Ver/Descargar el artículo

AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
Teoría de juegos
Martínez Rey, María Aurora, y Martínez Rey, María Mercedes
e-mail o cargo
à
Introducción
Los juegos que la gente practica en una civilización determinada
tienen algo que ver con la realidad de la vida en esa civilización. En
algunos casos, uno encuentra que unos elementos determinados de la
vida se seleccionan, se copian, se trasladan y se reducen a la forma
de un juego. De esta forma, el antiguo juego chino del Go contiene
características de un modelo de guerra. El más tardío y conocido ajedrez, que se cree tuvo su origen en la India y donde las piezas tenían
nombre tales como elefante, caballo, carro de guerra y soldado de a
pie, también era, sin duda, un juego de estrategia militar. Los festivos
Juegos Olímpicos de la antigua Grecia, descritos por Herodoto, constituían un verdadero microcosmos que manifestaba no sólo los elevados logros de aquella civilización, sino también la competencia y competición entre ciudades, alguna en guerra entre sí, a pesar de la visión
de una Grecia unida. Naturalmente, también manifestaban el amor de
los griegos por los hombres jóvenes, fuertes y hermosos.
La noción de juego que refleja los conflictos del mundo es antigua.
En el Mabinogion, una colección de cuentos populares galeses de los
siglos XI al XIII, hay un relato en el que dos reyes, que están en guerra,
juegan al ajedrez, mientras sus ejércitos batallan en las proximidades.
Cada vez que uno de los reyes se come una pieza, le llega al otro un
mensajero informándole que ha perdido un hombre importante o una
división. Al final de la partida, un rey da jaque mate al otro. Inmediatamente, entra en la sala del jaqueado un mensajero ensangrentado y
tambaleándose que le dice al perdedor: El ejército huye. Habéis perdido vuestro Reino.
99
ACTA
Teoría de juegos
Esta historia indica claramente el origen militar del
ajedrez. Hay, sin embargo, otros juegos que simulan
batallas; por ejemplo, el juego chino Go, el hindú
Chatoranga, y muchos otros. Ciertamente, aquellos
que ven en los juegos como un símil de la guerra,
también pueden ver la guerra como una especie de
juego. El caso típico de esto fue la afición obsesiva,
que durante un siglo atrapó a Prusia, con el juego
denominado Kriegspiel.
Ideado como un juego educativo para las academias militares del siglo XVIII, en un principio se jugaba sobre un tablero consistente en un mapa de la
frontera franco-belga, dividido en una cuadrícula de
3600 casillas. Sobre él, las piezas avanzaban o retrocedían como si fueran ejércitos. El ejército prusiano
utilizaba mapas reales y verdaderos, en vez del tablero. En 1824, el general en jefe del ejército prusiano, a
propósito de este juego, dijo: no es en absoluto un
juego, ¡se trata de una educación para la guerra! Las
victorias del ejército prusiano en la Guerra de las Seis
Semanas, en 1866, y en la guerra franco-prusiana de
1870, extendieron el entusiasmo por el juego a Francia.
A los EE.UU. llegó la afición tras la guerra civil
americana, llegando a popularizarse en la Marina y
en el Naval War College en New Port, Rhode Island.
La última victoria puesta en el haber de Kriegspiel fue
la de Japón en la guerra ruso-japonesa de 1905. Sin
embargo, la derrota de Alemania en la Primera Guerra Mundial, hizo patente que las estrategias precisadas mediante el juego no siempre funcionaban en la
realidad. Esto hizo que el prestigio del juego cayera
por los suelos y le proporcionó el golpe de gracia a la
popularidad del mismo. Aunque, irónicamente, siguió
jugándose en la propia Alemania tras el tratado de
Versalles, donde los comandantes de la postguerra
jugaron entre sí con copias de hojalata de los regimientos que el tratado les había negado.
Curiosamente, en Budapest, por esas calendas,
primera guerra mundial, John von Neumann (figura
1) jugaba un improvisado Kriegspiel con sus herma-
Figura 1. Von Neumann.
100
nos. Posteriormente, cuando von Neumann visitaba
la RAND, después de comer, en múltiples ocasiones
jugó a una modalidad, sobre el tablero de ajedrez, del
juego.
Algunos críticos opinan que la teoría de juegos fue
el Kriegspiel del siglo XX, un espejo en el que los estrategas militares ven reflejadas sus ideas preconcebidas.
Para Poundstone (Poundstone, 1995) la comparación,
aunque admisible, es injusta. Cierto es que, sobre
todo las dos décadas posteriores a Hiroshima, la teoría de juegos se convirtió en una especie de oráculo
sobre estrategia, pero no es menos cierto que, como
todos los oráculos, su dificultad estriba en que las respuestas que dan dependen de la forma precisa de
plantear la pregunta.
La teoría de juegos es aplicable a tipos de conflictos muy diferentes entre sí, a los que se les da el nombre técnico de juegos. Los juegos corrientes, como el
póker, el dominó, ajedrez, tres en raya, etc., son juegos en el sentido estrictamente técnico del término.
Pero lo que hace que los juegos de salón sean realmente juegos no es su capacidad de entretener o de
hacer olvidar la vida real, sino que son juegos porque
constituyen ejemplos concretos de conflictos formalizados. En efecto, en ellos existe un conflicto de intereses entre dos o más partes; en ciertos momentos
cada una de las partes puede elegir entre varias posibilidades que vienen determinadas por ciertas reglas.
Además, el resultado, que representa la suma de
todas las elecciones hechas por cada una de las partes y que supone en cada caso la consideración de las
elecciones que han hecho o han podido hacer las
otras partes, determina los pagos que ha de hacer
cada una de estas partes a las demás. Por extensión,
todo conflicto que se desarrolla de este modo cae
dentro de la categoría de los juegos, tal y como se
define en la teoría de juegos. El hecho de que las
reglas sean el resultado de un acuerdo común, juegos
de salón, o sean simplemente restricciones impuestas
por la situación carece aquí de importancia. Aun en
el caso de que no se reconozcan las reglas de la guerra, una situación militar puede seguirse considerando como un juego, siempre que el conjunto de posibilidades que se ofrecen a cada uno de los oponentes
en un momento dado pueda precisarse con exactitud.
El ajedrez y el póker cumplen las condiciones
anteriores pero entre ellos existe una diferencia conspicua. En una partida de póquer hay un jugador
extra, invisible, que hace una elección al principio de
cada mano, y esta elección es importante para el
resultado final. Pero el jugador que hace esta elección
no está interesado en el juego y no recibirá ninguna
ganancia. Dicho jugador es el azar, y su elección se
Teoría de juegos
realiza entre las 1068 formas diferentes, más o menos,
en que pueden quedar las cartas después de haber
sido barajadas. Azar que ya no vuelve a intervenir
durante el juego.
Un buen jugador es aquel que, en la práctica de
un juego, toma las decisiones más acertadas cuando
realiza sus jugadas. La teoría de juegos lo que pretende es precisamente hallar las mejores jugadas y, cuando ello sea factible, determinar la forma de jugar para
ganar siempre. Esto es teóricamente posible en los
juegos finitos, deterministas; es decir, aquellos en los
que no interviene el azar, aunque la magnitud del
juego pueda impedir, como sucede en el caso del ajedrez, hallar una estrategia definitiva que permita solucionar el juego.
La teoría de juegos, iniciada por von Neumann,
parte de un tipo de juegos abstractos, para dos o más
jugadores, en los que previamente se determinan
cuáles son las ganancias o pérdidas de cada jugador
cuando el conjunto de jugadores realiza una jugada
determinada. Generalmente, los jugadores efectúan
sus jugadas simultáneamente y desconocen la estrategia de sus adversarios. Estos juegos, que actúan
como modelos matemáticos, inicialmente sirvieron
para analizar situaciones competitivas relacionadas
con la economía, y von Neumann mostró un método
para determinar las estrategias óptimas para cada
jugador. El éxito que supuso para la teoría este método, conocido como estrategia minimax, y su ampliación a estrategias que incluyen formas de actuar ponderando el azar, denominadas estrategias mixtas,
llevó a los primeros matemáticos y economistas que
se ocuparon de la teoría de juegos al estudio de situaciones más complejas.
El conocimiento de la teoría de juegos no sirve
para hacer que nadie juegue mejor a las cartas, ni sea
un estratega más competente en lo que se refiere a los
negocios o a la guerra. La razón es que la teoría de
juegos no se preocupa de encontrar la estrategia óptima para ninguna situación concreta de conflicto, sino
que se ocupa de la lógica del conflicto; es decir, de la
teoría de la estrategia. En eso estriba la fuerza y las
limitaciones de su técnica. Su fuerza reside en el aparato matemático poderoso y complicado que es capaz
de emplear para el análisis de ciertas situaciones conflictivas. Sus limitaciones son las propias del conjunto
de conflictos a los que este análisis puede ser aplicado con provecho.
