Aplicaciones del método "Montecarlo"

Aplicaciones del método "Montecarlo"
El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para
aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se
llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del
juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el
desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se
mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.
El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo
realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el
Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas
probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fusión,
la cual posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental
de los algoritmos de trazado de rayos para la generación de imágenes sintéticas.
Aplicación en trazado de rayos
EL TRAZADO DE RAYOS ES UNA TÉCNICA UTILIZADA PARA GENERAR IMÁGENES 3D CON UN GRAN REALISMO, A
PARTIR DE MODELOS 3 D CON O SIN TEXTURA .
El algoritmo de trazado de rayos de Monte Carlo modificado original consta de tres etapas:
La generación de los rayos, el procesado de las reflexiones y el cálculo de la respuesta al impulso
del canal.
Los rayos son generados desde la posición del emisor, siguiendo una distribución de probabilidad
derivada a partir del patrón de emisión: cuando un rayo incide sobre un obstáculo éste se
convierte en un nuevo emisor y se genera un nuevo rayo, en este caso reflejado, calculando
siempre en cada reflexión la contribución de potencia sobre el receptor. El proceso continua hasta
que el rayo haya experimentado el número máximo de rebotes a analizar o su tiempo de vuelo
sobrepase la duración de la ventana de tiempo especificada de inicio para la respuesta al impulso
a calcular. A continuación, un ejemplo en pseudo-código de la estructura básica del algoritmo:
Estructura del algoritmo de Monte Carlo modificado básico
Begin
1. Generar nuevo rayo (t=0, P=1)
2. Lazo while t<tMAX
- Propagar rayo hasta el primer obstáculo (t = t + d/c)
1
- Reducir potencia del rayo usando el coeficiente de reflexión (P=rP)
- Calcular la contribución desde ese punto al receptor
- Generar rayo desde el nuevo punto
End
3. Repetir pasos 1 y 2 para un número de rayos NR, hasta que la varianza de la respuesta al
impulso obtenida sea aceptable
End
Aplicación en sistemas moleculares
ESTE MÉTODO DE MONTECARLO SE PUEDE APLICAR A SISTEMAS MOLECULARES, PREDICIENDO UNA AMPLIA
CANTIDAD DE PROPIEDADES EN LAS ESTRUCTURAS DE LAS MOLÉCULAS . DICHA APLICACIÓN CONSISTE EN
INTRODUCIR NÚMEROS ALEATORIOS EN DIFERENTES CÁLCULOS , LO CUAL PERMITE SIMULAR EFECTOS
"TÉRMICOS" VARIABLES.
El método de Montecarlo (MC) se aplica a sistemas moleculares para: predecir los valores
promedio de las propiedades de estructuras en medios térmicos; estimar la distribución de cargas
en moléculas; calcular constantes cinéticas de reacción, energías libres, constantes dieléctricas,
coeficientes de compresibilidad, capacidades caloríficas y puntos de cambio de estado; etc.
Variantes del MC se usan para resolver problemas muy diversos. De todas ellas, en el caso de los
cálculos computacionales relacionados con sistemas moleculares, las más importantes son las
siguientes:
(1) Método Clásico (Classical Monte Carlo, CMC): aplicación de distribuciones de probabilidades
(generalmente la distribución clásica de Maxwell y Boltzmann) para obtener propiedades
termodinámicas, estructuras de energía mínima y constantes cinéticas;
(2) Método Cuántico (Quantum Monte Carlo, QMC): uso de trayectorias aleatorias para calcular
funciones de onda y energías de sistemas cuánticos y para calcular estructuras electrónicas usando
como punto de partida la ecuación de Schroedinger;
(3) Método de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path-Integral Quantum Monte Carlo, PIMC):
cálculo de las integrales de la Mecánica Estadística Cuántica para obtener propiedades
termodinámicas y constantes cinéticas usando como punto de partida la integral a lo largo de la
trayectoria de Feynman;
(4) Método Volumétrico (Volumetric Monte Carlo, VMC): uso de números aleatorios y cuasialeatorios para generar volúmenes moleculares y muestras del espacio de fase molecular);
(5) Método de Simulación (Simulation Monte Carlo, SMC): uso de algoritmos aleatorios para
generar las condiciones iniciales de la simulación de trayectorias cuasi-clásicas o para introducir
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efectos estocásticos ("termalización de las trayectorias") en Dinámica Molecular. (El así llamado
"Método Cinético" —Kinetic Monte Carlo, KMC— es uno de los SMC.)
