TRABAJO FINAL DE CARRERA

TRABAJO FINAL DE CARRERA
TÍTULO DEL TFC: Análisis de estructuras conductoras planas 2Dperiódicas infinitas en el espacio libre a partir de la discretización en
Método de los momentos de la convolución de la corriente superficial
con la Función de Green Floquet-periódica
TITULACIÓN: Ingeniería Técnica de Telecomunicación, especialidad
Sistemas de Telecomunicación
AUTORES: Iker Antxustegi-Etxearte Atienzar
David Jiménez López
DIRECTOR: Eduard Úbeda Farré
DATA: 26 de mayo de 2011
Título: Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en
el espacio libre a partir de la discretización en Método de los momentos de
la convolución de la corriente superficial con la Función de Green Floquetperiódica
Autor: Iker Antxustegi-Etxearte
David Jiménez López
Director: Eduard Úbeda Farré
Data: 06-2011
Resumen
En este Trabajo se ha desarrollado un código de análisis en Método de los
Momentos de la dispersión electromagnética producida por una agrupación
periódica bidimensional, infinita, de metalizaciones conductoras en el
espacio libre al ser incidida por una onda plana uniforme. Se presentan
resultados de distribución de corriente en la metalización conductora y del
coeficiente de reflexión.
Nuestro código está basado en la discretización de la corriente mediante
funciones base rooftop o tejado, que aproximan bien distribuciones de
corriente arbitrarias a lo largo de metalizaciones rectangulares o con
transiciones en ángulo recto.
Dada la periodicidad bidimensional del problema, es posible agilizar el
análisis mediante la aplicación del Teorema de Floquet, el cual relaciona la
distribución de corriente en una celda base, de referencia, con la corriente en
las otras celdas de la agrupación metálica periódica. Como consecuencia, se
resuelve todo el problema mediante el mallado de solamente una celda, lo
cual es sumamente eficiente. Como contrapartida, este código obliga a
descartar efectos de los extremos exteriores en problemas reales con
agrupaciones finitas, lo cual, en primera aproximación, puede ser tolerado.
Nuestro código aplica el método de momentos en la Ecuación Integral de
Campo Eléctrico, que obliga a que la componente tangencial del campo
eléctrico en las metalizaciones, superficies conductoras, sea cero. Dado que
el campo dispersado por la distribución de corriente en las metalizaciones
depende de la convolución espacial de la corriente y la función de Green en
el espacio libre, es conveniente plantear el problema en el dominio espacial
transformado. De esta manera, el cálculo de la matriz de impedancias se
simplifica porque deriva de un producto de funciones en el espacio
transformado. Sin embargo, se añade cierta complejidad computacional al
tener que ejecutar una sumatorio con infinitos términos que imperativamente
a efectos prácticos tenemos que truncar. En este trabajo, se han estudiado
qué rango de valores de truncamiento de estos sumatorios son adecuados
para obtener un resultado suficientemente preciso.
Además, se ha desarrollado un procedimiento eficiente basado en la FFT
bidimensional que agiliza muchísimo la computación de estos sumatorios en
los elementos de la matriz de impedancias. Mostramos con ejemplos
numéricos que nuestra implementación eficiente funciona correctamente al
compararla con la implementación no-eficiente convencional, que también
hemos desarrollado.
Title: Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el
espacio libre a partir de la discretización en Método de los momentos de la
convolución de la corriente superficial con la Función de Green Floquetperiódica
Author: Iker Antxustegi-Etxearte
David Jiménez López
Director: Eduard Úbeda Farré
Date: June, 2011
Overview
The aim of this work is to develop a code with the method of moment for the
electromagnetic scattering analysis on infinite periodical 2D-arrays of perfectly
conducting cells in free space under the incidence of a uniform plane wave. We
show results of current distribution in the perfectly conducting metallization of
reference of the array and the reflection coefficient.
Our code is based on the discretization of current with the rooftop basis
functions, which are a good approximation for arbitrary rectangular
metallizations or with square-angle transitions.
Because of the bidimensional periodicity of the problem, it is possible to make
the analysis easy by the application of the Floquet Theorem, which relates the
distribution of current in a base cell, of reference, with the current in other cells
of the periodical metallic array. As a result, the whole problem can be solved
through the meshing of only one cell, which is highly efficient. However, the
code ignores the effects on real problems due to the sharp limiting edges in
finite arrays, which in a first approximation, can be tolerated.
Our code applies the method of moments in the Electric Field Integral
Equation, which forces the tangential electric field in the metallizations,
perfectly conducting surfaces, to be zero. Since the field scattered by the
current distribution in the metallizations depends on the spatial convolution of
the current and the Green's function in free-space, it is convenient to pose the
problem in the transformed spatial domain. Thus, the calculation of the
impedance matrix is simplified because it leads to a product of functions in the
transformed space. However, it adds some computational complexity because
a summation of infinite terms needs to be computed. It is thus required to
truncate this summation in practice. In this paper, we discuss what ranges of
values of truncation of these sums are adequate to obtain a sufficiently
accurate result.
Furthermore, we have developed an efficient procedure based on the twodimensional FFT, enhancing the computation of the impedance matrix
elements. We show with numerical results that our efficient implementation
works properly when compared with the non-efficient conventional
implementation, which we have implemented as well.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN............................................................................................................ 1
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS ........................................................... 3
1.1. Método de los momentos ................................................................................... 3
1.2. Planteamiento del problema............................................................................... 5
1.2.1. Entorno electromagnético........................................................................... 5
1.2.2. Superficies Floquet-periódicas ................................................................... 6
1.3. Discretización de las incógnitas mediante el método de los momentos .......... 11
1.4. Elección de las funciones base Rooftop........................................................... 12
1.4.1
Comportamiento de las Rooftop en el dominio transformado ................. 14
1.5. Aplicación de las funciones base a la discretización de la corriente .............. 15
1.6. Testing del campo eléctrico dispersado ........................................................... 16
1.7. Testing del campo eléctrico incidente.............................................................. 18
1.8 Coeficiente de reflexión........................................................................................ 19
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO
MATLAB ....................................................................................................................... 20
2.1 Interfaz ............................................................................................................. 20
2.1.1
Geometría del objeto ................................................................................ 22
2.1.2 Campo incidente ........................................................................................... 23
2.1.3
Computation ............................................................................................ 24
2.2. Implementación no eficiente de la matriz de impedancias .............................. 25
2.3. Implementación eficiente................................................................................. 26
2.3.1. Aplicación de la FFT ................................................................................ 29
2.4. Sumatorios no múltiplos de P y Q ................................................................... 30
2.4.1. Método alternativo.................................................................................... 32
2.5. Implementación eficiente en Matlab................................................................ 32
2.6. Implementación de sumatorios no múltiplos de P y Q en Matlab ................... 33
2.7. Extensión a periodicidades no ortogonales...................................................... 35
2.7.1. Formulación.............................................................................................. 35
2.8. Implementación de arrays no ortogonales en Matlab ...................................... 36
2.8.1. Orth........................................................................................................... 37
2.8.2. Triang-orth................................................................................................ 38
CAPÍTULO 3. APLICACIONES .................................................................................. 39
CAPÍTULO 4. RESULTADOS ..................................................................................... 42
4.1 Comparativa ......................................................................................................... 42
4.1.1 Comparativa numérica entre el proceso eficiente y no eficiente................... 43
4.1.2 Comparativa del tiempo computacional entre ambos procesos..................... 47
4.1.3 Valores de truncamiento M y N que aseguran una precisión hasta el cuarto
decimal en el cálculo de los elementos de la matriz de impedancias. .................... 52
4.2 Resultados del cálculo del coeficiente de reflexión............................................. 56
4.3 Distribución de la corriente sobre el conductor.................................................... 60
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES ................................................................................. 61
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 62
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
Los métodos de análisis numérico de problemas de dispersión o de radiación
electromagnética proporcionan resultados aproximados aceptables para
muchas aplicaciones prácticas. El objetivo es la solución de las ecuaciones de
Maxwell con las condiciones de contorno impuestas por la geometría del
problema.
