59 Código de asignatura: 404 curso2006-07convocatoria

MÉTODOS ESTADÍSTICOS EN ANTROPOLOGÍA SOCIAL
Código de carrera: 59 Código de asignatura: 404
curso2006-07convocatoria Febrero 1a P.P-2a Semana. examen tipo D
– Señale TIPO DE EXAMEN en la hoja de lectura óptica, DNI, código de carrera, código de
asignatura, convocatoria y semana.
– Se permite únicamente el uso del libro de texto, y calculadora no programable.
entregue sólo la hoja de lectura óptica. duración: 2 horas.
– Evaluación: 1 acierto = 1 punto; 1 fallo = -0.25 puntos; 1 blanco o más de una marca = 0 puntos
1. Se tienen dos variables x e y, que corresponden a
la edad en años y al salario mensual en miles de euros
de licenciados de una empresa, con medias x̄ = 37 y
ȳ = 2.3 y varianzas s2x = 9 y s2y = 0.36. Además el
coeficiente de determinación es de 0.81. ¿Cuál será,
previsiblemente, el salario de un licenciado de 42 años
de esa empresa?
a) 3.2 miles de euros.
b) 2.6 miles de euros.
c) 4.1 miles de euros.
2. Un nuevo sistema de señalización probado en 80
semáforos de la ciudad, elegidos al azar sin reemplazamiento entre los 1172 que hay, ha reducido el
tiempo medio de espera de los vehı́culos un 1.8 %,
con una cuasidesviación tı́pica muestral del 10.3 %.
El p-valor con el que se puede afirmar que el nuevo
sistema de señalización reduce el tiempo medio de
espera es:
a) 0.0235
b) 0.0526
c) 0.0614
3. Sabiendo que la tasa de paro en una determinada
comunidad autónoma es del 15 % de la población activa, ¿cuál será la probabilidad de que al realizar una
encuesta a 11 personas, pertenecientes a este grupo,
se encuentren tres personas que están en paro?
a) 0.1291
b) 0.1517
c) 0.1834
4. La siguiente tabla corresponde a la distribución
de frecuencias del número de kilómetros, en miles,
recorridos hasta que se produjo el primer pinchazo en
un cierto modelo de neumáticos. ¿ Qué forma tiene
la distribución?
(Kms recorr en miles) Fi (N◦ Pinchazos)
[0 − 10)
2
[10 − 20)
4
[20 − 30)
2
[30 − 40)
0
[40 − 50]
2
a) Asimetrı́a negativa.
b) Simétrica.
c) Asimetrı́a positiva.
5. ¿Cuál será el tamaño de la muestra necesario para
estimar la proporción de alumnos discapacitados de
la UNED, con un error como máximo del 2 % y con
un nivel de confianza del 90 %?
a) 2334
b) 3225
c) 1702
Ic
6. En una empresa que cuenta con 485 trabajadores y 186 administrativos, se seleccionan 45 de los
primeros y 31 de los segundos para observar su puntualidad. Se detectan 6 casos de retrasos frecuentes
en la primera muestra y 4 en la segunda. ¿Se puede
afirmar que no hay la misma proporción de incumplidores en ambos sectores?
a) Sı́ con α = 0.05, pero no con α = 0.01
b) No, ni con α = 0.01, ni α = 0.05
c) Sı́, tanto con α = 0.01 como con α = 0.05.
7. La probabilidad de que aparezcan entre una y tres
caras al lanzar cuatro veces una moneda equilibrada,
es:
a) 0.685
b) 0.875
c) 0.935
8. Un lote de 500 productos, producidos en una
fábrica, se examina mediante una muestra sin reemplazamiento de 20 de ellos, elegidos al azar y se encuentra uno defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de
cometer un error de estimación inferior al 1 % en la
proporción de defectuosos en el lote?
a) 0.2542
b) 0.3612
c) 0.1664
9. Las siguientes observaciones corresponden al
número de veces que 50 consumidores compraron una
determinada marca de un producto el último mes.
