Un Pilar de Hormigón Armado y Sección

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
2º Examen Parcial / 21 abril 2001
1. Un pilar de hormigón armado y sección cuadrada debe soportar una carga, a compresión pura, de
2.5 × 106 N. Se sabe que el 10% del área de la sección cuadrada del pilar está ocupado por los “redondos”
(varillas cilíndricas) de acero y el resto por hormigón en masa. Siendo las características máximas de
trabajo permitidas las siguientes:
σmax H = 25 N mm 2
σmax acero = 400 N mm 2
y sus módulos de Young
EH = 30 000 N mm 2
Eacero = 200 000 N mm 2
determinar: a) La deformación unitaria máxima del pilar. b) El lado de la sección cuadrada del pilar. c)
Siendo cuatro los “redondos” del acero de la armadura del hormigón, determínese el diámetro de cada uno
de ellos.
a) Las deformaciones máximas experimentadas en las condiciones críticas de trabajo son
hormigón:
F
a
εmax acero =
acero:
Como
εmax H =
σmax H
EH
σmax acero
Eacero
=
−25
= − 0.83×10−3
30 000
=
−400
= − 2×10−3
200 000
εmax H < εmax acero , y ambos materiales experimentan la misma
deformación, tendrán el límite del más crítico; i.e.,
ε = εmax H = − 0.83×10−3
b) La carga soportada por cada uno de los materiales será

FH = 0.9 S EH ε
6
 F + Facero = (0.9 EH + 0.1 Eacero ) S ε = −2.5×10
Facero = 0.1 S Eacero ε  H
S=
−2.5×106
= 63830 mm 2
−3
(27 000 + 20 000) (−0.83×10 )
a = 63830 = 253 mm
c) La sección del acero será el 10% de la del pilar
Sacero = 6383mm 2
y cada uno de los cuatro redondos tendrá una sección de
S redondo = 1595.75 mm 2
Departamento de Física Aplicada
⇒ r = 22.3 mm ⇒
ETSIAM
∅ = 44.6 mm
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2. Un bloque de masa m1 = 1 kg desliza sobre una superficie horizontal lisa con una velocidad de 6 m/s. El
bloque choca con otro de masa m2 = 2 kg que está en reposo unido a un resorte horizontal de constante
k = 1200 N/m. Determinar la frecuencia con la que oscilará el sistema tras el choque y la amplitud del
movimiento en los siguientes casos: a) El choque es totalmente inelástico y las dos masas quedan adheridas
después del choque. b) El choque es perfectamente elástico.
a) Choque totalmente inelástico:
La cantidad de movimiento se conserva:
m1v1 = (m1 + m2 ) v ⇒ v ' =
m1
1
v1 = 6 = 2 m/s
m1 + m2
3
k
v1
m1
k
1200
ω=
=
= 20 rad/s
m1 + m2
3
ω 10
ν=
= Hz ⇒
2π π
m2
v’
ν = 3.18 Hz
k
m1+ m2
Conservación de la energía después del choque:
1
1
(m1 + m2 ) v '2 = kA2
2
2
⇒ A = v′
m1 + m2 v ′
2
= =
⇒
k
ω 20
A = 0.1 m
b) Choque perfectamente elástico:
v’2
v’1
El coeficiente de restitución es e=1.
(v '1− v '2 ) = − v1 ⇒ v '2 = v1 + v '1
m1
m2
La cantidad de movimiento se conserva:
m1v1 = m1v1′ + m2 v2′ = m1v1′ + m2 (v1 + v1′) ⇒ (m1 − m2 ) v1 = (m1 + m2 ) v1′
v1′ =
m1 − m2
−1
v1 =
6 = −2 m/s
m1 + m2
3
v '2 = 6 − 2 = 4 m/s
por lo que la masa 1 vuelve hacia la izquierda.
ω=
k
1200
ω
=
= 24.5 rad/s ⇒ ν =
m2
2
2π
⇒
ν = 3.9 Hz
⇒
A = 0.16 m
Conservación de la energía después del choque:
1
1
m2 v2′ 2 = kA2
2
2
⇒ A = v2′
m2
2
=4
k
1200
Nota: Las masas no vuelven a chocar ya que T = 0.256 s y el tiempo que tarda m1 en
recorrer la amplitud es:
t=
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A 0.16
=
= 0.08 s
v1′
2
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3. Las cuerdas de una guitarra tienen una longitud útil de 66 cm. La quinta cuerda tiene una densidad lineal
de 3.1 g/m y su frecuencia fundamental es de 440 Hz (La3) cuando el instrumento está bien afinado.
a) Calcular la velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda y la tensión de la misma. b) Escribir una
expresión general que nos relacione el incremento unitario en la tensión con el cambio unitario en la
frecuencia. Utilizar esa relación para calcular la tensión necesaria para incrementar la frecuencia
fundamental en un 2%. c) Si la tensión de ruptura de la cuerda es de 200 kg, ¿cuál será la frecuencia
fundamental más alta a la que podemos tensar la cuerda? d) Escribir la función de onda estacionaria - esto
es, y(x,t) – para el armónico n-ésimo de una cuerda tensa, de longitud L, sujeta por ambos extremos.
Particularizar para el primer y segundo armónicos de la quinta cuerda de la guitarra, si la amplitud de los
vientres o antinodos es de 2 mm y 1.5 mm, respectivamente.
a) La longitud de la cuerda debe contener un
número entero de semilongitudes de onda:
L=n
λn
2L
c
⇒ λn =
= K
νn
2
n
De donde se sigue que c =
⇒ νn = n
L
c
(1)
2L
2 Lν n 2× 0.66× 440
=
= 580.8 m s
1
n
Por otra parte: F = µc 2 = 3.1×10−3 ×580.82 = 1046 N = 107 kg
b) La expresión (1) la escribimos en la forma
νn =
n
2L
F
µ
⇒ ν n2 =
Para
∆ν n
νn
n2 F
4 L2 µ
d νn d F
=
νn
F
⇒ 2
= 2% será ∆F
F
⇒
∆ν n
∆F
=2
F
νn
= 4% , de modo que
∆F = 0.04×107 kg = 4 kg ⇒
F ' = 111 kg
c) La frecuencia fundamental correspondiente a la tensión de ruptura será
ν1 =
1
2L
Frup
µ
=
1
200×9.8
= 602 Hz
2 ⋅ 0.66 3.1×10−3
d) La función general de onda estacionaria es:
yn ( x, t ) = An sen kn x sen ωnt

