza centrípeta fue un paso muy importante que dio Newton para resolver el problema del movimiento planetario bajo la
fuerza central del Sol. Como habíamos visto en el capítulo anterior, Newton estableció que la misma fuerza que hace caer una manzana también es responsable de que
la Luna se comporte como un satélite de la Tierra y de allí extendió su razonamiento
al resto del sistema solar. Newton llegó a sus conclusiones a partir de la siguiente
consideración: supongamos que desde la cima de una montaña muy alta se lanza
horizontalmente un proyectil (figura 9.6). Es claro que el alcance del disparo dependerá de la velocidad inicial y si ésta no es muy alta el proyectil va a describir una
trayectoria aproximadamente parabólica, tal como demostró Galileo. Pero si la velocidad aumenta de una manera considerable de tal modo que el proyectil avance
varios kilómetros antes de caer a tierra, la trayectoria será una especie de espiral. Si
continuamos aumentando la velocidad del proyectil también va a aumentar su alcance hasta que llegará un momento en que el proyectil llegará de nuevo al punto
de partida, y puesto que la fuerza que actuó sobre él siempre fue perpendicular a su
trayectoria, la velocidad no habrá cambiado de magnitud y el proyectil podrá continuar orbitando a la Tierra en círculos, en tanto no sea detenido por la fricción o por
la acción de alguna otra fuerza.
Figura 9.6. Lanzamiento de proyectiles desde lo alto de una montaña
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Una consideración adicional que desempeñó un papel muy importante en la deducción de la forma de la ley de gravitación universal fue la demostración que realizó
Newton de que dos cuerpos extensos como la Tierra y la Luna se atraen como si sus
masas estuvieran concentradas en sus respectivos centros de masa.
Aunque Kepler había demostrado que el movimiento planetario correspondía a
trayectorias elípticas, también era cierto que la mayoría de las elipses planetarias
tenían poca excentricidad, como en el caso de la Tierra, y que en ciertos casos se
podían considerar casi circulares. Teniendo en cuenta esta aproximación se puede
considerar que el movimiento de la Tierra es circular y uniforme (figura 9.7), de modo
que la fuerza que actúa sobre ella es una fuerza centrípeta como la que describe la
ecuación (9.5).
Tierra
Sol
Figura 9.7. Trayectoria circular de la Tierra alrededor del Sol
Puesto que en el movimiento circular uniforme la velocidad instantánea siempre es
la misma y constante, y teniendo en cuenta que en un tiempo igual al periodo orbital
T se recorre una circunferencia 2S R , donde R es el radio de la órbita terrestre, se
puede expresar la velocidad de la Tierra como:
v
2S R T
(9.6)
En consecuencia, si mT es la masa de la Tierra, la fuerza que experimenta en su órbita
alrededor del Sol de acuerdo con la ecuación (9.5) es:
F
4S 2 mT R T 2
(9.7)
En la ecuación (9.7) podemos ver que la fuerza depende del inverso del cuadrado del
periodo, pero si tenemos en cuenta la tercera ley de Kepler, que en unidades
astronómicas se expresa:
T2 = R3
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(9.8)
Módulo 9: Gravitación universal 1
la ecuación (9.7) queda:
F
4S 2 mT R 2
(9.9)
La ecuación (9.9) está expresada en unidades astronómicas. En un sistema arbitrario de unidades podríamos escribir (9.9) como una proporcionalidad de la siguiente
manera:
F D mT R 2
(9.10)
Si se tiene en cuenta que la fuerza con la que el Sol atrae a la Tierra es igual y de
sentido contrario a la fuerza con la que la Tierra atrae al Sol, esta última tiene que ser
proporcional a la masa del Sol mS, así como la primera es proporcional a la masa de
la Tierra mT, de lo que resulta que la fuerza debe ser proporcional al producto de las
masas del Sol y de la Tierra, por lo que la ley de fuerza se debe poder escribir:
FD mT ms R 2
(9.11)
Puesto que aparentemente no hay ninguna otra variable que determine la magnitud
de la fuerza de interacción gravitatoria entre dos cuerpos de masa m y m´ respectivamente, la proporción (9.11) se puede escribir como una ecuación introduciendo
una constante de proporcionalidad que llamaremos constante de gravitación universal G.