La solución analítica exacta del problema solamente es posible para algunas
geometrías muy particulares, llamadas canónicas, en las que las condiciones
de contorno se aplican a superficies con alguna coordenada constante en un
sistema de coordenadas en el que la ecuación de onda sea separable.
Además, las propiedades eléctricas del medio comprendido en estas
superficies deben ser uniformes. Para el análisis de una geometría arbitraria,
como es el caso en este trabajo, no es posible una solución analítica exacta y
es necesario recurrir a la solución numérica del problema.
Esta solución suele realizarse a través de los siguientes pasos:
1) Formulación del problema electromagnético: se parte de las ecuaciones
de Maxwell y de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas planas
uniformes (OPU).
2) Discretización de la formulación matemática: El cálculo numérico,
realizado mediante ordenador, sólo puede procesar números y no
funciones. Es pues necesario discretizar en secuencias numéricas todas
las funciones incógnita, (en nuestro caso, la corriente electrica). Se
obtiene así una aproximación de la incógnita funcional a traves de una
combinación lineal de funciones base.
3) Discretización de las condiciones de contorno: es necesario también
discretizar la superficie para imponer de forma aproximada las
condiciones de contorno electromagnéticas. En el caso que se estudia
en este trabajo se imponen las condiciones de contorno sobre un
conjunto finito de puntos del modelado de la superficie que define el
objeto conductor. En este trabajo, se analiza la dispersión
electromagnética de metalizaciones que se suponen conductoras
perfectas. La condición de contorno requerida, pues, es la anulación de
la componente tangencial de campo eléctrico total sobre la superficie.
Así, se transforma un sistema de ecuaciones funcionales en un sistema
de ecuaciones algebraicas de dimensión finita, que puede resolverse
numéricamente mediante un ordenador. El número de incógnitas
depende de las dimensiones eléctricas del objeto a analizar y puede
resultar bastante elevado para objetos eléctricamente grandes o
finamente mallados. Además, el tiempo computacional de cálculo crece
2
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
exponencialmente con el número de incógnitas.
El número de
incógnitas se corresponde con los coeficientes de las funciones base
que desarrollan la corriente eléctrica. En este trabajo, se escogen las
funciones base tejado (en inglés, rooftop). Estas funciones base son
adecuadas para el modelado de la corriente eléctrica en metalizaciones
rectangulares o con transiciones en ángulo recto. El sistema de
ecuaciones resultante de esas funciones base se corresponde con la
matriz de impedancias que es calculada mediante el método de los
momentos.
4) Solución del sistema matricial resultante: Finalmente, es necesario hallar
la corriente eléctrica equivalente, generadora del campo dispersado, de
manera que el campo total cumpla la condición de radiación de
Sommerfeld y la condición de contorno en la superficie conductora.
Como es imposible discretizar todo el espacio hasta el infinito, utilizamos
el Teorema de Equivalencia superficial, que consiste en la formulación
de los campos dispersados a través de la convolución de las corrientes
equivalentes con la función de Green del problema homogéneo
equivalente, el cual viene regido por las mismas condiciones de contorno
del problema original. La función de Green representa la respuesta
impulsional del medio y, por tanto, cumple la condición de radiación de
Sommerfeld.
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
3
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
1.1. Método de los momentos
En este trabajo, las ecuaciones funcionales que permiten resolver los
problemas de dispersión o radiación electromagnética, son funciones
integrales, que dan lugar a una ecuación funcional de la forma LX=Y, donde L
es un operador lineal resultante de aplicar a la corriente equivalente la integral
de campo eléctrico o magnético dispersado, ES y HS. La función X es la
incógnita (la distribución de corrientes equivalentes en la superficie conductora)
y la función Y representa el término independiente (campo incidente). Para
resolver esta ecuación funcional mediante las herramientas informáticas de las
que disponemos es necesario discretizar las funciones y operadores y convertir
la ecuación funcional en una ecuación matricial. En nuestro caso, esta
operación se realiza mediante el Método de momentos.
El primer paso a la hora de discretizar en un sistema de ecuaciones
algebraicas la ecuación funcional mediante el Método de los momentos es
aproximar la función incógnita X a través de una combinación lineal de N
funciones base χ f :
(1.1)
Donde los N coeficientes a j , muestras de la discretización de X, son las
incógnitas del problema numérico a resolver. De este modo X N representa una
aproximación de dimensión N de X. Si se sustituye la fórmula anterior en la
ecuación funcional LX=Y se obtiene
N
YN = ∑ a j Lx j
j
(1.2)
Se trata también de una ecuación funcional, pero con N incógnitas a j , donde
YN representa una aproximación del campo dispersado en la superficie. Para
que exista una buena solución a la ecuación es necesario que una combinación
lineal de Lx j pueda aproximar de forma correcta la función Y.
4
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
El residuo R es la diferencia entre el campo dispersado aproximado y el real en
la superficie del conductor:
N
R = Y − YN = Y − ∑ a j Lx j
j
(1.3)
Para convertir esta ecuación funcional en un sistema de N ecuaciones con N
incógnitas, se hace nulo el residuo ponderado con N funciones peso Wi
Wi R = 0
i=1..N
(1.4)
El producto escalar se define como el producto interno de Hilbert:
f ,g =
G
G G
∫ f (r )· g (r )dr
(1.5)
DL
Obtenemos entonces un sistema de N ecuaciones lineales con N incógnitas:
N
Wi , Y = ∑ a j Wi , Lx j
j
i = 1...N
(1.6)
Si se escribe en forma matricial resulta:
[Z ]J = e
(1.7)
Donde Z es una matriz llena de dimensiones NxN, conocida como matriz de
impedancias, cuyos elementos son Z ij = Wi , Lx j , J es el vector columna
formado por los elementos aj de la ecuación X N = ∑ Nja j x j ≈ X y e es el vector
columna bij = Wi , Y , que depende de la excitación externa. En este trabajo Y
es una onda plana uniforme incidente.
Al despejar la incógnita J, se obtiene:
J = [Z ] e
−1
(1.8)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
5
Esta ecuación se puede resolver por inversión directa o mediante un algoritmo
iterativo de búsqueda de la solución. La elección del método de resolución
depende de los recursos computacionales de los que se disponga. En la
mayoría de implementaciones en Método de los momentos el conjunto de
funciones base y funciones peso son las mismas. Esta elección de iguales
funciones base y peso se conoce como Método de Galerkin.[1]
1.2. Planteamiento del problema
En este trabajo el desarrollo del método de análisis está sujeto a los siguientes
condicionantes
1- La agrupación de elementos conductores se encuentra en el espacio
libre (en inglés, free-standing). Por tanto, la función de Green requerida
es la función de Green en el espacio libre G:
(1.9)
2- Se aplican las condiciones de contorno de conductores perfectos por lo
que la componente tangencial total del campo eléctrico en la superficie
conductora debe ser nula.
3- La forma de los elementos conductores debe ser mallable con funciones
base rectangulares tejado (“rooftop”). Las metalizaciones, pues,
responden a formas rectangulares o con transiciones en ángulo recto.
1.2.1. Entorno electromagnético
En este apartado detallamos la formulación electromagnética básica en la
superficie de los conductores, fundamentada en la suposición número dos.
(1.10)
6
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Donde E i es el campo eléctrico incidente sobre la metalización y E s es el
campo eléctrico total dispersado por ésta.
Fig1.1 Incidencia y reflexión del campo eléctrico
La definición de ambos campos de la fórmula (1.10) es la siguiente:
(1.11)
(1.12)
Donde
depende de la función de Green en el espacio libre presentada en
(1.9), J la distribución de corriente equivalente en la superficie del conductor.
Eo y son, respectivamente, la amplitud y la polarización del campo eléctrico
incidente. El vector
representa el vector de onda de la onda
incidente. El módulo del vector de onda
es el número de onda
,
donde λ representa la longitud de onda de trabajo.
