Deber de Proporcionalidad Geométrica

CAPÍTULO: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
GRUPO EXPERIMENTAL: 8VO B
RAZÓN Y PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
DEBER
1. Dibuja seis segmentos, de manera que se cumpla la proporción siguiente:
𝐴𝐵 𝐸𝐹
𝐼𝐽
=
=
=3
𝐶𝐷 𝐺𝐻 𝐾𝐿
2. Hemos cortado un listón de madera en partes proporcionales a 4, 6 y 10.
Halla la razón de estos segmentos
a)
b)
c)
d)
AB y CD
AC y BD
BC y AD
BC y BD
7
3
2
7
3. La razón de dos segmentos 𝑎 y 𝑏 es , y la razón de dos segmentos 𝑏 y 𝑐 es .
Halla la razón de los segmentos 𝑐 y 𝑎.
4. Observa la figura.
1
Halla las longitudes de los segmentos AB y BC si se sabe que su razón es 4 y que
la longitud del segmento AC es de 6 dm.
5. Observa el siguiente tramo de carretera.
𝐴𝐶
¿En qué kilómetro se encuentra la casa si 𝐴𝐵 =
10
?
8
TEOREMA DE TALES
DEBER
1. Calcula la longitud x de los segmentos de las siguientes figuras
2. Observa la figura y halla las longitudes de los segmentos x, y, z.
3. Las rectas r y s de cada una de las figuras siguientes son paralelas. Indica si la
recta t también es paralela a r y s.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
DEBER
1.
2.
3.
4.
Divide un segmento de 10 cm en partes proporcionales a 2,3 y 4.
Divide un segmento de 6 cm en partes proporcionales a 2,3 y 4.
Dibuja un segmento de 7 cm y divídelo en ocho partes iguales.
Divide gráficamente un segmento AB de 6 cm de longitud en dos segmentos cuya
razón sea 3/5. ¿Cuánto mide cada uno de los segmentos?
5. Traza un segmento AB de 10 cm. Dibuja otro encima que sea 5/6 de AB.
6. Elabora un segmento AB de 7 cm. Construye otro CD, de manera que se cumpa
que CD = 4/3 AB.
7. Dibuja un segmento de 8 cm y divídelo en seis partes iguales. A continuación,
señala un punto P tal que AP = 5/6 y un punto Q siendo
𝐴𝑄
𝐴𝐵
1
3
= .
8. Construye el segmento tercero proporcional a los segmentos p y q cuyas
longitudes son 3 cm y 4 cm, respectivamente. Considera que el segmento p es el
que se repite.
9. Indica si las siguientes frases son ciertas o falsas.
a) La razón de dos segmentos de longitudes 2 dm y 40 cm es ½.
b) Los segmentos de longitudes 2 cm y 6 cm son proporcionales a los segmentos de
longitudes 2,5 cm y 6,5 cm.
c) El segmento tercero proporcional a los segmentos de longitudes 2 cm y 4 cm mide
3 cm.
d) El segmento cuarto proporcional a los segmentos de longitudes 3 cm, 4 cm y 9 cm
mide 12 cm.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
DEBER
1. Dibuja dos triángulos en posición de Tales, mide los lados y comprueba que son
proporcionales.
- Mide también los ángulos y comprueba que son iguales.
2. Calcula, en tu cuaderno, las medidas que faltan en el triángulo de la figura
siguiente.
3. Halla el perímetro del triángulo DBE, sabiendo que AC = 10 cm, BC = 16 cm, AB =
22,7 cm y BD = 11 cm.
4. Dos triángulos equiláteros están en posición de Tales y la razón entre sus lados es
2/3. Calcula el perímetro del triángulo mayor si el del menor es 18 cm.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DEBER
1. Los triángulos ABC y A´B´C´ de la siguiente figura son semejantes. Halla las
medidas de los ángulos y de los lados desconocidos.
2. Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Dibuja otro triángulo equilátero
semejante al anterior con razón de semejanza 7/6.
3. Observa algunas de las pistas de un aeropuerto que unen los puntos de salida A,
B, C, D y E. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
4. En la siguiente figura pueden observarse tres triángulos rectángulos ABC, ADC y
DBC.
5. Averigua si son semejantes y, en caso afirmativo, halla la razón de semejanza
entre ABC y ADC, entre ABC y DBC, y entre ADC y DBC.
6. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 108° y el lado desigual 14 cm.
Uno de los lados iguales de otro triángulo isósceles semejante mide 18 cm. Si la
razón de semejanza entre los dos triángulos es 2, calcula mentalmente:
a) La medida de los ángulos del triángulo mayor.
b) El perímetro del triángulo.
7. Los triángulos rectángulos de las siguientes figuras son semejantes.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
b) ¿Cuánto miden los catetos cuyas longitudes no son conocidas?
POLÍGONOS SEMEJANTES
DEBER
1. La razón de semejanza entre dos polígonos A y B es 4/7. Completa la siguiente
tabla.
2. La razón entre las apotemas de dos hexágonos regulares es 5/4. Si el área del
mayor es 35,2 cm2, ¿cuál es el área del menor?
DEBER
1. El perímetro de un pentágono regular es 7/3 veces el perímetro de otro pentágono
regular. ¿Cuál es el área del pentágono mayor si el área del menor es 25,5 cm2?
2. Construye un cuadrado de 4 cm de lado. Indica el punto medio de cada uno de sus
lados y traza los segmentos que unen de forma consecutiva estos puntos medios.
¿Qué figura obtienes? ¿Es semejante a la figura original?
-Indica la razón de semejanza entre las dos figuras.
3. El perímetro de un pentágono ABCDE es 17,5 cm y su área, 21 cm2.
a) Construye dos pentágonos semejantes FGHIJ y KLMNO con razones de
semejanza ½ y 3/2.
b) Llena la siguiente tabla.
FIGURAS SEMEJANTES
DEBER
1. Se quiere colocar un listón alrededor de la puerta de un armario, cuyas medidas
en un dibujo a escala 1:40 son 1,25 cm x 2 cm. ¿Cuántos metros de listón son
necesarios?
2. La siguiente figura está dibujada a escala 1:100. Halla su área.
3. En el plano de la figura están señaladas diferentes distancias. Si la distancia real
entre la escuela y la casa es 700 m:
a) ¿Cuál es la escala del plano?
b) ¿Cuál es la distancia real entre la escuela y la arboleda y cuál es la distancia real
entre la arboleda y la casa?
4. Dibuja un plano de tu casa con la escala que consideres más adecuada de las dos
que te proponemos a continuación: 1:100 o 1:200.
DEBER
1. Halla la medida de cada uno de los peldaños de la escalera.
2. Observa, en el siguiente gráfico, las carreteras que unen los pueblos A, B, C, D y
E. Puesto que la vía que une D con E está cortada, si un auto parte de D para ir a
E tiene dos posibles recorridos, uno pasando por B y otro pasando por A y por C.
¿Cuántos kilómetros recorrería en cada caso?
3. Halla las medidas de la siguiente figura correspondiente a x+2 y a x-2.
4. Un auto asciende por una rampa a una velocidad de 5 m/s. Si a los 4 s de su
salida se encuentra a una altura de 10 m, ¿a qué altura se hallará a los 15 s?
5. Si un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m, ¿qué sombra proyectará un árbol
de 9 m?
6. Para averiguar la altura de un poste telefónico medimos su sombra, que es de 30
m. A la misma hora, una señal de tráfico de 2 m de altura proyecta una sombre de
4,8 m. ¿Cuál es la altura del poste?
7. Un edificio está formado por dos bloques. Observa la figura y halla la altura del
bloque más alto.
8. Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de los catetos y la
hipotenusa de un triángulo semejante de constate de semejanza k = 2 miden 3 cm
y 5 cm, respectivamente.
9. Los lados de una habitación rectangular miden 4,5 m y 2,4 m. Al hacer un plano de
la habitación la longitud del lado mayor es 1,5 cm.
a) ¿Cuál es la escala del plano?
b) ¿Cuánto medirá en el plano el lado menor de la habitación?
10. A partir de este mapa, halla la distancia real que recorrerán los piratas hasta llegar
al tesoro.
11. Sobre un plano dibujado a escala 1:5 medimos un ángulo de 60°. ¿Cuál es su
medida real?
12. Calcula la longitud de la barra de acero más larga.
13. Un fabricante de material escolar quiere editar un mapa de una ciudad en formato
INEN-A4 (297 mm x 210 mm).
- Sabiendo que la ciudad mide de norte a sur, aproximadamente, 890 km, y que su
anchura máxima es de 1030 km, ¿qué escala debe emplear?