Workshop Simulacion CEMA 2011 Cartera inversion AB

Simulación de Montecarlo
La simulación de montecarlo aplicada a un caso de la vida real para
simular la evolución de un portafolio de inversión
Alejandro Bianchi,CFA
[email protected]
Bullet Points del Workshop
Repaso de números aleatorios – Ejemplo simple
Repaso de probabilidad
Ejemplo en excel de simulación de dos CF con Variables aleatorias de
distribución uniforme
Confección de un portafolio eficiente y uso de la herramienta de Montecarlo
para simular los escenarios de rendimiento futuro
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Universidad del CEMA
Aplicaciones
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Ejemplo – Planificación de Inversiones usando Simulación
Cuando planificamos, manejamos factores sobre los que no tenemos
certidumbre respecto del valor que tendrán a futuro.
Un número aleatorio es aquel obtenido al azar, es decir, que todo número
tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa
de la elección del otro. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el
lanzamiento repetitivo de una moneda o dado ideal no trucado.
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Métodos de generación de números aleatorios
o
Métodos manuales, lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos
electrónicos
o
Métodos de computación analógica, son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios,
por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica.
o
Métodos de computación digital, cuando se usa el ordenador digital.
o
Tablas de bibliotecas, son números aleatorios que se han publicado; de los cuales podemos encontrar
listas en los libros de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de
los métodos de computación analógica.
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Cómo obtenemos un número aleatorio con una pc
pc…
…
En las computadoras es fácil simular la generación de números aleatorios,
mediante mecanismos de generación de números pseudoaleatorios, que,
sin ser aleatorios (siguen una fórmula), lo aparentan.
¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS?
Son unos números generados por medio de una función (determinista, no
aleatoria) y que aparentan ser aleatorios. Estos números pseudoaleatorios se
generan a partir de un valor inicial aplicando iterativamente la función. La sucesión
de números pseudoaleatorios es sometida a diversos tests para medir hasta qué
punto se asemeja a una sucesión aleatoria .
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Ejemplo – Generación de un número pseudoaleatorio con Excel
Lineal Congruential Generator (LCG):
– Responde a la siguiente función:
=RESIDUO DE (B* semilla + A) DIVIDIDO POR m
– Semilla: del que parto para iniciar la serie de números aleatorios
– B: multiplicador
– A: incremento
– m: número divisor
Problema: son pseudoaleatorios, ya que, al responder a una fórmula
son fácilmente pronosticables.
Ejemplo en excel de confección de un número aleatorio
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Limitantes del cálculo de aleatorios LCG
La limitante de LCG, es que existe correlación lineal entre los sucesivos números aleatorios
por eso es que si uno los grafica en 3D, aparecen en vectores hyperplanos (líneas)
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Tres formas de cálculos de números pseudoaleatorios
Random de VBA
Usando fórmula Random() del excel 97
Excel's RAND
Visual Basic's Rnd
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.7
0.70002
0.70004
0.70006
0.70008
0.7
0.7001
0.70002
0.70004
0.70006
0.70008
0.7001
Barreto Random
Barreto/Howland's Random (FMRG)
1
Si bien el sistema de Barreto-Holwland
mantiene la aleatoriedad, no significa
que sea perfecto. Sino que exhibirá
una estructura de dependencia a
grandes dimensiones.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.7
0.70002
0.70004
0.70006
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0.70008
0.7001
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Ejemplo – Planificación de Inversiones usando Simulación
Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro
comportamiento lo es también. Si deseamos predecir el comportamiento
de un material, de un fenómeno climatológico o de un grupo humano
podemos inferir a partir de datos estadísticos.
Para lograr una mejor aproximación a la realidad nuestra herramienta
predictiva debe funcionar de manera similar: aleatoriamente.
De esa necesidad surgieron los modelos de simulación.
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Funciones de distribución
Un número aleatorio es un resultado de
una variable al azar especificada por una función
de distribución. Cuando no se especifica ninguna
distribución, se presupone que se utiliza la
distribución uniforme continua en el intervalo [0,1).
Ejemplo en excel de simulación de dos CF con Variables aleatorias de
distribución uniforme
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DISTRIBUCIONES
DE
PROBABILIDAD
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Puedo definir 1 o más variables en cada momento del tiempo
Variable a predecir
Impacto en un Cash Flow a futuro
HOY
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Variables a predecir
HOY
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Impacto en un Cash Flow a futuro en función de lo
que valga la variable mes a mes
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En este escenario deberíamos pensar si quisiéramos simular el
comportamiento de un portafolio a futuro
Múltiples
variables
Variables a predecir
HOY
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
En cada
momento del
tiempo
Con una
distribución
para cada
variable
Y una
correlación
con las otras
variables
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Aplicación a un portafolio de
inversión
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Un modelo empírico…
Elección del portafolio:
•Un
cliente nos ha solicitado la construcción de un portafolio. En base a las características del cliente y de los
parámetros de retorno esperado, varianza y correlación del universo de activos se han seleccionado los
siguientes:
•Cada
uno de estos activos tendrá un porcentaje de participación determinado por el portfolio manager en la
cartera. Con las series de estos activos construiremos la posible evolución de los fondos de nuestro cliente en el
tiempo.