El MC es es uno de los métodos con que cuentan la Física Cuántica y la Química Cuántica para
resolver los problemas que involucran múltiples cuerpos (many-body problems). En el caso de los
sistemas en estado condensado, se emplean unas cuantas variantes, tales como el Método de la
Integral a lo largo de la Trayectoria (Path Integral Monte Carlo, PIMC), el Método de Difusión
(Diffusion Monte Carlo, DMC), el Método de las Funciones de Green (Green's Function Monte
Carlo, GFMC) y el Método Variacional (Variational Monte Carlo, VMC).
Aplicación del Método de Monte Carlo en el Análisis de Riesgo de los
Proyectos
EL MÉTODO DE MONTE CARLO INCORPORADA A LOS MODELOS FINANCIEROS APROXIMACIONES PARA LAS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DE LOS PARÁMETROS QUE ESTÁN SIENDO ESTUDIADOS .
El método de Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento;
básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar
numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.
Esta metodología provee como resultado, incorporada a los modelos financieros, aproximaciones
para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que están siendo estudiados.
Para ello son realizadas diversas simulaciones donde, en cada una de ellas, son generados valores
aleatorios para el conjunto de variables de entrada y parámetros del modelo que están sujetos a
incertidumbre. Tales valores aleatorios generados siguen distribuciones de probabilidades
específicas que deben ser identificadas o estimadas previamente.
Esta información será fundamental como respaldo de al decisiones gerenciales; no pueden quedar
dudas que el conocimiento de la probabilidad de ocurrencia de toda la gama de posibles
rendimientos, brinda una cierta seguridad de que la información disponible ha sido empleada con
la máxima eficacia.
Simulación de Monte Carlo en Excel
De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en el Excel de la siguiente
forma:
1. Estimar la escala de valores que podría alcanzar cada factor, y la probabilidad de ocurrencia
asociada a cada valor.
2. Elegir, aleatoriamente, uno de los valores de cada factor, y dependiendo de la combinación
seleccionada, computar la tasa de rendimiento resultante.
3. Repetir el mismo proceso una y otra ves, la cantidad de veces que sea necesaria, que permita
definir y evaluar la probabilidad de ocurrencia de cada posible tasa de rendimiento. Como existen
3
millones de posibles combinaciones de factores, necesitamos efectuar un número de pruebas
suficientemente grande para que pueda apreciarse la posibilidad de ocurrencia de las varias tasas
de rendimiento. El resultado a que se llegará será una lista de distintas tasas de rendimiento que
podrían lograrse, que puede variar desde una pérdida (si los factores son adversos) hasta la
ganancia máxima que sea posible lograr conforme con los pronósticos que se hayan efectuado.
4. Se calcula la tasa media esperada, que es el promedio ponderado de todas las tasas resultantes
de las sucesivas pruebas realizadas, siendo la base de ponderación la probabilidad de ocurrencia
de cada una.
5. También se determina la variabilidad de los valores respecto del promedio, lo que es
importante porque a igualdad de otros factores, la empresa presumiblemente preferirá los
proyectos de menor variabilidad.
Dependiendo de la política de decisión, el proceso lo podremos aplicar a la tasa interna de retorno
o al valor actual neto. Los ejercicios aquí presentados trabajan en base al valor actual neto.
Ejemplo para distribuciones discretas (el de distribuciones continuas es mucho más complejo):
Bastaría colocar la distribución discreta basada en la función de probabilidad acumulada (entre 0%
y 100%), generar un aleatorio ( por la función =aleatorio()) y , por ejemplo, a través de una función
de búsqueda y referencia (buscarv()) identificar el valor correspondiente.
Usando una función de buscar y referencia, como buscarv. del Excel, podríamos generar aleatorios
y así aseguramos la aleatoriedad de las cantidades obtenidas, y que luego de "n" simulaciones ("n"
no debería ser menor a 1.000) , permitiría calcular el promedio y el riesgo de la distribución.
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Si hacemos mil simulaciones encontraremos que el promedio y el riesgo tienden a estabilizarse
próximos a los valores poblacionales anteriormente calculados.
Para realizar una tabla de estas simulaciones se puede realizar una macro; la cual valla tomando
los valores, los lleve a otra hoja (usando el pegado especial para pasar las fórmulas a valores); para
esta misma macro debe usar las posiciones relativas para que se vallan incorporando los registros.
Juntando el gráfico de los números de simulaciones con los valores del promedio y el desvío,
puede verse que a partir de las 200 simulaciones los valores se estabilizan.
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