1.2.2. Superficies Floquet-periódicas
El propósito de este trabajo es analizar agrupaciones planas doblemente
periódicas. Se abordan en primer lugar el análisis de estructuras con
periodicidades ortogonales (ver Fig 1.2). Al final del trabajo, se detallará el
análisis de agrupaciones con periodicidades bidimensionales oblicuas (ver Fig
1.3).
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
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Fig.1.2 Periodicidad ortogonal
Fig. 1.3 Periodicidad oblicua
Según el teorema de Floquet, las corrientes en diferentes celdas de la
agrupación periódica son iguales en módulo. Su fase viene determinada por el
desfase de la onda de campo incidente a lo largo de la superficie plana en la
que reside la agrupación conductora. Por esta razón, estas superficies
periódicas se denominan Floquet-periódicas. La distribución de corriente a lo
largo de la agrupación se puede expresar de la siguiente manera:
(1.13)
8
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Donde
es la corriente en la celda base de la agrupación periódica donde se
ubica el origen de coordenadas.
(1.14)
(Dx, Dy) y (m,n) representan, respectivamente, los periodos de la agrupación y
los índices contadores de desplazamiento relativo de las otras celdas en las
dos direcciones ortogonales x e y respecto de la celda base de referencia.
Como sucede con la transformada de Fourier más habitual, que transforma
magnitudes del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, es también
posible transformar magnitudes del dominio del espacio (x,y) al dominio de la
frecuencia espacial (Kx,Ky). La convolución espacial en (1.13) se puede
expresar en el dominio transformado en Kx y Ky de manera que la definición de
la distribución de corriente transformada
queda de la siguiente manera:
(1.15)
que es la expresión de una magnitud discreta, muestreada en la siguiente
secuencia de puntos, kxm y kyn, en el espacio transformado:
(1.16)
(1.17)
Donde
y
representan las componentes en x e y del vector de onda.
Con el cálculo de la corriente en (1.15), evitamos la engorrosa convolución en
el dominio espacial para así tener un producto en el dominio transformado.
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
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1.2.3. Función de Green
Para entender el significado físico de la función de Green, es necesario recurrir
a la expresión del campo eléctrico dispersado en la ecuación (1.11). La función
se comporta como la respuesta en cualquier punto r del medio a una fuente
de corriente puntual situada en un punto r’. Así pues, la función
representa
la respuesta impulsional del medio. Siendo el sistema estudiado en este trabajo
una agrupación periódica bidimensional de conductores situados en el espacio
libre, la función
requerida depende de la función de Green en el espacio
libre referida en (1.9). La distinta orientación, en x o en y, del campo y de la
corriente establece 4 componentes según las posibles orientaciones relativas
campo-corriente (xx, xy, yx, yy).
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Donde representa la función
transformada [2], suponiendo las corrientes
distribuidas a lo largo del plano XY, y
denota la impedancia del espacio libre.
Del producto de la función , en el espacio transformado, y la corriente
Floquet-periódica transformada, se obtiene la expresión del campo eléctrico
dispersado en el dominio transformado:
(1.21)
Ambas magnitudes, campo eléctrico dispersado y corriente, están definidos en
el plano XY, donde reside la agrupación bidimensional conductora. Por
10
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
consiguiente, el desglose de estas magnitudes transformadas en cada una de
sus componentes, en x i en y, conduce a
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
A la vista de la definición en (1.21), la expresión funcional de las componentes
x e y de la distribución de campo dispersado superficial en función de las
componentes x e y de la distribución de corriente se obtiene antitransformando
las expresiones (1.24) y (1.25) de manera que:
(1.26)
(1.27)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
11
Podemos apreciar como ambas componentes de campo eléctrico dispersado
dependen de ambas componentes de corriente superficial. Esta expresión se
puede formular finalmente de manera compacta, a la vista de las definiciones
en (1.24) y (1.25), de la siguiente manera:
(1.28)
(1.29)
1.3. Discretización de las incógnitas mediante el método de
los momentos
Como ha sido explicado en la guía de análisis, la incógnita X de la expresión
LX=Y se corresponde con las corrientes equivalentes a lo largo de la
metalización conductora. Al tratarse una superficie con forma no canónica, el
cálculo exacto de las corrientes resulta imposible. Es pues necesario discretizar
el conductor con parches rectangulares (ver Fig. 1.4)
12
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Fig 1.4 Discretización de una superficie rectangular
Como se puede apreciar en la figura, el mallado utilizado es rectangular, puesto
que basándonos en la suposición tres, las funciones que mejor se adaptan a
este problema son funciones base tejado o “rooftop”.
1.4. Elección de las funciones base Rooftop
En la discretización de la corriente, se asignan las funciones base rooftop a las
aristas interiores que aparecen en el mallado. En total, el número de incógnitas
requerido es el número de aristas interiores del mallado. La siguiente figura 1.5
muestra la función base Rooftop asociada a la arista definida por los vétices j y
m.
Fig 1.5 Función base rooftop asociada a la arista (j,m)
Las funciónes base rooftop de referencia, centradas respecto del origen de
coordenadas se definen como:
(1.30)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
13
(1.31)
donde
está orientada según x y
, según y. Los símbolos ∏ y ∆
denotan pulsos, respectivamente, rectangular y triangular. Nótese que el valor
máximo de pulsos es uno.
La forma de estas funciones base en el plano xy queda de la siguiente forma
(a)
Fig 1.6 Rooftop orientada en X
(b)
Rooftop orientada en Y
donde Sx i Sy son la longitud de las subdivisiones del mallado,
respectivamente, en las direcciones x e y. En este trabajo, se esta suponiendo
que se aplican mallados uniformes en x en y a las superficies. Por tanto, todas
las funciones base resultan de desplazar físicamente la función base de
referencia definida en (1.30) y (1.31).
Así pues, se definen las demás funciones base respecto a la función base de
referencia asociadas al resto de aristas de la siguiente forma:
(1.32)
(1.33)
14
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
siendo Xp e Yq el desplazamiento relativo respecto a la función base de
referencia. Las expresiones de las funciones bases en (1.32) y (1.33) en el
dominio transformado quedarán de la siguiente manera:
(1.34)
(1.35)
1.4.1 Comportamiento de las Rooftop en el dominio transformado
En (1.32) y en (1.33) se ha visto como se definen las funciones base, basadas
en pulsos triangulares y rectangulares. A continuación se muestran las
expresiones en el dominio transformado de ambos tipos de pulsos.
  x 
2
TF1Λ
 = Sx·sin c (Kx·Sx / 2 )
  2 Sx 
(1.36)
Donde TF1 es la transformada de Fourier unidimensional.
Fig 1.8 Transformada de Fourier del pulso triangular
  2 y 
TF1∏   = Sy sin c(Ky·Sy / 2) )
  Sy 
(1.37)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
15
Fig 1.9 Transformada de Fourier del pulso rectangular
En definitiva, la función base rooftop es el producto entre ambas.
1.5. Aplicación de las funciones base a la discretización de la
corriente
La discretización de la corriente resulta del desarrollo o aproximación de la
función corriente como combinación lineal de las funciones base. Dada la forma
de las funciones base “rooftop”, la discretización de la corriente representa una
aproximación lineal de la corriente. El número de funciones base adoptado es
finito y se corresponde con el número de aristas interiores (en las direcciones x
o y).
La discretización de la corriente orientada en la dirección X o en la dirección Y
en la celda base de la agrupación periódica en función de las funciones base
queda:
(1.38)
(1.39)
16
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
donde los valores P y Q denotan, respectivamente, el número de subdivisiones
en el mallado de la metalización de la celda base, respectivamente, en las
direcciones x e y. Los coeficientes (cx,cy) representan los coeficientes incógnita
en cada una de las dos direcciones y (p,q) son los índices contadores del
desplazamiento relativo de las funciones base (bx,by) respecto las funciones
base de referencia (ver expresión 1.32 y 1.33).