Uno de los principios más importantes en la vida
real es el de optimización. Dicho principio se refiere a
la comparación del comportamiento real de un sistema frente a un comportamiento que se puede tachar
de ideal, intentando lograr que ambos coincidan. La
teoría de juegos se ocupa de modo explícito de problemas de optimización, pues puede emplearse para
formular pautas que permitan encontrar el mejor plan
de acción, mientras que éste se sigue dentro de un
marco de decisión apropiado.
La teoría de juegos no está orientada, en general,
a la solución de un problema concreto, sino más bien
a la consecución de las técnicas que permitan resolver
todos los problemas de un cierto tipo. En este caso, la
teoría de juegos, como subdisciplina de la teoría de la
decisión, trata de la elección racional de estrategias y,
o, acciones dentro de contextos sociales caracterizados, al menos en parte, por la existencia de un cierto
conflicto de intereses entre dos o más seres inteligentes capaces de tomar decisiones. En este tipo de situaciones, la teoría clásica de la decisión deja de ser útil
por cuanto es incapaz de proporcionar técnica o procedimiento alguno que tome en consideración las
influencias inteligentes, y a menudo hostiles, que
escapan al control directo del decisor. En tanto en
cuanto la teoría de juegos prevé esta clase de factores, la teoría de juegos constituye una ampliación
importante de la teoría de la decisión.
Sin embargo, lo que comenzó como un conjunto
de aplicaciones al mundo de la economía, inicialmente con modelos simplificados, fue evolucionando
durante la segunda mitad del siglo pasado. Con la
introducción de los juegos de suma no nula, se introdujo la idea de cooperación, o mejor dicho, de tensión entre conflicto y cooperación, generando modelos de juegos cada vez más cercanos a la realidad, no
sólo en la economía sino también en otros campos
como el militar, el político, la evolución biológica, e
incluso en la filosofía. Todas estas disciplinas, aparentemente tan dispares, tienen en común la importancia
de la teoría de la decisión en situaciones que pueden
plantearse como si de un juego se tratara, aunque
ahora el término juego pierde su carácter lúdico y se
centra más en la idea de riesgo. A medida que la formulación de soluciones más abiertas en las que la
matemática puede aportar sus conocimientos junto a
otras ideas de orden moral, ético o filosófico y en
general pertenecientes al estudio del comportamiento
humano.
Desde una perspectiva histórica, la teoría de juegos ha supuesto un adelanto fundamental en el
empleo de las matemáticas para analizar un conjunto
importante de fenómenos sociales. En la medida en
que ha mostrado con toda claridad la viabilidad de
esta aplicación de las matemáticas, ha ejercido una
profunda influencia sobre todas aquellas disciplinas
que, de alguna manera, están relacionadas con el
101
ACTA
Teoría de juegos
estudio de la naturaleza y las soluciones de los conflictos.
Como lo señaló Oskar Morgenstern, la analogía
entre los juegos de estrategia y el comportamiento
social y económico es tan evidente que encuentra
amplia expresión incluso en el lenguaje de los negocios y de la política. Frases como una jugada política
o el juego de la bolsa, constituyen ejemplos cotidianos de lo dicho. Pero la relación existente entre los
juegos y estas otras actividades no es meramente
superficial. Examinados a la luz de los métodos matemáticos idóneos, resulta evidente que muchas de las
formas de comportamiento social y económico son,
no ya análogas, sino estrictamente iguales, a los juegos de estrategia. Parece ser que fue Leibniz el primero en advertir que el estudio de juegos de estrategia
podría constituir una base para una teoría de la sociedad.
La paradójica seriedad de los juegos fue sinópticamente revisada por el historiador holandés Johan
Huizinga en su libro Homo Ludens (Huizinga, 1938).
En él se incluye una descripción de una comunidad
de estados cuyas formas diplomáticas, sus obligaciones mutuas en la cuestión de tratados honorables...
en caso de guerra... todo guarda un parecido formal
a reglas de un juego ya que hay sólo ligazón mientras
se reconoce el propio juego.
En 1944, John von Neumann y Oscar Morgenstern publicaron Theory of Games and Economic
Behaviour (Neumann, 1944). Monografía que consolidó la teoría matemática de juegos y proporcionó
un soporte científico para la perspicacia humanista de
Huizinga. Aunque las ideas esenciales de la teoría de
juegos salieron del análisis de los juegos de sociedad,
rápidamente se generalizaron a asuntos tan serios
como la estrategia de destrucción mutua asegurada
de la guerra fría.
La teoría de juegos proporciona una caja de
herramientas matemáticas para analizar interacciones
estratégicas por asignar valores coyunturales, ganancias o pagos, o aun valores de utilidad, a conjuntos de
estrategias individuales y tratar de determinar la estabilidad de la estrategia. El criterio mejor conocido de
estabilidad es el equilibrio de Nash, que define pares
de estrategias a partir de las cuales cualquier desviación reducirá la ganancia.
Los juegos, en muchos casos, resultan ser un
excelente cereal para el molino de las matemáticas.
Mientras que los juegos imitan algunos elementos de
la realidad social, el matemático lleva la abstracción
de la realidad un paso más lejos, al reducir los elementos de un juego, incluso cualquier juego, a una
102
formulación matemática precisa. Desde el punto de
vista de las matemáticas, la conexión con la realidad
habrá servido a su propósito si ha estimulado la creación de unas nuevas matemáticas interesantes. Por
supuesto que los intereses inmediatamente prácticos
de los hombres son otros.
Karl Sigmund, un matemático de la Universidad
de Viena, acaba de publicar un libro (Sigmund, 2010)
en el que proporciona una exposición matemática,
comprehensiva y accesible, de la teoría de juegos
evolutiva del egoísmo. Para Sigmund, en el espíritu
de Adam Smith, el egoísmo implica el interés propio
inteligente de los individuos. Sigmund considera
como primer prototipo de juego de reciprocidad el
dilema del prisionero.
Sigmund considera un enfoque evolutivo a la teoría de juegos que reemplaza la deliberación racional
por los individuos por una dinámica darwiniana de
poblaciones. En el centro de este enfoque está la
replicación, modelada típicamente en sistemas deterministas por el uso de una ecuación de replicación.
Sus consideraciones sobre reputación, ecuanimidad y confianza, y bienes públicos, proporcionan la
evidencia más fuerte acerca de la capacidad de las
ideas matemáticas simples para iluminar fenómenos
sociales y sicológicos complejos. Más aun, a veces
son más interesantes cuando fracasan, en alguna
manera interesante, en dar cuenta de los resultados
de estudios experimentales en ciencias sociales o económicas. Por ejemplo, frecuentemente aparecen discrepancias en estudios de reciprocidad indirecta y en
estudios experimentales basados en juegos de confianza. La reciprocidad indirecta surge en repetición
de juegos en donde el comportamiento de uno se
dirige contra individuos con los que uno no interactuó en partidas previas. La reciprocidad vicaria describe el caso en el que el comportamiento altruista se
dirige hacia un altruista con quien uno no interactuó
en partidas previas. Reciprocidad equivocada es el
comportamiento altruista dirigido hacia un receptor
de altruismo en una partida previa.
Uno de los aspectos que hace más interesante la
teoría de juegos, al margen de sus resultados, en algunos casos sorprendentes, es precisamente la posibilidad de intervenir en ámbitos de las ciencias sociales
donde un cierto componente de aleatoriedad es inherente a los mismos, y en los cuales las variables que
intervienen tienen relación con el comportamiento
humano, tanto individual como de grupo. De este
modo, el desarrollo de la teoría de juegos, llevó al
planteamiento de diversos dilemas, generalmente
centrados entre la tensión entre conflicto, riesgo o
Teoría de juegos
cooperación, que por su aplicación a situaciones muy
diversas constituyen una parte significativa de dicha
teoría. Entre las más conocidas están: el dilema del
prisionero, el juego del gallina o su versión en términos de la evolución de las especies, conocida como el
dilema de halcones y palomas, etc., que ya han sido
tratados significativamente en estas mismas páginas.
Dilemas que muestran, de alguna manera, la dificultad y al mismo tiempo la posibilidad de estudiar, y en
algunos casos determinar, las consecuencias del comportamiento humano, especialmente cuando estas
consecuencias dependen de la combinación de las
estrategias utilizadas por los distintos implicados.
Los matemáticos, desde siempre, se han sentido
atraídos por el aspecto recreativo de los juegos, tanto
de azar como de estrategia, pero sobre todo por los
problemas teóricos que plantean, en relación con el
objetivo de determinar los procedimientos para conseguir una ganancia o, cuando menos, minimizar las
pérdidas. El estudio de estos procedimientos conducía a problemas de cálculo de probabilidades, de lógica y de combinatoria. Una muestra de este interés es
que el primer volumen de la Enciclopedia de las Ciencias Matemáticas editado por Klein y publicado en
fascículos entre 1901 y 1904, incluía un breve artículo, escrito por B. W. Ahrens, dedicado a los juegos
matemáticos.
