De TYCHO BRAHE, JOHANNES KEPLER e ISAAC - hola

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Ing. Enrique A. Martinelli
De TYCHO BRAHE, JOHANNES KEPLER e ISAAC NEWTON a ALBERT EINSTEIN
Johannes Kepler (1571 – 1630) fue una figura clave en la revolución científica. Astrónomo y
matemático alemán, fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los
planetas sobre su orbita alrededor del sol .
Un profesor de matemáticas, el astrónomo Michael Maestlin, fue quien le enseñó el sistema
heliocéntrico de Copérnico, algo que reservaba para los mejores estudiantes. Los otros
estudiantes tomaban como cierto el sistema geocéntrico de Ptolomeo, que afirmaba que la
Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las
estrellas, giraban a su alrededor.
Realizó y publicó almanaques con predicciones astrológicas aunque el mismo negaba algunos
de sus preceptos. En su época, la distinción entre ciencia y creencia no estaba establecida
todavía claramente y el movimiento de los astros, todavía bastante desconocido, se pensaba
gobernado por leyes divinas.
Kepler intentó comprender las leyes del movimiento planetario
durante la mayor parte de su vida. En un principio consideró que el
movimiento de los planetas debía cumplir las leyes pitagóricas de
la armonía. Esta teoría es conocida como la música o la armonía
de las esferas celestes. En su visión cosmológica no era casualidad
que el número de planetas conocidos en su época fuera uno más
que el número de poliedros perfectos.
Siendo un firme partidario del modelo copernicano, intentó
demostrar que las distancias de los planetas al Sol venían dadas
por esferas en el interior de poliedros perfectos, anidadas
sucesivamente unas en el interior de otras. En la esfera interior
estaba Mercurio mientras que los otros cinco planetas (Venus,
Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) estarían situados en el interior de
los cinco sólidos platónicos correspondientes también a los cinco
elementos clásicos.
En 1596 Kepler escribió un libro en el que exponía sus ideas. Misterium Cosmographicum (El
misterio cósmico). Siendo un hombre de gran vocación religiosa, Kepler veía en su modelo
cosmológico una celebración de la existencia, sabiduría y elegancia de Dios. Escribió: «yo
deseaba ser teólogo; pero ahora me doy cuenta a través de mi esfuerzo de que Dios puede ser
celebrado también por la astronomía».
En 1600 acepta la propuesta de colaboración del astrónomo imperial Tycho Brahe, quien había
montado el mejor centro de observación astronómica de la época. Brahe disponía de los
mejores datos de observaciones planetarias pero la relación con Kepler fue compleja y
marcada por la desconfianza. No será hasta 1602, a la muerte de Brahe cuando Kepler consiga
el acceso a todos los datos recopilados por aquel astrónomo, mucho más precisos que los
manejados por Copérnico. A la vista de los datos, especialmente los relativos al movimiento
retrógrado de Marte se dio cuenta de que el movimiento de los planetas no podía ser explicado
por su modelo de poliedros perfectos y armonía de esferas.
Kepler, hombre profundamente religioso, incapaz de aceptar que Dios no hubiera dispuesto
que los planetas describieran figuras geométricas simples, se dedicó a probar con toda suerte
de combinaciones de círculos. Cuando se convenció de la imposibilidad de lograrlo con círculos,
usó óvalos. Al fracasar también con ellos, «sólo me quedó una carreta de estiércol» y empleó
elipses. Con ellas desentrañó sus famosas tres leyes (publicadas en 1609 en su obra
Astronomia Nova) que describen el movimiento de los planetas.
Estas leyes que asombraron al mundo le valió el reconocimiento como el mejor astrónomo de
la época, aunque él no dejó de vivir como un cierto fracaso de su primigenia intuición de
simplicidad (¿por qué elipses, habiendo círculos?).
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Sin embargo, tres siglos después, su intuición se vio confirmada
cuando Einstein mostró en su Teoría de la Relatividad general que en
la geometría tetradimensional del espacio-tiempo, los cuerpos celestes
siguen líneas rectas. Y es que aún había una figura más simple que el
círculo: la recta.
Las tres leyes de Kepler
Como comentáramos, durante su estancia con Tycho le fue imposible
acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas, quien se negaba a dar esa
información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y luego a través de su familia, Kepler pudo
acceder a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando.
Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo
las órbitas reales planetarias.
Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le
hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas.
Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los
datos observados impedían un correcto ajuste, lo que lo entristeció ya que no podía descartar
un error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que
implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le
costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras,
en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué
no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse y
descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho. Había descubierto la
primera ley de Kepler:

Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste
situado en uno de los focos de la elipse.
Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los
deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo, Kepler se dedicó simplemente a
observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la
velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a la segunda ley:

Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas iguales en el mismo
tiempo.
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento
angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol
(afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al
Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular
L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su
distancia al centro del Sol.
Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas.
Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre
sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:

El cuadrado de los períodos de los planetas es proporcional al cubo de la
distancia media al Sol.
Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta
alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.
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donde, T es el periodo orbital, r la distancia media
del planeta con el Sol y K la constante de
proporcionalidad.
Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos
que se encuentran en mutua influencia gravitatoria
como el sistema formado por la Tierra y la Luna.
Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las
otras leyes permitía ya unificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros.
Marcando un hito en la historia de la ciencia, Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el
primer astrónomo, desechando la fe y las creencias y explicando los fenómenos a partir de la
mera observación.
Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler
Si bien Kepler pudo deducir las leyes que explicaban el movimiento planetario observado no
entendía las razones de este comportamiento. La presentación de Kepler incorporaba una gran
cantidad de detalles e incluso especulaciones metafísicas. Fue Isaac Newton quien extrajo de
los escritos de Kepler la formulación matemática precisa de las leyes. Newton fue capaz de
relacionar estas leyes con sus propios descubrimientos, dando un sentido físico concreto a
leyes empíricas. El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley
de la gravitación universal.
La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler es:
donde, T es el periodo orbital, r el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo
central y G una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la
intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras
variables de esta expresión.

Algunos datos de nuestro sistema solar
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Ejemplo de aplicación
Si la distancia media de Júpiter al Sol es de 5,2 unidades astronómicas (U.A.), ¿cuál es el
período de Júpiter?
1 U.A. = 1,50 x 10
11
metros (distancia media entre la Tierra y el Sol)
Por la 3ra. Ley de Kepler:
T2 = k . r
3
siendo
T: período del planeta que orbita alrededor del sol
K = constante (igual para todos los planetas)
r: distancia media del planeta al Sol
Si aplicamos esta ley tanto a la Tierra como a Júpiter, tenemos
Para la Tierra
TT2 = k . rT 3
Para Júpiter
TJ2 = k . rJ 3
Dividiendo ambas expresiones entre sí a fin de eliminar la constante K (podríamos haber
aplicado también igualación ó sustitución) nos queda de la siguiente manera
TT2 = k . rT 3
------------TJ2 = k . rJ 3
Reemplazando
TT = 1 año
rT = 1 U.A.
rJ = 5,20 U.A.
TT2
rT 3
---- = ----TJ2
rJ 3
→
TJ
2
rJ 3
= ---- TT2
rT 3
resulta el periodo de Júpiter TJ = 11.9 años
Desafío: ¿Si el periodo de Neptuno es de 164,8 años, cuál es su distancia media al sol?
Preguntas
123456-
¿De que trata el texto presentado?
¿Que ideas y creencias estaban en pugna y como se sostenía cada una de ellas?
¿Puede pensarse en las ciencias como una actividad individual?
¿Como se construyó un nuevo conocimiento sobre el movimiento de planetas?
¿Cuál fue el aporte de Newton y Kepler, y en que se diferenciaron dichos aportes?
¿Qué aspecto novedoso ó interesante de las ciencias podría rescatar el video?
Para investigar: Ahora les proponemos tres cuestiones que requerirán de una investigación
que podrán realizar de forma individual ó grupal consultando textos de física ó paginas web:
a. La 1ra. Ley de Kepler es una consecuencia de la Ley de Gravitación de Newton ¿Podría
explicar esta relación?
b. La 2da. Ley de Kepler se justifica por la conservación del momento angular, ¿podría
explicarlo y agregar en que otros fenómenos físicos puede observarse?
c. La 3ra. Ley de Kepler es un caso especial de la Ley de Gravitación de Newton ¿podría
responder porque es un caso especial y por qué la constante es la misma para todos los
planetas?
d. ¿Puede aplicarse la Ley de Gravitación de Newton a otros sistemas diferentes? ¿Puede
haber cuerpos celestes que describan trayectorias abiertas? Si responde
afirmativamente ¿cual sería el caso y como serían sus trayectorias?
e. ¿Podría graficar la orbita de dos planetas del sistema solar y ubicarlos cada uno de ellos
en cuatro posiciones diferentes?
f. ¿Podría graficar como varía la fuerza de atracción gravitatoria de acuerdo a la Ley de
Gravitación de Newton y proponer las conclusiones que considere más interesantes?