F
G mmc R 2
(9.12)
La ecuación (9.12) constituye la ley de gravitación universal. Su carácter de universal proviene del hecho de que cualquier par de cuerpos separados una distancia R,
en cualquier lugar del universo, se atraen mutuamente con una fuerza cuya magnitud está dada por la ecuación (9.12).
9.3 Ecuaciones de un movimiento para fuerzas
gravitatorias
Una vez conocida la forma de la ley de fuerzas para la atracción gravitatoria, Newton
procedió a plantear y a resolver la respectiva ecuación de movimiento. Teniendo en
cuenta que la aceleración está dada por a
'v 't y que la velocidad se puede
expresar como v 'r 't , donde r es el vector posición del cuerpo que está sujeto
a la acción de la fuerza gravitacional, si el intervalo de tiempo se vuelve infinitesimal
y lo expresamos como dt podemos escribir las expresiones para la velocidad y la
aceleración así: v = dr /dt. De acuerdo con lo anterior la aceleración se puede
expresar como a = d2r /dt2, y la ecuación de movimiento para un cuerpo de masa m,
que experimenta la fuerza gravitacional de otro cuerpo de masa m´ situado a una
distancia r, queda:
md 2 r dt
Gmmc r 2
(9.13)
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Para escribir la ecuación (9.13) se ha partido del supuesto de que la masa m´ es
mucho mayor que la masa m y que m´ se encuentra en el origen del sistema de
coordenadas (figura 9.8).
m
m
,
,
m
m
r
Figura 9.8. Diagrama de m y m´
La solución más general de la ecuación (9.13) corresponde a la ecuación de una
cónica. Para encontrar una solución específica es necesario conocer la posición y la
velocidad inicial del cuerpo de masa m, y dependiendo de estos dos valores la
solución puede ser una cualquiera de las cuatro curvas cónicas. Recordemos que
las cónicas son las figuras que resultan cuando se intersecan un plano y un cono,
y que dependiendo del ángulo entre el eje del cono y la normal al plano y del ángulo
entre el eje y la generatriz del cono, se obtiene una de las cuatro cónicas: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. Notemos que tal como en la ecuación
(9.13) hay dos parámetros ajustables, la posición y la velocidad inicial, en la ecuación de una cónica también hay dos parámetros variables que pueden ser los ángulos mencionados o cualquier otra pareja de valores directamente relacionados con
los anteriores.
Si volvemos a la situación de lanzar proyectiles horizontalmente desde un sitio
suficientemente alto podemos ilustrar de qué modo resulta cada una de las posibles
trayectorias variando la magnitud de la velocidad horizontal y dejando fija la posición inicial (figura 9.9).
El primer caso de interés resulta cuando la velocidad inicial tiene el valor mínimo vm
necesario para que el cuerpo describa una trayectoria cerrada y regrese al punto de
partida; en este caso la trayectoria es una circunferencia.
El segundo caso que vamos a considerar es aquel en el que el proyectil parte con la
mínima velocidad necesaria ve para escapar del centro de fuerza y alejarse indefinidamente; la trayectoria que resulta es una parábola.
En el tercer caso consideremos un proyectil que parte con una velocidad v mayor
que vm y menor que ve; la trayectoria que resulta es una elipse.
Por último consideremos el caso en el que la velocidad inicial es mayor que ve; la
trayectoria que resulta es una hipérbola.
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Módulo 9: Gravitación universal 1
Hipérbola
Circunferencia
Parábola
vm
Elipse
v
m
v
vc
vc
v
vc
Vaya a la animación
Diagrama de
movimiento en cónicas
relacionada con la
figura 9.9.
Figura 9.9. Diagrama de lanzamiento de proyectiles y cónicas
Es importante observar que para una posición inicial dada sólo hay un modo de
obtener una circunferencia o una parábola, en tanto que existe una familia de un
número infinito de elipses o de hipérbolas para cada una de las velocidades que se
encuentren en los rangos asignados, lo que explica por qué es tan poco frecuente
encontrar en el movimiento planetario trayectorias perfectamente circulares y en
cambio son tan comunes las trayectorias elípticas y las hiperbólicas.