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Un modelo empírico…
Formato de las series:
* La compresión de los datos que fue utilizada es de carácter mensual. Se optó por dicho período para evitar
problemas en el cálculo de las correlaciones con otras series por feriados distintos entre países y para tener
suficiente confianza estadística por el tamaño de las series. A su vez la elección desde el punto de vista empírico
estuvo basada en la inexistencia de series homogéneas de largo plazo de compresión semanal.
* De acuerdo a datos obtenidos de la Reserva Federal es posible medir la distancia entre los picos de los ciclos
económicos norteamericanos. La misma, en los últimos 40 años, ha durado aproximadamente 10 años (del 60 al
70 - del 70 al 80 (con interrupciones) - del 81 al 91 - del 90 al 01 - 01 a 07). En función al ciclo americano es que
el modelo buscará en la práctica incrementar las series hasta alcanzar 3 ciclos para dar sustentabilidad al modelo
(30 años de datos).
* El modelo es de naturaleza empírica, con lo cual, las series del estudio se actualizarán todos los años para
seguir teniendo vigencia. La actualización debe correr antes de la fecha de rebalanceo del portafolio de los
clientes. Las series tendrán siempre 30 años de datos, de manera que al pasar un año se elimina el primer dato
de la serie y se agrega el dato del año más reciente. Sin embargo, por una restricción puramente empírica el
modelo comenzará con 20 años de datos históricos e irá sumando año a año datos a la serie hasta alcanzar los
30 años de datos.
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Algunas consideraciones preliminares…
* Uno de los supuestos más fuertes del modelo es que los rendimientos futuros de los activos a futuro tendrán
una distribución similar al rendimiento rolling anual de los últimos 20 años.
* Desde el punto de vista empírico está demostrado que el S&P 500 no ha dado rendimientos negativos por más
de dos años consecutivos. Esto determinará el mínimo plazo de inversión para diversificar una cartera en
acciones. El portafolio del cliente estará invertido a no menos de 3 años de plazo.
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Las acciones en Estados Unidos subieron 2 de cada 3 días de
operatoria en los últimos 100 años
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Construcción de las series del modelo
*Cada una de las series consideradas en el modelo es "Net Total Return", es decir, tiene en cuenta los
dividendos que se hubieran obtenido así como las ganancias de capital y los gastos de administración e
impuestos incurridos.
•*Las
series de precios de los activos considerados en el modelo son convertidas a series de rendimiento
logarítmico rolling anuales.
•*
Ajustamiento de las series. A cada serie, en base a su rendimiento histórico se le asigna una distribución de
probabilidades. Dicha distribución surge de la función “Fitting” del programa “@Risk”
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Por qué usar series logarítmicas?
Aplicando una tranformación logarítmica (LOG(SP500))
obtenemos un patrón de crecimiento más lineal.
S&P500 stock index, valores mensuales
desde 1971 hasta 1995.
Al calcular la primera diferencia de la serie
DIFF(LOG(SP500)), se logra una estabilización de la
varianza.
Calculando la primera diferencia de la serie, se obtiene
un serie cuya varianza crece a medida que aumenta el
nivel de la variable original mientras pasa el tiempo
(serie heteroscedástica).
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Se busca la distribución de cada una de las series con @Risk
@Risk
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El programa hace el best fit de la serie y nos arroja una
distribución….
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Para cada valor simulado en base a la distribución le agregamos
que además tenga en cuenta la correlación con otros activos para
que no arroje valores de laboratorio…
Matriz de Correlaciones:
El objetivo de esta matriz es captar la correlación (que indica la fuerza y la dirección de una relación lineal
entre dos variables aleatorias) existente entre los distintos índices de manera que al simular los rendimientos,
los mismos no sean generados solo en base a su distribución de probabilidades sino que también tenga en
cuenta la relación con otros activos.
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Evolución de los fondos en base a la simulación de montecarlo
Simulación de Montecarlo:
Basados en la series ajustadas, las distribuciones obtenidas con el programa "@Risk" y las correlaciones de
los activos entre si se realizó una simulación de montecarlo para obtener distintas rentabilidades aleatorias,
generando así como outputs del modelo 500 caminos de rendimientos.
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