2π
2π
nπ


=
=
kn =


λn
2L n
L
con 


nc nπ


=
ωn = 2πν n = 2π
c

2L
L


o sea
 nπ   nπ 
yn ( x, t ) = An sen  x sen  ct 
 L   L 
n =1 ⇒
y1 ( x, t ) = 0.002sen (4.76 x )sen (2765t )
n=2 ⇒
y2 ( x, t ) = 0.0015sen (9.52 x ) sen (5529t )
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4. Una viga de madera, de sección cuadrada de lado a, apoyada sobre una de sus aristas, bloquea el extremo
de un canal de fondo plano y horizontal, alcanzando la superficie libre del agua la arista superior de la viga.
Calcular el empuje que el agua ejerce sobre la viga y ángulo que éste forma con la horizontal.
H = a2 + a2 = a 2
Método 1 (dos caras):
cara superior:
F1
 2 
 H
2
F1 = ρ g  aL = ρ g 
a aL =
ρ ga 2 L

 4 
4
4
a
H
φ
θ
cara inferior:
F2
 3 2 
 3H 
3 2

F2 = ρ g
aL
ρ
g
a aL =
ρ ga 2 L
=





 4 
4 
4
El módulo de la resultante es:
2
2
1 9 
5
F 2 =  +  (ρ ga 2 L) = (ρ ga 2 L)
 8 8 
4
Calculamos el ángulo: tg φ =
⇒
F=
5
ρ ga 2 L
2
F2
= 3 ⇒ φ = 71.6º ⇒
F1
θ = 71.6º − 45º = 26.6º
Método 2 (Arquímedes):
Determinamos directamente las componentes horizontal y vertical de la fuerza total que
actúa sobre la viga.
Empuje sobre la proyección vertical:
a
Fver
H
Fhor
 H
a 2
Fhor = ρ g  HL = ρ g
a 2 L = ρ ga 2 L

2
2
Empuje de Arquímedes:
 a2
Fver = ρ gV = ρ g 
 2
2
 1
2
2
+ Fver
= 1 + (ρ ga 2 L)
Módulo de la resultante: F 2 = Fhor
 4 
Ángulo que forma con la horizontal: tg θ =
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Fver 1
=
⇒
Fhor 2
ETSIAM
 1
L = ρ ga 2 L
 2
⇒
F=
5
ρ ga 2 L
2
θ = 26.6º
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5. Un depósito de grandes dimensiones
desagua a la atmósfera mediante el sistema
de tuberías que se representa. Determinar la
velocidad y el caudal del agua en cada
tramo de tubería, así como la presión en el
punto A. Datos: S0 = 100 cm2.
B
10m
3S0
1m
S0
1 A
S0
2m
2
2m
3
Consideraremos los tres tramos del sistema numerados (1, 2 y 3) tal como se representa
en la figura.
Determinamos las velocidades en los tramos 2 y 3 aplicando el teorema de Torricelli:
v2 = 2 gh2 = 2×9.8×12 = 15.33 m/s
v3 = 2 gh3 = 2×9.8×14 = 16.56 m/s
y los caudales en estos tramos son
Q2 = v2 S0 = 15.33× 0.01 = 0.1533 m3 / s = 153.3 L/s
Q3 = v3 S0 = 16.56× 0.01 = 0.1656 m3 / s = 165.6 L/s
El caudal y la velocidad en el tramo 1 son:
Q1 = Q2 + Q3 = 0.3189 m3 /s = 318.9 L/s
v1 =
Q1
= 10.63 m/s
3S0
Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A y B:
1
1
pA + ρ gzA + ρvA2 = pB + ρ gzB + ρ vB2
2
2
Despejando pA , teniendo en cuenta que pB = patm y que vB = 0, resulta
1
pA − patm = ρ g ( zB − zA ) − ρvA2
2
1
2
pA − patm = 1000×9.8×11 − 1000 (10.63) = 107800 -56 498 = 51302 Pa = 0.506 atm
2
pA = 152 627 Pa = 1.506 atm
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