Es importante recalcar que con el procedimiento descrito en este trabajo, la
carga computacional para encontrar la solución depende del número de
incógnitas para discretizar la celda base de la agrupación. Efectivamente, las
corrientes en celdas diferentes de la celda de referencia se obtienen a partir del
Teorema de Floquet y su cálculo no añade incógnitas.
1.6. Testing del campo eléctrico dispersado
Tras la discretización de la corriente, hay que discretizar la condición de
contorno en la superficie conductora. Para ello, debe efectuarse el producto
interno de Hilbert de las expresiones de campo dispersado en (1.28) y (1.29)
con el mismo conjunto de funciones base rootftop con que se ha discretizado la
corriente:
(1.40)
La integral anterior se puede expresar de manera equivalente como la
transformada de Fourier particularizada en kx=ky=0 del producto del campo
dispersado y del complejo conjugado de la función base de test de manera que:
(1.41)
donde TF2 se corresponde con la Transformada de Fourier bidimensional y
donde bu es la función base,
o
, que testea el campo dispersado en ese
punto y (r,s) los índices de la función test.
La expresión en (1.41) se puede expresar de manera equivalente como:
(1.42)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
17
que a su vez es igual a:
(1.43)
Es decir, la expresión en (1.41) queda finalmente como
(1.44)
Por consiguiente, la expresión final de la matriz de impedancias resultante, ver
(1.7), es:
(1.45)
(1.46)
(1.47)
(1.48)
(1.49)
18
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
1.7. Testing del campo eléctrico incidente
Todo lo explicado hasta ahora es inviable sin una onda que incida sobre la
superficie conductora periódica ver (1.7). Se parte de una OPU (onda plana
uniforme) con los parámetros característicos conocidos (amplitud, dirección y
ángulo de incidencia):
(1.50)
La interrelación entre corriente, campo dispersado y campo incidente vuelve a
implicar la necesidad del testeo del último; con la salvedad que la OPU es
conocida y por lo tanto sus coeficientes en el testeo también. Con el
conocimiento de este último parámetro ya se estaremos en disposición de
resolver la incógnita, es decir la corriente. La expresión del testing del campo
incidente es la siguiente:
(1.51)
Donde bu es la misma función test que para el campo eléctrico dispersado. La
componente z es constante por lo tanto puede salir fuera de la integral.
Resolviendo la integral doble a partir de las expresiones (1.34 y 1.35):
(1.52)
La expresión final del testeo la forman la amplitud de la onda por la función test
en el domino transformado en ese punto, particularizado para kx= −kxi y ky= −kyi
(1.53)
CAPÍTULO 1. GUÍA TEÓRICA DE ANÁLISIS
19
1.8 Coeficiente de reflexión
A lo largo de este trabajo se ha presentado formulación y resultados del campo
eléctrico dispersado en la superficie de la agrupación periódica, que reside en
el plano XY (z=0).
Para entender el coeficiente de reflexión producido por la metalización se ha de
realizar un estudio fuera de la superficie (z ≠ 0). Se parte principalmente de dos
casos posibles en función de la orientación del campo eléctrico incidente:
Fig. 1.10 Incidencia TE
Fig. 1.11 Incidencia TM
La expresión del campo dispersado, fuera de la superficie conductora,
responde a la siguiente expresión:
Eu ( x, y | z ≠ 0) = Eu ( x, y | z = 0)e ± jz
s
s
k 2 0 − k 2 xm − k 2 yn
u : ( x, y )
(1.54)
donde el signo del sentido de propagación en z depende del semiespacio en el
cual se está propagando la onda dispersada (ver (1.28) y (1.29)).
20
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Del sumatorio en (1.54), la contribución para la onda reflejada sale solamente
del sumando en m=n=0 puesto que , a la vista de (1.16) y (1.17), kx0=-kxi, ky0=kyi , k zi = k 2 0 − k 2 x 0 − k 2 y 0 .
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL
SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
2.1
Interfaz
Una vez vista toda la teoría que envuelve al problema y llegando como objetivo
final el cálculo de la matriz de impedancias, es necesario resolver el doble
sumatorio propuesto en la expresión de Z así como resolver el sistema matricial
resultante. Se ha podido comprobar que se trata de un doble sumatorio infinito,
por lo que será necesario establecer unos límites que trunquen ese doble
sumatorio. Para ello, se propone una interfaz en MATLAB que gestiona todas
las variables que envuelven al problema. A continuación se muestra esa
interfaz:
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
Fig. 2.1 Imagen de la interfaz del programa
Se puede apreciar que la interfaz consta de tres grandes módulos:
-
Geometría del objeto
Campo eléctrico incidente
Computación
21
22
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
2.1.1 Geometría del objeto
Fig. 2.2 Imagen del primer módulo
Desde la pantalla principal de Matlab, se carga la rutina run_rect_3d_fss.m
para poder visualizar la interfaz. En este módulo, se configura y dibuja la
superficie a estudiar, asi como su periodicidad en ambos ejes.
-
Object
Se introduce el nombre de la rutina que genera la metalización rectangular ya
mallada que se va a estudiar.
-
Parameters
Se introducen las medidas del rectángulo de la siguiente forma:
[longitud abscisas, subdivisiones abscisas, longitud ordenadas, subdivisiones
ordenadas, altura]
-
Periodicidad
Se introduce la distancia entre dos conductores en ambos ejes: [periodicidad
abscisas, periodicidad odenadas]
-
Process
Almacena los datos introducidos y los procesa
-
Plot
Dibuja la geometría centrada en el origen acorde con los datos introducidos
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
Fig. 2.3 Imagen de la celda dibujada per el Plot
2.1.2 Campo incidente
Fig. 2.4 Imagen del segundo módulo
En este módulo, se define el campo incidente a través de los parámetros que
forman la expresión de la OPU y se testea.
-
Wavelength
Longitud de onda de la OPU en metros
-
Incidence direction
Se define la dirección de la OPU en coordenadas esféricas
-
Rotation of E with respect to phi
23
24
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Se define la polarización de la OPU
Eo
Se define la amplitud de la OPU
-
Test field
Se calcula el campo eléctrico incidente testeado
2.1.3 Computation
Fig. 2.5 Imagen del tercer módulo
En este módulo se calcula la matriz de impedancias, la corriente y el coeficiente
de reflexión.
-
Z
Cálculo de la matriz de impedancias
-
Rang M y N
M y N definen el truncamiento en lo sumatorios en Kxm y Kyn, respectivamente
en el espacio transformado.
Js
Cálculo de la corriente
-
RCS(J)
Cálculo del coeficiente de reflexión
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
2.2. Implementación no eficiente de la matriz de impedancias
Como el propio orden de la interfaz indica, en primer lugar definimos la
geometría de la superficie rectangular que va a ser mallada así como el testeo
de la onda que va a incidir sobre ella.
En segundo lugar, se necesita establecer unos límites M y N para el doble
sumatorio truncado que presenta (índice de la expresión de arriba). Cabe
destacar, que el aumento del valor de los márgenes provoca un crecimiento
exponencial del tiempo de cálculo, mientras que el aumento de precisión es
logarítmico por lo que es necesario encontrar un valor que equilibre esos
parámetros.
No existe una fórmula matemática que encuentre ese valor, por lo que el
número de iteraciones vendrá determinado por la percepción del propio
usuario.
Por último, M y N han de cumplir que sean naturales no nulos y no han de ser
necesariamente iguales; el valor de m afecta a la precisión en la variación en X
de la matriz de impedancias mientras que el de n afecta a la variación en Y.
Una vez resueltos esos parámetros, es necesario definir cada uno de los
elementos que forman la expresión del cálculo de la matriz de impedancias Z.
La rutina que calcula Z funciona de la siguiente manera: en primer lugar se crea
la matriz de funciones de Green en el dominio transformado en el espacio libre
de acuerdo con el número de iteraciones m y n, en segundo lugar se crean las
interacciones en (x,y) y se realiza el producto del conjugado de la función test
transformada en un punto, la función de Green y la función base de corriente
en otro punto (para cualquier combinación de puntos).