9.4 Verificación de la ley de gravitación universal
La gran potencia de la ley de gravitación universal se puede apreciar al comprobar
su compatibilidad con todos los hechos y leyes conocidos previamente asociados
al fenómeno de la gravedad, tanto del movimiento astronómico como del movimiento de los proyectiles y de los cuerpos graves.
9.4.1 La ley de caída de los cuerpos y el movimiento
pendular
Consideremos inicialmente los descubrimientos de Galileo sobre la caída de los
cuerpos y el movimiento pendular. De acuerdo con la ley de gravitación universal,
un cuerpo de masa m sobre la superficie de la Tierra experimenta una fuerza que se
denomina peso, dada por la expresión:
F
GmM R 2
(9.14)
Donde M es la masa de la Tierra y R es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra.
Puesto que la fuerza que actúa sobre el cuerpo se puede expresar como F = mg,
donde g es la aceleración de caída de los cuerpos, la ecuación (9.14) se puede
escribir:
mg
GmM R 2
(9.15)
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Dividiendo a ambos lados de la ecuación (9.15) por m se obtiene la expresión para la
aceleración que experimenta el cuerpo que cae sobre la superficie de la Tierra:
g
GM R 2
(9.16)
Observemos que g es una magnitud que no depende de la masa del cuerpo que cae.
Esto está en completo acuerdo con el resultado que había obtenido Galileo, de que
la aceleración de caída de los cuerpos es independiente de la masa. Para llegar a este
resultado se hizo la suposición implícita de que la masa gravitatoria de un cuerpo es
igual a su masa inercial, consideración que inicialmente pasa casi desapercibida
pero que posteriormente va a cobrar un importante significado físico.
Pero Galileo también afirmó que la aceleración de caída de los cuerpos no depende
de la altura desde la que se dejen caer. Sin embargo, la ecuación (9.16) nos dice que
la aceleración depende de la distancia al centro de la Tierra, dato que fue clave para
que Newton pudiera comparar la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre. La afirmación de Galileo
resulta comprensible cuando se tiene en cuenta que el radio terrestre mide unos
6.369 kilómetros y que las variaciones de altura que estaban disponibles para los
experimentos de Galileo apenas alcanzaban unos cientos de metros, magnitud despreciable en primera aproximación respecto al valor del radio terrestre, de donde
resulta que la ley de Galileo para la caída de los cuerpos se obtiene como una
aproximación a partir de la ley de gravitación de Newton. Actualmente se dispone de
instrumentos de medición lo suficientemente precisos para demostrar que la aceleración de caída en los polos es mayor que en el ecuador debido al achatamiento de
la Tierra.
Otro de los descubrimientos claves en el trabajo de Galileo fue el isocronismo pendular, según el cual el periodo de oscilación de un péndulo no depende del peso ni
de la amplitud. La independencia respecto al peso está directamente relacionada
con la ley de caída libre y todas las consideraciones que se hicieron aplican en este
caso. Pero la independencia del periodo respecto a la amplitud resulta ser una
aproximación válida sólo para el caso de pequeñas amplitudes de oscilación, en las
que sea válida la aproximación de que el ángulo D que hace la cuerda del péndulo
con la vertical cumpla la relación sen D D , cuando D se expresa en radianes.
Resumen
A partir de las leyes del movimiento y de las características conocidas del movimiento planetario, Newton determinó la forma de la fuerza de gravitación y estableció la
ley de gravitación universal, con lo que pudo plantear una ecuación de movimiento
para un cuerpo sujeto a este tipo de fuerza. La solución más general a la ecuación de
movimiento bajo fuerzas gravitatorias es una trayectoria cónica, que toma una forma específica según los valores que tomen los parámetros posición inicial y velocidad inicial. La compatibilidad de la ley de gravitación universal con los descubrimientos de Galileo para la caída libre de los cuerpos y el movimiento pendular está
garantizada por el hecho de que estos fenómenos se pueden deducir como casos
particulares y aproximaciones de la ley de Newton.
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Bibliografía
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