à
Reseña histórica
En las dos grandes civilizaciones de la antigüedad,
la babilónica y la egipcia, ya se encuentran tanto juegos de tablero como problemas de tipo recreativo. El
real juego de Ur en Babilonia, y el Senet en Egipto
son dos de los primeros testimonios de juegos de
tablero que han llegado a la actualidad.
En efecto, un precioso tablero encontrado en la
ciudad sumeria de Ur, descubierto por el arqueólogo
británico Sir Leonard Wooleg hacia 1920, y conservado en el Museo Británico, tenía más de 4000 años
de antigüedad. Se supone que era un juego practicado por los reyes y la nobleza, y el hecho de haberse
encontrado en tumbas hace pensar en la idea de
acompañar al difunto en el tránsito a la otra vida para
que éste pudiera jugar en el más allá. Aunque no se
conocen sus reglas, por los restos hallados, además
del tablero se encontró una colección de fichas de
nácar y pizarra, con 7 blancas y 7 negras y 6 dados
con forma de pirámide triangular regular, se supone
que era un juego de carreras. La curiosa forma del
tablero, que se muestra en la figura 2, 20 casillas formando dos rectángulos de 3×4 y 3×2 unidos por
otro de 1×2, ha sugerido cuál podría ser el recorrido
que debían realizar las fichas.
Figura 2. Tablero del real juego de Ur.
Por su parte, el Senet, cuyo tablero se muestra en
la figura 3(a), en su primer movimiento, se tiene constancia de que era practicado por los antiguos egipcios
por los muchos restos arqueológicos hallados tanto en
tumbas reales como populares, donde aparecen, tal y
como se muestra en la figura 3(b), pintura y mosaicos
que muestran a jugadores en plena faena. Lamentablemente se desconocen con precisión sus reglas,
Figura 3. Tablero de Senet. Fresco de la tumba de Ramses II, de Nefertari jugando el Senet.
103
ACTA
Teoría de juegos
aunque sí se dispone de una reconstrucción, realizada, en 1991, por Kendall y May, quienes señalan que
el Senet tuvo una gran importancia en los ritos funerarios. Y esto hasta tal punto que el difunto debía
jugar una partida con el destino, en presencia del dios
Osiris. Incluso en el Libro de los Muertos se sugiere
que la vida en el más allá depende del resultado de
esta partida. El juego, para dos contrincantes, consiste en una carrera para sacar del tablero las 7 fichas de
cada participante. En lugar de dados, se utilizan cuatro bastoncitos, planos por un lado y convexos por el
otro, que se lanzan simultáneamente, obteniendo 5
resultados posibles, de acuerdo con el número de
bastoncitos que muestran su cara plana.
Y ya es preciso ir hasta el Medioevo para encontrar referencias a otros juegos importantes, más concretamente al año 1256. En esa época, el erudito
árabe Ibn KalliKan, explicó, por primera vez, la leyenda del inventor del ajedrez: La historia de Sissa ben
Dahir y el rey indio Sirham. Según esta historia para
apreciar la naturaleza y significado de la “singularidad” que se avecina es importante ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial. A este fin, permítase usar el caso del inventor del ajedrez, Sessa, o, por
mejor decir, su leyenda. Esta leyenda de hace más de
quince siglos, fue citada por Dante Alighieri (12651321), en el apartado del Paraíso de su Divina Comedia cuando, en sus versos, refiriéndose a las luces del
cielo, dice (Alighieri, 1988):
L’incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che’l numero loro
piú che’l doppiar de li scacchi s’inmilla.
El fuego seguido de cada una de sus chispas
… y eran tantas, que su número
más que al doblar de los escaques asciende.
Es decir, su número era tan grande que superaba
al que se obtendría sumando los primeros 64 términos; esto es, el número de escaques del tablero de
ajedrez, de la progresión geométrica de razón dos a
partir del uno. El resultado es un número enorme, de
veinte cifras, expresado por la fórmula 264-1. Dante
recuerda, en su famosa obra, la conocida leyenda
oriental en una de sus versiones. Según Dante, el rey
persa Shiraz, riquísimo y aburrido, convocó a los
sabios y les prometió una recompensa generosa si
lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente.
Uno de los sabios, de nombre Sessa o Sisa, de acuerdo con las distintas fonéticas, le llevó el juego del ajedrez y le pidió un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho
por la cuarta y así sucesivamente. Naturalmente, no
pudo pagarle al sabio, pero según otra versión, más
104
erudita y completa (Pazos, 2011), los matemáticos
que calcularon la enorme cantidad de trigo que tenía
que abonar el monarca, le dieron la “receta” para
salir airosamente del trance: hacerle contar al Sessa,
los granos de trigo que iba recibiendo.
La otra versión, algo distinta, aquí se da al completo. Un brahmán hindú llamado Sessa, para
demostrar a sus contemporáneos que un monarca,
por muy poderoso que fuese, no es nada sin sus vasallos, inventó el ajedrez. Cuando le presentaron dicho
juego al rey de las Indias, éste quedó tan maravillado
por su ingenio y por la variedad inmensa de combinaciones posibles que mandó llamar al brahmán para
recompensarle personalmente.
Por tu relevante invento, quiero recompensarte, le
dijo el rey. Elige tú mismo la recompensa y la recibirás enseguida. Soy lo bastante rico y poderoso como
para cumplir el más loco de tus deseos.
El brahmán le pidió al rey un poco de tiempo para
meditar su respuesta. Al día siguiente sorprendió a
todo el mundo, empezando por el monarca, con la
increíble modestia de su petición.
Mi buen soberano, querría que me dieses todos
los granos de trigo que “cupiesen” en las 64 casillas
de mi ajedrez, de acuerdo con el siguiente método: un
grano de trigo en la primera, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la
quinta y así sucesivamente. En resumen, quisiera que
pusiesen en cada casilla dos veces más granos de trigo
que en la anterior.
¡Cómo puedes ser tan tonto que pides algo tan
modesto!, exclamó el rey sorprendido. Podrías insultarme al solicitarme un deseo tan indigno de mi benevolencia y tan despreciable en comparación con lo
que te podría dar. Pero si tal es tu deseo, sea así. Mis
servidores te llevarán tu saco de trigo antes de que
caiga la noche.
El brahmán esbozó una sonrisa y abandonó el
palacio. Por la noche, el soberano recordó su promesa y le preguntó a su “edecán” si el loco de Sessa ya
había recibido su recompensa.
Majestad, dijo el alto funcionario, aún se están ejecutando sus órdenes. Los matemáticos de la corte
están determinando el número de granos que hay que
darle al brahmán.
El rostro del rey se contrajo, pues no estaba acostumbrado a una ejecución tan lenta de una orden tan
sencilla. Antes de acostarse, el rey insistió una vez
más en saber si el brahmán había recibido su saco de
trigo como recompensa.
Teoría de juegos
Señor, dijo el edecán, tus matemáticos no han terminado sus operaciones. Trabajan sin descanso y
esperan acabar su tarea antes del alba.
Hay que indicar que los cálculos habían resultado
mucho más largos de lo que se pensaba al principio.
Pero el rey, muy enfadado, no quiso saber nada de las
disculpas, y ordenó, enfáticamente, que el problema
fuera resuelto antes de que despertara.
Al día siguiente la orden seguía sin cumplirse, lo
que incitó al monarca, ya fuera de sí, a despedir a sus
calculadores. Entonces, otro de los consejeros reales
intervino diciendo: Soberano, habéis hecho muy bien
en despedir a estos incompetentes. ¡Utilizaban unos
métodos demasiado rupestres y anticuados! Seguían
desplegando las posibilidades numéricas de sus dedos
y utilizando las columnas sucesivas de una tabla de
contar. Sin embargo, he oído decir, y luego comprobé, que los calculadores de la provincia del noroeste
del reino emplean desde hace algún tiempo un método muy superior y mucho más rápido que el suyo. Es,
según parece y puede comprobarse, el más expeditivo y fácil de memorizar. Operaciones que requerirían
de tus matemáticos varias jornadas de arduo y difícil
trabajo, sólo serían asunto de unas horas para aquellos de quienes te hablo.
Siguiendo estos consejos, mandó llamar a uno de
estos hábiles e ingenioso aritméticos que, después de
haber resuelto el problema en un tiempo record, se
presentó ante el rey para comunicarle el resultado.