En cada interacción, se crea una matriz de valores que acaban siendo
sumados para obtener un único valor. A mayor tamaño de la matriz, mayor
precisión en la aproximación de la corriente.
A continuación se muestra un esquema de la matriz de impedancias
resultante:
Fig. 2.6 Matriz de impedancias
25
26
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Donde Nx es el número de funciones base orientadas en x, Ny el número de
funciones base orientadas en y y Zxx, Zxy, Zyx, Zyy las submatrices de Z que
incluyen las interacciones entre las funciones testing de campo orientadas en x
o en y con las funciones base de corriente orientadas en x o en y, ver ecuación
(1.45).
De esta manera, la dimensión de la matriz de impedancias es:
(
+
)x(
+
)
(2.1)
Por lo tanto se trata de una matriz cuadrada en la que las submatrices Zxx y
Zxy son también cuadradas.
2.3. Implementación eficiente
Fig. 2.7 Imagen de una celda básica
Esto es una celda básica de la estructura periódica bidimensional. Se puede
ver como un conjunto de píxeles cuadrados. La metalización (rectangular)
ocupará alguno de estos píxeles dentro de la celda. Por tanto, por construcción,
cualquier metalización incluirá un número entero de píxeles de manera que:
(2.2)
Por ejemplo, una metalización rectangular arbitraria podría ocupar los
siguientes píxeles:
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
27
Fig. 2.8 Imagen de una metalización rectangular
Como se puede ver en (1.46), (1.47), (1.48) y (1.49), el tiempo computacional
en el cálculo de cada elemento de la matriz de impedancias crece
exponencialmente al aumentar los valores de m y n, por lo tanto es necesario
realizar un cálculo de la misma de forma más eficiente. El factor más
determinante en la suma del tiempo total de cálculo es la existencia de un
doble sumatorio infinito (m y n) para cada elemento de la matriz. A efectos
prácticos es imperativo truncar los sumatorios infinitos y hacerlos finitos
respectivamente de –M a M y de –N a N. En general la expresión de los
sumatorios truncados queda:
(2.3)
Donde tanto u como v pueden ser x o y.
La expresión se encuentra en el dominio transformado y (r,s) indica la función
test implicada y (p,q) indica la función base implicada. Por tanto, (r,s) o (p,q)
son índices de las funciones base/test implicadas. Cada función base/test
tendrá un determinado desplazamiento respecto a la función base/test de
referencia (ver 1.32 y 1.33). En general es posible ubicar la función base de
referencia donde mejor convenga y a partir de ella obtener cualquier otra
función base mediante un desplazamiento relativo espacial (o multiplicación por
exponencial compleja en el dominio transformado). Es decir:
28
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
(2.4)
Que finalmente si se define:
(2.5)
Queda:
(2.6)
Si se impone que Dx y Dy son múltiplos enteros respectivamente de Sx y de
Sy, la expresión queda (ver ecuación (2.2)):
(2.7)
Si se incluye esta expresión en el doble sumatorio de (2.3), queda:
(2.8)
que a su vez es igual a:
(2.9)
Este sumatorio es muy costoso en lo que se refiere a tiempo de cálculo.
Para agilizarlo, se propone el uso de la FFT (Fast Fourier Transform).
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
29
2.3.1. Aplicación de la FFT
Primero, es necesario transformar el doble sumatorio en cuádruple con la
definición de los siguientes índices:
(2.10)
donde el rango de valores para m’’ es de 0 a P-1 y para n’’ es de 0 a Q-1.
Dado que los valores de M i N en principio son arbitrarios, es necesario
escoger unos valores adecuados para que el uso de la FFT sea posible. Estos
valores han de ser múltiplos de P y de Q respectivamente. Por tanto MM=M/Q y
NN=N/Q deben ser valores enteros en principio. Además, en general los
valores M, N son mucho más grandes que P y Q.
A la vista de (2.10) los rangos de valores para m’ y n’ son respectivamente, de
–MM a MM-1 y de –NN a NN-1.
Gracias a este cambio de índices el sumatorio (2.9) se simplifica ya que:
(2.11)
Y la expresión con dos sumatorios en (2.9) queda finalmente con cuatro:
(2.12)
Ahora viene cuando introducimos la transformada doble de Fourier. Se puede
cambiar el orden de los sumatorios en (2.12):
(2.13)
30
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Nótese que los términos exponenciales no dependen de m’ ni de n’, lo que
implica que no afectan a los sumatorios interiores, en m’ y n’. Por tanto, estos
dos sumatorios interiores, se computan a parte. Cabe destacar, que la carga
computacional ha bajado considerablemente, puesto que NN y MM son mucho
menores que M y N. De esta forma, se calcula a parte:
(2.14)
La dependencia en m’ y n’ está en kxm y kyn, pero al sumarse queda
únicamente la dependencia en m’’ y n’’ (en Matlab será una matriz de
dimensiones PxQ). Nótese que la demanda computacional de este sumatorio
interno es mucho menor porque en general NN<<N y MM<<M.
Los dos sumatorios exteriores forman la Transformada doble de Fourier que
asimismo requieren un tiempo computacional muy reducido.
(2.15)
2.4. Sumatorios no múltiplos de P y Q
Como se ha comentado en la implementación eficiente de los sumatorios, es
imprescindible que el cociente entre (M, P) y (N, Q) sea un número entero. Ante
esta limitación tan potente, se debe plantear como resolver el problema si esta
condición no se cumple. La solución a este inconveniente es bastante intuitiva
a nivel teórico, puesto que los valores de M y N no múltiplos de P y Q tienen
múltiplos cercanos tanto inferior como superiormente. En este trabajo, se
escoge el valor múltiplo de P y Q superior a M y N y más cercano.
Por ejemplo en el caso de la figura (2.9), con M=N=21 y P=Q=8. Nótese que 21
no es múltiplo de 8, por tanto se redondea M y N a 24, que sí lo es. El problema
que conlleva este redondeo, es la realización de más iteraciones de las que
realmente demanda el usuario. Este inconveniente, se debe solucionar
añadiendo 0 a las iteraciones sobrantes (en este caso son las iteraciones que
van desde (-24,-22) y (21,23). Este método, es conocido como zero-padding y
es utilizado en la implementación de FFT para realizar un número de
iteraciones permitidas por esta.
Para el ejemplo en cuestión si M=N=21 y P=Q=8, el rango de valores de m'' va
de 0 a P-1 = (0,7) y el rango de valores de n'’, de 0 a Q-1 = (0,7). Con el
redondeo al mútiplo superior más cercano (24), MM=M/P=3 y NN=N/Q=3,
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
cuyos rangos de valores son de –MM a MM-1 = (-3,2) para m’ y de –NN a NN1 = (-3,2) para n’.
A continuación se muestra gráficamente la evolución columna a columna del
índice m en función de los otros índices m’ i m’’, que de hecho son los índices
de la matriz siguiente
Fig. 2.9 Ilustración de las iteraciones
Esta matriz computa las iteraciones eficientes pero se implementa ignorando,
no computando, las iteraciones sobrantes de manera que el número de
iteraciones totales es el correspondiente a M=21. Aunque en este caso se
analiza el índice M, el índice N funciona de igual manera:
Fig. 2.10 Ilustración con zero-padding
31
32
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
2.4.1. Método alternativo
Otro método distinto para poder computar dobles sumatorios de forma eficiente
con valores de M y N no múltiplos de P y Q podría ser realizando un redondeo
inferior, de manera que se realiza la FFT hasta el valor múltiplo inferior más
próximo. Las iteraciones sobrantes se realizan de forma no eficiente, siguiendo
el mismo método aplicado en el apartado correspondiente.
Después de implementar este método en la interfaz de Matlab, se verifica que
el tiempo computacional no mejora de forma ostensible, por lo que se
desestima este método alternativo para este caso en particular.
