21.- CONSTRUCCIÓN DE UNA ROTONDA En una

21.- CONSTRUCCIÓN DE UNA ROTONDA
En una determinada localidad, el responsable del planeamiento urbanístico presenta una
propuesta para la construcción de una rotonda con 10 metros de diámetro. En el centro de
la rotonda, se pretende construir un jardín en forma de rombo, con 20 metros de
perímetro, como sugiere la figura. Alrededor del jardín se colocará una calzada y otros
elementos decorativos.
Sobre la figura se considera que:
Los puntos A, B, C y D son los vértices del rombo.
El punto O es el centro de la circunferencia.
El ángulo ADO tiene de amplitud a, siendo 0<a<π/2
1) Demuestra que el área, en metros cuadrados, de la zona destinada a jardín está
dada, en función de a, por: A(a)=50cosa⋅sena, 0<a<π/2
2) Determina A(π/4). Interpreta geométricamente el resultado obtenido, indicando qué
forma particular tiene el rombo para a=π/4.
RESOLUCIÓN
2) Vamos a introducir la expresión A(a) en el editor de funciones con la ventana de
visualización indicada a continuación.
Al determinar el máximo de la función (Análisis / Resolución gráfica / Max) verificamos
que la abcisa del valor máximo tiene un valor aproximado de π/4 y la ordenada tiene valor
25. De esta forma, verificamos que la forma particular del rombo es un cuadrado.
22.- GASÓMETRO
En el período de pruebas que antecede a la entrada en funcionamiento de un gasómetro,
con capacidad de 100 toneladas, se procedió a su relleno, continuamente, durante 24
horas. Por razones de seguridad, el gasómetro fue lastrado con 2,5 toneladas de gas,
después de que se iniciara la operación de relleno. A partir de ahí, su relleno fue hecho de
acuerdo con el modelo:
M(t) =
100
1 + 39 ⋅ e − 0,49⋅ t
, siendo 0 ≤ t ≤ 24
(M representa la masa total, expresada en toneladas, existente en el gasómetro t horas
desde el inicio de su relleno)
Durante el período en que transcurre el relleno del gasómetro, ¿existe un cierto intervalo
de tiempo en que la tasa de variación media del modelo toma un valor negativo? Justifica
razonadamente la respuesta.
RESOLUCIÓN
Vamos a introducir la expresión en el editor de funciones y como ventana de visualización
la siguiente.
Al observar el gráfico de la función podemos concluir que no puede existir un intervalo
donde la tasa de variación media sea negativa, puesto que la función es creciente en su
dominio. La tasa de variación media es siempre positiva.
23.- DOS FUNCIONES
Considera la función f definida en el intervalo [1, 2] por f(x)=cos(x – 1)+ln x. Para un cierto
valor real positivo a y para un cierto valor real b, la función g, definida en el intervalo [1, 2]
por g(x)=a⋅f(x)+b, tiene por recorrido el intervalo [4, 5].
Utilizando la calculadora gráfica, determina los valores de a y de b, redondeados a las
centésimas. Explica cómo lo haces. Debes incluir los gráficos visualizados en la
calculadora y las coordenadas relevantes de algunos puntos. Trabaja siempre con un
mínimo de tres cifras decimales.
RESOLUCIÓN
Vamos a determinar el máximo de la función.
Teniendo en cuenta el recorrido de la función [ 1 , 2 ], debemos utilizar la ventana de
visualización que se indica a continuación.
Para obtener el máximo de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Máx.
Verificamos que la función tiene un máximo con ordenada 1,297
Si efectuamos una operación idéntica para encontrar el mínimo de la función, vemos que
la calculadora no puede encontrar el mínimo. Vamos a utilizar el cursor de recorrido para
encontrar el mínimo dentro del dominio de la función. Visualmente verificamos que la
función comienza a crecer y después vuelve a decrecer. De esta forma conseguimos
percibir visualmente que el mínimo esta situado en una de las extremidades del gráfico.
Al recorrer la función, verificamos que el mínimo tiene de coordenadas (1,1)
Para determinar los valores pedidos tenemos que resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
a+b=4
⎫
⎬
1.297 a + b = 5 ⎭
En el menú Principal, podemos resolver este sistema de ecuaciones usando el teclado
2D. De esa forma obtenemos . A= 3.367 y B= 0.633
De esta forma, podemos definir la función como: g(x) = 3.367 ⋅ [cos( x − 1) + ln x ] + 0.633
24.- ÓRBITA TERRESTRE
Como sabes, la Tierra describe un órbita elíptica alrededor del Sol. En la figura está
representado un esquema de esa órbita. Está señalado el perihelio o punto de la órbita de
la Tierra más próximo al Sol. En la figura está señalado un ángulo de amplitud x radianes
(x∈[0,2π]. Este ángulo tiene su vértice en el Sol, su lado origen pasa por el perihelio y su
lado extremo pasa por la Tierra. La distancia d, en millones de kilómetros de la Tierra al
Sol, esta dada (aproximadamente) en función de x, por d = 149,6 (1 – 0.0167 cos x)
1)
Determina la distancia máxima y la distancia mínima de la Tierra al Sol. Presenta los
valores pedidos en millones de kilómetros, redondeados a las décimas.
2)
Se sabe que x verifica la relación
2πt
= x − 0.0167 ⋅ sen x , siendo
T
t el tiempo, en días, que transcurre desde el paso de la Tierra por el perihelio hasta
el instante en que alcanza la posición correspondiente al ángulo x.
T el tiempo que tarda la Tierra en describir una órbita completa (365,24 días)
2.1) Demuestra que, para x = π, se tiene t = T/2
2.2) Se sabe que el último paso de la Tierra por el perihelio ocurrió en cierta hora del
dia 4 de Enero. Determina la distancia a la que la Tierra se encontraba del Sol, en
la misma hora del dia 14 de Febrero. Presenta el resultado en millones de
kilómetros, redondeando a las décimas.
La resolución de esta cuestión implica una ecuación que debe ser resuelta
gráficamente, usando como recurso la calculadora. Presenta los elementos obtenidos
en la utilización de la calculadora, tales como los gráficos y las coordenadas
relevantes de algunos puntos.
RESOLUCIÓN
2.2) El tiempo que transcurre entre el día 4 de Enero y 14 de Febrero es de 41 días. De
esta forma, la ecuación
forma:
2⋅π⋅t
= x − 0,0167 ⋅ sen x puede ser escrita de la siguiente
T
2 × π × 41
= x − 0,0167 ⋅ sen x
365,24
Vamos a resolver gráficamente la ecuación:
Vamos a igualar la ecuación a cero y a hallar gráficamente el cero de la función.
2 × π × 41
− x + 0,0167 ⋅ sen x = 0
365,24
Introducimos la expresión en Y1. Configuramos la ventana de visualización teniendo en
cuenta que el dominio de la función es [0, 2π).
Para obtener el cero de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Raíz
Según el resultado obtenido, podemos concluir que el valor de x es 0,7163. Para
determinar la distancia pedida sustituimos el valor encontrado (0.7163) en la expresión de
la distancia. Así tenemos:
d = 149.6 (1-0.00167 cos x)
d = 149.6 (1-0.00167 cos 0.7163)
d =147.72 millones de kilómetros