Con tono grave dijo: Señor la cantidad de trigo que te
ha sido pedida es enorme. El rey, ante eso, contestó
que, por muy grande que fuera esta cantidad seguramente no se vaciarían sus graneros. Sin embargo,
tuvo que escuchar, con estupor, las palabras del matemático sabio:
Majestad, a pesar de todo tu poderío y riqueza, no
está en tu mano suministrar tal cantidad de trigo. Ésta
se sitúa mucho más allá del conocimiento y del uso
que tenemos de los números. Habrás de saber que
incluso si vaciaras todos los graneros de tu reino, el
resultado que podrías conseguir sería insignificante en
comparación con esta enorme cantidad. Por otra
parte, ésta no se encontraría ni siquiera en todos los
graneros juntos de todos los reinos de la Tierra. Si
quisieras absolutamente dar esta recompensa, tendrías
que empezar por mandar secar los ríos, los lagos, los
mares y los océanos, luego derretir las nieves y los
hielos que recubren las montañas y ciertas regiones
del mundo, y por fin transformarlo todo en campos
de trigo. Y después de haber sembrado 73 veces
seguidas el conjunto de esta superficie es cuando
podrías saldar esta inmensa deuda. Pero para tal can-
tidad, tendrías que almacenar el trigo en un silo cuyo
volumen sea de cerca de doce billones tres mil millones de metros cúbicos y construir para ello un granero de cinco metros de ancho, por diez metros de largo
y trescientos millones de kilómetros de fondo; es
decir, una altura igual a dos veces la distancia de la
Tierra al Sol. En realidad, añadió el sabio, los granos
de trigo que te pidió el brahmán son exactamente
18446744073709551615.
A continuación, el matemático explicó al soberano los cálculos realizados en la revolucionaria numeración de los sabios de su región, como sigue:
Según la petición del brahmán, habría que poner:
1 grano en la primera casilla; 2 granos en la
segunda; 4 granos en la tercera; o sea, 2 veces 2; 8
granos en la cuarta; esto es, 2 veces 2 veces 2; 16 granos en la quinta; es decir, 2 veces 2 veces 2 veces 2;
32 granos en la sexta; o lo que es lo mismo, 2 veces
2 veces 2 veces 2 veces 2; y así sucesivamente, duplicando a cada nueva casilla. Por lo tanto, en la casilla 64
había que colocar tantos granos como unidades hubiera en el resultado de 63 multiplicaciones sucesivas por
2; o sea, 263 granos. En consecuencia, la cantidad solicitada es igual a la suma de esos 64 números, o, lo que
es lo mismo, igual a: 1+21+22+23+24+…+262+263.
Si se añadiera un grano a este número, prosiguió el
aritmético, entonces habría 2 granos en la primera y,
por consiguiente, dos veces dos granos en las dos primeras. En la tercera, entonces se recogerían
2×2+2×2 granos de trigo; esto es, 2 veces 2 veces 2,
en total. En la cuarta, el total sería 2×2×2+2×2×2;
es decir, 2 veces 2 veces 2 veces 2 granos. Al proceder así, de uno en uno, se ve entonces que en la última casilla de ajedrez se recogerían un total igual al
resultado de 64 multiplicaciones sucesivas por 2: 264.
Ahora bien, este número es igual al producto de 6
veces el producto de diez multiplicaciones sucesivas
por 2, a su vez multiplicado por el número 16; es
decir:
264= 210 × 210 ×210 ×210 ×210 ×210 ×24 =
= 1024 ×1024 ×1024 ×1024 ×1024 ×1024 ×16 =
= 18446774073709551615 granos.
Como en cada kilogramo de trigo caben aproximadamente 28220 granos, esto hace que la cantidad
de trigo pedida sea de unas 650.000 millones de
toneladas. Eso exigiría, actualmente, cultivar toda la
superficie de la Tierra, incluyendo los mares, durante
ocho años.
Y, concluyó el sabio, como este número ha sido
obtenido al añadir una unidad a la cantidad buscada,
el total de granos es, por tanto, igual a este número
105
ACTA
Teoría de juegos
menos un grano. En suma, que la cantidad solicitada
es exactamente de dieciocho trillones, cuatrocientos
cuarenta y seis mil setecientos setenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos.
Decididamente, dijo el rey muy impresionado, el
juego que ha inventado este brahmán es tan ingenioso como sutil ha sido su petición. En cuanto a tus
métodos de cálculo, su sencillez sólo es igual a su eficacia. Dime ahora, hombre sabio, ¿qué tengo que
hacer para saldar una deuda tan molesta? El matemático reflexionó un momento y dijo: Hacer que ese
astuto brahmán caiga en su propia trampa. Que
venga el mismo a contar, grano por grano, toda la
cantidad de trigo que ha tenido la osadía de pedir.
Aunque trabajara sin parar día y noche, a razón de un
grano por segundo, sólo recogería un metro cúbico a
los seis meses, unos veinte metros cúbicos a los diez
años y… una parte muy insignificante durante lo que
le queda de vida.
Sólo queda por plantearse una cuestión: ¿el
número de granos que solicitaba el brahmán es
mayor, menor o igual que el número de posibles jugadas en el juego que descubrió? La respuesta es que es
mucho menor, habida cuenta que el número de jugadas posibles en el ajedrez, según Shannon, es de
¡10120!
Todos estos cálculos sólo parecen un divertimento, pero no es así, puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas. El caso más
paradigmático es el de las bacterias, los seres vivos
hasta el momento con mayor capacidad de reproducción. En efecto, si cuentan con suficiente alimento,
una bacteria se divide en dos iguales cada veinte
minutos. A este ritmo, una única bacteria puede superar a toda la población humana actual en tan sólo 11
horas. Para calcularlo bastaría con elevar dos a treinta y tres, el número de divisiones que se producirían
en ese tiempo. Afortunadamente, para dar “alimento”
a tan numerosa prole hace falta un suministro de
nutrientes muy elevado, así que la población tiende a
estabilizarse al llegar a esa cifra. Si no fuera así, la
población llegaría en pocos días al valor de un Gúgol,
que es un uno seguido de ¡100! ceros. Este nombre se
lo dio el matemático Kasner, tomándolo prestado de
su sobrino de nueve años.
También en el siglo XIII, concretamente en 1283,
apareció el Libro de los juegos, o Juegos diversos de
ajedrez, dados y tablas, encargado por el rey Alfonso X
el Sabio y del que sólo se conserva un ejemplar de 98
páginas y 150 ilustraciones a todo color, en la Biblioteca del Monasterio de El Escorial. Este libro es inte-
106
resante por el análisis que hace de los juegos que contempla, lo que permite tener una idea bastante exacta sobre el tipo de juegos, tanto de azar como de
estrategia, que se practicaban en esta época y el nivel
de conocimiento alcanzado sobre las estrategias para
ganar en los mismos. Entre los juegos que contempla
están: el ajedrez, los de dados y los de tablas, una
familia de juegos que incluye el backgammon y, sobre
todo, el alquerque.
Con el nombre de alquerque se conoce un juego
bipersonal, que se practica en un tablero cuadrado de
5×5 casillas, con doce fichas para cada jugador que
se colocan, tal y como se muestra en la figura 4(a),
dejando la casilla central vacía. Tanto por el objetivo
del juego, eliminar las fichas del adversario, como,
sobre todo, por la forma de hacerlo, saltando por
encima de una contraria, siempre que se pueda, es un
claro precedente del juego de las damas. La referencia escrita más antigua de este juego se encuentra en
un manuscrito árabe del siglo X, El Kitab al-Aghani,
donde se le cita con el nombre de Al-Quirkat, lo que
permite deducir que llegó a la Península Ibérica, la
Hispania romana de la época, a través de los árabes.
Sin embargo, hay evidencias que hacen pensar que el
juego pudiera ser mucho más antiguo. En efecto, por
un lado, se han encontrado tableros muy anteriores,
algunos grabados en el suelo de restos arqueológicos,
que bien pudieron servir para su práctica. Por otro,
existen múltiples variantes del juego con el mismo
tablero en Marruecos y en la India, y también con
tableros de formas distintas en la India y Sri Lanka,
antiguo Ceilán. Además de otros muchos juegos, al
margen de las damas, como el Fanorona de Madagascar o el awithlaknannai de los indios zuni de América
Figura 4. Alquerque.
Teoría de juegos
del Norte, cuyas posiciones de inicio se muestran en
la figura 4(a), 4(b) y 4(c), respectivamente.