2.5. Implementación eficiente en Matlab
Fig. 2.11 Imagen del módulo Computation
El cálculo de la matriz de impedancias de forma eficiente en Matlab se
encuentra en Computation al lado del cálculo no eficiente en el tercer módulo
de la interface anteriormente descrita. Para realizar dicho cálculo primero es
necesario, igual que en el cálculo de la matriz no eficiente, definir la geometría
así como su mallado. En segundo lugar se necesita determinar la acotación de
los sumatorios, el valor de estos podrá ser cualquiera mientras sean naturales
no nulos. Una vez definido estos parámetros ya se puede empezar con el
cálculo de la matriz.
Para calcular
se utilizan dos rutinas: en la primera calculamos la FFT y en
la segunda a partir de la matriz resultante de la FFT calculamos la matriz de
impedancias. El procedimiento en la primera rutina es el siguiente:
Primero la dividimos en cuatro apartados según las posibles iteraciones entre
las funciones base y las test (xx,xy,yx,yy). El procedimiento es el mismo en los
cuatro apartados variando solo la dirección de las funciones base y test así
como la de Green. En cada apartado se realiza un cuádruple sumatorio,
descrito en el apartado anterior, donde se multiplican las funciones de test,
base y de Green transformadas correspondientes, para finalmente sumarlas
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
todas en la matriz SUMA de dimensiones PxQ. Una vez se han calculado todas
la iteraciones se realiza el cálculo de la FFT con la matriz SUMA.
En la segunda rutina a partir del resultado obtenido en la FFT se procede a la
construcción de la matriz de impedancias. La matriz resultante de la FFT es de
las mismas dimensiones que SUMA, es decir PxQ, mientras que la dimensión
+ ) x (
+ ), siendo
y
el
de la matriz de impedancias es de (
número de funciones base en cada eje.
Fig. 2.12 Ilustración de la dimensiones de la matriz de impedancias y de la
matriz resultante de la FFT
Para relacionar estas matrices no se hará directamente de Z a FFT sino de
con FFT,
con FFT y así con las cuatro submatrices.
2.6. Implementación de sumatorios no múltiplos de P y Q en
Matlab
La implementación en Matlab de los sumatorios no múltiplos se realiza en la
misma rutina que el cálculo eficiente de la matriz de impedancias. Este proceso
será totalmente transparente y no afectará en nada al procedimiento explicado
en el punto anterior.
33
34
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Fig. 2.13 Imagen del tercer módulo de la interfaz
La implementación de sumatorios no múltiplos de P y Q es muy importante ya
que nos facilita el uso del cálculo de la matriz de impedancias de forma
eficiente de la misma manera que el de la no eficiente, ahorrándonos todo el
tiempo computacional que acarrea. También facilita el uso al usuario de la
interfaz al no tener que encontrarse con limitaciones en el cálculo de su
problema. Por ello la implementación estará siempre activa en la rutina de la
matriz de impedancias eficiente. Esta consiste en:
Primero se calcula si el valor introducido de los sumatorios es múltiplo de P y Q
obteniendo el resto de su cociente respectivamente con M y N:
(2.16)
Si el resto es cero, es decir que es múltiplo, se ejecuta el programa con
normalidad. Si es diferente de cero seguidamente se calcula el valor superior,
múltiplo de P o Q:
(2.17)
Una vez calculado el valor superior del sumatorio se procede al cálculo con
normalidad de la matriz de impedancias con la salvedad de que antes de
realizar el algoritmo se comprobará en qué posición de la iteración se
encuentra para realizar o ignorar el cálculo.
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
2.7. Extensión a periodicidades no ortogonales
Hasta ahora, se ha supuesto que nuestra metalización se extendía
periódicamente a lo largo de 2 direcciones ortogonales.
En este apartado se va a resolver nuestro problema para periodicidades no
ortogonales. Se mantendrá la dirección x fija y se variará la dirección y en
función de un ángulo que introducirá el usuario en la interfaz. Esta situación
únicamente la resolveremos por el método no eficiente.
Hasta ahora, solo se ha estudiado la actuación de una OPU sobre arrays
ortogonales. Tanto este tipo de arrays como los que se van a estudiar a
continuación se comportan como superficies selectivas en frecuencia cuando la
onda incide sobre ellos.
Las superficies selectivas en frecuencia, en inglés frequency selective
surfaces (FSS), tienen generalmente aplicaciones como filtros de microondas y
de
señales
ópticas. Estas superficies están
constituidas por parches
metálicos o elementos de apertura dispuestos periódicamente. Una estructura
típica de FSS se muestra a continuación:
Fig. 2.14 Metalización periódica oblicua [2]
2.7.1. Formulación
El primer paso
en la formulación del problema de los campos
electromagnéticos basados en la dispersión que realiza una superficie de
frecuencia selectiva es relacionar los campos dispersados por la FSS a las
corrientes superficiales inducidas en la superficie por el campo incidente. A lo
largo del planteamiento, se supondrá que la FSS es infinitesimalmente
delgada, un supuesto que suele ser válido para la mayoría de las aplicaciones
de radiofrecuencia [2].
35
36
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Para entender el cambio de un array ortogonal a uno oblicuo (ver figura (2.14)),
es necesario empezar por el comportamiento de la periodicidad en los ejes.
Como se ha hecho a lo largo del trabajo, el dominio de trabajo va a ser el
transformado. Por lo tanto, las variables principales son kx y ky.
En la introducción a este apartado se ha comentado que la dirección en x no
será modificada, lo que significa que la expresión de kx será la misma. La que
debe ser modificada es ky, que dependerá de Ω, el ángulo que indica el grado
de oblicuidad respecto la dirección x de la periodicidad distinta a x. De esta
manera, la dirección dependiente del ángulo deberá tener aportación tanto de
m como de n (que en este caso debe recordarse que son los contadores
multiplicadores de Dx y Dy que trasladan la celda base conductora en x o en y).
Se puede demostrar que las expresiones para periodicidades no ortogonales
de kxm y kyn son las siguientes [4]:
(2.18)
Donde Dx representa la periodicidad en x (Tη1 en la Figura ( 2.14)) y Tη1 es la
periodicidad en la dirección oblicua.
2.8. Implementación de arrays no ortogonales en Matlab
La implementación de arrays no ortogonales en el programa de matlab
ampliará de forma considerable el número de problemas a resolver. Los
problemas a plantear serán muchos más reales y no únicamente un caso en
particular en que las periodicidades sean ortogonales. El cálculo de arrays no
ortogonales no permite la implementación eficiente mediante FFT.
Para resolver la implementación de la problemática en el cálculo de la matriz de
impedancias, con periodicidad no ortogonal, se deben realizar una serie de
cambios en las rutinas del programa. En la rutina del cálculo de la matriz de
impedancias de forma no eficiente el único cambio a realizar, a lo explicado
anteriormente en el capítulo 2.2, es el de la expresión de kyn por la de la
expresión 2.18.
También se han realizado cambios importantes en la interfaz:
CAPÍTULO 2. EXTENSIÓN DEL PROBLEMA AL SOFTWARE DE CÁLCULO MATLAB
Fig. 2.15 Imagen de la interfaz actualizada
Se ha añadido en el primer módulo un nuevo campo Lattice. En este campo se
ha de indicar que tipo de problema se quiere plantear si uno con periodicidad
ortogonal (Orth) u otro con periodicidad triangular o no ortogonal (Triang-orth).
Al realizar este cambio en la interface también se ha creado una rutina en la
cual al pulsar Process se ejecuta y se encarga de generar todas las variables
necesarias en el programa. Esto se ha realizado debido a que las variables de
entrada dependiendo del problema cambian:
2.8.1. Orth
Siguen siendo las mismas que las explicados en el capítulo 2.2, pero haremos
un breve recordatorio para después poder comparar.
