Introducción a las Matemáticas Discretas Solucion Asignación 1. 1

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 3325: Introducción a las Matemáticas Discretas
Solucion Asignación 1.
1. Enuncie el reciproco del siguiente teorema:
Teorema: Toda función diferenciable en los reales es continua.
Solución: Toda función continua en los reales es diferenciable.
2. Construya la tabla de veracidad de los siguientes enunciados compuestos:
(a) ¬(p ∧ (q ∨ p)) ←→ p.
Solución: Trátelo, no es muy difı́cil.
(b) (p ∧ q) ∨ ((¬p) → q).
Solución: Trátelo, no es muy difı́cil.
3. Demuestre que [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) es una tautologı́a.
Solución: Con tabla de veracidad:
p
C
C
C
C
F
F
F
F
q
C
C
F
F
C
C
F
F
r p→q
C
C
F
C
C
F
F
F
C
C
F
C
C
C
F
C
q→r
C
F
C
C
C
F
C
C
p→r
C
F
C
F
C
C
C
C
(p → q) ∧ (q → r)
C
F
F
F
C
F
C
C
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
C
C
C
C
C
C
C
C
Concluimos que el enunciado es una tautologı́a.
4. Simplifique cada uno de los siguientes enunciado (no utilice tabla de veracidad):
(a) (p ∧ q) ∨ (¬((¬p) ∨ q))
Solución: Note que
(p ∧ q) ∨ (¬((¬p) ∨ q)) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(p ∧ q) ∨ (p ∧ (¬q))[De Morgan, doble negación]
p ∧ (q ∨ (¬q))[distribución]
p∧1
p.
1
(b) [(p → q) ∨ (q → r)] ∧ (r → s)
Solución: Note que
(p → q) ∨ (q → r) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
((¬p) ∨ q) ∨ ((¬q) ∨ r)
(¬p) ∨ (q ∨ (¬q)) ∨ r[asociatividad]
(¬p) ∨ (1) ∨ r[asociatividad]
1
Por lo tanto,
[(p → q) ∨ (q → r)] ∧ (r → s) ⇐⇒ 1 ∧ (r → s)
⇐⇒ (r → s).
5. Verifique la validez del siguiente argumento (no use tabla de veracidad).
p→q
(¬r) ∨ (¬q)
r
¬p
Respuesta: Oberve que (¬r)∨(¬q) ⇐⇒ (¬q)∨(¬r) ⇐⇒ q → (¬r). Por lo tanto,
tenemos que p → q y q → (¬r). Entonces, por regla de la cadena, tenemos que
p → (¬r). Por lo tanto, nuestro argumento ahora es
p → (¬r)
r
¬p
Pero si p → (¬r) y tenemos que r, entonces p tiene que ser falso. O sea, ¬p. 6. Demuestre que 3n2 + n + 1 siempre es impar para todo entero n.
Demostración: Esta demostración es por casos.
Caso 1: Suponga que n es par. Entonces existe m ∈ Z tal que n = 2m. Luego,
3n2 + n + 1 =
=
=
=
3(2m)2 + (2m) + 1
12m2 + 2m + 1
2(6m2 + m) + 1
2l + 1,
con l = 6m2 + m ∈ Z. Concluimos que cuando n es par, la expresión 3n2 + n + 1
es impar.
2
Caso 2: Suponga que n es impar. Entonces existe m ∈ Z tal que n = 2m + 1.
Luego,
3n2 + n + 1 =
=
=
=
=
3(2m + 1)2 + (2m + 1) + 1
3(4m2 + 4m + 1) + (2m + 1) + 1
12m2 + 14m + 5
2(6m2 + 7m + 2) + 1
2l + 1,
con l = 6m2 + 7m + 2 ∈ Z. Concluimos que cuando n es impar, la expresión
3n2 + n + 1 es impar.
Finalmente, como el enunciado es cierto para n par y para n impar, entonces
concluimos que el enunciado es cierto para todo n entero.
7. Suponga que a es racional y b irracional. Demuestre que a + b es irracional.
Demostración: Como a es racional, entonces a = m/n con m, n ∈ Z y b 6= 0.
Suponga que a+b es racional, aun cuando b es irracional. Entonces a+b = m1 /n1
con m1 , n1 ∈ Z y n1 6= 0. Luego,
m1
n1
m
m1
+b =
⇐⇒
n
n1
m1 m
⇐⇒
−
b =
n1
n
nm1 − mn1
b =
.
nn1
a+b =
Concluimos que b es racional, lo cual es una contradicción. Por lo tanto a + b
es irracional.
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