Xi 0 1 2 3 4 5 6 7
Fi 3 4 6 9 12 10 5 1
¿Qué porcentaje de consumidores adquirieron dicha
marca más de tres veces?
a) El 44 %
b) El 56 %
c) El 28 %
10. La siguiente distribución conjunta de frecuencias relativas corresponde al número de tarjetas de
crédito que tiene una persona, X, y el número de
compras mensuales pagadas con dichas tarjetas, Y .
¿Cuál es la frecuencia de personas que han realizado tres compras mensuales entre los que tienen dos
tarjetas ?
Y
0
1
2
3
4
1 0.08 0.12 0.09 0.05 0.03
X 2 0.02 0.07 0.08 0.09 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.08 0.07
a) 0.229
b) 0.423
c) 0.257
5
0.02
0.03
0.04
MÉTODOS ESTADÍSTICOS EN ANTROPOLOGÍA. FEBRERO 07. EX D
Calificación: Cuestiones correctas 1 punto. Erróneas -0.25 puntos
1.
c) Según los datos del problema tenemos que:
x̄ = 37 ; ȳ = 2.3 ; sx = 0.6 ; sy = 3 , y, r = 0.9
La pendiente b de la recta de regresión es:
b=r·
sy
0.6
= 0.9 ·
= 0.18
sx
3
La ordenada en el origen a de la recta de regresión es:
a = ȳ − b · x̄ = 2.3 − 0.18 · 37 = −4.36
La ecuación de la recta de regresión es:
y = a + bx ; y = −4.36 + 0.18x
Para una edad x = 42 años tenemos que:
y = −4.36 + 0.18 · 42 = −4.36 + 7.56 = 3.2 miles de euros
2.
c) Tenemos que contrastar la hipótesis nula H0 de que la reducción media
poblacional es cero, frente a la hipótesis alternativa, H1 , de que es positiva.
En aquel caso, la reducción media muestral x̄ tiene una distribución N (0; σ̃),
siendo el error tı́pico de estimación
r
r
1
1
1
1
−
= 10.3 ·
−
= 1.11 %
σ̃ = σ ·
n N
80 1172
Si se rechaza la hipótesis nula cuando x̄ > 1.8, se tiene:
p-valor = 1 − φ(1.8/1.11) = 1 − φ(1.62) = 1 − 0.9474 = 0.0526
3.
c) Es una binomial B(11; 0.15)
p = 0.15 ; q = 1 − p = 0.85 ; n = 11 y k = 3. La probabilidad de que al
realizar una encuesta a 11 personas, pertenecientes a este grupo, se pregunte
a tres personas que están en paro es:
µ ¶
11
P (X = 3) =
· (0.15)3 · (0.85)8 = 0.1517
3
1
4.
a)
Para ver la forma que adopta la distribución, emplearemos el coeficiente de
asimetrı́a de Fisher.
Ic
[0 − 10)
[10 − 20)
[20 − 30)
[30 − 40)
[40 − 50)
xi
5
15
25
35
45
Fi
2
4
2
0
2
N= 10
xi · Fi
10
60
50
0
90
210
xi − x̄
-16
-6
4
14
24
20
(xi − x̄) · Fi
-32
-24
8
0
48
0
s
P5
x̄ =
210
i=1 xi Fi
=
= 21 ; sx =
N
10
P5
(xi − x̄)2 · Fi
512
144
32
0
1152
1840
− x̄)2 Fi
=
N
i=1 (xi
r
(xi − x̄)3 · Fi
-8192
-864
128
0
27648
18720
1840 √
= 184 = 13.5646
10
s3x = 13.56463 = 2495.8974
P5
g1 =
− x̄)3 Fi
18720
= 0.75
=
N s3x
10 · 2495.8974
i=1 (xi
Luego la distribución es sesgada hacia la derecha, presentando asimetrı́a
positiva.