En el siglo XVI, Gerolano Cardano (1501-1576), un
médico, matemático y sobre todo jugador, escribió,
hacia 1564, el libro, sólo publicado un siglo después,
titulado Liber de Ludo Aleae; es decir, Libro de los Juegos de Azar (Cardano, 1663), en el cual aborda, por
primera vez, problemas sobre probabilidad relacionados con juegos de dados, con soluciones a veces ingeniosas pero en muchas ocasiones incorrectas. Esta
obra, que debería ser la primera en la que se habla de
probabilidad, no tuvo, ni mucho menos, la repercusión
de la correspondencia entre Pascal y Fermat, sobre ese
asunto. La razón es que, a pesar de ser el primero en
plantear el llamado problema de los puntos, dio una
solución errónea del mismo. En efecto, su propuesta de
solución estaba centrada en las puntuaciones de cada
jugada y no en las probabilidades de ganar de cada
uno, que fue el enfoque de Pascal y Fermat.
Consideración aparte merece el caso del matemático francés Blaise Pascal (1623-1662), pionero del
estudio matemático de los juegos de azar; el estímulo
del juego le vino a través de un amigo. Según lo describió el filósofo Leibniz: El caballero de Mére…
-hombre de penetrante inteligencia que era no sólo
jugador sino filósofo- ofreció a los matemáticos una
oportunidad al plantear algunas preguntas sobre
cuánto valdría una apuesta en una partida si ésta se
interrumpía en un momento determinado de su desarrollo. Hizo que su amigo Pascal considerase estas cosas...
Otros estudiosos se ocuparon también del tema. Quedaron establecidos algunos axiomas. Así fue como el
juego de los dados se convirtió en una preocupación
intelectual a mediados del siglo XVII entre hombres
del calibre de Pascal, Fermat, Caramuel, Leibniz, Bernouille y Huygens.
Y ya hay que llegar al siglo XVII, concretamente en
1612, cuando apareció en Francia el primer libro
dedicado exclusivamente a la matemática recreativa.
Su título fue Problèmes plaisants et déletables qui se
font par les nombres. Su autor, Claude-Gaspar
Bachet de Meziriac (1581-1638), matemático, poeta y
traductor, que fue uno de los primeros miembros de
la Academie Française, más conocido porque en un
ejemplar de una versión comentada suya en latín de
la Arithmetica de Diofanto, de 1621, escrita originalmente en griego, fue donde anotó Fermat, en un margen, su célebre conjetura, hoy Gran Teorema, demostrado por Wiles. Pues bien, la obra de Bachet es un
compendio de la matemática recreativa de su tiempo.
En ella se encuentran conocidas recreaciones como
El lobo, la cabra y la col, cuadrados mágicos, problemas de pesadas, etc.
A partir de este momento y en ese mismo siglo,
aparecieron diversas obras del mismo estilo. Así, en
1624, Henry van Etten, seudónimo del jesuita francés
Jean Leurechon, publicó Récreátions mathématiques,
obra parecida a la de Bachet pero que tuvo mayor
éxito y sirvió de modelo a obras posteriores entre las
que cabe destacar las siguientes: la de Claude Maydorge, de 1630, publicada en Francia. La de Daniel
Schwenter, editada en 1636, en Alemania. La de Jacques Ozanam, titulada Récreátions mathématiques et
physiques que tuvo la mayor influencia en los siglos
XVIII y XIX.
En el siglo XVIII, el matemático más prolífico de la
historia, Leonhard Euler (1707-1783), realizó numerosos estudios de carácter recreativo. Los dos más
conocidos son el dedicado a los cuadrados grecolatinos, también llamados en su honor eulerianos, y los
puentes de Königsberg, que pertenecen al ámbito de
la combinatoria. Los primeros son un tipo de cuadrados mágicos en los que n símbolos deben disponerse en un cuadrado de n × n casillas de modo que en
cada fila y en cada columna aparezcan todos los símbolos sin repetirse. Dichos cuadrados, además de ser
los auténticos precursores de los sudokus, se usan en
análisis de varianza de muestras estadísticas. Pero, sin
duda, su recreación más famosa es la denominada
Los puentes de Königsberg que dio origen nada
menos que a la teoría de grafos.
Un aspecto crucial de la teoría moderna de juegos
es la presencia de un competidor, un adversario inteligente. La teoría moderna de juegos es notable porque,
en su descripción de un juego, por ejemplo las damas,
se toman en cuenta todos los movimientos posibles del
adversario para cada jugada propia. Los juegos competitivos, ya sean los de mesa o el atletismo, reproducen miméticamente los elementos competitivos de la
realidad social. A finales del siglo XVIII y durante el siglo
XIX, el concepto de competición era básico para las
ideas que dominaban las formulaciones intelectuales
de la naturaleza, de la vida y de la realidad social, y la
búsqueda incansable del interés personal y de unas
ventajas auténticas recibía aprobación ideológica.
Adam Smith y Charles Darwin eran los adalides de esa
competición y competencia. Más aún, en el terreno
militar, la elección de estrategias, que iban a condicionar las tácticas y las operaciones frente a un enemigo o
una nación rival, recibió una formulación precisa, si
bien no matemática, por parte del oficial prusiano Karl
von Klausewitz (Clausewitz, 1980), formulación que
dominó el pensamiento militar hasta la II Guerra Mundial. De este modo, la universalidad de la competencia
se aceptó ampliamente como elemento fundamental
de la realidad social.
107
ACTA
Teoría de juegos
La matemática recreativa y juegos continuó desarrollándose a lo largo de los siglos XIX y XX. Entre los
autores del siglo XIX hay que mencionar a James
Joseph Sylvester (1814-1897), Lewis Carroll (18321898), Edward Lucas (1842-1891) y Walter W. Rouse
Ball (1850-1925). Carroll planificó escribir una colección de libros sobre matemática lúdica, que no completó, bajo el título de Curiosa Mathematica. En el
segundo de ellos, titulado Pillow Problems; es decir,
Problemas de Almohada, presenta problemas de diferente dificultad que va de la simple broma, hasta la
dificultad máxima.
Sin embargo, el más importante analista de juegos
y recreaciones matemáticas de esa época es Lucas.
Su obra, en cuatro volúmenes, titulada Récreátions
mathématiques (Lucas, 2008) contiene 35 trabajos.
Entre los juegos creados por él destaca el conocido
como Las Torres de Hanoi, que el propio autor atribuyó, en su presentación en 1883, a un antiguo profesor chino llamado Mr. Claus, anagrama de Lucas, de
la escuela de Li-Sou-Stain, anagrama de Saint Louis,
liceo donde Lucas era profesor de matemáticas.
Una de las últimas obras lúdicas del siglo XIX es la
titulada Mathematical Recreations and Essays, publicada en 1892, y cuyo autor es Rouse Ball. Esta obra
se convirtió a lo largo del siglo XX en uno de los libros
sobre matemática recreativa con mayor influencia,
tuvo más de 12 ediciones, una de ellas revisada y
puesta al día, en 1938, por el matemático Harold
Scott Coxeter.
La transición entre los siglos XIX y XX está marcada por la obra de los dos autores probablemente más
prolíficos en el dominio de las matemáticas lúdicas: el
inglés Henry E. Dudeney (1857-1930) y el estadounidense Sam Loyd (1841-1911). El primero es el criptogramista más famoso y su criptograma más conocido es el que aparece en una carta que un muchacho
mandó a su padre: SEND+MORE=MONEY, cuya
solución única es 9567 + 1085= 10652 (Dudeney,
2008).
La tradición creada por ambos continuó en el
siglo XX con seguidores tan destacados como: Maurice Kraitchik (1882-1957), Martin Gardner (19142010), Yakov Perelman, Pierre Berloquin, Ian Stewart, Brian Bolt y David Wells, entre otros.
En el siglo XIX se encuentra un precedente más
inmediato de von Neumann, en conexión tanto con
los computadores como con la teoría de juegos, en la
persona de Charles Babbage. Éste construyó dos
máquinas de cómputo, la segunda de las cuales era
una contrapartida mecánica del tipo de computador
electrónico de uso general que von Neumann ayudó
108
a diseñar un siglo más tarde. El parentesco entre las
ideas de Babbage y von Neumann se extiende también a la realización de modelos de juegos, pero existe una diferencia menor: Babbage pensaba en términos de un ingenio mecánico que automáticamente
realizaría buenos movimientos en un juego, mientras
que von Neumann pensaba en términos de un formalismo matemático abstracto que informaría a un jugador humano o a una máquina de las mejores jugadas.
En ambos casos, al mecanizar/formalizar la práctica de
un juego, el enfoque real caía
sobre el triunfo, no sobre el
placer de jugar. Y aunque
ambos enfoques no son
incompatibles, el primero es
el más adecuado para la inteligencia artificial, mientras
que el segundo lo es para las
matemáticas y situaciones de
la vida real.
à
Figura 5. Ernst Zermelo.