-
Parameters
[longitud abscisas, subdivisiones abscisas, longitud ordenadas, subdivisiones
ordenadas, altura]
37
38
-
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Periodicidad
[Dx,Dy]
2.8.2. Triang-orth
Fig. 2.17 Imagen del primer módulo de la interfaz
Al seleccionar un problema con periodicidad no ortogonal hay un cambio en la
entrada de variables de Periodicidad y aparece un nuevo campo:
-
Periodicidad
[a.b]: Es decir que cuando se defina el problema no se entrará la periodicidad
en abscisas y ordenadas sino la periodicidad en abscisas y oblicua.
-
Angulo per
[Ω] En este campo se entrará el ángulo de la periodicidad oblicua definido en el
apartado anterior.
CAPÍTULO 3. APLICACIONES
39
CAPÍTULO 3. APLICACIONES
Las aplicaciones de superficies selectivas en frecuencia son muchas y
variadas, y se extienden sobre gran parte del espectro electromagnético. En la
región de las microondas, las propiedades de la frecuencia selectiva son
explotadas por ejemplo para hacer un uso más eficiente de los reflectores de
las antenas.
Fig. 3.1 Reflector de antena con una FSS [2]
Como se muestra en la figura 3.1, la superficie selectiva en frecuencia se
emplaza entre dos canales, radiando a dos frecuencias diferentes, y el reflector
principal. Dicha superficie es totalmente reflectante (aproximadamente) en la
banda de alimentación uno, y por el contrario, es casi totalmente transparente
para
la
segunda
banda
de
alimentación.
Por
lo
tanto, en
esta configuración, dos canales
independientes pueden
compartir la misma antena reflector al mismo tiempo, en modo de reúso
frecuencial. La respuesta espectral deseada de la superficie selectiva en
frecuencia se muestra en la siguiente figura para un solo ángulo de incidencia y
una polarización del campo incidente:
Fig. 3.2 Espectro de las frecuencias de paso y no paso [2]
40
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Esta respuesta puede cumplir con los requisitos del sistema de la antena
reflectora, cuando el ángulo de incidencia en la superficie es parecido al
esperado. Si se produce un cambio en el ángulo de incidencia o en la
excitación de la polarización en la alimentación puede degradar la
respuesta espectral de la superficie hasta un punto en que las características
de la antena ya no cumplen con los requisitos del sistema. Por
ello una geometría parche que produzca una
respuesta que sea
relativamente insensible al ángulo de incidencia en el campo de iluminación es
muy deseada. Según [2], una de las geometrías que satisface este requisito es
la de la cruz de Jerusalén.
Fig. 3.3 Celda cruz de Jerusalem [3]
Otro ejemplo de aplicación para las superficies selectivas en frecuencia es su
utilización en el diseño de radomos.
Fig 3.4 Radomo
La superficie del radomo permite ser configurada para dejar pasar aquella
frecuencia requerida por el sistema. Fuera de la banda de paso, la superficie es
capaz de reflejar todas aquellas frecuencias que se encuentran en ella [2].
En la región de infrarrojo lejano, las superficies periódicas son utilizadas como
polarizadores, divisores de haz, así como espejos para mejorar la eficiencia de
bombeo de láseres moleculares. Se puede construir un polarizador a partir de
una
porción
de rejilla de
tal
manera
que
CAPÍTULO 3. APLICACIONES
41
los campos polarizados paralelos a la reja se reflejan, mientras que aquellos
con una polarización ortogonal se transmiten [2].
Otra utilidad de las FSS son los espejos en forma de cavidad usadas
en un láser, de tal manera que se refleja totalmente la longitud de onda de la
energía utilizada para bombear la cavidad, consiguiendo transmitir entre un 040% de la longitud de onda de láser. La energía no utilizada en el bombeo
óptico del láser se pierde en el espejo, por lo que la eficiencia del sistema
aumenta [2].
Otra aplicación de las FSS en este rango del espectro electromagnético
son los
sensores infrarrojos, en
las
que sus
propiedades se
utilizan para absorber las frecuencias deseadas en el material del substrato que
respalda la superficie, mientras que fuera de la banda de paso son rechazadas
[2].
En las zonas del infrarrojo cercano y visible del espectro, las FSS se
han propuesto como superficies solares
selectivas
para ayudar
en la
recogida de la energía solar. La superficie puede ser diseñada de manera
que sea totalmente transparente en la banda de frecuencia donde las placas
solares son más eficientes y que sea capaz de reflejar las frecuencias que
están fuera de esta banda.
Por último, se han descubierto en estudios entomológicos, que las córneas de
determinados insectos pueden actuar como FSS [2].
42
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
Para obtener los resultados que se describen en este capítulo se ha utilizado
una interfaz que nos ha venido proporcionada por el tutor del trabajo y cuyas
características ya han sido descritas en el capítulo 2.
A lo largo de este capítulo se realizaran diversas comparaciones que se
consideran relevantes en las posibles situaciones que pueden ser sometidos
los procesos eficientes y no eficientes
4.1 Comparativa
En este primer apartado se pretende verificar, bajo una incidencia normal y
oblicua de la OPU y una malla concreta, los siguientes puntos respecto al
cálculo de la matriz de impedancias:
i)
ii)
iii)
Comparativa numérica entre el proceso eficiente y no eficiente
Comparativa del tiempo computacional entre ambos procesos.
Valores de truncamiento M y N que aseguran una precisión hasta el
cuarto decimal en el cálculo de los elementos de la matriz de
impedancias.
El objeto de estudio es una agrupación bidimensional ortogonal cuyas celdas
son metalizaciones rectangulares (ver figura (4.1)):
Dimensión en el eje x: 1 m
Número de subdivisiones en x: 5
Dimensión en el eje y: 1 m
Número de subdivisiones en y: 5
Longitud de onda: 1m
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
43
Fig. 4.1 Mallado de la celda base
4.1.1 Comparativa numérica entre el proceso eficiente y no eficiente
INCIDENCIA NORMAL ( =180º, ø=0º y rotación=270º)
-
M y N múltiplos de P y Q respectivamente.
M=N=16
P=Q=8
44
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Fig. 4.2 Cálculo de la matriz de impedancias
El primer resultado hace referencia a la autointeracción entre la primera función
base orientada en X, el último a la autointeracción de la primera función base
orientada en Y, el segundo y tercero se corresponden a las cruzadas. Se
puede comprobar cómo las implementaciones eficiente y no eficiente dan el
mismo valor.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
-
45
M y N no múltiplos de P y Q
M=N=18
P=Q=8
Fig. 4.3 Cálculo de la matriz de impedancias con M y N no múltiplos
Se ha realizado este ejemplo con M y N no múltiples para demostrar que con el
proceso de forma eficiente también se puede ejecutar con todos los valores
posibles en las iteraciones de los sumatorios. Se observa que los resultados
varían mínimamente al ejemplo anterior debido a que se han ejecutado más
iteraciones y con ello mejora la precisión en el cálculo.
INCIDENCIA OBLICUA (( =130º, ø=45º y rotación=270º)
-
M y N múltiplos de P y Q respectivamente.
M=N=16
P=Q=8
46
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Fig. 4.4 Cálculo de la matriz de impedancias con incidencia oblicua
Se observa que con incidencia oblicua del campo eléctrico el cálculo de la
matriz de impedancias se resuelve correctamente de la misma forma que con
la incidencia normal.
-
M y N no múltiplos de P y Q
M=N=18
P=Q=8
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
47
Fig. 4.5 Cálculo de la matriz de impedancias con M y N no múltiplos
Se observa que los resultados varían mínimamente al ejemplo anterior debido
a que se han ejecutado más iteraciones y por ello hay mayor precisión en el
cálculo.
4.1.2 Comparativa del tiempo computacional entre ambos procesos.
Se realizarán 3 ejemplos, para cada incidencia del campo eléctrico,
aumentando en cada uno de ellos el número de iteraciones por sumatorio
para poder observar el aumento en el tiempo del cálculo computacional.