5.
b) La semiamplitud del intervalo de confianza para la proporción, al nivel
α = 0.9, es 1.65σ̃, donde σ̃ es el error tı́pico de estimación que cumple
0.5
σ̃ < √ .
n
Como tal semiamplitud debe ser inferior a 0.02, ha de ser
0.5
1.65 · √ < 0.02 o bien, n >
n
6.
µ
1.65 · 0.5
0.02
¶2
= 1701.56 ' 1702
c) La proporción de trabajadores impuntuales entre los puntuales es:
p̂1 =
6
= 0.133
45
y, la proporción de administradores impuntuales entre los puntuales es:
p̂2 =
4
= 0.129
31
2
Admitida la hipótesis nula H0 : p1 = p2 de que no hay diferencia entre las
proporciones de ambos grupos, la estimación del valor común de la proporción es:
6+4
10
p̂ =
=
= 0.1316
45 + 31
76
El error tı́pico de estimación de p̂1 − p̂2 es:
s
¶
µ
1
1
1
1
= 0.073
σ̃ = 0.1316 · 0.8684 ·
+
−
−
45 31 485 186
Para α = 0.05, la región crı́tica del contraste bilateral es:
{|D| > Z0.025 · σ̃} = {|D| > 1.96 · 0.073} = {|D| > 0.1431}
Como la proporción observada atribuible a D = 0.133 − 0.129 = 0.004 <
0.1431, se acepta H0 al nivel de significación α = 0.05
Ası́ mismo, para α = 0.01, la región crı́tica del contraste bilateral es:
{|D| > Z0.005 · σ̃} = {|D| > 2.58 · 0.073} = {|D| > 0.1883} > 0.004
luego también se acepta H0 al nivel de significación α = 0.01
Por lo tanto podemos afirmar que no hay diferencia entre las proporciones
de ambos grupos ni para α = 0.05 ni para α = 0.01
7.
a)Al estar la moneda equilibrada, la P (C) = P (X) = 1/2. Al lanzar al aire
cuatro veces la moneda, se obtiene un espacio muestral:
Ω = {xxxx, cxxx, xcxx, xxcx, xxxc, ccxx, cxcx, cxxc, xccx, xcxc, xxcc, cccx, ccxc, cxcc, xccc, cccc}
La probabilidad de que salgan entre una y tres caras, al lanzar al aire cuatro
veces la moneda, es:
P (1 ≤ x ≤ 3) =
8.
14
= 0.875
16
b) La proporción estimada es p̂ = 1/20 = 0.05, por lo que el error tı́pico de
estimación se evalúa en:
sµ
¶
1
1
σ̃ =
−
· 0.05 · 0.95 = 0.048
20 500
La probabilidad de cometer un error de estimación inferior al 1 % es:
µ
¶
³ ²
²´
0.01
0.01
=P −
<Z<
= P (−0.208 < Z < 0.208) =
P − < p̂ − p <
σ̃
σ̃
0.048
0.048
= P (Z < 0.208)−[1 − P (Z < 0.208)] = 2φ(0.208)−1 = 2·0.5832−1 = 0.1664
3
9.
a)
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
10.
Fi
3
4
6
9
12
10
5
1
N=50
fi
0.06
0.08
0.12
0.18
0.24
0.20
0.10
0.02
1.00
ni
0.06
0.14
0.26
0.44
0.68
0.88
0.98
1.00
Si observamos la columna de las frecuencias relativas acumuladas, ni , hasta xi ≤ 3 hay 0.44 que
expresado en porcentaje, multiplicado por 100,
nos indica que el 44 % de los consumidores compraron una determinada marca del producto el
último mes hasta tres veces. Luego el 56 % lo
compraron más de tres veces.
a)
X
1
2
3
0
0.08
0.02
0.01
1
0.12
0.07
0.02
Y
2
0.09
0.08
0.04
3
0.05
0.09
0.08
4
0.03
0.06
0.07
5
0.02
0.03
0.04
0.35
Fr de personas que realizan tres compras y tienen dos tarjetas
0.09
=
= 0.257
Fr de personas con 2 tarjetas
0.35
4