La teoría de juegos
En los primeros años del siglo XX, el interés de los
matemáticos por la axiomatización y por la lógica
matemática estimuló una atención creciente por el
ajedrez y otros juegos de tipo competitivo. En este
tipo de cuestiones se entremezclan aspectos lógicos,
psicológicos y de probabilidad. De hecho, el estudio
del ajedrez, póker y otros juegos cuyo desarrollo no
depende exclusivamente del azar, se presta, además,
a múltiples analogías y conexiones con problemas
que van desde la estrategia militar a la reflexión ética
y al análisis de los mecanismos de competición en el
contexto social.
Un enfoque concreto, sin duda finito, del modo de
aproximarse a los problemas de David Hilbert, y del
movimiento axiomático, está contenido en un trabajo
dedicado a la aplicación de la teoría de conjuntos al
ajedrez, presentado por Ernst Zermelo, a quien puede
verse en la figura 5, en el Congreso Internacional de
matemáticos celebrado en Cambridge en 1912 (Zermelo, 1912). En él se describía el problema matemático que dicho juego planteaba en los siguientes términos: se trataba de saber si el valor de un posible
movimiento para uno cualquiera de los jugadores en
una partida, podía decidirse objetiva y matemáticamente; es decir, sin recurrir a conceptos subjetivos de
tipo psicológico. En su trabajo, Zermelo probaba que
el resultado de una partida de ajedrez está estrictamente demostrado; esto es, o ganan las blancas, o lo
hacen las negras o hay tablas.
Teoría de juegos
El primer paso para una teoría matemática de juegos consiste en proporcionar una descripción adecuada de los juegos en lenguaje matemático. Tal descripción debe contener toda la información necesaria en
relación con cualquier juego, sin incluir, obviamente,
información irrelevante, ya que ésta impediría la percepción de un problema matemático. Ahora bien,
sólo se puede concebir tal descripción adecuada una
vez que se tienen muy claros los problemas matemáticos que se desea plantear en relación con los juegos.
Esto lo hizo por primera vez, en 1921, el francés
Émile Borel (puede verse una fotografía suya en la
figura 6). En efecto, el matemático y político francés
Émile Borel se interesó por una teoría que estaba
emergiendo e introdujo la idea de estrategia mixta;
esto es, con intervención de elementos aleatorios.
En su enfoque Borel
(Heims, 1986) consideraba
que los factores psicológicos
descartados por Zermelo
desempeñaban un papel
importante y eran puestos
en relación con la habilidad
del jugador. Asimismo, también fue Borel quien anticipó
la formalización de los jueFigura 6. Émile Borel .
gos, o mejor dicho de su
información, mediante una tabla denominada forma
normal. Sin embargo, no había resuelto la cuestión de
saber si se puede identificar matemáticamente; o sea,
lógica y racionalmente, pese al aspecto aparentemente arbitrario y dependiente de la suerte y de los estados de ánimo de los contendientes que presentan
estos juegos, una estrategia ganadora. En realidad, a
Borel no parecía convencerle la idea de que fuera
posible considerar una independencia de dichos juegos de este tipo de factores. Borel, en efecto, atento a
la complejidad que presentaba el análisis de las estrategias siendo éstas, al fin y al cabo, producto de algo
tan imprevisible e indescifrable como la mente humana, se mostró pesimista en sus trabajos respecto a la
existencia de una solución óptima general del problema, y por tanto sobre la validez del teorema del minimax en un caso general.
¿Existe, en relación con determinadas clases de
juegos, una estrategia vencedora, o definitivamente
no perdedora? Con preguntas como ésta, claramente
presentes, Borel sabía qué información se requiere
acerca de cada uno de los juegos. Y podía describir
los juegos con un lenguaje matemático, como efectivamente hizo. Pero, ¿era interesante matemáticamente? Para Borel, sólo la intuición de un matemático
haría surgir una teoría matemática profunda del estudio de estas cuestiones. Sin embargo, ya en su primer
artículo, en 1921, sobre los juegos, sugería que la teoría de juegos tenía ciertas analogías con problemas de
estrategia militar y de la economía, aun admitiendo
que éstos son mucho más complejos que los juegos
de sociedad. Y advirtió que la aplicación de la teoría
de juegos al arte de la guerra conduciría a la recomendación de estrategias insatisfactorias que tendrían
que modificarse para tener en cuenta el conocimiento de la psicología del adversario. Borel había sido
legislador; es decir, miembro de la cámara de diputados y en 1925 fue nombrado ministro de Marina. En
suma, sabía de lo que hablaba.
Sin embargo, y en honor de la verdad, hay que
decir que Borel no desarrolló mucho estas cuestiones.
De hecho, el trabajo que verdaderamente dio luz a la
teoría de juegos fue, sin duda, el artículo de von Neumann de 1928 titulado Zur Theorie der Gesellschaftspiele; es decir, Hacia una teoría de juegos de sociedad
(Neumann,1928), y su gran contribución es que proporcionaba respuestas a las preguntas que había
planteado Borel, respuestas, eso sí, que iban más allá
de las preguntas. Más aún, obtuvo estas respuestas
demostrando un problema nuevo y difícil: el teorema
del minimax, que resultó ser tan profundo que abrió
nuevas áreas y puso de manifiesto nuevas conexiones
dentro de las matemáticas. De más está decir que fue
este importante resultado el que dio inmediato prestigio matemático a la nueva disciplina. ¿En qué consiste el minimax?
à
El minimax
En el libro Se una notte d’inverno un viaggiatore,
Italo Calvino (Calvino, 1979) pensaba, sarcásticamente, la situación siguiente: Sabes ya que lo más a
lo que puedes aspirar es a evitar lo peor. Pues bien,
el epigrama enuncia con claridad el principio del
minimax. Y ésta fue la gran aportación de von Neumann. Según afirmó años después, sólo cuando
pudo demostrar este teorema consideró que la formalización matemática cobraba sentido y que valía la
pena dar a conocer sus ideas. Esto lo hizo, en diciembre de 1926, siendo un joven y flamante becario doctor de la Fundación Rockefeller. Allí y entonces presentó sus primeros resultados sobre la teoría de
juegos de sociedad a la sociedad matemática de
Gotinga. Posteriormente, a mediados de 1927, envió
a la revista Mathematische Annalen un manuscrito
que, como acaba de señalarse, fue publicado en
1928. Hasta entonces, como también durante
muchos años después de este trabajo, la teoría de juegos parecía haber sido marginada por von Neumann
109
ACTA
Teoría de juegos
a las conversaciones científicas informales y a las presentaciones orales.
En esos primeros años, interlocutores privilegiados en esta cuestión parecen haber sido sus compatriotas Dénes König y Lászlo Kalmár, quienes, junto a
él mismo, eran los depositarios de la tradición lógico
conjuntista de Gyula König, como evidencian los
comentarios de ambos en sendos artículos publicados
en la revista Acta Scientiarum Mathematicorum de
Szeged en 1927 y 1928-1929.
El principio clave de la teoría de juegos es probablemente aquel que indica que la solución óptima de
un conflicto se logra mediante el establecimiento de un
equilibrio entre ambas partes. Dicho principio difiere
considerablemente del principio de maximización que
aparece en contextos más sencillos. La noción de equilibrio, tal y como es aplicada en situaciones estrictamente competitivas bipersonales, aconseja a los contendientes que sigan una estrategia para la que el peor
resultado posible sea el menos indeseable. Si este resultado, denominado minimax, porque minimiza el daño
máximo, es el mismo para ambos contrincantes, resulta que ambos adversarios deberán seguir la estrategia
que conduce a este resultado, puesto que el empleo de
cualquier otra podría mejorar el resultado del contrario
y, por tanto, empeorar el propio. Se dice que este resultado minimax constituye un punto de ensilladura. El
famoso teorema del minimax de John von Neumann
demuestra que, en todo conflicto, existe un equilibrio
de este tipo, siempre que se consideren también como
estrategias las combinaciones o mezclas probabilistas
de estrategias puras. Significando esto último simplemente que se recurre al empleo de un dispositivo aleatorio a la hora de hacer cada elección. Por ejemplo, si
sale cara voy al cine, si sale cruz sigo trabajando, es una
combinación de este tipo.
Como acaba de decirse, en 1928, von Neumann
demostró el teorema del minimax para todos los juegos finitos, bipersonales de suma cero. Dicho teorema
dice que para todos esos juegos existe un valor V que
representa la cantidad media que espera ganar el
jugador A del jugador B, si ambos actúan de manera
razonable; es decir, jugando a optimizar las ganancias. Von Neumann, intuyó que este resultado era
plausible por tres motivos fundamentales:
1. La existencia de una estrategia para el primer
jugador que es la mejor para sus intereses, que
le permitirá obtener unas ganancias determinadas, el valor medio del juego, y contra la cual
nada puede hacer el segundo jugador.
2. La existencia de una estrategia para el segundo
jugador que es la mejor para sus intereses; es
110
decir, que le garantiza que no perderá como
media más de un valor determinado, el valor
medio del juego, y contra la cual nada puede
hacer el primer jugador.