48
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
INCIDENCIA NORMAL ( =180º, ø=0º y rotación=270º)
-
Con M=N=20
Fig. 4.6 Cálculo del tiempo computacional con M=N=20
-
Con M=N=100
Fig. 4.7 Cálculo del tiempo computacional con M=N=100
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
-
49
Con M=N=150
Fig. 4.8 Cálculo del tiempo computacional con M=N=150
A continuación se muestra una gráfica del tiempo computacional en escala
logarítmica del método eficiente (rojo) y de la no eficiente (azul) en función de
M y N, con incidencia normal:
Fig. 4.9 Gráfica del tiempo computacional en función de las M y N
50
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Se puede apreciar la gran diferencia de tiempo computacional entre el proceso
eficiente y no eficiente. Se observa que la diferencia de tiempo en escala
logarítmica es de casi 30 dB.
INCIDENCIA OBLICUA ( =130º, ø=45º y rotación=270º)
-
Con M=N=20
Fig. 4.10 Cálculo del tiempo computacional con M=N=20
-
Con M=N=100
Fig. 4.11 Cálculo del tiempo computacional con M=N=100
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
-
Con M=N=150
Fig. 4.12 Cálculo del tiempo computacional con M=N=150
A continuación se muestra una gráfica del rendimiento del método eficiente
sobre la no-eficiente en función de las iteraciones, con incidencia oblicua:
Fig. 4.13 Gráfica del rendimiento en función de las M y N
51
52
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Se puede apreciar que el cambio de incidencia es un factor superfluo para la
diferencia de tiempo computacional entre ambos procesos.
4.1.3 Valores de truncamiento M y N que aseguran una precisión
hasta el cuarto decimal en el cálculo de los elementos de la matriz
de impedancias.
Para este punto, se va a utilizar el caso utilizado en el punto i)
(subdivisiones con valor λ/5) en el que se aumentaran los valores de M y N
hasta que los resultados converjan de forma cualitativa. Se valorará en
concreto el elemento de la matriz Z(1,1)
-
M=N=20
Fig. 4.14 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=50
Fig. 4.15 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=100
Fig. 4.16 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
-
M=N=300
Fig. 4.17 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=500
Fig. 4.18 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=1000
Fig. 4.19 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
A partir de 1000 iteraciones el cuarto decimal ya no cambia, por lo que se
puede concluir que el valor al que se converge es 1.8011. De esto se deriva
que el programa es ostensiblemente preciso al realizar 1000 iteraciones.
53
54
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Se ha realizado un segundo caso de estudio, en el cual se ha afinado el
mallado de la superficie a un valor de λ/20 para así obtener una mayor
precisión. Este ejemplo solo se ejecutará para el truncamiento de los
sumatorios.
Dimensión en el eje x: 1 m
Número de subdivisiones en x: 20
Dimensión en el eje y: 1 m
Número de subdivisiones en y: 20
Longitud de onda: 1m
Fig. 4.20 Mallado de la celda base
-
M=N=50
Fig. 4.21 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
-
M=N=100
Fig. 4.22 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=300
Fig. 4.23 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=500
Fig. 4.24 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
-
M=N=1000
Fig. 4.25 Valor del primer elemento de la matriz de impedancias
55
56
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
Se observa que con un mallado más fino el valor de convergencia de los
índices del sumatorio varía ya que con 1000 iteraciones el cuarto decimal aún
no es estable. Por lo tanto podemos concluir que con un mallado más fino el
valor de convergencia es más alto.
4.2 Resultados del cálculo del coeficiente de reflexión.
En este apartado se procede a comparar el cálculo del coeficiente de reflexión
en función de la frecuencia con el calculado en el artículo [3].
Primero se procederá al estudio de una geometría correspondiente a un plato
rectangular para el cual se ha obtenido un mallado de las siguientes
características:
Dimensión en el eje x: 0.127 cm
Número de subdivisiones en x: 10
Dimensión en el eje y: 1.27 cm
Número de subdivisiones en y: 10
Fig. 4.26 Mallado de la celda base
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
Fig. 4.27 Gráfica del coeficiente de reflexión a comparar [3]
Fig. 4.28 Gráfica obtenida del coeficiente de reflexión en función de la
frecuencia [Ghz]
Se puede observar como el comportamiento de la gráfica calculada en Matlab
es casi idéntico al estudio efectuado en dicho paper.
57
58
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
A continuación se realizará una segunda comparación del cálculo del
coeficiente de reflexión, pero en este ejemplo se utilizará una celda base
cuadrada:
Dimensión en el eje x: 0.4 cm
Número de subdivisiones en x: 5
Dimensión en el eje y: 0.4 cm
Número de subdivisiones en y: 5
Fig. 4.29 Celda base con la que se ha realizado el estudio
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
59
Fig. 4.30 Gráfica del coeficiente de reflexión a comparar [3]
Fig. 4.30 Gráfica del coeficiente de reflexión obtenida con nuestro código
Se observa que el comportamiento de las dos gráficas es muy parecido con la
salvedad de que a frecuancias más altas la gráfica calculada obtiene un
coeficiente de reflexión mas elevado.
60
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
4.3 Distribución de la corriente sobre el conductor
A continuación se presentan resultados sobre la distribución de la corriente
orientada en el eje y (el campo eléctrico está orientado en el eje y) a lo largo de
la metalización de acuerdo con los resultados mostrados en la referencia [3]. El
mallado de la superficie es el mismo que el de la figura 4.29 y el estudio se
realiza a la frecuencia de resonancia 345 MHz.
Fig 4.31 Distribución de la corriente orientada en Y recogida en [3]
Fig. 4.32 Distribución de la corriente orientada en Y calculada en Matlab
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
61
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
A partir de las pruebas realizadas podemos llegar a las siguientes afirmaciones:
•
Las funciones base rooftop o tejado, son adecuadas para mallar
superficies rectangulares y con transiciones en ángulo recto.
•
El detalle en el mallado es proporcional al aumento del tiempo
computacional de la matriz de impedancias y a la precisión en el cálculo
de ésta. El aumento del tiempo es debido a un aumento en el número de
aristas interiores.
•
La aplicación de la FFT en el cálculo de la matriz de impedancias reduce
el gasto de recursos de forma exponencial, permitiendo así establecer
un truncamiento del sumatorio que optimice los parámetros de precisión
y tiempo de cálculo.
•
Para aplicar la FFT es estrictamente necesario actuar bajo las
condiciones de multiplicidad entre (Dx,Dy), (Sx,Sy) y es recomendable
cumplir las condiciones de proporcionalidad entre (P,Q) y (M,N). En
caso de no cumplir esta proporcionalidad, es posible aumentar M y N
hasta que sean múltiples de P y Q y aplicar zero-padding en las
sobrantes.
•
La evaluación del coeficiente de reflexión en los casos analizados en
este trabajo permite asimilar el comportamiento del conductor como un
filtro tipo banda eliminada, estableciéndose así una frecuencia de
resonancia que es la mejor reflejada. Esto es consecuencia de que las
agrupaciones periódicas bidimensionales conductoras son superficies
selectivas en frecuencia.
•
La formulación empleada durante el trabajo es extensible a
agrupaciones con periodicidad oblicua realizando pequeñas
modificaciones de acuerdo con el ángulo de inclinación entre las dos
periodicidades.
62
Análisis de estructuras conductoras planas 2D-periódicas infinitas en el espacio libre
BIBLIOGRAFÍA
[1] A. Cardama, L. Jofre, J. M. Rius, J. Romeu, S. Blanch, Antenas, Edicions UPC,
Barcelona, 1998
[2] Raj Mittra, Fellow, IEEE, Chi H. Chan, MEMBER and Tom Cwik, Techniques for
Analyzing Frequency Selective Surfaces-A Review, Proceedings of the IEEE, Vol. 76,
November 1988.
[3] Thomas A. Cwik, Member, IEEE and Raj Mittra, Scattering from a Periodic Array
of Free-Standing Arbitrarily Shaped Perfectly Conducting or Resistive Patches, IEEE
1987.
[4] Noach Amitay, Victor Galindo, Cheng Pang Wu, Theory and Analysis of phased
Array Antennas, Wiley-Interscience, John Wiley & sons, 1972.