3. El hecho de que el juego sea de suma cero; esto
es, lo que gana el primer jugador debe perderlo el segundo, implica que si existe un valor
medio del juego tanto el primer jugador como
el segundo aceptan esa ganancia o pérdida respectivamente, ya que cualquier otra estrategia
les aleja de este valor en detrimento de sus intereses.
Un ejemplo aclarará mejor el principio. Se trata de
que dos críos repartan una tarta. Dado lo caprichosos
y meticulosos que, en general, son los críos, la mejor
forma de satisfacerlos y resolver el problema es que
uno de ellos corte la tarta y que el otro elija. Así, el
primer niño no podrá quejarse de que la división sea
injusta dado que la ha hecho él. El segundo, no podrá
protestar, pues ha podido elegir el trozo que prefería.
Este ejemplo, no sólo es un juego de suma nula,
lo que gane uno inexorablemente lo pierde el otro,
entre dos antagonistas, sino que es prácticamente el
caso más sencillo y elemental posible del principio
minimax. Naturalmente, dividir la tarta equitativamente es la mejor estrategia para el primer niño, ya
que de antemano sabe que la estrategia del otro niño
será quedarse con el trozo más grande. Ciertamente,
quien corta tiene varias estrategias posibles; de
hecho, hay un número ilimitado de ellas, pues podría
cortar la tarta de infinitas formas. Ahora bien, no se
pierde precisión alguna si las opciones se reducen a
dos estrategias. Una, consistente en dividir la tarta en
dos trozos desiguales. Dos, dividir la tarta lo más
ecuánimemente posible en dos trozos prácticamente
iguales. Quien escoge tiene asimismo sólo dos estrategias posibles. Escoger el trozo mayor o el más
pequeño. La tabla 1, presenta ambas estrategias.
Tabla 1. Matriz de opciones del reparto del pastel.
El resultado de este juego es que el que corta dividirá el pastel lo más equitativamente posible. El que
elige tomará el trozo más grande. El resultado es el
que aparece en la casilla superior izquierda. ¿Por qué
se llega a este resultado? Si el que corta pudiera decidirse por cualquiera de los cuatro desenlaces posibles,
querría llevarse el trozo más grande, casilla inferior
Teoría de juegos
derecha. Sin embargo, se percataría de que no es una
solución realista. El que corta sabe qué puede esperarse del que elige; es decir, lo peor: un trozo lo más
pequeño posible.
El que corta sólo tiene la potestad de seleccionar
la fila en la que aparecerá el desenlace de la división
de la tarta. Espera llevarse la porción menor en esa
fila, ya que el que elige actuará de modo que el trozo
del que corta será lo menor posible. Por tanto, el que
corta tratará de maximizar el mínimo que le dejará el
que escoge. De este modo, el que corta, al hacerlo
equitativamente, trata de llevarse casi la mitad de la
tarta. Este valor que es el mínimo de la fila del máximo, se denomina maximin. Por su parte, el que escoge quiere que el que corta se lleve así mismo el menor
trozo posible. Es decir, el que escoge busca el máximo de la columna de los mínimos, el minimax, que
también está en la columna superior izquierda.
Este resultado de la casilla superior izquierda es a
la vez el maximin, el resultado realista del juego mejor
para el que corta, y el minimax, el resultado realista
mejor para el que escoge. Cuando sucede esto; es
decir, cuando coinciden el minimax y el maximin, se
dice que el resultado es un punto de silla. Cuando un
juego tiene un punto de silla, este punto es la solución
del juego; es decir, el resultado esperado de jugar
racionalmente. Pues bien, el teorema del minimax
demuestra que, para cualquier juego finito, de suma
nula y con dos antagonistas, existe una solución
racional. Entendiendo por esto que ambos contrincantes se convencen de que, dada la propia naturaleza del conflicto, no podrían hacer nada mejor.
Es decir, en estos juegos existe una estrategia óptima pura. Esto quiere decir que hay una sucesión de
jugadas de tal modo que el jugador que se atiene a
ellas sigue la estrategia más segura posible, sean cuales fueren las jugadas de su oponente. Más aún, su
estrategia no perderá ningún valor aunque sea descubierta. En estos juegos estrictamente determinados,
cada jugada, y por tanto cada posición resultante de
una serie de jugadas, está a la vista: los dos participantes poseen información completa. Esta situación
se describe diciendo que la función que expresa el
resultado tiene un punto de ensilladura. Se emplea
este término por analogía con la forma de una silla de
montar, dentro de lo que cabe considerar el punto de
intersección de las dos curvas siguientes: la que corre
a lo largo del lomo caballo y la que discurre en la
dirección de las piernas del jinete. La primera es la
curva de máximo, y su punto más bajo es el maximin.
La segunda es la curva de mínimo y su punto más
alto es el minimax. El punto de intersección de ambas
curvas es el punto de ensilladura, que en teoría de
juegos indica la intersección de dos estrategias particulares.
Los valores de las estrategias correspondientes a
un juego hipotético de esta clase se muestran en la
tabla 2. Se trata de un juego entre dos contrincantes,
A y B, cada uno de los cuales puede seguir tres estrategias distintas; hay pues nueve posibles combinaciones de jugadas entre A y B. Los números de la matriz
representan las ganancias o pérdidas de A para todas
las estrategias combinadas y, puesto que se trata de
un juego de suma cero o nula, las mismas cantidades
con distinto signo representan las ganancias o pérdidas de B. En este caso, la estrategia minimax para A
es A2, puesto que si realiza esa serie de jugadas
puede estar seguro de que ganará al menos dos unidades, independientemente de la forma de actuar de
B. De igual modo, la estrategia minimax de B es B1.
Juegos de este tipo son: tres en raya o el ajedrez.
Tabla 2. Matriz de pagos de un juego hipotético.
Otros juegos bipersonales de suma nula no poseen
una estrategia óptima única, como sucede en el juego
de sacar monedas, el bridge o el póker, y numerosas
situaciones militares. Estos juegos, en los que resultaría desastroso el descubrimiento de una estrategia por
parte del contrincante, no están estrictamente determinados. En este caso, la tarea fundamental de cada
jugador es la de evitar el descubrimiento de su estrategia. La cuestión va de suyo, ¿existen estrategias
seguras y convenientes para estos juegos no estrictamente determinados, de tal modo que su adopción
los convierta en juegos estrictamente determinados?
¿Puede un jugador encontrar estrategias distintas de
las estrategias puras que le permitan conseguir un
comportamiento totalmente racional? En términos
matemáticos, ¿existe siempre un punto de ensilladura? La respuesta es afirmativa y la demostración de
ello se debe a von Neumann. Para ello, usó el teorema del punto fijo de L.E.J. Brouwer.
En efecto, en su artículo de 1928, von Neumann
analizaba además los juegos con información incompleta. Un ejemplo de los cuales es el juego piedra,
papel y tijera, cuya forma
normal, tal y como se muestra en la tabla 3, no posee
manifiestamente un valor
Tabla 3. Tabla del
minimax.
piedra, papel o tijera.
111
ACTA
Teoría de juegos
En este caso, mostraba que existe un valor único
del juego en relación a una estrategia llamada mixta,
obtenida a partir de la estrategia pura, introduciendo
la probabilidad. Esta estrategia mixta indica cómo
comportarse en una serie de partidas, y así obtuvo un
teorema del minimax generalizado. La demostración
de este teorema se basa en la solución de un cierto
sistema de ecuaciones e inecuaciones; es decir, el
análisis del problema se reconducía por tanto a un
problema algebraico, pero en la solución de éste
intervenían a su vez de modo decisivo consideraciones de tipo topológico, en particular el teorema del
punto fijo de Brouwer. Este teorema, demostrado por
Brouwer en 1910, afirma que si se considera una
transformación biunívoca y continua en una bola, un
disco en el plano o una esfera llena en el espacio de
tres dimensiones o hiperesfera en más dimensiones,
en sí misma, existe al menos un punto de la bola que
se transforma en sí mismo; esto es, queda fijo al aplicar la transformación. Formalmente, supóngase que
S es un conjunto convexo compacto del espacio
euclídeo de n dimensiones, y supóngase que f es una
función continua que transforma a S en sí mismo,
entonces existe por lo menos un x ∈ S de forma tal
que f(x) = x. En suma, la demostración de existencia
del minimax era reducida por von Neumann a la
demostración de la existencia de un punto fijo, lo que
le permitía aplicar el teorema de Brouwer.
La respuesta a la primera cuestión, fue, como se
acaba de ver, resuelta formalmente por Ernst Zermelo (Zermelo, 1912).
à
El caso de Colón
Como lo señaló Leonard Hurwicz (Hurwicz,
1974) muchas veces uno se ve obligado a tomar decisiones sin disponer de una información completa
acerca de las consecuencias de las posibles alternativas. Éste es, verbigracia, el caso de un científico que
debe decidir si planea o no un experimento. La incertidumbre interviene en numerosos problemas de
decisión, grandes y pequeños, rutinarios y fuera de lo
corriente. Algunos de estos problemas en los que
interviene el factor de incertidumbre pueden ser tratados científicamente mediante las matemáticas de la
probabilidad. Pero, ¿qué sucede en las innumerables
situaciones en las que las probabilidades no pueden
calcularse? Piénsese, por ejemplo, en la situación en
la que se encontraba Colón ante una tripulación que
le pedía volver. ¿Podía haber calculado Colón la probabilidad de encontrar tierra antes de que se hubiese
acabado la comida y, o, el agua, caso de continuar
112
navegando hacia el Oeste? ¿Cómo podría haberle
ayudado la teoría de juegos?
Empiécese por incluir en una matriz las dos posibles elecciones de Colón; o sea, seguir adelante o dar
la vuelta, las dos posibilidades fácticas; es decir, que
la tierra firme estuviese o no cerca, y las consecuencias probables de la decisión de Colón en cada uno
de los casos, tal y como se muestra en la tabla 4.
Tabla 4. Colón contra la naturaleza.
Supóngase ahora que, a modo de intento experimental, se asignan valores muy provisionales e hipotéticos, en unidades de satisfacción, a las posibles
consecuencias, valores que en la tabla 4 aparecen
entre paréntesis. Es decir, se va a suponer que Colón,
pensando en cuán desilusionado quedaría al saber
que había dado la vuelta cuando estaba a punto de
tocar tierra, valorase esta desilusión en una pérdida
de 50 unidades de satisfacción; que el valor correspondiente a salvar la vida dando la vuelta y abandonando una búsqueda sin esperanzas supusiera una
ganancia de 20 unidades de satisfacción, y así sucesivamente. Hágase una hipótesis más: la de que Colón
creyese que podía calcular, de alguna manera, la probabilidad de que la tierra firme se encontrase cerca.
Si Colón creyese que las posibilidades de encontrar tierra cerca eran de tres contra una, podría calcular la expectativa de satisfacción, en realidad insatisfacción, en el caso de dar la vuelta, como sigue: a tres
veces -50 se le suma una vez 20, y la suma se divide por cuatro, lo que da -32,5. Es decir, si da la vuelta, la expectativa neta es la de una pérdida de 32,5
unidades de satisfacción. Por otro lado, si sigue adelante, la expectativa es la de una pérdida de 175 unidades de satisfacción, a tres veces 100 se le suma una
vez -1000 y la suma se divide por cuatro. Puesto que
la expectativa de pérdida, si se continúa el viaje, es
mucho mayor que si se da la vuelta, la decisión de
Colón debería haber sido esta última. Es decir, partiendo de los valores de satisfacción postulados,
debería existir una probabilidad de nueve contra uno
de que la tierra estuviese cerca para que Colón continuase el viaje, lo que no es el caso.
¿Hubiera insistido realmente en el viaje con unas
probabilidades tales de éxito? En caso negativo, tiene
Teoría de juegos
que ser porque las unidades de satisfacción atribuidas
a cada una de las posibles alternativas no son las adecuadas. Tal vez se ha sobrevalorado el miedo de
Colón a la muerte, e infravalorado sus ansias de gloria. Esto lleva a dar unos valores más realistas en la
tabla 4, que ahora aparecen entre corchetes. A partir
de estos nuevos valores, era suficiente una probabilidad de 3 a 1 de encontrar tierra cerca para que Colón
decidiese continuar el viaje.
Pero, ¿qué sucedería en el caso de que no tuviese
ni idea acerca de cuáles pudieran ser las probabilidades de encontrar tierra cerca? Colón podría haber
seguido el principio de razón insuficiente, el de esperar lo mejor o el de esperar lo peor. A partir de las
cifras de satisfacción, entre corchetes, Colón debería
haber decidido seguir adelante de acuerdo con cualquiera de los tres principios. Pero a partir de las primeras cifras, las que aparecen entre paréntesis, debería haber dado la vuelta, excepto en el caso de que no
perteneciese a la escuela de esperar lo mejor, lo que
tampoco hubiera sido demasiado extraño. De hecho,
en todas las bibliografías se retrata al navegante como
un obseso convicto de que se podía llegar a las Indias,
navegando hacia el Oeste.
à
Conclusión
Que von Neumann padeció y vivió conflictos múltiples es un hecho constatado. Escapó de la revolución y el terrorismo rojo y blanco en Hungría. Vivió el
nacimiento del nazismo. Su relación con su mujer
Klara fue constantemente conflictiva. Era judío, hijo
de banquero y demasiado inteligente como para no
entrar en conflicto con el entorno que le rodeaba.
Finalmente, era jugador de póquer, aunque no demasiado bueno. Todo esto apunta a que fueron todas
estas cuestiones las que llevaron a von Neumann a
crear la teoría de juegos. Pero al pensar así se olvida
la contrapartida. Por ejemplo, determinados métodos
matemáticos utilizados en la teoría de juegos tienen
gran afinidad con los que empleó von Neumann al
estudiar la mecánica cuántica. Más aún, Paul Halmos,
que fue ayudante de von Neumann en Princeton,
pensaba que la teoría de juegos no fue, ni por asomo,
la plasmación más relevante, trascendental y fructífera del talento de von Neumann. Y comentaba a todo
el que quisiera oírlo lo siguiente: en mi opinión, simplemente perdía el tiempo con “esa cosa de los juegos”. Sé de sobra que gran parte del mundo discrepa
de esta opinión, y yo tampoco estoy seguro de si
ahora me gustan, pero… Jamás me enteré del tema y
nunca me gustó aprenderlo.
En contra de la opinión de Godfrey Harold Hardy
(Hardy, 1999), que se vanagloriaba de hacer matemáticas puras; es decir, que no tendrían utilidad alguna, en la teoría de juegos se hace realidad un principio sobre las matemáticas según el cual, más
temprano que tarde, los conceptos, técnicas, herramientas y modelos de esta ciencia, encuentran su
aplicación en situaciones del mundo real, incluso
aquellos que surgieron de manejar distinta y distante
de tales situaciones, como sucede en la teoría de juegos. En palabras del autor de una de las geometrías no
euclídeas, Nikolai Lovachevsky (Deulofeu, 2010): No
hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que
sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos
del mundo real.
à
Bibliografía
Alighieri, Dante.: Paradiso Canto XXVIII. In, “Comedia” 3. Vol. Garzanti Editore s.p.a. Milano. 1988. PP: 91-93.
Calvino, I.: Se una Notte d’Inverno un Viaggiatore. Einaudi, 1979.
Cardano, G.: Liber de Ludo Aleae. 1541. En, Cardani, H.: Opera Omnia. Ch. Spon. Lyon. 1663.
Clausewitz, K. von: De la Guerra. Ediciones Ejército. Madrid. 1980.
Deulofeu, J.: Prisioneros con Dilemas y estrategias Dominantes. RBA, S.A. España. 2010.
Dudeney, M.E.: Diversiones Matemáticas. 3 Vols. RBA, S.A. España. 2008.
Hardy, G.H.: Apología de un Matemático. Nivola, S.L. Madrid. 1999.
Heims, S.J.: J. von Neumann y N. Wiener (2 Vols). Salvat, S.A. Barcelona. 1986.
Huizinga, J.: Homo Ludens: Proeveener Bepaling van Het Spelelement der Cultulur. Tjeenk Willink. Harleen.
Netherlands. 1938.
113
ACTA
Teoría de juegos
Hurwicz, L.: The Theory of Games and Decisions. In, Carnap, R. et alli: Mathematical Thinking in Behavioral
Science. Scientifica America. 1974.
Lucas, E.: Juegos Matemáticos. Vols. I, II, III. RBA, S.A. España. 2008.
Neumann, J. von & Morgenstern, O.: Theory of Games and Economic Behaviour. Princenton University Press.
Princeton, N.J. 1944.
Neumann, J. von: Zur Theorie der Gesellschaftspiele. Mathematische Annalen, Vol. 100. 1928. PP: 295-320.
Pazos, J.: “Dilemas Sociales I: El dilema del prisionero y sus variantes”. Manual Formativo nº 29. Acta. 2011.
Poudstone, W.: El Dilema del Prisionero. Alianza Editorial, S.A. Madrid. 1995.
Sigmund, K.: The Calculus of Selfishness. Princeton University Press. Princeton, N.J. 2010.
Zermelo, E.: Uber Eine Anwendung der Mengenlehre und der Theorie des Schacspiel. Proceedings of the Fifth
International Congress of Mathematicians. Cambridge. 1912. PP: 501-504.
114